Jak skracać ułamki podczas mnożenia. Mnożenie ułamków zwykłych: reguły, przykłady, rozwiązania

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają się z uczniami w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często trzeba rozważyć lub użyć jakiegoś przedmiotu nie w całości, ale w osobnych kawałkach. Początek opracowania tego tematu - udostępnij. Akcje są równe części na które podzielony jest obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić jako liczbę całkowitą np. długość lub cenę produktu, należy brać pod uwagę części lub udziały jakiejkolwiek miary. Utworzony od czasownika „zmiażdżyć” - podzielić na części i mający arabskie korzenie, w VIII wieku samo słowo „ułamek” pojawiło się w języku rosyjskim.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą sekcję matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „złamanymi liczbami”, co było bardzo trudne do wyświetlenia w zrozumieniu ludzi.

nowoczesny wygląd proste pozostałości ułamkowe, których części są oddzielone dokładnie linią poziomą, po raz pierwszy wniósł do Fibonacciego - Leonarda z Pizy. Jego pisma datowane są na 1202. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób następuje mnożenie mieszanych ułamków o różnych mianownikach.

Mnożenie ułamków o różnych mianownikach

Początkowo konieczne jest ustalenie odmiany frakcji:

• prawidłowy;
• zło;
• mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak następuje mnożenie. liczby ułamkowe z tymi samymi mianownikami. Sama zasada tego procesu jest łatwa do sformułowania niezależnie: wynik mnożenia ułamki proste z tymi samymi mianownikami jest wyrażeniem ułamkowym, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników danych ułamków. To znaczy w istocie nowy mianownik znajduje się plac jednego z istniejących początkowo.

Podczas mnożenia proste ułamki o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników zasada nie ulega zmianie:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że utworzona liczba pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście kwadratu jedynki wyrażenie liczbowe nie da się tego nazwać.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

W przykładach użyto sposobów redukcji wyrażeń ułamkowych. Możesz redukować tylko liczby w liczniku z liczbami w mianowniku; sąsiednie współczynniki powyżej lub poniżej słupka ułamkowego nie mogą zostać zmniejszone.

Wraz z prostymi liczbami ułamkowymi istnieje pojęcie ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia jest kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę dla tej akcji możesz zapisać wzorem:

a * b/c = a*b /c.

W rzeczywistości taki produkt jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba terminów na to wskazuje Liczba naturalna. szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inna opcja rozwiązania mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

d* mi/f = mi/f: re.

Ta technika jest przydatna, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, całkowicie.

Tłumaczyć liczby mieszane na niewłaściwe frakcje i otrzymaj produkt w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład obejmuje metodę reprezentacji frakcja mieszana do złego, może być również reprezentowany jako ogólna formuła:

a bc = a*b+ c / c, gdzie mianownik nowego ułamka jest tworzony przez pomnożenie części całkowitej przez mianownik i dodanie jej do licznika oryginalnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Ten proces działa również w odwrotnym kierunku. Aby wybrać część całkowitą i resztę ułamkową, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik z „rogem”.

Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w zwykły sposób. Gdy wpis znajduje się pod jedną linią ułamkową, w razie potrzeby należy zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby za pomocą tej metody i łatwiej jest obliczyć wynik.

W Internecie jest wielu pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych różne odmiany programy. Wystarczająca liczba takich usług oferuje swoją pomoc w liczeniu mnożenia ułamków za pomocą różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory online do obliczania ułamków. Są w stanie nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne ze zwykłymi ułamkami i liczbami mieszanymi. Praca z nim nie jest trudna, odpowiednie pola są wypełniane na stronie witryny, wybierany jest znak działania matematycznego i naciskany jest „oblicz”. Program liczy się automatycznie.

Temat operacji arytmetycznych na liczbach ułamkowych jest istotny w całej edukacji uczniów szkół średnich i starszych. W liceum nie biorą już pod uwagę najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe w liczbach całkowitych, ale wcześniej nabyta znajomość reguł przekształceń i obliczeń stosowana jest w oryginalnej formie. dobrze strawiony podstawowa wiedza dać pełne zaufanie do dobra decyzja bardzo wymagające zadania.

Na zakończenie warto przytoczyć słowa Lwa Tołstoja, który napisał: „Człowiek to ułamek. Nie jest w mocy człowieka zwiększanie swojego licznika – własnych zasług, ale każdy może pomniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie i tym samym zbliżyć się do swojej doskonałości.

W V wieku pne starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:

Powiedzmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest tysiąc kroków za nim. W czasie, gdy Achilles pokonuje ten dystans, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw będzie czołgał się o kolejne dziesięć i tak dalej. Proces będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich następnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób uważali aporie Zenona. Wstrząs był tak silny, że ” …dyskusje trwają w chwili obecnej, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów… Analiza matematyczna, teoria mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne; żaden z nich nie stał się powszechnie akceptowanym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia”, „Aporie Zenona”]. Wszyscy rozumieją, że są oszukiwani, ale nikt nie rozumie, czym jest oszustwo.

Z punktu widzenia matematyki Zenon w swojej aporii wyraźnie zademonstrował przejście od wartości do. To przejście oznacza zastosowanie zamiast stałych. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miar albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Zastosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, przez inercję myślenia, stosujemy stałe jednostki czasu do odwrotności. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to tak, jakby czas zwalniał aż do całkowitego zatrzymania w momencie, gdy Achilles dogania żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie może już wyprzedzić żółwia.

Jeśli odwrócimy logikę, do której jesteśmy przyzwyczajeni, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie z stała prędkość. Każdy kolejny odcinek jego drogi jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięciokrotnie krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji pojęcie „nieskończoności”, to słuszne byłoby powiedzenie „Achilles nieskończenie szybko wyprzedzi żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj na wartości odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki Achilles potrzebuje na wykonanie tysiąca kroków, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. W następnym przedziale czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw będzie czołgał się na sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Takie podejście adekwatnie opisuje rzeczywistość bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nie do pokonania prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych ilościach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o latającej strzałie:

Latająca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, zawsze jest w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony bardzo prosto - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała spoczywa w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Z jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się ustalić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Do ustalenia faktu ruchu samochodu potrzebne są dwie fotografie wykonane z tego samego punktu w różnych punktach czasowych, ale nie można ich wykorzystać do określenia odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych jednocześnie z różnych punktów w przestrzeni, ale nie możesz z nich określić faktu ruchu (oczywiście do obliczeń nadal potrzebujesz dodatkowych danych, pomoże ci trygonometria). Na czym chcę się skupić Specjalna uwaga jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ dają różne możliwości eksploracji.

środa, 4 lipca 2018

Bardzo dobrze różnice między setami i multisetami są opisane w Wikipedii. Patrzymy.

Jak widać, „zestaw nie może mieć dwóch identycznych elementów”, ale jeśli w zestawie są identyczne elementy, taki zestaw nazywa się „multisetem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją takiej logiki absurdu. Jest to poziom gadających papug i tresowanych małp, w którym umysł jest nieobecny w słowie „całkowicie”. Matematycy działają jak zwykli trenerzy, przekazują nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, byli w łodzi pod mostem podczas testów mostu. Jeśli most się zawalił, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most mógł wytrzymać obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy kryją się za zwrotem „uwaga na mnie, jestem w domu”, a raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy je z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Odpowiedni teoria matematyczna zestawy dla samych matematyków.

Uczyliśmy się bardzo dobrze matematyki i teraz siedzimy przy kasie, płacąc pensje. Tutaj matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy na naszym stole w różne stosy, w które wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśniamy matematykę, że otrzyma resztę rachunków dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z te same elementy. Tu zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim zadziała logika posłów: „możesz to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Ponadto zaczną się zapewniać, że na banknotach o tym samym nominale znajdują się różne numery banknotów, co oznacza, że ​​nie można ich uznać za elementy identyczne. Cóż, pensję liczymy w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk będzie gorączkowo wspominał fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów dla każdej monety jest wyjątkowy…

A teraz mam najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest granica, poza którą elementy wielozbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje - o wszystkim decydują szamani, nauka tutaj nie jest nawet bliska.

Popatrz tutaj. Dobieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Powierzchnia pól jest taka sama, co oznacza, że ​​mamy multiset. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę nazwy tych samych stadionów, otrzymamy bardzo dużo, bo nazwy są różne. Jak widać, ten sam zestaw elementów jest jednocześnie zestawem i multizestawem. Jak dobrze? I tutaj matematyk-szaman-szuller wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o secie, albo o multisecie. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym elementy jednego zbioru różnią się od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnych „wyobrażalnych jako nie jedna całość” lub „nie wyobrażalnych jako jedna całość”.

niedziela, 18 marca 2018

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdowania sumy cyfr liczby i używania jej, ale są szamanami, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wyginą.

Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma formuły, za pomocą której można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie mogą rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić elementarnie.

Zastanówmy się, co i jak robimy, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak załóżmy, że mamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na symbol graficzny liczby. To nie jest operacja matematyczna.

2. Dzielimy jeden otrzymany obrazek na kilka obrazków zawierających osobne numery. Wycinanie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Konwertuj poszczególne znaki graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj otrzymane liczby. To jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 to 15. Są to „kursy krojenia i szycia” od szamanów używane przez matematyków. Ale to nie wszystko.

Z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapisujemy liczbę. Więc w różne systemy licząc, suma cyfr tego samego numeru będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z dużą liczbą 12345 nie chcę oszukiwać głowy, rozważ numer 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy rozważać każdego kroku pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru jest różna. Ten wynik nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby znalezienie powierzchni prostokąta w metrach i centymetrach dało zupełnie inne wyniki.

Zero we wszystkich systemach liczbowych wygląda tak samo i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że . Pytanie do matematyków: jak oznacza się w matematyce to, co nie jest liczbą? Czym dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Szamanom mogę na to pozwolić, ale naukowcom nie. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Otrzymany wynik należy traktować jako dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różnymi jednostkami miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różne wyniki po ich porównaniu to nie ma nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak, gdy wynik działania matematycznego nie zależy od wartości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.

Zaloguj się na drzwiach Otwiera drzwi i mówi:

Auć! Czy to nie jest toaleta dla kobiet?
- Młoda kobieta! To jest laboratorium do badania nieskończonej świętości dusz po wniebowstąpieniu! Nimbus na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół to mężczyzna.

Jeśli masz takie dzieło sztuki projektowania migające przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle w samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jedno zdjęcie) (złożenie kilku zdjęć: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam, że ta dziewczyna jest głupia, nie kto zna fizykę?. Ma po prostu łukowy stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy cały czas nas tego uczą. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” lub „jeden a”. To jest „człowiek robi kupę” lub liczba „dwadzieścia sześć” w systemie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają liczbę i literę jako jeden symbol graficzny.

§ 87. Dodawanie ułamków.

Dodawanie ułamków ma wiele podobieństw do dodawania liczb całkowitych. Dodawanie ułamków to czynność polegająca na połączeniu kilku podanych liczb (wyrazów) w jedną liczbę (suma), która zawiera wszystkie jednostki i ułamki jednostek wyrazów.

Po kolei rozważymy trzy przypadki:

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Dodawanie liczb mieszanych.

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważmy przykład: 1 / 5 + 2 / 5 .

Weź odcinek AB (ryc. 17), weź go jako jednostkę i podziel przez 5 równe części, to część AC tego odcinka będzie równa 1/5 odcinka AB, a część tego samego odcinka CD będzie równa 2/5 AB.

Z rysunku widać, że jeśli weźmiemy odcinek AD, to będzie on równy 3/5 AB; ale segment AD jest dokładnie sumą segmentów AC i CD. Możemy więc napisać:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Biorąc pod uwagę te wyrazy i otrzymaną kwotę, widzimy, że licznik sumy uzyskano przez dodanie liczników wyrazów, a mianownik pozostał niezmieniony.

Z tego otrzymujemy następującą zasadę: Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.

Rozważ przykład:

2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

Dodajmy ułamki: 3/4 + 3/8 Najpierw należy je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika:

Link pośredni 6/8 + 3/8 nie mógł zostać napisany; napisaliśmy to tutaj dla większej jasności.

Tak więc, aby dodać ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw sprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika, dodać ich liczniki i podpisać wspólny mianownik.

Rozważ przykład (na odpowiednich ułamkach napiszemy dodatkowe czynniki):

3. Dodawanie liczb mieszanych.

Dodajmy liczby: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Najpierw sprowadźmy części ułamkowe naszych liczb do wspólnego mianownika i przepiszmy je ponownie:

Teraz dodaj kolejno części całkowite i ułamkowe:

§ 88. Odejmowanie ułamków.

Odejmowanie ułamków zwykłych definiuje się tak samo jak odejmowanie liczb całkowitych. Jest to akcja, dzięki której, biorąc pod uwagę sumę dwóch terminów i jednego z nich, znajduje się inny termin. Rozważmy kolejno trzy przypadki:

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Odejmowanie liczb mieszanych.

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważ przykład:

13 / 15 - 4 / 15

Weźmy odcinek AB (ryc. 18), weźmy go jako jednostkę i podzielmy na 15 równych części; wtedy część AC tego segmentu będzie wynosić 1/15 AB, a część AD tego samego segmentu będzie odpowiadać 13/15 AB. Odłóżmy na bok inny segment ED, równy 4/15 AB.

Musimy odjąć 4/15 od 13/15. Na rysunku oznacza to, że segment ED należy odjąć od segmentu AD. W efekcie pozostanie segment AE, który stanowi 9/15 segmentu AB. Możemy więc napisać:

Wykonany przez nas przykład pokazuje, że licznik różnicy został uzyskany przez odjęcie liczników, a mianownik pozostał ten sam.

Dlatego, aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, musisz odjąć licznik odjemnika od licznika odjemnika i pozostawić ten sam mianownik.

2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Przykład. 3/4 - 5/8

Najpierw sprowadźmy te ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika:

Link pośredni 6/8 - 5/8 jest napisany tutaj dla jasności, ale można go pominąć w przyszłości.

Tak więc, aby odjąć ułamek od ułamka, musisz najpierw doprowadzić je do najmniejszego wspólnego mianownika, a następnie odjąć licznik odjemnika od licznika odjemnika i podpisać wspólny mianownik pod ich różnicą.

Rozważ przykład:

3. Odejmowanie liczb mieszanych.

Przykład. 10 3/4 - 7 2/3.

Przenieśmy części ułamkowe odjemnika i odjemnika do najniższego wspólnego mianownika:

Odejmowaliśmy całość od całości i ułamek od ułamka. Ale zdarzają się przypadki, gdy część ułamkowa odjemnika jest większa niż część ułamkowa odjemnej. W takich przypadkach musisz wziąć jedną jednostkę z części całkowitej odmienności, podzielić ją na te części, w których wyrażona jest część ułamkowa, i dodać do części ułamkowej odmienności. A potem odejmowanie zostanie wykonane w taki sam sposób jak w poprzednim przykładzie:

§ 89. Mnożenie ułamków.

Studiując mnożenie ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
2. Znalezienie ułamka podanej liczby.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Mnożenie ułamka przez ułamek.
5. Mnożenie liczb mieszanych.
6. Pojęcie interesu.
7. Znalezienie procentów danej liczby. Rozważmy je po kolei.

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą ma takie samo znaczenie, jak mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą. Mnożenie ułamka (mnożnika) przez liczbę całkowitą (mnożnik) oznacza złożenie sumy identycznych wyrazów, w której każdy wyraz jest równy mnożnikowi, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.

Jeśli więc musisz pomnożyć 1/9 przez 7, możesz to zrobić w ten sposób:

Wynik uzyskaliśmy łatwo, ponieważ akcja sprowadzała się do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. W konsekwencji,

Rozważenie tego działania pokazuje, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą jest równoznaczne z zwiększeniem tego ułamka tyle razy, ile jest jednostek w liczbie całkowitej. A ponieważ wzrost ułamka osiąga się albo przez zwiększenie jego licznika

lub zmniejszając jego mianownik , to możemy albo pomnożyć licznik przez liczbę całkowitą, albo przez nią podzielić mianownik, jeśli taki podział jest możliwy.

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, należy pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić ten sam mianownik lub, jeśli to możliwe, podzielić mianownik przez tę liczbę, pozostawiając licznik bez zmian.

Przy mnożeniu możliwe są skróty, na przykład:

2. Znalezienie ułamka podanej liczby. Istnieje wiele problemów, w których musisz znaleźć lub obliczyć część podanej liczby. Różnica między tymi zadaniami a innymi polega na tym, że podają liczbę niektórych obiektów lub jednostek miary i trzeba znaleźć część tej liczby, na co również wskazuje pewien ułamek. Aby ułatwić zrozumienie, najpierw podamy przykłady takich problemów, a następnie przedstawimy sposób ich rozwiązywania.

Zadanie 1. Miałem 60 rubli; 1/3 tych pieniędzy wydałem na zakup książek. Ile kosztowały książki?

Zadanie 2. Pociąg musi pokonać odległość między miastami A i B równą 300 km. Pokonał już 2/3 tego dystansu. Ile to kilometrów?

Zadanie 3. We wsi jest 400 domów, 3/4 murowanych, pozostałe drewniane. Ile murowane domy?

Oto niektóre z nich liczne zadania znaleźć część z danego numeru, którą musimy spotkać. Nazywa się je zwykle problemami znajdowania ułamka danej liczby.

Rozwiązanie problemu 1. Od 60 rubli. wydałem 1/3 na książki; Aby znaleźć koszt książek, musisz podzielić liczbę 60 przez 3:

Rozwiązanie problemu 2. Problem polega na tym, że musisz znaleźć 2/3 300 km. Oblicz pierwszą 1/3 z 300; osiąga się to dzieląc 300 km przez 3:

300: 3 = 100 (to 1/3 z 300).

Aby znaleźć dwie trzecie z 300, musisz podwoić otrzymany iloraz, czyli pomnożyć przez 2:

100 x 2 = 200 (to 2/3 z 300).

Rozwiązanie problemu 3. Tutaj musisz określić liczbę domów murowanych, które stanowią 3/4 z 400. Najpierw znajdźmy 1/4 z 400,

400: 4 = 100 (to 1/4 z 400).

Aby obliczyć trzy czwarte z 400, otrzymany iloraz należy potroić, czyli pomnożyć przez 3:

100 x 3 = 300 (czyli 3/4 z 400).

Na podstawie rozwiązania tych problemów możemy wyprowadzić następującą zasadę:

Aby znaleźć wartość ułamka danej liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i pomnożyć otrzymany iloraz przez jego licznik.

3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.

Wcześniej (§ 26) ustalono, że mnożenie liczb całkowitych należy rozumieć jako dodanie identycznych terminów (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). W tym paragrafie (paragraf 1) ustalono, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą oznacza znalezienie sumy identycznych wyrazów równej temu ułamkowi.

W obu przypadkach mnożenie polegało na znalezieniu sumy identycznych wyrazów.

Teraz przechodzimy do mnożenia liczby całkowitej przez ułamek. Tutaj spotkamy się np. z mnożeniem: 9 2/3. Jest całkiem oczywiste, że poprzednia definicja mnożenia nie ma w tym przypadku zastosowania. Wynika to z faktu, że nie możemy zastąpić takiego mnożenia przez dodanie równych liczb.

Z tego powodu będziemy musieli podać nową definicję mnożenia, czyli innymi słowy odpowiedzieć na pytanie, co należy rozumieć przez mnożenie przez ułamek, jak należy rozumieć to działanie.

Znaczenie mnożenia liczby całkowitej przez ułamek wynika z poniższej definicji: pomnożenie liczby całkowitej (mnożnika) przez ułamek (mnożnik) oznacza znalezienie tego ułamka mnożnika.

Mianowicie pomnożenie 9 przez 2/3 oznacza znalezienie 2/3 z dziewięciu jednostek. W poprzednim akapicie takie problemy zostały rozwiązane; więc łatwo się domyślić, że mamy 6.

Ale teraz jest ciekawa i ważne pytanie: dlaczego tak pozornie różne czynności, jak znalezienie sumy równych liczb i znalezienie ułamka liczby, nazywa się w arytmetyce tym samym słowem „mnożenie”?

Dzieje się tak, ponieważ poprzednia czynność (kilkakrotne powtórzenie liczby z wyrazami) i nowa czynność (znalezienie ułamka liczby) dają odpowiedź na jednorodne pytania. Oznacza to, że wychodzimy tutaj z rozważań, że jednorodne pytania lub zadania rozwiązuje jedno i to samo działanie.

Aby to zrozumieć, rozważ następujący problem: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będą kosztować 4 m takiej tkaniny?

Problem ten rozwiązuje się, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubli).

Rozważmy ten sam problem, ale w nim ilość materiału zostanie wyrażona jako liczba ułamkowa: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będzie kosztować 3/4 m takiej tkaniny?

Ten problem również należy rozwiązać, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (3/4).

Możesz też zmieniać w nim liczby kilka razy bez zmiany znaczenia problemu, na przykład weź 9/10 m lub 2 3/10 m itp.

Ponieważ problemy te mają tę samą treść i różnią się tylko liczbami, czynności stosowane przy ich rozwiązywaniu nazywamy tym samym słowem - mnożenie.

Jak należy pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek?

Weźmy liczby napotkane w ostatnim zadaniu:

Zgodnie z definicją musimy znaleźć 3/4 z 50. Najpierw znajdujemy 1/4 z 50, a potem 3/4.

1/4 z 50 to 50/4;

3/4 z 50 to .

W konsekwencji.

Rozważ inny przykład: 12 5 / 8 = ?

1/8 z 12 to 12/8,

5/8 liczby 12 to .

W konsekwencji,

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownikiem podpisać mianownik danego ułamka.

Piszemy tę zasadę za pomocą liter:

Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą mnożenia liczby przez iloraz, która została określona w § 38

Należy pamiętać, że przed wykonaniem mnożenia należy zrobić (jeśli to możliwe) cięcia, na przykład:

4. Mnożenie ułamka przez ułamek. Mnożenie ułamka przez ułamek ma takie samo znaczenie, jak mnożenie liczby całkowitej przez ułamek, to znaczy, mnożąc ułamek przez ułamek, należy znaleźć ułamek w mnożniku z pierwszego ułamka (mnożnik).

Mianowicie pomnożenie 3/4 przez 1/2 (połowa) oznacza znalezienie połowy 3/4.

Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?

Weźmy przykład: 3/4 razy 5/7. Oznacza to, że musisz znaleźć 5/7 z 3/4. Znajdź pierwszą 1/7 z 3/4, a potem 5/7

1/7 z 3/4 wyrażono by w ten sposób:

5/7 cyfry 3/4 będą wyrażone w następujący sposób:

W ten sposób,

Inny przykład: 5/8 razy 4/9.

1/9 z 5/8 to ,

4/9 cyfry 5/8 to .

W ten sposób,

Z tych przykładów można wywnioskować następującą regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi iloczynem mianownik iloczynu.

To jest zasada w ogólna perspektywa można napisać tak:

Przy mnożeniu konieczne jest dokonanie (jeśli to możliwe) redukcji. Rozważ przykłady:

5. Mnożenie liczb mieszanych. Ponieważ liczby mieszane można łatwo zastąpić ułamkami niewłaściwymi, ta okoliczność jest zwykle używana podczas mnożenia liczb mieszanych. Oznacza to, że w tych przypadkach, w których mnożnik, mnożnik lub oba czynniki są wyrażone jako liczby mieszane, są one zastępowane ułamkami niewłaściwymi. Pomnóż na przykład liczby mieszane: 2 1/2 i 3 1/5. Każdy z nich zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie otrzymane ułamki mnożymy zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek:

Reguła. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek.

Notatka. Jeżeli jeden z czynników jest liczbą całkowitą, to mnożenie można przeprowadzić w oparciu o prawo dystrybucji w następujący sposób:

6. Pojęcie interesu. Podczas rozwiązywania problemów i wykonywania różnych praktycznych obliczeń używamy wszelkiego rodzaju ułamków. Należy jednak pamiętać, że wiele wielkości dopuszcza dla nich nie jakiekolwiek, ale naturalne podziały. Na przykład możesz wziąć jedną setną (1/100) rubla, będzie to grosz, dwie setne to 2 kopiejki, trzy setne to 3 kopiejki. Możesz wziąć 1/10 rubla, będzie to „10 kopiejek lub dziesięciocentówka. Możesz wziąć ćwierć rubla, tj. 25 kopiejek, pół rubla, tj. 50 kopiejek (pięćdziesiąt kopiejek). Ale praktycznie nie Nie bierz np. 2/7 rubli bo rubel nie jest podzielony na siódme.

Jednostka miary wagi, czyli kilogram, pozwala przede wszystkim na podział dziesiętny, na przykład 1/10 kg lub 100 g. I takie ułamki kilograma, jak 1/6, 1/11, 1/ 13 są rzadkie.

Ogólnie rzecz biorąc, nasze miary (metryczne) są dziesiętne i pozwalają na podziały dziesiętne.

Należy jednak zauważyć, że niezwykle przydatne i wygodne w wielu różnych przypadkach jest stosowanie tej samej (jednolitej) metody dzielenia ilości. Wieloletnie doświadczenie pokazało, że tak dobrze uzasadnionym podziałem jest podział na „setki”. Rozważmy kilka przykładów związanych z najróżniejszymi obszarami ludzkiej praktyki.

1. Cena książek obniżyła się o 12/100 dotychczasowej ceny.

Przykład. Poprzednia cena książki to 10 rubli. Spadła o 1 rubel. 20 kop.

2. Banki oszczędnościowe wypłacają deponentom w ciągu roku 2/100 kwoty odkładanej na oszczędności.

Przykład. Do kasy wpłaca się 500 rubli, dochód z tej kwoty za rok wynosi 10 rubli.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5/100 ogólnej liczby uczniów.

PRZYKŁAD W szkole uczyło się tylko 1200 uczniów, 60 z nich ukończyło szkołę.

Setna liczba nazywana jest procentem..

Słowo „procent” zostało zapożyczone z łacina a jego rdzeń „cent” oznacza sto. Wraz z przyimkiem (pro centum) słowo to oznacza „za sto”. Znaczenie tego wyrażenia wynika z faktu, że początkowo w starożytny Rzym odsetki to pieniądze, które dłużnik zapłacił pożyczkodawcy „za każdą setkę”. Słowo „cent” słyszy się w tak znanych słowach: centner (sto kilogramów), centymetr (mówi się, że centymetr).

Na przykład, zamiast mówić, że zakład wyprodukował 1/100 wszystkich wyprodukowanych przez siebie produktów w ciągu ostatniego miesiąca, powiemy tak: zakład wyprodukował jeden procent odrzutów w ciągu ostatniego miesiąca. Zamiast mówić: zakład wyprodukował o 4/100 więcej produktów niż zakładał plan, powiemy: zakład przekroczył plan o 4 proc.

Powyższe przykłady można wyrazić inaczej:

1. Cena książek spadła o 12% poprzedniej ceny.

2. Banki oszczędnościowe płacą deponentom 2 proc. rocznie od kwoty odłożonej na oszczędności.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły stanowiła 5% liczby wszystkich uczniów w szkole.

Aby skrócić literę, zwyczajowo pisze się znak% zamiast słowa „procent”.

Należy jednak pamiętać, że znak % zwykle nie jest zapisywany w obliczeniach, można go zapisać w opisie problemu i wyniku końcowym. Podczas wykonywania obliczeń musisz wpisać ułamek z mianownikiem 100 zamiast liczby całkowitej za pomocą tej ikony.

Musisz być w stanie zastąpić liczbę całkowitą podaną ikoną ułamkiem o mianowniku 100:

I odwrotnie, musisz przyzwyczaić się do pisania liczby całkowitej ze wskazaną ikoną zamiast ułamka o mianowniku 100:

7. Znalezienie procentów danej liczby.

Zadanie 1. Szkoła otrzymała 200 metrów sześciennych. m drewna opałowego, przy czym drewno opałowe brzozowe stanowi 30%. Ile tam było drewna brzozowego?

Znaczenie tego problemu jest takie, że drewno opałowe brzozowe stanowiło tylko część drewna opałowego, które zostało dostarczone do szkoły, a ta część jest wyrażona jako ułamek 30/100. Tak więc stoimy przed zadaniem znalezienia ułamka liczby. Aby go rozwiązać, musimy pomnożyć 200 przez 30/100 (zadania znalezienia ułamka liczby rozwiązuje się, mnożąc liczbę przez ułamek.).

Więc 30% z 200 równa się 60.

Ułamek 30/100 napotkany w tym problemie można zmniejszyć o 10. Możliwe byłoby wykonanie tej redukcji od samego początku; rozwiązanie problemu się nie zmieni.

Zadanie 2. W obozie było 300 dzieci Różne wieki. Dzieci w wieku 11 lat stanowiły 21%, dzieci w wieku 12 lat 61%, a 13-latki 18%. Ile dzieci w każdym wieku było w obozie?

W tym zadaniu należy wykonać trzy obliczenia, czyli kolejno znaleźć liczbę dzieci w wieku 11 lat, następnie 12 lat i na końcu 13 lat.

Tak więc tutaj konieczne będzie znalezienie ułamka liczby trzy razy. Zróbmy to:

1) Ile dzieci miało 11 lat?

2) Ile dzieci miało 12 lat?

3) Ile dzieci miało 13 lat?

Po rozwiązaniu problemu warto dodać znalezione liczby; ich suma powinna wynosić 300:

63 + 183 + 54 = 300

Należy również zwrócić uwagę na to, że suma wartości procentowych podanych w stanie problemu wynosi 100:

21% + 61% + 18% = 100%

To sugeruje, że Łączna dzieci, które były w obozie, wzięto w 100%.

3 na dzień 3. Pracownik otrzymywał 1200 rubli miesięcznie. Spośród nich 65% wydał na żywność, 6% na mieszkanie i ogrzewanie, 4% na gaz, prąd i radio, 10% na potrzeby kulturalne i 15% zaoszczędził. Ile pieniędzy wydano na potrzeby wskazane w zadaniu?

Aby rozwiązać ten problem, musisz 5 razy znaleźć ułamek liczby 1200. Zróbmy to.

1) Ile pieniędzy wydaje się na jedzenie? Zadanie mówi, że ten wydatek to 65% wszystkich zarobków, czyli 65/100 liczby 1200. Zróbmy obliczenie:

2) Ile pieniędzy zapłacono za mieszkanie z ogrzewaniem? Argumentując podobnie jak poprzedni, dochodzimy do następującego obliczenia:

3) Ile zapłaciłeś za gaz, prąd i radio?

4) Ile pieniędzy wydaje się na potrzeby kulturalne?

5) Ile pieniędzy zaoszczędził pracownik?

W celu weryfikacji warto dodać liczby znajdujące się w tych 5 pytaniach. Kwota powinna wynosić 1200 rubli. Wszystkie zarobki są traktowane jako 100%, co można łatwo sprawdzić, sumując wartości procentowe podane w opisie problemu.

Rozwiązaliśmy trzy problemy. Pomimo tego, że zadania te zostały rozwiązane różne rzeczy(dostawa drewna opałowego do szkoły, liczba dzieci w różnym wieku, wydatki robotnika) rozwiązano w ten sam sposób. Stało się tak, ponieważ we wszystkich zadaniach trzeba było znaleźć kilka procent podanych liczb.

§ 90. Podział ułamków.

Studiując podział ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Podział ułamka przez ułamek.
5. Dzielenie liczb mieszanych.
6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.
7. Znalezienie liczby według jej procentu.

Rozważmy je po kolei.

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.

Jak wskazano w podrozdziale o liczbach całkowitych, dzielenie to czynność polegająca na tym, że z iloczynu dwóch czynników (dywidenda) i jednego z tych czynników (dzielnik) znajduje się inny czynnik.

Dzielenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą rozważaliśmy w dziale liczb całkowitych. Spotkaliśmy tam dwa przypadki dzielenia: dzielenie bez reszty, czyli „w całości” (150:10 = 15), oraz dzielenie z resztą (100:9 = 11 i 1 w reszcie). Można zatem powiedzieć, że w dziedzinie liczb całkowitych dzielenie dokładne nie zawsze jest możliwe, ponieważ dzielna nie zawsze jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej. Po wprowadzeniu mnożenia przez ułamek możemy rozważyć każdy przypadek dzielenia liczb całkowitych jako możliwy (wyłączone jest tylko dzielenie przez zero).

Na przykład podzielenie 7 przez 12 oznacza znalezienie liczby, której iloczyn pomnożony przez 12 będzie równy 7. Ta liczba jest ułamkiem 7/12, ponieważ 7/12 12 = 7. Inny przykład: 14: 25 = 14/25, ponieważ 14/25 25 = 14.

Tak więc, aby podzielić liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą, musisz utworzyć ułamek, którego licznik jest równy dzielnej, a mianownikiem jest dzielnik.

2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Podziel ułamek 6/7 przez 3. Zgodnie z definicją podziału podaną powyżej mamy tu iloczyn (6/7) i jeden z czynników (3); wymagane jest znalezienie takiego drugiego czynnika, który po pomnożeniu przez 3 dawałby dany iloczyn 6/7. Oczywiście powinien być trzykrotnie mniejszy niż ten produkt. Oznacza to, że postawione przed nami zadanie polegało na zmniejszeniu ułamka 6/7 o 3 razy.

Wiemy już, że redukcji ułamka można dokonać albo zmniejszając jego licznik, albo zwiększając jego mianownik. Dlatego możesz napisać:

W ta sprawa licznik 6 jest podzielny przez 3, więc licznik powinien być zmniejszony 3 razy.

Weźmy inny przykład: 5/8 podzielone przez 2. Tutaj licznik 5 nie jest podzielny przez 2, co oznacza, że ​​mianownik trzeba będzie pomnożyć przez tę liczbę:

Na tej podstawie możemy sformułować regułę: Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, musisz podzielić licznik ułamka przez tę liczbę całkowitą(Jeśli to możliwe), pozostawiając ten sam mianownik lub pomnóż mianownik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając ten sam licznik.

3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.

Niech trzeba będzie podzielić 5 przez 1/2, czyli znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 1/2 da iloczyn 5. Oczywiście ta liczba musi być większa od 5, bo 1/2 to właściwy ułamek, a mnożąc liczbę przez odpowiedni ułamek, iloczyn musi być mniejszy niż wielokrotność. Aby było to jaśniejsze, zapiszmy nasze działania w następujący sposób: 5: 1 / 2 = X , więc x 1/2 \u003d 5.

Musimy znaleźć taką liczbę X , co po pomnożeniu przez 1/2 daje 5. Skoro pomnożenie pewnej liczby przez 1/2 oznacza znalezienie 1/2 tej liczby, zatem 1/2 nieznanej liczby X to 5, a liczba całkowita X dwa razy więcej, tj. 5 2 \u003d 10.

Więc 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sprawdźmy:

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech trzeba będzie podzielić 6 przez 2 / 3 . Spróbujmy najpierw znaleźć pożądany wynik za pomocą rysunku (ryc. 19).

Rys.19

Narysuj odcinek AB równy 6 niektórych jednostek i podziel każdą jednostkę na 3 równe części. W każdej jednostce trzy trzecie (3/3) w całym segmencie AB jest 6 razy większe, tj. e. 18/3. Łączymy za pomocą małych wsporników 18 otrzymanych segmentów po 2; Będzie tylko 9 segmentów. Oznacza to, że ułamek 2/3 jest zawarty w b jednostkach 9 razy, czyli innymi słowy ułamek 2/3 jest 9 razy mniejszy niż 6 jednostek całkowitych. W konsekwencji,

Jak uzyskać ten wynik bez rysunku używając tylko obliczeń? Będziemy argumentować w następujący sposób: wymagane jest podzielenie 6 przez 2/3, tj. wymagane jest udzielenie odpowiedzi na pytanie, ile razy 2/3 jest zawarte w 6. Dowiedzmy się najpierw: ile razy to 1/3 zawarte w 6? W całości - 3/3, aw 6 jednostkach - 6 razy więcej, czyli 18/3; aby znaleźć tę liczbę, musimy pomnożyć 6 przez 3. Stąd 1/3 jest zawarta w b jednostkach 18 razy, a 2/3 jest zawarta w b jednostkach nie 18 razy, ale o połowę mniej, tj. 18:2 = 9 Dlatego dzieląc 6 przez 2/3 zrobiliśmy co następuje:

Stąd otrzymujemy regułę dzielenia liczby całkowitej przez ułamek. Aby podzielić liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć tę liczbę przez mianownik danego ułamka i czyniąc z tego iloczynu licznik, podzielić go przez licznik danego ułamka.

Regułę piszemy za pomocą liter:

Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą dzielenia liczby przez iloraz, która została określona w § 38. Zauważ, że uzyskano tam ten sam wzór.

Przy podziale możliwe są skróty, na przykład:

4. Podział ułamka przez ułamek.

Niech będzie wymagane podzielenie 3/4 przez 3/8. Co będzie oznaczać liczbę, która zostanie uzyskana w wyniku podziału? Odpowie na pytanie, ile razy ułamek 3/8 jest zawarty w ułamku 3/4. Aby zrozumieć ten problem, zróbmy rysunek (ryc. 20).

Weź segment AB, weź go jako jednostkę, podziel na 4 równe części i zaznacz 3 takie części. Segment AC będzie równy 3/4 segmentu AB. Podzielmy teraz każdy z czterech początkowych odcinków na pół, wtedy odcinek AB zostanie podzielony na 8 równych części i każda taka część będzie równa 1/8 odcinka AB. Łączymy 3 takie odcinki łukami, wtedy każdy z odcinków AD i DC będzie równy 3/8 odcinka AB. Rysunek pokazuje, że segment równy 3/8 jest zawarty w segmencie równym 3/4 dokładnie 2 razy; Wynik dzielenia można więc zapisać tak:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane podzielenie 15/16 przez 3/32:

Możemy rozumować w ten sposób: musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 3 / 32 da iloczyn równy 15 / 16. Zapiszmy obliczenia w ten sposób:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nieznany numer X makijaż 15 / 16

1/32 nieznany numer X jest ,

32 / 32 numery X makijaż .

W konsekwencji,

Tak więc, aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem i drugi mianownik.

Napiszmy regułę za pomocą liter:

Przy podziale możliwe są skróty, na przykład:

5. Dzielenie liczb mieszanych.

Podczas dzielenia liczb mieszanych należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie powstałe ułamki należy podzielić zgodnie z zasadami dzielenia liczb ułamkowych. Rozważ przykład:

Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe:

Teraz podzielmy się:

Tak więc, aby podzielić liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie podzielić zgodnie z zasadą dzielenia ułamków.

6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.

Wśród różne zadania na ułamkach, czasami są takie, w których podana jest wartość jakiegoś ułamka nieznanej liczby i wymagane jest znalezienie tej liczby. Ten rodzaj problemu będzie odwrotnością problemu znalezienia ułamka danej liczby; tam podano liczbę i trzeba było znaleźć jakiś ułamek tej liczby, tu podano ułamek liczby i trzeba znaleźć samo tę liczbę. Ten pomysł stanie się jeszcze jaśniejszy, jeśli przejdziemy do rozwiązania tego typu problemu.

Zadanie 1. Pierwszego dnia szklarze oszkleli 50 okien, co stanowi 1/3 wszystkich okien budowanego domu. Ile okien jest w tym domu?

Rozwiązanie. Problem polega na tym, że 50 przeszklonych okien stanowi 1/3 wszystkich okien domu, co oznacza, że ​​w sumie okien jest 3 razy więcej, tj.

Dom miał 150 okien.

Zadanie 2. Sklep sprzedał 1500 kg mąki, co stanowi 3/8 całkowitego zapasu mąki w sklepie. Jakie były początkowe zapasy mąki w sklepie?

Rozwiązanie. Ze stanu problemu widać, że sprzedane 1500 kg mąki stanowi 3/8 całego zapasu; oznacza to, że 1/8 tego zapasu będzie 3 razy mniejsze, czyli aby to obliczyć, trzeba zmniejszyć 1500 o 3 razy:

1500: 3 = 500 (to 1/8 zapasów).

Oczywiście cały zapas będzie 8 razy większy. W konsekwencji,

500 8 \u003d 4000 (kg).

Początkowy zapas mąki w sklepie wynosił 4000 kg.

Z rozpatrzenia tego problemu można wyprowadzić następującą regułę.

Aby znaleźć liczbę przez podaną wartość jej ułamka, wystarczy podzielić tę wartość przez licznik ułamka i pomnożyć wynik przez mianownik ułamka.

Rozwiązaliśmy dwa problemy ze znalezieniem liczby na podstawie jej ułamka. Takie problemy, co szczególnie dobrze widać z ostatniego, rozwiązują dwie czynności: dzielenie (w przypadku znalezienia jednej części) i mnożenie (w przypadku znalezienia całej liczby).

Jednak po przestudiowaniu dzielenia ułamków powyższe problemy można rozwiązać w jednej akcji, a mianowicie: dzielenie przez ułamek.

Na przykład ostatnie zadanie można rozwiązać w jednej akcji w ten sposób:

W przyszłości rozwiążemy problem znajdowania liczby przez jej ułamek w jednej akcji - dzieleniu.

7. Znalezienie liczby według jej procentu.

W tych zadaniach będziesz musiał znaleźć liczbę, znając kilka procent tej liczby.

Zadanie 1. Na początku tego roku otrzymałem z kasy oszczędnościowej 60 rubli. dochód z kwoty, którą rok temu odłożyłem na oszczędności. Ile pieniędzy włożyłem do banku oszczędnościowego? (Kasy kasowe dają deponentom 2% dochodu rocznie.)

Problem polega na tym, że pewna suma pieniędzy została przeze mnie włożona do kasy oszczędnościowej i leżała tam przez rok. Po roku otrzymałem od niej 60 rubli. dochód, czyli 2/100 wpłaconych przeze mnie pieniędzy. Ile pieniędzy wpłaciłem?

Znając zatem część tych pieniędzy, wyrażoną na dwa sposoby (w rublach i ułamkach), musimy znaleźć całą, nieznaną jeszcze kwotę. Jest to zwykły problem ze znalezieniem liczby na podstawie jej ułamka. Następujące zadania są rozwiązywane przez podział:

Tak więc do kasy oszczędnościowej trafiło 3000 rubli.

Zadanie 2. W ciągu dwóch tygodni rybacy zrealizowali miesięczny plan w 64%, przygotowując 512 ton ryb. Jaki był ich plan?

Ze stanu problemu wiadomo, że rybacy zrealizowali część planu. Ta część to 512 ton, co stanowi 64% planu. Ile ton ryb trzeba zebrać zgodnie z planem, nie wiemy. Rozwiązanie problemu będzie polegało na znalezieniu tej liczby.

Takie zadania rozwiązuje się, dzieląc:

Tak więc, zgodnie z planem, musisz przygotować 800 ton ryb.

Zadanie 3. Pociąg jechał z Rygi do Moskwy. Kiedy mijał 276 kilometr, jeden z pasażerów zapytał przejeżdżającego konduktora, jak dużą część podróży już przebyli. Na to konduktor odpowiedział: „Przejechaliśmy już 30% całej podróży”. Jaka jest odległość z Rygi do Moskwy?

Z warunku problemu wynika, że ​​30% trasy z Rygi do Moskwy to 276 km. Musimy znaleźć całą odległość między tymi miastami, czyli dla tej części znaleźć całość:

§ 91. Liczby wzajemne. Zastąpienie dzielenia mnożeniem.

Weź ułamek 2/3 i przestaw licznik na miejsce mianownika, otrzymamy 3/2. Mamy ułamek, odwrotność tego.

Aby otrzymać odwrotność ułamka danego ułamka należy w miejscu mianownika wstawić jego licznik, a w miejsce licznika mianownik. W ten sposób możemy otrzymać ułamek będący odwrotnością dowolnego ułamka. Na przykład:

3/4 , wstecz 4 / 3 ; 5/6, wstecz 6/5

Dwa ułamki, które mają tę właściwość, że licznik pierwszego jest mianownikiem drugiego, a mianownik pierwszego jest licznikiem drugiego, są nazywane wzajemnie odwrotne.

Zastanówmy się teraz, jaki ułamek będzie odwrotnością 1/2. Oczywiście będzie to 2/1, czyli tylko 2. Szukając odwrotności tego, otrzymaliśmy liczbę całkowitą. I ten przypadek nie jest odosobniony; wręcz przeciwnie, dla wszystkich ułamków z licznikiem 1 (jeden) odwrotności będą liczbami całkowitymi, na przykład:

1 / 3, odwrotność 3; 1 / 5, wstecz 5

Ponieważ szukając odwrotności spotkaliśmy się również z liczbami całkowitymi, w przyszłości nie będziemy mówić o odwrotnościach, ale o odwrotnościach.

Zastanówmy się, jak napisać odwrotność liczby całkowitej. W przypadku ułamków jest to rozwiązane po prostu: musisz umieścić mianownik w miejscu licznika. W ten sam sposób możesz uzyskać odwrotność liczby całkowitej, ponieważ każda liczba całkowita może mieć mianownik równy 1. Zatem odwrotność 7 wyniesie 1/7, ponieważ 7 \u003d 7/1; dla liczby 10 odwrotność wynosi 1 / 10, ponieważ 10 = 10 / 1

Ten pomysł można wyrazić w inny sposób: odwrotność danej liczby otrzymujemy dzieląc jedynkę przez podaną liczbę. To stwierdzenie dotyczy nie tylko liczb całkowitych, ale także ułamków. Rzeczywiście, jeśli chcesz napisać liczbę, która jest odwrotnością ułamka 5/9, to możemy wziąć 1 i podzielić ją przez 5/9, czyli

Teraz zwróćmy uwagę na jeden własność wzajemnie odwrotne liczby, które przydadzą się nam: iloczyn wzajemnie odwrotnych liczb jest równy jeden. Rzeczywiście:

Korzystając z tej właściwości, możemy znaleźć odwrotności w następujący sposób. Znajdźmy odwrotność 8.

Oznaczmy to literą X , następnie 8 X = 1, stąd X = 1/8. Znajdźmy inną liczbę, odwrotność 7/12, oznaczmy ją literą X , następnie 7/12 X = 1, stąd X = 1:7 / 12 lub X = 12 / 7 .

Wprowadziliśmy tutaj pojęcie liczb odwrotnych, aby nieco uzupełnić informacje o dzieleniu ułamków.

Dzieląc liczbę 6 przez 3/5, robimy co następuje:

Zwróć szczególną uwagę na wyrażenie i porównaj je z podanym: .

Jeśli weźmiemy wyrażenie osobno, bez połączenia z poprzednim, nie da się rozwiązać pytania, skąd ono pochodzi: z dzielenia 6 przez 3/5 lub z pomnożenia 6 przez 5/3. W obu przypadkach wynik jest taki sam. Więc możemy powiedzieć że dzielenie jednej liczby przez drugą można zastąpić pomnożeniem dzielnej przez odwrotność dzielnika.

Przykłady, które podajemy poniżej, w pełni potwierdzają ten wniosek.

Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Bardzo trudny moment w tych działaniach było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobrą wiadomością jest to, że te operacje są jeszcze łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa dodatnie ułamki bez wyodrębnionej części całkowitej.

Aby pomnożyć dwa ułamki, należy osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.

Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi.

Przeznaczenie:

Z definicji wynika, że ​​dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.

W wyniku mnożenia może powstać ułamek zmniejszony (i często powstaje) - oczywiście musi zostać zmniejszony. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Ale z mnożeniem na pewno się nie zdarzy sprowadzenie do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, współczynników maksymalnych i najmniejszych wspólnych wielokrotności.

Z definicji mamy:

Mnożenie ułamków przez część całkowitą i ułamki ujemne

Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je przeliczyć na ułamki niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć zgodnie z przedstawionymi powyżej schematami.

Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:

1. Plus razy minus daje minus;
2. Dwa negatywy dają odpowiedź twierdzącą.

Do tej pory z tymi regułami spotykano się tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów naraz:

1. Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
2. Jeśli nie pozostały żadne minusy, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, wyjmujemy go poza granice mnożenia. Otrzymasz ułamek ujemny.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Wszystkie ułamki tłumaczymy na ułamki niewłaściwe, a następnie wyjmujemy minusy poza granice mnożenia. To co pozostało jest pomnożone przez zwykłe zasady. Otrzymujemy:

Przypomnę jeszcze raz, że minus przed ułamkiem z podświetloną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).

Zwróć także uwagę na liczby ujemne: Po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i doprecyzowania całej notacji.

Zmniejszanie ułamków w locie

Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je redukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Z definicji mamy:

We wszystkich przykładach liczby, które zostały zredukowane i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.

Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na swoich miejscach pozostały jednostki, które generalnie można pominąć. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć pełnej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.

Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które po prostu chcesz zmniejszyć. Tutaj spójrz:

Nie możesz tego zrobić!

Błąd występuje z powodu tego, że podczas dodawania ułamka suma pojawia się w liczniku ułamka, a nie iloczynu liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ w tej właściwości rozmawiamy Chodzi o mnożenie liczb.

Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc dobra decyzja poprzednie zadanie wygląda tak:

Dobra decyzja:

Jak widać, poprawna odpowiedź okazała się niezbyt piękna. Ogólnie bądź ostrożny.

Mnożenie zwykłe ułamki Przyjrzyjmy się kilku możliwym opcjom.

Mnożenie ułamka przez ułamek

To najprostszy przypadek, w którym musisz skorzystać z poniższych zasady mnożenia ułamków.

Do pomnóż ułamek przez ułamek, niezbędny:

• pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i zapisz ich iloczyn w liczniku nowego ułamka;
• pomnóż mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka i zapisz ich iloczyn w mianowniku nowego ułamka;

Przed pomnożeniem liczników i mianowników sprawdź, czy można zmniejszyć ułamki. Zmniejszenie ułamków w obliczeniach znacznie ułatwi Twoje obliczenia.



Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną

Do frakcji pomnóż przez liczbę naturalną musisz pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik ułamka bez zmian.

Jeśli wynikiem mnożenia jest ułamek niewłaściwy, nie zapomnij zamienić go na liczbę mieszaną, czyli wybrać całą część.



Mnożenie liczb mieszanych

Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.



Inny sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną

Czasami w obliczeniach wygodniej jest użyć innej metody mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę.

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.



Jak widać na przykładzie, wygodniej jest zastosować tę wersję reguły, jeśli mianownik ułamka jest podzielny bez reszty przez liczbę naturalną.

Akcje z ułamkami

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Dodawanie ułamków jest dwojakiego rodzaju:

• Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
• Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Zacznijmy od dodania ułamków o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki zwykłe i . Dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:



Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2 Dodaj ułamki i .

Ponownie dodaj liczniki i pozostaw mianownik bez zmian:



Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Jeśli nadejdzie koniec zadania, zwyczajowo pozbywa się niewłaściwych ułamków. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz zaznaczyć w nim całą część. W naszym przypadku część całkowita jest łatwo przydzielana - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:



Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .



Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, dodawanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest trudne. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik;
2. Jeśli odpowiedź okazała się niewłaściwą ułamkiem, musisz wybrać w niej całą część.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczymy się dodawać ułamki o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład można dodać ułamki, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można dodać od razu, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów na zredukowanie ułamków do tego samego mianownika. Dzisiaj rozważymy tylko jedną z nich, ponieważ reszta metod może wydawać się skomplikowana dla początkującego.

Istota tej metody polega na tym, że najpierw poszukuje się najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszej frakcji i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik. Robią to samo z drugim ułamkiem - NOC dzieli się przez mianownik ułamka drugiego i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik.

Następnie liczniki i mianowniki ułamków mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki, które miały różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają takie same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodaj ułamki i

Te ułamki mają różne mianowniki, więc musisz je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków i . Najpierw dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka i otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, tworzymy małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisujemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

To samo robimy z drugą frakcją. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownik drugiej ułamka to liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym czynnikiem. Piszemy to do drugiej frakcji. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i piszemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:



Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak dodawać takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:



W ten sposób przykład się kończy. Aby dodać, okazuje się.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli dodasz pizze do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzę:

Redukcję ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając ułamki i do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).



Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Łącząc te kawałki, otrzymujemy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niepoprawny, więc wyróżniliśmy w nim część całkowitą. Rezultatem był (jedna cała pizza i kolejna szósta pizza).

Zauważ, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucje edukacyjne nie ma zwyczaju pisać w tak szczegółowy sposób. Musisz być w stanie szybko znaleźć LCM zarówno mianowników, jak i czynników dodatkowych do nich, a także szybko pomnożyć dodatkowe czynniki znalezione przez liczniki i mianowniki. Będąc w szkole musielibyśmy napisać ten przykład w następujący sposób:



Ale jest też tylna strona medale. Jeśli na pierwszych etapach nauki matematyki nie robi się szczegółowych notatek, to pytania tego rodzaju „Skąd pochodzi ta liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z następujących instrukcji krok po kroku:

3. Znajdź LCM mianowników ułamków;
4. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji;
5. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
6. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki;
7. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z powyższego diagramu.

Krok 1. Znajdź LCM dla mianowników ułamków

Znajdujemy LCM dla mianowników obu frakcji. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4. Musisz znaleźć LCM dla tych liczb:

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdej frakcji i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdej frakcji

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 2. Podziel 12 przez 2, otrzymamy 6. Otrzymaliśmy pierwszy dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik drugiego ułamka to liczba 3. Dzielimy 12 przez 3, otrzymujemy 4. Mamy drugi dodatkowy czynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik trzeciego ułamka to liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymujemy 3. Mamy trzeci dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez swoje dodatkowe czynniki

Liczniki i mianowniki mnożymy przez nasze dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. Pozostaje dodać te frakcje. Dodaj:



Dodatek nie zmieścił się w jednej linii, więc przenieśliśmy pozostałe wyrażenie do następnej linii. Jest to dozwolone w matematyce. Gdy wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest przenoszone do następnego wiersza i konieczne jest umieszczenie znaku równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku Nowa linia. Znak równości w drugim wierszu wskazuje, że jest to kontynuacja wyrażenia, które było w pierwszym wierszu.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz jego część całkowitą

Nasza odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Musimy wyróżnić całą jego część. Podkreślamy:



Mam odpowiedź

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:

8. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
9. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, konieczne jest odjęcie licznika drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawienie mianownika bez zmian. Zróbmy to:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli pokroisz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Ponownie, od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka i pozostaw mianownik taki sam:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli pokroisz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Jeśli przykład jest kompletny, zwyczajowo pozbywa się ułamka niewłaściwego. Pozbądźmy się złego ułamka w odpowiedzi. Aby to zrobić, wybierz całą jego część:

Jak widać, odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest skomplikowane. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik taki sam;

Jeśli odpowiedź okazała się niewłaściwą frakcją, musisz wybrać całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład ułamek można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają te same mianowniki. Ale ułamka nie można odjąć od ułamka, ponieważ te ułamki mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki muszą zostać zredukowane do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajduje się zgodnie z tą samą zasadą, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu frakcji. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który jest nadpisywany nad pierwszym ułamkiem. Podobnie, LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik, który jest zapisywany nad drugim ułamkiem.

Ułamki są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o takich samych mianownikach. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia:

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu frakcji. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Teraz wróć do ułamków i

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymujemy 4. Piszemy cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugą frakcją. LCM dzielimy przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 12, a mianownik drugiej ułamka to liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Na drugim ułamku zapisujemy trójkę:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniają się w ułamki, które mają te same mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

Mam odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą obrazka. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, dostaniesz pizze.

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Będąc w szkole musielibyśmy rozwiązać ten przykład w krótszy sposób. Takie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Redukcję ułamków i do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na te same frakcje (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Odcinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Frakcja opisuje te pięć kawałków.

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia

Te ułamki mają różne mianowniki, więc najpierw musisz doprowadzić je do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdź LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe czynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik każdej frakcji.

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownik pierwszego ułamka to liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla drugiej frakcji. Podziel LCM przez mianownik drugiej frakcji. LCM to liczba 30, a mianownik drugiej ułamka to liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla trzeciej frakcji. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownik trzeciej ułamka to liczba 5. Podziel 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki, które mają różne mianowniki, zamieniły się w ułamki, które mają te same (wspólne) mianowniki. A my już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc przenosimy kontynuację do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem i wszystko wydaje się nam odpowiadać, ale jest zbyt nieporęczne i brzydkie. Powinniśmy uczynić to prostszym i bardziej estetycznym. Co można zrobić? Możesz zmniejszyć ten ułamek. Przypomnijmy, że redukcja ułamka to dzielenie licznika i mianownika przez największy wspólny dzielnik licznik i mianownik.

Aby poprawnie zmniejszyć ułamek, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik (NWP) liczb 20 i 30.

Nie myl GCD z NOC. Najczęstszy błąd popełniany przez wielu początkujących. NWD jest największym wspólnym dzielnikiem. Znajdujemy to do redukcji frakcji.

A LCM jest najmniejszą wspólną wielokrotnością. Znajdujemy go, aby sprowadzić ułamki do tego samego (wspólnego) mianownika.

Teraz znajdziemy największy wspólny dzielnik (ngd) liczb 20 i 30.

Tak więc znajdujemy NWD dla liczb 20 i 30:

NPK (20 i 30) = 10

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez 10:

Mam ładną odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Wpis można rozumieć jako zabranie połowy 1 czasu. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli mnożnik i mnożnik zostaną zamienione, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie jest zapisane jako , iloczyn nadal będzie równy . Ponownie działa zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka:

Ten wpis można rozumieć jako zabranie połowy jednostki. Na przykład, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Wyrażenie można rozumieć jako zajęcie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 4 razy, otrzymasz dwie całe pizze.

A jeśli zamienimy mnożnik i mnożnik miejscami, otrzymamy wyrażenie. Będzie również równy 2. To wyrażenie można rozumieć jako wzięcie dwóch pizzy z czterech całych pizzy:

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć w nim całą część.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia .

Mam odpowiedź. Pożądane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Następnie ostateczne rozwiązanie przyjmie następującą postać:

Wyrażenie można rozumieć jako zabranie pizzy z połowy pizzy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wziąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Dostaniemy pizzę. Pamiętaj, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden plasterek tej pizzy i dwa, które wzięliśmy, będą miały te same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o tej samej wielkości pizzy. Dlatego wartość wyrażenia to

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem, ale będzie dobrze, jeśli zostanie zmniejszona. Aby zmniejszyć ten ułamek, należy go podzielić przez gcd licznika i mianownika. Znajdźmy więc NWD liczb 105 i 450:

GCD dla (105 i 150) wynosi 15

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi do NWD:

Reprezentowanie liczby całkowitej jako ułamka

Dowolna liczba całkowita może być reprezentowana jako ułamek. Na przykład liczba 5 może być reprezentowana jako . Z tego pięć nie zmieni swojego znaczenia, ponieważ wyrażenie oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiesz, jest równe pięciu:

Liczby odwrotne

Teraz zapoznamy się z bardzo ciekawym tematem z matematyki. Nazywa się to „odwrotnymi liczbami”.

Definicja. Odwróć do numeru a jest liczbą, która po pomnożeniu przez a daje jednostkę.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej a numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć do numeru 5 jest liczbą, która po pomnożeniu przez 5 daje jednostkę.

Czy można znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden? Okazuje się, że możesz. Zaprezentujmy pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez samo, po prostu zamień licznik i mianownik. Innymi słowy, pomnóż sam ułamek, tylko odwrócony:

Jaki będzie tego wynik? Jeśli nadal będziemy rozwiązywać ten przykład, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba, ponieważ po pomnożeniu 5 przez jeden otrzymuje się jeden.

Odwrotność można również znaleźć dla dowolnej innej liczby całkowitej.

• odwrotność 3 to ułamek
• odwrotność 4 to ułamek

Możesz również znaleźć odwrotność dla dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, wystarczy go odwrócić.