Wyjaśnienie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Co to jest pierwiastek kwadratowy

Wyjaśnienie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Co to jest pierwiastek kwadratowy
Wyjaśnienie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Co to jest pierwiastek kwadratowy
21.09.2019

Fakt 1.
\(\bullet\) Weź trochę nie liczba ujemna\(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Następnie (arytmetyka) pierwiastek kwadratowy z liczby \(a\) nazywamy taką liczbę nieujemną \(b\), podnosząc ją do kwadratu otrzymujemy liczbę \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tak samo jak )\quad a=b^2\] Z definicji wynika, że \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Te ograniczenia są ważny warunek istnienie pierwiastek kwadratowy I należy o nich pamiętać!
Przypomnij sobie, że dowolna liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. Czyli \(100^2=10000\geqslant 0\) i \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Co to jest \(\sqrt(25)\) ? Wiemy, że \(5^2=25\) i \((-5)^2=25\) . Ponieważ z definicji musimy znaleźć liczbę nieujemną, \(-5\) nie jest odpowiednia, stąd \(\sqrt(25)=5\) (od \(25=5^2\) ).
Znalezienie wartości \(\sqrt a\) nazywa się wyciąganiem pierwiastka kwadratowego z liczby \(a\) , a liczba \(a\) nazywa się wyrażeniem pierwiastka.
\(\bullet\) Na podstawie definicji wyrażenia \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) itp. nie ma sensu.

Fakt 2.
Do szybkich obliczeń przyda się nauka tabeli kwadratów liczby naturalne od \(1\) do \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hlinia \koniec(tablica)\]

Fakt 3.
Co można zrobić z pierwiastkami kwadratowymi?
\(\pocisk\) Suma lub różnica pierwiastki kwadratowe NIERÓWNE pierwiastkowi kwadratowemu z sumy lub różnicy, tj. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jeśli więc chcesz obliczyć np. \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , to najpierw musisz znaleźć wartości \(\sqrt(25)\) i \(\sqrt (49)\ ), a następnie dodaj je. Stąd, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jeśli podczas dodawania \(\sqrt a+\sqrt b\) nie można znaleźć wartości \(\sqrt a\) lub \(\sqrt b\), to takie wyrażenie nie jest dalej konwertowane i pozostaje takie, jakie jest. Na przykład w sumie \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) możemy znaleźć \(\sqrt(49)\) - to jest \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nie może być nawrócony w jakikolwiek sposób, dlatego \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Co więcej, tego wyrażenia niestety nie można w żaden sposób uprościć.\(\bullet\) Iloczyn/iloraz pierwiastków kwadratowych jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu/ilorazu, tj. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (pod warunkiem, że obie części równości mają sens)
Przykład: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Korzystając z tych właściwości, wygodnie jest znaleźć pierwiastki kwadratowe dużych liczb przez rozłożenie ich na czynniki.
Rozważ przykład. Znajdź \(\sqrt(44100)\) . Ponieważ \(44100:100=441\) , to \(44100=100\cdot 441\) . Zgodnie z kryterium podzielności liczba \(441\) jest podzielna przez \(9\) (ponieważ suma jej cyfr wynosi 9 i jest podzielna przez 9), zatem \(441:9=49\) , czyli \(441=9\ cdot 49\) .
W ten sposób otrzymaliśmy: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Spójrzmy na inny przykład: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9)=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Pokażmy, jak wprowadzać liczby pod pierwiastkiem kwadratowym na przykładzie wyrażenia \(5\sqrt2\) (skrót od wyrażenia \(5\cdot \sqrt2\) ). Ponieważ \(5=\sqrt(25)\) , to \ Zwróć też uwagę, że na przykład
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Dlaczego? Wyjaśnijmy na przykładzie 1). Jak już zrozumiałeś, nie możemy w jakiś sposób przekonwertować liczby \(\sqrt2\) . Wyobraź sobie, że \(\sqrt2\) to pewna liczba \(a\) . W związku z tym wyrażenie \(\sqrt2+3\sqrt2\) to nic innego jak \(a+3a\) (jedna liczba \(a\) plus jeszcze trzy takie same liczby \(a\) ). A wiemy, że to jest równe czterem takim liczbom \(a\) , czyli \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Często mówi się „nie można wyodrębnić pierwiastka”, gdy nie można pozbyć się znaku \(\sqrt () \ \) pierwiastka (rodnik) podczas znajdowania wartości jakiejś liczby. Na przykład możesz wykorzenić liczbę \(16\), ponieważ \(16=4^2\) , więc \(\sqrt(16)=4\) . Nie da się jednak wydobyć pierwiastka z liczby \(3\) , czyli znaleźć \(\sqrt3\) , ponieważ nie ma takiej liczby, która do kwadratu da \(3\) .
Takie liczby (lub wyrażenia z takimi liczbami) są irracjonalne. Na przykład liczby \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) itp. są irracjonalne.
Nieracjonalne są również liczby \(\pi\) (liczba „pi”, w przybliżeniu równa \(3,14\) ), \(e\) (liczba ta nazywa się liczbą Eulera, w przybliżeniu równą \(2 ,7\) ) itp.
\(\bullet\) Należy pamiętać, że każda liczba będzie wymierna lub nieracjonalna. I razem wszystkie liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór zwany zbiór liczb rzeczywistych (rzeczywistych). Ten zestaw jest oznaczony literą \(\mathbb(R)\) .
Oznacza to, że wszystkie liczby, które są ten moment wiemy, że nazywane są liczbami rzeczywistymi.

Fakt 5.
\(\bullet\) Moduł liczby rzeczywistej \(a\) jest liczbą nieujemną \(|a|\) równą odległości od punktu \(a\) do \(0\) na rzeczywistej linia. Na przykład \(|3|\) i \(|-3|\) są równe 3, ponieważ odległości od punktów \(3\) i \(-3\) do \(0\) są taki sam i równy \(3 \) .
\(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą nieujemną, to \(|a|=a\) .
Przykład: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to \(|a|=-a\) .
Przykład: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mówią, że dla liczb ujemnych moduł „zjada” minus, a dodatnie, a także liczbę \(0\) , moduł pozostaje bez zmian.
ALE ta zasada dotyczy tylko liczb. Jeżeli mamy nieznaną \(x\) (lub inną niewiadomą) pod znakiem modułu, na przykład \(|x|\) , o której nie wiemy, czy jest dodatnia, równa zero czy ujemna, to pozbyć się modułu, którego nie możemy. W tym przypadku to wyrażenie pozostaje takie: \(|x|\) . \(\bullet\) Następujące formuły mają zastosowanie: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pod warunkiem ) a\geqslant 0\] Często popełniany jest następujący błąd: mówią, że \(\sqrt(a^2)\) i \((\sqrt a)^2\) to to samo. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy \(a\) jest liczbą dodatnią lub zerem. Ale jeśli \(a\) jest liczbą ujemną, to nie jest to prawdą. Wystarczy rozważyć taki przykład. Weźmy liczbę \(-1\) zamiast \(a\). Wtedy \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale wyrażenie \((\sqrt (-1))^2\) w ogóle nie istnieje (ponieważ jest niemożliwe pod znakiem korzenia wprowadź liczby ujemne!).
Dlatego zwracamy uwagę, że \(\sqrt(a^2)\) nie jest równe \((\sqrt a)^2\) ! Przykład 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), ponieważ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Ponieważ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , wtedy \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (wyrażenie \(2n\) oznacza liczbę parzystą)
Oznacza to, że podczas wyciągania pierwiastka z liczby, która jest w pewnym stopniu, stopień ten zmniejsza się o połowę.
Przykład:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (zauważ, że jeśli moduł nie jest ustawiony, to okazuje się, że pierwiastek liczby jest równy \(-25 \) ; ale pamiętamy , że z definicji pierwiastka nie może to być: przy wyciąganiu pierwiastka zawsze powinniśmy otrzymać liczbę dodatnią lub zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (ponieważ dowolna liczba do potęgi parzystej nie jest ujemna)

Fakt 6.
Jak porównać dwa pierwiastki kwadratowe?
\(\bullet\) Prawda dla pierwiastków kwadratowych: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPrzykład:
1) porównaj \(\sqrt(50)\) i \(6\sqrt2\) . Najpierw przekształcamy drugie wyrażenie w \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tak więc, ponieważ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Pomiędzy którymi liczbami całkowitymi jest \(\sqrt(50)\) ?
Ponieważ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) i \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porównaj \(\sqrt 2-1\) i \(0,5\) . Załóżmy \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(wyrównany) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((dodaj po jednym z obu stron))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kwadrat obie części))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Widzimy, że uzyskaliśmy niewłaściwą nierówność. Dlatego nasze założenie było błędne i \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Zauważ, że dodanie pewnej liczby po obu stronach nierówności nie wpływa na jej znak. Mnożenie/dzielenie obu stron nierówności przez liczbę dodatnią również nie zmienia jej znaku, ale mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności!
Obie strony równania/nierówności można podnosić do kwadratu TYLKO JEŚLI obie strony są nieujemne. Na przykład, w nierówności z poprzedniego przykładu, możesz podnieść obie strony do kwadratu, w nierówności \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Zauważ, że \[\begin(wyrównane) &\sqrt 2\ok 1,4\\ &\sqrt 3\ok 1,7 \end(wyrównane)\] Znajomość przybliżonego znaczenia tych liczb pomoże ci przy porównywaniu liczb! \(\bullet\) Aby wydobyć pierwiastek (jeśli jest wyciągnięty) z jakiejś dużej liczby, której nie ma w tabeli kwadratów, musisz najpierw określić, między którymi to jest „setkami”, a następnie między którymi „dziesiątkami”, a następnie określ ostatnią cyfrę tej liczby. Pokażmy jak to działa na przykładzie.
Weź \(\sqrt(28224)\) . Wiemy, że \(100^2=10\000\) , \(200^2=40\000\) i tak dalej. Zauważ, że \(28224\) jest pomiędzy \(10\,000\) a \(40\,000\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) jest pomiędzy \(100\) a \(200\) .
Teraz ustalmy, między którymi „dziesiątkami” jest nasza liczba (czyli na przykład między \(120\) a \(130\) ). Z tablicy kwadratów wiemy też, że \(11^2=121\) , \(12^2=144\) itd., a następnie \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\ ) . Widzimy więc, że \(28224\) jest pomiędzy \(160^2\) a \(170^2\) . W związku z tym liczba \(\sqrt(28224)\) znajduje się między \(160\) a \(170\) .
Spróbujmy określić ostatnią cyfrę. Pamiętajmy, jakie liczby jednocyfrowe przy kwadracie dają na końcu \ (4 \) ? Są to \(2^2\) i \(8^2\) . Dlatego \(\sqrt(28224)\) kończy się na 2 lub 8. Sprawdźmy to. Znajdź \(162^2\) i \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Stąd \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Aby właściwie rozwiązać egzamin z matematyki, należy przede wszystkim przestudiować materiał teoretyczny, który wprowadza liczne twierdzenia, wzory, algorytmy itp. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że jest to dość proste. Jednak znalezienie źródła, w którym teoria do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki jest prezentowana w sposób łatwy i zrozumiały dla uczniów o dowolnym poziomie wykształcenia, jest w rzeczywistości dość trudnym zadaniem. Podręczniki szkolne nie zawsze można mieć pod ręką. A znalezienie podstawowych wzorów na egzamin z matematyki może być trudne nawet w Internecie.

Dlaczego tak ważne jest studiowanie teorii z matematyki, nie tylko dla tych, którzy przystępują do egzaminu?

  1. Ponieważ poszerza horyzonty. Studiowanie materiału teoretycznego z matematyki jest przydatne dla każdego, kto chce uzyskać odpowiedzi na szeroki zakres pytań związanych ze znajomością świata. Wszystko w naturze jest uporządkowane i ma jasną logikę. Właśnie to znajduje odzwierciedlenie w nauce, dzięki której można zrozumieć świat.
  2. Ponieważ rozwija intelekt. Studiując materiały pomocnicze do egzaminu z matematyki, a także rozwiązując różne problemy, człowiek uczy się logicznego myślenia i rozumowania, poprawnego i jasnego formułowania myśli. Rozwija umiejętność analizowania, uogólniania, wyciągania wniosków.

Zapraszamy do osobistej oceny wszystkich zalet naszego podejścia do systematyzacji i prezentacji materiałów edukacyjnych.

Przed pojawieniem się kalkulatorów uczniowie i nauczyciele ręcznie obliczali pierwiastki kwadratowe. Istnieje kilka sposobów ręcznego obliczania pierwiastka kwadratowego z liczby. Niektóre z nich oferują jedynie przybliżone rozwiązanie, inne podają dokładną odpowiedź.

Kroki

Rozkład na czynniki pierwsze

    Rozłóż pierwiastek na czynniki, które są liczbami kwadratowymi. W zależności od liczby pierwiastków otrzymasz przybliżoną lub dokładną odpowiedź. Liczby kwadratowe to liczby, z których można wyciągnąć cały pierwiastek kwadratowy. Czynniki to liczby, które po pomnożeniu dają pierwotną liczbę. Na przykład dzielniki liczby 8 to 2 i 4, ponieważ 2 x 4 = 8, liczby 25, 36, 49 są liczbami kwadratowymi, ponieważ 25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Czynniki kwadratowe są czynnikami , które są liczbami kwadratowymi. Najpierw spróbuj rozłożyć pierwiastek na czynniki kwadratowe.

    • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 400 (ręcznie). Najpierw spróbuj rozłożyć 400 na czynniki kwadratowe. 400 to wielokrotność 100, czyli podzielna przez 25 - jest to liczba kwadratowa. Dzielenie 400 przez 25 daje 16. Liczba 16 jest również liczbą kwadratową. W ten sposób 400 można rozłożyć na czynniki kwadratowe 25 i 16, czyli 25 x 16 = 400.
    • Można to zapisać w następujący sposób: √400 = √(25 x 16).

  1. Pierwiastek kwadratowy z iloczynu niektórych wyrazów jest równy iloczynowi pierwiastków kwadratowych każdego wyrazu, czyli √(a x b) = √a x √b. Użyj tej reguły i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z każdego czynnika kwadratowego i pomnóż wyniki, aby znaleźć odpowiedź.

    • W naszym przykładzie wyjmij pierwiastek kwadratowy z 25 i 16.
      • √(25x16)
      • √25 x √16
      • 5 x 4 = 20

  2. Jeśli pierwiastek nie dzieli się na dwa czynniki kwadratowe (a tak jest w większości przypadków), nie będziesz w stanie znaleźć dokładnej odpowiedzi w postaci liczby całkowitej. Ale możesz uprościć problem, rozkładając pierwiastek na czynnik kwadratowy i zwykły czynnik (liczbę, z której nie można wyciągnąć całego pierwiastka kwadratowego). Następnie wyciągniesz pierwiastek kwadratowy z czynnika kwadratowego i wyciągniesz pierwiastek ze zwykłego czynnika.

    • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z liczby 147. Liczby 147 nie można rozłożyć na dwa czynniki kwadratowe, ale można ją rozłożyć na następujące czynniki: 49 i 3. Rozwiąż problem w następujący sposób:
      • = (49 x 3)
      • = √49 x √3
      • = 7√3

  3. Jeśli to konieczne, oceń wartość korzenia. Teraz możesz oszacować wartość pierwiastka (znaleźć przybliżoną wartość), porównując ją z wartościami pierwiastków liczb kwadratowych, które są najbliższe pierwiastkowi (po obu stronach osi liczbowej). Otrzymasz wartość pierwiastka jako ułamek dziesiętny, który należy pomnożyć przez liczbę za znakiem pierwiastka.

    • Wróćmy do naszego przykładu. Pierwiastek liczby to 3. Najbliższe liczby kwadratowe to liczby 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Zatem wartość √3 mieści się między 1 a 2. Ponieważ wartość √3 jest prawdopodobnie bliższa 2 niż 1, nasze oszacowanie wynosi: √3 = 1,7. Tę wartość mnożymy przez liczbę przy znaku korzenia: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jeśli wykonasz obliczenia na kalkulatorze, otrzymasz 12.13, co jest bardzo bliskie naszej odpowiedzi.
      • Ta metoda działa również z dużymi liczbami. Rozważmy na przykład √35. Pierwiastek to 35. Najbliższe liczby kwadratowe to liczby 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Zatem wartość √35 leży między 5 a 6. Ponieważ wartość √35 jest znacznie bliższa 6 niż 5 (ponieważ 35 jest tylko o 1 mniej niż 36), możemy stwierdzić, że √35 jest nieco mniejsze niż 6. Sprawdzenie kalkulatorem daje nam odpowiedź 5.92 - mieliśmy rację.

  4. Inny sposób - faktoryzacji liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Czynniki pierwsze to liczby, które są podzielne tylko przez 1 i przez siebie. Napisz czynniki pierwsze z rzędu i znajdź pary identycznych czynników. Takie czynniki można usunąć ze znaku korzenia.

    • Na przykład oblicz pierwiastek kwadratowy z 45. Rozkładamy pierwiastek na czynniki pierwsze: 45 \u003d 9 x 5 i 9 \u003d 3 x 3. Zatem √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 można wyjąć ze znaku pierwiastka: √45 = 3√5. Teraz możemy oszacować √5.
    • Rozważ inny przykład: √88.
      • = (2 x 44)
      • = (2 x 4 x 11)
      • = (2 x 2 x 2 x 11). Masz trzy mnożniki 2; weź kilka z nich i usuń je ze znaku korzenia.
      • = 2√(2x11) = 2√2x√11. Teraz możemy ocenić √2 i √11 i znaleźć przybliżoną odpowiedź.

    Ręczne obliczanie pierwiastka kwadratowego

    Korzystanie z podziału kolumn

    1. Ta metoda obejmuje proces podobny do dzielenia długiego i daje dokładną odpowiedź. Najpierw narysuj pionową linię dzielącą arkusz na dwie połowy, a następnie narysuj poziomą linię w prawo i nieco poniżej górnej krawędzi arkusza do linii pionowej. Teraz podziel liczbę pierwiastkową na pary liczb, zaczynając od części ułamkowej po przecinku. Tak więc liczba 79520789182.47897 jest zapisana jako „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • Na przykład obliczmy pierwiastek kwadratowy z liczby 780,14. Narysuj dwie linie (jak pokazano na rysunku) i wpisz liczbę w lewym górnym rogu jako „7 80, 14”. To normalne, że pierwsza cyfra od lewej jest cyfrą niesparowaną. Odpowiedź (pierwiastek podanej liczby) zostanie zapisana w prawym górnym rogu.

    2. Mając pierwszą parę liczb (lub jedną liczbę) od lewej, znajdź największą liczbę całkowitą n, której kwadrat jest mniejszy lub równy parze liczb (lub jednej liczbie). Innymi słowy, znajdź liczbę kwadratową, która jest najbliższa, ale mniejsza niż, pierwsza para liczb (lub pojedyncza liczba) od lewej i wyciągnij pierwiastek kwadratowy z tej liczby; otrzymasz numer n. Napisz znalezione n w prawym górnym rogu i zapisz kwadrat n w prawym dolnym rogu.

      • W naszym przypadku pierwszą cyfrą od lewej będzie cyfra 7. Następnie 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

    3. Odejmij kwadrat liczby n, którą właśnie znalazłeś, od pierwszej pary liczb (lub jednej liczby) od lewej. Zapisz wynik obliczenia pod odcinkiem (kwadrat liczby n).

      • W naszym przykładzie odejmij 4 od 7, aby otrzymać 3.

    4. Zanotuj drugą parę liczb i zapisz ją obok wartości uzyskanej w poprzednim kroku. Następnie podwój liczbę w prawym górnym rogu i wpisz wynik w prawym dolnym rogu z dołączonym „_×_=”.

      • W naszym przykładzie druga para liczb to „80”. Wpisz „80” po 3. Następnie podwojenie liczby z prawego górnego rogu daje 4. Wpisz „4_×_=” od prawego dolnego rogu.

    5. Uzupełnij puste miejsca po prawej stronie.

      • W naszym przypadku, jeśli zamiast kresek umieścimy liczbę 8, to 48 x 8 \u003d 384, czyli więcej niż 380. Dlatego 8 to za duża liczba, ale 7 jest w porządku. Napisz 7 zamiast kresek i uzyskaj: 47 x 7 \u003d 329. Napisz 7 od prawego górnego rogu - to druga cyfra żądanego pierwiastka kwadratowego z liczby 780,14.

    6. Odejmij wynikową liczbę od bieżącej liczby po lewej stronie. Zapisz wynik z poprzedniego kroku pod aktualną liczbą po lewej stronie, znajdź różnicę i zapisz ją pod odjętą.

      • W naszym przykładzie odejmij 329 od 380, co daje 51.

    7. Powtórz krok 4. Jeśli wyburzona para liczb jest częścią ułamkową oryginalnej liczby, umieść separator (przecinek) części całkowitych i ułamkowych w żądanym pierwiastku kwadratowym od prawego górnego rogu. Po lewej przenieś następną parę liczb. Podwój liczbę w prawym górnym rogu i wpisz wynik w prawym dolnym rogu z dołączonym „_×_=”.

      • W naszym przykładzie następną parą liczb do usunięcia będzie część ułamkowa liczby 780.14, więc umieść separator części całkowitej i części ułamkowej w wymaganym pierwiastku kwadratowym od prawego górnego rogu. Zburz 14 i zapisz w lewym dolnym rogu. Podwójny prawy górny róg (27) to 54, więc wpisz „54_×_=” w prawym dolnym rogu.

    8. Powtórz kroki 5 i 6. Znajdź największą liczbę w miejscu kresek po prawej stronie (zamiast kresek musisz podstawić tę samą liczbę), aby wynik mnożenia był mniejszy lub równy bieżącej liczbie po lewej stronie.

      • W naszym przykładzie 549 x 9 = 4941, czyli mniej niż bieżąca liczba po lewej stronie (5114). Wpisz 9 w prawym górnym rogu i odejmij wynik mnożenia od bieżącej liczby po lewej: 5114 - 4941 = 173.

    9. Jeśli chcesz znaleźć więcej miejsc dziesiętnych dla pierwiastka kwadratowego, wpisz parę zer obok bieżącej liczby po lewej stronie i powtórz kroki 4, 5 i 6. Powtarzaj kroki, aż uzyskasz dokładność odpowiedzi, której potrzebujesz (liczba miejsca dziesiętne).

      Zrozumienie procesu

      1. Aby opanować tę metodę, wyobraź sobie liczbę, której pierwiastek kwadratowy musisz znaleźć jako pole kwadratu S. W tym przypadku będziesz szukał długości boku L takiego kwadratu. Oblicz wartość L, dla której L² = S.

        Wpisz literę dla każdej cyfry w odpowiedzi. Oznacz przez A pierwszą cyfrę wartości L (pożądany pierwiastek kwadratowy). B będzie drugą cyfrą, C trzecią i tak dalej.

        Określ literę dla każdej pary cyfr wiodących. Oznaczmy przez S a pierwszą parę cyfr w wartości S, przez S b drugą parę cyfr i tak dalej.

        Wyjaśnij związek tej metody z długim dzieleniem. Podobnie jak w operacji dzielenia, gdzie za każdym razem interesuje nas tylko jedna następna cyfra liczby podzielnej, przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego pracujemy z parą cyfr po kolei (aby uzyskać następną cyfrę w wartości pierwiastka kwadratowego) .

      2. Rozważ pierwszą parę cyfr Sa liczby S (Sa = 7 w naszym przykładzie) i znajdź jej pierwiastek kwadratowy. W tym przypadku pierwszą cyfrą A poszukiwanej wartości pierwiastka kwadratowego będzie taka cyfra, której kwadrat jest mniejszy lub równy S a (czyli szukamy takiej A, która spełnia nierówność A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

        • Powiedzmy, że musimy podzielić 88962 przez 7; tutaj pierwszy krok będzie podobny: bierzemy pod uwagę pierwszą cyfrę liczby podzielnej 88962 (8) i wybieramy największą liczbę, która po pomnożeniu przez 7 daje wartość mniejszą lub równą 8. Czyli szukamy liczba d, dla której nierówność jest prawdziwa: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Wyobraź sobie w myślach kwadrat, którego pole musisz obliczyć. Szukasz L, czyli długości boku kwadratu, którego powierzchnia to S. A, B, C to liczby w liczbie L. Możesz to napisać inaczej: 10A + B \u003d L (dla dwóch -cyfrowy numer) lub 100A + 10B + C \u003d L (dla numeru trzycyfrowego) i tak dalej.

        • Zostawiać (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamiętaj, że 10A+B to liczba, której B oznacza jedynki, a A oznacza dziesiątki. Na przykład, jeśli A=1 i B=2, to 10A+B równa się liczbie 12. (10A+B)² to powierzchnia całego placu, 100A² to powierzchnia dużego wewnętrznego placu, B² to powierzchnia małego wewnętrznego placu, 10A×B to pole powierzchni każdego z dwóch prostokątów. Dodając obszary opisanych postaci, znajdziesz obszar pierwotnego kwadratu.

Powierzchnia kwadratowej działki wynosi 81 dm². Znajdź jego stronę. Załóżmy, że długość boku kwadratu wynosi X decymetry. Wtedy powierzchnia działki to X² decymetrów kwadratowych. Ponieważ zgodnie z warunkiem powierzchnia ta wynosi 81 dm², to X² = 81. Długość boku kwadratu jest liczbą dodatnią. Liczba dodatnia, której kwadrat wynosi 81, to liczba 9. Przy rozwiązywaniu problemu należało znaleźć liczbę x, której kwadrat wynosi 81, czyli rozwiązać równanie X² = 81. To równanie ma dwa pierwiastki: x 1 = 9 i x 2 \u003d - 9, ponieważ 9² \u003d 81 i (- 9)² \u003d 81. Obie liczby 9 i - 9 nazywane są pierwiastkami kwadratowymi liczby 81.

Zauważ, że jeden z pierwiastków kwadratowych X= 9 to liczba dodatnia. Nazywa się to arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 81 i oznacza √81, więc √81 = 9.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy a.

Na przykład liczby 6 i -6 to pierwiastki kwadratowe z 36. Liczba 6 jest arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z 36, ponieważ 6 jest liczbą nieujemną, a 6² = 36. Liczba -6 nie jest pierwiastkiem arytmetycznym.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a oznaczony następująco: √ a.

Znak nazywa się arytmetycznym znakiem pierwiastka kwadratowego; a nazywa się wyrażeniem głównym. Wyrażenie √ a czytać w ten sposób: arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby a. Na przykład √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. W przypadkach, gdy jest jasne, że mówimy o pierwiastku arytmetycznym, mówią krótko: „pierwiastek kwadratowy z a«.

Czynność znalezienia pierwiastka kwadratowego z liczby nazywa się wyciąganiem pierwiastka kwadratowego. To działanie jest odwrotnością kwadratury.

Dowolna liczba może być podniesiona do kwadratu, ale nie każda liczba może być pierwiastkiem kwadratowym. Na przykład nie można wyodrębnić pierwiastka kwadratowego z liczby - 4. Jeśli taki pierwiastek istniał, to oznaczając go literą X, otrzymalibyśmy niewłaściwą równość x² \u003d - 4, ponieważ po lewej stronie znajduje się liczba nieujemna, a po prawej ujemna.

Wyrażenie √ a ma sens tylko wtedy, gdy a ≥ 0. Definicję pierwiastka kwadratowego można krótko zapisać jako: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Równość (√ a)² = a ważne przez a ≥ 0. Tak więc, aby upewnić się, że pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej a równa się b, czyli że √ a =b, musisz sprawdzić, czy spełnione są następujące dwa warunki: b ≥ 0, b² = a.

Pierwiastek kwadratowy z ułamka

Obliczmy . Zauważ, że √25 = 5, √36 = 6 i sprawdź, czy równość jest zachowana.

Jak i , to równość jest prawdziwa. Więc, .

Twierdzenie: Jeśli a≥ 0 i b> 0, czyli pierwiastek ułamka jest równy pierwiastkowi licznika podzielonemu przez pierwiastek mianownika. Wymagane jest wykazanie, że: i .

Od √ a≥0 i √ b> 0, to .

Przez własność podniesienia ułamka do potęgi i określenia pierwiastka kwadratowego twierdzenie jest udowodnione. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oblicz , zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem .

Drugi przykład: udowodnij, że , jeśli a ≤ 0, b < 0. .

Inny przykład: Oblicz .

.

Transformacja pierwiastka kwadratowego

Wyjęcie mnożnika spod znaku korzenia. Niech zostanie podane wyrażenie. Jeśli a≥ 0 i b≥ 0, to przez twierdzenie o pierwiastku iloczynu możemy napisać:

Taka transformacja nazywana jest rozkładaniem znaku korzenia na czynniki. Rozważ przykład;

Oblicz w X= 2. Bezpośrednia substytucja X= 2 w wyrażeniu radykalnym prowadzi do skomplikowanych obliczeń. Obliczenia te można uprościć, jeśli najpierw usuniemy czynniki spod znaku pierwiastka: . Teraz zastępując x = 2, otrzymujemy:.

Tak więc, wyjmując czynnik spod znaku pierwiastka, wyrażenie radykalne jest reprezentowane jako iloczyn, w którym jeden lub więcej czynników jest kwadratami liczb nieujemnych. Następnie stosuje się twierdzenie o iloczynie korzeniowym i bierze się pierwiastek każdego czynnika. Rozważmy przykład: Uprość wyrażenie A = √8 + √18 - 4√2 przez usunięcie czynników spod znaku pierwiastka w pierwszych dwóch wyrażeniach, otrzymujemy:. Podkreślamy, że równość ważne tylko wtedy, gdy a≥ 0 i b≥ 0. jeśli a < 0, то .

Matematyka narodziła się, gdy człowiek uświadomił sobie siebie i zaczął pozycjonować się jako autonomiczna jednostka świata. Chęć mierzenia, porównywania, obliczania tego, co cię otacza, leży u podstaw jednej z podstawowych nauk naszych czasów. Początkowo były to cząstki matematyki elementarnej, które umożliwiały powiązanie liczb z ich wyrażeniami fizycznymi, później wnioski zaczęto przedstawiać tylko teoretycznie (ze względu na ich abstrakcyjność), ale po pewnym czasie, jak ujął to jeden naukowiec, „ matematyka osiągnęła pułap złożoności, gdy wszystkie liczby”. Pojęcie „pierwiastka kwadratowego” pojawiło się w czasach, gdy można było je łatwo poprzeć danymi empirycznymi, wykraczającymi poza płaszczyznę obliczeń.

Jak to się wszystko zaczeło

Pierwsza wzmianka o rdzeniu, obecnie oznaczanym jako √, została odnotowana w pismach babilońskich matematyków, którzy położyli podwaliny pod nowoczesną arytmetykę. Oczywiście wyglądały trochę jak obecna forma - naukowcy tamtych lat po raz pierwszy używali nieporęcznych tabletek. Ale w drugim tysiącleciu pne. mi. wymyślili przybliżoną formułę obliczeniową, która pokazała, jak wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. Poniższe zdjęcie pokazuje kamień, na którym babilońscy naukowcy wyrzeźbili proces wyjściowy √2 i okazało się, że jest tak poprawne, że rozbieżność w odpowiedzi została znaleziona tylko w dziesiątym miejscu po przecinku.

Ponadto korzeń był używany, jeśli trzeba było znaleźć bok trójkąta, pod warunkiem, że znane były dwa pozostałe. Cóż, przy rozwiązywaniu równań kwadratowych nie ma ucieczki przed wydobyciem pierwiastka.

Wraz z pracami babilońskimi przedmiot artykułu był badany również w chińskim dziele „Matematyka w dziewięciu księgach”, a starożytni Grecy doszli do wniosku, że każda liczba, z której nie wyodrębnia się korzenia, daje wynik irracjonalny .

Pochodzenie tego terminu jest związane z arabskim przedstawieniem liczby: starożytni naukowcy wierzyli, że kwadrat dowolnej liczby wyrasta z korzenia, jak roślina. Po łacinie to słowo brzmi jak radix (można prześledzić wzór - wszystko, co ma „korzeniowy” ładunek semantyczny, jest spółgłoską, czy to rzodkiewka, czy rwa kulszowa).

Pomysł ten podchwycili naukowcy kolejnych pokoleń, nazywając go Rx. Na przykład w XV wieku, aby wskazać, że pierwiastek kwadratowy pochodzi z dowolnej liczby a, napisali R 2 a. Znany współczesnemu wyglądowi „kleszcz” pojawił się dopiero w XVII wieku za sprawą Rene Descartes.

Nasze dni

Matematycznie pierwiastek kwadratowy z y jest liczbą z, której kwadrat to y. Innymi słowy, z 2 =y jest równoważne √y=z. Jednak ta definicja dotyczy tylko pierwiastka arytmetycznego, ponieważ sugeruje nieujemną wartość wyrażenia. Innymi słowy, √y=z, gdzie z jest większe lub równe 0.

Ogólnie, co jest ważne dla określenia pierwiastka algebraicznego, wartość wyrażenia może być dodatnia lub ujemna. Zatem z uwagi na to, że z 2 =y i (-z) 2 =y, mamy: √y=±z lub √y=|z|.

Z uwagi na to, że miłość do matematyki wzrosła dopiero wraz z rozwojem nauki, pojawiają się różne przejawy przywiązania do niej, nie wyrażające się suchymi obliczeniami. Na przykład obok tak ciekawych wydarzeń, jak dzień Pi, obchodzone są również święta pierwiastka kwadratowego. Są obchodzone dziewięć razy w ciągu stu lat i są ustalane zgodnie z następującą zasadą: liczby oznaczające kolejno dzień i miesiąc muszą być pierwiastkiem kwadratowym z roku. Tak więc następnym razem to święto będzie obchodzone 4 kwietnia 2016 r.

Własności pierwiastka kwadratowego na polu R

Prawie wszystkie wyrażenia matematyczne mają podstawę geometryczną, ten los nie przeminął i √y, który jest zdefiniowany jako bok kwadratu o polu y.

Jak znaleźć pierwiastek liczby?

Istnieje kilka algorytmów obliczeniowych. Najprostsze, ale jednocześnie dość kłopotliwe, jest zwykłe obliczenie arytmetyczne, które wygląda następująco:

1) od liczby, której pierwiastka potrzebujemy, liczby nieparzyste są kolejno odejmowane - aż reszta wyniku będzie mniejsza niż odjęta jedynka lub nawet równa zero. Liczba ruchów ostatecznie stanie się pożądaną liczbą. Na przykład, obliczając pierwiastek kwadratowy z 25:

Następna nieparzysta liczba to 11, reszta to: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

W takich przypadkach istnieje rozszerzenie serii Taylora:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , gdzie n przyjmuje wartości od 0 do

+∞, oraz |y|≤1.

Graficzna reprezentacja funkcji z=√y

Rozważmy funkcję elementarną z=√y na polu liczb rzeczywistych R, gdzie y jest większe lub równe zero. Jej wykres wygląda tak:

Krzywa rośnie od początku i koniecznie przecina punkt (1; 1).

Własności funkcji z=√y na ciele liczb rzeczywistych R

1. Dziedziną definicji rozważanej funkcji jest przedział od zera do plus nieskończoności (uwzględnia się zero).

2. Zakres wartości rozważanej funkcji to przedział od zera do plus nieskończoności (znowu uwzględnia się zero).

3. Funkcja przyjmuje wartość minimalną (0) tylko w punkcie (0; 0). Nie ma maksymalnej wartości.

4. Funkcja z=√y nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

5. Funkcja z=√y nie jest okresowa.

6. Jest tylko jeden punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y z osiami współrzędnych: (0; 0).

7. Punkt przecięcia wykresu funkcji z=√y jest jednocześnie zerem tej funkcji.

8. Funkcja z=√y stale rośnie.

9. Funkcja z=√y przyjmuje tylko wartości dodatnie, dlatego jej wykres zajmuje pierwszą współrzędną kąta.

Opcje wyświetlania funkcji z=√y

W matematyce, aby ułatwić obliczenie złożonych wyrażeń, czasami używa się potęgi zapisu pierwiastka kwadratowego: √y=y 1/2. Ta opcja jest wygodna na przykład przy podnoszeniu funkcji do potęgi: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ta metoda jest również dobrą reprezentacją dla różniczkowania z całkowaniem, ponieważ dzięki niej pierwiastek kwadratowy jest reprezentowany przez zwykłą funkcję potęgową.

A w programowaniu zamiennikiem symbolu √ jest kombinacja liter sqrt.

Warto zauważyć, że w tym obszarze pierwiastek kwadratowy jest bardzo poszukiwany, ponieważ jest częścią większości wzorów geometrycznych niezbędnych do obliczeń. Sam algorytm zliczania jest dość skomplikowany i opiera się na rekurencji (funkcji, która sama siebie wywołuje).

Pierwiastek kwadratowy w polu zespolonym C

W zasadzie to właśnie temat tego artykułu był impulsem do odkrycia ciała liczb zespolonych C, ponieważ matematyków prześladowała kwestia uzyskania pierwiastka parzystego stopnia z liczby ujemnej. Tak powstała jednostka urojona i, która charakteryzuje się bardzo ciekawą właściwością: jej kwadrat wynosi -1. Dzięki temu rozwiązano równania kwadratowe iz ujemnym wyróżnikiem. W C dla pierwiastka kwadratowego obowiązują te same właściwości, co w R, jedyną rzeczą jest to, że usunięto ograniczenia dotyczące wyrażenia pierwiastka.