Znajdź wszystkie pierwiastki równania trygonometrycznego. Praca badawcza na temat „Równania trygonometryczne w zadaniach egzaminacyjnych”

Znajdź wszystkie pierwiastki równania trygonometrycznego. Prace badawcze na ten temat — Znajdź wszystkie pierwiastki równania trygonometrycznego. Praca badawcza na temat „Równania trygonometryczne w zadaniach egzaminacyjnych”

22.09.2019

Przeczytaj także

Szczęśliwego Nowego Roku pozdrowienia dla kolegów

Gratulacje z okazji Dnia Obrońcy Ojczyzny (23 lutego)

Gratulacje z okazji minionego Nowego Roku - wiersze, proza, SMS Gratulujemy minionego Nowego Roku i Bożego Narodzenia

Pocztówki z pierwszym dniem wiosny - piękne i zabawne z napisami: Krótkie gratulacje SMS w pierwszy dzień wiosny

Możesz pogratulować swoim bliskim piękną pocztówką

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych publicznych ważne okazje.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnić swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

MBOU „Szkoła średnia Mordovsko-Paevskaya” okręgu Insar w Republice Mołdawii

Wypełnił: Pantileikina Nadieżda,

Uczeń 11 klasy

kierownik: Kadyshkina N.V.,

nauczyciel matematyki

Spis treści

Wstęp…………………………………………………………………………….

Rozdział I. O równaniach trygonometrycznych…………………………………………..…5

1) Główne typy równań trygonometrycznych i metody ich rozwiązywania:

1. Równania redukujące do najprostszego. …………………………………..5

2. Równania redukujące do kwadratów………………………………….5

3. Równania jednorodne acosx + b sin x = 0………………………………...6

4. Równania postaci acosx + b sin x \u003d c, c≠ 0…………………………………………7

5. Równania rozwiązywane przez faktoryzację…………………...….7

6. Niestandardowe równania……………………………………………………….8

Rozdział II. Podstawowe pojęcia i wzory trygonometrii……………………….8-10

Rozdział II I. Równania oferowane na jednolitym egzaminie państwowym z lat ubiegłych…………...……10-14

Wniosek………………………………………………………………………………….14

Wniosek…………………………………………………..……………………….15-17

Literatura………………………………………………………………………………..18

Wstęp

„Jedyną drogą prowadzącą do wiedzy jest aktywność...”

Bernard Show

Znaczenie pracy.

Za kilka miesięcy kończę szkołę.

Aby nie było problemów z dalszym wyborem ścieżka życia, niezbędny zdać maturę, a żeby otrzymać maturę należy zdać dwa obowiązkowe egzaminy w UŻYJ formularza- i jeden z nichmatematyka. Co tu dużo mówić, matury to kluczowy okres w życiu każdego studenta, od którego zależy nie tylko końcowa ocena na świadectwie, ale także jego przyszłość zawodowa, zarobki i kariera zawodowa.

Pojedynczy Egzamin państwowy jest ważnym testem przed wyjazdem do nowe życie i przyjęcie na uniwersytet lub kolegium. Szczególnie ważne jest zaliczenie go z dobrymi wynikami.UŻYWANIE w matematyce to poważny sprawdzian, a bez dobrej podstawy uczeń nie będzie w stanie uzyskać przyzwoitego wyniku.

Jak nie oblać egzaminu i uzyskać dobre wyniki? Aby to zrobić, musisz dobrze rozwiązywać problemy. Nie pretenduję do maksymalnej liczby punktów, niemniej jednak pilnie się szykuję. I zauważyłem, że nawet w pierwszym zadaniu z części C, czyli rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i ich układów, popełniam błędy.Na pierwszy rzut oka problem C1 jest stosunkowo prostym równaniem lub układem równań, które mogą zawierać funkcje trygonometryczne,jedno z głównych podejść do rozwiązywania polegające na ich sukcesywnym upraszczaniu w celu sprowadzenia ich do jednego lub kilku prostych.Więc dlaczego się mylę?

Trafność tematu jest zdeterminowany tym, że studenci muszą rozumieć określone metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Dlatego przede mną umieszczam następującebramka:

Usystematyzować, poszerzyć wiedzę i umiejętności związane ze stosowaniem metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Przedmiot studiów to nauka równań trygonometrycznych w zadaniach egzaminacyjnych.

Przedmiot badań- jest rozwiązaniem równań trygonometrycznych

Zatem, główny cel pisząc to Praca semestralna to nauka o równaniach trygonometrycznych i ich układach, sposobach ich rozwiązywania.

Zgodnie z celami, przedmiotem i przedmiotem badania, następujące: zadania:

jeden). Przestudiuj wszystkie zadania związane z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych oferowanych na UŻYWAJ działa poprzednie lata i podczas wykonywania prac diagnostycznych;

2) Metody badawcze rozwiązywania równań trygonometrycznych.

3). Ujawnij główne możliwe błędy przy rozwiązywaniu takich równań;

4). Znajdź przyczynę takich błędów.

6). Wyciągać wnioski.

W swojej pracy rozwiążę kilka równań trygonometrycznych, pokażę możliwe błędy w ich rozwiązaniu i spróbuję odpowiedzieć na następujące pytania pytania:

jeden). Czy można uniknąć błędów przy wykonywaniu zadań typu C1

2) Jeśli ćwiczę rozwiązywanie równań tego typu, to mogę

Czy można bezbłędnie wykonać takie zadania?

W tym celu przestudiowałem wszystkie prowadzone z nami zadania demonstracyjne i szkoleniowe, UŻYWAJ materiałów poprzednie lata;

zbadane źródła referencyjne;

samodzielnie rozwiązywane zadania z Internetu;

konsultowała się z nauczycielem w przypadku trudności;

Nauczyłem się analizować i poprawnie sporządzać wyniki.

Rozdział I. O równaniach trygonometrycznych.

1) Definicja 1. Równanie trygonometryczne to równanie zawierające zmienną pod znakiem funkcje trygonometryczne.

Najprostsze równania trygonometryczne to równania postaci sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

W takich równaniach zmienna znajduje się pod znakiem funkcji trygonometrycznej i jest podaną liczbą.

Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: przekształcenia równania do jego najprostszej postaci oraz rozwiązania wynikowego najprostszego równania trygonometrycznego.

2) Podstawowe typy równań trygonometrycznych.

Równania zredukowane do najprostszego.

Rozwiązać równanie

Decyzja:

Odpowiedź:

Równania redukujące do kwadratu.

1) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

Odpowiedź:

Równania jednorodne: asinx + bcosx = 0

a grzech 2 x + b sinxcosx + c bo 2x = 0.

Rozwiąż równanie 2sinx - 3cosx = 0

Rozwiązanie: Niech cosx = 0, potem 2sinx = 0 i sinx = 0 - sprzeczność z

że sin 2 x + cos 2 x = 1. Czyli cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cosx.

Otrzymać

Odpowiedź:

Przykład: Rozwiązać równanie

Decyzja:

Odpowiedź:

Równania rozwiązywane przez faktoring.

Pryper: Rozwiąż równanie sin2x - sinx = 0.

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru sin2x = 2sinxcosx, otrzymujemy

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx(2cosx - 1) = 0.

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Odpowiedź:

Niestandardowe równania.

Rozwiąż równanie cosx = X 2 + 1.

Decyzja:

Rozważ funkcje

Rozdział II. Podstawowe pojęcia i wzory trygonometrii.

Równania trygonometryczne są wymaganym tematem każdego egzaminu z matematyki.

Ox, ile udręki daje studentom badanie trygonometrii.

Pewne trudności pojawiają się nawet wtedy, gdy nauczyciel jest w pobliżumatematyka i wyjaśnia każdą drobiazg. To zrozumiałe, tylko podstawowe formuły jest ich ponad dwadzieścia. A jeśli weźmiemy pod uwagę ich pochodne… Uczeń gubi się w obliczeniach i nie pamięta mechanizmów, dzięki którym te wzory pozwalają znaleźć np. .

Znasz formuły - łatwo Ci się zdecydować. Jeśli nie wiesz, nie zrozumiesz, nawet jeśli podadzą ci formułę.Musisz znać formułę nie tylko głupio, ale wiedzieć, gdzie można ją zastosować, jak ujawnić i jaka jest istota formuły, a do tego trzeba rozwiązywać przykłady dokładnie dla tych trudnych zadań.

Na początku wydawało mi siętrygonometria to nudny zestaw wzorów i wykresów. Jednak zapoznając się z nowymi koncepcjami trygonometrii i metodami rozwiązywania równań trygonometrycznych, za każdym razem byłem przekonany, jak ciekawy i fascynujący jest świat trygonometrii.

Po pierwsze, aby pomyślnie rozwiązywać równania trygonometryczne, musisz dobrze wiedzieć formuły trygonometryczne, a nie tylko podstawowe, ale i dodatkowe (przeliczanie sumy funkcji trygonometrycznych na iloczyn i iloczynów na sumę, wzory na obniżanie stopni i inne),od czasu używania ściągawek na egzaminie i telefony komórkowe zakazany

(Załącznik 1)

Po drugie , musimy jasno znać standardowe wzory na pierwiastki najprostszych równań trygonometrycznych (przydatne jest zapamiętanie lub możliwość uzyskania uproszczonych wzorów na pierwiastki równań za pomocą koła trygonometrycznego)

Każde z tych równań jest rozwiązywane za pomocą wzorów, które powinieneś znać. Oto formuły:

funkcjatak= grzechx. Ograniczona funkcja: w granicach [-1; jeden]. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu równań typusinx=2 lubsinxsinx

1) sinx \u003d a,x= (-1) n łukgrzech a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 łukgrzech a +n,n Z

Musisz także znać przypadki szczególne: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Musisz też umieć rozwiązaćw postaci dwóch serii korzeni

2. Funkcjonować tak = sałata x . Ograniczona funkcja: w granicach [-1; jeden]. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu równań typusałatax=2 lubsałatax=-5 w odpowiedzi okazuje się: nie ma pierwiastków. Wzory dla funkcji y=sałatax:

1. cosx=a, X=± arccos a+2n,n Z

2.cosx=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Przypadki specjalne: 1. cosx =-1, X=  +2 n, n Z

2. cox=0,

3. cosx=1, X= 2n,n Z

3. Funkcjonowaćtak= tgx.

Jest tylko jedna formuła, bez szczególnych przypadków:tgx = ± a .

X = ± arctg a+n,n Z

Po trzecie, trzeba znać wartości funkcji trygonometrycznych;

(Załącznik 2)

Czwarty, Jeśli w równaniu funkcja trygonometryczna znajduje się pod znakiem rodnika, to takie równanie trygonometryczne będzie irracjonalne. W takich równaniach należy przestrzegać wszystkich zasad stosowanych przy rozwiązywaniu równań zwyczajnych. irracjonalne równania(region jest brany pod uwagę dozwolone wartości zarówno samo równanie, jak i przy uwolnieniu od pierwiastka równego stopnia).

V. Równania zaproponowane na Unified State Examination z lat ubiegłych.

„Metoda rozwiązania jest dobra, jeśli możemy przewidzieć od samego początku – a następnie to potwierdzić – że stosując tę metodę osiągniemy cel”.

Leibniz

1. Równania redukujące do kwadratu.

C1. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: Korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej,przepisz równanie w postaci

zastąpieniesałata= trównanie jest zredukowane do kwadratu: 2t 2 + 9 t-5 =0, który ma pierwiastkit 1 = ½ it 2 = -5. Wracając do zmiennej x, otrzymujemy
,

Drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ |cosx |≥1, a od pierwszego x =± +6k , k Z

Odpowiedź: =± +6k , k Z

Wniosek: Wprowadzając nową zmienną musimy wziąć to pod uwagę grzech wartości x i cos x są ograniczone przez odcinek
, w przeciwnym razie pojawią się obce korzenie.

2. Równania rozwiązane przez faktoring

Zadanie C1 (2011)

a) Rozwiąż równanie

b) Wskaż pierwiastki równania należące do odcinka

Rozwiązanie: a) rozwiąż, rozkładając lewą stronę na czynniki:

pogrupuj i usuń wspólny czynnik z nawiasów, otrzymujemy

Równanie 1) nie ma rozwiązań.

Drugie równanie jest jednorodne, rozwiązuje się je dzieląc wyraz przez wyraz przez cosx ≠0, otrzymujemy
, gdzie

Odpowiedź: a)
b)

Wniosek:

1. Rozwiązując równanie tego rodzaju, najpierw musisz wiedzieć, że |sin x|≤1 i |cosx |≤1, a równanie sinx =-2 nie ma rozwiązań;

2. Po drugie, uzasadnij dzielenie przez cosx ≠o (bo jeśli cosx = 0, to sin x = 0, a to jest niemożliwe;

po trzecie, rozsądnie jest wybrać korzenie należące do tego przedziału

3
.Równanie do zastosowania formuł redukcyjnych

C1 (2010) Równanie podane

a) rozwiązać równanie;

b
) Określ korzenie należące do segmentu

Rozwiązanie: Stosując formuły redukcyjne otrzymujemy:

grzech 2 x - cos x \u003d 0,

2 sinx cosx - cosx =0,

z osx (2 sinx -1)=0, skąd cosx= 0 lub sinx =½,

b) Znajdź wartości k, do których będą należeć pierwiastki

określony interwał. Zbierać korzenie. należące do danego przedziału, rozwiązanie można przedstawić jako:

b

) Znajdź wartości k, dla których pierwiastki będą należeć do określonego przedziału.

Rozwiązanie tej nierówności, całość

nie otrzymamy wartości k.

Odpowiedź: a)

Wniosek:

Przy rozwiązywaniu tego rodzaju równania należy znać formuły powyższego równania i poprawnie je zastosować; być w stanie przedstawić rozwiązanie
na dwie serie korzeni; poprawnie wybrać pierwiastki należące do danego segmentu.

4. Układy równań trygonometrycznych

C1 (2010). Rozwiąż układ równań

Rozwiązanie: ODZ

Ułamek to zero, jeśli licznik wynosi 0, a mianownik nie jest równy 0.

Z równania 2sin 2 x - 3 sinx +1 \u003d 0, rozwiązując metodą wprowadzenia nowej zmiennej, znajdujemy

lub sinx=1.

1) Niech
, następnie
i y = cos x = ›0 (za pomocą głównego tożsamość trygonometryczna)

lub
oraz
- nie ma decyzji.

2) Niech sinx \u003d 1, a następnie y \u003d cos x \u003d 0 - nie ma rozwiązania.

Odpowiedź:
i y =

Wniosek: 1) należy brać pod uwagę ograniczenia trygonometryczne

Funkcje

2) Zanotuj i weź pod uwagę O.D.Z.

5. C1 (USE 2011) Rozwiąż równanie:

ODZ - cos x ≥ 0, sin x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 lub cos x =0

sinx=t

4 t 2 + 12 t + 5=0, skąd t 1 \u003d -½, t 2 \u003d -

sinx = -½ sinx=- - nie ma rozwiązania

x =

biorąc pod uwagę O.D.Z. x =

Odpowiedź: x =

Wniosek: Zapisz odpowiedź, biorąc pod uwagę O.D.Z.

WNIOSEK

W mojej pracy badano rozwiązania równań trygonometrycznych, uwzględniono zalecenia dotyczące rozwiązywania równań trygonometrycznych, metody rozwiązywania równań trygonometrycznych oraz błędy, które są możliwe przy ich rozwiązywaniu.

Doszedłem do następujących wniosków:

1. Zadania typu C1 sprawdzają umiejętność rozwiązywania równań trygonometrycznych. Te zadania są naprawdę proste, co daje dodatkową pewność siebie i usypia uwagę. Jedyną trudnością tych zadań jest to, że po rozwiązaniu równania lub układu równań konieczne jest odrzucenie obcych pierwiastków.

2. Zadanie C1 jest najbardziej proste zadanie grupa C. Przy jej rozwiązywaniu nie powinny powstać uciążliwe przekształcenia i złożone obliczenia. Jeśli się pojawią, musisz natychmiast się zatrzymać, sprawdzić rozwiązanie i spróbować zrozumieć, co tu jest nie tak.

3. Ostatecznie,głównym wymaganiem jest, aby rozwiązanie było matematyczne, a tok rozumowania musi być z niego jasny.Musisz postarać się opisać swoją decyzję krótko i przejrzyście, ale co najważniejsze - poprawnie!

4. A co najważniejsze - aby nauczyć się rozwiązywać równania bez błędów, musisz je rozwiązać! W końcu, jak powiedział Poya, „Jeśli chcesz nauczyć się pływać, śmiało nurkuj do wody, a jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać problemy, musisz je rozwiązać!”

Dodatek 1 (podstawowe wzory trygonometrii)

1) podstawowa tożsamość trygonometrycznagrzech 2 α + sałata 2 α= 1,

Dzieląc to równanie przez kwadrat odpowiednio cosinusa i sinusa, otrzymujemy