Jaki jest racjonalny sposób rozumienia wyrażenia. Przekształcenie ułamków wymiernych (algebraicznych), rodzaje przekształceń, przykłady

Ta lekcja obejmie podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach, a także przykłady przekształceń wyrażeń wymiernych. Ten temat podsumowuje tematy, które do tej pory studiowaliśmy. Przekształcenia wyrażeń wymiernych obejmują dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie ułamki algebraiczne, redukcja, faktoryzacja itp. W ramach lekcji przyjrzymy się, czym jest wymierne wyrażenie, a także przeanalizujemy przykłady ich transformacji.

Podmiot:Ułamki algebraiczne. Działania arytmetyczne na ułamkach algebraicznych

Lekcja:Podstawowe informacje o wyrażeniach wymiernych i ich przekształceniach

Definicja

racjonalne wyrażenie to wyrażenie składające się z liczb, zmiennych, operacji arytmetycznych i potęgowania.

Rozważ przykład wyrażenia wymiernego:

Szczególne przypadki wyrażeń wymiernych:

I stopień: ;

2. jednomian: ;

3. ułamek: .

Wymierna transformacja ekspresji jest uproszczeniem wyrażenia racjonalnego. Kolejność operacji przy konwersji wyrażeń wymiernych: najpierw są akcje w nawiasach, potem mnożenie (dzielenie), a następnie dodawanie (odejmowanie).

Rozważmy kilka przykładów transformacji wyrażeń wymiernych.

Przykład 1

Decyzja:

Rozwiążmy ten przykład krok po kroku. Akcja w nawiasach jest wykonywana jako pierwsza.

Odpowiedź:

Przykład 2

Decyzja:

Odpowiedź:

Przykład 3

Decyzja:

Odpowiedź: .

Notatka: Być może wpadłeś na pomysł, kiedy zobaczyłeś ten przykład: zmniejsz ułamek przed przejściem do wspólny mianownik. Rzeczywiście, jest to absolutnie poprawne: po pierwsze, pożądane jest maksymalne uproszczenie wyrażenia, a następnie przekształcenie go. Spróbujmy rozwiązać ten sam przykład w drugi sposób.

Jak widać odpowiedź okazała się absolutnie podobna, ale rozwiązanie okazało się nieco prostsze.

W tej lekcji przyjrzeliśmy się wyrażenia wymierne i ich przekształcenia, a także kilka konkretne przykłady dane transformacji.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8 klasa. - M.: Oświecenie, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i wsp. Algebra 8. - wyd. - M.: Edukacja, 2010.

Z kursu algebry program nauczania Przejdźmy do konkretów. W tym artykule omówimy szczegółowo specjalny rodzaj wyrażenia wymierne - ułamki wymierne, a także przeanalizować, jakie cechy identyczne przekształcenia ułamków wymiernych odbywać się.

Od razu zauważamy, że w niektórych podręcznikach do algebry ułamki wymierne w sensie, w jakim je definiujemy poniżej, są nazywane ułamkami algebraicznymi. Oznacza to, że w tym artykule zrozumiemy to samo w przypadku ułamków wymiernych i algebraicznych.

Jak zwykle zaczynamy od definicji i przykładów. Następnie porozmawiajmy o doprowadzeniu ułamka wymiernego do nowego mianownika i zmianie znaków członków ułamka. Następnie przeanalizujemy, jak odbywa się redukcja frakcji. Na koniec zajmijmy się przedstawieniem ułamka wymiernego jako sumy kilku ułamków. Dostarczymy wszystkie informacje z przykładami z szczegółowe opisy rozwiązania.

Nawigacja po stronach.

Definicja i przykłady ułamków wymiernych

Ułamki wymierne są studiowane na lekcjach algebry w klasie 8. Użyjemy definicji ułamka wymiernego, która jest podana w podręczniku algebry dla klas 8 autorstwa Yu N. Makarycheva i innych.

W ta definicja nie określono, czy wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka wymiernego muszą być wielomianami standardowy widok albo nie. Dlatego założymy, że ułamki wymierne mogą zawierać zarówno standardowe, jak i niestandardowe wielomiany.

Tu jest kilka przykłady ułamków wymiernych. Więc , x/8 i - ułamki wymierne. I ułamki i nie pasują do brzmiącej definicji ułamka wymiernego, ponieważ w pierwszym z nich licznik nie jest wielomianem, a w drugim zarówno licznik, jak i mianownik zawierają wyrażenia, które nie są wielomianami.

Zamiana licznika i mianownika ułamka wymiernego

Licznik i mianownik dowolnego ułamka są samowystarczalnymi wyrażeniami matematycznymi, w przypadku ułamków wymiernych są to wielomiany, w konkretnym przypadku są to jednomiany i liczby. Dlatego z licznikiem i mianownikiem ułamka wymiernego, jak z każdym wyrażeniem, można przeprowadzić identyczne przekształcenia. Innymi słowy, wyrażenie w liczniku ułamka wymiernego można zastąpić wyrażeniem identycznie z nim równym, podobnie jak mianownik.

W liczniku i mianowniku ułamka wymiernego można wykonać identyczne przekształcenia. Na przykład w liczniku można grupować i redukować podobne terminy, a w mianowniku iloczyn kilku liczb można zastąpić jego wartością. A ponieważ licznik i mianownik ułamka wymiernego są wielomianami, możliwe jest dokonywanie za ich pomocą przekształceń charakterystycznych dla wielomianów, na przykład redukcja do postaci standardowej lub przedstawienie jako iloczyn.

Dla jasności rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Przelicz ułamek wymierny tak, że licznik jest wielomianem postaci standardowej, a mianownik jest iloczynem wielomianów.

Decyzja.

Redukcja ułamków wymiernych do nowego mianownika jest używana głównie podczas dodawania i odejmowania ułamków wymiernych.

Zmieniające się znaki przed ułamkiem, a także w jego liczniku i mianowniku

Podstawowa właściwość ułamka może służyć do zmiany znaków terminów ułamka. Rzeczywiście pomnożenie licznika i mianownika ułamka wymiernego przez -1 jest równoznaczne ze zmianą ich znaków, a wynikiem jest ułamek identycznie równy danemu. Taka transformacja musi być stosowana dość często podczas pracy z ułamkami wymiernymi.

Tak więc, jeśli jednocześnie zmienisz znaki licznika i mianownika ułamka, otrzymasz ułamek równy oryginalnemu. To stwierdzenie odpowiada równości.

Weźmy przykład. Ułamek wymierny można zastąpić identycznie równym ułamkiem z odwróconymi znakami licznika i mianownika formy.

W przypadku ułamków można przeprowadzić jeszcze jedną identyczną transformację, w której znak zmienia się albo w liczniku, albo w mianowniku. Przejdźmy do odpowiedniej zasady. Jeśli zastąpisz znak ułamka razem ze znakiem licznika lub mianownika, otrzymasz ułamek identyczny z oryginałem. Pisemne oświadczenie odpowiada równości i .

Nie jest trudno udowodnić te równości. Dowód opiera się na własnościach mnożenia liczb. Udowodnijmy pierwszy z nich: . Za pomocą podobnych przekształceń udowodniono również równość.

Na przykład ułamek można zastąpić wyrażeniem lub .

Na zakończenie tego podrozdziału przedstawiamy jeszcze dwie przydatne równości i . Oznacza to, że jeśli zmienisz znak tylko licznika lub tylko mianownika, ułamek zmieni swój znak. Na przykład, oraz .

Rozważane przekształcenia, które umożliwiają zmianę znaku wyrażeń ułamka, są często używane podczas przekształcania wyrażeń wymiernych ułamkowo.

Redukcja ułamków wymiernych

Następujące przekształcenie ułamków wymiernych, zwane redukcją ułamków wymiernych, opiera się na tej samej podstawowej własności ułamka. Ta transformacja odpowiada równości , gdzie a , b i c są niektórymi wielomianami, a b i c są różne od zera.

Z powyższej równości wynika, że ​​redukcja ułamka wymiernego oznacza pozbycie się wspólnego czynnika w jego liczniku i mianowniku.

Przykład.

Zmniejsz ułamek racjonalny.

Decyzja.

Współczynnik wspólny 2 jest od razu widoczny, zmniejszmy go (przy pisaniu wygodnie jest wykreślić współczynniki wspólne, według których dokonuje się redukcji). Mamy . Ponieważ x 2 \u003d x x i y 7 \u003d y 3 y 4 (patrz, jeśli to konieczne), jasne jest, że x jest wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika wynikowego ułamka, podobnie jak y 3 . Zmniejszmy o te czynniki: . To kończy redukcję.

Powyżej przeprowadziliśmy sekwencyjną redukcję ułamka wymiernego. I można było przeprowadzić redukcję w jednym kroku, natychmiast redukując frakcję o 2·x·y 3 . W takim przypadku rozwiązanie wyglądałoby tak: .

Odpowiedź:

.

Podczas redukcji ułamków wymiernych głównym problemem jest to, że wspólny czynnik licznika i mianownika nie zawsze jest widoczny. Co więcej, nie zawsze istnieje. Aby znaleźć wspólny dzielnik lub upewnić się, że nie istnieje, musisz rozłożyć na czynniki licznik i mianownik ułamka wymiernego. Jeśli nie ma wspólnego czynnika, pierwotna racjonalna frakcja nie musi być redukowana, w przeciwnym razie przeprowadzana jest redukcja.

W procesie redukcji ułamków wymiernych mogą powstać różne niuanse. Główne subtelności wraz z przykładami i szczegółami zostały omówione w artykule redukcja ułamków algebraicznych.

Kończąc rozmowę o redukcji ułamków wymiernych, zauważamy, że ta transformacja jest identyczna, a główna trudność w jej realizacji polega na faktoryzacji wielomianów w liczniku i mianowniku.

Reprezentacja ułamka wymiernego jako suma ułamków

Dość specyficzna, ale w niektórych przypadkach bardzo przydatna, jest przekształcenie ułamka wymiernego, polegające na przedstawieniu go jako sumy kilku ułamków lub sumy wyrażenia całkowitego i ułamka.

Ułamek wymierny, w liczniku którego znajduje się wielomian, będący sumą kilku jednomianów, można zawsze zapisać jako sumę ułamków o tych samych mianownikach, których licznikami są odpowiadające jednomiany. Na przykład, . Reprezentację tę wyjaśnia zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o tych samych mianownikach.

Ogólnie rzecz biorąc, każdy ułamek wymierny może być reprezentowany jako suma ułamków na wiele różnych sposobów. Na przykład ułamek a/b może być reprezentowany jako suma dwóch ułamków — dowolnego ułamka c/d i ułamka równego różnicy między ułamkami a/b i c/d. To stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ równość . Na przykład ułamek wymierny może być reprezentowany jako suma ułamków różne sposoby: Reprezentujemy oryginalny ułamek jako sumę wyrażenia całkowitego i ułamka. Po podzieleniu licznika przez mianownik przez kolumnę otrzymujemy równość . Wartość wyrażenia n 3 +4 dla dowolnej liczby całkowitej n jest liczbą całkowitą. A wartość ułamka jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy jego mianownik to 1, -1, 3 lub -3. Wartości te odpowiadają odpowiednio wartościom n=3, n=1, n=5 i n=−1.

Odpowiedź:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich AG Algebra. 7 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik ucznia instytucje edukacyjne/ A.G. Mordkovich. - 13 wyd., ks. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ch. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 11. ed., skasowane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Artykuł opowiada o transformacji wyrażeń wymiernych. Rozważ rodzaje wyrażeń wymiernych, ich przekształcenia, grupowania, uwzględnienie w nawiasach wspólnego czynnika. Nauczmy się reprezentować ułamkowe wyrażenia wymierne jako ułamki wymierne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definicja i przykłady wyrażeń wymiernych

Wyrażenia składające się z liczb, zmiennych, nawiasów, stopni z czynnościami dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia z obecnością słupka ułamka są nazywane wyrażenia racjonalne.

Na przykład mamy, że 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x r 2 - 1 11 x 3 .

Czyli są to wyrażenia, które nie mają podziału na wyrażenia ze zmiennymi. Badanie wyrażeń wymiernych rozpoczyna się od klasy 8, gdzie nazywane są ułamkowymi wyrażeniami wymiernymi.Szczególną uwagę zwraca się na ułamki w liczniku, które są konwertowane za pomocą reguł transformacji.

To pozwala nam przejść do transformacji wymiernych ułamków dowolnej formy. Takie wyrażenie można uznać za wyrażenie z obecnością ułamków wymiernych i wyrażenia całkowite ze znakami czynności.

Główne typy przekształceń wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne służą do wykonywania identycznych przekształceń, grupowania, rzutowania jak jedynki i wykonywania innych operacji na liczbach. Celem takich wyrażeń jest uproszczenie.

Przykład 1

Konwersja wyrażenia wymiernego 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Decyzja

Można zauważyć, że takim wymiernym wyrażeniem jest różnica 3 · x x · y - 1 i 2 · x x · y - 1 . Zauważ, że mają ten sam mianownik. Oznacza to, że redukcja podobnych terminów przyjmuje formę

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Odpowiedź: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

Przykład 2

Wykonaj przekształcenie 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Decyzja

Początkowo wykonujemy akcje w nawiasach 3 · x − x = 2 · x . To wyrażenie jest reprezentowane jako 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Dochodzimy do wyrażenia, które zawiera akcje z jednym etapem, czyli ma dodawanie i odejmowanie.

Pozbądź się nawiasów, korzystając z właściwości podziału. Wtedy otrzymujemy, że 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Czynniki liczbowe grupujemy ze zmienną x, po czym możemy wykonywać operacje na potęgach. Rozumiemy to

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Odpowiedź: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

Przykład 3

Przekształć wyrażenie w postaci x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Decyzja

Najpierw przekonwertujmy licznik i mianownik. Następnie otrzymujemy wyrażenie w postaci (x (x + 3) - (3 x + 1)) : 1 2 x 4 + 2, a działania w nawiasach są wykonywane jako pierwsze. W liczniku wykonywane są akcje i grupowane są czynniki. Następnie otrzymujemy wyrażenie w postaci x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .

Przekształcamy wzór na różnicę kwadratów w liczniku i otrzymujemy to

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Odpowiedź: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Reprezentacja jako ułamek wymierny

Ułamek algebraiczny jest najczęściej poddawany uproszczeniu podczas rozwiązywania. Każdy racjonalizm sprowadza się do tego różne sposoby. Konieczne jest wykonanie wszystkich niezbędnych operacji na wielomianach, aby wyrażenie wymierne mogło ostatecznie dać ułamek wymierny.

Przykład 4

Wyraź jako ułamek wymierny a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Decyzja

To wyrażenie może być reprezentowane jako 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Mnożenie odbywa się przede wszystkim zgodnie z zasadami.

Powinniśmy zacząć od mnożenia, wtedy to otrzymamy

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Tworzymy reprezentację wyniku uzyskanego z oryginałem. Rozumiemy to

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Teraz zróbmy odejmowanie:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Po tym jest oczywiste, że pierwotne wyrażenie przyjmie postać 16 a 2 - 9 .

Odpowiedź: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

Przykład 5

Wyraź x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x jako ułamek wymierny.

Decyzja

Dane wyrażenie jest zapisywane jako ułamek, w liczniku którego jest x x + 1 + 1, a w mianowniku 2 x - 1 1 + x. Konieczne jest wykonanie przekształceń x x + 1 + 1 . Aby to zrobić, musisz dodać ułamek i liczbę. Otrzymujemy, że x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Wynika z tego, że x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Otrzymany ułamek można zapisać jako 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Po dzieleniu otrzymujemy wymierny ułamek formy

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Możesz to rozwiązać inaczej.

Zamiast dzielić przez 2 x - 1 1 + x mnożymy przez odwrotność 1 + x 2 x - 1 . Stosując właściwość dystrybucji, otrzymujemy to

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Odpowiedź: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W odległej przeszłości, kiedy jeszcze nie wynaleziono systemu rachunku różniczkowego, ludzie liczyli wszystko na palcach. Wraz z pojawieniem się arytmetyki i podstaw matematyki, prowadzenie ewidencji towarów, produktów, a także artykuły gospodarstwa domowego. Jednak jak to wygląda nowoczesny system rachunek różniczkowy: jakie typy istniejących liczb są dzielone i co robi ” racjonalny pogląd numery”? Zobaczmy.

Ile rodzajów liczb jest w matematyce?

Samo pojęcie „liczby” oznacza pewną jednostkę dowolnego obiektu, która charakteryzuje jego wskaźniki ilościowe, porównawcze lub porządkowe. Aby poprawnie obliczyć liczbę pewnych rzeczy lub wykonać na liczbach jakieś operacje matematyczne (dodawanie, mnożenie itp.), należy przede wszystkim zapoznać się z odmianami tych samych liczb.

Tak więc istniejące liczby można podzielić na następujące kategorie:

1. Liczby naturalne to te liczby, za pomocą których liczymy liczbę obiektów (najmniejsza liczba naturalna to 1, logiczne jest, że szereg liczby naturalne jest nieskończona, to znaczy nie ma największej liczby naturalnej). Zbiór liczb naturalnych jest zwykle oznaczany literą N.
2. Wszystkie liczby. W zestawie tym znajduje się wszystko, natomiast dodawane są do niego wartości ujemne, w tym liczba „zero”. Oznaczenie zbioru liczb całkowitych zapisane jest w postaci litery łacińskiej Z.
3. Liczby wymierne to te, które możemy w myślach zamienić na ułamek, których licznik będzie należał do zbioru liczb całkowitych, a mianownik do liczb naturalnych. Poniżej przeanalizujemy bardziej szczegółowo, co oznacza „liczba wymierna”, i podamy kilka przykładów.
4. - zestaw, który zawiera wszystkie racjonalne i dany zestaw litera R.
5. Liczby zespolone zawierają część liczby rzeczywistej i część zmiennej. Służą do rozwiązywania różnych równań sześciennych, które z kolei mogą mieć we wzorach wyrażenie ujemne (i 2 = -1).

Co to znaczy „racjonalny”: analizujemy to na przykładach

Jeśli liczby wymierne to te, które możemy przedstawić w postaci wspólny ułamek okazuje się, że do zbioru wymiernych należą również wszystkie liczby całkowite dodatnie i ujemne. W końcu każda liczba całkowita, na przykład 3 lub 15, może być reprezentowana jako ułamek, gdzie mianownik będzie jeden.

Frakcje: -9/3; 7/5, 6/55 to przykłady liczby wymierne.

Co oznacza „racjonalna ekspresja”?

Pójść dalej. Omówiliśmy już, co oznacza racjonalna forma liczb. Wyobraźmy sobie teraz wyrażenie matematyczne składające się z sumy, różnicy, iloczynu lub ilorazu różne liczby i zmienne. Oto przykład: ułamek, którego licznikiem jest suma dwóch lub więcej liczb całkowitych, a mianownik zawiera zarówno liczbę całkowitą, jak i pewną zmienną. To właśnie to wyrażenie nazywa się racjonalnym. W oparciu o zasadę „nie można dzielić przez zero” można się domyślać, że wartość tej zmiennej nie może być taka, aby wartość mianownika wynosiła zero. Dlatego rozwiązując wyrażenie wymierne, musisz najpierw określić zakres zmiennej. Na przykład, jeśli mianownik zawiera wyrażenie: x+5-2, to okazuje się, że „x” nie może być równe -3. Rzeczywiście, w tym przypadku całe wyrażenie zmienia się na zero, dlatego przy rozwiązywaniu konieczne jest wykluczenie liczby całkowitej -3 dla tej zmiennej.

Jak poprawnie rozwiązywać równania wymierne?

Wyrażenia wymierne mogą zawierać dość dużą liczbę liczb, a nawet 2 zmienne, więc czasami ich rozwiązanie staje się trudne. Aby ułatwić rozwiązanie takiego wyrażenia, zaleca się wykonanie pewnych operacji w sposób racjonalny. Co więc oznacza „w sposób racjonalny” i jakie zasady należy stosować przy podejmowaniu decyzji?

1. Pierwszy typ, gdy wystarczy uprościć wyrażenie. Aby to zrobić, możesz skorzystać z operacji redukcji licznika i mianownika do wartości nieredukowalnej. Na przykład, jeśli licznik zawiera wyrażenie 18x, a mianownik 9x, to zmniejszając oba wskaźniki o 9x, otrzymamy tylko liczbę całkowitą równą 2.
2. Druga metoda jest praktyczna, gdy mamy jednomian w liczniku i wielomian w mianowniku. Spójrzmy na przykład: w liczniku mamy 5x, a w mianowniku 5x + 20x 2 . W takim przypadku najlepiej wyjąć zmienną w mianowniku z nawiasów, otrzymujemy następny widok mianownik: 5x (1+4x). A teraz możesz użyć pierwszej reguły i uprościć wyrażenie, zmniejszając 5x w liczniku i mianowniku. W rezultacie otrzymujemy ułamek postaci 1/1+4x.

Jakie operacje można wykonać na liczbach wymiernych?

Zbiór liczb wymiernych ma wiele własnych osobliwości. Wiele z nich jest bardzo podobnych do cechy występującej w liczbach całkowitych i naturalnych, ze względu na to, że te ostatnie są zawsze zawarte w zbiorze wymiernym. Oto kilka właściwości liczb wymiernych, wiedząc, które z nich można łatwo rozwiązać w dowolnym wyrażeniu wymiernym.

1. Właściwość przemienności pozwala zsumować dwie lub więcej liczb, niezależnie od ich kolejności. Mówiąc najprościej, suma nie zmienia się od zmiany miejsc terminów.
2. Własność dystrybucyjności pozwala na rozwiązywanie problemów za pomocą prawa dystrybucji.
3. I wreszcie operacje dodawania i odejmowania.

Nawet dzieci w wieku szkolnym wiedzą, co oznacza „liczby wymierne” i jak rozwiązywać problemy na podstawie takich wyrażeń, więc wykształcony dorosły po prostu musi pamiętać przynajmniej podstawy zbioru liczb wymiernych.