Zasada d'Alemberta dla punktu materialnego. Postać równania ruchu zgodna z prawami Newtona nie jest jedyna. Równania te można również zapisać w innych formach. Jedną z tych możliwości jest zasada d'Alemberta, co formalnie pozwala równaniom różniczkowym ruchu przybrać postać równań równowagi.

Zasadę tę można uznać za niezależny aksjomat, zastępujący drugie prawo Newtona. Używamy go jako środka do rozwiązywania problemów i wywodzimy z prawa Newtona.

Rozważ ruch punktu materialnego względem inercjalnego układu odniesienia. O wolny punkt materialny

mamy: że = = I.

Przenoszenie wektora że po prawej stronie równości stosunek ten można przedstawić jako równanie równowagi: ja - to - 0.

Przedstawiamy koncepcję siły bezwładności. Nazwijmy wektor skierowany przeciwnie do przyspieszenia i równy iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia siła bezwładności punktu materialnego: = -ta.

Korzystając z tego pojęcia, możemy napisać (ryc. 3.42):

• ? ^ + P "n) = 0. (3.47)

Ryż. 3.42.

dla punktu materialnego

Równanie (3.47) jest zasadą d'Alemberta dla wolnego punktu materialnego: jeśli siła bezwładności zostanie dodana do sił przyłożonych do punktu, to punkt będzie w stanie równowagi.

Ściśle rzecz biorąc, przedstawione stanowisko nie jest zasadą d'Alemberta w takiej formie, w jakiej zostało sformułowane przez autora.

d'Alembert rozważany nieswobodny ruch punktu, bez stosowania zasady uwalniania z wiązań, bez wprowadzania reakcji wiązania. Zauważając, że w obecności połączenia przyspieszenie punktu nie pokrywa się w kierunku z siłą i ta FR, wprowadził koncepcję utracona moc P - że i stwierdził, że przyłożenie utraconej siły do ​​punktu nie zakłóca jego stanu równowagi, ponieważ utracona siła jest równoważona przez reakcję połączenia.

Relacja (3.47) to podstawowe równanie kinetostatyki, lub równanie z zasadą petersburską Hermanna-Eulera. Metodę kinetostatyki można uznać za modyfikację zasady d'Alemberta, w tym dla wolnego punktu materialnego, co jest wygodniejsze w praktycznym zastosowaniu. Dlatego w większości źródeł literackich równanie (3.47) nazywa się zasadą d'Alemberta.

Jeśli punkt nie jest wolny, tj. jest na niego nałożone ograniczenie, wygodnie jest podzielić siły działające na punkt na aktywne 1 , R°(ustawienie-

podane) i reakcja wiązania CU: p(a) + n =

Technika ta jest wygodna, ponieważ dla niektórych rodzajów wiązań można ułożyć równanie ruchu w taki sposób, aby nie zawierały się w nim reakcje tych wiązań. Zatem zasadę d'Alemberta dla punktu niewolnego można zapisać jako (ryc. 3.43):

R(a)+/V+ R W) = 0, (3.48)

tj. jeśli siła bezwładności zostanie przyłożona do niewolnego punktu materialnego, oprócz sił aktywnych i reakcji sprzęgania, wynikowy układ sił będzie w dowolnym momencie w równowadze.

Ryż. 3.43.

punkt materialny

a- z angielskiego, aktywny- aktywny. Przypomnijmy, że siły nazywane są aktywnymi, jeśli zachowują swoje wartości po usunięciu wszystkich wiązań.

Rozważając ruch krzywoliniowy punktu, warto przedstawić siłę bezwładności w postaci dwóch składowych: Г „‘ n) \u003d -ta n- odśrodkowe i W, p) \u003d -ta x - styczna (ryc. 3.44).

Ryż. 3.44.

ruch punktu materialnego

Przypomnijmy, że wyrażenia na przyspieszenia normalne i styczne mają postać: a p-U 2 / p i it = s1U D/L

Następnie możesz napisać: P^ t) - -t-p Rp p) - -t-t lub w końcu: P

rt + p(t) + p(a) + rr = o (3,49)

Równość (3.49) wyraża zasadę d'Alemberta dla ruchu krzywoliniowego punktu nieswobodnego.

Rozważ wątek o długości /, na końcu którego zamocowany jest punkt masy t. Nić obraca się wokół osi pionowej, opisując powierzchnię stożkową o stałym kącie nachylenia tworzącej a. Określ odpowiednią stałą prędkość punktu i napięcie nici T(ryc. 3.45).

Ryż. 3.45.

ruch niewolnego punktu materialnego

Tak, ale: /u, /, a = const. Znaleźć: TELEWIZJA.

Zastosujmy do punktu siły bezwładności skierowane przeciwnie do odpowiednich składowych przyspieszenia. Zauważ, że styczna siła bezwładności wynosi zero, ponieważ pod warunkiem, że prędkość jest stała:

/1°") = -ta = -t-= Och

a siła odśrodkowa bezwładności jest określona przez wyrażenie P^ m) \u003d mU 2 /p, gdzie p = /Bta.

Zastosowanie do tego problemu zasady d'Alemberta pozwala na zapisanie równania ruchu badanego punktu materialnego w postaci warunku równowagi sił zbieżnych: t? + T + Pp n) = 0.

W tym przypadku wszystkie równania równowagi obowiązują w rzucie na naturalne osie współrzędnych:

X^n=0, - FJ" 1+ Cina = 0; ^ F h = 0, - mg + T cosa = 0,

+ T grzech a =

-mg + T cosa = 0,

gdzie znajdujemy? T= /u#/coBa; V= Btal/^/Tcosa.

Zasada d'Alemberta dla układu punktów materialnych. Rozważ ruch mechanicznego układu punktów materialnych. Podobnie jak w przypadku wycofania OZMS, siły przyłożone do każdego punktu dzielimy na zewnętrzne i wewnętrzne (rys. 3.46).

Ryż. 3.46.

Niech ' będzie wypadkową sił zewnętrznych przyłożonych do /-tego punktu, a / G (L - wypadkowa sił wewnętrznych przyłożonych do tego samego punktu. Zgodnie z zasadą d'Alemberta, siły bezwładności muszą być przyłożone do każdego materiału punkt systemu: Рр n) = -т,а г

Wtedy siły przyłożone do każdego punktu układu spełniają zależność:

1?E) + pY) + p0n)

tych. układ punktów materialnych będzie w równowadze, jeśli do każdego z jego punktów zostanie przyłożona dodatkowa siła bezwładności. Tak więc za pomocą zasady d'Alemberta można nadać równaniom ruchu układu postać równań równowagi.

Wyraźmy kinetostatyczne warunki równowagi układu za pomocą statycznych odpowiedników sił bezwładności i sił zewnętrznych. W tym celu sumujemy ponad wszystko P równania (a), opisanie sił przyłożonych do poszczególnych punktów układu. Następnie obliczamy momenty wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych oraz sił bezwładności przyłożonych do poszczególnych punktów względem dowolnego punktu O:

ja X R "E> + g a X /*") + g a X P t > =0. і = 1,2,..., ".

Następnie podsumowujemy, w wyniku otrzymujemy

// pp

'(MI) і G(1)

1l (?) + L (/) + L (, n) \u003d 0;

[M ( 0 E) + M ( 0 n + M% a) = 0.

O ile K i)= 0 i M 1 0 p = 0, w końcu mamy:

ІЯ (?) + Л (/И) = 0;

M(a) + M(‘n) = 0.

Z układu równań (3.50) widać, że główny wektor sił bezwładności jest równoważony przez główny wektor sił zewnętrznych, a główny moment sił bezwładności względem dowolnego punktu jest równoważony przez główny moment sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

Przy rozwiązywaniu problemów konieczne jest posiadanie wyrażeń na wektor główny i główny moment sił bezwładności. Wielkości i kierunki tych wektorów zależą od rozkładu przyspieszeń poszczególnych punktów i ich mas. Z reguły bezpośrednia definicja ja (sz) oraz M ( "" ] sumowanie geometryczne można wykonać stosunkowo prosto tylko wtedy, gdy P - 2 lub P= 3. Jednocześnie w zadaniu ruchu ciała sztywnego można wyrazić statyczne odpowiedniki sił bezwładności w niektórych szczególnych przypadkach ruchu w zależności od charakterystyk kinematycznych.

Wektor główny i główny moment sił bezwładności ciała sztywnego w różnych przypadkach ruchu. Zgodnie z twierdzeniem o ruchu środka masy t z c \u003d I (E). Zgodnie z zasadą d'Alemberta mamy: Ja (1P) + Ja (E) = Och, gdzie znajdziemy: ja "1P) = -t z z. Tak więc przy każdym ruchu ciała główny wektor sił bezwładności jest równy iloczynowi masy ciała i przyspieszenia środka masy i jest skierowany przeciwnie do przyspieszenia środka masy(ryc. 3.47).

Ryż. 3.47.

Wyraźmy główny moment sił bezwładności podczas ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi prostopadłej do płaszczyzny materialnej symetrii ciała (ryc. 3.48). Siły bezwładności przyłożone do / -punktu: R"! n) = m, x op; 2 i R? P)= /u, ep.

Ponieważ wszystkie odśrodkowe siły bezwładności przecinają oś obrotu, główny moment tych sił bezwładności wynosi zero, a główny moment stycznych sił bezwładności wynosi:

m t =?_ C\u003e P (= ?-sh.d x / R. = = -e? / i. p; = - J z (3.51)

Zatem główny moment stycznych sił bezwładności wokół osi obrotu jest równy iloczynowi momentu bezwładności wokół tej osi i przyspieszenia kątowego, a kierunek głównego momentu stycznych sił bezwładności jest przeciwny do kierunek przyspieszenia kątowego.

Ryż. 3.48.

wokół osi obrotu

Następnie wyrażamy siły bezwładności dla ruchu płasko-równoległego ciała. Rozpatrując ruch płasko-równoległy ciała (rys. 3.49) jako sumę ruchu postępowego wraz ze środkiem masy i rotacja wokół oś przechodząca przez środek masy prostopadłej do płaszczyzny ruchu można wykazać, w obecności płaszczyzny materialnej symetrii pokrywającej się z płaszczyzną ruchu środka masy, że siły bezwładności w ruchu płasko-równoległym są równoważne wektorowi głównemu / ? (" p) przyłożony do środka masy jest przeciwny do przyspieszenia środka masy i głównego momentu bezwładności M^ n) względem osi środkowej, prostopadłej do płaszczyzny ruchu, skierowanej w kierunku przeciwnym do przyspieszenia kątowego:

Ryż. 3.49.

Notatki.

• 1. Zauważ, że skoro zasada d’Alemberta na to pozwala: po prostu napisz równanie ruchu w postaci równania równowagi, wtedy nie daje żadnych całek z równania ruchu.
• 2. Podkreślamy, że siła bezwładności w zasadzie d'Alemberta jest fikcyjna szarość, stosowane oprócz sił działających wyłącznie w celu uzyskania układu równowagi. Jednak w przyrodzie istnieją siły, które są geometrycznie równe siłom bezwładności, ale siły te są przykładane do innych ciał (przyspieszających), w interakcji z którymi powstaje siła przyspieszająca przyłożona do rozważanego poruszającego się ciała. Na przykład podczas przesuwania punktu zamocowanego na nitce obracającej się ze stałą prędkością wokół okręgu w płaszczyźnie poziomej, naprężenie nitki jest dokładnie równe siła bezwładności, tych. siła reakcji punktu na gwincie, podczas gdy punkt porusza się pod wpływem reakcji wątku na niego.
• 3. Jak już pokazano, powyższa forma zasady d'Alemberta różni się od tej stosowanej przez samego d'Alemberta. Zastosowana tutaj metoda kompilacji różniczkowych równań ruchu układu została opracowana i rozszerzona przez wielu naukowców z Petersburga i otrzymała nazwę metoda kinetostatyczna.

Zastosowanie metod mechaniki do niektórych problemów dynamiki pojazdów szynowych:

? ruch pojazdu szynowego po zakrzywionym torze. Obecnie, ze względu na możliwości technologii komputerowej, analiza wszystkich zjawisk mechanicznych zachodzących podczas ruchu pojazdu szynowego po łuku prowadzona jest za pomocą dość złożonego modelu, który uwzględnia cały zestaw poszczególnych korpusów układu oraz cechy połączeń między nimi. Takie podejście umożliwia uzyskanie wszystkich niezbędnych kinematycznych i dynamicznych charakterystyk ruchu.

Jednak analizując wyniki końcowe i dokonując wstępnych szacunków w literaturze technicznej, dość często spotyka się pewne wypaczenia niektórych koncepcji mechaniki. Dlatego warto mówić o najbardziej „oryginalnych podstawach” użytych do opisu ruchu załogi po łuku.

Przedstawmy kilka matematycznych opisów rozważanych procesów w postaci elementarnej.

Aby uzyskać prawidłowe, spójne wyjaśnienie cech stacjonarny ruch załogi, w łuku kołowym konieczne jest:

• wybrać metodę mechaniki użytą do opisu tego ruchu;
• wychodzić z jasnego, z punktu widzenia mechaniki, pojęcia „siły”;
• nie zapominaj o prawie równości działania i reakcji.

Proces poruszania się załogi po łuku nieuchronnie pociąga za sobą zmianę kierunku prędkości. Cechą charakterystyczną prędkości tej zmiany jest normalne przyspieszenie skierowane do środka krzywizny krzywoliniowej trajektorii środka masy: a p - V 2/p, gdzie p jest promieniem krzywej.

Podczas ruchu pojazd wchodzi w interakcję z torami kolejowymi, co skutkuje przyłożeniem do zestawów kołowych normalnych i stycznych sił reakcji. Oczywiście na szyny działają równe i przeciwne siły nacisku. Zgodnie z powyższymi koncepcjami mechanicznymi siła jest rozumiana jako wynik wzajemnego oddziaływania ciał lub ciała i pola. W rozważanym problemie występują dwa układy fizyczne: wózek z zestawami kołowymi i tor kolejowy, dlatego sił należy szukać w miejscach ich styku. Ponadto oddziaływanie załogi i pola grawitacyjnego Ziemi tworzy grawitację.

Opisu ruchu załogi po łuku można dokonać za pomocą ogólne twierdzenia o dynamice, które są konsekwencjami OZMS, lub na podstawie zasady mechaniki(np. zasada d'Alemberta), która jest podstawą metoda kinetostatyczna.

Chcąc wyjaśnić równe cechy metody uwzględniania krzywizny osi toru na charakterystyce ruchu załogi, posługujemy się najpierw najprostszym wyidealizowanym modelem. Załoga będzie traktowana jako samolot materialny o masie równej masie tego układu.

Środek masy leżący w tej płaszczyźnie wykonuje zadany ruch po trajektorii zgodnej z osią toru, z prędkością v. Kontakt z torem szynowym odbywa się w dwóch punktach przecięcia ruchomej płaszczyzny z gwintami szynowymi. Dlatego mówiąc o interakcji pojazdu z torem szynowym, możemy mówić o siłach skupionych, które są wypadkową wszystkich reakcji szyn na poszczególne zestawy kołowe z każdej z szyn. Ponadto charakter występowania sił reaktywnych jest nieistotny;

? ruch wózka wzdłuż toru bez podniesienia szyny zewnętrznej. Na ryc. 3.50 przedstawia schemat projektowy załogi poruszającej się po zakrzywionej ścieżce. W tym przypadku szyny zewnętrzne i wewnętrzne znajdują się na tym samym poziomie. Na ryc. 3,50 pokazuje siły działające na załogę i reakcje wiązań. Podkreślamy, że nie ma w tym schemacie nie ma rzeczywistych sił odśrodkowych.

W ramach mechaniki geometrycznej Newtona ruch pojazdu po łuku opisany jest ogólnymi twierdzeniami o dynamice układu.

W tym przypadku, zgodnie z twierdzeniem o ruchu środka masy,

t c a c - ja a), (a)

gdzie R) jest głównym wektorem sił zewnętrznych.

Projekcja obu części wyrażenia (a) na towarzyszących naturalnych osiach współrzędnych, których środek znajduje się w środku masy pojazdu, z wektorami jednostkowymi m, i, b i uwierz t s = t.

W rzucie na główną normalną otrzymujemy że n \u003d F n, lub

mV / p \u003d Fn (b)

gdzie F n - prawdziwa moc reakcje szyny na zestawy kołowe, która jest sumą rzutów reakcji szyny na normalną do trajektorii. Mogą to być siły nacisku szyn na obrzeża kół. W tym kierunku nie działają żadne inne siły zewnętrzne.

W projekcji ekspresji (a) na binormalnym otrzymujemy:

O = -mg+Nout+N Zajazd. (z)

Tutaj indeksy na zewnątrz 1 odpowiadają zewnętrznemu, a Zajazd- wewnętrzna szyna łuku. Lewa strona w wyrażeniu (c) jest równa zero, ponieważ rzut przyspieszenia na binormalną jest równy zero.

Otrzymujemy trzecie równanie, korzystając z twierdzenia o zmianie momentu pędu względem środka masy:

dK c /dt = ^M c . (d)

Projektowanie wyrażenia d na osi t, gdzie t = nxb - iloczyn wektorowy wektorów jednostkowych P oraz b, biorąc pod uwagę, że KCl .Name\u003d U St z t, U St - moment bezwładności załogi wokół osi stycznej do trajektorii środka masy, będziemy mieli

J a *i=NJS-N m S + F K H = 0, (mi)

ponieważ przyspieszenie kątowe wokół osi m w ruchu ustalonym wzdłuż krzywej kołowej wynosi zero.

Wyrażenia ( b), (c) i (mi) są układem liniowych równań algebraicznych dla trzech nieznanych wielkości M-tp> rozwiązując które, otrzymujemy:

Ryż. 3,50.

Konsekwentne stosowanie ogólnych twierdzeń o dynamice umożliwia zatem w rozważanym problemie ustalenie wszystkich zjawisk związanych z przejazdem załogi krzywoliniowego odcinka toru.

W rzeczywistości na oba koła działają siły skierowane wewnątrz łuku. Wypadkowa tych sił tworzy moment wokół środka masy pojazdu, który może spowodować obrót, a nawet przechylenie poza krzywiznę, jeśli V 2 N/p5" > g. Działanie tej siły prowadzi do zużycia kół. Oczywiście przeciwnie skierowana siła działająca na szynę -R p powoduje zużycie szyn.

Zauważ, że w powyższym stwierdzeniu można znaleźć tylko wypadkową reakcji poziomych dwóch szyn R. Aby określić rozkład tej siły między szyną wewnętrzną i zewnętrzną, konieczne jest rozwiązanie problemu statycznie nieokreślonego przy użyciu dodatkowych warunków. Ponadto podczas ruchu wózka normalne reakcje szyny zewnętrznej i wewnętrznej mają różne wartości. Gwint szyny zewnętrznej jest bardziej obciążony.

Reakcja gwintu wewnętrznego na pojazd jest mniejsza i przy określonej prędkości może być nawet równa zeru.

W mechanice klasycznej stan ten nazywa się przewracanie się, chociaż w rzeczywistości nie ma jeszcze najazdu. Aby dowiedzieć się, kiedy nastąpi stan faktycznego wywrócenia, należy wziąć pod uwagę obrót samochodu wokół osi równoległej do mi przechodzącej przez punkt styku koła z szyną zewnętrzną przy t F 0. Takie zadanie ma znaczenie czysto akademickie, gdyż oczywiście niedopuszczalne jest doprowadzanie rzeczywistego systemu do takiego stanu.

Podkreślamy raz jeszcze, że wyjaśniając wszystkie zjawiska, poszliśmy z faktu ruch samochodu pod działaniem tylko rzeczywistych sił.

Zauważ, że różniczkowe równanie obrotu wokół osi m, nawet przy = 0, jest zapisane względem osi środkowej m. Wybranie tej osi w innym punkcie prowadzi do zmiany postaci lewej strony równania twierdzenie o chwili. Dlatego niemożliwe jest np. zapisanie tego równania w tej samej postaci względem osi przechodzącej przez punkt styku koła z szyną, choć wydawałoby się, że łatwiej byłoby znaleźć wartość normalnych reakcji w tym przypadku. Jednak takie podejście doprowadzi do złego wyniku: I osh \u003d M 1Sh1 \u003d mg | 2.

Można wykazać, że chodzi o to, aby równanie obrotu wokół osi przechodzącej np. przez punkt W celu, musi być napisany z uwzględnieniem momentu pędu ciała z translacyjnej części ruchu g x x ta s: J Cl? t+ t(g ks xx d)=^ M Kh.

Dlatego zamiast równania (c) w rzucie na oś St otrzymujemy wyrażenie

(8 )

/ Św? t+ t[g ks X CZ) t = -teB + N ipp 25,

gdzie w nawiasach podano wartość rzutu na oś St iloczynu wektorowego ? ks. ha s.

Pokażmy, że sukcesywne wdrażanie niezbędnych procedur pozwala nam znaleźć południowy zachód z otrzymanego równania). Z ryc. 3,50 pokazuje, że

g ks - bp + Hb oraz a c =

Obliczmy iloczyn wektorowy:

Uwzględnia się tutaj, że php = 0 oraz bxn = - t. Dlatego

tNU 2

2Lg/lp5',

gdzie znajdujemy reakcję szyny wewnętrznej:

który jest taki sam jak wynik uzyskany w wyrażeniu (/).

Kończąc prezentację problemu, zwracamy uwagę, że rozważenie samochodu w ruch wykorzystanie metod mechaniki geometrycznej Newtona pozwala rozwiązać problem bez wprowadzania fikcyjnej i tej bezwładności. Konieczne jest jedynie prawidłowe stosowanie wszystkich przepisów mechaniki. Należy jednak zauważyć, że zastosowanie tej metody może wiązać się z większą ilością obliczeń niż np. przy zastosowaniu zasady d'Alemberta.

Pokażmy teraz, jak rozwiązano ten sam problem, wykorzystując zasadę d'Alemberta w ogólnie przyjętej postaci metody kinetostatyki. W takim przypadku konieczne jest zastosowanie dodatkowego

nawlekanie fikcyjny siła bezwładności: G* = -ta sp = -t-P. i eki-

strona przystanki, tj. teraz przyspieszenie jego środka masy CZ= 0. Na ryc. 3,51 pokazuje takie system spoczynkowy. Wszystkie przyłożone do niego siły, w tym siła bezwładności, muszą spełniać równania kinetostatyczne równowaga, a nie ruch, jak w poprzednim przypadku.

Ta okoliczność pozwala nam znaleźć wszystkie nieznane wielkości z równanie bilansowe. W tym przypadku wybór postaci równań równowagi i punktów, względem których obliczane są momenty, staje się arbitralny. Ta ostatnia okoliczność pozwala nam znaleźć wszystkie niewiadome niezależnie od siebie:

I M. = oh I m,_= och

-n = około.

1 w poseł

Ryż. 3.51. Schemat obliczeniowy sił działających na załogę w takich samych warunkach jak na rys. 3,50 przy stosowaniu zasady d'Alembert

Łatwo zauważyć, że rozwiązania tego układu równań pokrywają się z odpowiadającymi im wzorami uzyskanymi za pomocą teorii dynamiki. Zatem w rozważanym przykładzie zastosowanie zasady d'Alemberta pozwoliło nieco uprościć rozwiązanie problemu.

Interpretując jednak wyniki należy mieć na uwadze, że dodatkowo przyłożona siła bezwładności jest fikcyjna w tym sensie, że w rzeczywistości nie ma takiej siły działającej na załogę. Ponadto siła ta nie spełnia trzeciego prawa Newtona – nie ma „drugiego końca” tej siły, tj. bez sprzeciwu.

Generalnie przy rozwiązywaniu wielu problemów mechaniki, w tym problemu poruszania się załogi po łuku, wygodnie jest zastosować zasadę d'Alemberta. Nie należy jednak kojarzyć żadnych zjawisk z akcja ta siła bezwładności. Na przykład powiedzieć, że ta odśrodkowa siła bezwładności dodatkowo obciąża szynę zewnętrzną i odciąża szynę wewnętrzną, a ponadto, że siła ta może spowodować przewrócenie się pojazdu. To nie tylko analfabetyzm, ale i bezsens.

Przypomnijmy raz jeszcze, że zewnętrzne siły działające na wózek po łuku i zmieniające stan jego ruchu to reakcje grawitacyjne, pionowe i poziome szyn;

? ruch wózka po łuku z wzniesieniem szyny zewnętrznej. Jak wykazano, procesy zachodzące podczas przejazdu pojazdu przez łuki bez podniesienia szyny zewnętrznej wiążą się z niepożądanymi konsekwencjami – nierównomiernym obciążeniem pionowym szyn, znaczną normalną odpowiedzią poziomą szyny na koło, czemu towarzyszy zwiększone zużycie zarówno kół jak i szyn, możliwość przewrócenia się przy przekroczeniu prędkości, ruch pewnej granicy itp.

W dużej mierze nieprzyjemnych zjawisk towarzyszących pokonywaniu zakrętów można uniknąć podnosząc szynę zewnętrzną nad wewnętrzną. W takim przypadku wózek będzie toczył się po powierzchni stożka pod kątem nachylenia tworzącej do osi poziomej (ryc. 3.52): f L \u003d arcsin (L / 25) lub pod małymi kątami

FA * L/2 S.

Ryż. 3.52.

z podwyższeniem szyny zewnętrznej

W przypadku stacjonarnym, kiedy V- const i φ A = const, możemy rozpatrywać ruch płaskiego odcinka wózka we własnej płaszczyźnie w taki sam sposób, jak przy wpasowaniu się w łuk bez podnoszenia szyny zewnętrznej.

Rozważ technikę rozwiązywania problemu za pomocą ogólnych twierdzeń o dynamice. Przyjmiemy, że środek masy pojazdu porusza się po łuku kołowym o promieniu p, chociaż w rozpatrywanym przypadku, ściśle rzecz biorąc, promień krzywizny osi toru różni się od promienia krzywizny trajektorii środka masy o niewielką ilość:

H grzech por L ~ H daleko.

Dlatego w porównaniu z p tę ostatnią wartość można pominąć. Ruch „płaskiej części” załogi zostanie przypisany towarzyszącym osiom SuSi x(patrz rys. 3.52), gdzie oś Nie] równolegle do płaszczyzny toru. Przy stałej prędkości ruchu rzut przyspieszenia środka masy na główną normalną trajektorii jego ruchu można zapisać w taki sam sposób, jak podczas poruszania się po łuku bez elewacji, tj. PI = V i/R.

Projekcje przyspieszenia na osi Su i Cz^ są równe odpowiednio:

a ux = a p sovf; I. \u003d „smy h.

Równania ruchu odcinka płaskiego oparte na twierdzeniu o ruchu środka masy oraz twierdzeniu o zmianie momentu pędu względem osi Cx są następujące:

Biorąc pod uwagę, że = 0, po podstawieniu otrzymujemy układ trzech liniowych równań algebraicznych w trzech niewiadomych F vi, N iiiw, N (zero:

/i-si Pf l = -mg cosV/ , + N min + N poza; P

-sof A = mgs ipf A + F ;

0 = + N ilw S-N oul S + F y H.

Należy zauważyć, że nachylenie płaszczyzny osi toru spowodowane podniesieniem szyny zewnętrznej prowadzi do zmiany rzutu przyspieszenia środka masy na oś Cy, a Cr, co jest związane ze zmianą reakcje szyn w porównaniu z reakcjami przy braku elewacji, gdy a. - 0, a l Te zmiany rzutów przyspieszeń można wytłumaczyć, jeśli weźmiemy pod uwagę obrót pojazdu wokół binormalnej przechodzącej przez środek krzywizny krzywej jako sumę geometryczną dwóch obrotów ω = ω (+ b) wokół osi?, y, przechodząc przez ten sam środek krzywej.

Podczas kompilowania układu równań (do) nie przewidywano małego kąta cp L. Jednak w praktycznym projekcie

wtf A ~ /g/25.

Zatem w przypadku małego f L układ równań do wyznaczania reakcji toru na pojazd ma postać:

= -g^+ LG,„ + M gsz,;

t- = /rr#--1- r, ;

O \u003d + L / -5 - / U 0I / 5 + R p N.

Rozwiązując te równania, otrzymujemy:

N...... =

mg + TU/G

Fri/77 tys I /77 „

• - +--+-n
• 2r 25 25

W szczególnym przypadku, gdy nie ma wzniesienia (ORAZ= 0), wyrażenia te pokrywają się z uzyskanymi wcześniej (/).

Przejdźmy teraz do analizy wyników rozwiązania problemu dla JEŚLI 0.

Należy zauważyć, że w tym przypadku zmniejsza się reakcja poprzeczna szyny skierowana w płaszczyźnie toru. Wyjaśnia to fakt, że w tworzeniu przyspieszenia środka masy w kierunku osi Su bierze udział nie tylko siła //, ale także składnik grawitacji. Co więcej, za pewną wartość I\u003d 25K 2 / p? siła R staje się zerem:

Mając na uwadze

t g - T,= X A,%>+ X ALE[

• (3.42)

Wartość w nawiasie nazywa się znakomite przyspieszenie. Stan, kiedy P = 0, odpowiada przypadkowi, w którym przyspieszenie normalne a jest tworzony tylko przez rzut na oś d>, siłę ciężkości załogi.

Podczas omawiania rozważanego problemu czasami pojawia się sofistyczne rozumowanie, że przyspieszenie PI jest skierowana poziomo, a grawitacja jest pionowa (patrz rys. 3.52) i dlatego nie może tworzyć rozpatrywanego przyspieszenia PI w R= 0. To rozumowanie zawiera błąd, ponieważ w tworzeniu przyspieszenia poziomego oprócz siły R, biorą udział również normalne reakcje D r w u i / V lub r. Suma tych dwóch reakcji przy małym f A jest równa 1H tp + 1U oig \u003d mg. Dlatego grawitacja nadal uczestniczy w tworzeniu przyspieszenia poziomego p, ale poprzez działanie reakcji Nm oraz SoiG

Omówmy teraz, jak zmieniają się normalne reakcje szyn prostopadłe do powierzchni toru.

Zauważ, że w przeciwieństwie do przypadku /7 = 0, reakcje wzrastają o tę samą wartość PT 2 I/2r28, co jest zaniedbywane, ponieważ ///25 - wartość jest niewielka. Jednak w ścisłym rozumowaniu pomiń ten termin dla wyrażeń i Północny zachód nie rób tego.

Kiedy -> -2-, tj. z dodatnim wybitnym przyspieszeniem, p 25

reakcja szyny wewnętrznej jest mniejsza niż szyny zewnętrznej, jednak różnica między nimi nie jest tak znacząca jak w przypadku I = 0.

Jeżeli wybitne przyspieszenie jest równe zeru, wartości reakcji stają się równe IV oSH = mg|2(dla małych ORAZ), tych. elewacja szyny zewnętrznej pozwala nie tylko na uzyskanie RU= 0, ale także wyrównać nacisk na szynę zewnętrzną i zewnętrzną. Okoliczności te umożliwiają uzyskanie bardziej równomiernych wartości zużycia dla obu szyn.

Jednak ze względu na podniesienie szyny zewnętrznej istnieje możliwość wystąpienia wartości ujemnej R", co w rzeczywistym układzie z wiązaniami nieutrzymującymi odpowiada procesowi przesuwania się pojazdu wzdłuż osi tak tych. wewnątrz krzywej. Ze względu na to samo nachylenie ścieżki może nastąpić redystrybucja reakcji Północny zachód oraz Nie och! dominujący M sh.

Zatem badania ruchu pojazdu po łuku po torze z wzniesieniem szyny zewnętrznej, przeprowadzone metodami mechaniki geometrycznej Newtona, pozwalają na analizę stanu układu bez dodatkowych hipotez terminologicznych. W rozumowaniu nie ma sił bezwładności.

Zastanówmy się teraz, jak ruch karetki po tej samej krzywej jest opisany za pomocą zasady d'Alemberta.

Stosując tę ​​zasadę w sformułowaniu metody kinetostatyki analogicznie jak w poprzednim przypadku, konieczne jest przyłożenie do środka masy normalnej (odśrodkowej) siły bezwładności n), skierowane w kierunku przeciwnym do normalnego przyspieszenia (rys. 3.53):

W której system ponownie przystanki, tj. załoga nie porusza się po torze. Dlatego wszystkie równania równowagi kinetostatycznej są poprawne:

I do= °-X r* = o.

/L^ypf, - G’ p sovf* + G U[ = 0;

- /L?S08f /; - BIPf, + +N^1

Podstawiając tu wartość, otrzymujemy ten sam układ równań, co układ (/) dla dowolnego f / (lub (do) w małych ORAZ.

Zatem zastosowanie obu metod prowadzi do dokładnie tych samych wyników. Układ równań ( do) i system uzyskany na podstawie zasady d'Alemberta są identyczne.

Należy jednak pamiętać, że w wyniki końcowe nie uwzględniają żadnych sił bezwładności. Jest to zrozumiałe, ponieważ zasada d'Alemberta, na której opiera się metoda kinetostatyki, jest tylko sposób zestawiania równań różniczkowych ruchu układu. Jednocześnie widzimy, że w rozważanym problemie zastosowanie zasady d'Alemberta umożliwiło uproszczenie obliczeń i może być zalecane do obliczeń praktycznych.

Podkreślamy jednak raz jeszcze, że w rzeczywistości nie ma mocy WT 2/p zastosowany do środka masy poruszającego się pojazdu. Dlatego wszystkie zjawiska związane z ruchem po krzywej należy wyjaśnić tak, jak zostało to zrobione na podstawie analizy wyników rozwiązywania układu (/), lub (do).

Na zakończenie zwracamy uwagę, że „metoda Newtona” i „metoda D'Alemberta” w rozważanym zagadnieniu zostały użyte jedynie do zestawienia różniczkowych równań ruchu. Jednocześnie na pierwszym etapie nie otrzymujemy żadnych informacji poza samymi równaniami różniczkowymi. Kolejne rozwiązanie otrzymanych równań i przeprowadzona analiza nie są związane ze sposobem uzyskania samych równań.

Ryż. 3.53.

• na zewnątrz- z angielskiego, zewnętrzny- zewnętrzny.
• Zajazd- z angielskiego, wewnętrzny- wnętrze.
• Zajazd- z angielskiego, wewnętrzny- wnętrze.

Siły bezwładności w dynamice punktu materialnego i układu mechanicznego

Siłą bezwładności punktu materialnego jest iloczynem masy punktu i jego przyspieszenia, wziętym ze znakiem minus, tj. Siły bezwładności w dynamice są używane w następujących przypadkach:

• 1. Podczas badania ruchu punktu materialnego w nieinercyjny(ruchomy) układ współrzędnych, czyli ruch względny. Są to siły bezwładności translacyjnej i Coriolisa, często nazywane siłami Eulera.
• 2. Przy rozwiązywaniu problemów dynamiki metodą kinetostatyki. Metoda ta oparta jest na zasadzie d'Alemberta, zgodnie z którą siły bezwładności punktu materialnego lub układu punktów materialnych poruszających się z pewnym przyspieszeniem bezwładnościowy system odniesienia. Te siły bezwładności nazywane są siłami d'Alemberta.
• 3. Siły bezwładności d'Alemberta są również wykorzystywane w rozwiązywaniu problemów dynamiki z wykorzystaniem zasady Lagrange'a-D'Alemberta lub ogólnego równania dynamiki.

Wyrażenie w rzutach na osie współrzędnych kartezjańskich

gdzie - moduły rzutów przyspieszeń punktowych na osi współrzędnych kartezjańskich.

Przy ruchu krzywoliniowym punktu siłę bezwładności można rozłożyć na styczną i normalną:; , - moduł przyspieszeń stycznych i normalnych; - promień krzywizny trajektorii;

V- prędkość punktowa.

zasada d'Alemberta dla punktu materialnego

Jeśli nie za darmo do punktu materialnego poruszającego się pod działaniem przyłożonych sił czynnych i sił reakcji wiązań przyłożyć jego siłę bezwładności, wówczas w każdej chwili powstały układ sił zostanie zrównoważony, czyli suma geometryczna tych sił będzie równa zeru.

mechaniczny materiał korpusu punktowego,

gdzie - wypadkowa sił czynnych przyłożonych do punktu; - wypadkowa reakcji wiązań nałożonych na punkt; siła bezwładności punktu materialnego. Uwaga: W rzeczywistości siła bezwładności punktu materialnego nie jest przyłożona do samego punktu, ale do ciała, które nadaje temu punktowi przyspieszenie.

zasada d'Alemberta dla układu mechanicznego

suma geometryczna główne wektory sił zewnętrznych działających na układ i siły bezwładności wszystkich punktów układu, a także suma geometryczna głównych momentów tych sił względem pewnego środka dla nieswobodnego układu mechanicznego w dowolnym momencie są równe zeru, tj.

Główny wektor i główny moment sił bezwładności ciała sztywnego

Wektor główny i główny moment sił bezwładności punktów układu wyznaczane są oddzielnie dla każdego ciała sztywnego wchodzącego w skład tego układu mechanicznego. Ich definicja opiera się na znanej ze statyki metodzie Poinsota o doprowadzeniu dowolnego układu sił do danego centrum.

Na podstawie tej metody siły bezwładności wszystkich punktów ciała w ogólnym przypadku jego ruchu można sprowadzić do środka masy i zastąpić wektorem głównym * i momentem głównym o środku masy. Są one określone przez formuły tj. dla każdego ruch ciała sztywnego, główny wektor sił bezwładności jest równy ze znakiem minus iloczynu masy ciała i przyspieszenia środka masy ciała; ,gdzie r kc -- wektor promienia k-ty punkt narysowany od środka masy. Wzory te w poszczególnych przypadkach ruchu ciała sztywnego mają postać:

1. Ruch progresywny.

2. Obrót ciała wokół osi przechodzącej przez środek masy

3. Ruch płasko-równoległy

Wprowadzenie do mechaniki analitycznej

Podstawowe pojęcia mechaniki analitycznej

Mechanika analityczna- obszar (sekcja) mechaniki, w której ruch lub równowaga systemów mechanicznych jest badana przy użyciu ogólnych, ujednoliconych metod analitycznych stosowanych dla dowolnych systemów mechanicznych.

Rozważmy najbardziej charakterystyczne koncepcje mechaniki analitycznej.

1. Połączenia i ich klasyfikacja.

Znajomości- wszelkie ograniczenia w postaci ciał lub wszelkie warunki kinematyczne nałożone na ruch punktów układu mechanicznego. Te ograniczenia można zapisać jako równania lub nierówności.

Linki geometryczne- połączenia, których równania zawierają tylko współrzędne punktów, czyli ograniczenia nakładane są tylko na współrzędne punktów. Są to połączenia w postaci brył, powierzchni, linii itp.

Połączenia różnicowe- połączenia, które nakładają ograniczenia nie tylko na współrzędne punktów, ale także na ich prędkość.

Połączenia holonomiczne -- wszystkie połączenia geometryczne i te różniczkowe, których równania można całkować.

Ograniczenia nieholonomiczne-- połączenia różnicowe niecałkowalne.

Łączność stacjonarna -- połączenia, których równania nie zawierają wyraźnie czasu.

Komunikacja niestacjonarna- połączenia, które zmieniają się w czasie, tj. których równania wyraźnie uwzględniają czas.

Powiązania dwustronne (trzymające) -- linki, które ograniczają ruch punktu w dwóch przeciwnych kierunkach. Takie połączenia opisują równania .

Jednostronny linki (niezatrzymujące) - linki, które ograniczają ruch tylko w jednym kierunku. Takie powiązania opisywane są przez nierówności

2. Możliwe (wirtualne) i rzeczywiste ruchy.

Możliwy lub wirtualny przemieszczenia punktów układu mechanicznego to wyimaginowane, nieskończenie małe przemieszczenia, na które pozwalają ograniczenia nałożone na układ.

Możliwy Przemieszczenie układu mechanicznego to zbiór równoczesnych możliwych przemieszczeń punktów układu zgodnych z więzami. Niech układ mechaniczny będzie mechanizmem korbowym.

Możliwy ruchomy punkt ALE jest przemieszczeniem, które ze względu na swoją małość uważane jest za prostoliniowe i skierowane prostopadle do OA.

Możliwy ruchomy punkt W(suwak) porusza się w prowadnicach. Możliwy ruch korby OA to obrót o kąt, a korbowód AB -- pod kątem wokół MCS (punkt R).

Ważny Przemieszczenia punktów układu nazywane są również przemieszczeniami elementarnymi, które pozwalają na nakładanie się połączeń, ale z uwzględnieniem początkowych warunków ruchu i sił działających na układ.

Liczba stopni wolność S systemu mechanicznego to liczba jego niezależnych możliwych przemieszczeń, które mogą być przekazywane do punktów systemu w ustalonym punkcie czasu.

Zasada możliwych przemieszczeń (zasada Lagrange'a)

Zasada możliwych przemieszczeń lub zasada Lagrange'a wyraża warunek równowagi dla niewolnego układu mechanicznego pod działaniem przyłożonych sił czynnych. Sformułowanie zasady.

Dla równowagi Dla niewolnego układu mechanicznego z dwustronnymi, stacjonarnymi, holonomicznymi i idealnymi ograniczeniami, który znajduje się w spoczynku pod działaniem przyłożonych sił czynnych, konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych była równa pociskowi na każdym możliwym przemieszczeniu układu z rozważanego położenia równowagi:

Ogólne równanie dynamiki (zasada Lagrange'a-D'Alemberta)

Ogólne równanie dynamiki stosuje się do badania ruchu nieswobodnych układów mechanicznych, których ciała lub punkty poruszają się z pewnymi przyspieszeniami.

Zgodnie z zasadą d'Alemberta, suma sił czynnych przyłożonych do układu mechanicznego, sił reakcji wiązań i sił bezwładności wszystkich punktów układu tworzy zrównoważony układ sił.

Jeżeli do takiego układu zastosujemy zasadę możliwych przemieszczeń (zasadę Lagrange'a), to otrzymamy połączoną zasadę Lagrange'a-D'Alemberta lub ogólne równanie dynamiki.sformułowanie tej zasady.

Kiedy poruszasz się nie swobodnie układu mechanicznego z więzami dwukierunkowymi, idealnymi, stacjonarnymi i holonomicznymi, suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych i sił bezwładności przyłożonych do punktów układu na każdym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru:

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju

równania Lagrange'a drugi rodzaj to równania różniczkowe ruchu układu mechanicznego we współrzędnych uogólnionych.

Dla systemu z S stopnie swobody, równania te mają postać

Różnica całkowita pochodna czasowa cząstkowej pochodnej energii kinetycznej układu względem uogólnionej prędkości i cząstkowej pochodnej energii kinetycznej względem uogólnionej współrzędnej jest równa uogólnionej sile.

Równania Lagrange'a dla konserwatywnych układów mechanicznych. Współrzędne cykliczne i całki

Dla układu zachowawczego siły uogólnione są określane w kategoriach energii potencjalnej układu według wzoru

Następnie równania Lagrange'a są przepisywane w postaci

Ponieważ energia potencjalna układu jest funkcją tylko uogólnionych współrzędnych, tj. Mając to na uwadze, przedstawiamy w postaci gdzie T - P \u003d L - Funkcja Lagrange'a (potencjał kinetyczny). Wreszcie równania Lagrange'a dla systemu konserwatywnego

Stabilność położenia równowagi układu mechanicznego

Kwestia stabilności położenia równowagi układów mechanicznych ma bezpośrednie znaczenie w teorii oscylacji układów.

Pozycja równowagi może być stabilna, niestabilna i obojętna.

zrównoważony położenie równowagi - położenie równowagi, w którym punkty układu mechanicznego wyprowadzone z tego położenia przesuwają się następnie pod działaniem sił w bezpośrednim sąsiedztwie w pobliżu ich położenia równowagi.

Ten ruch będzie miał różny stopień powtarzania w czasie, tj. system wykona ruch oscylacyjny.

nietrwały pozycja równowagi - pozycja równowagi, od której przy dowolnie małym odchyleniu punktów układu w przyszłości działające siły będą dalej usuwać punkty z ich pozycji równowagi .

obojętny pozycja równowagi - pozycja równowagi, gdy przy każdym niewielkim początkowym odchyleniu punktów układu od tej pozycji w nowym położeniu układ również pozostaje w równowadze. .

Istnieją różne metody określania stabilnej pozycji równowagi układu mechanicznego.

Rozważ definicję równowagi stabilnej w oparciu o Twierdzenia Lagrange'a-Dirichleta

Jeśli na pozycji równowaga konserwatywnego układu mechanicznego z idealnymi i stacjonarnymi ograniczeniami, jego energia potencjalna ma minimum, to ta pozycja równowagi jest stabilna.

Zjawisko uderzenia. Siła uderzenia i impuls uderzenia

Zjawisko, w którym prędkości punktów ciała zmieniają się o skończoną wartość w pomijalnie krótkim czasie, nazywa się cios. Ten okres czasu nazywa się czas uderzenia. Podczas zderzenia siła uderzenia działa przez nieskończenie krótki czas. siła uderzeniowa nazywana jest siłą, której pęd podczas uderzenia jest wartością skończoną.

Jeśli siła skończona modulo działa w czasie, rozpoczynając swoje działanie w określonym momencie , wtedy jego pęd ma postać

Również, gdy siła uderzenia działa na punkt materialny, możemy powiedzieć, że:

działanie sił niechwilowych podczas uderzenia można pominąć;

ruch punktu materialnego podczas uderzenia można zignorować;

wynik działania siły uderzenia na punkt materialny wyraża się w końcowej zmianie podczas oddziaływania jego wektora prędkości.

Twierdzenie o zmianie pędu układu mechanicznego po uderzeniu

zmiana pędu układu mechanicznego podczas uderzenia jest równa geometrycznej sumie wszystkich zewnętrznych impulsów uderzeniowych przyłożonych do punktów układów, gdzie - wielkość ruchu układu mechanicznego w momencie zakończenia działania sił uderzenia, - wielkość ruchu układu mechanicznego w momencie, gdy zaczynają działać siły uderzenia, - zewnętrzny impuls uderzeniowy.

Wszystkie rozważane dotychczas metody rozwiązywania problemów dynamiki opierają się na równaniach wynikających albo bezpośrednio z praw Newtona, albo z ogólnych twierdzeń będących konsekwencją tych praw. Ta ścieżka nie jest jednak jedyna. Okazuje się, że równania ruchu lub warunki równowagi układu mechanicznego można otrzymać przyjmując inne ogólne twierdzenia, zwane zasadami mechaniki, zamiast praw Newtona. W wielu przypadkach zastosowanie tych zasad umożliwia, jak zobaczymy, znalezienie skuteczniejszych metod rozwiązywania odpowiednich problemów. W tym rozdziale zostanie rozważona jedna z ogólnych zasad mechaniki, zwana zasadą d'Alemberta.

Załóżmy, że mamy system składający się z n punkty materialne. Wyróżnijmy niektóre punkty układu z masą . Pod wpływem przyłożonych do niego sił zewnętrznych i wewnętrznych (które obejmują zarówno siły czynne, jak i reakcje sprzężenia) punkt otrzymuje pewne przyspieszenie względem bezwładnościowego układu odniesienia.

Weźmy pod uwagę ilość

o wymiarze siły. Wielkość wektorowa równa w wartości bezwzględnej iloczynowi masy punktu i jego przyspieszenia i skierowana przeciwnie do tego przyspieszenia nazywana jest siłą bezwładności punktu (czasami siłą bezwładności d'Alemberta).

Okazuje się wtedy, że ruch punktu ma następującą ogólną własność: jeżeli w każdym momencie dodamy siłę bezwładności do sił faktycznie działających na punkt, to otrzymany układ sił zostanie zrównoważony, tj. Wola

.

Wyrażenie to wyraża zasadę d'Alemberta dla jednego punktu materialnego. Łatwo sprawdzić, czy jest to równoważne drugiemu prawu Newtona i odwrotnie. Rzeczywiście, drugie prawo Newtona dla omawianego punktu daje: . Przenosząc termin tutaj na prawą stronę równości, dochodzimy do ostatniej relacji.

Powtarzając powyższe rozumowanie w odniesieniu do każdego z punktów systemu, dochodzimy do następującego wyniku, który wyraża zasadę d'Alemberta dla systemu: jeśli w dowolnym momencie do każdego z punktów układu, oprócz działających na niego sił zewnętrznych i wewnętrznych, przyłożone zostaną odpowiednie siły bezwładności, to powstały układ sił będzie w równowadze i wszystkie równania można do niego zastosować statykę.

Znaczenie zasady d'Alemberta polega na tym, że gdy stosuje się ją bezpośrednio do problemów dynamiki, równania ruchu układu są zestawiane w postaci dobrze znanych równań równowagi; co zapewnia jednolite podejście do rozwiązywania problemów i zwykle znacznie upraszcza odpowiednie obliczenia. Ponadto, w połączeniu z zasadą możliwych przemieszczeń, o której będzie mowa w następnym rozdziale, zasada d'Alemberta pozwala uzyskać nową ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki.

Stosując zasadę d'Alemberta należy pamiętać, że na punkt układu mechanicznego, którego ruch jest badany, działają tylko siły zewnętrzne i wewnętrzne oraz powstające w wyniku wzajemnego oddziaływania punktów układu mechanicznego. system ze sobą i z ciałami, które nie są objęte systemem; pod działaniem tych sił punkty układu i poruszają się z odpowiednimi przyspieszeniami. Siły bezwładności, o których mowa w zasadzie d'Alemberta, nie działają na poruszające się punkty (w przeciwnym razie punkty te byłyby w spoczynku lub poruszałyby się bez przyspieszenia, a wtedy same siły bezwładności by nie istniały). Wprowadzenie sił bezwładności to tylko technika, która pozwala układać równania dynamiki za pomocą prostszych metod statyki.

Ze statyki wiadomo, że geometryczna suma sił w równowadze i suma ich momentów względem dowolnego środka O są równe zeru i zgodnie z zasadą krzepnięcia dotyczy to sił działających nie tylko na ciało sztywne, ale także na dowolny układ zmienny. Wtedy, zgodnie z zasadą d'Alemberta, tak powinno być.

zasada d'Alemberta

Główna praca Zh.L. d'Alembert(1717-1783) - "Traktat o dynamice" - wydany w 1743 r.

Pierwsza część traktatu poświęcona jest konstrukcji statyki analitycznej. Tutaj d'Alembert formułuje „podstawowe zasady mechaniki”, wśród których znajdują się „zasada bezwładności”, „zasada dodawania ruchów” oraz „zasada równowagi”.

"Zasada bezwładności" sformułowana jest oddzielnie dla przypadku spoczynku i dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. „Siła bezwładności – pisze d'Alembert, ja wraz z Newtonem nazywam właściwością ciała utrzymywaniem stanu, w jakim się znajduje”.

„Zasada dodawania ruchów” to prawo dodawania prędkości i sił zgodnie z zasadą równoległoboku. W oparciu o tę zasadę d'Alembert rozwiązuje problemy statyki.

„Zasada równowagi” jest sformułowana jako następujące twierdzenie: „Jeżeli dwa ciała poruszające się z prędkościami odwrotnie proporcjonalnymi do ich mas mają przeciwne kierunki, tak że jedno ciało nie może się poruszać bez przemieszczania się z miejsca na drugie, wówczas te ciała będą w równowadze ”. W drugiej części traktatu d'Alembert zaproponował ogólną metodę zestawiania różniczkowych równań ruchu dla dowolnych układów materialnych, opartą na sprowadzeniu zagadnienia dynamiki do statyki. Sformułował regułę dla dowolnego układu punktów materialnych, zwaną później „zasadą d'Alemberta”, zgodnie z którą siły przyłożone do punktów układu można rozłożyć na „działające”, czyli takie, które powodują przyspieszenie system i „zagubiony”, niezbędny do równowagi systemu. d'Alembert uważa, że ​​siły odpowiadające „utraconemu” przyspieszeniu tworzą taką kombinację, która nie wpływa na rzeczywiste zachowanie układu. Innymi słowy, jeśli do układu zostanie przyłożony tylko zestaw „straconych” sił, wówczas układ pozostanie w spoczynku. Współczesne sformułowanie zasady d'Alemberta podał M. E. Żukowski w swoim „Kursie Mechaniki Teoretycznej”: „Jeśli w dowolnym momencie system zostanie zatrzymany, to się porusza, a my dodajemy do tego, oprócz napędzania sił, wszystkie siły bezwładności odpowiadające danemu punktowi w czasie, wówczas będzie obserwowana równowaga, podczas gdy wszystkie siły nacisku, napięcia itp. rozwijające się między częściami układu w takiej równowadze będą siłami rzeczywistymi ciśnienie, napięcie itp., gdy układ porusza się w rozważanym momencie”. Należy zauważyć, że sam d'Alembert, przedstawiając swoją zasadę, nie odwoływał się ani do pojęcia siły (biorąc pod uwagę, że nie jest ono wystarczająco jasne, aby znaleźć się na liście podstawowych pojęć mechaniki), a tym bardziej do pojęcia siły bezwładności. Przedstawienie zasady d'Alemberta za pomocą terminu „siła” należy do Lagrange'a, który w swojej „Mechaniki analitycznej” dał jej analityczny wyraz w postaci zasady możliwych przemieszczeń: był nim Joseph Louis Lagrange (1736-1813) i zwłaszcza Leonardo Euler (1707-1783), który odegrał zasadniczą rolę w ostatecznym przekształceniu mechaniki w mechanikę analityczną.

Mechanika analityczna punktu materialnego i dynamika ciała sztywnego Eulera

Leonarda Eulera- jeden z wybitnych naukowców, którzy wnieśli wielki wkład w rozwój nauk fizycznych i matematycznych w XVIII wieku. Jego praca uderza w wnikliwość myśli badawczej, uniwersalność talentu i ogromną ilość pozostawionego dziedzictwa naukowego.

Już w pierwszych latach swojej działalności naukowej w Petersburgu (Euler przybył do Rosji w 1727 r.) opracował program wspaniałego i wszechstronnego cyklu prac w dziedzinie mechaniki. Dodatek ten znajduje się w jego dwutomowej pracy „Mechanika czy nauka o ruchu, ujęta analitycznie” (1736). Mechanika Eulera była pierwszym systematycznym kursem mechaniki Newtona. Zawierała podstawy dynamiki punktu - przez mechanikę Euler rozumiał naukę o ruchu, w przeciwieństwie do nauki o równowadze sił lub statyce. Cechą charakterystyczną „Mechaniki” Eulera było szerokie zastosowanie nowego aparatu matematycznego - rachunku różniczkowego i całkowego. Opisując pokrótce główne prace dotyczące mechaniki, które pojawiły się na przełomie XVII i XVIII wieku, Euler zwrócił uwagę na son-tethiko-geometryczny styl ich pracy, co przysporzyło czytelnikom wiele pracy. W ten sposób powstały Newton's Elements i późniejsza Foronomia (1716) J. Hermana. Euler zwraca uwagę, że prace Hermana i Newtona są stwierdzane „zgodnie ze zwyczajem starożytnych za pomocą syntetycznych dowodów geometrycznych” bez użycia analizy, „jedynie dzięki temu można osiągnąć pełne zrozumienie tych rzeczy”.

Metoda syntetyczno-geometryczna nie miała charakteru ogólnego, ale wymagała z reguły indywidualnych konstrukcji dotyczących każdego zadania z osobna. Euler przyznaje, że po przestudiowaniu „Foronomii” i „Początków”, jak mu się wydawało, „dosyć wyraźnie rozumiał rozwiązania wielu problemów, ale nie potrafił już rozwiązywać problemów, które w pewnym stopniu od nich odbiegały”. Następnie próbował „wyizolować analizę tej syntetycznej metody i analitycznie przedstawić te same propozycje dla własnej korzyści”. Euler zauważa, że ​​dzięki temu znacznie lepiej zrozumiał istotę problemu. Opracował całkowicie nowe metody badania problemów mechaniki, stworzył jej aparat matematyczny i znakomicie zastosował go do wielu złożonych problemów. Dzięki Eulerowi geometria różniczkowa, równania różniczkowe i rachunek wariacyjny stały się narzędziami mechaniki. Metoda Eulera, rozwinięta później przez jego następców, była jednoznaczna i adekwatna do tematu.

Praca Eulera dotycząca dynamiki ciał sztywnych „Teoria ruchu ciał sztywnych” zawiera obszerne wprowadzenie sześciu rozdziałów, w których ponownie nakreślona jest dynamika punktu. We wprowadzeniu wprowadzono szereg zmian: w szczególności równania ruchu punktu zapisuje się za pomocą rzutowania na oś ustalonych współrzędnych prostokątnych (a nie na styczną, główną normalną i normalną, czyli oś nieruchomego naturalnego trójścianu związanego z punktami trajektorii, jak w "Mechanice" .

Po wstępie „Traktat o ruchu ciał sztywnych" składa się z 19 rozdziałów. Traktat oparty jest na zasadzie d'Alemberta. Krótko mówiąc o ruchu postępowym ciała sztywnego i wprowadzając pojęcie środka bezwładności Euler uwzględnia obroty wokół ustalonej osi i wokół ustalonego punktu.Oto wzory na rzuty chwilowej prędkości kątowej, przyspieszenia kątowego na oś współrzędnych, tzw. opisuje bezwładność, po czym Euler przechodzi do dynamiki ciała sztywnego właściwego. Wyprowadza równania różniczkowe dla obrotu ciała ciężkiego wokół jego nieruchomego środka ciężkości w przy braku sił zewnętrznych i rozwiązuje je dla prostego konkretnego przypadku. W ten sposób powstał znany i równie ważny problem w teorii żyroskopu dotyczący obrotu ciała sztywnego wokół punktu stałego. teoria stabilności i teoria małych drgań, mechanika nieba itd.

Osiem lat po opublikowaniu Mechaniki Euler wzbogacił naukę o pierwsze precyzyjne sformułowanie zasady najmniejszego działania. Sformułowanie zasady najmniejszego działania, które należało do Maupertuis, było jeszcze bardzo niedoskonałe. Pierwsze naukowe sformułowanie zasady należy do Eulera. Swoją zasadę sformułował następująco: całka ma najmniejszą wartość dla trajektorii rzeczywistej, jeśli weźmiemy pod uwagę

ostatnia z grupy możliwych trajektorii, które mają wspólną pozycję początkową i końcową i są prowadzone z tą samą wartością energetyczną. Euler dostarcza swojej zasadzie dokładnego matematycznego wyrażenia i rygorystycznego uzasadnienia dla jednego punktu materialnego, testuje działanie sił centralnych. W latach 1746-1749 s. Euler napisał kilka prac na temat figur równowagi elastycznej nici, w których zasada najmniejszego działania została zastosowana do problemów, w których działają siły sprężyste.

W ten sposób do 1744 r. mechanika została wzbogacona o dwie ważne zasady: zasadę d'Alemberta i zasadę najmniejszego działania Maupertuis-Eulera. W oparciu o te zasady Lagrange zbudował system mechaniki analitycznej.