Redukcja ułamków do najmniejszego wspólnego mianownika, reguła, przykłady, rozwiązania

27.09.2019

Przeczytaj także

Karta urodzenia - As karo

Bombardowanie interpretacji snów, po co marzyć o bombardowaniu we śnie, aby zobaczyć

Wróżby online za darmo

Interpretujemy sny o rzece i wszystko co z nią związane

Co oznacza wróżenie we śnie?

Mnożenie „na krzyż”

Metoda wspólnego dzielnika

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Aby zobaczyć, ile wygranej daje najmniej popularna metoda wielokrotna, spróbuj obliczyć te same przykłady za pomocą metody krzyżowej.

Wspólny mianownik ułamków

Oczywiście bez kalkulatora. Myślę, że po tym komentarze będą zbędne.

Zobacz też:

Początkowo chciałem uwzględnić metody wspólnego mianownika w akapicie „Dodawanie i odejmowanie ułamków”. Ale okazało się, że informacji jest tak dużo, a ich waga jest tak wielka (w końcu nie tylko ułamki numeryczne), że lepiej zbadać tę kwestię osobno.

Powiedzmy, że mamy dwa ułamki z różne mianowniki. I chcemy mieć pewność, że mianowniki będą takie same. Na ratunek przychodzi główna właściwość ułamka, która, przypominam, brzmi tak:

Ułamek nie zmienia się, jeśli jego licznik i mianownik pomnoży się przez tę samą liczbę niezerową.

Tak więc, jeśli poprawnie dobierzesz współczynniki, mianowniki ułamków będą sobie równe - ten proces się nazywa. A żądane liczby, „wyrównujące” mianowniki, są nazywane.

Dlaczego musisz łączyć ułamki ze wspólnym mianownikiem? Oto tylko kilka powodów:

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu na wykonanie tej operacji;
Porównanie frakcji. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
Rozwiązywanie problemów dotyczących udziałów i procentów. Procenty są w rzeczywistości zwykłymi wyrażeniami, które zawierają ułamki.

Istnieje wiele sposobów na znalezienie liczb, które po pomnożeniu zrównują mianowniki. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, wydajności.

Mnożenie „na krzyż”

Najprostszy i niezawodny sposób, co gwarantuje wyrównanie mianowników. Będziemy działać „do przodu”: pomnożymy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe iloczynowi pierwotnych mianowników. Spójrz:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób ubezpieczysz się od wielu błędów i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyny minus Ta metoda- trzeba dużo liczyć, bo mianowniki mnoży się „na wskroś”, a wynikiem mogą być bardzo duże liczby. To cena niezawodności.

Metoda wspólnego dzielnika

Ta technika pozwala znacznie zredukować obliczenia, ale niestety jest rzadko stosowana. Metoda jest następująca:

Spójrz na mianowniki, zanim przejdziesz „przez” (tj. „na krzyż”). Być może jeden z nich (ten, który jest większy) jest podzielny przez drugi.
Liczba wynikająca z takiego podziału będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
Jednocześnie ułamek o dużym mianowniku wcale nie musi być mnożony przez nic - to są oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 84:21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest podzielny przez drugi bez reszty, stosujemy metodę dzielników wspólnych. Mamy:

Zauważ, że druga część nie została w ogóle pomnożona przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Nawiasem mówiąc, nie bez powodu wziąłem ułamki w tym przykładzie. Jeśli jesteś zainteresowany, spróbuj policzyć je metodą krzyżową. Po redukcji odpowiedzi będą takie same, ale pracy będzie znacznie więcej.

To jest siła tej metody. wspólne dzielniki, ale powtarzam, można go użyć tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Najmniej powszechna metoda wielokrotna

Kiedy redukujemy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo próbujemy znaleźć liczbę podzielną przez każdy z mianowników. Następnie do tej liczby doprowadzamy mianowniki obu ułamków.

Takich liczb jest bardzo dużo, a najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa bezpośredniemu iloczynowi mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta liczba jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 12 = 96.

Najmniejsza liczba, który jest podzielony przez każdy z mianowników, nazywa się je (LCM).

Notacja: najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b jest oznaczona przez LCM(a; b). Na przykład LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Jak znaleźć najniższy wspólny mianownik

Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników poza 1), a dzielnik 117 jest wspólny. Zatem LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest powszechny. Zatem LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnych mianowników:

Zwróć uwagę, jak przydatne okazała się faktoryzacja pierwotnych mianowników:

Po znalezieniu tych samych czynników od razu doszliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest nietrywialnym problemem;
Z wynikowego rozszerzenia możesz dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” dla każdej z frakcji. Na przykład 234 3 \u003d 702, dlatego dla pierwszej frakcji dodatkowy czynnik wynosi 3.

Nie myśl, że te ułamki złożone w prawdziwych przykładach nie będzie. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

Jedynym problemem jest to, jak znaleźć ten NOC. Czasami wszystko można znaleźć w ciągu kilku sekund, dosłownie „na oko”, ale generalnie jest to złożony problem obliczeniowy, który wymaga osobnego rozważenia. Tutaj nie poruszymy tego.

Zobacz też:

Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Początkowo chciałem uwzględnić metody wspólnego mianownika w akapicie „Dodawanie i odejmowanie ułamków”. Ale informacji było tak dużo, a ich znaczenie jest tak duże (w końcu nie tylko ułamki liczbowe mają wspólne mianowniki), że lepiej zbadać tę kwestię osobno.

Powiedzmy, że mamy dwa ułamki o różnych mianownikach. I chcemy mieć pewność, że mianowniki będą takie same. Na ratunek przychodzi główna właściwość ułamka, która, przypominam, brzmi tak:

Ułamek nie zmienia się, jeśli jego licznik i mianownik pomnoży się przez tę samą liczbę niezerową.

Tak więc, jeśli poprawnie dobierzesz współczynniki, mianowniki ułamków będą sobie równe - ten proces się nazywa. A żądane liczby, „wyrównujące” mianowniki, są nazywane.

Dlaczego musisz łączyć ułamki ze wspólnym mianownikiem?

Wspólny mianownik, pojęcie i definicja.

Oto tylko kilka powodów:

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu na wykonanie tej operacji;
Porównanie frakcji. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
Rozwiązywanie problemów dotyczących udziałów i procentów. Procenty to w rzeczywistości zwykłe wyrażenia zawierające ułamki.

Istnieje wiele sposobów na znalezienie liczb, które po pomnożeniu zrównują mianowniki. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, wydajności.

Mnożenie „na krzyż”

Najprostszy i najbardziej niezawodny sposób, który gwarantuje wyrównanie mianowników. Będziemy działać „do przodu”: pomnożymy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka, a drugi przez mianownik pierwszego. W rezultacie mianowniki obu ułamków staną się równe iloczynowi pierwotnych mianowników. Spójrz:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób ubezpieczysz się od wielu błędów i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, bo mianowniki mnoży się „do przodu”, a w efekcie można uzyskać bardzo duże liczby. To cena niezawodności.

Metoda wspólnego dzielnika

Ta technika pozwala znacznie zredukować obliczenia, ale niestety jest rzadko stosowana. Metoda jest następująca:

Spójrz na mianowniki, zanim przejdziesz „przez” (tj. „na krzyż”). Być może jeden z nich (ten, który jest większy) jest podzielny przez drugi.
Liczba wynikająca z takiego podziału będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
Jednocześnie ułamek o dużym mianowniku wcale nie musi być mnożony przez nic - to są oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 84:21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest podzielny przez drugi bez reszty, stosujemy metodę dzielników wspólnych. Mamy:

Zauważ, że druga część nie została w ogóle pomnożona przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Na tym polega siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można ją zastosować tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Najmniej powszechna metoda wielokrotna

Kiedy redukujemy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo próbujemy znaleźć liczbę podzielną przez każdy z mianowników. Następnie do tej liczby doprowadzamy mianowniki obu ułamków.

Takich liczb jest bardzo dużo, a najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa bezpośredniemu iloczynowi mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta liczba jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 12 = 96.

Najmniejsza liczba podzielna przez każdy z mianowników nazywana jest ich (LCM).

Notacja: najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b jest oznaczona przez LCM(a; b). Na przykład LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników poza 1), a dzielnik 117 jest wspólny. Zatem LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest powszechny. Zatem LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnych mianowników:

Zwróć uwagę, jak przydatne okazała się faktoryzacja pierwotnych mianowników:

Po znalezieniu tych samych czynników od razu doszliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest nietrywialnym problemem;
Z wynikowego rozszerzenia możesz dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” dla każdej z frakcji. Na przykład 234 3 \u003d 702, dlatego dla pierwszej frakcji dodatkowy czynnik wynosi 3.

Aby zobaczyć, ile wygranej daje najmniej popularna metoda wielokrotna, spróbuj obliczyć te same przykłady za pomocą metody krzyżowej. Oczywiście bez kalkulatora. Myślę, że po tym komentarze będą zbędne.

Nie myśl, że tak złożonych ułamków nie będzie w prawdziwych przykładach. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

Zobacz też:

Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamek nie zmienia się, jeśli jego licznik i mianownik pomnoży się przez tę samą liczbę niezerową.

Tak więc, jeśli poprawnie dobierzesz współczynniki, mianowniki ułamków będą sobie równe - ten proces się nazywa. A żądane liczby, „wyrównujące” mianowniki, są nazywane.

Dlaczego musisz łączyć ułamki ze wspólnym mianownikiem? Oto tylko kilka powodów:

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu na wykonanie tej operacji;
Porównanie frakcji. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
Rozwiązywanie problemów dotyczących udziałów i procentów. Procenty to w rzeczywistości zwykłe wyrażenia zawierające ułamki.

Istnieje wiele sposobów na znalezienie liczb, które po pomnożeniu zrównują mianowniki. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, wydajności.

Mnożenie „na krzyż”

Spójrz:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób ubezpieczysz się od wielu błędów i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, bo mianowniki mnoży się „do przodu”, a w efekcie można uzyskać bardzo duże liczby. To cena niezawodności.

Metoda wspólnego dzielnika

Ta technika pozwala znacznie zredukować obliczenia, ale niestety jest rzadko stosowana. Metoda jest następująca:

Spójrz na mianowniki, zanim przejdziesz „przez” (tj. „na krzyż”). Być może jeden z nich (ten, który jest większy) jest podzielny przez drugi.
Liczba wynikająca z takiego podziału będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
Jednocześnie ułamek o dużym mianowniku wcale nie musi być mnożony przez nic - to są oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 84:21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest podzielny przez drugi bez reszty, stosujemy metodę dzielników wspólnych. Mamy:

Zauważ, że druga część nie została w ogóle pomnożona przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Na tym polega siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można ją zastosować tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Najmniej powszechna metoda wielokrotna

Kiedy redukujemy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo próbujemy znaleźć liczbę podzielną przez każdy z mianowników. Następnie do tej liczby doprowadzamy mianowniki obu ułamków.

Takich liczb jest bardzo dużo, a najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa bezpośredniemu iloczynowi mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta liczba jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 12 = 96.

Najmniejsza liczba podzielna przez każdy z mianowników nazywana jest ich (LCM).

Notacja: najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b jest oznaczona przez LCM(a; b). Na przykład LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników poza 1), a dzielnik 117 jest wspólny. Zatem LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest powszechny. Zatem LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnych mianowników:

Zwróć uwagę, jak przydatne okazała się faktoryzacja pierwotnych mianowników:

Po znalezieniu tych samych czynników od razu doszliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest nietrywialnym problemem;
Z wynikowego rozszerzenia możesz dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” dla każdej z frakcji. Na przykład 234 3 \u003d 702, dlatego dla pierwszej frakcji dodatkowy czynnik wynosi 3.

Nie myśl, że tak złożonych ułamków nie będzie w prawdziwych przykładach. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

Zobacz też:

Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamek nie zmienia się, jeśli jego licznik i mianownik pomnoży się przez tę samą liczbę niezerową.

Tak więc, jeśli poprawnie dobierzesz współczynniki, mianowniki ułamków będą sobie równe - ten proces się nazywa. A żądane liczby, „wyrównujące” mianowniki, są nazywane.

Dlaczego musisz łączyć ułamki ze wspólnym mianownikiem? Oto tylko kilka powodów:

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu na wykonanie tej operacji;
Porównanie frakcji. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
Rozwiązywanie problemów dotyczących udziałów i procentów. Procenty to w rzeczywistości zwykłe wyrażenia zawierające ułamki.

Istnieje wiele sposobów na znalezienie liczb, które po pomnożeniu zrównują mianowniki. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, wydajności.

Mnożenie „na krzyż”

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób ubezpieczysz się od wielu błędów i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, bo mianowniki mnoży się „do przodu”, a w efekcie można uzyskać bardzo duże liczby.

Doprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

To cena niezawodności.

Metoda wspólnego dzielnika

Ta technika pozwala znacznie zredukować obliczenia, ale niestety jest rzadko stosowana. Metoda jest następująca:

Spójrz na mianowniki, zanim przejdziesz „przez” (tj. „na krzyż”). Być może jeden z nich (ten, który jest większy) jest podzielny przez drugi.
Liczba wynikająca z takiego podziału będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
Jednocześnie ułamek o dużym mianowniku wcale nie musi być mnożony przez nic - to są oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 84:21 = 4; 72: 12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest podzielny przez drugi bez reszty, stosujemy metodę dzielników wspólnych. Mamy:

Zauważ, że druga część nie została w ogóle pomnożona przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Na tym polega siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można ją zastosować tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Najmniej powszechna metoda wielokrotna

Kiedy redukujemy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo próbujemy znaleźć liczbę podzielną przez każdy z mianowników. Następnie do tej liczby doprowadzamy mianowniki obu ułamków.

Takich liczb jest bardzo dużo, a najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa bezpośredniemu iloczynowi mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Ta liczba jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 12 = 96.

Najmniejsza liczba podzielna przez każdy z mianowników nazywana jest ich (LCM).

Notacja: najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a i b jest oznaczona przez LCM(a; b). Na przykład LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3. Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników poza 1), a dzielnik 117 jest wspólny. Zatem LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 4. Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest powszechny. Zatem LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnych mianowników:

Zwróć uwagę, jak przydatne okazała się faktoryzacja pierwotnych mianowników:

Po znalezieniu tych samych czynników od razu doszliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest nietrywialnym problemem;
Z wynikowego rozszerzenia możesz dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” dla każdej z frakcji. Na przykład 234 3 \u003d 702, dlatego dla pierwszej frakcji dodatkowy czynnik wynosi 3.

Nie myśl, że tak złożonych ułamków nie będzie w prawdziwych przykładach. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

Ta metoda ma sens, jeśli stopień wielomianu nie jest mniejszy niż drugi. W tym przypadku czynnik wspólny może być nie tylko dwumianem pierwszego stopnia, ale również stopni wyższych.

Aby znaleźć wspólne czynnik pod względem wielomianu konieczne jest wykonanie szeregu przekształceń. Najprostszym dwumianem lub jednomianem, który można umieścić w nawiasach, będzie jeden z pierwiastków wielomianu. Oczywiście w przypadku, gdy wielomian nie ma wyrazu wolnego, będzie niewiadomą pierwszego stopnia - wielomianem równym 0.

Trudniej znaleźć wspólny czynnik, gdy wyraz wolny nie jest równy zero. Wtedy stosuje się proste metody selekcji lub grupowania. Na przykład niech wszystkie pierwiastki wielomianu będą wymierne, podczas gdy wszystkie współczynniki wielomianu będą liczbami całkowitymi: y^4 + 3 y³ - y² - 9 y - 18.

Zapisz wszystkie dzielniki całkowitoliczbowe wyrazu wolnego. Jeśli wielomian ma racjonalne pierwiastki, to są wśród nich. W wyniku selekcji otrzymuje się korzenie 2 i -3. Stąd wspólnymi czynnikami tego wielomianu będą dwumiany (y - 2) i (y + 3).

Jedną z części składowych faktoryzacji jest metoda wyciągania wspólnego czynnika. Opisana powyżej metoda ma zastosowanie, jeśli współczynnik w najwyższym stopniu wynosi 1. Jeśli tak nie jest, należy najpierw wykonać szereg przekształceń. Na przykład: 2lat + 19 lat² + 41 lat + 15.

Dokonaj zmiany postaci t = 2³ y³. Aby to zrobić, pomnóż wszystkie współczynniki wielomianu przez 4:2³ y³ + 19 2² y² + 82 2 y + 60. Po zamianie: t³ + 19 t² + 82 t + 60. Teraz, aby znaleźć dzielnik wspólny, zastosuj powyższa metoda.

Oprócz, skuteczna metoda poszukiwanie wspólnego czynnika to elementy wielomianu. Jest to szczególnie przydatne, gdy pierwsza metoda nie jest, tj. Wielomian nie ma racjonalnych pierwiastków. Jednak zgrupowania nie zawsze są oczywiste. Na przykład: Wielomian y^4 + 4 y³ - y² - 8 y - 2 nie ma pierwiastków całkowitych.

Użyj grupowania: y^4 + 4 y³ - y² - 8 y - 2 = y^4 + 4 y³ - 2 y² + y² - 8 y - 2 = (y^4 - 2 y²) + ( 4 y³ - 8 y) + y² - 2 \u003d (y² - 2) * (y² + 4 y + 1) Wspólnym dzielnikiem elementów tego wielomianu jest (y² - 2).

Mnożenie i dzielenie, podobnie jak dodawanie i odejmowanie, to podstawowe operacje arytmetyczne. Bez nauki rozwiązywania przykładów mnożenia i dzielenia osoba napotka wiele trudności nie tylko podczas studiowania bardziej złożonych działów matematyki, ale nawet w najzwyklejszych codziennych sprawach. Mnożenie i dzielenie są ze sobą ściśle powiązane, a nieznane elementy przykładów i problemów dla jednego z tych działań są obliczane za pomocą innego działania. Jednocześnie konieczne jest jasne zrozumienie, że przy rozwiązywaniu przykładów nie ma znaczenia, jakie obiekty dzielisz lub mnożysz.

Będziesz potrzebować

- tabliczka mnożenia;
- kalkulator lub kartka papieru i ołówek.

Instrukcja

Zapisz żądany przykład. Wyznacz nieznane czynnik jako X. Przykład może wyglądać tak: a*x=b. Zamiast mnożnika a i iloczynu b w przykładzie może być dowolna lub liczby. Pamiętaj o podstawowym mnożeniu: produkt nie zmienia się od zmiany miejsc czynników. Tak nieznany czynnik x można umieścić w dowolnym miejscu.

Aby znaleźć nieznane czynnik w przykładzie, w którym występują tylko dwa czynniki, wystarczy podzielić iloczyn przez znane czynnik. Czyli odbywa się to w następujący sposób: x=b/a. Jeśli trudno jest operować wielkościami abstrakcyjnymi, spróbuj przedstawić ten problem w postaci konkretnych obiektów. Ty masz tylko jabłka i ile je zje, ale nie wiesz, ile jabłek każdy dostanie. Na przykład masz 5 członków rodziny, a jabłka okazały się mieć 15. Liczbę jabłek przeznaczonych dla każdego oznaczmy jako x. Wtedy równanie będzie wyglądało tak: 5(jabłka)*x=15(jabłka). Nieznany czynnik znajduje się tak samo jak w równaniu z literami, czyli podziel 15 jabłek na pięciu członków rodziny, w końcu okazuje się, że każdy z nich zjadł 3 jabłka.

Nieznane znajduje się w ten sam sposób. czynnik z liczbą czynników. Na przykład przykład wygląda jak a*b*c*x*=d. Teoretycznie znajdź czynnik jest to możliwe i tak samo jak w bardziej postowym przykładzie: x=d/a*b*c. Ale można zredukować równanie do więcej na widoku, oznaczający iloczyn znanych czynników inną literą - na przykład m. Znajdź, co jest równe m, mnożąc liczby a,b oraz c: m=a*b*c. Wtedy cały przykład można przedstawić jako m*x=d, a nieznana wartość będzie równa x=d/m.

Jeśli jest znany czynnik a iloczynem są ułamki, przykład rozwiązuje się w taki sam sposób jak z . Ale w tym przypadku konieczne jest zapamiętanie działań. Podczas mnożenia ułamków mnoży się liczniki i mianowniki. Podczas dzielenia ułamków licznik dzielnej jest mnożony przez mianownik dzielnika, a mianownik dzielnej mnożony jest przez licznik dzielnika. Oznacza to, że w tym przypadku przykład będzie wyglądał tak: a/b*x=c/d. Aby znaleźć nieznaną wartość, musisz podzielić iloczyn przez znaną czynnik. Czyli x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Powiązane wideo

Uwaga

Rozwiązując przykłady z ułamkami, ułamek znanego czynnika można po prostu odwrócić, a czynność można wykonać jako mnożenie ułamków.

Wielomian to suma jednomianów. Jednomian jest iloczynem kilku czynników, którymi są liczba lub litera. Stopień nieznana jest sama liczba jego zwielokrotnień.

Instrukcja

Proszę podać, jeśli nie zostało to jeszcze zrobione. Jednomiany podobne są jednomianami tego samego typu, to znaczy jednomianami o tej samej niewiadomej w tym samym stopniu.

Weźmy na przykład wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ten wielomian ma dwie niewiadome - xiy.

Połącz podobne jednomiany. Jednomiany z drugą potęgą y i trzecią potęgą x staną się y²*x³, a jednomiany z czwartą potęgą y zniosą się. Otrzymujesz y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Weź za główną nieznaną literę y. Znajdź maksymalną moc dla nieznanego y. Jest to jednomian y²*x³ i odpowiednio potęga 2.

Wyciągnij wniosek. Stopień wielomian 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² to trzy w x i dwa w y.

Znajdź stopień wielomian√x+5*y w y. Jest równy maksymalnemu stopniowi y, czyli jeden.

Znajdź stopień wielomian√x+5*y w x. Znaleziono nieznane x, więc jego stopień będzie ułamkiem. Ponieważ pierwiastek jest kwadratowy, potęga x wynosi 1/2.

Wyciągnij wniosek. Do wielomian√x+5*y stopień w x wynosi 1/2, a stopień w y wynosi 1.

Powiązane wideo

Uproszczenie wyrażenia algebraiczne wymagane w wielu dziedzinach matematyki, w tym w rozwiązywaniu równań wyższe stopnie, różnicowanie i integracja. Wykorzystuje to kilka metod, w tym faktoryzację. Aby zastosować tę metodę, musisz znaleźć i wyjąć wspólny czynnik za zdanie wtrącone.

Aby rozwiązywać przykłady z ułamkami, musisz umieć znaleźć najmniejsze wspólny mianownik. Poniżej znajduje się szczegółowa instrukcja.

Jak znaleźć najniższy wspólny mianownik – pojęcie

Najmniejszy wspólny mianownik (LCD) w prostych słowach jest minimalną liczbą podzielną przez mianowniki wszystkich ułamków w tym przykładzie. Innymi słowy, nazywa się to najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM). NOZ stosuje się tylko wtedy, gdy mianowniki ułamków są różne.

Jak znaleźć najniższy wspólny mianownik – przykłady

Rozważmy przykłady znajdowania NOZ.

Oblicz: 3/5 + 2/15.

Rozwiązanie (kolejność działań):

Przyglądamy się mianownikom ułamków, upewniamy się, że są różne, a wyrażenia maksymalnie zredukowane.
Znajdujemy najmniejszą liczbę podzielną przez 5 i 15. Ta liczba będzie wynosić 15. Zatem 3/5 + 2/15 = ?/15.
Ustaliliśmy mianownik. Co będzie w liczniku? Dodatkowy mnożnik pomoże nam to rozgryźć. Dodatkowym czynnikiem jest liczba uzyskana przez podzielenie NOZ przez mianownik danego ułamka. Dla 3/5 dodatkowy współczynnik wynosi 3, ponieważ 15/5 = 3. Dla drugiej frakcji dodatkowy współczynnik wynosi 1, ponieważ 15/15 = 1.
Po ustaleniu dodatkowego współczynnika mnożymy go przez liczniki ułamków i dodajemy otrzymane wartości. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Odpowiedź: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Jeśli w przykładzie nie 2, ale 3 lub więcej ułamków są dodawane lub odejmowane, to NOZ musi być przeszukiwane dla tylu ułamków, ile podano.

Oblicz: 1/2 - 5/12 + 3/6

Rozwiązanie (sekwencja działań):

Znalezienie najniższego wspólnego mianownika. Minimalna liczba podzielna przez 2, 12 i 6 to 12.
Otrzymujemy: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
Poszukujemy dodatkowych mnożników. Dla 1/2 - 6; dla 5/12 - 1; dla 3/6 - 2.
Mnożymy przez liczniki i przypisujemy odpowiednie znaki: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.

Odpowiedź: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.

Ułamek nie zmienia się, jeśli jego licznik i mianownik pomnoży się przez tę samą liczbę niezerową.

Tak więc, jeśli poprawnie dobierzesz współczynniki, mianowniki ułamków będą sobie równe - proces ten nazywamy redukcją do wspólnego mianownika. A pożądane liczby, „wyrównujące” mianowniki, nazywane są dodatkowymi czynnikami.

Dlaczego musisz łączyć ułamki ze wspólnym mianownikiem? Oto tylko kilka powodów:

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach. Nie ma innego sposobu na wykonanie tej operacji;
Porównanie frakcji. Czasami sprowadzenie do wspólnego mianownika znacznie upraszcza to zadanie;
Rozwiązywanie problemów dotyczących udziałów i procentów. Procenty to w rzeczywistości zwykłe wyrażenia zawierające ułamki.

Istnieje wiele sposobów na znalezienie liczb, które po pomnożeniu zrównują mianowniki. Rozważymy tylko trzy z nich - w kolejności rosnącej złożoności i, w pewnym sensie, wydajności.

Mnożenie „na krzyż”

Jako dodatkowe czynniki rozważ mianowniki sąsiednich ułamków. Otrzymujemy:

Tak, to takie proste. Jeśli dopiero zaczynasz uczyć się ułamków, lepiej pracować tą metodą - w ten sposób ubezpieczysz się od wielu błędów i masz gwarancję uzyskania wyniku.

Jedyną wadą tej metody jest to, że trzeba dużo liczyć, bo mianowniki mnoży się „do przodu”, a w efekcie można uzyskać bardzo duże liczby. To cena niezawodności.

Metoda wspólnego dzielnika

Ta technika pozwala znacznie zredukować obliczenia, ale niestety jest rzadko stosowana. Metoda jest następująca:

Spójrz na mianowniki, zanim przejdziesz „przez” (tj. „na krzyż”). Być może jeden z nich (ten, który jest większy) jest podzielny przez drugi.
Liczba wynikająca z takiego podziału będzie dodatkowym czynnikiem dla ułamka o mniejszym mianowniku.
Jednocześnie ułamek o dużym mianowniku wcale nie musi być mnożony przez nic - to są oszczędności. Jednocześnie znacznie zmniejsza się prawdopodobieństwo błędu.

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 84:21 = 4; 72:12 = 6. Ponieważ w obu przypadkach jeden mianownik jest podzielny bez reszty przez drugi, stosujemy metodę dzielników wspólnych. Mamy:

Zauważ, że druga część nie została w ogóle pomnożona przez nic. W rzeczywistości zmniejszyliśmy ilość obliczeń o połowę!

Na tym polega siła metody wspólnych dzielników, ale znowu można ją zastosować tylko wtedy, gdy jeden z mianowników jest dzielony przez drugi bez reszty. Co zdarza się dość rzadko.

Najmniej powszechna metoda wielokrotna

Kiedy redukujemy ułamki do wspólnego mianownika, zasadniczo próbujemy znaleźć liczbę podzielną przez każdy z mianowników. Następnie do tej liczby doprowadzamy mianowniki obu ułamków.

Takich liczb jest bardzo dużo, a najmniejsza z nich niekoniecznie będzie równa bezpośredniemu iloczynowi mianowników pierwotnych ułamków, jak zakłada się w metodzie „na krzyż”.

Na przykład dla mianowników 8 i 12 liczba 24 jest całkiem odpowiednia, ponieważ 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Ta liczba jest znacznie mniejsza niż iloczyn 8 12 = 96 .

Najmniejsza liczba podzielna przez każdy z mianowników nazywana jest ich najmniejszą wspólną wielokrotnością (LCM).

Notacja: najmniejsza wspólna wielokrotność aib jest oznaczona przez LCM(a ; b ). Na przykład LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24.

Jeśli uda Ci się znaleźć taką liczbę, łączna ilość obliczeń będzie minimalna. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażenia:

Zauważ, że 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Czynniki 2 i 3 są względnie pierwsze (nie mają wspólnych dzielników poza 1), a czynnik 117 jest wspólny. Zatem LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

Podobnie 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Czynniki 3 i 4 są względnie pierwsze, a czynnik 5 jest powszechny. Zatem LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

Teraz sprowadźmy ułamki do wspólnych mianowników:

Zwróć uwagę, jak przydatne okazała się faktoryzacja pierwotnych mianowników:

Po znalezieniu tych samych czynników od razu doszliśmy do najmniejszej wspólnej wielokrotności, co, ogólnie rzecz biorąc, jest nietrywialnym problemem;
Z wynikowego rozszerzenia możesz dowiedzieć się, jakich czynników „brakuje” dla każdej z frakcji. Na przykład 234 3 \u003d 702, dlatego dla pierwszej frakcji dodatkowy czynnik wynosi 3.

Nie myśl, że tak złożonych ułamków nie będzie w prawdziwych przykładach. Spotykają się cały czas, a powyższe zadania nie są limitem!

W tej lekcji przyjrzymy się sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika i rozwiązywaniu problemów na ten temat. Zdefiniujmy pojęcie wspólnego mianownika i dodatkowego czynnika, przypomnijmy wzajemny liczby pierwsze. Zdefiniujmy pojęcie najmniejszego wspólnego mianownika (LCD) i rozwiążmy szereg problemów, aby go znaleźć.

Temat: Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Lekcja: Redukcja ułamków do wspólnego mianownika

Powtórzenie. Podstawowa własność ułamka.

Jeśli licznik i mianownik ułamka są mnożone lub dzielone przez to samo Liczba naturalna, otrzymasz ułamek równy temu.

Na przykład licznik i mianownik ułamka można podzielić przez 2. Otrzymujemy ułamek. Ta operacja nazywa się redukcją frakcji. Możesz również wykonać odwrotną transformację, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez 2. W tym przypadku mówimy, że zmniejszyliśmy ułamek do nowego mianownika. Liczba 2 nazywana jest dodatkowym czynnikiem.

Wniosek. Ułamek można sprowadzić do dowolnego mianownika, który jest wielokrotnością mianownika danego ułamka. Aby wprowadzić ułamek do nowego mianownika, jego licznik i mianownik mnoży się przez dodatkowy czynnik.

1. Wprowadź ułamek do mianownika 35.

Liczba 35 jest wielokrotnością 7, co oznacza, że 35 jest podzielne przez 7 bez reszty. Więc ta transformacja jest możliwa. Znajdźmy dodatkowy czynnik. Aby to zrobić, dzielimy 35 przez 7. Otrzymujemy 5. Mnożymy licznik i mianownik oryginalnego ułamka przez 5.

2. Przenieś ułamek do mianownika 18.

Znajdźmy dodatkowy czynnik. W tym celu dzielimy nowy mianownik przez pierwotny. Otrzymujemy 3. Mnożymy licznik i mianownik tego ułamka przez 3.

3. Doprowadź ułamek do mianownika 60.

Dzieląc 60 przez 15, otrzymujemy dodatkowy mnożnik. Jest równy 4. Pomnóżmy licznik i mianownik przez 4.

4. Doprowadź ułamek do mianownika 24

W prostych przypadkach w umyśle dokonuje się redukcji do nowego mianownika. Zwyczajowo wskazuje się tylko dodatkowy czynnik za nawiasem nieco z prawej strony i powyżej oryginalnego ułamka.

Ułamek można zredukować do mianownika 15, a ułamek do mianownika 15. Ułamki mają wspólny mianownik 15.

Wspólnym mianownikiem ułamków może być dowolna wspólna wielokrotność ich mianowników. Dla uproszczenia ułamki są redukowane do najniższego wspólnego mianownika. Jest równa najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników danych ułamków.

Przykład. Zmniejsz do najmniejszego wspólnego mianownika ułamka i .

Najpierw znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków. Ta liczba to 12. Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego i drugiego ułamka. Aby to zrobić, dzielimy 12 przez 4 i przez 6. Trzy to dodatkowy czynnik dla pierwszej frakcji, a dwa dla drugiej. Wprowadzamy ułamki do mianownika 12.

Zredukowaliśmy ułamki do wspólnego mianownika, to znaczy znaleźliśmy ułamki równe im, które mają ten sam mianownik.

Reguła. Aby sprowadzić ułamki do najniższego wspólnego mianownika,

Najpierw znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych ułamków, która będzie ich najmniejszym wspólnym mianownikiem;

Po drugie, podziel najmniejszy wspólny mianownik przez mianowniki tych ułamków, czyli znajdź dodatkowy czynnik dla każdego ułamka.

Po trzecie, pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.

a) Zmniejsz ułamki i do wspólnego mianownika.

Najniższy wspólny mianownik to 12. Dodatkowy współczynnik dla pierwszej frakcji to 4, dla drugiej - 3. Wprowadzamy ułamki do mianownika 24.

b) Zmniejsz ułamki i do wspólnego mianownika.

Najniższy wspólny mianownik to 45. Dzieląc 45 przez 9 przez 15, otrzymujemy odpowiednio 5 i 3. Dodajemy ułamki do mianownika 45.

c) Zmniejsz ułamki i do wspólnego mianownika.

Wspólnym mianownikiem jest 24. Dodatkowe czynniki to odpowiednio 2 i 3.

Czasami trudno jest werbalnie znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników danych ułamków. Następnie można znaleźć wspólny mianownik i dodatkowe czynniki, rozwijając do: czynniki pierwsze.

Zmniejsz do wspólnego mianownika ułamka i .

Rozłóżmy liczby 60 i 168 na czynniki pierwsze. Wypiszmy rozwinięcie liczby 60 i dodajmy brakujące czynniki 2 i 7 z drugiego rozwinięcia. Pomnóż 60 przez 14 i uzyskaj wspólny mianownik 840. Dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka to 14. Dodatkowy czynnik dla drugiego ułamka to 5. Zmniejszmy ułamki do wspólnego mianownika 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S. i inne Matematyka 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka 6 klasa. - Gimnazjum, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - Oświecenie, 1989.

4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania na zajęcia z matematyki klasy 5-6. - MEPhI ZSH, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Chaikovsky K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów VI klasy szkoły korespondencyjnej MEPhI. - MEPhI ZSH, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. itp. Matematyka: podręcznik dla rozmówców dla klas 5-6 Liceum. Biblioteka nauczyciela matematyki. - Oświecenie, 1989.

Książki wymienione w punkcie 1.2 można pobrać. ta lekcja.

Zadanie domowe

Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S. i inne Matematyka 6. - M .: Mnemozina, 2012. (patrz link 1.2)

Praca domowa: nr 297, nr 298, nr 300.

Inne zadania: #270, #290