Złożone formuły funkcyjne. złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna. Pochodna funkcji wykładniczej

W „starych” podręcznikach nazywa się to również regułą „łańcucha”. Więc jeśli y \u003d f (u) i u \u003d φ (x), tj

y \u003d f (φ (x))

zespolona - funkcja złożona (złożenie funkcji) wtedy

gdzie , po obliczeniu uważa się za u = (x).

Zauważ, że tutaj wzięliśmy „różne” kompozycje z tych samych funkcji, a wynik różnicowania naturalnie okazał się zależny od kolejności „miksowania”.

Reguła łańcucha naturalnie rozciąga się na kompozycję trzech lub więcej funkcji. W takim przypadku w łańcuchu, który tworzy pochodną, ​​będą odpowiednio trzy lub więcej „ogniw”. Oto analogia z mnożeniem: „mamy” - tabela pochodnych; "tam" - tabliczka mnożenia; „z nami” to reguła łańcucha, a „tam” to reguła mnożenia z „kolumną”. Przy obliczaniu takich „złożonych” pochodnych oczywiście nie wprowadza się żadnych argumentów pomocniczych (u¸v itp.), ale po odnotowaniu liczby i sekwencji funkcji uczestniczących w kompozycji „naciągają” odpowiednie linki w wskazanej kolejności.

. Tutaj wykonuje się pięć operacji z "x" w celu uzyskania wartości "y", czyli ma miejsce złożenie pięciu funkcji: "zewnętrzna" (ostatnia z nich) - wykładnicza - e ; wtedy w odwrotnej kolejności jest prawo potęgowe. (♦) 2 ; grzech trygonometryczny(); moc. () 3 i wreszcie logarytmiczny ln.(). Więc

Poniższe przykłady „zabiją pary ptaków jednym kamieniem”: przećwiczymy różnicowanie funkcji złożonych i uzupełnimy tabelę pochodnych funkcji elementarnych. Więc:

4. W przypadku funkcji potęgi - y \u003d x α - przepisanie jej za pomocą dobrze znanego „podstawowego tożsamość logarytmiczna» - b=e ln b - w postaci x α = x α ln x otrzymujemy

5. Dla dowolnej funkcji wykładniczej, przy użyciu tej samej techniki, będziemy mieli

6. Dla dowolnej funkcji logarytmicznej, korzystając ze znanego wzoru na przejście do nowej bazy, otrzymujemy sukcesywnie

.

7. Aby zróżnicować tangens (cotangens), posługujemy się regułą różniczkowania ilorazu:

Aby otrzymać pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych, korzystamy z relacji, którą spełniają pochodne dwóch wzajemnie odwrotnych funkcji, czyli funkcji φ (x) i f (x) połączonych relacjami:

Oto stosunek

To z tego wzoru na wzajemnie odwrotne funkcje

oraz
,

Na koniec podsumowujemy te i kilka innych, równie łatwych do uzyskania pochodnych, w poniższej tabeli.

Odkąd tu przyjechałeś, prawdopodobnie udało Ci się już zobaczyć ten wzór w podręczniku

i zrób taką minę:

Przyjacielu, nie martw się! W rzeczywistości wszystko jest łatwe do zhańbienia. Na pewno wszystko zrozumiesz. Tylko jedna prośba - przeczytaj artykuł powoli spróbuj zrozumieć każdy krok. Napisałem tak prosto i jasno, jak to możliwe, ale nadal musisz zagłębić się w pomysł. I pamiętaj, aby rozwiązać zadania z artykułu.

Co to jest funkcja złożona?

Wyobraź sobie, że przeprowadzasz się do innego mieszkania i dlatego pakujesz rzeczy w duże pudła. Zbierzmy trochę małe przedmioty takich jak szkolne artykuły papiernicze. Jeśli po prostu wrzucisz je do ogromnego pudełka, zgubią się między innymi. Aby tego uniknąć, najpierw wkładasz je na przykład do torby, którą następnie wkładasz do dużego pudełka, po czym je zamykasz. Ten „najtrudniejszy” proces pokazano na poniższym schemacie:

Wydawałoby się, gdzie jest matematyka? A poza tym złożona funkcja powstaje DOKŁADNIE W TEN SAM sposób! Tylko „pakujemy” nie zeszyty i długopisy, ale \ (x \), podczas gdy różne „opakowania” i „pudełka” służą.

Na przykład weźmy x i "zapakuj" to do funkcji:

W rezultacie otrzymujemy oczywiście \(\cos⁡x\). To jest nasz „worek rzeczy”. A teraz wkładamy go do „pudełka” - pakujemy go na przykład w funkcję sześcienną.

Co się stanie w końcu? Tak, zgadza się, będzie „paczka z rzeczami w pudełku”, czyli „cosinus x do sześcianu”.

Powstała konstrukcja to złożona funkcja. Różni się tym od prostego KILKA „uderzeń” (pakietów) jest przykładanych do jednego X z rzędu i okazuje się niejako „funkcja z funkcji” - „pakiet w pakiecie”.

W kurs szkolny istnieje bardzo niewiele rodzajów tych samych „pakietów”, tylko cztery:

Zajmijmy się teraz „pakowaniem” x najpierw w funkcja wykładnicza o podstawie 7, a następnie w funkcję trygonometryczną. Otrzymujemy:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

A teraz „zapakujmy” x dwa razy w funkcje trygonometryczne, najpierw w , a następnie w :

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Proste, prawda?

Teraz sam napisz funkcje, gdzie x:
- najpierw jest „pakowana” do cosinusa, a następnie do funkcji wykładniczej o podstawie \(3\);
- najpierw do potęgi piątej, a następnie do stycznej;
- najpierw do logarytmu podstawowego \(4\) , a następnie do potęgi \(-2\).

Zobacz odpowiedzi na to pytanie na końcu artykułu.

Ale czy możemy „pakować” x nie dwa, ale trzy razy? Nie ma problemu! I cztery, pięć i dwadzieścia pięć razy. Oto na przykład funkcja, w której x jest „pakowane” \(4\) razy:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takich formuł nie znajdziemy w praktyce szkolnej (studenci mają więcej szczęścia – mogą być trudniejsze☺).

„Rozpakowywanie” złożonej funkcji

Spójrz ponownie na poprzednią funkcję. Czy potrafisz wymyślić kolejność „pakowania”? Co X zostało wepchnięte najpierw, co potem i tak dalej aż do samego końca. To znaczy, która funkcja jest zagnieżdżona w której? Weź kawałek papieru i zapisz, co myślisz. Możesz to zrobić za pomocą łańcucha strzałek, jak pisaliśmy powyżej, lub w jakikolwiek inny sposób.

Teraz prawidłowa odpowiedź brzmi: najpierw x „upakowało” do \(4\) potęgi, następnie wynik został upakowany do sinusa, ten z kolei został umieszczony w podstawie logarytmicznej \(2\), a w na koniec cała konstrukcja została wepchnięta w piątki siłowe.

Oznacza to, że konieczne jest rozwinięcie sekwencji W ODWROTNEJ KOLEJNOŚCI. A oto podpowiedź jak to zrobić łatwiej: wystarczy spojrzeć na X – trzeba z niego tańczyć. Spójrzmy na kilka przykładów.

Na przykład oto funkcja: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Patrzymy na X – co się z nim najpierw dzieje? Zabrano mu. I wtedy? Pobierana jest tangens wyniku. A kolejność będzie taka sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Inny przykład: \(y=\cos⁡((x^3))\). Analizujemy - najpierw x zostało pobrane do sześcianu, a następnie z wyniku wzięto cosinus. Zatem sekwencja będzie wyglądać następująco: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Zwróć uwagę, funkcja wydaje się być podobna do tej pierwszej (gdzie ze zdjęciami). Ale to zupełnie inna funkcja: tutaj w sześcianie x (czyli \(\cos⁡((x x x)))\), a tam w sześcianie cosinus \(x\) (czyli \(\ cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Ta różnica wynika z różnych sekwencji „pakowania”.

Ostatni przykład (z ważna informacja w nim): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Oczywiste jest, że tutaj najpierw wykonaliśmy operacje arytmetyczne na x, a następnie z wyniku wzięto sinus: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I to ważny punkt: mimo że operacje arytmetyczne nie są same w sobie funkcjami, tutaj pełnią również funkcję „pakowania”. Zagłębmy się nieco głębiej w tę subtelność.

Jak powiedziałem powyżej, w prostych funkcjach x jest "pakowane" raz, a w złożonych - dwie lub więcej. Co więcej, każda kombinacja prostych funkcji (tj. ich sumy, różnicy, mnożenia lub dzielenia) również jest prosta funkcja. Na przykład \(x^7\) jest prostą funkcją, podobnie jak \(ctg x\). Stąd wszystkie ich kombinacje są prostymi funkcjami:

\(x^7+ ctg x\) - proste,
\(x^7 ctg x\) jest proste,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) jest prosty i tak dalej.

Jeśli jednak do takiej kombinacji zostanie zastosowana jeszcze jedna funkcja, będzie to już funkcja złożona, ponieważ będą dwa „pakiety”. Zobacz schemat:

Dobra, zabierajmy się za to teraz. Napisz sekwencję funkcji „zawijających”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpowiedzi ponownie znajdują się na końcu artykułu.

Funkcje wewnętrzne i zewnętrzne

Dlaczego musimy zrozumieć zagnieżdżanie funkcji? Co nam to daje? Chodzi o to, że bez takiej analizy nie będziemy w stanie wiarygodnie znaleźć pochodnych funkcji omówionych powyżej.

Aby przejść dalej, będziemy potrzebować jeszcze dwóch pojęć: funkcji wewnętrznej i zewnętrznej. To jest bardzo prosta rzecz co więcej, w rzeczywistości analizowaliśmy je już powyżej: jeśli przypomnimy sobie naszą analogię na samym początku, to wewnętrzną funkcją jest „opakowanie”, a zewnętrzną „pudełko”. Tych. to, w co X jest „zawinięte” na początku, jest funkcją wewnętrzną, a to, w co „zawinięte” jest wnętrze, jest już zewnętrzne. Cóż, to zrozumiałe, dlaczego - jest na zewnątrz, to znaczy na zewnątrz.

W tym przykładzie: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcja \(\log_2⁡x\) jest wewnętrzna, a
- zewnętrzny.

A w tym: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) jest wewnętrzne i
- zewnętrzny.

Wykonaj ostatnią praktykę analizowania funkcji złożonych, a na koniec przejdźmy do punktu, od którego wszystko się zaczęło - znajdziemy pochodne funkcji złożonych:

Uzupełnij luki w tabeli:

Pochodna funkcji złożonej

Brawo do nas, doszliśmy jeszcze do "szefa" tego tematu - w zasadzie pochodna złożona funkcja, a konkretnie do tej bardzo okropnej formuły z początku artykułu.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formuła brzmi tak:

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej względem stałej funkcji wewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej.

I od razu spójrz na schemat parsowania, zgodnie ze słowami, aby zrozumieć, do czego się odnosi:

Mam nadzieję, że terminy „pochodna” i „produkt” nie sprawiają trudności. „Złożona funkcja” - już zdemontowaliśmy. Haczyk jest w „pochodnej funkcji zewnętrznej w stosunku do stałej wewnętrznej”. Co to jest?

Odpowiedź: jest to zwykła pochodna funkcji zewnętrznej, w której zmienia się tylko funkcja zewnętrzna, podczas gdy wewnętrzna pozostaje taka sama. Nadal niejasne? Dobra, weźmy przykład.

Powiedzmy, że mamy funkcję \(y=\sin⁡(x^3)\). Oczywiste jest, że funkcja wewnętrzna to \(x^3\), a zewnętrzna
. Znajdźmy teraz pochodną zewnętrznego względem stałej wewnętrznej.

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 załącznikami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli zostaną zrozumiane (ktoś będzie cierpieć), to prawie wszystko inne jest rachunek różniczkowy będzie wydawać się żartem dziecka.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej przede wszystkim konieczne jest Prawidłowy ZROZUMIEĆ INWESTYCJE. W przypadku wątpliwości przypominam przydatna technika: bierzemy na przykład wartość eksperymentalną „x” i próbujemy (w myślach lub na szkicu) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, aby suma była najgłębszym zagnieżdżeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie kostka cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie, najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Formuła różniczkowania złożonej funkcji są stosowane w odwrotnej kolejności, od najbardziej zewnętrznej funkcji do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wydaje się być bezbłędny:

1) Bierzemy pochodną pierwiastka kwadratowego.

2) Bierzemy pochodną różnicy stosując regułę

3) Pochodna trójki jest równa zero. W drugim członie bierzemy pochodną stopnia (sześcian).

4) Bierzemy pochodną cosinusa.

6) I na koniec bierzemy pochodną najgłębszego zagnieżdżenia .

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz cały urok i prostotę analizowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubią dawać podobne rzeczy na egzaminie, aby sprawdzić, czy uczeń rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.

Następny przykład dla niezależna decyzja.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Podpowiedź: Najpierw stosujemy zasady liniowości oraz zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść do czegoś bardziej kompaktowego i ładniejszego.
Często zdarza się, że na przykład podaje się iloczyn nie dwóch, ale trzy funkcje. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw przyjrzymy się, ale czy możliwe jest przekształcenie iloczynu trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w produkcie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sukcesywnie zastosować zasadę różnicowania produktów dwa razy

Sztuczka polega na tym, że dla "y" oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a dla "ve" - ​​logarytm:. Dlaczego można to zrobić? Czy to? - to nie jest iloczyn dwóch czynników i zasada nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Nadal możesz zboczyć i wyjąć coś z nawiasów, ale w ta sprawa lepiej zostawić odpowiedź w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Powyższy przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Oba rozwiązania są absolutnie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, w próbce jest ono rozwiązane w pierwszy sposób.

Rozważ podobne przykłady z ułamkami.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie można napisać bardziej zwięźle, jeśli przede wszystkim zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład jest rozwiązany, a pozostawienie go w takiej formie nie będzie błędem. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić szkic, ale czy można uprościć odpowiedź?

Doprowadzamy wyrażenie licznika do wspólny mianownik i pozbądź się trzypiętrowej frakcji:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko popełnienia błędu nie przy szukaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie sobie” pochodnej.

Prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy techniki znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, w którym proponuje się „straszny” logarytm do różniczkowania

Absolutnie niemożliwe jest rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów w matematyce bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć Analiza matematyczna. Dzisiejszy artykuł postanowiliśmy poświęcić temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej fizyczne i zmysł geometryczny jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja f(x) , podany w pewnym przedziale (a,b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Gdy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica jego wartości x-x0 . Ta różnica jest zapisana jako delta x i nazywa się przyrostem argumentów. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to napisać tak:

Jaki jest sens w znajdowaniu takiej granicy? Ale który:

pochodna funkcji w punkcie jest równa stycznej kąta między osią OX i stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Fizyczne znaczenie pochodnej: pochodna czasu toru jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to prywatna ścieżka. x=f(t) i czas t . Średnia prędkość przez pewien okres czasu:

Aby dowiedzieć się, jaka jest prędkość ruchu na raz t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: usuń stałą

Stałą można wyprowadzić ze znaku pochodnej. Co więcej, trzeba to zrobić. Rozwiązując przykłady w matematyce, przyjmuj z reguły - jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się według wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Decyzja:

Tutaj ważne jest, aby powiedzieć o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji względem argumentu pośredniego przez pochodną argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

W powyższy przykład spotykamy wyrażenie:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw rozważamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcji:

O derywatach dla manekinów staraliśmy się rozmawiać od podstaw. Ten temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: w przykładach często pojawiają się pułapki, więc bądź ostrożny przy obliczaniu instrumentów pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań dotyczących tego i innych tematów możesz skontaktować się z obsługą studentów. Za krótkoterminowy pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i poradzić sobie z zadaniami, nawet jeśli nigdy wcześniej nie zajmowałeś się obliczaniem pochodnych.

Funkcje złożony typ nie zawsze pasują do definicji funkcji złożonej. Jeśli istnieje funkcja postaci y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, to nie można jej uznać za złożoną, w przeciwieństwie do y \u003d grzech 2 x.

W artykule zostanie przedstawiona koncepcja funkcji złożonej oraz jej identyfikacja. Popracujmy ze wzorami na znalezienie pochodnej z przykładami rozwiązań we wniosku. Wykorzystanie tablicy pochodnych i reguł różniczkowania znacznie skraca czas znalezienia pochodnej.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Podstawowe definicje

Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest również funkcja.

Jest to oznaczone w ten sposób: f (g (x)) . Mamy, że funkcja g (x) jest uważana za argument f (g (x)) .

Definicja 2

Jeśli istnieje funkcja f i jest funkcją cotangens, to g(x) = ln x jest funkcją logarytmu naturalnego. Dostajemy, że funkcja zespolona f (g (x)) zostanie zapisana jako arctg (lnx). Lub funkcję f, która jest funkcją podniesioną do czwartej potęgi, gdzie g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 jest uważane za całą funkcję wymierną, otrzymujemy, że f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Oczywiście g(x) może być trudne. Z przykładu y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 widać, że wartość g ma pierwiastek sześcienny z ułamkiem. Wyrażenie to można zapisać jako y = f (f 1 (f 2 (x))) . Stąd mamy, że f jest funkcją sinus, a f 1 jest funkcją położoną poniżej pierwiastek kwadratowy, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - ułamkowa funkcja wymierna.

Definicja 3

Stopień zagnieżdżenia jest określony przez dowolny Liczba naturalna i jest zapisane jako y = f(f1(f2(f3(...(fn(x))))))).

Definicja 4

Pojęcie kompozycji funkcji odnosi się do liczby funkcji zagnieżdżonych zgodnie ze sformułowaniem problemu. Dla rozwiązania wzór na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej postaci

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Przykłady

Znajdź pochodną funkcji zespolonej postaci y = (2 x + 1) 2 .

Decyzja

Zgodnie z konwencją, f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2 x + 1 jest uważane za funkcję liniową.

Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej i piszemy:

f "(g(x)) = ((g(x))2)" = 2 (g(x)) 2 - 1 = 2 g(x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Konieczne jest znalezienie pochodnej o uproszczonej postaci początkowej funkcji. Otrzymujemy:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Stąd mamy to

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Wyniki się zgadzały.

Przy rozwiązywaniu tego rodzaju problemów ważne jest, aby zrozumieć, gdzie będzie zlokalizowana funkcja postaci f i g (x).

Przykład 2

Powinieneś znaleźć pochodne złożonych funkcji postaci y \u003d sin 2 x i y \u003d sin x 2.

Decyzja

Pierwszy wpis funkcji mówi, że f jest funkcją kwadratową, a g(x) jest funkcją sinus. Wtedy to rozumiemy

y "= (sin 2 x)" = 2 grzech 2 - 1 x (sin x)" = 2 grzech x cos x

Drugi wpis pokazuje, że f jest funkcją sinus, a g (x) = x 2 oznaczają funkcja zasilania. Wynika z tego, że iloczyn funkcji zespolonej można zapisać jako

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Wzór na pochodną y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) zostanie zapisany jako y „= f” (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x))))) f 2 " (f 3 (... (f n (x) ))))) . . . f n "(x)

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Decyzja

Ten przykład pokazuje złożoność pisania i określania lokalizacji funkcji. Następnie y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) oznaczają, gdzie f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) to funkcja sinus, funkcja podniesienia do 3 stopni, funkcja o logarytmie i podstawie e, funkcja tangensa łuku i funkcji liniowej.

Ze wzoru na definicję funkcji złożonej mamy, że

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Jak znaleźć to, co znaleźć

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) jako pochodna sinusa w tablicy pochodnych, następnie f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako pochodna funkcji potęgowej, to f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f2"(f3(f4(x))) jako pochodna logarytmiczna, wtedy f2"(f3(f4(x))) = 1arctg(2x).
4. f 3 "(f 4 (x)) jako pochodna tangensa łuku, to f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Znajdując pochodną f 4 (x) \u003d 2 x, weź 2 ze znaku pochodnej, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej z wykładnikiem równym 1, a następnie f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Łączymy wyniki pośrednie i otrzymujemy to

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takich funkcji przypomina zagnieżdżanie lalek. Reguły różniczkowania nie zawsze mogą być stosowane bezpośrednio przy użyciu tabeli pochodnej. Często trzeba zastosować wzór do znajdowania pochodnych funkcji złożonych.

Istnieją pewne różnice między złożonym widokiem a złożoną funkcją. Dzięki wyraźnej zdolności do rozróżnienia tego, znalezienie instrumentów pochodnych będzie szczególnie łatwe.

Przykład 4

Warto zastanowić się nad podaniem takiego przykładu. Jeśli istnieje funkcja postaci y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , to można ją uznać za złożoną funkcję postaci g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Oczywiście konieczne jest zastosowanie wzoru na złożoną pochodną:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcja postaci y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nie jest uważana za złożoną, ponieważ ma sumę t g x 2 , 3 t g x i 1 . Jednak t g x 2 jest uważany za funkcję złożoną, wówczas otrzymujemy funkcję potęgową postaci g (x) \u003d x 2 if, która jest funkcją stycznej. Aby to zrobić, musisz zróżnicować według kwoty. Rozumiemy to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 co 2 x

Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji zespolonej (t g x 2) ”:

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Otrzymujemy, że y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcje złożone mogą być zawarte w funkcjach złożonych, a same funkcje złożone mogą być funkcjami złożonymi postaci złożonej.

Przykład 5

Rozważmy na przykład złożoną funkcję postaci y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Funkcję tę można przedstawić jako y = f (g (x)) , gdzie wartość f jest funkcją logarytmu o podstawie 3, a g (x) jest uważane za sumę dwóch funkcji postaci h (x ) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x (x 2 + 1). Oczywiście y = f (h (x) + k (x)) .

Rozważmy funkcję h(x) . Jest to stosunek l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 do m (x) = e x 2 + 3 3

Mamy, że l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) jest sumą dwóch funkcji n (x) = x 2 + 7 i p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , gdzie p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) jest funkcją złożoną o współczynniku liczbowym 3, a p 1 jest funkcja kostki, funkcja cosinus p 2, p 3 (x) = 2 x + 1 - funkcja liniowa.

Odkryliśmy, że m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) jest sumą dwóch funkcji q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3 , gdzie q (x) = q 1 (q 2 (x)) to funkcja zespolona, ​​q 1 to funkcja z wykładnikiem, q 2 (x) = x 2 to funkcja potęgowa.

To pokazuje, że h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Przechodząc do wyrażenia w postaci k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), jasne jest, że funkcja jest prezentowana w postaci złożonej s ( x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) z liczbą całkowitą wymierną t (x) = x 2 + 1, gdzie s 1 jest funkcją kwadratową, a s 2 (x) = ln x to logarytmiczna o podstawie e.

Wynika z tego, że wyrażenie przyjmie postać k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Wtedy to rozumiemy

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Zgodnie ze strukturami funkcji stało się jasne, jak i jakie formuły należy zastosować, aby uprościć wyrażenie, gdy jest ono różnicowane. Aby zapoznać się z takimi problemami i zrozumieć ich rozwiązanie, konieczne jest odniesienie się do punktu różniczkowania funkcji, czyli znalezienia jej pochodnej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter