Jak pomnożyć liczbę mieszaną przez liczbę pierwszą. Mnożenie ułamków

W trakcie średniej i Liceum Uczniowie omówili temat „Ułamki”. Pojęcie to jest jednak znacznie szersze niż podane w procesie uczenia się. Dzisiaj pojęcie ułamka spotyka się dość często i nie każdy może obliczyć dowolne wyrażenie, na przykład mnożenie ułamków.

Co to jest ułamek?

Historycznie zdarzało się, że liczby ułamkowe pojawiały się ze względu na potrzebę mierzenia. Jak pokazuje praktyka, często pojawiają się przykłady określania długości odcinka, objętości prostokąta prostokątnego.

Początkowo studenci zapoznają się z taką koncepcją, jaką jest udział. Na przykład, jeśli podzielisz arbuza na 8 części, każda otrzyma jedną ósmą arbuza. Ta jedna część ósemki nazywana jest akcją.

Udział równy ½ dowolnej wartości nazywa się połową; ⅓ - trzeci; ¼ - jedna czwarta. Wpisy takie jak 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 są nazywane zwykłe ułamki. Zwykły ułamek dzieli się na licznik i mianownik. Między nimi jest linia ułamkowa lub linia ułamkowa. Słupek ułamkowy można narysować jako linię poziomą lub ukośną. W ta sprawa oznacza znak podziału.

Mianownik reprezentuje, ile równych udziałów dzieli wartość, na którą dzieli się obiekt; a licznikiem jest, ile równych udziałów zostało pobranych. Licznik jest napisany nad kreską ułamkową, mianownik poniżej.

Najwygodniej jest pokazać zwykłe ułamki na promieniu współrzędnych. Jeśli pojedynczy segment jest podzielony na 4 równe części, każda część jest oznaczona literą łacińską, w rezultacie możesz uzyskać doskonałą materiał wizualny. Tak więc punkt A pokazuje udział równy 1/4 całego segmentu jednostki, a punkt B oznacza 2/8 tego segmentu.

Odmiany frakcji

Ułamki to liczby wspólne, dziesiętne i mieszane. Ponadto ułamki można podzielić na właściwe i niewłaściwe. Ta klasyfikacja jest bardziej odpowiednia dla zwykłych frakcji.

Prawidłowy ułamek to liczba, której licznik mniej niż mianownik. W związku z tym ułamek niewłaściwy to liczba, której licznik jest większy niż mianownik. Drugi rodzaj jest zwykle zapisywany jako liczba mieszana. Takie wyrażenie składa się z części całkowitej i części ułamkowej. Na przykład 1½. jeden - cała część, ½ - ułamek. Jeśli jednak musisz wykonać pewne manipulacje wyrażeniem (dzielenie lub mnożenie ułamków, zmniejszanie ich lub konwertowanie), pomieszane numery konwertowane na ułamek niewłaściwy.

Prawidłowe wyrażenie ułamkowe jest zawsze mniejsze niż jeden, a niepoprawne jest zawsze większe lub równe 1.

Jeśli chodzi o to wyrażenie, rozumieją rekord, w którym reprezentowana jest dowolna liczba, której mianownik wyrażenia ułamkowego może być wyrażony przez jeden z kilkoma zerami. Jeśli ułamek jest poprawny, to cała część w Notacja dziesiętna będzie równy zero.

Aby zapisać ułamek dziesiętny, musisz najpierw napisać część całkowitą, oddzielić ją od części ułamkowej przecinkiem, a następnie napisać wyrażenie ułamkowe. Należy pamiętać, że po przecinku licznik musi zawierać tyle znaków numerycznych, ile jest zer w mianowniku.

Przykład. Reprezentuj ułamek 7 21 / 1000 w notacji dziesiętnej.

Algorytm zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną i odwrotnie

Błędem jest zapisanie ułamka niewłaściwego w odpowiedzi na problem, więc należy go przeliczyć na liczbę mieszaną:

• podziel licznik przez istniejący mianownik;
• w konkretny przykład iloraz niepełny - całość;
• a reszta jest licznikiem części ułamkowej, przy czym mianownik pozostaje niezmieniony.

Przykład. Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną: 47 / 5 .

Decyzja. 47:5. Niepełny iloraz to 9, reszta = 2. Stąd 47/5 = 9 2/5.

Czasami trzeba przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy. Następnie musisz użyć następującego algorytmu:

• część całkowita jest mnożona przez mianownik wyrażenia ułamkowego;
• powstały produkt jest dodawany do licznika;
• wynik jest zapisywany w liczniku, mianownik pozostaje bez zmian.

Przykład. Reprezentuj liczbę w forma mieszana jako ułamek niewłaściwy: 9 8 / 10 .

Decyzja. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 to licznik.

Odpowiedź: 98 / 10.

Mnożenie ułamków zwykłych

Możesz wykonywać różne operacje algebraiczne na zwykłych ułamkach. Aby pomnożyć dwie liczby, należy pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Ponadto mnożenie ułamków przez różne mianowniki nie różni się od iloczynu liczb ułamkowych o tych samych mianownikach.

Zdarza się, że po znalezieniu wyniku musisz zmniejszyć ułamek. Konieczne jest maksymalne uproszczenie wynikowego wyrażenia. Oczywiście nie można powiedzieć, że ułamek niewłaściwy w odpowiedzi jest błędem, ale też trudno nazwać to poprawną odpowiedzią.

Przykład. Znajdź iloczyn dwóch zwykłych frakcji: ½ i 20/18.

Jak widać na przykładzie, po znalezieniu produktu otrzymuje się redukowalny zapis ułamkowy. Zarówno licznik, jak i mianownik w tym przypadku są podzielne przez 4, a wynikiem jest odpowiedź 5/9.

Mnożenie ułamków dziesiętnych

Iloczyn ułamków dziesiętnych różni się zasadniczo od iloczynu ułamków zwykłych. Tak więc mnożenie ułamków jest następujące:

• dwa ułamki dziesiętne muszą być zapisane pod sobą, tak aby cyfry znajdujące się najbardziej po prawej stronie znajdowały się jedna pod drugą;
• liczby pisane trzeba pomnożyć, mimo przecinków, czyli jako liczby naturalne;
• policz liczbę cyfr po przecinku w każdej z liczb;
• w wyniku uzyskanym po mnożeniu należy policzyć po prawej stronie tyle znaków cyfrowych, ile zawiera suma w obu czynnikach po przecinku i wstawić znak rozdzielający;
• jeśli w produkcie jest mniej cyfr, to należy przed nimi zapisać tyle zer, aby pokryć tę liczbę, wstawić przecinek i przypisać część całkowitą równą zero.

Przykład. Oblicz iloczyn dwóch miejsc po przecinku: 2,25 i 3,6.

Decyzja.

Mnożenie ułamków mieszanych

Aby obliczyć iloczyn dwóch ułamków mieszanych, musisz użyć reguły mnożenia ułamków:

• konwertuj liczby mieszane na ułamki niewłaściwe;
• znajdź iloczyn liczników;
• znajdź iloczyn mianowników;
• zapisz wynik;
• uprościć wyrażenie tak bardzo, jak to możliwe.

Przykład. Znajdź iloczyn 4½ i 6 2 / 5.

Mnożenie liczby przez ułamek (ułamki przez liczbę)

Oprócz znajdowania iloczynu dwóch ułamków, liczb mieszanych, istnieją zadania, w których musisz pomnożyć przez ułamek.

Aby znaleźć pracę Ułamek dziesiętny oraz liczbę naturalną, potrzebujesz:

• wpisz liczbę pod ułamkiem, tak aby cyfry znajdujące się najbardziej po prawej stronie znajdowały się jedna nad drugą;
• znajdź pracę, pomimo przecinka;
• w otrzymanym wyniku oddziel część całkowitą od części ułamkowej za pomocą przecinka, licząc po prawej stronie liczbę znaków po przecinku w ułamku.

Aby pomnożyć zwykły ułamek przez liczbę, należy znaleźć iloczyn licznika i czynnika naturalnego. Jeśli odpowiedź jest ułamkiem redukowalnym, należy go przekonwertować.

Przykład. Oblicz iloczyn 5/8 i 12.

Decyzja. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odpowiedź: 7 1 / 2.

Jak widać z poprzedniego przykładu, konieczne było zredukowanie otrzymanego wyniku i przekształcenie niepoprawnego wyrażenia ułamkowego na liczbę mieszaną.

Mnożenie ułamków dotyczy również znalezienia iloczynu liczby w postaci mieszanej i czynnika naturalnego. Aby pomnożyć te dwie liczby, należy pomnożyć część całkowitą współczynnika mieszanego przez liczbę, pomnożyć licznik przez tę samą wartość i pozostawić mianownik bez zmian. Jeśli to konieczne, musisz maksymalnie uprościć wynik.

Przykład. Znajdź produkt 9 5 / 6 i 9.

Decyzja. 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9)/6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

Odpowiedź: 88 1 / 2.

Mnożenie przez współczynniki 10, 100, 1000 lub 0,1; 0,01; 0,001

Poniższa zasada wynika z poprzedniego paragrafu. Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, 10000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o tyle cyfr, ile jest zer w mnożniku po jedynce.

Przykład 1. Znajdź iloczyn 0,065 i 1000.

Decyzja. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odpowiedź: 65.

Przykład 2. Znajdź iloczyn 3,9 i 1000.

Decyzja. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odpowiedź: 3900.

Jeśli potrzebujesz pomnożyć Liczba naturalna i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., należy przesunąć przecinek w lewo w wynikowym iloczynie o tyle cyfr, ile jest zer przed jedynką. Jeśli to konieczne, przed liczbą naturalną zapisywana jest wystarczająca liczba zer.

Przykład 1. Znajdź iloczyn 56 i 0,01.

Decyzja. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odpowiedź: 0,56.

Przykład 2. Znajdź iloczyn 4 i 0,001.

Decyzja. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odpowiedź: 0,004.

Tak więc znalezienie iloczynu różnych ułamków nie powinno powodować trudności, z wyjątkiem być może obliczenia wyniku; W takim przypadku po prostu nie możesz obejść się bez kalkulatora.

Aby poprawnie pomnożyć ułamek przez ułamek lub ułamek przez liczbę, musisz wiedzieć proste zasady. Teraz szczegółowo przeanalizujemy te zasady.

Mnożenie ułamka przez ułamek.

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy obliczyć iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Rozważ przykład:
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a także mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ razy 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)

Ułamek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) został zmniejszony o 3.

Mnożenie ułamka przez liczbę.

Zacznijmy od reguły dowolna liczba może być reprezentowana jako ułamek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Użyjmy tej reguły do ​​mnożenia.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Niewłaściwy ułamek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) przeliczone na ułamek mieszany.

Innymi słowy, Mnożąc liczbę przez ułamek, pomnóż liczbę przez licznik i pozostaw mianownik bez zmian. Przykład:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Mnożenie ułamków mieszanych.

Aby pomnożyć ułamki mieszane, należy najpierw przedstawić każdy ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy, a następnie zastosować regułę mnożenia. Licznik mnoży się przez licznik, mianownik mnoży się przez mianownik.

Przykład:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Mnożenie odwrotności ułamków i liczb.

Ułamek \(\bf \frac(a)(b)\) jest odwrotnością ułamka \(\bf \frac(b)(a)\), pod warunkiem, że a≠0,b≠0.
Ułamki \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazywane są odwrotnościami. Iloczyn frakcji odwrotnych wynosi 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Przykład:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Powiązane pytania:
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Odpowiedź: iloczyn zwykłych ułamków to mnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik. Aby otrzymać iloczyn ułamków mieszanych, należy je przeliczyć na ułamek niewłaściwy i pomnożyć zgodnie z zasadami.

Jak pomnożyć ułamki o różnych mianownikach?
Odpowiedź: nie ma znaczenia, czy mianowniki ułamków są takie same, czy różne, mnożenie następuje zgodnie z zasadą znajdowania iloczynu licznika z licznikiem, mianownika z mianownikiem.

Jak pomnożyć ułamki mieszane?
Odpowiedź: w pierwszej kolejności należy zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie znaleźć iloczyn zgodnie z zasadami mnożenia.

Jak pomnożyć liczbę przez ułamek?
Odpowiedź: Mnożymy liczbę przez licznik, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

Przykład 1:
Oblicz iloczyn: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Decyzja:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( czerwony) (5))(3 \times \color(czerwony) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Przykład #2:
Oblicz iloczyn liczby i ułamka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Decyzja:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Przykład #3:
Napisz odwrotność \(\frac(1)(3)\)?
Odpowiedź: \(\frac(3)(1) = 3\)

Przykład #4:
Oblicz iloczyn dwóch ułamków odwrotnych: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Decyzja:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Przykład #5:
Czy ułamki wzajemnie odwrotne mogą być:
a) obie frakcje właściwe;
b) jednocześnie ułamki niewłaściwe;
c) liczby naturalne w tym samym czasie?

Decyzja:
a) Użyjmy przykładu, aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie. Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest prawidłowy, jego odwrotność będzie równa \(\frac(3)(2)\) - ułamek niewłaściwy. Odpowiedź: nie.

b) w prawie wszystkich wyliczeniach ułamków warunek ten nie jest spełniony, ale są liczby, które spełniają warunek bycia jednocześnie ułamkiem niewłaściwym. Na przykład ułamek niewłaściwy to \(\frac(3)(3)\) , jego odwrotność to \(\frac(3)(3)\). Otrzymujemy dwa ułamki niewłaściwe. Odpowiedź: nie zawsze pod pewnymi warunkami, gdy licznik i mianownik są równe.

c) liczby naturalne to liczby, których używamy podczas liczenia, na przykład 1, 2, 3, .... Jeśli weźmiemy liczbę \(3 = \frac(3)(1)\), to jej odwrotnością będzie \(\frac(1)(3)\). Ułamek \(\frac(1)(3)\) nie jest liczbą naturalną. Jeśli przejdziemy przez wszystkie liczby, odwrotność jest zawsze ułamkiem, z wyjątkiem 1. Jeśli weźmiemy liczbę 1, to jej odwrotność będzie wyglądać tak: \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Liczba 1 jest liczbą naturalną. Odpowiedź: mogą być jednocześnie liczbami naturalnymi tylko w jednym przypadku, jeśli liczba ta wynosi 1.

Przykład #6:
Wykonaj iloczyn ułamków mieszanych: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Decyzja:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Przykład nr 7:
Czy dwie odwrotności mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi?

Spójrzmy na przykład. Weźmy ułamek mieszany \(1\frac(1)(2)\), znajdźmy jego odwrotność, w tym celu tłumaczymy go na ułamek niewłaściwy \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Jego odwrotność będzie równa \(\frac(2)(3)\) . Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest ułamkiem właściwym. Odpowiedź: Dwa wzajemnie odwrotne ułamki nie mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi.

Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Bardzo trudny moment w tych działaniach była redukcja ułamków do wspólny mianownik.

Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobrą wiadomością jest to, że te operacje są jeszcze łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa dodatnie ułamki bez wyodrębnionej części całkowitej.

Aby pomnożyć dwa ułamki, należy osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.

Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi.

Przeznaczenie:

Z definicji wynika, że ​​dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.

W wyniku mnożenia może powstać ułamek zmniejszony (i często powstaje) - oczywiście musi zostać zmniejszony. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Ale to, czego dokładnie nie stanie się z mnożeniem, to sprowadzenie do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, współczynników maksymalnych i najmniejszych wspólnych wielokrotności.

Z definicji mamy:

Mnożenie ułamków przez część całkowitą i ułamki ujemne

Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je przeliczyć na ułamki niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć zgodnie z przedstawionymi powyżej schematami.

Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:

1. Plus razy minus daje minus;
2. Dwa negatywy dają odpowiedź twierdzącą.

Do tej pory z tymi regułami spotykano się tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów naraz:

1. Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
2. Jeśli nie pozostały żadne minusy, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, wyjmujemy go poza granice mnożenia. Otrzymasz ułamek ujemny.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Wszystkie ułamki tłumaczymy na ułamki niewłaściwe, a następnie wyjmujemy minusy poza granice mnożenia. To co pozostało jest pomnożone przez zwykłe zasady. Otrzymujemy:

Przypomnę jeszcze raz, że minus przed ułamkiem z podświetloną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).

Zwróć także uwagę na liczby ujemne: Po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i doprecyzowania całej notacji.

Zmniejszanie ułamków w locie

Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je redukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Z definicji mamy:

We wszystkich przykładach liczby, które zostały zredukowane i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.

Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na swoich miejscach pozostały jednostki, które generalnie można pominąć. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć pełnej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.

Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które po prostu chcesz zmniejszyć. Tutaj spójrz:

Nie możesz tego zrobić!

Błąd występuje z powodu tego, że podczas dodawania ułamka suma pojawia się w liczniku ułamka, a nie iloczynu liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ w tej właściwości rozmawiamy Chodzi o mnożenie liczb.

Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzednie zadanie wygląda tak:

Prawidłowe rozwiązanie:

Jak widać, poprawna odpowiedź okazała się niezbyt piękna. Ogólnie bądź ostrożny.

) i mianownik przez mianownik (otrzymujemy mianownik iloczynu).

Wzór na mnożenie ułamków:

Na przykład:

Przed przystąpieniem do mnożenia liczników i mianowników należy sprawdzić możliwość zmniejszenia ułamka. Jeśli uda ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie ci kontynuować obliczenia.

Podział zwykłego ułamka przez ułamek.

Podział ułamków z udziałem liczby naturalnej.

To nie jest tak przerażające, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek z jednostką w mianowniku. Na przykład:

Mnożenie ułamków mieszanych.

Zasady mnożenia ułamków (mieszane):

• konwertuj ułamki mieszane na niewłaściwe;
• pomnóż liczniki i mianowniki ułamków;
• zmniejszamy ułamek;
• jeśli otrzymamy ułamek niewłaściwy, to zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez ułamek mieszany, należy najpierw doprowadzić je do postaci ułamki niewłaściwe, a następnie pomnóż przez zasadę mnożenia zwykłych ułamków.

Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.

Wygodniej jest użyć drugiej metody mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.

Z powyższego przykładu jasno wynika, że ​​ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.

Ułamki wielopoziomowe.

W szkole średniej często znajdują się trzypiętrowe (lub więcej) ułamki. Przykład:

Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej formy, stosuje się podział przez 2 punkty:

Notatka! Podczas dzielenia ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, tutaj łatwo się pomylić.

Notatka, Na przykład:

Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynik będzie tym samym ułamkiem, tylko odwróconym:

Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków:

1. Najważniejszą rzeczą w pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj starannie i dokładnie, skoncentrowanie i przejrzyście. Lepiej zapisać kilka dodatkowych linijek w szkicu, niż gubić się w obliczeniach w głowie.

2. W zadaniach z różne rodzaje ułamki - przejdź do postaci zwykłych ułamków.

3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż nie będzie już możliwe redukowanie.

4. Wprowadzamy wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe do zwykłych, stosując podział przez 2 punkty.

5. W naszym umyśle dzielimy jednostkę na ułamek, po prostu odwracając ułamek.

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają się z uczniami w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często trzeba rozważyć lub użyć jakiegoś przedmiotu nie w całości, ale w osobnych kawałkach. Początek opracowania tego tematu - udostępnij. Akcje są równe części na które podzielony jest obiekt. Przecież nie zawsze da się jako liczbę całkowitą wyrazić np. długość lub cenę produktu, należy brać pod uwagę części lub udziały jakiejkolwiek miary. Utworzony od czasownika „zmiażdżyć” - podzielić na części i mający arabskie korzenie, w VIII wieku samo słowo „ułamek” pojawiło się w języku rosyjskim.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą sekcję matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „złamanymi liczbami”, co było bardzo trudne do wyświetlenia w zrozumieniu ludzi.

nowoczesny wygląd proste pozostałości ułamkowe, których części są oddzielone dokładnie linią poziomą, po raz pierwszy wniósł Fibonacci - Leonardo z Pizy. Jego pisma datowane są na 1202. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób zachodzi mnożenie mieszanych ułamków o różnych mianownikach.

Mnożenie ułamków o różnych mianownikach

Początkowo konieczne jest ustalenie odmiany frakcji:

• prawidłowy;
• zło;
• mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak mnoży się liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu jest łatwa do sformułowania niezależnie: wynik mnożenia ułamki proste z tymi samymi mianownikami jest wyrażeniem ułamkowym, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników danych ułamków. To znaczy w istocie nowy mianownik znajduje się plac jednego z istniejących początkowo.

Podczas mnożenia proste ułamki o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników zasada nie ulega zmianie:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że utworzona liczba pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście kwadratu jedynki wyrażenie liczbowe nie da się tego nazwać.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

W przykładach użyto sposobów redukcji wyrażeń ułamkowych. Można redukować tylko liczby w liczniku liczbami w mianowniku; sąsiednie współczynniki powyżej lub poniżej słupka ułamkowego nie mogą zostać zmniejszone.

Wraz z prostym liczby ułamkowe, istnieje pojęcie frakcji mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia jest kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę dla tej akcji możesz zapisać wzorem:

a * b/c = a*b /c.

W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inna opcja rozwiązania mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

d* mi/f = mi/f: re.

Ta technika jest przydatna, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, całkowicie.

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i uzyskaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład dotyczy sposobu przedstawienia ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego, można go również przedstawić jako ogólna formuła:

a bc = a*b+ c / c, gdzie mianownik nowego ułamka jest tworzony przez pomnożenie części całkowitej przez mianownik i dodanie jej do licznika oryginalnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby wyizolować część całkowitą i resztę ułamkową, musisz podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik z „rogem”.

Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w zwykły sposób. Gdy wpis znajduje się pod jedną linią ułamkową, w razie potrzeby należy zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby za pomocą tej metody i łatwiej jest obliczyć wynik.

W Internecie jest wielu pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych różne odmiany programy. Wystarczająca liczba takich usług oferuje swoją pomoc w liczeniu mnożenia ułamków za pomocą różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory online do obliczania ułamków. Są w stanie nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne ze zwykłymi ułamkami i liczbami mieszanymi. Praca z nim nie jest trudna, odpowiednie pola są wypełniane na stronie witryny, wybierany jest znak działania matematycznego i naciskany jest „oblicz”. Program liczy się automatycznie.

Temat operacji arytmetycznych z liczbami ułamkowymi jest istotny w całej edukacji uczniów szkół średnich i starszych. W liceum nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe w liczbach całkowitych, ale wcześniej nabyta znajomość reguł przekształceń i obliczeń stosowana jest w oryginalnej formie. dobrze strawiony podstawowa wiedza dać pełne zaufanie do dobra decyzja bardzo wymagające zadania.

Na zakończenie warto przytoczyć słowa Lwa Tołstoja, który napisał: „Człowiek to ułamek. Nie jest w mocy człowieka zwiększanie swojego licznika – jego zasług, ale każdy może pomniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie i przez to zbliżyć się do swojej doskonałości.