Proste i niezbyt proste sposoby obliczania pierwiastka sześciennego

Ile gniewnych słów padło przeciwko niemu? Czasami wydaje się, że pierwiastek sześcienny jest niesamowicie różny od kwadratu. W rzeczywistości różnica nie jest aż tak duża. Zwłaszcza jeśli rozumiesz, że są to tylko szczególne przypadki wspólnego korzenia n-tego stopnia.

Ale z jego wydobyciem mogą pojawić się problemy. Ale najczęściej wiążą się one z uciążliwością obliczeń.

Co musisz wiedzieć o korzeniu dowolnego stopnia?

Po pierwsze, definicja tego pojęcia. Pierwiastek n-tego stopnia pewnego „a” jest liczbą, która po podniesieniu do potęgi n daje oryginalne „a”.

Co więcej, u korzeni są stopnie parzyste i nieparzyste. Jeśli n jest parzyste, to wyrażenie root może być tylko zerem lub liczbą dodatnią. W przeciwnym razie nie będzie prawdziwej odpowiedzi.

Gdy stopień jest nieparzysty, istnieje rozwiązanie dla dowolnej wartości „a”. Równie dobrze może być negatywna.

Po drugie, funkcję pierwiastka można zawsze zapisać jako stopień, którego wskaźnikiem jest ułamek. Czasami jest to bardzo wygodne.

Na przykład „a” do potęgi 1 / n będzie po prostu n-tym pierwiastkiem „a”. W takim przypadku podstawa stopnia jest zawsze większa od zera.

Podobnie „a” do potęgi n / m będzie reprezentowane jako m-ty pierwiastek „a n”.

Po trzecie, wszystkie działania z uprawnieniami są dla nich ważne.

• Można je mnożyć. Następnie wykładniki sumują się.
• Korzenie można podzielić. Stopnie będą musiały zostać odjęte.
• I podnieś się do potęgi. Następnie należy je pomnożyć. To znaczy, jaki był stopień, do jakiego zostali podniesieni.

Jakie są podobieństwa i różnice między pierwiastkami kwadratowymi i sześciennymi?

Są podobni, podobnie jak rodzeństwo, różnią się tylko stopniem. A zasada ich obliczania jest taka sama, jedyną różnicą jest to, ile razy liczba musi zostać pomnożona przez siebie, aby uzyskać wyrażenie pierwiastka.

Nieco wyżej wymieniono istotną różnicę. Ale nie zaszkodzi powtórzyć. Kwadrat jest wyodrębniany tylko z nie Liczba ujemna. Obliczenie pierwiastka sześciennego z wartości ujemnej nie jest trudne.

Wyodrębnianie pierwiastka sześciennego na kalkulatorze

Każdy zrobił to dla pierwiastka kwadratowego przynajmniej raz. Ale co, jeśli stopień to „3”?

Na konwencjonalnym kalkulatorze jest tylko przycisk kwadratowy, ale nie sześcienny. Pomoże w tym proste wyliczenie liczb, które są pomnożone przez siebie trzy razy. Masz wyrażenie root? Więc to jest odpowiedź. Nie wypracował? Odbierz ponownie.

A co z inżynierską formą kalkulatora w komputerze? Hurra, tutaj jest korzeń sześcianu. Wystarczy nacisnąć ten przycisk, a program udzieli odpowiedzi. Ale to nie wszystko. Tutaj możesz obliczyć pierwiastek nie tylko 2 i 3 stopni, ale także dowolnego dowolnego. Ponieważ jest przycisk, który ma „y” w stopniu korzenia. Oznacza to, że po naciśnięciu tego klawisza będziesz musiał wprowadzić inną liczbę, która będzie równa stopniowi pierwiastka, a dopiero potem „=”.

Ręczna ekstrakcja korzenia kostki

Ta metoda jest wymagana, gdy kalkulator nie jest pod ręką lub nie można z niego korzystać. Następnie, aby obliczyć pierwiastek sześcienny z liczby, będziesz musiał się postarać.

Najpierw sprawdź, czy pełna kostka została uzyskana z jakiejś liczby całkowitej. Może pod korzeniem jest 2, 3, 5 lub 10 do trzeciej potęgi?

1. W myślach podziel wyrażenie root na grupy składające się z trzech cyfr od przecinka dziesiętnego. Najczęściej potrzebna jest część ułamkowa. Jeśli nie, dodaj zera.
2. Określ liczbę, której sześcian jest mniejszy niż część całkowita wyrażenia radykalnego. Napisz to w pośredniej odpowiedzi nad znakiem głównym. I pod tą grupą umieść jego kostkę.
3. Wykonaj odejmowanie.
4. Przypisz do reszty pierwszą grupę cyfr po przecinku.
5. W projekcie zapisz wyrażenie: a 2 * 300 * x + a * 30 * x 2 + x 3. Tutaj „a” jest odpowiedzią pośrednią, „x” jest liczbą mniejszą niż wynikowa reszta z przypisanymi do niej liczbami.
6. Liczba „x” musi być wpisana po przecinku odpowiedzi pośredniej. I wpisz wartość tego całego wyrażenia pod porównywaną pozostałą częścią.
7. Jeśli dokładność jest wystarczająca, zatrzymaj obliczenia. W przeciwnym razie musisz wrócić do punktu 3.

Ilustracyjny przykład obliczenia pierwiastka sześciennego

Jest to potrzebne, ponieważ opis może wydawać się skomplikowany. Poniższy rysunek pokazuje, jak wyodrębnić pierwiastek sześcienny 15 z dokładnością do setnych części.

Jedyną trudnością tej metody jest to, że z każdym krokiem liczby wzrastają wielokrotnie i coraz trudniej jest liczyć w kolumnie.

1. 15> 2 3 oznacza poniżej cała część 8 jest napisane, a nad korzeniem 2.
2. Po odjęciu ośmiu od 15, reszta to 7. Trzeba mu przypisać trzy zera.
3. a \u003d 2. Zatem: 2 2 * 300 * x + 2 * 30 * x 2 + x 3< 7000, или 1200 х + 60 х 2 + х 3 < 7000.
4. Metoda wyboru okazuje się, że x \u003d 4, 1200 * 4 + 60 * 16 + 64 \u003d 5824.
5. Odejmowanie daje 1176, a liczba 4 pojawiła się nad pierwiastkiem.
6. Do reszcie przypisz trzy zera.
7. a \u003d 24. Następnie 172800 x + 720 x 2 + x 3< 1176000.
8. x = 6. Ocena wyrażenia daje wynik 1062936. Reszta: 113064, ponad pierwiastek 6.
9. Ponownie przypisz zera.
10. a \u003d 246. Nierówność wygląda następująco: 18154800x + 7380x 2 + x 3< 113064000.
11. x \u003d 6. Obliczenia podają liczbę: 109194696, Reszta: 3869304. Nad korzeniem 6.

Odpowiedź to liczba: 2,466. Ponieważ odpowiedź musi być podana do części setnych, należy ją zaokrąglić: 2,47.

Niezwykły sposób na wyodrębnienie korzenia sześcianu

Może być używany, gdy odpowiedź jest liczbą całkowitą. Następnie wyodrębnia się korzeń sześcianu, rozszerzając radykalne wyrażenie na nieparzyste terminy. Co więcej, takie terminy powinny być minimalną możliwą liczbą.

Na przykład 8 jest reprezentowane przez sumę 3 i 5. A 64 = 13 + 15 + 17 + 19.

Odpowiedzią będzie liczba równa liczbie terminów. Tak więc pierwiastek sześcienny z 8 będzie równy dwóm, a 64 - czterem.

Jeśli pod pierwiastkiem jest 1000, to jego rozwinięcie na wyrazy wyniesie 91 + 109 + 93 + 107 + 95 + 105 + 97 + 103 + 99 + 101. W sumie jest 10 wyrazów. To jest odpowiedź.

Przed pojawieniem się kalkulatorów uczniowie i nauczyciele ręcznie obliczali pierwiastki kwadratowe. Istnieje kilka sposobów ręcznego obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Niektóre z nich oferują jedynie przybliżone rozwiązanie, inne podają dokładną odpowiedź.

Kroki

Rozkład na czynniki pierwsze

Rozłóż pierwiastek na czynniki, które są liczbami kwadratowymi. W zależności od liczby pierwiastków otrzymasz przybliżoną lub dokładną odpowiedź. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki to liczby, które po pomnożeniu dają pierwotną liczbę. Na przykład dzielniki liczby 8 to 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ 25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Czynniki kwadratowe są czynnikami , które są liczbami kwadratowymi. Najpierw spróbuj rozłożyć pierwiastek na czynniki kwadratowe.

• Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, czyli podzielna przez 25 - jest to liczba kwadratowa. Dzielenie 400 przez 25 daje 16. Liczba 16 jest również liczbą kwadratową. W ten sposób 400 można rozłożyć na czynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.
• Można to zapisać w następujący sposób: √400 = √(25 x 16).

1. Pierwiastek kwadratowy z iloczynu niektórych terminów jest równy iloczynowi pierwiastki kwadratowe z każdego wyrazu, tj. √(a x b) = √a x √b. Użyj tej reguły i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z każdego czynnika kwadratowego i pomnóż wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

   • W naszym przykładzie wyjmij pierwiastek kwadratowy z 25 i 16.
     • √(25x16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jeśli liczba radykalna nie rozkłada się na dwa mnożnik kwadratowy(co zdarza się w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi jako liczby całkowitej. Ale możesz uprościć problem, rozkładając pierwiastek na czynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie wyciągniesz pierwiastek kwadratowy z czynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze zwykłego czynnika.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa czynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:
     • = (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jeśli to konieczne, oceń wartość korzenia. Teraz możesz oszacować wartość pierwiastka (znaleźć przybliżoną wartość), porównując ją z wartościami pierwiastków liczb kwadratowych, które są najbliższe pierwiastkowi (po obu stronach osi liczbowej). Otrzymasz wartość pierwiastka jako ułamek dziesiętny, który należy pomnożyć przez liczbę za znakiem pierwiastka.

   • Wróćmy do naszego przykładu. Pierwiastek liczby to 3. Najbliższe liczby kwadratowe to liczby 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Zatem wartość √3 mieści się między 1 a 2. Ponieważ wartość √3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: √3 = 1,7. Tę wartość mnożymy przez liczbę przy znaku korzenia: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12.13, co jest bardzo bliskie naszej odpowiedzi.
     • Ta metoda działa również z dużymi liczbami. Rozważmy na przykład √35. Pierwiastek to 35. Najbliższe liczby kwadratowe to liczby 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Zatem wartość √35 leży między 5 a 6. Ponieważ wartość √35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 jest tylko o 1 mniej niż 36), możemy stwierdzić, że √35 jest nieco mniejsze niż 6. Sprawdzenie kalkulatorem daje nam odpowiedź 5.92 - mieliśmy rację.

4. Innym sposobem jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to liczby, które są podzielne tylko przez 1 i przez siebie. Napisz czynniki pierwsze z rzędu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można usunąć ze znaku korzenia.

   • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozkładamy pierwiastek na czynniki pierwsze: 45 \u003d 9 x 5 i 9 \u003d 3 x 3. Zatem √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 można wyjąć ze znaku pierwiastka: √45 = 3√5. Teraz możemy oszacować √5.
   • Rozważ inny przykład: √88.
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11). Masz trzy mnożniki 2; weź kilka z nich i wyjmij je ze znaku korzenia.
     • = 2√(2x11) = 2√2x√11. Teraz możemy ocenić √2 i √11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

   Ręczne obliczanie pierwiastka kwadratowego

   Korzystanie z podziału kolumn

   1. Ta metoda obejmuje proces podobny do dzielenia długiego i daje dokładną odpowiedź. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą arkusz na dwie połowy, a następnie narysuj poziomą linię w prawo i nieco poniżej górnej krawędzi arkusza do linii pionowej. Teraz podziel pierwiastek na pary liczb, zaczynając od części ułamkowej po przecinku. Tak więc liczba 79520789182.47897 jest zapisana jako „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z liczby 780,14. Narysuj dwie linie (jak pokazano na rysunku) i wpisz liczbę w lewym górnym rogu jako „7 80, 14”. To normalne, że pierwsza cyfra od lewej jest cyfrą niesparowaną. Odpowiedź (pierwiastek podanej liczby) zostanie zapisana w prawym górnym rogu.

   2. Mając pierwszą parę liczb (lub jedną liczbę) od lewej, znajdź największą liczbę całkowitą n, której kwadrat jest mniejszy lub równy danej parze liczb (lub jednej liczbie). Innymi słowy, znajdź liczbę kwadratową, która jest najbliższa, ale mniejsza niż, pierwsza para liczb (lub pojedyncza liczba) od lewej i wyciągnij z niej pierwiastek kwadratowy liczba kwadratowa; otrzymasz numer n. Napisz znalezione n w prawym górnym rogu i zapisz kwadrat n w prawym dolnym rogu.

      • W naszym przypadku pierwszą cyfrą od lewej będzie cyfra 7. Następnie 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Odejmij kwadrat liczby n, którą właśnie znalazłeś, od pierwszej pary liczb (lub jednej liczby) od lewej. Zapisz wynik obliczenia pod odcinkiem (kwadrat liczby n).

      • W naszym przykładzie odejmij 4 od 7, aby otrzymać 3.

   4. Zanotuj drugą parę liczb i zapisz ją obok wartości uzyskanej w poprzednim kroku. Następnie podwój liczbę w prawym górnym rogu i wpisz wynik w prawym dolnym rogu z dołączonym „_×_=”.

      • W naszym przykładzie druga para liczb to „80”. Wpisz „80” po 3. Następnie podwojenie liczby z prawego górnego rogu daje 4. Wpisz „4_×_=” od prawego dolnego rogu.

   5. Uzupełnij puste miejsca po prawej stronie.

      • W naszym przypadku, jeśli zamiast kresek umieścimy liczbę 8, to 48 x 8 \u003d 384, czyli więcej niż 380. Dlatego 8 to zbyt duża liczba, ale 7 jest w porządku. Napisz 7 zamiast kresek i uzyskaj: 47 x 7 \u003d 329. Napisz 7 od prawego górnego rogu - to druga cyfra żądanego pierwiastka kwadratowego z liczby 780,14.

   6. Odejmij wynikową liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Zapisz wynik z poprzedniego kroku pod aktualną liczbą po lewej stronie, znajdź różnicę i zapisz ją pod odjętą.

      • W naszym przykładzie odejmij 329 od 380, co daje 51.

   7. Powtórz krok 4. Jeśli wyburzona para liczb jest częścią ułamkową oryginalnej liczby, umieść separator (przecinek) części całkowitych i ułamkowych w żądanym pierwiastku kwadratowym od prawego górnego rogu. Po lewej przenieś następną parę liczb. Podwój liczbę w prawym górnym rogu i wpisz wynik w prawym dolnym rogu z dołączonym „_×_=”.

      • W naszym przykładzie następną parą liczb do usunięcia będzie część ułamkowa liczby 780.14, więc umieść separator części całkowitej i części ułamkowej w żądanym pierwiastku kwadratowym od prawego górnego rogu. Zburz 14 i zapisz w lewym dolnym rogu. Podwójny prawy górny róg (27) to 54, więc wpisz „54_×_=” w prawym dolnym rogu.

   8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź to Największa liczba w miejsce kresek po prawej stronie (zamiast kresek należy podstawić tę samą liczbę), aby wynik mnożenia był mniejszy lub równy aktualnej liczbie po lewej stronie.

      • W naszym przykładzie 549 x 9 = 4941, czyli mniej niż bieżąca liczba po lewej stronie (5114). Wpisz 9 w prawym górnym rogu i odejmij wynik mnożenia od bieżącej liczby po lewej: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jeśli chcesz znaleźć więcej miejsc dziesiętnych dla pierwiastka kwadratowego, wpisz parę zer obok bieżącej liczby po lewej stronie i powtórz kroki 4, 5 i 6. Powtarzaj kroki, aż uzyskasz dokładność odpowiedzi, której potrzebujesz (liczba miejsca dziesiętne).

   Zrozumienie procesu

   Do asymilacji Ta metoda pomyśl o liczbie, której pierwiastek kwadratowy chcesz znaleźć jako o powierzchni kwadratu S. W tym przypadku będziesz szukał długości boku L takiego kwadratu. Oblicz wartość L, dla której L² = S.

   Wpisz literę dla każdej cyfry w swojej odpowiedzi. Oznacz przez A pierwszą cyfrę wartości L (pożądany pierwiastek kwadratowy). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

   Określ literę dla każdej pary cyfr wiodących. Oznaczmy przez S a pierwszą parę cyfr w wartości S, przez S b drugą parę cyfr i tak dalej.

   Wyjaśnij związek tej metody z długim dzieleniem. Podobnie jak w operacji dzielenia, gdzie za każdym razem interesuje nas tylko jedna następna cyfra liczby podzielnej, przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego pracujemy z parą cyfr po kolei (aby uzyskać następną cyfrę w wartości pierwiastka kwadratowego) .

   1. Rozważ pierwszą parę cyfr Sa liczby S (Sa = 7 w naszym przykładzie) i znajdź jej pierwiastek kwadratowy. W tym przypadku pierwszą cyfrą A poszukiwanej wartości pierwiastka kwadratowego będzie taka cyfra, której kwadrat jest mniejszy lub równy S a (czyli szukamy takiej A, która spełnia nierówność A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Powiedzmy, że musimy podzielić 88962 przez 7; tutaj pierwszy krok będzie podobny: bierzemy pod uwagę pierwszą cyfrę liczby podzielnej 88962 (8) i wybieramy największą liczbę, która po pomnożeniu przez 7 daje wartość mniejszą lub równą 8. Czyli szukamy liczba d, dla której nierówność jest prawdziwa: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Wyobraź sobie w myślach kwadrat, którego pole musisz obliczyć. Szukasz L, czyli długości boku kwadratu o polu S. A, B, C to liczby w liczbie L. Możesz to napisać inaczej: 10A + B \u003d L (dla liczba dwucyfrowa) lub 100A + 10V + C = L (dla trzycyfrowy numer) itp.

      • Zostawiać (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamiętaj, że 10A+B to liczba, której B oznacza jedynki, a A dziesiątki. Na przykład, jeśli A=1 i B=2, to 10A+B równa się liczbie 12. (10A+B)² to powierzchnia całego placu, 100A² to powierzchnia dużego wewnętrznego placu, B² to powierzchnia małego wewnętrznego placu, 10A×B to pole powierzchni każdego z dwóch prostokątów. Dodając obszary opisanych figur, znajdziesz obszar pierwotnego kwadratu.

Kalkulator inżynierski online

Pospiesznie przedstawiamy wszystkim darmowy kalkulator inżynierski. Z jego pomocą każdy uczeń może szybko i co najważniejsze bez trudu wykonać różnego rodzaju obliczenia matematyczne online.

Kalkulator pochodzi ze strony - kalkulator naukowy web 2.0

Prosty i łatwy w obsłudze kalkulator inżynierski z dyskretnym i intuicyjnym interfejsem naprawdę przyda się najszerszemu gronu użytkowników Internetu. Teraz, gdy potrzebujesz kalkulatora, odwiedź naszą stronę internetową i skorzystaj z bezpłatnego kalkulatora inżynierskiego.

Kalkulator inżynierski może wykonywać zarówno proste operacje arytmetyczne, jak i dość złożone obliczenia matematyczne.

Web20calc to kalkulator inżynierski, który ma ogromną liczbę funkcji, na przykład jak obliczyć wszystko podstawowe funkcje. Kalkulator obsługuje również funkcje trygonometryczne, macierze, logarytmy, a nawet kreślenie.

Niewątpliwie Web20calc zainteresuje grupę szukających osób proste rozwiązania typy w zapytaniach wyszukiwarek: matematyczne kalkulator online. Bezpłatna aplikacja internetowa pomoże Ci natychmiast obliczyć wynik dowolnego wyrażenia matematycznego, na przykład odejmowanie, dodawanie, dzielenie, wyodrębnianie pierwiastka, podnoszenie do potęgi itp.

W wyrażeniu można użyć operacji potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, procentu, stałej PI. Do złożone obliczenia należy uwzględnić nawiasy.

Funkcje kalkulatora inżynierskiego:

1. podstawowe działania arytmetyczne;
2. pracować z liczbami w standardowej formie;
3. obliczenia korzenie trygonometryczne, funkcje, logarytmy, potęgowanie;
4. obliczenia statystyczne: dodawanie, średnia arytmetyczna lub odchylenie standardowe;
5. zastosowanie komórki pamięci i funkcji użytkownika 2 zmiennych;
6. pracować z kątami w radianach i stopniach.

Kalkulator inżynierski umożliwia korzystanie z różnych funkcji matematycznych:

Ekstrakcja korzeni (korzeń kwadratowy, korzeń sześcienny, a także korzeń n-tego stopnia);
ex (e do potęgi x), wykładnik;
funkcje trygonometryczne: sinus – sin, cosinus – cos, tangens – tan;
odwrotne funkcje trygonometryczne: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arcus tangens - tan-1;
funkcje hiperboliczne: sinus – sinh, cosinus – cosh, tangens – tanh;
logarytmy: logarytm o podstawie dwa to log2x, logarytm o podstawie dziesięć to logarytm o podstawie dziesiątej to log, logarytm naturalny to ln.

Ten kalkulator inżynierski zawiera również kalkulator ilościowy z możliwością przeliczania wielkości fizycznych na różne systemy pomiary - jednostki komputerowe, dystans, waga, czas itp. Dzięki tej funkcji możesz natychmiast zamienić mile na kilometry, funty na kilogramy, sekundy na godziny itp.

Aby wykonać obliczenia matematyczne, najpierw wprowadź sekwencję wyrażeń matematycznych w odpowiednim polu, a następnie kliknij znak równości i zobacz wynik. Możesz wprowadzać wartości bezpośrednio z klawiatury (w tym celu obszar kalkulatora musi być aktywny, dlatego przydatne będzie umieszczenie kursora w polu wprowadzania). Między innymi dane można wprowadzać za pomocą przycisków samego kalkulatora.

Aby zbudować wykresy w polu wejściowym, wpisz funkcję tak, jak wskazano w polu przykładowym lub użyj specjalnie do tego przeznaczonego paska narzędzi (aby przejść do niego, kliknij przycisk z ikoną w postaci wykresu). Aby przekonwertować wartości, naciśnij Unit, aby pracować z macierzami - Macierz.

Gratulacje: dzisiaj przeanalizujemy korzenie - jeden z najbardziej oszałamiających tematów 8 klasy :)

Wiele osób myli się z korzeniami nie dlatego, że są one złożone (co jest skomplikowane - kilka definicji i jeszcze kilka właściwości), ale dlatego, że w większości podręczników szkolnych korzenie są definiowane przez takie dzikości, że tylko sami autorzy podręczników mogą zrozum to bazgroły. A nawet wtedy tylko z butelką dobrej whisky :)

Dlatego teraz podam najbardziej poprawną i najbardziej kompetentną definicję korzenia - jedyną, o której naprawdę powinieneś pamiętać. I dopiero wtedy wyjaśnię: dlaczego to wszystko jest konieczne i jak to zastosować w praktyce.

Ale najpierw pamiętaj o jednym ważny punkt, o którym wielu kompilatorów podręczników z jakiegoś powodu „zapomina”:

Korzenie mogą być parzystego stopnia (nasz ulubiony $\sqrt(a)$, a także dowolny $\sqrt(a)$, a nawet $\sqrt(a)$) i nieparzystego stopnia (dowolny $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). A definicja pierwiastka nieparzystego stopnia różni się nieco od parzystego.

Tu w tym pieprzonym „nieco inaczej” kryje się chyba 95% wszystkich błędów i nieporozumień związanych z korzeniami. Wyjaśnijmy więc terminologię raz na zawsze:

Definicja. Nawet korzeń n od liczby $a$ to dowolna nieujemny liczbę $b$ taką, że $((b)^(n))=a$. A pierwiastek nieparzystego stopnia z tej samej liczby $a$ jest ogólnie dowolną liczbą $b$, dla której zachodzi ta sama równość: $((b)^(n))=a$.

W każdym razie korzeń jest oznaczony w ten sposób:

\(a)\]

Liczba $n$ w takiej notacji nazywana jest wykładnikiem pierwiastkowym, a liczba $a$ jest nazywana wyrażeniem radykalnym. W szczególności, dla $n=2$ otrzymujemy nasz „ulubiony” pierwiastek kwadratowy (nawiasem mówiąc, jest to pierwiastek stopnia parzystego), a dla $n=3$ otrzymujemy pierwiastek sześcienny (stopień nieparzysty), który jest również często spotykany w problemach i równaniach.

Przykłady. Klasyczne przykłady pierwiastki kwadratowe:

\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Przy okazji, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Korzenie sześcienne są również powszechne - nie bój się ich:

\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Cóż, kilka „egzotycznych przykładów”:

\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Jeśli nie rozumiesz, jaka jest różnica między stopniem parzystym a nieparzystym, przeczytaj ponownie definicję. To jest bardzo ważne!

W międzyczasie rozważymy jedną nieprzyjemną cechę pierwiastków, z powodu której musieliśmy wprowadzić osobną definicję dla parzystych i nieparzystych wykładników.

Dlaczego w ogóle potrzebujemy korzeni?

Po przeczytaniu definicji wielu uczniów zapyta: „Co palili matematycy, kiedy to wymyślili?” I naprawdę: po co nam te wszystkie korzenie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wróćmy na chwilę do stopnie podstawowe. Pamiętaj: w tamtych odległych czasach, kiedy drzewa były bardziej zielone, a pierogi smaczniejsze, naszą główną troską było prawidłowe pomnożenie liczb. Cóż, coś w duchu „pięć na pięć – dwadzieścia pięć”, to wszystko. Ale przecież liczby można mnożyć nie parami, ale trójkami, czwórkami i ogólnie całymi zbiorami:

\[\begin(wyrównaj) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(wyrównaj)\]

Nie o to jednak chodzi. Sztuczka jest inna: matematycy to leniwi ludzie, więc musieli zapisać mnożenie dziesięciu piątek w następujący sposób:

Więc wymyślili stopnie. Dlaczego nie zapisać liczby czynników jako indeksu górnego zamiast długiego ciągu znaków? Jak ten:

To bardzo wygodne! Wszystkie obliczenia pomniejsza się kilkukrotnie, a nie można wydać kilku kartek pergaminowych zeszytów, żeby zapisać jakieś 5 183 . Taki wpis nazwano stopniem liczby, znaleziono w nim sporo właściwości, ale szczęście okazało się krótkotrwałe.

Po wspaniałym alkoholu, który zorganizowano właśnie w celu „odkrycia” stopni, jakiś szczególnie naćpany matematyk nagle zapytał: „A jeśli znamy stopień liczby, ale nie znamy samej liczby?” Rzeczywiście, jeśli wiemy, że na przykład pewna liczba $b$ daje 243 do potęgi piątej, to jak możemy odgadnąć, jaka jest sama liczba $b$?

Problem ten okazał się znacznie bardziej globalny, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Bo okazało się, że dla większości „gotowych” stopni nie ma takich „początkowych” numerów. Sędzia dla siebie:

\[\begin(wyrównaj) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Co jeśli $((b)^(3))=50$? Okazuje się, że trzeba znaleźć pewną liczbę, która po trzykrotnym pomnożeniu przez siebie da nam 50. Ale co to za liczba? Jest wyraźnie większa niż 3, ponieważ 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Tzn. ta liczba mieści się gdzieś między trzema a czterema, ale czemu jest równa - RYS. zrozumiesz.

Właśnie dlatego matematycy wymyślili $n-ty pierwiastek. Dlatego wprowadzono radykalną ikonę $\sqrt(*)$. Aby oznaczyć tę samą liczbę $b$, która przy określonej potędze da nam znaną wcześniej wartość

\[\sqrt[n](a)=b\Strzałka w prawo ((b)^(n))=a\]

Nie spieram się: często te korzenie są łatwe do rozważenia - widzieliśmy kilka takich przykładów powyżej. Jednak w większości przypadków, jeśli pomyślisz o dowolnej liczbie, a następnie spróbujesz wydobyć z niej pierwiastek o dowolnym stopniu, czeka cię okrutna wpadka.

Co tam jest! Nawet najprostszego i najbardziej znanego $\sqrt(2)$ nie można przedstawić w naszej zwykłej postaci - jako liczbę całkowitą lub ułamek. A jeśli wprowadzisz tę liczbę do kalkulatora, zobaczysz to:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Jak widać, po przecinku znajduje się nieskończony ciąg liczb, które nie są zgodne z logiką. Możesz oczywiście zaokrąglić tę liczbę, aby szybko porównać z innymi liczbami. Na przykład:

\[\sqrt(2)=1,4142...\ok 1,4 \lt 1,5\]

Lub oto inny przykład:

\[\sqrt(3)=1,73205...\ok 1,7 \gt 1,5\]

Ale wszystkie te zaokrąglenia są, po pierwsze, dość szorstkie; po drugie, trzeba też umieć pracować z wartościami przybliżonymi, w przeciwnym razie można wyłapać mnóstwo nieoczywistych błędów (swoją drogą, umiejętność porównywania i zaokrąglania jest koniecznie sprawdzana na egzaminie z profilu).

Dlatego w poważnej matematyce nie można obejść się bez pierwiastków - są to te same równorzędne reprezentanty zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb(R)$, a także znanych od dawna ułamków i liczb całkowitych.

Niemożność przedstawienia pierwiastka jako ułamka postaci $\frac(p)(q)$ oznacza, że ​​ten pierwiastek nie jest Liczba wymierna. Takie liczby nazywane są irracjonalnymi i nie można ich dokładnie przedstawić, chyba że za pomocą radykalnego lub innych konstrukcji specjalnie do tego zaprojektowanych (logarytmy, stopnie, granice itp.). Ale o tym innym razem.

Rozważ kilka przykładów, w których po wszystkich obliczeniach liczby niewymierne nadal pozostaną w odpowiedzi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\około 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ok -1,2599... \\ \end(wyrównaj)\]

Oczywiście, przez wygląd zewnętrzny pierwiastek jest prawie niemożliwy do odgadnięcia, jakie liczby pojawią się po przecinku. Można jednak liczyć na kalkulatorze, ale nawet najbardziej zaawansowany kalkulator dat podaje nam tylko kilka pierwszych cyfr liczby niewymiernej. Dlatego o wiele bardziej poprawne jest zapisanie odpowiedzi jako $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Po to zostały wymyślone. Aby ułatwić zapisywanie odpowiedzi.

Dlaczego potrzebne są dwie definicje?

Uważny czytelnik zapewne już zauważył, że wszystkie pierwiastki kwadratowe podane w przykładach pochodzą z liczb dodatnich. Cóż, przynajmniej od zera. I tu korzenie kostki wydobyte w sposób niezakłócony z absolutnie dowolnej liczby - nawet pozytywnej, a nawet negatywnej.

Dlaczego to się dzieje? Spójrz na wykres funkcji $y=((x)^(2))$:

Harmonogram funkcja kwadratowa daje dwa pierwiastki: dodatni i ujemny

Spróbujmy obliczyć $\sqrt(4)$ korzystając z tego wykresu. W tym celu na wykresie rysowana jest pozioma linia $y=4$ (zaznaczona na czerwono), która przecina się z parabolą w dwóch punktach: $((x)_(1))=2$ i $((x )_(2)) =-2$. To całkiem logiczne, ponieważ

Z pierwszą liczbą wszystko jest jasne - jest dodatnia, dlatego jest to pierwiastek:

Ale co zrobić z drugim punktem? Czy 4 ma dwa pierwiastki naraz? W końcu, jeśli podniesiemy do kwadratu liczbę −2, otrzymamy również 4. Dlaczego więc nie napisać $\sqrt(4)=-2$? A dlaczego nauczyciele patrzą na takie płyty, jakby chcieli cię zjeść?:)

Kłopot polega na tym, że jeśli nie zostaną nałożone żadne dodatkowe warunki, to czwórka będzie miała dwa pierwiastki kwadratowe - dodatni i ujemny. Każda liczba dodatnia będzie miała również dwa z nich. Ale liczby ujemne w ogóle nie będą miały pierwiastków - widać to na tym samym wykresie, ponieważ parabola nigdy nie spada poniżej osi tak, tj. nie przyjmuje wartości ujemnych.

Podobny problem występuje dla wszystkich pierwiastków z parzystym wykładnikiem:

1. Ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia będzie miała dwa pierwiastki z parzystym wykładnikiem $n$;
2. Z liczb ujemnych pierwiastek z parzystymi $n$ w ogóle nie jest wyodrębniany.

Dlatego definicja pierwiastka parzystego $n$ wyraźnie określa, że ​​odpowiedź musi być liczbą nieujemną. W ten sposób pozbywamy się niejednoznaczności.

Ale dla nieparzystego $n$ nie ma takiego problemu. Aby to zobaczyć, spójrzmy na wykres funkcji $y=((x)^(3))$:

Parabola sześcienna przyjmuje dowolną wartość, więc pierwiastek sześcienny można pobrać z dowolnej liczby

Z tego wykresu można wyciągnąć dwa wnioski:

1. Gałęzie paraboli sześciennej, w przeciwieństwie do zwykłej, idą w nieskończoność w obu kierunkach - zarówno w górę, jak iw dół. Dlatego na dowolnej wysokości narysujemy linię poziomą, linia ta z pewnością przetnie się z naszym wykresem. Dlatego pierwiastek sześcienny można zawsze pobrać, absolutnie z dowolnej liczby;
2. Ponadto takie przecięcie zawsze będzie unikalne, więc nie musisz zastanawiać się, którą liczbę wziąć pod uwagę jako „poprawny” pierwiastek, a którą punktować. Dlatego definicja pierwiastków dla stopnia nieparzystego jest prostsza niż dla stopnia parzystego (nie ma wymogu nieujemności).

Szkoda, że ​​te proste rzeczy nie są wyjaśnione w większości podręczników. Zamiast tego nasze mózgi zaczynają wznosić się z różnego rodzaju pierwiastkami arytmetycznymi i ich właściwościami.

Tak, nie spieram się: czym jest pierwiastek arytmetyczny - też trzeba wiedzieć. I omówię to szczegółowo w osobnej lekcji. Dziś też o tym porozmawiamy, bo bez niego wszystkie refleksje na temat pierwiastków $n$-tej wielokrotności byłyby niepełne.

Ale najpierw musisz jasno zrozumieć definicję, którą podałem powyżej. W przeciwnym razie, ze względu na mnogość terminów, w twojej głowie zacznie się taki bałagan, że w końcu nic nie zrozumiesz.

I wszystko, co musisz zrozumieć, to różnica między liczbami parzystymi i nieparzystymi. Dlatego po raz kolejny zbierzemy wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć o korzeniach:

1. Pierwiastek parzysty istnieje tylko od liczby nieujemnej i sam jest zawsze liczbą nieujemną. W przypadku liczb ujemnych taki pierwiastek jest niezdefiniowany.
2. Ale pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje od dowolnej liczby i sam może być dowolną liczbą: dla liczb dodatnich jest to wartość dodatnia, a dla liczb ujemnych, jak wskazuje czapka, jest ona ujemna.

Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. Zrozumiały? Tak, to oczywiste! Dlatego teraz poćwiczymy trochę z obliczeniami.

Podstawowe właściwości i ograniczenia

Korzenie mają wiele dziwnych właściwości i ograniczeń - to będzie osobna lekcja. Dlatego teraz rozważymy tylko najważniejszy „chip”, który dotyczy tylko pierwiastków z parzystym wykładnikiem. Właściwość tę zapisujemy w postaci wzoru:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\prawo|\]

Innymi słowy, jeśli podniesiemy liczbę do parzystej potęgi, a następnie wyciągniemy z tego pierwiastek tego samego stopnia, otrzymamy nie pierwotną liczbę, ale jej moduł. To jest proste twierdzenie, co można łatwo udowodnić (wystarczy rozpatrzyć osobno nieujemne $x$, a następnie osobno rozpatrzyć ujemne). Nauczyciele ciągle o tym mówią, jest to podane w każdym podręczniku szkolnym. Ale kiedy sprowadza się do decyzji irracjonalne równania(tj. równania zawierające znak radykalny), uczniowie wspólnie zapominają o tym wzorze.

Aby szczegółowo zrozumieć problem, zapomnijmy na chwilę o wszystkich formułach i spróbujmy policzyć dwie liczby do przodu:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

To jest bardzo proste przykłady. Pierwszy przykład zostanie rozwiązany przez większość ludzi, ale w drugim wielu się przystawia. Aby rozwiązać takie bzdury bez problemów, zawsze rozważ procedurę:

1. Po pierwsze, liczba zostaje podniesiona do czwartej potęgi. Cóż, to dość łatwe. Otrzymana zostanie nowa liczba, którą można nawet znaleźć w tabliczce mnożenia;
2. A teraz z tej nowej liczby trzeba wydobyć pierwiastek czwartego stopnia. Tych. nie ma „redukcji” korzeni i stopni – są to działania sekwencyjne.

Zajmijmy się pierwszym wyrażeniem: $\sqrt(((3)^(4)))$. Oczywiście najpierw musisz obliczyć wyrażenie pod pierwiastkiem:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Następnie wyodrębniamy czwarty pierwiastek z liczby 81:

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Najpierw podnosimy liczbę −3 do czwartej potęgi, dla której musimy ją pomnożyć przez samą 4 razy:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lewo(-3 \prawo)=81\]

Otrzymałem liczbę dodatnią, ponieważ całkowity w pracy są 4 minusy i wszystkie się znoszą (w końcu minus razy minus daje plus). Następnie ponownie wyodrębnij korzeń:

W zasadzie tej linii nie można było napisać, ponieważ nie ma wątpliwości, że odpowiedź będzie taka sama. Tych. równy korzeń tej samej równej mocy „spala” minusy iw tym sensie wynik jest nie do odróżnienia od zwykłego modułu:

\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\prawo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \prawo|=3. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Te obliczenia są zgodne z definicją pierwiastka parzystego stopnia: wynik jest zawsze nieujemny, a znak radykalny jest zawsze liczbą nieujemną. W przeciwnym razie korzeń nie jest zdefiniowany.

Uwaga dotycząca kolejności operacji

1. Notacja $\sqrt(((a)^(2)))$ oznacza, że ​​najpierw podnosimy do kwadratu liczbę $a$, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości. Dlatego możemy być pewni, że liczba nieujemna zawsze znajduje się pod znakiem pierwiastka, ponieważ i tak $((a)^(2))\ge 0$;
2. Ale notacja $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, wręcz przeciwnie, oznacza, że ​​najpierw wyciągamy pierwiastek z pewnej liczby $a$, a dopiero potem podniesiemy wynik do kwadratu. Dlatego liczba $a$ w żadnym wypadku nie może być ujemna - to jest wymóg obowiązkowy zawarte w definicji.

Dlatego w żadnym wypadku nie należy bezmyślnie redukować korzeni i stopni, rzekomo „upraszczając” oryginalne wyrażenie. Bo jeśli pod pierwiastkiem jest liczba ujemna, a jej wykładnik jest parzysty, będziemy mieli sporo problemów.

Jednak wszystkie te problemy dotyczą tylko wskaźników parzystych.

Usuwanie znaku minus spod znaku głównego

Naturalnie pierwiastki z nieparzystymi wykładnikami mają również swoją własną cechę, która w zasadzie nie istnieje dla parzystych. Mianowicie:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Krótko mówiąc, możesz wyjąć minus spod znaku korzeni nieparzystego stopnia. To jest bardzo użyteczna nieruchomość, co pozwala „wyrzucić” wszystkie minusy:

\[\begin(wyrównaj) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \koniec(wyrównaj)\]

Ta prosta właściwość znacznie upraszcza wiele obliczeń. Teraz nie musisz się martwić: co by było, gdyby negatywne wyrażenie znalazło się pod korzeniem, a stopień u nasady okazał się równy? Wystarczy „wyrzucić” wszystkie minusy poza korzenie, po czym można je pomnażać, dzielić i generalnie robić wiele podejrzanych rzeczy, które w przypadku korzeni „klasycznych” na pewno zaprowadzą nas do błąd.

I tu pojawia się inna definicja - ta, od której większość szkół zaczyna studiować wyrażenia irracjonalne. I bez którego nasze rozumowanie byłoby niepełne. Spotykać się!

pierwiastek arytmetyczny

Załóżmy na chwilę, że pod pierwiastkiem mogą znajdować się tylko liczby dodatnie lub w skrajnych przypadkach zero. Oceniajmy wskaźniki parzyste / nieparzyste, oceniajmy wszystkie definicje podane powyżej - będziemy pracować tylko z liczbami nieujemnymi. Co wtedy?

A potem otrzymujemy pierwiastek arytmetyczny - częściowo przecina się z naszymi "standardowymi" definicjami, ale wciąż się od nich różni.

Definicja. Pierwiastek arytmetyczny $n$tego stopnia liczby nieujemnej $a$ jest liczbą nieujemną $b$ taką, że $((b)^(n))=a$.

Jak widać, parytet nas już nie interesuje. Zamiast tego pojawiło się nowe ograniczenie: radykalne wyrażenie jest teraz zawsze nieujemne, a sam korzeń również jest nieujemny.

Aby lepiej zrozumieć, jak pierwiastek arytmetyczny różni się od zwykłego, spójrz na znane nam już wykresy kwadratowej i sześciennej paraboli:

Obszar wyszukiwania korzeni - liczby nieujemne

Jak widać, od teraz interesują nas tylko te fragmenty wykresów, które znajdują się w pierwszym kwartale współrzędnych - gdzie współrzędne $x$ i $y$ są dodatnie (lub przynajmniej zero). Nie musisz już patrzeć na wskaźnik, aby zrozumieć, czy mamy prawo wykorzenić liczbę ujemną, czy nie. Ponieważ liczby ujemne nie są już brane pod uwagę w zasadzie.

Możesz zapytać: „Cóż, po co nam tak wykastrowana definicja?” Lub: „Dlaczego nie możemy sobie poradzić ze standardową definicją podaną powyżej?”

Cóż, podam tylko jedną właściwość, dzięki której nowa definicja staje się odpowiednia. Na przykład reguła potęgowania:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Uwaga: możemy podnieść pierwiastek wyrażenia do dowolnej potęgi i jednocześnie pomnożyć wykładnik pierwiastka przez tę samą potęgę - wynik będzie taki sam! Oto kilka przykładów:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(wyrównaj)\]

Cóż w tym złego? Dlaczego nie mogliśmy tego zrobić wcześniej? Dlatego. Rozważmy proste wyrażenie: $\sqrt(-2)$ to liczba całkiem normalna w naszym klasycznym sensie, ale absolutnie nie do przyjęcia z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego. Spróbujmy to przekonwertować:

$\begin(wyrównaj) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Jak widać, w pierwszym przypadku wyjęliśmy minus spod radykału (mamy pełne prawo, bo wskaźnik jest nieparzysty), a w drugim zastosowaliśmy powyższy wzór. Tych. z punktu widzenia matematyki wszystko odbywa się zgodnie z zasadami.

WTF?! Jak ta sama liczba może być zarówno dodatnia, jak i ujemna? Nie ma mowy. Po prostu wzór potęgowania, który świetnie sprawdza się w przypadku liczb dodatnich i zerowych, zaczyna dawać zupełną herezję w przypadku liczb ujemnych.

Tutaj, aby pozbyć się takiej niejasności, wymyślili pierwiastki arytmetyczne. Poświęcona jest im osobna duża lekcja, w której szczegółowo rozważamy wszystkie ich właściwości. Więc teraz nie będziemy się nad nimi rozwodzić - lekcja i tak okazała się zbyt długa.

Rdzeń algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej

Długo myślałem: zrobić ten temat w osobnym akapicie, czy nie. W końcu zdecydowałem się stąd wyjechać. Ten materiał przeznaczony jest dla tych, którzy chcą jeszcze lepiej zrozumieć korzenie – już nie na średnim poziomie „szkolnym”, ale na poziomie zbliżonym do Olimpiady.

Tak więc: oprócz „klasycznej” definicji pierwiastka $n-tego stopnia z liczby i związanego z tym podziału na wskaźniki parzyste i nieparzyste, istnieje definicja bardziej „dorosła”, która nie zależy od parzystości i w ogóle inne subtelności. Nazywa się to pierwiastkiem algebraicznym.

Definicja. $n$-ty pierwiastek algebraiczny dowolnego $a$ jest zbiorem wszystkich liczb $b$ takich, że $((b)^(n))=a$. Nie ma ugruntowanego oznaczenia dla takich korzeni, więc po prostu umieść myślnik na górze:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Podstawowa różnica w stosunku do standardowej definicji podanej na początku lekcji polega na tym, że pierwiastek algebraiczny nie jest konkretną liczbą, ale zbiorem. A ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, ten zestaw składa się tylko z trzech typów:

1. Pusty zestaw. Występuje, gdy wymagane jest znalezienie pierwiastka algebraicznego o parzystym stopniu z liczby ujemnej;
2. Zestaw składający się z jednego elementu. Do tej kategorii należą wszystkie pierwiastki nieparzystych potęg, jak również pierwiastki parzystych potęg od zera;
3. Ostatecznie zestaw może zawierać dwie liczby - te same $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$, które widzieliśmy na wykres funkcji kwadratowej. W związku z tym takie wyrównanie jest możliwe tylko przy wyciąganiu pierwiastka parzystego stopnia z liczby dodatniej.

Ostatni przypadek zasługuje na bardziej szczegółowe rozpatrzenie. Policzmy kilka przykładów, aby zrozumieć różnicę.

Przykład. Wyrażenia obliczeniowe:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Decyzja. Pierwsze wyrażenie jest proste:

\[\overline(\sqrt(4))=\lewo\( 2;-2 \prawo\)\]

To dwie liczby, które są częścią zestawu. Ponieważ każdy z nich do kwadratu daje czwórkę.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lewo\( -3 \prawo\)\]

Tutaj widzimy zestaw składający się tylko z jednej liczby. Jest to całkiem logiczne, ponieważ wykładnik pierwiastka jest dziwny.

Wreszcie ostatnie wyrażenie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnic \]

Mamy pusty zestaw. Ponieważ nie ma ani jednej liczby rzeczywistej, która podniesiona do czwartej (czyli parzystej!) potęgi da nam liczbę ujemną −16.

Uwaga końcowa. Uwaga: nie przypadkiem wszędzie zauważyłem, że pracujemy z liczbami rzeczywistymi. Ponieważ istnieją również liczby zespolone - całkiem możliwe jest obliczenie $\sqrt(-16)$ i wiele innych dziwnych rzeczy.

Jednak w nowoczesnych kurs szkolny W matematyce prawie nigdy nie można znaleźć liczb zespolonych. Zostały one pominięte w większości podręczników, ponieważ nasi urzędnicy uważają ten temat za „zbyt trudny do zrozumienia”.

Czas na demontaż metody ekstrakcji korzeni. Opierają się na właściwościach pierwiastków, w szczególności na równości, która jest prawdziwa dla każdej nieujemnej liczby b.

Poniżej rozważymy z kolei główne metody ekstrakcji korzeni.

Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tablicy kwadratów, tablicy sześcianów itp.

Jeśli tabele kwadratów, kostek itp. nie jest pod ręką, logiczne jest użycie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastkowej na proste czynniki.

Osobno warto się zastanowić, co jest możliwe dla pierwiastków o nieparzystych wykładnikach.

Na koniec rozważ metodę, która pozwala sekwencyjnie znaleźć cyfry wartości pierwiastka.

Zacznijmy.

Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wydobycie korzeni. Czym są te stoły?

Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli znajduje się na szarym tle, zaznaczając określony wiersz i określoną kolumnę, pozwala na ułożenie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy rząd 8 dziesiątek i kolumnę 3 jednostek, tym samym naprawiliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda z jego komórek znajduje się na przecięciu pewnego rzędu i pewnej kolumny i zawiera kwadrat o odpowiedniej liczbie od 0 do 99 . Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jednej znajduje się komórka o numerze 6889, która jest kwadratem liczby 83.

Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablic kwadratów, tylko zawierają sześciany, czwarte potęgi itd. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.

Tabele kwadratów, kostek, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio z numerów w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich zastosowania w ekstrakcji korzeni.

Powiedzmy, że musimy wyciągnąć pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych stopni. Zgodnie z tą tabelą znajdujemy liczbę b taką, że a=b n . Następnie , dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.

Jako przykład pokażmy, jak wyodrębnia się korzeń kostki 19683 za pomocą tabeli kostki. Znajdujemy liczbę 19 683 w tabeli sześcianów, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego .

Oczywiste jest, że tabele n-tego stopnia są bardzo wygodne podczas ekstrakcji korzeni. Jednak często nie są one pod ręką, a ich kompilacja wymaga pewnej ilości czasu. Co więcej, często konieczne jest wydobywanie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach trzeba uciekać się do innych metod wydobywania korzeni.

Rozkład liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze

Dość wygodnym sposobem, który pozwala na wyciągnięcie pierwiastka z liczby naturalnej (o ile oczywiście pierwiastek jest wyciągnięty) jest rozkładem pierwiastka na czynniki pierwsze. Jego esencja jest następująca: po tym dość łatwo jest przedstawić jako stopień z właściwy wskaźnik, który pozwala uzyskać wartość korzenia. Wyjaśnijmy ten punkt.

Niech pierwiastek n-tego stopnia zostanie wydobyty z liczby naturalnej a, a jego wartość będzie równa b. W tym przypadku równość a=b n jest prawdziwa. Liczba b jak dowolna Liczba naturalna można przedstawić jako iloczyn wszystkich jego czynników pierwszych p 1 , p 2 , ..., p m w postaci p 1 p 2 ... p m , a pierwiastek a w tym przypadku jest reprezentowany jako (p 1 p 2 ...pm) rz. Ponieważ dekompozycja liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczna, dekompozycja pierwiastka a na czynniki pierwsze będzie wyglądać następująco (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , co umożliwia obliczenie wartości pierwiastka jako .

Zauważ, że jeśli faktoryzacji pierwiastka a nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , to pierwiastek n-tego stopnia z takiej liczby a nie jest całkowicie wyodrębniony.

Zajmijmy się tym przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z 144 .

Decyzja.

Jeśli przejdziemy do tabeli kwadratów podanej w poprzednim akapicie, to widać wyraźnie, że 144=12 2 , z czego jasno wynika, że ​​pierwiastek kwadratowy z 144 wynosi 12 .

Ale w świetle tego punktu interesuje nas, jak wyodrębnia się pierwiastek przez rozłożenie pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.

Rozłóżmy się 144 na czynniki pierwsze:

Czyli 144=2 2 2 2 3 3 . Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Stąd, .

Wykorzystując właściwości stopnia i właściwości korzeni, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .

Odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.

Przykład.

Oblicz wartość pierwiastka.

Decyzja.

Pierwsza faktoryzacja liczby pierwiastkowej 243 wynosi 243=3 5 . Zatem, .

Odpowiedź:

Przykład.

Czy wartość pierwiastka jest liczbą całkowitą?

Decyzja.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić jako sześcian liczby całkowitej.

Mamy 285 768=2 3 3 6 7 2 . Wynikowy rozkład nie jest reprezentowany jako sześcian liczby całkowitej, ponieważ stopień podstawowy czynnik 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego pierwiastek sześcienny 285 768 nie jest w całości pobierany.

Odpowiedź:

Nie.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych

Czas dowiedzieć się, jak wyodrębnia się korzeń liczba ułamkowa. Niech pierwiastek ułamkowy zostanie zapisany jako p/q . Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu, prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika reguła pierwiastka ułamkowego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi dzielenia pierwiastka licznika przez pierwiastek mianownika.

Spójrzmy na przykład wyodrębniania korzenia z ułamka.

Przykład.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy z wspólny ułamek 25/169 .

Decyzja.

Zgodnie z tabelą kwadratów, pierwiastek kwadratowy licznika pierwotnego ułamka wynosi 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika wynosi 13. Następnie . To kończy ekstrakcję korzenia ze zwykłej frakcji 25/169.

Odpowiedź:

Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej jest wyodrębniany po zastąpieniu liczb pierwiastkowych zwykłymi ułamkami.

Przykład.

Weź pierwiastek sześcienny z liczby dziesiętnej 474,552.

Decyzja.

Wyobraź sobie oryginał dziesiętny w postaci ułamka zwykłego: 474.552=474552/1000. Następnie . Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka. Jak 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000=10 3 , to oraz . Pozostaje tylko dokończyć obliczenia .

Odpowiedź:

.

Wyodrębnianie pierwiastka liczby ujemnej

Osobno warto zastanowić się nad wydobywaniem pierwiastków z liczb ujemnych. Podczas badania pierwiastków powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastka jest liczbą nieparzystą, to pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Takim zapisom nadaliśmy następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1 mamy . Ta równość daje reguła wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wyodrębnić pierwiastek z przeciwnej liczby dodatniej i postawić znak minus przed wynikiem.

Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość główną.

Decyzja.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod znakiem głównym pojawiła się liczba dodatnia: . Teraz pomieszane numery zastąp zwykłym ułamkiem: . Stosujemy zasadę wydobywania korzenia ze zwykłego ułamka: . Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku wynikowego ułamka: .

Oto podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

.

Bitowe znajdowanie wartości głównej

W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu omówionych powyżej technik nie można przedstawić jako n-tej potęgi żadnej liczby. Ale jednocześnie trzeba znać wartość danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala konsekwentnie uzyskiwać wystarczającą liczbę wartości cyfr pożądanej liczby.

Pierwszym krokiem tego algorytmu jest znalezienie najbardziej znaczącego bitu wartości pierwiastka. Aby to zrobić, liczby 0, 10, 100, ... są sukcesywnie podnoszone do potęgi n, aż do uzyskania liczby przekraczającej liczbę pierwiastkową. Wtedy liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n w poprzednim kroku, wskaże odpowiedni wysoki rząd.

Rozważmy na przykład ten krok algorytmu, gdy wyodrębniamy pierwiastek kwadratowy z pięciu. Bierzemy liczby 0, 10, 100, ... i podnosimy je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5 . Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , co oznacza, że ​​najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jednostek. Wartość tego bitu, a także niższych, zostanie znaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji korzenia.

Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sukcesywne doprecyzowanie wartości pierwiastka ze względu na to, że znajdują się wartości kolejnych cyfr pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższej . Na przykład wartość korzenia w pierwszym kroku wynosi 2 , w drugim - 2.2 , w trzecim - 2.23 i tak dalej 2.236067977 ... . Opiszmy, jak znajdują się wartości bitów.

Znajdowanie bitów odbywa się poprzez wyliczenie ich możliwych wartości 0, 1, 2, ..., 9 . W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas wartość cyfry odpowiadającej poprzedniej wartości uważa się za znalezioną i następuje przejście do następnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastków, jeśli tak się nie dzieje, wtedy wartość tej cyfry wynosi 9 .

Wyjaśnijmy wszystkie te punkty, używając tego samego przykładu wyciągania pierwiastka kwadratowego z pięciu.

Najpierw znajdź wartość cyfry jednostek. Będziemy iterować po wartościach 0, 1, 2, …, 9 , obliczając odpowiednio 0 2 , 1 2 , …, 9 2 aż otrzymamy wartość większą niż liczba radykalna 5 . Wszystkie te obliczenia są wygodnie przedstawione w formie tabeli:

Więc wartość cyfry jednostek wynosi 2 (ponieważ 2 2<5 , а 2 3 >5). Przejdźmy do znalezienia wartości dziesiątego miejsca. W takim przypadku podniesiemy do kwadratu liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, porównując uzyskane wartości z pierwiastkiem nr 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , to wartość dziesiątego miejsca wynosi 2 . Możesz przejść do znalezienia wartości setnych miejsc:

Więc znaleziono następną wartość pierwiastka z piątki, która jest równa 2,23. A więc możesz dalej szukać wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy ekstrakcję korzenia z dokładnością do setnych części za pomocą rozważanego algorytmu.

Najpierw definiujemy cyfrę seniora. Aby to zrobić, wstawiamy w kostkę liczby 0, 10, 100 itd. aż otrzymamy liczbę większą niż 2151,186 . Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , więc najbardziej znacząca jest cyfra dziesiątek.

Określmy jego wartość.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2151,186 , to wartość cyfry dziesiątek wynosi 1 . Przejdźmy do jednostek.

Tak więc wartość jedynego miejsca wynosi 2 . Przejdźmy do dziesięciu.

Ponieważ nawet 12,9 3 to mniej niż radykalna liczba 2 151,186 , wartość dziesiątego miejsca wynosi 9 . Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, poda nam on wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością.

Na tym etapie wartość korzenia sięga do setnych: .

Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów na wydobycie korzeni. Ale w przypadku większości zadań te, które omówiliśmy powyżej, są wystarczające.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).