Przykłady odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Wyrażamy w kategoriach wszystkich odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Odwrócić funkcje trygonometryczne mieć szerokie zastosowanie w Analiza matematyczna. Jednak dla większości uczniów szkół ponadgimnazjalnych zadania związane z tego typu funkcją sprawiają znaczne trudności. Wynika to głównie z faktu, że w wielu podręcznikach i pomoc naukowa zbyt mało uwagi poświęcono tego rodzaju problemom. A jeśli uczniowie w jakiś sposób radzą sobie z zadaniami obliczania wartości odwrotnych funkcji trygonometrycznych, to równania i nierówności zawierające takie funkcje w większości mylą dzieci. W rzeczywistości nie jest to zaskakujące, ponieważ praktycznie żaden podręcznik nie wyjaśnia metody rozwiązywania nawet najprostszych równań i nierówności zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne.

Rozważ kilka równań i nierówności zawierających odwrotne funkcje trygonometryczne i rozwiąż je ze szczegółowym wyjaśnieniem.

Przykład 1

Rozwiąż równanie: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Decyzja.

Wyrażamy odwrotną funkcję trygonometryczną z równania, otrzymujemy:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Użyjmy teraz definicji arccosinusa.

Arcus cosinus pewnej liczby a należącej do odcinka od -1 do 1 jest takim kątem y od odcinka od 0 do π, że jego cosinus jest równy liczbie x. Dlatego można to napisać tak:

2x + 3 = cos 5π/6.

Piszemy prawą stronę wynikowego równania zgodnie ze wzorem redukcyjnym:

2x + 3 = cos(π - π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 - √3/2.

Sprowadźmy prawą stronę do wspólnego mianownika.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Odpowiedź: -(6 + √3) / 4 .

Przykład 2

Rozwiąż równanie: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.

Decyzja.

Ponieważ cos (arcсos x) = x gdzie x należy do [-1; 1], to równanie to jest równoważne układowi:

(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Rozwiążmy równanie zawarte w systemie.

4x - 9 = x 2 - 5x + 5.

Jest kwadratowy, więc to rozumiemy

x 2 - 9x + 14 \u003d 0;

D \u003d 81 - 4 14 \u003d 25;

x 1 \u003d (9 + 5) / 2 \u003d 7;

x 2 \u003d (9 - 5) / 2 \u003d 2.

Rozwiążmy podwójną nierówność zawartą w systemie.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Dodaj 9 do wszystkich części, otrzymamy:

8 ≤ 4x ≤ 10. Podziel każdą liczbę przez 4, otrzymamy:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Teraz połączmy odpowiedzi. Łatwo zauważyć, że pierwiastek x = 7 nie spełnia odpowiedzi dotyczącej nierówności. Dlatego jedynym rozwiązaniem równania będzie x = 2.

Odpowiedź: 2.

Przykład 3

Rozwiązać równanie: tg (arctg (0,5 - x)) = x 2 - 4x + 2,5.

Decyzja.

Ponieważ tg (arctg x) = x dla wszystkich liczb rzeczywistych, to równanie jest równoważne równaniu:

0,5 - x \u003d x 2 - 4x + 2,5.

Rozwiążmy otrzymane równanie kwadratowe za pomocą dyskryminatora, po uprzednim doprowadzeniu go do standardowej postaci.

x 2 - 3x + 2 = 0;

D \u003d 9 - 4 2 \u003d 1;

x 1 \u003d (3 + 1) / 2 \u003d 2;

x 2 \u003d (3 - 1) / 2 \u003d 1.

Odpowiedź 1; 2.

Przykład 4

Rozwiąż równanie: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Decyzja.

Ponieważ arcctg f(x) = arcctg g(x) wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = g(x), to

2x - 1 \u003d x 2 / 2 + x / 2. Rozwiążmy powstałe równanie kwadratowe:

4x - 2 \u003d x 2 + x;

x 2 - 3x + 2 = 0.

Z twierdzenia Viety otrzymujemy to

x=1 lub x=2.

Odpowiedź 1; 2.

Przykład 5

Rozwiąż równanie: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).

Decyzja.

Ponieważ równanie postaci arcsin f(x) = arcsin g(x) jest równoważne z układem

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

wtedy pierwotne równanie jest równoważne układowi:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Rozwiążmy powstały system:

(x 2 - 8x + 7 \u003d 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Z pierwszego równania, zgodnie z twierdzeniem Vieta, mamy, że x = 1 lub x = 7. Rozwiązując drugą nierówność układu, otrzymujemy, że 7 ≤ x ≤ 8. Dlatego tylko pierwiastek x = 7 jest odpowiedni w ostateczna odpowiedź.

Odpowiedź: 7.

Przykład 6

Rozwiąż równanie: (arccos x) 2 - 6 arccos x + 8 = 0.

Decyzja.

Niech arccos x = t, to t należy do odcinka, a równanie staje się:

t 2 - 6t + 8 = 0. Otrzymane równanie kwadratowe rozwiązujemy za pomocą twierdzenia Vieta, otrzymujemy, że t = 2 lub t = 4.

Ponieważ t = 4 nie należy do odcinka , otrzymujemy, że t = 2, tj. arccos x \u003d 2, co oznacza x \u003d cos 2.

Odpowiedź: cos 2.

Przykład 7

Rozwiąż równanie: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Decyzja.

Korzystamy z równości arcsin x + arccos x = π/2 i zapisujemy równanie jako

(arcsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Niech arcsin x = t, to t należy do przedziału [-π/2; π/2] i równanie staje się:

t 2 + (π / 2 - t) 2 \u003d 5π 2 / 36.

Rozwiążmy otrzymane równanie:

t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 - πt + 9π 2 /36 - 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 - πt + π 2 / 9 = 0. Pomnóż każdy wyraz przez 9, aby pozbyć się ułamków w równaniu, otrzymujemy:

18t 2 - 9πt + π 2 \u003d 0.

Znajdź dyskryminację i rozwiąż otrzymane równanie:

D \u003d (-9π) 2 - 4 18 π 2 \u003d 9π 2.

t = (9π - 3π) / 2 18 lub t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 lub t = 12π/36.

Po redukcji mamy:

t = π/6 lub t = π/3. Następnie

arcsin x = π/6 lub arcsin x = π/3.

Więc x = sin π/6 lub x = sin π/3. Oznacza to, że x = 1/2 lub x = √3/2.

Odpowiedź: 1/2; √3/2.

Przykład 8

Znajdź wartość wyrażenia 5nx 0, gdzie n to liczba pierwiastków, a x 0 to pierwiastek ujemny z równania 2 arcsin x = - π - (x + 1) 2.

Decyzja.

Ponieważ -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, to -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Ponadto (x + 1) 2 ≥ 0 dla wszystkich rzeczywistych x,
wtedy -(x + 1) 2 ≤ 0 i -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Zatem równanie może mieć rozwiązanie, jeśli obie jego części są jednocześnie równe –π, tj. równanie jest równoważne z układem:

(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.

Rozwiążmy powstały układ równań:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Z drugiego równania mamy odpowiednio x \u003d -1, n \u003d 1, a następnie 5nx 0 \u003d 5 1 (-1) \u003d -5.

Odpowiedź: -5.

Jak pokazuje praktyka, umiejętność rozwiązywania równań za pomocą odwrotnych funkcji trygonometrycznych wynosi warunek konieczny udana dostawa egzaminy. Dlatego szkolenie w rozwiązywaniu takich problemów jest po prostu konieczne i obowiązkowe w przygotowaniu do egzaminu.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

blog.site, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Odwrotne funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne będące odwrotnością funkcji trygonometrycznych.

Funkcja y=arcsin(x)

Arcsinusem liczby α jest taka liczba α z przedziału [-π/2; π/2], której sinus jest równy α.
Wykres funkcji
Funkcja y \u003d sin⁡ (x) w przedziale [-π / 2; π / 2] jest ściśle rosnąca i ciągła; dlatego ona ma funkcja odwrotna, ściśle rosnący i ciągły.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= sin⁡(x), gdzie x ∈[-π/2;π/2], nazywana jest arcus sinus i oznaczana jako y=arcsin(x), gdzie x∈[-1;1 ].
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus sinus jest odcinek [-1; 1], a zbiorem wartości jest odcinek [-π/2; π/2].
Zauważ, że wykres funkcji y=arcsin(x), gdzie x ∈[-1;1].jest symetryczny do wykresu funkcji y= sin(⁡x), gdzie x∈[-π/2;π /2], w odniesieniu do dwusiecznej kąty współrzędnych pierwszy i trzeci kwartał.

Zakres funkcji y=arcsin(x).

Przykład numer 1.

Znajdź arcsin(1/2)?

Ponieważ zakres funkcji arcsin(x) należy do przedziału [-π/2;π/2], odpowiednia jest tylko wartość π/6, stąd arcsin(1/2) = π/6.
Odpowiedź: π/6

Przykład #2.
Znajdź arcsin(-(√3)/2)?

Ponieważ zakres arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], tylko wartość -π/3 jest odpowiednia, dlatego arcsin(-(√3)/2) =-π/3.

Funkcja y=arccos(x)

Arccosinus liczby α jest liczbą α z przedziału, którego cosinus jest równy α.

Wykres funkcji

Funkcja y= cos(⁡x) na przedziale jest ściśle malejąca i ciągła; dlatego ma funkcję odwrotną, która jest ściśle malejąca i ciągła.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= cos⁡x, gdzie x ∈, nazywa się cosinus łuku i oznaczono y=arccos(x), gdzie x ∈[-1;1].
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus cosinus jest odcinek [-1;1], a zbiorem wartości jest odcinek.
Zauważ, że wykres funkcji y=arccos(x), gdzie x ∈[-1;1] jest symetryczny do wykresu funkcji y= cos(⁡x), gdzie x ∈, względem dwusiecznej współrzędne kątów pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y=arccos(x).

Przykład #3.

Znajdź arccos(1/2)?

Ponieważ zakres arccos(x) wynosi x∈, odpowiednia jest tylko wartość π/3, dlatego arccos(1/2) =π/3.
Przykład numer 4.
Znajdź arccos(-(√2)/2)?

Ponieważ zakres funkcji arccos(x) należy do przedziału , to odpowiednia jest tylko wartość 3π/4, czyli arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Odpowiedź: 3π/4

Funkcja y=arctg(x)

Arcus tangens liczby α to taka liczba α z przedziału [-π/2; π/2], której tangens jest równy α.

Wykres funkcji

Funkcja styczna jest ciągła i ściśle rosnąca na przedziale (-π/2; π/2); dlatego ma funkcję odwrotną, która jest ciągła i ściśle rosnąca.
Funkcja odwrotna dla funkcji y= tg⁡(x), gdzie x∈(-π/2;π/2); nazywa się arcus tangens i oznacza y=arctg(x), gdzie x∈R.
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus tangens jest przedział (-∞; +∞), a zbiorem wartości jest przedział
(-π/2;π/2).
Zauważ, że wykres funkcji y=arctg(x), gdzie x∈R, jest symetryczny do wykresu funkcji y=tg⁡x, gdzie x ∈ (-π/2;π/2), w odniesieniu do dwusieczna kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y=arctg(x).

Przykład nr 5?

Znajdź arctg((√3)/3).

Ponieważ zakres arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tylko wartość π/6 jest odpowiednia, dlatego arctg((√3)/3) =π/6.
Przykład nr 6.
Znajdź arctg(-1)?

Ponieważ zakres arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tylko wartość -π/4 jest odpowiednia, zatem arctg(-1) = -π/4.

Funkcja y=arctg(x)

Arcus tangens liczby α to taka liczba α z przedziału (0; π), której cotangens jest równy α.

Wykres funkcji

Na przedziale (0;π) funkcja cotangensa ściśle maleje; ponadto jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału; dlatego na przedziale (0;π) funkcja ta ma funkcję odwrotną, która jest ściśle malejąca i ciągła.
Funkcja odwrotna dla funkcji y=ctg(x), gdzie x ∈(0;π), nazywana jest arcus cotangens i oznaczana jako y=arcctg(x), gdzie x∈R.
Tak więc, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji tangensa odwrotnego będzie R wartości – przedział (0; π) Wykres funkcji y=arcctg(x), gdzie x∈R jest symetryczny do wykresu funkcji y=ctg(x) x∈(0; π), przy czym względem dwusiecznej kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y=arcctg(x).

Przykład numer 7.
Znaleźć arcctg((√3)/3)?

Ponieważ zakres arcctg(x) x ∈(0;π), tylko wartość π/3 jest odpowiednia, zatem arccos((√3)/3) =π/3.

Przykład numer 8.
Znaleźć arcctg(-(√3)/3)?

Ponieważ zakres arcctg(x) x∈(0;π), tylko wartość 2π/3 jest odpowiednia, zatem arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Redakcja: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Lekcje 32-33. Odwrotne funkcje trygonometryczne

09.07.2015 5917 0

Cel: rozważ odwrotne funkcje trygonometryczne, ich zastosowanie do pisania rozwiązań równań trygonometrycznych.

I. Komunikacja tematu i celów lekcji

II. Nauka nowego materiału

1. Odwrotne funkcje trygonometryczne

Zacznijmy ten temat od następującego przykładu.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie: a) grzech x = 1/2; b) grzech x \u003d a.

a) Na osi rzędnych odłóż na bok wartość 1/2 i wykreśl kąty x 1 i x2, dla których grzech x = 1/2. W tym przypadku x1 + x2 = π, skąd x2 = π – x 1 . Zgodnie z tabelą wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy wartość x1 = π/6, a następnieUwzględniamy okresowość funkcji sinus i zapisujemy rozwiązania tego równania:gdzie k Z .

b) Jest oczywiste, że algorytm rozwiązywania równania grzech x = a jest takie samo jak w poprzednim akapicie. Oczywiście teraz wartość a jest wykreślana wzdłuż osi y. Trzeba jakoś wyznaczyć kąt x1. Uzgodniliśmy oznaczenie takiego kąta symbolemłuk grzechu a. Wtedy rozwiązania tego równania można zapisać jakoTe dwie formuły można połączyć w jedną: w której

Podobnie wprowadzono inne odwrotne funkcje trygonometryczne.

Bardzo często konieczne jest określenie wartości kąta przez znana wartość jego funkcja trygonometryczna. Taki problem jest wielowartościowy – istnieje nieskończona liczba kątów, których funkcje trygonometryczne są równe tej samej wartości. W związku z tym, w oparciu o monotoniczność funkcji trygonometrycznych, wprowadza się następujące odwrotne funkcje trygonometryczne, aby jednoznacznie określić kąty.

Arcus sinus (arcsin , którego sinus jest równy a, tj.

Arcus cosinus liczby a(arccos a) - taki kąt a z przedziału, którego cosinus jest równy a, tj.

Arc tangens liczby a(arctg a) - taki kąt a od przedziałuktórego tangens jest a, tj.tg = a.

Arc tangens liczby a(arctg a) - taki kąt a z przedziału (0; π), którego cotangens jest równy a, czyli ctg = a.

Przykład 2

Znajdźmy:

Biorąc pod uwagę definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy:

Przykład 3

Obliczać

Niech kąt a = arcsin 3/5, to z definicji grzech a = 3/5 i . Dlatego musimy znaleźć sałata a. Korzystanie z głównego tożsamość trygonometryczna, otrzymujemy:Bierze się pod uwagę, że cos a ≥ 0. Tak więc,

Właściwości funkcji	Funkcjonować
	y = arcus sin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
Domena	x [-1; jeden]	x [-1; jeden]	x ∈ (-∞; +∞)	x (-∞ + )
Zakres wartości	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y	y ∈ (-π/2 ; π/2 )	y ∈ (0; π)
Parytet	dziwne	Ani parzyste, ani dziwne	dziwne	Ani parzyste, ani dziwne
Zera funkcji (y = 0)	Gdy x = 0	Dla x = 1	Gdy x = 0	r ≠ 0
Przedziały stałości	y > 0 dla x ∈ (0; 1], w< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 dla x ∈ [-1; jeden)	y > 0 dla x ∈ (0; +∞), w< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 dla x ∈ (-∞; +∞)
Monotonia	Wzrastający	Zmniejsza	Wzrastający	Zmniejsza
Związek z funkcją trygonometryczną	grzech y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y=x
Harmonogram

Podajmy szereg typowych przykładów związanych z definicjami i podstawowymi własnościami odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Przykład 4

Znajdź dziedzinę funkcji

Aby funkcja y została zdefiniowana, konieczne jest, aby nierównośćco jest równoznaczne z systemem nierównościRozwiązaniem pierwszej nierówności jest przedział x∈ (-∞; +∞), drugi - Ten przedział i jest rozwiązaniem systemu nierówności, a więc domeny funkcji

Przykład 5

Znajdź obszar zmiany funkcji

Rozważ zachowanie funkcji z \u003d 2x - x2 (patrz rysunek).

Widać, że z ∈ (-∞; 1). Biorąc pod uwagę, że argument z funkcja stycznej odwrotnej zmienia się w określonych granicach, z danych w tabeli otrzymujemy, żeTak więc obszar zmian

Przykład 6

Udowodnijmy, że funkcja y = arctg x nieparzyste. ZostawiaćNastępnie tg a \u003d -x lub x \u003d - tg a \u003d tg (- a) i Dlatego - a \u003d arctg x lub a \u003d - arctg X. Widzimy więc, żetj. y(x) jest funkcją nieparzystą.

Przykład 7

Wyrażamy w kategoriach wszystkich odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Zostawiać To oczywiste, że Potem od

Wprowadźmy kąt Jak następnie

Podobnie zatem oraz

Więc,

Przykład 8

Zbudujmy wykres funkcji y \u003d cos (arcsin x).

Oznaczamy \u003d arcsin x, a następnie Bierzemy pod uwagę, że x \u003d sin a i y \u003d cos a, tj. x 2 + y2 = 1 i ograniczenia na x (x∈ [-jeden; 1]) i y (y ≥ 0). Wtedy wykres funkcji y = cos(arcsin x) to półkole.

Przykład 9

Zbudujmy wykres funkcji y \u003d arccos(cosx).

Ponieważ funkcja cos x zmiany na odcinku [-1; 1], to funkcja y jest określona na całej osi rzeczywistej i zmienia się na przedziale . Pamiętajmy, że y = arccos(cosx) \u003d x na segmencie; funkcja y jest parzysta i okresowa z okresem 2π. Biorąc pod uwagę, że funkcja ma te właściwości bo x , Teraz łatwo jest narysować.

Zwracamy uwagę na kilka przydatnych równości:

Przykład 10

Znajdź najmniejszy i największa wartość Funkcje Oznaczać następnie Uzyskaj funkcję Ta funkcja ma minimum w punkcie z = π/4 i jest równe Maksymalna wartość funkcji zostaje osiągnięta w punkcie z = -π/2 i jest równe Tak więc i

Przykład 11

Rozwiążmy równanie

Bierzemy pod uwagę, że Wtedy równanie wygląda tak:lub gdzie Z definicji arcus tangens otrzymujemy:

2. Rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych

Podobnie jak w przykładzie 1, możesz uzyskać rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych.

Równanie	Decyzja
tgx = a
ctg x = a

Przykład 12

Rozwiążmy równanie

Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, równanie zapisujemy w postaciRozwiązania tego równania:gdzie znajdujemy?

Przykład 13

Rozwiążmy równanie

Zgodnie z powyższym wzorem piszemy rozwiązania równania:i znajdź

Zauważ, że w szczególnych przypadkach (a = 0; ±1) przy rozwiązywaniu równań sin x = a i cos x = a jest łatwiejsze i wygodniejsze w użyciu nie ogólne formuły i napisz rozwiązania oparte na okręgu jednostkowym:

dla równania sin x = 1 rozwiązanie

dla równania sin x \u003d 0 roztworów x \u003d π k;

dla równania sin x = -1 rozwiązanie

dla równania cos x = 1 roztwory x = 2π k;

dla równania cos x = 0 rozwiązanie

dla równania cos x = -1 rozwiązanie

Przykład 14

Rozwiążmy równanie

Ponieważ w tym przykładzie jest szczególny przypadek równania, następnie zgodnie z odpowiednim wzorem piszemy rozwiązanie:gdzie znajdujemy?

III. pytania testowe(sonda przednia)

1. Zdefiniuj i wymień główne własności odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

2. Podaj wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

3. Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych.

IV. Zadanie na lekcjach

§ 15, nr 3 (a, b); 4(c,d); 7 lit. a); 8a; 12 lit. b); 13 lit. a); 15 lit. c); 16 lit. a); 18 (a, b); 19 lit. c); 21;

§ 16, nr 4 (a, b); 7 lit. a); 8b); 16 (a, b); 18 lit. 19 (c, d);

§ 17, nr 3 (a, b); 4(c,d); 5 (a, b); 7(c,d); 9 lit. b); 10 (a, c).

V. Praca domowa

§ 15, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 7 lit. c); 8b); 12 lit. a); 13b); 15 lit. d); 16b); 18 (c, d); 19 lit. d); 22;

§ 16, nr 4 (c, d); 7b; 8a; 16 (c, d); 18 lit. b); 19 (a, b);

§ 17, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 5(c,d); 7 (a, b); 9 lit. d); 10 (b, d).

VI. Zadania kreatywne

1. Znajdź zakres funkcji:

Odpowiedzi:

2. Znajdź zakres funkcji:

Odpowiedzi:

3. Wykres funkcji:

VII. Podsumowując lekcje

Podano definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych i ich wykresy. Jak również wzory na odwrotne funkcje trygonometryczne, wzory na sumy i różnice.

Definicja odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe, funkcje odwrotne do nich nie są jednowartościowe. Zatem równanie y = grzech x, dla danego , ma nieskończenie wiele pierwiastków. Rzeczywiście, ze względu na okresowość sinusa, jeśli x jest takim pierwiastkiem, to x + 2n(gdzie n jest liczbą całkowitą) będzie również pierwiastkiem równania. Zatem, odwrotne funkcje trygonometryczne są wielowartościowe. Aby ułatwić z nimi pracę, wprowadzono pojęcie ich głównych wartości. Rozważmy na przykład sinus: y = grzech x. Jeśli ograniczymy argument x do przedziału , to na nim funkcja y = grzech x wzrasta monotonicznie. Dlatego ma jednowartościową funkcję odwrotną, która nazywa się arcus sinus: x = arcsin y.

O ile nie zaznaczono inaczej, odwrotne funkcje trygonometryczne oznaczają ich główne wartości, które są zdefiniowane przez następujące definicje.

Arcsine ( y= arcus sinus x) jest funkcją odwrotną sinusa ( x= siny

Cosinus łuku ( y= arccos x) jest funkcją odwrotną cosinusa ( x= wygodny), która ma domenę definicji i zestaw wartości.

Arcus tangens ( y= arctg x) jest funkcją odwrotną tangensa ( x= tg y), która ma domenę definicji i zestaw wartości.

tangens łuku ( y= arcctg x) jest funkcją odwrotną cotangensa ( x= ctg y), która ma domenę definicji i zestaw wartości.

Wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych uzyskuje się z wykresów funkcji trygonometrycznych odbicie lustrzane względem linii prostej y = x . Zobacz sekcje sinus, cosinus, tangens, cotangens.

y= arcus sinus x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

Podstawowe formuły

W tym miejscu należy zwrócić szczególną uwagę na przedziały, dla których obowiązują formuły.

arcsin(sin x) = x w
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x w
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x w
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x w
ctg(arctg x) = x

Wzory odnoszące się do odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Wzory na sumy i różnice

w lub

w i

w i

w lub

w i

w i

w

w

w

w