Obszar Wartości Akceptowalnej (ODZ): teoria, przykłady, rozwiązania. Jak znaleźć zakres funkcji? Przykłady rozwiązań

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych publicznych ważne okazje.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Zacznijmy od znalezienia dziedzina definicji sumy funkcji. Jasne jest, że taka funkcja ma sens dla wszystkich takich wartości zmiennej, dla których wszystkie funkcje składające się na sumę mają sens. Dlatego nie ma wątpliwości co do słuszności następującego stwierdzenia:

Jeżeli funkcja f jest sumą n funkcji f 1 , f 2 , …, f n , to znaczy funkcja f jest dana wzorem y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), to dziedzina funkcji f jest przecięciem dziedzin funkcji f 1 , f 2 , …, f n . Zapiszmy to jako .

Zgódźmy się na dalsze używanie rekordów takich jak ostatni, przez co rozumiemy napisane w nawiasie klamrowym lub jednoczesne spełnienie dowolnych warunków. Jest to wygodne i całkiem naturalnie współbrzmi ze znaczeniem systemów.

Przykład.

Mając funkcję y=x 7 +x+5+tgx , musimy znaleźć jej dziedzinę.

Decyzja.

Funkcja f jest reprezentowana przez sumę czterech funkcji: f 1 jest funkcją potęgową z wykładnikiem 7 , f 2 jest funkcją potęgową z wykładnikiem 1 , f 3 jest funkcją stałą, a f 4 jest funkcją styczną.

Patrząc na tabelę obszarów definicji głównych podstawowe funkcje, stwierdzamy, że D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , a dziedzina tangens to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczb .

Dziedziną funkcji f jest przecięcie dziedzin funkcji f 1 , f 2 , f 3 i f 4 . Jest całkiem oczywiste, że jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyjątkiem liczb .

Odpowiedź:

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem .

Przejdźmy do znalezienia domeny iloczynu funkcji. W tym przypadku obowiązuje podobna zasada:

Jeżeli funkcja f jest iloczynem n funkcji f 1 , f 2 , …, f n , to znaczy funkcja f jest dana wzorem y=f 1 (x) f 2 (x) ... f n (x), to dziedzina funkcji f jest przecięciem dziedzin funkcji f 1 , f 2 , …, f n . Więc, .

Zrozumiałe jest, że we wskazanym obszarze zdefiniowane są wszystkie funkcje produktu, a co za tym idzie sama funkcja f.

Przykład.

Y=3 arctgx lnx .

Decyzja.

Strukturę prawej strony wzoru definiującego funkcję można uznać za f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) , gdzie f 1 jest funkcją stałą, f 2 jest funkcją arcus tangens, oraz f 3 jest funkcją logarytmiczną o podstawie e.

Wiemy, że D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) i D(f 3)=(0, +∞) . Następnie .

Odpowiedź:

dziedziną funkcji y=3 arctgx lnx jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich.

Rozważmy osobno znalezienie dziedziny definicji funkcji określonej wzorem y=C·f(x) , gdzie C jest pewną liczbą rzeczywistą. Łatwo wykazać, że dziedzina tej funkcji i dziedzina funkcji f pokrywają się. Rzeczywiście, funkcja y=C f(x) jest iloczynem funkcji stałej i funkcji f . Dziedziną funkcji stałej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a dziedziną funkcji f jest D(f) . Wtedy dziedziną funkcji y=C f(x) jest , który miał być pokazany.

Zatem dziedziny funkcji y=f(x) i y=C·f(x) , gdzie С jest pewną liczbą rzeczywistą, pokrywają się. Na przykład, jeśli dziedziną rdzenia jest , staje się jasne, że D(f) jest zbiorem wszystkich x z dziedziny funkcji f 2, dla której f 2 (x) jest zawarte w dziedzinie funkcji f 1 .

Zatem, dziedzina funkcji złożonej y=f 1 (f 2 (x)) jest częścią wspólną dwóch zbiorów: zbioru wszystkich x takiego, że x∈D(f 2) i zbioru wszystkich x takiego, że f 2 (x)∈D(f 1 ) . To znaczy w naszym zapisie (jest to zasadniczo system nierówności).

Przyjrzyjmy się kilku przykładom. W tym procesie nie będziemy szczegółowo opisywać, ponieważ wykracza to poza zakres tego artykułu.

Przykład.

Znajdź dziedzinę funkcji y=lnx 2 .

Decyzja.

Oryginalną funkcję można przedstawić jako y=f 1 (f 2 (x)) , gdzie f 1 jest logarytmem o podstawie e, a f 2 jest funkcją potęgową o wykładniku 2.

Zwracając się do słynne obszary definicje podstawowych funkcji elementarnych, mamy D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=(−∞, +∞) .

Następnie

Więc znaleźliśmy dziedzinę definicji funkcji, której potrzebowaliśmy, jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera.

Odpowiedź:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Przykład.

Jaki jest zakres funkcji? ?

Decyzja.

Ta funkcja jest złożona, można ją uznać za y \u003d f 1 (f 2 (x)) , gdzie f 1 jest funkcją potęgową z wykładnikiem, a f 2 jest funkcją arcus sinus i musimy znaleźć jej dziedzinę.

Zobaczmy, co wiemy: D(f 1)=(0, +∞) i D(f 2)=[−1, 1] . Pozostaje znaleźć punkt przecięcia zbiorów wartości x takich, że x∈D(f 2) i f 2 (x)∈D(f 1) :

Dla arcsinx>0 przypomnijmy sobie właściwości funkcji arcsinus. Arcsinx rośnie w całej dziedzinie definicji [−1, 1] i zanika w x=0 , zatem arcsinx>0 dla dowolnego x z przedziału (0, 1] .

Wróćmy do systemu:

Zatem pożądaną dziedziną definicji funkcji jest półprzedział (0, 1 ).

Odpowiedź:

(0, 1] .

Przejdźmy teraz do złożonych funkcji ogólnych y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Dziedzina funkcji f w tym przypadku znajduje się jako .

Przykład.

Znajdź zakres funkcji .

Decyzja.

Podaną funkcję złożoną można zapisać jako y \u003d f 1 (f 2 (f 3 (x))), gdzie f 1 - sin, f 2 - funkcja pierwiastka czwartego stopnia, f 3 - lg.

Wiemy, że D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=- ∞; +∞[ .

Przykład 1. Znajdź zakres funkcji tak = 2 .

Decyzja. Zakres funkcji nie jest sprecyzowany, co oznacza, że ​​na mocy powyższej definicji rozumie się naturalną dziedzinę definicji. Wyrażenie f(x) = 2 jest zdefiniowane dla dowolnych wartości rzeczywistych x, W związku z tym, podana funkcja zdefiniowany na całym zestawie R liczby rzeczywiste.

Dlatego na powyższym rysunku oś liczbowa jest zacieniona od minus nieskończoności do plus nieskończoności.

Zakres korzenia n stopień

W przypadku, gdy funkcja jest podana wzorem i n- Liczba naturalna:

Przykład 2. Znajdź zakres funkcji .

Decyzja. Jak wynika z definicji, rdzeń parzystego stopnia ma sens, jeśli wyrażenie radykalne jest nieujemne, to znaczy, jeśli - 1 ≤ x≤ 1 . Dlatego zakres tej funkcji to [- 1; jeden] .

Zacieniony obszar osi liczbowej na powyższym rysunku to obszar definicji tej funkcji.

Domena funkcji mocy

Dziedzina funkcji potęgowej z wykładnikiem całkowitym

jeśli a- dodatnia, to dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, czyli ]- ∞; + ∞[ ;

jeśli a- ujemna, to dziedziną definicji funkcji jest zbiór ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , czyli cała oś liczbowa z wyjątkiem zera.

Na odpowiednim rysunku cała linia numeryczna jest zacieniowana od góry, a punkt odpowiadający zero jest wycięty (nie jest uwzględniony w obszarze definicji funkcji).

Przykład 3. Znajdź zakres funkcji .

Decyzja. Pierwszy wyraz jest liczbą całkowitą x równą 3, a potęga x drugiego wyrazu może być reprezentowana jako jednostka - również liczba całkowita. Dlatego dziedziną tej funkcji jest cała oś liczbowa, czyli ]- ∞; +∞[ .

Dziedzina funkcji potęgowej z wykładnikiem ułamkowym

W przypadku, gdy funkcję podaje wzór:

jeśli - jest dodatnie, to dziedziną funkcji jest zbiór 0; +∞[ .

Przykład 4. Znajdź zakres funkcji .

Decyzja. Oba terminy w wyrażeniu funkcyjnym - funkcje zasilania z dodatnimi wykładnikami ułamkowymi. Dlatego dziedziną tej funkcji jest zbiór - ∞; +∞[ .

Dziedzina definicji funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Domena funkcji wykładniczej

W przypadku, gdy funkcja jest wyrażona wzorem, dziedziną funkcji jest cała oś liczbowa, czyli ]- ∞; +∞[ .

Dziedzina funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna jest zdefiniowana pod warunkiem, że jej argument jest dodatni, to znaczy, że jej dziedziną definicji jest zbiór ]0; +∞[ .

Znajdź samodzielnie zakres funkcji, a następnie zobacz rozwiązanie

Dziedzina definicji funkcji trygonometrycznych

Zakres funkcji tak= cos( x) to także zestaw R liczby rzeczywiste.

Zakres funkcji tak= tg( x) - pęczek R liczby rzeczywiste inne niż liczby .

Zakres funkcji tak=ctg( x) - pęczek R liczby rzeczywiste inne niż liczby.

Przykład 8. Znajdź zakres funkcji .

Decyzja. Funkcją zewnętrzną jest logarytm dziesiętny, a warunki dziedziny mają zastosowanie do jej dziedziny definicji funkcja logarytmiczna ogólnie. Oznacza to, że jego argument musi być pozytywny. Argumentem jest tutaj sinus „x”. Obracając wyimaginowany kompas wokół koła, widzimy, że warunek grzechu x> 0 jest naruszone, gdy „x” jest równe zero, „pi”, dwa, pomnożone przez „pi” i ogólnie równe iloczynowi liczby „pi” i dowolnej parzystej lub nieparzystej liczby całkowitej.

Tak więc dziedzinę definicji tej funkcji określa wyrażenie

,

gdzie k jest liczbą całkowitą.

Dziedzina odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Zakres funkcji tak= arcusin( x) - zestaw [-1; jeden] .

Zakres funkcji tak= arccos( x) - także zbiór [-1; jeden] .

Zakres funkcji tak= arctan( x) - pęczek R liczby rzeczywiste.

Zakres funkcji tak= arcctg( x) to także zestaw R liczby rzeczywiste.

Przykład 9. Znajdź zakres funkcji .

Decyzja. Rozwiążmy nierówność:

W ten sposób otrzymujemy dziedzinę definicji tej funkcji - odcinek [- 4; 4] .

Przykład 10. Znajdź zakres funkcji .

Decyzja. Rozwiążmy dwie nierówności:

Rozwiązanie pierwszej nierówności:

Rozwiązanie drugiej nierówności:

W ten sposób otrzymujemy dziedzinę definicji tej funkcji - odcinek.

Domena ułamkowa

Jeżeli funkcję podaje wyrażenie ułamkowe, w którym zmienna jest w mianowniku ułamka, to dziedziną funkcji jest zbiór R liczby rzeczywiste inne niż x dla których znika mianownik ułamka.

Przykład 11. Znajdź zakres funkcji .

Decyzja. Rozwiązując równość do zera mianownika ułamka, znajdujemy dziedzinę definicji tej funkcji - zbiór] - ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .