Początkowo sinus i cosinus powstały ze względu na konieczność obliczania wielkości w trójkątach prostokątnych. Zauważono, że jeśli wartość miary stopnia kątów w trójkącie prostokątnym nie ulega zmianie, to proporcje, niezależnie od tego, jak bardzo zmieniają się te boki, zawsze pozostają takie same.

W ten sposób wprowadzono pojęcia sinusa i cosinusa. Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym jest to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, a cosinus to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Twierdzenia o cosinusach i sinusach

Ale cosinusy i sinusy mogą być używane nie tylko w trójkątach prostokątnych. Aby znaleźć wartość kąta rozwartego lub ostrego, czyli boku dowolnego trójkąta, wystarczy zastosować twierdzenie cosinus i sinus.

Twierdzenie o cosinusach jest dość proste: „Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi”.

Istnieją dwie interpretacje twierdzenia sinus: mała i rozszerzona. Według małego: „W trójkącie kąty są proporcjonalne do przeciwnych boków”. Twierdzenie to jest często rozszerzane ze względu na właściwość okręgu opisanego w trójkącie: „W trójkącie kąty są proporcjonalne do przeciwnych boków, a ich stosunek jest równy średnicy opisanego okręgu”.

Pochodne

Pochodna to narzędzie matematyczne, które pokazuje, jak szybko funkcja zmienia się w stosunku do zmiany jej argumentu. Pochodne są używane w geometrii oraz w wielu dyscyplinach technicznych.

Rozwiązując problemy, musisz znać tabelaryczne wartości pochodnych funkcje trygonometryczne: sinus i cosinus. Pochodną sinusa jest cosinus, a pochodną cosinusa jest sinus, ale ze znakiem minus.

Zastosowanie w matematyce

Szczególnie często w rozwiązywaniu używane są sinusy i cosinusy prawe trójkąty i zadania z nimi związane.

Wygoda sinusów i cosinusów znajduje również odzwierciedlenie w technologii. Kąty i boki były łatwe do oceny za pomocą twierdzeń cosinusów i sinusów, dzieląc złożone kształty i obiekty na „proste” trójkąty. Inżynierowie i często zajmujący się obliczaniem współczynników kształtu i miar stopnia, poświęcili dużo czasu i wysiłku na obliczanie cosinusów i sinusów kątów nietabelowych.

Wtedy na ratunek przyszły tablice Bradis, zawierające tysiące wartości sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów różne kąty. W czasach sowieckich niektórzy nauczyciele zmuszali swoich podopiecznych do zapamiętywania stron tablic Bradisa.

Radiany — wielkość kątowałuki wzdłużne równy promieniowi lub 57.295779513 stopni.

Stopień (w geometrii) - 1/360 część koła lub 1/90 część prosty kąt.

π = 3,141592653589793238462… (przybliżona wartość pi).

Tabela cosinusów dla kątów: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Nie przekonam Cię do pisania ściągawek. Pisać! W tym ściągawki z trygonometrii. Później zamierzam wyjaśnić, dlaczego potrzebne są ściągawki i jak przydają się ściągawki. A tutaj - informacje o tym, jak się nie uczyć, ale zapamiętać kilka wzorów trygonometrycznych. A więc - trygonometria bez ściągawki!Do zapamiętywania używamy skojarzeń.

1. Formuły dodawania:

cosinusy zawsze „idą parami”: cosinus-cosinus, sinus-sinus. I jeszcze jedno: cosinusy są „niewystarczające”. „Wszystko jest nie tak”, więc zmieniają znaki: „-” na „+” i odwrotnie.

Zatoki - "mix": sinus-cosinus, cosinus-sinus.

2. Wzory na sumy i różnice:

cosinusy zawsze „idą parami”. Po dodaniu dwóch cosinusów - "bułeczki" otrzymujemy parę cosinusów - "koloboks". A odejmując, na pewno nie dostaniemy koloboków. Dostajemy kilka sinusów. Jeszcze z minusem przed nami.

Zatoki - "mix" :

3. Wzory przeliczania produktu na sumę i różnicę.

Kiedy otrzymamy parę cosinusów? Przy dodawaniu cosinusów. Dlatego

Kiedy otrzymamy parę sinusów? Przy odejmowaniu cosinusów. Stąd:

„Mieszanie” uzyskuje się zarówno przez dodawanie, jak i odejmowanie sinusów. Co jest fajniejsze: dodawanie czy odejmowanie? Zgadza się, spasuj. A do formuły dodaj:

W pierwszym i trzecim wzorze w nawiasie – kwota. Od przestawienia miejsc terminów suma się nie zmienia. Kolejność jest ważna tylko dla drugiej formuły. Aby jednak się nie pomylić, dla ułatwienia zapamiętania, we wszystkich trzech formułach w pierwszych nawiasach bierzemy różnicę

a po drugie, suma

Prześcieradła do łóżeczka w kieszeni zapewniają spokój ducha: jeśli zapomnisz formułę, możesz ją spisać. I dają pewność: jeśli nie użyjesz ściągawki, wzory można łatwo zapamiętać.

Rozwiązanie najprostszego równania trygonometryczne.

Rozwiązanie równań trygonometrycznych o dowolnym poziomie złożoności ostatecznie sprowadza się do rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych. A w tym najlepszy asystent ponownie okazuje się być okręgiem trygonometrycznym.

Przypomnij sobie definicje cosinusa i sinusa.

Cosinus kąta to odcięta (czyli współrzędna wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.

Sinus kąta jest rzędną (czyli współrzędną wzdłuż osi) punktu na okręgu jednostkowym odpowiadającego obrocie o dany kąt.

Za dodatni kierunek ruchu po okręgu trygonometrycznym uważa się ruch w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Obrót 0 stopni (lub 0 radianów) odpowiada punktowi o współrzędnych (1; 0)

Używamy tych definicji do rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych.

1. Rozwiąż równanie

Równanie to spełniają wszystkie takie wartości kąta obrotu , które odpowiadają punktom okręgu, którego rzędna jest równa .

Oznaczmy punkt rzędną na osi y:

Narysuj poziomą linię równoległą do osi X, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na okręgu i mające rzędną. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom:

Jeśli opuściwszy punkt odpowiadający kątowi obrotu na radian, okrążymy pełne koło, dojdziemy do punktu odpowiadającego kątowi obrotu na radian i posiadającego tę samą rzędną. Oznacza to, że ten kąt obrotu również spełnia nasze równanie. Możemy wykonać tyle „bezczynnych” zakrętów, ile chcemy, wracając do tego samego punktu, a wszystkie te wartości kątów spełnią nasze równanie. Liczba „bezczynnych” obrotów jest oznaczona literą (lub). Ponieważ możemy wykonywać te obroty zarówno w kierunku dodatnim, jak i ujemnym, (lub ) może przyjmować dowolne wartości całkowite.

Oznacza to, że pierwsza seria rozwiązań pierwotnego równania ma postać:

, , - zbiór liczb całkowitych (1)

Podobnie druga seria rozwiązań ma postać:

, gdzie , . (2)

Jak się domyślasz, ta seria rozwiązań opiera się na punkcie koła odpowiadającym kątowi obrotu przez .

Te dwie serie rozwiązań można połączyć w jeden wpis:

Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nawet), to otrzymamy pierwszą serię rozwiązań.

Jeśli weźmiemy pod uwagę ten wpis (czyli nieparzysty), to otrzymamy drugą serię rozwiązań.

2. Teraz rozwiążmy równanie

Ponieważ jest to odcięta punktu okręgu jednostkowego uzyskana przez obrót o kąt , zaznaczamy na osi punkt z odciętą :

Narysuj pionową linię równoległą do osi, aż przetnie się z okręgiem. Otrzymamy dwa punkty leżące na kole i mające odciętą. Punkty te odpowiadają kątom obrotu i radianom. Przypomnijmy, że poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, otrzymujemy ujemny kąt obrotu:

Wypisujemy dwie serie rozwiązań:

,

,

(Wpadamy w żądany punkt, wychodząc z głównego pełnego koła, czyli .

Połączmy te dwie serie w jeden post:

3. Rozwiąż równanie

Linia stycznych przechodzi przez punkt o współrzędnych (1,0) okręgu jednostkowego równoległego do osi OY

Zaznacz na nim punkt o rzędnej równej 1 (szukamy stycznej, której kąty wynoszą 1):

Połącz ten punkt z początkiem linią prostą i zaznacz punkty przecięcia linii z okręgiem jednostkowym. Punkty przecięcia prostej i okręgu odpowiadają kątom obrotu na i :

Ponieważ punkty odpowiadające kątom obrotu, które spełniają nasze równanie, leżą w promieniach od siebie, możemy zapisać rozwiązanie w następujący sposób:

4. Rozwiąż równanie

Linia cotangensów przechodzi przez punkt, którego współrzędne okręgu jednostkowego są równoległe do osi.

Zaznaczamy punkt odciętą -1 na linii cotangensów:

Połącz ten punkt z początkiem prostej i kontynuuj, aż przetnie się z okręgiem. Linia ta przetnie okrąg w punktach odpowiadających kątom obrotu i radianom:

Ponieważ punkty te są oddzielone od siebie odległością równą , to wspólna decyzja Równanie to możemy zapisać w następujący sposób:

W podanych przykładach, ilustrujących rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych, zastosowano tabelaryczne wartości funkcji trygonometrycznych.

Jeśli jednak prawa strona równania nie jest wartość tabeli, następnie podstawiamy wartość do ogólnego rozwiązania równania:

ROZWIĄZANIA SPECJALNE:

Zaznacz punkty na okręgu, którego rzędna wynosi 0:

Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego rzędna jest równa 1:

Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego rzędna jest równa -1:

Ponieważ zwyczajowo podaje się wartości najbliższe zeru, rozwiązanie piszemy w następujący sposób:

Zaznacz punkty na kole, którego odcięta wynosi 0:

5.
Zaznaczmy na okręgu pojedynczy punkt, którego odcięta jest równa 1:

Zaznacz pojedynczy punkt na okręgu, którego odcięta jest równa -1:

I kilka bardziej złożonych przykładów:

1.

Sinus jest jeden, jeśli argumentem jest

Argumentem naszego sinusa jest , więc otrzymujemy:

Podziel obie strony równania przez 3:

Odpowiadać:

2.

Cosinus wynosi zero, jeśli argumentem cosinus jest

Argumentem naszego cosinusa jest , więc otrzymujemy:

Wyrażamy , w tym celu najpierw przesuwamy się w prawo z przeciwnym znakiem:

Uprość prawą stronę:

Podziel obie części przez -2:

Zauważ, że znak przed terminem nie zmienia się, ponieważ k może przyjmować dowolne wartości całkowite.

Odpowiadać:

Podsumowując, obejrzyj samouczek wideo „Wybór pierwiastków w równaniu trygonometrycznym za pomocą koła trygonometrycznego”

Na tym kończy się rozmowa na temat rozwiązywania najprostszych równań trygonometrycznych. Następnym razem porozmawiamy o tym, jak rozwiązać.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Notatka. Ta tabela wartości funkcji trygonometrycznych używa znaku √ do oznaczenia pierwiastek kwadratowy. Aby oznaczyć ułamek - symbol „/”.

Zobacz też przydatne materiały:

Do wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznej, znajdź go na przecięciu linii wskazującej funkcję trygonometryczną. Np. sinus 30 stopni - szukamy kolumny z nagłówkiem sin (sinus) i znajdujemy przecięcie tej kolumny tabeli z linią "30 stopni", na ich przecięciu odczytujemy wynik - jeden druga. Podobnie znajdujemy cosinus 60 stopni, sinus 60 stopnie (ponownie, na przecięciu kolumny sin (sinus) i rzędu 60 stopni, znajdujemy wartość sin 60 = √3/2) itd. W ten sam sposób znajdują się wartości sinusów, cosinusów i tangensów innych „popularnych” kątów.

Sinus pi, cosinus pi, tangens pi i inne kąty w radianach

Poniższa tabela cosinusów, sinusów i tangensów jest również odpowiednia do znalezienia wartości funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest podane w radianach. Aby to zrobić, użyj drugiej kolumny wartości kątów. Dzięki temu możesz przeliczyć wartość popularnych kątów ze stopni na radiany. Na przykład znajdźmy kąt 60 stopni w pierwszym wierszu i odczytajmy pod nim jego wartość w radianach. 60 stopni równa się π/3 radianom.

Liczba pi jednoznacznie wyraża zależność obwodu koła od miary stopnia kąta. Więc pi radiany równa się 180 stopni.

Dowolną liczbę wyrażoną w postaci pi (radianów) można łatwo przeliczyć na stopnie, zastępując liczbę pi (π) przez 180.

Przykłady:
1. sinus pi.
grzech π = grzech 180 = 0
zatem sinus pi jest taki sam jak sinus 180 stopni i jest równy zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
zatem cosinus pi jest taki sam jak cosinus 180 stopni i jest równy minus jeden.

3. styczna pi
tg π = tg 180 = 0
zatem tangens pi jest taki sam jak tangens 180 stopni i jest równy zero.

Tabela wartości sinus, cosinus, tangens dla kątów 0 - 360 stopni (wartości częste)

Jeżeli w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych zamiast wartości funkcji wskazano kreskę (styczna (tg) 90 stopni, cotangens (ctg) 180 stopni), to dla danej wartości miary stopnia kąt, funkcja nie ma określonej wartości. Jeśli nie ma kreski - komórka jest pusta, to jeszcze nie weszliśmy Pożądana wartość. Jesteśmy ciekawi, na jakie prośby zwracają się do nas użytkownicy i uzupełniają tabelę o nowe wartości, mimo że aktualne dane dotyczące wartości cosinusów, sinusów i tangensów najczęstszych wartości kątów wystarczą do rozwiązania większości problemy.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg dla najpopularniejszych kątów
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopni
(wartości liczbowe „wg tabel Bradisa”)

- na pewno będą zadania z trygonometrii. Trygonometria jest często nielubiana ze względu na konieczność wkuwania ogromnej liczby trudnych formuł, pełnych sinusów, cosinusów, tangensów i cotangensów. Strona już raz podawała porady, jak zapamiętać zapomnianą formułę, na przykładzie formuł Eulera i Peela.

A w tym artykule postaramy się pokazać, że wystarczy mocno znać tylko pięć najprostszych formuły trygonometryczne, a o reszcie mieć główny pomysł i wyjmuj je, gdy idziesz. To jak z DNA: kompletne rysunki gotowej żywej istoty nie są przechowywane w cząsteczce. Zawiera raczej instrukcje składania go z dostępnych aminokwasów. Więc to jest w trygonometrii, poznanie niektórych ogólne zasady, dostaniemy wszystko niezbędne formuły z małego zestawu tych, o których należy pamiętać.

Będziemy opierać się na następujących wzorach:

Ze wzorów na sinus i cosinus sum, wiedząc, że funkcja cosinus jest parzysta, a sinus jest nieparzysta, zastępując -b za b, otrzymujemy wzory na różnice:

1. Sinus różnicy: grzech(a-b) = grzechasałata(-b)+sałataagrzech(-b) = grzechasałatab-sałataagrzechb
2. różnica cosinusa: sałata(a-b) = sałataasałata(-b)-grzechagrzech(-b) = sałataasałatab+grzechagrzechb

Umieszczając a \u003d b w tych samych wzorach, otrzymujemy wzory na sinus i cosinus podwójnych kątów:

1. Zatoka podwójny kąt : grzech2a = grzech(a+a) = grzechasałataa+sałataagrzecha = 2grzechasałataa
2. Cosinus podwójnego kąta: sałata2a = sałata(a+a) = sałataasałataa-grzechagrzecha = sałata2a-grzech2a

Podobnie otrzymuje się wzory dla innych kątów wielokrotnych:

1. Sinus potrójnego kąta: grzech3a = grzech(2a+a) = grzech2asałataa+sałata2agrzecha = (2grzechasałataa)sałataa+(sałata2a-grzech2a)grzecha = 2grzechasałata2a+grzechasałata2a-grzech 3a = 3 grzechasałata2a-grzech 3a = 3 grzecha(1-grzech2a)-grzech 3a = 3 grzecha-4grzech 3a
2. Cosinus potrójnego kąta: sałata3a = sałata(2a+a) = sałata2asałataa-grzech2agrzecha = (sałata2a-grzech2a)sałataa-(2grzechasałataa)grzecha = sałata 3a- grzech2asałataa-2grzech2asałataa = sałata 3a-3 grzech2asałataa = sałata 3 a-3(1- sałata2a)sałataa = 4sałata 3a-3 sałataa

Zanim przejdziemy dalej, rozważmy jeden problem.
Biorąc pod uwagę: kąt jest ostry.
Znajdź jego cosinus, jeśli
Rozwiązanie podane przez jednego ucznia:
Dlatego , następnie grzecha= 3,a sałataa = 4.
(Z humoru matematycznego)

Tak więc definicja tangensa łączy tę funkcję zarówno z sinusem, jak i cosinusem. Ale możesz otrzymać wzór, który daje połączenie stycznej tylko z cosinusem. Aby to wyprowadzić, bierzemy podstawową tożsamość trygonometryczną: grzech 2 a+sałata 2 a= 1 i podziel przez sałata 2 a. Otrzymujemy:

Rozwiązaniem tego problemu byłoby więc:

(Ponieważ kąt jest ostry, znak + jest przyjmowany podczas wyciągania korzenia)

Wzór na tangens sumy to kolejna trudna do zapamiętania formuła. Wypiszmy to tak:

natychmiast wyjście i

Ze wzoru cosinusa dla kąta podwójnego można uzyskać wzory sinusa i cosinusa dla kąta połówkowego. Aby to zrobić, po lewej stronie wzoru cosinusa podwójnego kąta:
sałata2 a = sałata 2 a-grzech 2 a
dodajemy jednostkę, a po prawej - jednostkę trygonometryczną, tj. suma kwadratów sinusa i cosinusa.
sałata2a+1 = sałata2a-grzech2a+sałata2a+grzech2a
2sałata 2 a = sałata2 a+1
wyrażający sałataa poprzez sałata2 a i dokonując zmiany zmiennych otrzymujemy:

Znak jest przyjmowany w zależności od kwadrantu.

Podobnie, odejmując jeden z lewej strony równości i sumę kwadratów sinusa i cosinusa z prawej strony, otrzymujemy:
sałata2a-1 = sałata2a-grzech2a-sałata2a-grzech2a
2grzech 2 a = 1-sałata2 a

I wreszcie, aby przekonwertować sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn, stosujemy następującą sztuczkę. Załóżmy, że musimy przedstawić sumę sinusów jako iloczyn grzecha+grzechb. Wprowadźmy zmienne x i y takie, że a = x+y, b+x-y. Następnie
grzecha+grzechb = grzech(x+y)+ grzech(x-y) = grzech x sałata tak+ sałata x grzech tak+ grzech x sałata y- sałata x grzech y=2 grzech x sałata tak. Wyraźmy teraz x i y w postaci aib.

Ponieważ a = x+y, b = x-y, to . Dlatego

Możesz wypłacić natychmiast

1. Formuła partycji produkty sinusa i cosinusa w ilość: grzechasałatab = 0.5(grzech(a+b)+grzech(a-b))

Zalecamy przećwiczenie i wyprowadzenie wzorów do przeliczania iloczynu różnicy sinusów oraz sumy i różnicy cosinusów na iloczyn, a także dzielenia iloczynów sinusów i cosinusów na sumę. Po wykonaniu tych ćwiczeń dokładnie opanujesz umiejętność wyprowadzania wzorów trygonometrycznych i nie zgubisz się nawet w najtrudniejszej kontroli, olimpiadzie czy testach.