Jak rozwiązywać ułamki dziesiętne. Ułamki dziesiętne. Pojęcie ułamka dziesiętnego
Przeczytaj także
Już w środku Szkoła Podstawowa uczniowie mają do czynienia z ułamkami. A potem pojawiają się w każdym temacie. Nie można zapomnieć o działaniach z tymi liczbami. Dlatego musisz znać wszystkie informacje o ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Te koncepcje są proste, najważniejsze jest zrozumienie wszystkiego w porządku.
Dlaczego potrzebne są ułamki?
Otaczający nas świat składa się z całych obiektów. Dlatego nie ma potrzeby posiadania akcji. Ale życie codzienne stale popycha ludzi do pracy z częściami przedmiotów i rzeczy.
Na przykład czekolada składa się z kilku plasterków. Rozważ sytuację, w której jego kafelek składa się z dwunastu prostokątów. Jeśli podzielisz go na dwie części, otrzymasz 6 części. Będzie dobrze podzielony na trzy. Ale ta piątka nie będzie w stanie podać całej liczby plastrów czekolady.
Nawiasem mówiąc, te plastry są już ułamkami. A ich dalszy podział prowadzi do pojawienia się liczb bardziej zespolonych.
Co to jest „ułamek”?
Jest to liczba składająca się z części jednego. Na zewnątrz wygląda jak dwie liczby oddzielone poziomym lub ukośnikiem. Ta funkcja nazywa się ułamkową. Liczba zapisana na górze (po lewej) nazywana jest licznikiem. Ten na dole (po prawej) to mianownik.
W rzeczywistości słupek ułamkowy okazuje się być znakiem podziału. Oznacza to, że licznik można nazwać dzielną, a mianownik można nazwać dzielnikiem.
Jakie są ułamki?
W matematyce są tylko dwa ich rodzaje: ułamki zwykłe i dziesiętne. Dzieci w wieku szkolnym są po raz pierwszy wprowadzane do Szkoła Podstawowa, nazywając je po prostu „ułamkami”. Drugi uczą się w 5 klasie. Wtedy pojawiają się te nazwy.
Wspólne ułamki to wszystkie te, które są zapisane jako dwie liczby oddzielone kreską. Na przykład 4/7. Dziesiętny to liczba, w której część ułamkowa ma zapis pozycyjny i jest oddzielona od liczby całkowitej przecinkiem. Na przykład 4,7. Uczniowie muszą jasno powiedzieć, że dwa podane przykłady to zupełnie różne liczby.
Każdy ułamek prosty można zapisać jako ułamek dziesiętny. To stwierdzenie jest prawie zawsze prawdziwe również w odwrotnej kolejności. Istnieją zasady, które pozwalają zapisywać ułamek dziesiętny jako zwykły ułamek.
Jakie podgatunki mają te frakcje?
Lepiej zacząć od porządek chronologiczny jak są badane. Wspólne ułamki są na pierwszym miejscu. Wśród nich można wyróżnić 5 podgatunków.
Prawidłowy. Jego licznik jest zawsze mniejszy niż mianownik.
Zło. Jego licznik jest większy lub równy mianownikowi.
Zmniejszalne / nieredukowalne. To może być dobre lub złe. Inna sprawa jest ważna, czy licznik i mianownik mają wspólne czynniki. Jeśli tak, to mają podzielić obie części ułamka, czyli zmniejszyć go.
Mieszany. Liczba całkowita jest przypisywana do jej zwykłej poprawnej (nieprawidłowej) części ułamkowej. I zawsze stoi po lewej stronie.
Złożony. Składa się z dwóch podzielonych na siebie frakcji. Oznacza to, że ma jednocześnie trzy cechy ułamkowe.
Ułamki dziesiętne mają tylko dwa podgatunki:
końcowy, czyli taki, w którym część ułamkowa jest ograniczona (ma koniec);
nieskończona - liczba, której cyfry po przecinku nie kończą się (można je pisać bez końca).
Jak przekonwertować dziesiętny na zwykły?
Jeżeli jest to liczba skończona, to stosuje się skojarzenie na podstawie reguły – jak słyszę, tak piszę. Oznacza to, że musisz go poprawnie przeczytać i zapisać, ale bez przecinka, ale z linią ułamkową.
Jako wskazówkę co do wymaganego mianownika pamiętaj, że zawsze jest to jeden i kilka zer. Te ostatnie należy wpisać tyle, ile cyfr w części ułamkowej danej liczby.
Jak przekonwertować ułamki dziesiętne na zwykłe, jeśli? cała część brak, czyli równy zero? Na przykład 0,9 lub 0,05. Po zastosowaniu określonej reguły okazuje się, że należy wpisać zerowe liczby całkowite. Ale nie jest to wskazane. Pozostaje zapisać tylko części ułamkowe. Pierwsza liczba będzie miała mianownik 10, druga będzie miała mianownik 100. To znaczy te przykłady odpowiedzi będą miały numery: 9/10, 5/100. Co więcej, ten ostatni okazuje się możliwy do zmniejszenia o 5. Dlatego wynik dla niego musi być napisany 1/20.
Jak zrobić zwykły ułamek z ułamka dziesiętnego, jeśli jego część całkowita jest różna od zera? Na przykład 5,23 lub 1300108. Oba przykłady odczytują część całkowitą i zapisują jej wartość. W pierwszym przypadku jest to 5, w drugim 13. Następnie musisz przejść do części ułamkowej. Z nimi konieczne jest wykonanie tej samej operacji. Pierwsza liczba ma 23/100, druga 108/100000. Druga wartość musi zostać ponownie zmniejszona. Odpowiedź jest taka frakcje mieszane: 5 23/100 i 13 27/25000.
Jak przekonwertować nieskończoną liczbę dziesiętną na zwykły ułamek zwykły?
Jeśli jest nieokresowa, to taka operacja nie może zostać przeprowadzona. Fakt ten wynika z faktu, że każdy ułamek dziesiętny jest zawsze konwertowany na końcową lub okresową.
Jedyne, co można zrobić z takim ułamkiem, to zaokrąglić go. Ale wtedy liczba dziesiętna będzie w przybliżeniu równa tej nieskończoności. Można go już zamienić w zwykły. Ale proces odwrotny: konwersja do postaci dziesiętnej - nigdy nie da wartość początkowa. Oznacza to, że nieskończone ułamki nieokresowe nie są tłumaczone na zwykłe ułamki. Trzeba o tym pamiętać.
Jak napisać nieskończony ułamek okresowy w postaci zwykłego?
W tych liczbach po przecinku zawsze pojawia się jedna lub więcej cyfr, które się powtarzają. Nazywane są okresami. Na przykład 0.3(3). Tutaj „3” w okresie. Są klasyfikowane jako racjonalne, ponieważ można je przeliczyć na zwykłe ułamki.
Ci, którzy zetknęli się z frakcjami okresowymi, wiedzą, że mogą być czyste lub mieszane. W pierwszym przypadku kropka zaczyna się od przecinka. W drugim część ułamkowa zaczyna się od dowolnych liczb, a następnie zaczyna się powtórzenie.
Reguła, według której musisz zapisać nieskończoną liczbę dziesiętną w postaci zwykłego ułamka, będzie inna dla tych dwóch rodzajów liczb. Bardzo łatwo jest napisać czyste ułamki okresowe jako zwykłe ułamki. Podobnie jak w przypadku ostatnich, należy je przeliczyć: wpisz kropkę do licznika, a mianownikiem będzie liczba 9, powtarzająca się tyle razy, ile jest cyfr w okresie.
Na przykład 0, (5). Liczba nie ma części całkowitej, więc musisz natychmiast przejść do części ułamkowej. Wpisz 5 w liczniku, a w mianowniku 9. Oznacza to, że odpowiedzią będzie ułamek 5/9.
Zasada pisania zwykłego ułamka dziesiętnego, który jest ułamkiem mieszanym.
Spójrz na długość okresu. Tyle 9 będzie miało mianownik.
Zapisz mianownik: najpierw dziewiątki, potem zera.
Aby określić licznik, musisz wpisać różnicę dwóch liczb. Wszystkie cyfry po przecinku zostaną zmniejszone wraz z kropką. Odejmowalne - bez kropki.
Na przykład 0.5(8) - zapisz okresowy ułamek dziesiętny jako wspólny ułamek. Część ułamkowa przed kropką to jedna cyfra. Więc zero będzie jedynką. W okresie jest też tylko jedna cyfra - 8. To znaczy, że jest tylko jedna dziewiątka. Oznacza to, że musisz wpisać 90 w mianowniku.
Aby określić licznik od 58, musisz odjąć 5. Okazuje się, że 53. Na przykład będziesz musiał napisać 53/90 jako odpowiedź.
Jak zwykłe ułamki zwykłe są konwertowane na ułamki dziesiętne?
przez większość prosta opcja okazuje się, że liczba w mianowniku to liczba 10, 100 i tak dalej. Następnie mianownik jest po prostu odrzucany, a przecinek jest umieszczany między częściami ułamkowymi i całkowitymi.
Zdarzają się sytuacje, w których mianownik łatwo zamienia się na 10, 100 itd. Na przykład liczby 5, 20, 25. Wystarczy pomnożyć je odpowiednio przez 2, 5 i 4. Tylko konieczne jest pomnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika przez tę samą liczbę.
We wszystkich innych przypadkach przyda się prosta zasada: podziel licznik przez mianownik. W takim przypadku możesz otrzymać dwie odpowiedzi: końcowy lub okresowy ułamek dziesiętny.
Operacje ze wspólnymi ułamkami
Dodawanie i odejmowanie
Studenci poznają je wcześniej niż inni. I na początku ułamki mają te same mianowniki, a potem różne. Główne zasady można zredukować do takiego planu.
Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników.
Wpisz dodatkowe współczynniki do wszystkich zwykłych ułamków.
Pomnóż liczniki i mianowniki przez zdefiniowane dla nich czynniki.
Dodaj (odejmij) liczniki ułamków i pozostaw wspólny mianownik bez zmian.
Jeśli licznik odjemnika jest mniejszy niż odcinek, to musisz dowiedzieć się, czy mamy liczbę mieszaną, czy ułamek właściwy.
W pierwszym przypadku część całkowita musi przyjąć jeden. Dodaj mianownik do licznika ułamka. A potem wykonaj odejmowanie.
W drugim - konieczne jest zastosowanie zasady odejmowania od mniejszej liczby do większej. Oznacza to, że odejmij moduł odjemnej od modułu odjemnej i wstaw w odpowiedzi znak „-”.
Przyjrzyj się dokładnie wynikowi dodawania (odejmowania). Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, to powinien on wybrać całą część. Oznacza to, że podziel licznik przez mianownik.
Mnożenie i dzielenie
Do ich realizacji ułamki nie muszą być redukowane do wspólny mianownik. Ułatwia to podejmowanie działań. Ale nadal muszą przestrzegać zasad.
Mnożąc zwykłe ułamki, należy wziąć pod uwagę liczby w licznikach i mianownikach. Jeśli dowolny licznik i mianownik mają wspólny czynnik, można je zmniejszyć.
Pomnóż liczniki.
Pomnóż mianowniki.
Jeśli uzyskasz ułamek redukowalny, należy go ponownie uprościć.
Podczas dzielenia należy najpierw zastąpić dzielenie mnożeniem, a dzielnik (drugi ułamek) odwrotnością (zamień licznik i mianownik).
Następnie postępuj jak w mnożeniu (zaczynając od punktu 1).
W zadaniach, w których trzeba pomnożyć (podzielić) przez liczbę całkowitą, ta ostatnia ma być zapisana w postaci ułamek niewłaściwy. Oznacza to, że z mianownikiem 1. Następnie postępuj zgodnie z powyższym opisem.
Operacje z ułamkami dziesiętnymi
Dodawanie i odejmowanie
Oczywiście zawsze możesz zamienić ułamek dziesiętny na zwykły ułamek. I działaj zgodnie z opisanym już planem. Ale czasami wygodniej jest działać bez tego tłumaczenia. Wtedy zasady ich dodawania i odejmowania będą dokładnie takie same.
Wyrównaj liczbę cyfr w części ułamkowej liczby, czyli po przecinku. Przypisz w nim brakującą liczbę zer.
Napisz ułamki tak, aby przecinek znajdował się pod przecinkiem.
Dodawaj (odejmuj) jak liczby naturalne.
Usuń przecinek.
Mnożenie i dzielenie
Ważne jest, aby nie trzeba było tutaj dodawać zer. Ułamki należy pozostawić tak, jak podano w przykładzie. A potem idź zgodnie z planem.
Aby mnożyć, musisz pisać ułamki jeden pod drugim, nie zwracając uwagi na przecinki.
Pomnóż jak liczby naturalne.
Umieść przecinek w odpowiedzi, licząc od prawego końca odpowiedzi tyle cyfr, ile jest w ułamkach obu czynników.
Aby podzielić, musisz najpierw przekonwertować dzielnik: uczyń go liczbą naturalną. To znaczy pomnóż to przez 10, 100 itd., W zależności od tego, ile cyfr znajduje się w części ułamkowej dzielnika.
Pomnóż dywidendę przez tę samą liczbę.
Podziel ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną.
Wstawiaj przecinek w odpowiedzi w momencie, gdy kończy się dzielenie całej części.
A co, jeśli w jednym przykładzie występują oba typy ułamków?
Tak, w matematyce często są przykłady, w których trzeba wykonywać operacje na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Istnieją dwa możliwe rozwiązania tych problemów. Musisz obiektywnie zważyć liczby i wybrać najlepszą.
Pierwszy sposób: reprezentują zwykłe ułamki dziesiętne
Jest to odpowiednie, jeśli podczas dzielenia lub przetwarzania otrzymuje się końcowe frakcje. Jeśli przynajmniej jedna liczba daje część okresową, ta technika jest zabroniona. Dlatego nawet jeśli nie lubisz pracować ze zwykłymi ułamkami, będziesz musiał je policzyć.
Drugi sposób: zapisz ułamki dziesiętne jako zwykłe
Ta technika jest wygodna, jeśli część po przecinku zawiera 1-2 cyfry. Jeśli jest ich więcej, może okazać się bardzo duży. wspólny ułamek a wpisy dziesiętne pozwolą Ci szybciej i łatwiej obliczyć zadanie. Dlatego zawsze należy trzeźwo ocenić zadanie i wybrać najprostszą metodę rozwiązania.
Ułamki dziesiętne. DZIAŁANIA NA Ułamkach dziesiętnych
(podsumowanie lekcji)
Tumysheva Zamira Tansykbaevna, nauczyciel matematyki, gimnazjum nr 2
Khromtau, region Aktobe, Republika Kazachstanu
To rozwinięcie lekcji ma na celu uogólnienie lekcji w rozdziale „Działania na ułamkach dziesiętnych”. Może być stosowany zarówno w piątej, jak i szóstej klasie. Lekcja prowadzona jest w formie gry.
Ułamki dziesiętne. Operacje na liczbach dziesiętnych.(podsumowanie lekcji)
Cel:
Ćwiczenie umiejętności i umiejętności dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych na liczby naturalne i ułamki dziesiętne
Tworzenie warunków do rozwoju umiejętności niezależna praca, samokontrola i samoocena, rozwój cech intelektualnych: uwagi, wyobraźni, pamięci, umiejętności analizowania i uogólniania
zaszczepić zainteresowanie poznawcze do tematu i rozwijania pewności siebie
PLAN LEKCJI:
1. Część organizacyjna.
3. Temat i cel naszej lekcji.
4. Gra „Do cennej flagi!”
5. Gra „Młyn cyferkowy”.
6. Dygresja liryczna.
8. Gra „Szyfrowanie” (praca w parach)
9. Podsumowując.
10. Zadanie domowe.
1. Część organizacyjna. Cześć. Usiądź.
2. Omówienie zasad wykonywania operacji arytmetycznych na ułamkach dziesiętnych.
Reguła dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych:
1) wyrównać liczbę miejsc po przecinku w tych ułamkach;
2) zapisz jeden pod drugim tak, aby przecinek był pod przecinkiem;
3) bez zwracania uwagi na przecinek, wykonaj akcję (dodawanie lub odejmowanie) i w rezultacie umieść przecinek pod przecinkami.
3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37
3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57
0,450 4,0 7,88 3,20
3,905 7,5 7,12 1,37
Podczas dodawania i odejmowania liczby naturalne są zapisywane jako ułamek dziesiętny z miejscami dziesiętnymi równymi zero.
Zasada mnożenia ułamków dziesiętnych:
1) ignorując przecinek, pomnóż liczby;
2) w otrzymanym produkcie oddzielić przecinkiem tyle cyfr od prawej do lewej, ile jest oddzielonych przecinkiem w ułamkach dziesiętnych.
Podczas mnożenia ułamka dziesiętnego przez jednostki bitowe (10, 100, 1000 itd.) przecinek jest przesuwany w prawo o tyle liczb, ile jest zer w jednostce bitowej
4
17,25 4 = 69
x 1 7,2 5
4
6 9,0 0
15,256 100 = 1525,6
0,5 0,52 = 2,35X 0,5 2
4,5
2 7 0
2 0 8__
2,3 5 0
Podczas mnożenia liczby naturalne są zapisywane jako liczby naturalne.
Zasada dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczbę naturalną:
1) podzielić całą część dywidendy, wstawić przecinek w miejscu prywatnym;
2) kontynuować dzielenie.
Dzieląc przez resztę, odejmujemy tylko jedną liczbę z dywidendy.
Jeśli w procesie dzielenia ułamka dziesiętnego pozostaje reszta, to przypisując mu wymaganą liczbę zer, kontynuujemy dzielenie, aż reszta wyniesie zero.
15,256: 100 = 0,15256
0,25: 1000 = 0,00025
Podczas dzielenia ułamka dziesiętnego na jednostki bitowe (10, 100, 1000 itd.) przecinek jest przesuwany w lewo o tyle liczb, ile jest zer w jednostce bitowej.
18,4: 8 = 2,3
_ 18,4 І_8_
16 2,3
2 4
2 4
22,2: 25 = 0,88
22,2 І_25_
0 0,888
22 2
20 0
2 20
2 00
200
200
3,56: 4 = 0,89
3,56 І_4_
0 0,89
3 5
3 2
36
Podczas dzielenia liczby naturalne są zapisywane jako liczby naturalne.
Zasada dzielenia ułamków dziesiętnych przez ułamki dziesiętne:
1) przesuwamy przecinek w dzielniku w prawo, aby otrzymać liczbę naturalną;
2) przesunąć przecinek w dzielnej na prawo o tyle liczb, o ile został przesunięty w dzielniku;
3) dzielimy ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną.
3,76: 0,4 = 9, 4
_ 3,7,6 I_0,4,_
3 6 9, 4
1 6
1 6
0
Gra „Do cenionej flagi!”
Zasady gry: Z każdego zespołu jeden uczeń jest wzywany do tablicy, który wykonuje liczenie ustne od dolnego stopnia. Rozwiązanie jednego przykładu zaznacza odpowiedź w tabeli. Następnie zostaje zastąpiony przez innego członka zespołu. Jest ruch w górę - do upragnionej flagi. Uczniowie w terenie sprawdzają ustnie wyniki swoich zawodników. Jeśli odpowiedź jest nieprawidłowa, do tablicy podchodzi inny członek zespołu, aby kontynuować rozwiązywanie zadań. Kapitanowie drużyn wzywają uczniów do pracy przy tablicy. Wygrywa pierwsza drużyna, która dotrze do flagi z najmniejszą liczbą uczniów.
Gra „Młyn numeryczny”
Zasady gry: Liczby wypisane są w kółkach młyna. Strzałki łączące kręgi wskazują działania. Zadaniem jest wykonywanie kolejnych czynności, przesuwając się wzdłuż strzałki od środka do zewnętrznego okręgu. Wykonując kolejne czynności wzdłuż wskazanej trasy, znajdziesz odpowiedź w jednym z kółek poniżej. Wynik wykonania działań dla każdej strzałki jest zapisany w owalu obok niej.
Dygresja liryczna.
Wiersz Lifshitza „Trzy dziesiąte”
Kto to jest
Z portfolio
Wrzuca irytację
nienawistna układanka,
Piórnik i zeszyty
I trzyma swój pamiętnik.
Bez rumienienia się,
Pod dębowym kredensem.
leżeć pod kredensem?..
Zapraszamy do poznania:
Kostia Żygalin.
Ofiara wiecznego czepiania się nitów, -
Znowu mu się nie udało.
I syczy
Rozczochrany
Szukam książki problemów:
Po prostu nie mam szczęścia!
Jestem tylko frajerem!
Jaki jest powód
Jego uraza i irytacja?
Że odpowiedź nie pasowała
Tylko trzy dziesiąte.
To prawdziwa strata!
A dla niego oczywiście
Znajdź błąd
Ścisły
Maria Pietrowna.
Trzy dziesiąte...
Opowiedz mi o tym błędzie
A może na twarzach
Zobaczysz uśmiech.
Trzy dziesiąte...
A jeszcze o tym błędzie
błagam Cię
Posłuchaj mnie
Bez uśmiechu.
Jeśli b, buduj swój dom.
Ten, w którym mieszkasz.
Architekt
trochę
Zło
Licząc, -
Co by się stało.
Czy znasz Kostię Żygalina?
Ten dom
obróciłbym się
W kupie ruin!
Wchodzisz na most.
Jest niezawodny i trwały.
Nie bądź inżynierem
Dokładny na swoich rysunkach, -
Czy ty, Kostia,
Spadanie w dół
do zimnej rzeki
Nie powiedziałbym dziękuję
Ta osoba!
Oto turbina.
Ma wałek
Znudzony przez tokarzy.
Jeśli tokarz
W pracy
Nie był bardzo dokładny.
Stałoby się, Kostia,
Wielkie nieszczęście:
Zniszczyłoby turbinę
na małe części!
Trzy dziesiąte -
A ściany
są wznoszone
Koso!
Trzy dziesiąte -
I upaść
wagony
Ze stoku!
zrobić błąd
Tylko trzy dziesiąte
Apteka, -
Medycyna staje się trucizną
Zabije człowieka!
Rozbiliśmy się i pojechaliśmy
Faszystowski gang.
Twój ojciec dał
Polecenie baterii.
Popełnij błąd po przyjeździe
Co najmniej trzy dziesiąte
Pociski nie wyprzedziły
Cholerni naziści.
Myślisz o tym
Mój przyjacielu, z zimną krwią
I powiedzieć.
Czy to nie było w porządku?
Maria Pietrowna?
Szczerze mówiąc
Pomyśl o tym, Kostia.
Niedługo kłamać
Pamiętnik pod bufetem!
Praca testowa na temat „Ułamki dziesiętne” (matematyka -5)
Na ekranie pojawi się kolejno 9 slajdów. Uczniowie zapisują w zeszytach numer opcji i odpowiedzi na pytanie. Na przykład opcja 2
1. C; 2. A; itp.
PYTANIE 1
opcja 1
Mnożąc ułamek dziesiętny przez 100, musisz przesunąć przecinek w tym ułamku:
A. w lewo o 2 cyfry; B. w prawo o 2 cyfry; C. nie zmieniaj miejsca przecinka.
Opcja 2
Mnożąc ułamek dziesiętny przez 10, musisz przesunąć przecinek w tym ułamku:
A. prawa 1 cyfra; B. w lewo o 1 cyfrę; C. nie zmieniaj miejsca przecinka.
PYTANIE 2
opcja 1
Suma 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 jako iloczyn zapisuje się następująco:
6,27 5; B. 6,27 6,27; S. 6.27 4.
Opcja 2
Suma 9,43 + 9,43 + 9,43 + 9,43 jako iloczyn zapisuje się następująco:
9.43 9.43; B. 6 9,43; S. 9.43 4.
PYTANIE 3
opcja 1
W produkcie 72.43 18 po przecinku będzie:
Opcja 2
W iloczynie 12,453 35 po przecinku będzie:
A. 2 cyfry; B. 0 cyfr; C. 3 cyfry.
PYTANIE 4
opcja 1
W ilorazie 76,4:2 po przecinku będzie:
A. 2 cyfry; B. 0 cyfr; C. 1 cyfra.
Opcja 2
W prywatnych 95.4:6 po przecinku będzie:
A. 1 cyfra; B. 3 cyfry; C. 2 cyfry.
PYTANIE 5
opcja 1
Znajdź wartość wyrażenia 34,5: x + 0,65 y, przy x=10 y=100:
35.15; 68.45; S. 9.95.
Opcja 2
Znajdź wartość wyrażenia 4,9 x +525:y, przy x=100 y=1000:
4905,25; B. 529,9; s. 490 525.
PYTANIE 6
opcja 1
Powierzchnia prostokąta o bokach 0,25 i 12 cm to
A.3; B. 0,3; s. 30.
Opcja 2
Powierzchnia prostokąta o bokach 0,5 i 36 cm to
1.8; W.18; C. 0,18.
PYTANIE 7
opcja 1
Dwóch uczniów opuściło szkołę w tym samym czasie w przeciwnych kierunkach. Prędkość pierwszego ucznia to 3,6 km/h, prędkość drugiego ucznia to 2,56 km/h. Po 3 godzinach odległość między nimi będzie:
A. 6,84 km; V. 18,48 km; S. 3,12 km²
Opcja 2
Dwóch rowerzystów opuściło jednocześnie szkołę w przeciwnych kierunkach. Prędkość pierwszego to 11,6 km/h, prędkość drugiego to 13,06 km/h. Po 4 godzinach odległość między nimi będzie:
A. 5,84 km; V. 100,8 km; S. 98,64 km
opcja 1
Opcja 2
Sprawdź swoje odpowiedzi. Wstaw "+" dla poprawnej odpowiedzi i "-" dla błędnej odpowiedzi.
Gra „Szyfrowanie”
Zasady gry: Każde biurko otrzymuje kartę z zadaniem z kodem-literem. Po wykonaniu kroków i uzyskaniu wyniku zapisz kod-liter swojej karty pod numerem odpowiadającym Twojej odpowiedzi.
W efekcie otrzymujemy propozycję:
6,8
420
21,6
420
306
65,8
21,6
Podsumowując lekcję.
Ogłaszane są wyniki prac testowych.
Praca domowa #1301, 1308, 1309
Dziękuję za uwagę!!!
Ułamek dziesiętny jest używany, gdy musisz wykonać operacje na liczbach niecałkowitych. To może wydawać się irracjonalne. Ale tego typu liczby znacznie ułatwiają operacje matematyczne, które należy z nimi wykonać. To zrozumienie przychodzi z czasem, kiedy ich pisanie staje się oswojone, a czytanie nie sprawia trudności, a zasady ułamków dziesiętnych są opanowane. Co więcej, wszystkie czynności powtarzają już znane, których się uczymy liczby naturalne. Musisz tylko zapamiętać kilka funkcji.
Definicja dziesiętna
Ułamek dziesiętny to specjalna reprezentacja liczby niecałkowitej z mianownikiem podzielnym przez 10, a odpowiedzią jest jeden i ewentualnie zera. Innymi słowy, jeśli mianownik to 10, 100, 1000 itd., wygodniej jest przepisać liczbę za pomocą przecinka. Wtedy część całkowita zostanie umieszczona przed nią, a następnie część ułamkowa. Ponadto zapis drugiej połowy liczby będzie zależał od mianownika. Liczba cyfr znajdujących się w części ułamkowej musi być równa mianownikowi.
Powyższe można zilustrować następującymi liczbami:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Powody używania ułamków dziesiętnych
Matematycy potrzebowali ułamków dziesiętnych z kilku powodów:
Uprość nagrywanie. Taki ułamek znajduje się wzdłuż jednej linii bez myślnika między mianownikiem a licznikiem, a przejrzystość nie ucierpi.
Prostota w porównaniu. Wystarczy skorelować liczby, które są w tych samych pozycjach, podczas gdy przy zwykłych ułamkach trzeba by je sprowadzić do wspólnego mianownika.
Uproszczenie obliczeń.
Kalkulatory nie są przeznaczone do wprowadzania zwykłych ułamków zwykłych, używają notacji dziesiętnej do wszystkich operacji.
Jak poprawnie odczytać takie liczby?
Odpowiedź jest prosta: tak jak zwykła liczba mieszana z mianownikiem będącym wielokrotnością 10. Jedynymi wyjątkami są ułamki bez wartości całkowitej, wtedy przy czytaniu trzeba powiedzieć „całkowite zero”.
Na przykład 45/1000 powinno być wymawiane jako czterdzieści pięć tysięcznych, a 0.045 będzie brzmieć jak punkt zerowy czterdzieści pięć tysięcznych.
Liczba mieszana z częścią całkowitą równą 7 i ułamkiem 17/100, która zostanie zapisana jako 7,17, w obu przypadkach będzie odczytywana jako siedem przecinek siedemnaście setnych.
Rola cyfr w zapisie ułamków zwykłych
Prawdą jest, że należy zwrócić uwagę na wyładowanie - tego wymaga matematyka. Ułamki dziesiętne i ich znaczenie mogą się znacznie zmienić, jeśli wpiszesz cyfrę w niewłaściwym miejscu. Tak było jednak wcześniej.
Aby odczytać cyfry części całkowitej ułamka dziesiętnego, wystarczy użyć reguł znanych z liczby naturalne. A po prawej stronie są lustrzane i inaczej czytane. Jeśli w całej części zabrzmiały „dziesiątki”, to po przecinku będą to już „dziesiątki”.
Widać to wyraźnie w tej tabeli.
| Klasa | tysiące | jednostki | , | frakcja | |||||||
| wypisać | sto | grud. | jednostki | sto | grud. | jednostki | dziesiąty | setny | tysięczny | dziesięć tysięcznych | |
Jak zapisać liczbę mieszaną jako ułamek dziesiętny?
Jeśli mianownik zawiera liczbę równą 10 lub 100 i inne, pytanie, jak przekonwertować ułamek na ułamek dziesiętny, jest proste. Aby to zrobić, wystarczy przepisać wszystkie jego części składowe w inny sposób. Pomogą w tym następujące punkty:
odłóż na bok licznik ułamka, w tym momencie kropka dziesiętna znajduje się po prawej stronie, po ostatniej cyfrze;
przesuń przecinek w lewo, tutaj najważniejsze jest prawidłowe policzenie liczb - musisz przesunąć go o tyle pozycji, ile jest zer w mianowniku;
jeśli jest ich za mało, zera powinny pojawić się na pustych pozycjach;
zera, które były na końcu licznika, nie są już potrzebne i można je przekreślić;
dodaj część całkowitą przed przecinkiem, jeśli jej tam nie było, to tutaj również pojawi się zero.
Uwaga. Nie można skreślać zer otoczonych innymi liczbami.
Możesz przeczytać o tym, jak znaleźć się w sytuacji, gdy mianownik zawiera liczbę nie tylko jeden i zera, jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, możesz przeczytać trochę niżej. To jest ważna informacja co zdecydowanie warto sprawdzić.
Jak zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, jeśli mianownik jest dowolną liczbą?
Są tu dwie opcje:
Kiedy mianownik można przedstawić jako liczbę, która wynosi dziesięć do dowolnej potęgi.
Jeśli taka operacja nie może być wykonana.
Jak to sprawdzić? Musisz rozłożyć mianownik na czynniki. Jeśli w produkcie występuje tylko 2 i 5, wszystko jest w porządku, a ułamek można łatwo przekonwertować na ostatnią liczbę dziesiętną. W przeciwnym razie, jeśli pojawi się 3, 7 i inne liczby pierwsze, wtedy wynik będzie nieskończony. Zwyczajowo zaokrągla się taki ułamek dziesiętny w celu ułatwienia użycia w operacjach matematycznych. Zostanie to omówione nieco niżej.
Badanie, w jaki sposób uzyskuje się takie ułamki dziesiętne, klasa 5. Bardzo pomocne będą tutaj przykłady.
Niech mianowniki zawierają liczby: 40, 24 i 75. Rozkład na czynniki pierwsze dla nich będzie to:
- 40=2 2 2 5;
- 24=2 2 2 3;
- 75=5 5 3.
W tych przykładach tylko pierwsza ułamek może być reprezentowana jako ułamek końcowy.
Algorytm do zamiany zwykłego ułamka na ostatnią część dziesiętną
Sprawdź faktoryzację mianownika na czynniki pierwsze i upewnij się, że będzie on składał się z 2 i 5.
Dodaj do tych liczb tyle 2 i 5, że staną się równą liczbą. Podadzą wartość dodatkowego mnożnika.
Pomnóż mianownik i licznik przez tę liczbę. Wynikiem jest zwykły ułamek, pod którego linią znajduje się do pewnego stopnia 10.
Jeśli w zadaniu te czynności są wykonywane z liczbą mieszaną, to najpierw należy ją przedstawić jako zły ułamek. I dopiero wtedy postępuj zgodnie z opisanym scenariuszem.
Reprezentacja wspólnego ułamka jako zaokrąglonego dziesiętnego
Ten sposób zamiany ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny wydaje się komuś jeszcze prostszy. Ponieważ nie ma duża liczba działania. Wystarczy podzielić licznik przez mianownik.
Każdej liczbie z częścią dziesiętną po prawej stronie przecinka można przypisać nieskończoną liczbę zer. Ta właściwość powinna być używana.
Najpierw zapisz całą część i umieść po niej przecinek. Jeśli ułamek jest poprawny, wpisz zero.
Następnie należy dokonać dzielenia licznika przez mianownik. Aby miały taką samą liczbę cyfr. Oznacza to, że przypisz po prawej stronie licznika właściwa ilość zera.
Spełnić podział na kolumnę aż zostanie wybrana żądana liczba cyfr. Na przykład, jeśli chcesz zaokrąglić do setnych, w odpowiedzi powinny być 3. Ogólnie rzecz biorąc, powinna być o jedną cyfrę więcej niż potrzebujesz na końcu.
Zapisz odpowiedź pośrednią po przecinku i zaokrąglij zgodnie z zasadami. Jeśli ostatnia cyfra wynosi od 0 do 4, wystarczy ją odrzucić. A kiedy jest równy 5-9, to ten przed nim musi zostać zwiększony o jeden, odrzucając ostatni.
Powrót z dziesiętnego do zwykłego
W matematyce pojawiają się problemy, gdy wygodniej jest przedstawić ułamki dziesiętne w postaci zwykłych, w których występuje licznik z mianownikiem. Możesz odetchnąć z ulgą: ta operacja jest zawsze możliwa.
W przypadku tej procedury musisz wykonać następujące czynności:
zapisz część całkowitą, jeśli jest równa zero, to nic nie trzeba pisać;
narysuj linię ułamkową;
nad nim napisz liczby z prawej strony, jeśli pierwsze są zerami, to należy je przekreślić;
pod linią napisz jednostkę z tyloma zerami, ile jest cyfr po przecinku w oryginalnym ułamku.
To wszystko, co musisz zrobić, aby zamienić ułamek dziesiętny na zwykły ułamek.
Co można zrobić z ułamkami dziesiętnymi?
W matematyce będą to pewne działania z ułamkami dziesiętnymi, które były wcześniej wykonywane dla innych liczb.
Oni są:
porównanie;
Dodawanie i odejmowanie;
mnożenie i dzielenie.
Pierwsza czynność, porównanie, jest podobna do tej, którą wykonano dla liczb naturalnych. Aby określić, która jest większa, musisz porównać cyfry części całkowitej. Jeśli okażą się równe, przełączają się na ułamkowe i porównują je w ten sam sposób cyframi. Odpowiedzią będzie liczba z największą cyfrą w najwyższym porządku.
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
To chyba najbardziej proste kroki. Ponieważ są wykonywane zgodnie z zasadami liczb naturalnych.
Tak więc, aby dodać ułamki dziesiętne, należy je pisać jeden pod drugim, umieszczając przecinki w kolumnie. Przy takim zapisie części całkowite pojawiają się po lewej stronie przecinków, a części ułamkowe po prawej stronie. A teraz musisz dodawać liczby krok po kroku, tak jak w przypadku liczb naturalnych, przesuwając przecinek w dół. Musisz zacząć dodawać od najmniejszej cyfry części ułamkowej liczby. Jeśli w prawej połowie nie ma wystarczającej liczby liczb, dodaj zera.
Odejmowanie działa w ten sam sposób. I tu obowiązuje zasada, która opisuje możliwość wzięcia jednostki z najwyższej cyfry. Jeśli zmniejszony ułamek ma mniej cyfr po przecinku niż odcinek, to po prostu są mu przypisywane zera.
Sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana w przypadku zadań, w których trzeba wykonać mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych.
Jak pomnożyć dziesiętne w różnych przykładach?
Zasada mnożenia ułamków dziesiętnych przez liczbę naturalną jest następująca:
zapisz je w kolumnie, ignorując przecinek;
mnożyć się tak, jakby były naturalne;
oddziel przecinkiem tyle cyfr, ile było w części ułamkowej oryginalnej liczby.
Szczególnym przypadkiem jest przykład, w którym liczba naturalna jest równa 10 dowolnej potędze. Następnie, aby uzyskać odpowiedź, wystarczy przesunąć przecinek w prawo o tyle pozycji, ile jest zer w innym czynniku. Innymi słowy, przy pomnożeniu przez 10 przecinek przesuwa się o jedną cyfrę, o 100 - będą dwa i tak dalej. Jeśli w części ułamkowej nie ma wystarczającej liczby cyfr, musisz wpisać zera na pustych pozycjach.
Reguła używana, gdy w zadaniu musisz pomnożyć ułamki dziesiętne przez inny o tej samej liczbie:
zapisz je jeden pod drugim, ignorując przecinki;
mnożyć tak, jakby były liczbami naturalnymi;
oddzielić przecinkiem tyle cyfr, ile było w częściach ułamkowych obu pierwotnych ułamków razem.
W szczególnym przypadku rozróżnia się przykłady, w których jeden z czynników jest równy 0,1 lub 0,01 i tak dalej. W nich należy przesunąć przecinek w lewo o liczbę cyfr w prezentowanych czynnikach. Oznacza to, że jeśli pomnożymy przez 0,1, to przecinek zostanie przesunięty o jedną pozycję.
Jak podzielić ułamek dziesiętny na różne zadania?
Podział ułamków dziesiętnych przez liczbę naturalną odbywa się zgodnie z następującą zasadą:
zapisz je do podziału w kolumnie, jakby były naturalne;
podziel zgodnie ze zwykłą zasadą, aż cała część się skończy;
umieść przecinek w odpowiedzi;
kontynuuj dzielenie składnika ułamkowego, aż reszta wyniesie zero;
w razie potrzeby możesz przypisać żądaną liczbę zer.
Jeśli część całkowita jest równa zero, to również nie będzie jej w odpowiedzi.
Oddzielnie istnieje podział na liczby równe dziesięć, sto i tak dalej. W takich problemach musisz przesunąć przecinek w lewo o liczbę zer w dzielniku. Zdarza się, że w części całkowitej jest za mało cyfr, wtedy zamiast nich używane są zera. Widać, że operacja ta jest podobna do mnożenia przez 0,1 i podobnych liczb.
Aby wykonać dzielenie ułamków dziesiętnych, musisz użyć tej zasady:
zamień dzielnik na liczbę naturalną i aby to zrobić, przesuń w nim przecinek w prawo do końca;
przesuń przecinek i podzielną przez tę samą liczbę cyfr;
postępuj zgodnie z poprzednim scenariuszem.
wyróżnia się dzielenie przez 0,1; 0,01 i inni podobne numery. W takich przykładach przecinek jest przesuwany w prawo o liczbę cyfr w części ułamkowej. Jeśli się skończyły, musisz przypisać brakującą liczbę zer. Warto zauważyć, że ta akcja powtarza podział przez 10 i podobne liczby.
Wniosek: chodzi o praktykę
Nic w nauce nie jest łatwe ani bez wysiłku. Niezawodne opanowanie nowego materiału wymaga czasu i praktyki. Matematyka nie jest wyjątkiem.
Aby temat ułamków dziesiętnych nie sprawiał trudności, musisz za ich pomocą rozwiązać jak najwięcej przykładów. W końcu był czas, kiedy dodawanie liczb naturalnych było mylące. A teraz wszystko jest w porządku.
Dlatego parafrazując słynne zdanie: zdecyduj, zdecyduj i zdecyduj jeszcze raz. Wtedy zadania z takimi liczbami będą wykonywane łatwo i naturalnie, jak kolejna zagadka.
Nawiasem mówiąc, łamigłówki są początkowo trudne do rozwiązania, a następnie musisz wykonywać zwykłe ruchy. To samo dotyczy przykładów matematycznych: po kilkukrotnym przejściu tą samą ścieżką nie będziesz już myślał o tym, gdzie się skręcić.
Ten artykuł jest o ułamki dziesiętne. Tutaj zajmiemy się Notacja dziesiętna liczby ułamkowe, wprowadzamy pojęcie ułamka dziesiętnego i podajemy przykłady ułamków dziesiętnych. Następnie porozmawiajmy o cyfrach ułamków dziesiętnych, podaj nazwy cyfr. Następnie skupimy się na nieskończonych ułamkach dziesiętnych, powiedzmy o ułamkach okresowych i nieokresowych. Następnie podajemy główne akcje z ułamkami dziesiętnymi. Podsumowując, ustalamy pozycję ułamków dziesiętnych na promieniu współrzędnych.
Nawigacja po stronach.
Zapis dziesiętny liczby ułamkowej
Czytanie ułamków dziesiętnych
Powiedzmy kilka słów o zasadach odczytywania ułamków dziesiętnych.
Ułamki dziesiętne, które odpowiadają prawidłowym ułamkom zwykłym, odczytuje się w taki sam sposób, jak te zwykłe ułamki, tylko „zero całości” jest dodawane wcześniej. Na przykład ułamek dziesiętny 0,12 odpowiada ułamkowi zwykłemu 12/100 (czytuje „dwanaście setnych”), dlatego 0,12 jest odczytywane jako „dwunaście setnych punktów zerowych”.
Ułamki dziesiętne, które odpowiadają liczbom mieszanym, czyta się dokładnie w taki sam sposób, jak te liczby mieszane. Na przykład ułamek dziesiętny 56,002 odpowiada liczbie mieszanej, dlatego ułamek dziesiętny 56,002 jest odczytywany jako „pięćdziesiąt sześć przecinek dwie tysięczne”.
Miejsca w ułamkach dziesiętnych
W zapisie ułamków dziesiętnych, a także w zapisie liczb naturalnych, wartość każdej cyfry zależy od jej pozycji. Rzeczywiście, liczba 3 w dziesiętnym 0,3 oznacza trzy dziesiąte, w dziesiętnym 0,0003 - trzy dziesięć tysięcznych, a dziesiętnie 30.000,152 - trzy dziesiątki tysięcy. W ten sposób możemy mówić o cyfry dziesiętne, a także o cyfrach w liczbach naturalnych.
Nazwy cyfr w ułamku dziesiętnym do kropki dziesiętnej całkowicie pokrywają się z nazwami cyfr w liczbach naturalnych. A nazwy cyfr w ułamku dziesiętnym po przecinku są widoczne z poniższej tabeli.
Na przykład w ułamku dziesiętnym 37,051 liczba 3 jest na miejscu dziesiątek, 7 na miejscu jednostek, 0 na miejscu dziesiątym, 5 na miejscu setnym, 1 na miejscu tysięcznym.
Cyfry w ułamku dziesiętnym różnią się również starszeństwem. Jeśli przejdziemy od cyfry do cyfry od lewej do prawej w notacji dziesiętnej, to przejdziemy od senior do młodsze stopnie. Na przykład cyfra setek jest starsza niż cyfra dziesiątych, a cyfra milionowych jest młodsza niż cyfra setnych. W tym ostatnim ułamku dziesiętnym możemy mówić o najbardziej znaczącej i najmniej znaczącej cyfrze. Na przykład w postaci dziesiętnej 604.9387 senior (najwyższy) cyfra to cyfra setek i młodszy (najniższy)- miejsce dziesięciotysięczne.
W przypadku ułamków dziesiętnych następuje ekspansja na cyfry. Jest to analogiczne do ekspansji cyfr liczb naturalnych. Na przykład rozszerzenie dziesiętne 45.6072 to: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 . A właściwości dodawania z rozwinięcia ułamka dziesiętnego na cyfry pozwalają przejść do innych reprezentacji tego ułamka dziesiętnego, na przykład 45,6072=45+0,6072 , lub 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , lub 45,6072= 45,0072+0,6 .
Końcowe ułamki dziesiętne
Do tego momentu mówiliśmy tylko o ułamkach dziesiętnych, w których zapisie znajduje się skończona liczba cyfr po przecinku. Takie ułamki nazywane są końcowymi ułamkami dziesiętnymi.
Definicja.
Końcowe ułamki dziesiętne- Są to ułamki dziesiętne, których rekordy zawierają skończoną liczbę znaków (cyfr).
Oto kilka przykładów ostatnich miejsc po przecinku: 0,317 , 3,5 , 51.1020304958 , 230 032,45 .
Jednak nie każdy wspólny ułamek może być reprezentowany jako ułamek skończony dziesiętny. Na przykład ułamek 5/13 nie może być zastąpiony równym ułamkiem z jednym z mianowników 10, 100, ..., dlatego nie można go przekonwertować na ostatni ułamek dziesiętny. Porozmawiamy o tym więcej w części poświęconej teorii konwersji zwykłych ułamków zwykłych na ułamki dziesiętne.
Nieskończone ułamki dziesiętne: ułamki okresowe i nieokresowe
Pisząc ułamek dziesiętny po przecinku, możesz dopuścić nieskończoną liczbę cyfr. W tym przypadku przejdziemy do rozważenia tak zwanych nieskończonych ułamków dziesiętnych.
Definicja.
Nieskończone ułamki dziesiętne są ułamkami dziesiętnymi, w zapisie których jest nieskończony zestaw cyfry.
Oczywiste jest, że nie możemy zapisać nieskończonych ułamków dziesiętnych w całości, dlatego w ich zapisie ograniczają się one tylko do pewnej skończonej liczby cyfr po przecinku i umieszczają wielokropek wskazujący nieskończenie ciągły ciąg cyfr. Oto kilka przykładów nieskończonych ułamków dziesiętnych: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….
Jeśli przyjrzysz się uważnie ostatnim dwóm nieskończonym ułamkom dziesiętnym, to w ułamku 2.111111111 ... nieskończenie powtarzająca się liczba 1 jest wyraźnie widoczna, aw ułamku 69.74152152152 ..., zaczynając od trzeciego miejsca po przecinku, powtarzająca się grupa liczb 1, 5 i 2 są wyraźnie widoczne. Takie nieskończone ułamki dziesiętne nazywane są okresowymi.
Definicja.
Okresowe ułamki dziesiętne(lub po prostu ułamki okresowe) to nieskończone ułamki dziesiętne, w zapisie których począwszy od określonego miejsca dziesiętnego, pewna cyfra lub grupa cyfr, która nazywa się okres ułamkowy.
Na przykład okres ułamka okresowego 2.111111111… to liczba 1, a okres ułamka okresowego 69.74152152152… to grupa liczb, np. 152.
Dla nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych przyjęto specjalny zapis. Dla zwięzłości zgodziliśmy się napisać kropkę raz, umieszczając ją w nawiasach. Na przykład ułamek okresowy 2.111111111… jest zapisany jako 2,(1) , a ułamek okresowy 69.74152152152… jest zapisany jako 69.74(152) .
Warto zauważyć, że dla tego samego okresowego ułamka dziesiętnego można określić różne okresy. Na przykład ułamek dziesiętny okresu 0,73333… można uznać za ułamek dziesiętny 0,7(3) z okresem 3, ułamek dziesiętny 0,7(33) z okresem 33 i tak dalej 0,7(333), 0,7 (3333 ), ... Możesz też spojrzeć na ułamek okresowy 0,73333 ... tak: 0,733(3) lub tak 0,73(333), itd. Tutaj, aby uniknąć niejasności i niespójności, zgadzamy się uznać za okres ułamka dziesiętnego najkrótszy ze wszystkich możliwe sekwencje powtarzające się cyfry, zaczynając od pozycji najbliższej przecinkowi. Oznacza to, że okres ułamka dziesiętnego 0,73333… będzie uważany za ciąg jednej cyfry 3, a częstotliwość zaczyna się od drugiej pozycji po przecinku, czyli 0,73333…=0,7(3) . Inny przykład: ułamek okresowy 4.7412121212… ma okres 12, okresowość zaczyna się od trzeciej cyfry po przecinku, czyli 4.7412121212…=4.74(12) .
Nieskończone ułamki dziesiętne okresowe są uzyskiwane przez konwersję na ułamki dziesiętne zwykłych ułamków, których mianowniki zawierają czynniki pierwsze inne niż 2 i 5.
Tutaj warto wspomnieć o ułamkach okresowych z okresem 9. Oto przykłady takich ułamków: 6.43(9) , 27,(9) . Te ułamki są kolejnym zapisem ułamków okresowych z okresem 0 i zwyczajowo zastępuje się je ułamkami okresowymi z okresem 0. W tym celu okres 9 zastępuje się okresem 0, a wartość kolejnej najwyższej cyfry zwiększa się o jeden. Na przykład ułamek z okresem 9 w postaci 7.24(9) jest zastępowany ułamkiem okresowym z okresem 0 w postaci 7.25(0) lub równym końcowym ułamkiem dziesiętnym równym 7.25. Inny przykład: 4,(9)=5,(0)=5 . Równość ułamka z okresem 9 i odpowiedniego ułamka z okresem 0 można łatwo ustalić po zastąpieniu tych ułamków dziesiętnych ich równymi zwykłymi ułamkami.
Na koniec przyjrzyjmy się bliżej nieskończonym liczbom dziesiętnym, które nie mają nieskończenie powtarzającej się sekwencji cyfr. Nazywa się je nieokresowymi.
Definicja.
Jednorazowe ułamki dziesiętne(lub po prostu ułamki nieokresowe) to nieskończone liczby dziesiętne bez kropki.
Czasami ułamki nieokresowe mają postać podobną do ułamków okresowych, na przykład 8.02002000200002 ... jest ułamkiem nieokresowym. W takich przypadkach należy szczególnie uważać, aby zauważyć różnicę.
Zauważ, że ułamki nieokresowe nie są konwertowane na zwykłe ułamki, nieskończone nieokresowe ułamki dziesiętne reprezentują liczby niewymierne.
Operacje z ułamkami dziesiętnymi
Jedną z czynności z ułamkami dziesiętnymi jest porównanie, a także zdefiniowano cztery podstawowe działania arytmetyczne operacje na ułamkach dziesiętnych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Rozważ osobno każdą z akcji z ułamkami dziesiętnymi.
Porównanie dziesiętne zasadniczo na podstawie porównania zwykłych ułamków zwykłych odpowiadających porównywanym ułamkom dziesiętnym. Jednak konwersja ułamków dziesiętnych na zwykłe jest dość pracochłonną operacją, a nieskończone, niepowtarzające się ułamki nie mogą być reprezentowane jako zwykły ułamek, więc wygodnie jest używać bitowego porównania ułamków dziesiętnych. Bitowe porównywanie liczb dziesiętnych jest podobne do porównywania liczb naturalnych. Aby uzyskać bardziej szczegółowe informacje, zalecamy przestudiowanie porównania materiałów artykułu ułamków dziesiętnych, reguł, przykładów, rozwiązań.
Przejdźmy do następnego kroku - mnożenie ułamków dziesiętnych. Mnożenie końcowych ułamków dziesiętnych odbywa się podobnie jak odejmowanie ułamków dziesiętnych, zasady, przykłady, rozwiązania mnożenia przez kolumnę liczb naturalnych. W przypadku ułamków okresowych mnożenie można sprowadzić do mnożenia ułamków zwykłych. Z kolei mnożenie nieskończonych nieokresowych ułamków dziesiętnych po ich zaokrągleniu sprowadza się do mnożenia skończonych ułamków dziesiętnych. Zalecamy dalsze przestudiowanie materiału artykułu mnożenie ułamków dziesiętnych, reguły, przykłady, rozwiązania.
Ułamki dziesiętne na wiązce współrzędnych
Istnieje zależność jeden do jednego między kropkami i ułamkami dziesiętnymi.
Zastanówmy się, jak konstruowane są punkty na promieniu współrzędnych odpowiadającym danemu ułamkowi dziesiętnemu.
Możemy zastąpić skończone ułamki dziesiętne i nieskończone okresowe ułamki dziesiętne zwykłymi ułamkami równymi im, a następnie skonstruować odpowiadające im zwykłe ułamki na promieniu współrzędnych. Na przykład ułamek dziesiętny 1,4 odpowiada zwykłemu ułamkowi 14/10, dlatego punkt o współrzędnej 1,4 jest usuwany z początku w kierunku dodatnim o 14 segmentów równych jednej dziesiątej jednego segmentu.
Ułamki dziesiętne można zaznaczyć na wiązce współrzędnych, zaczynając od rozwinięcia tego ułamka dziesiętnego na cyfry. Na przykład powiedzmy, że musimy zbudować punkt o współrzędnych 16.3007 , ponieważ 16.3007=16+0.3+0.0007 , a następnie w dany punkt można osiągnąć układając kolejno 16 odcinków jednostkowych od początku, 3 odcinki, których długość jest równa jednej dziesiątej odcinka jednostkowego, oraz 7 odcinków, których długość jest równa dziesięciotysięcznej części odcinka jednostkowego .
Ten sposób budowania liczby dziesiętne na promieniu współrzędnych pozwala zbliżyć się tak blisko, jak chcesz, do punktu odpowiadającego nieskończonemu ułamkowi dziesiętnemu.
Czasami możliwe jest dokładne wykreślenie punktu odpowiadającego nieskończonej liczbie dziesiętnej. Na przykład, 
, to ten nieskończony ułamek dziesiętny 1.41421... odpowiada punktowi współrzędnej, oddalonemu od początku o długość przekątnej kwadratu o boku 1 jednostki segmentu.
Odwrotny proces uzyskiwania ułamka dziesiętnego odpowiadającego danemu punktowi na wiązce współrzędnych to tzw dziesiętny pomiar segmentu. Zobaczmy, jak to się robi.
Niech naszym zadaniem będzie dostanie się od początku do danego punktu na linii współrzędnych (lub nieskończone zbliżenie się do niego, jeśli nie można się do niego dostać). Przy pomiarze dziesiętnym odcinka możemy sukcesywnie odkładać dowolną ilość odcinków jednostkowych od początku, następnie odcinków o długości równej jednej dziesiątej jednego odcinka, od odcinków o długości równej jednej setnej odcinka itd. . Zapisując liczbę wykreślonych odcinków o każdej długości otrzymujemy ułamek dziesiętny odpowiadający danemu punktowi na promieniu współrzędnych.
Na przykład, aby dostać się do punktu M na powyższym rysunku, musisz odłożyć 1 segment jednostki i 4 segmenty, których długość jest równa dziesiątej części jednostki. Zatem punkt M odpowiada ułamkowi dziesiętnemu 1,4.
Oczywiste jest, że punkty wiązki współrzędnych, do których nie można dotrzeć podczas pomiaru dziesiętnego, odpowiadają nieskończonym ułamkom dziesiętnym.
Bibliografia.
- Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. ed., wymazane. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ch. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematyka. Klasa 6: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje / [N. Ya Vilenkin i inni]. - wyd. 22, ks. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.