Pochodna funkcji zespolonej. Przykłady rozwiązań

W tej lekcji dowiemy się, jak znaleźć pochodna funkcji zespolonej. Lekcja jest logiczną kontynuacją lekcji Jak znaleźć pochodną?, na którym przeanalizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z zasadami różniczkowania i niektórymi technicznymi metodami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry z pochodnymi funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastawić się na poważny nastrój – materiał nie jest łatwy, ale nadal postaram się przedstawić go prosto i przejrzyście.

W praktyce bardzo często masz do czynienia z pochodną funkcji złożonej, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnych.

Patrzymy w tabeli na regułę (nr 5) różnicowania funkcji złożonej:

Rozumiemy. Przede wszystkim spójrzmy na notację. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona).

! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Ci zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie tylko literę „x”, ale całe wyrażenie, więc znalezienie pochodnej bezpośrednio z tabeli nie zadziała. Zauważamy również, że nie da się tu zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:

W tym przykładzie, już z moich wyjaśnień, intuicyjnie widać, że funkcja jest funkcją złożoną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzanie) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok, które należy wykonać, gdy wyznaczamy pochodną funkcji zespolonej to zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. Ale co, jeśli to nie jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia za pomocą kalkulatora (zamiast jednego może być dowolna).

Co najpierw obliczamy? Głównie będziesz musiał wykonać następującą akcję: , więc wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie musisz znaleźć, więc sinus - będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my ROZUMIESZ W przypadku funkcji wewnętrznych i zewnętrznych nadszedł czas na zastosowanie reguły różnicowania funkcji złożonych.

Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się tak - ujmujemy wyrażenie w nawiasy i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Najpierw znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), patrzymy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważamy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Zauważ, że wewnętrzna funkcja się nie zmieniła, nie dotykamy tego.

Cóż, to dość oczywiste

Ostateczny efekt zastosowania formuły wygląda tak:

Współczynnik stały jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:

Jeśli jest jakieś nieporozumienie, zapisz decyzję na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zawsze piszemy:

Dowiadujemy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (mentalnie lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia dla . Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, jaka jest podstawa:, co oznacza, że ​​wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy następuje potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie ze wzorem najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Poszukujemy pożądanej formuły w tabeli:. Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej jest następujący:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna się nie zmienia:

Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby skonsolidować rozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuję to rozgryźć samodzielnie, rozum, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy rdzeń i aby go odróżnić, należy go przedstawić jako stopień. W ten sposób najpierw sprowadzamy funkcję do odpowiedniej postaci do zróżnicowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz również sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy uzyska się nieporęczne długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie wyglądałoby na zabawną perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z zasady różniczkowania ilorazu , ale o wiele bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej przez zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - wyjmujemy znak minus pochodnej i podnosimy cosinus do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej zasady:

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, cofamy cosinus w dół:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Przy okazji spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji złożonej. W praktycznych zadaniach często można znaleźć pochodne, w których, jak zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżone są jednocześnie 3 lub nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próbujemy ocenić wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej . Jak moglibyśmy liczyć na kalkulator?

Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że ​​łuk jest najgłębszym zagnieżdżeniem:

Ten arcus sinus jedności powinien być następnie podniesiony do kwadratu:

I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa zagnieżdżenia, podczas gdy najbardziej wewnętrzna funkcja to arcus sinus, a najbardziej zewnętrzna funkcja to funkcja wykładnicza.

Zaczynamy decydować

Zgodnie z regułą najpierw musisz obliczyć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, które nie neguje ważności tego wzoru. Tak więc wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej jest następujący:

Pod kreską znowu mamy trudną funkcję! Ale już jest łatwiej. Łatwo zauważyć, że funkcją wewnętrzną jest arcus sinus, a funkcją zewnętrzną jest stopień. Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej należy najpierw obliczyć pochodną stopnia.

Podano dowód wzoru na pochodną funkcji zespolonej. Rozważane są szczegółowo przypadki, w których złożona funkcja zależy od jednej lub dwóch zmiennych. Uogólnia się na przypadek dowolnej liczby zmiennych.

Tutaj przedstawiamy wyprowadzenie następujących wzorów na pochodną funkcji zespolonej.
Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.
Jeśli następnie
.

Pochodna funkcji zespolonej jednej zmiennej

Niech funkcja zmiennej x będzie reprezentowana jako funkcja złożona w postaci:
,
gdzie i są jakieś funkcje. Funkcja jest różniczkowalna dla pewnej wartości zmiennej x . Funkcja jest różniczkowalna dla wartości zmiennej.
Wówczas funkcja zespolona (złożona) jest różniczkowalna w punkcie x, a jej pochodną określa wzór:
(1) .

Wzór (1) można również zapisać w następujący sposób:
;
.

Dowód

Wprowadźmy następującą notację.
;
.
Tutaj jest funkcja zmiennych i , jest funkcja zmiennych i . Ale pominiemy argumenty tych funkcji, aby nie zaśmiecać obliczeń.

Ponieważ funkcje i są różniczkowalne odpowiednio w punktach x i , to w tych punktach występują pochodne tych funkcji, które są następującymi granicami:
;
.

Rozważ następującą funkcję:
.
Dla stałej wartości zmiennej u , jest funkcją . To oczywiste, że
.
Następnie
.

Ponieważ funkcja jest funkcją różniczkowalną w punkcie , to w tym punkcie jest ciągła. Więc
.
Następnie
.

Teraz znajdujemy pochodną.

.

Formuła została sprawdzona.

Konsekwencja

Jeśli funkcję zmiennej x można przedstawić jako funkcję złożoną funkcji złożonej
,
wtedy jego pochodna jest określona wzorem
.
Tutaj , i jest kilka różniczkowalnych funkcji.

Aby udowodnić ten wzór, obliczamy kolejno pochodną zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej.
Rozważ złożoną funkcję
.
Jego pochodna
.
Rozważ oryginalną funkcję
.
Jego pochodna
.

Pochodna funkcji zespolonej w dwóch zmiennych

Teraz niech złożona funkcja zależy od kilku zmiennych. Najpierw rozważ przypadek złożonej funkcji dwóch zmiennych.

Niech funkcja zależna od zmiennej x będzie reprezentowana jako złożona funkcja dwóch zmiennych w postaci:
,
gdzie
i istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x ;
jest funkcją dwóch zmiennych, różniczkowalną w punkcie , . Wtedy funkcja zespolona jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu i ma pochodną, ​​którą określa wzór:
(2) .

Dowód

Ponieważ funkcje i są różniczkowalne w punkcie , są one określone w pewnym sąsiedztwie tego punktu, są w tym punkcie ciągłe i w punkcie istnieją ich pochodne, które są następującymi granicami:
;
.
Tutaj
;
.
Ze względu na ciągłość tych funkcji w jednym punkcie mamy:
;
.

Ponieważ funkcja jest różniczkowalna w punkcie , jest zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie tego punktu, jest w tym punkcie ciągła, a jej przyrost można zapisać w następujący sposób:
(3) .
Tutaj

- inkrementacja funkcji, gdy jej argumenty są zwiększane o wartości i ;
;

- pochodne cząstkowe funkcji względem zmiennych i .
Dla stałych wartości i , oraz istnieją funkcje zmiennych i . Mają tendencję do zerowania jako i :
;
.
Od i , wtedy
;
.

Przyrost funkcji:

. :
.
Zastępca (3):



.

Formuła została sprawdzona.

Pochodna złożonej funkcji kilku zmiennych

Powyższe wyprowadzenie można łatwo uogólnić na przypadek, gdy liczba zmiennych funkcji zespolonej jest większa niż dwa.

Na przykład, jeśli f jest funkcja trzech zmiennych, następnie
,
gdzie
, oraz istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x ;
jest funkcją różniczkowalną, w trzech zmiennych, w punkcie , , .
Następnie z definicji różniczkowalności funkcji mamy:
(4)
.
Ponieważ, ze względu na ciągłość,
; ; ,
następnie
;
;
.

Dzieląc (4) przez i przechodząc do granicy otrzymujemy:
.

I na koniec rozważ najbardziej ogólny przypadek.
Niech funkcja zmiennej x będzie reprezentowana jako złożona funkcja n zmiennych w postaci:
,
gdzie
istnieją funkcje różniczkowalne dla pewnej wartości zmiennej x ;
- funkcja różniczkowalna n zmiennych w punkcie
, , ... , .
Następnie
.

Jeśli zastosujemy się do definicji, to pochodną funkcji w punkcie jest granica współczynnika przyrostu funkcji Δ tak do przyrostu argumentu Δ x:

Wszystko wydaje się jasne. Ale spróbuj obliczyć za pomocą tego wzoru, powiedzmy, pochodną funkcji f(x) = x 2 + (2x+ 3) · mi x grzech x. Jeśli robisz wszystko z definicji, to po kilku stronach obliczeń po prostu zaśniesz. Dlatego istnieją prostsze i skuteczniejsze sposoby.

Na początek zauważamy, że tak zwane funkcje elementarne można odróżnić od całej różnorodności funkcji. Są to stosunkowo proste wyrażenia, których pochodne od dawna są obliczane i wprowadzane do tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje podstawowe to wszystkie wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji muszą być znane na pamięć. Co więcej, zapamiętanie ich nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Tak więc pochodne funkcji elementarnych:

Nazwać	Funkcjonować	Pochodna
Stały	f(x) = C, C ∈ R	0 (tak, tak, zero!)
Stopień z wykładnikiem wymiernym	f(x) = x n	n · x n − 1
Zatoka	f(x) = grzech x	sałata x
Cosinus	f(x) = cos x	− grzech x(minus sinus)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
naturalny logarytm	f(x) = log x	1/x
Logarytm arbitralny	f(x) = log a x	1/(x ja a)
Funkcja wykładnicza	f(x) = mi x	mi x(nic się nie zmieniło)

Jeżeli funkcja elementarna jest mnożona przez dowolną stałą, to łatwo jest również obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · f)’ = C · f ’.

Ogólnie ze znaku pochodnej można pobrać stałe. Na przykład:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Oczywiście podstawowe funkcje można dodawać do siebie, mnożyć, dzielić i wiele więcej. W ten sposób pojawią się nowe funkcje, już nie bardzo elementarne, ale też różniczkowalne według określonych reguł. Zasady te omówiono poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech funkcje f(x) oraz g(x), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć podstawowe funkcje omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tak więc pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie istnieje pojęcie „odejmowania”. Istnieje pojęcie „elementu negatywnego”. Dlatego różnica f − g można przepisać jako sumę f+ (−1) g, a następnie pozostaje tylko jedna formuła - pochodna sumy.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcjonować f(x) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, a więc:

f ’(x) = (x 2+ grzech x)’ = (x 2)' + (grzech x)’ = 2x+ cosx;

Podobnie argumentujemy dla funkcji g(x). Tylko są już trzy wyrazy (z punktu widzenia algebry):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Odpowiedź:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wielu ludzi wierzy, że jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk"\u003e równe iloczynowi pochodnych. Ale figi do ciebie! Pochodna produktu jest obliczana przy użyciu zupełnie innej formuły. Mianowicie:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formuła jest prosta, ale często zapominana. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są niepoprawnie rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: f(x) = x 3 cox; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · mi x .

Funkcjonować f(x) jest iloczynem dwóch funkcji elementarnych, więc wszystko jest proste:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grzech x)

Funkcjonować g(x) pierwszy mnożnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat nie zmienia się od tego. Oczywiście pierwszy mnożnik funkcji g(x) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · mi x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · mi x + (x 2 + 7x− 7) ( mi x)’ = (2x+ 7) · mi x + (x 2 + 7x− 7) · mi x = mi x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · mi x = x(x+ 9) · mi x .

Odpowiedź:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grzech x);
g ’(x) = x(x+ 9) · mi x .

Zauważ, że w ostatnim kroku pochodna jest faktoryzowana. Formalnie nie jest to konieczne, ale większość pochodnych nie jest obliczana samodzielnie, ale w celu zbadania funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna będzie równa zeru, jej znaki zostaną znalezione i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli istnieją dwie funkcje f(x) oraz g(x), oraz g(x) ≠ 0 na interesującym nas zbiorze możemy zdefiniować nową funkcję h(x) = f(x)/g(x). Dla takiej funkcji możesz również znaleźć pochodną:

Nie słaby, prawda? Skąd wziął się minus? Czemu g 2? Ale tak! To jedna z najbardziej skomplikowanych formuł – nie da się tego rozgryźć bez butelki. Dlatego lepiej przestudiować to na konkretnych przykładach.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka są funkcje elementarne, więc wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:

Tradycyjnie dzielimy licznik na czynniki - to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie musi być formułą o długości pół kilometra. Na przykład wystarczy przyjąć funkcję f(x) = grzech x i zastąp zmienną x, powiedzmy, wł. x 2+ln x. Okazuje się f(x) = grzech ( x 2+ln x) jest funkcją złożoną. Ma też pochodną, ​​ale nie uda się jej znaleźć zgodnie z zasadami omówionymi powyżej.

Jak być? W takich przypadkach zastąpienie zmiennej i wzór na pochodną funkcji zespolonej pomaga:

f ’(x) = f ’(t) · t', jeśli x jest zastąpiony przez t(x).

Z reguły sytuacja przy zrozumieniu tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż przy pochodnej ilorazu. Dlatego lepiej też wyjaśnić to konkretnymi przykładami, ze szczegółowym opisem każdego kroku.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: f(x) = mi 2x + 3 ; g(x) = grzech ( x 2+ln x)

Zwróć uwagę, że jeśli w funkcji f(x) zamiast wyrażenia 2 x+ 3 będzie łatwe x, to otrzymujemy funkcję elementarną f(x) = mi x. Dlatego dokonujemy podstawienia: niech 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = mi t. Szukamy pochodnej funkcji zespolonej według wzoru:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

A teraz - uwaga! Wykonywanie zamiany odwrotnej: t = 2x+ 3. Otrzymujemy:

f ’(x) = mi t · t ’ = mi 2x+ 3 (2 x + 3)’ = mi 2x+ 3 2 = 2 mi 2x + 3

Spójrzmy teraz na funkcję g(x). Oczywiście wymaga wymiany. x 2+ln x = t. Mamy:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grzech t)’ · t' = cos t · t ’

Wymiana odwrotna: t = x 2+ln x. Następnie:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To wszystko! Jak widać z ostatniego wyrażenia, cały problem sprowadza się do obliczenia pochodnej sumy.

Odpowiedź:
f ’(x) = 2 mi 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) bo ( x 2+ln x).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „udar”. Na przykład skok sumy jest równy sumie uderzeń. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych uderzeń zgodnie z omówionymi powyżej regułami. Jako ostatni przykład wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(x n)’ = n · x n − 1

Niewielu wie o tym w roli n może być liczbą ułamkową. Na przykład korzeń to x 0,5 . Ale co, jeśli pod korzeniem jest coś podstępnego? Znowu okaże się złożona funkcja - lubią dawać takie konstrukcje w testach i egzaminach.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszmy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy podstawienia: niech x 2 + 8x − 7 = t. Znajdujemy pochodną według wzoru:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Dokonujemy zamiany odwrotnej: t = x 2 + 8x− 7. Mamy:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Na koniec wróćmy do korzeni:

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 załącznikami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli zostaną zrozumiane (ktoś cierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji zespolonej przede wszystkim konieczne jest Prawidłowy ZROZUMIEĆ INWESTYCJE. W przypadkach, w których pojawiają się wątpliwości, przypominam o przydatnym triku: bierzemy na przykład wartość eksperymentalną „x” i próbujemy (w myślach lub szkicowo) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, aby suma była najgłębszym zagnieżdżeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie kostka cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie, najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Formuła różniczkowania złożonej funkcji są stosowane w odwrotnej kolejności, od najbardziej zewnętrznej funkcji do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wydaje się być bezbłędny:

1) Bierzemy pochodną pierwiastka kwadratowego.

2) Bierzemy pochodną różnicy stosując regułę

3) Pochodna trójki jest równa zero. W drugim członie bierzemy pochodną stopnia (sześcian).

4) Bierzemy pochodną cosinusa.

6) I na koniec bierzemy pochodną najgłębszego zagnieżdżenia .

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz cały urok i prostotę analizowanej pochodnej. Zauważyłem, że lubią dawać podobne rzeczy na egzaminie, aby sprawdzić, czy uczeń rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.

Poniższy przykład dotyczy rozwiązania samodzielnego.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Podpowiedź: Najpierw stosujemy zasady liniowości oraz zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść do czegoś bardziej kompaktowego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że w przykładzie podany jest iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw przyjrzymy się, ale czy możliwe jest przekształcenie iloczynu trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w produkcie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w tym przykładzie wszystkie funkcje są różne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sukcesywnie zastosować zasadę różnicowania produktów dwa razy

Sztuczka polega na tym, że dla "y" oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a dla "ve" - ​​logarytm:. Dlaczego można to zrobić? Czy to? - to nie jest iloczyn dwóch czynników i zasada nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Nadal można zboczyć i wyciągnąć coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Powyższy przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Oba rozwiązania są absolutnie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania, w próbce jest ono rozwiązane w pierwszy sposób.

Rozważ podobne przykłady z ułamkami.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie można napisać bardziej zwięźle, jeśli przede wszystkim zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład jest rozwiązany, a pozostawienie go w takiej formie nie będzie błędem. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić szkic, ale czy można uprościć odpowiedź?

Sprowadzamy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbywamy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest to, że istnieje ryzyko popełnienia błędu nie przy szukaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie sobie” pochodnej.

Prostszy przykład rozwiązania „zrób to sam”:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy techniki znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, w którym proponuje się „straszny” logarytm do różniczkowania

Pierwszy poziom

Pochodna funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)

Wyobraź sobie prostą drogę przechodzącą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę iw dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, to linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako niego poziomu morza.

Posuwając się do przodu taką drogą, poruszamy się również w górę lub w dół. Możemy też powiedzieć: gdy zmienia się argument (poruszanie się wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (poruszanie się wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromo” naszej drogi? Jaka może być ta wartość? Bardzo proste: o ile zmieni się wysokość podczas poruszania się do przodu o określoną odległość. Rzeczywiście, na różnych odcinkach drogi, posuwając się do przodu (wzdłuż odciętej) o jeden kilometr, podniesiemy się lub opadniemy o różną liczbę metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż rzędnej).

Oznaczamy postęp do przodu (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - to jest zmiana wielkości, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana rozmiaru.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza jednostka, jedna zmienna. Nigdy nie należy odrywać „delty” od „x” ani żadnej innej litery! Czyli na przykład .

Tak więc posunęliśmy się do przodu, poziomo, dalej. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Na pewno, . Oznacza to, że idąc naprzód, wznosimy się wyżej.

Łatwo policzyć wartość: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przemieszczeniu byliśmy na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy okazał się niższy niż punkt początkowy, będzie ujemny – oznacza to, że nie wznosimy się, ale schodzimy.

Powrót do „stromo”: jest to wartość, która wskazuje, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu na jednostkę odległości:

Załóżmy, że na jakimś odcinku ścieżki, posuwając się o kilometr, droga podnosi się o kilometr. Wtedy stromość w tym miejscu jest równa. A jeśli droga, posuwając się o m, zatonie o kilometr? Wtedy nachylenie jest równe.

Rozważmy teraz szczyt wzgórza. Jeśli weźmiesz początek odcinka pół kilometra do góry, a koniec pół kilometra za nim, zobaczysz, że wysokość jest prawie taka sama.

To znaczy, zgodnie z naszą logiką, okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Wiele może się zmienić w odległości kilku kilometrów. Należy wziąć pod uwagę mniejsze obszary, aby uzyskać bardziej adekwatne i dokładne oszacowanie stromości. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości podczas poruszania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – w końcu, jeśli na środku drogi stoi słup, możemy się przez niego po prostu prześlizgnąć. Jaką odległość zatem wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W prawdziwym życiu pomiar odległości z dokładnością do milimetra jest więcej niż wystarczający. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego koncepcja była: nieskończenie mały, to znaczy, że wartość modulo jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jeden bilionowy! O ile mniej? I dzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. Itp. Jeśli chcemy napisać, że wartość jest nieskończenie mała, piszemy tak: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest równa zero! Ale bardzo blisko. Oznacza to, że można go podzielić na.

Pojęcie przeciwne do nieskończenie małego jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już zetknąłeś się z tym, gdy pracowałeś nad nierównościami: ta liczba jest większa pod względem modułu niż jakakolwiek liczba, którą możesz wymyślić. Jeśli wymyślisz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze więcej. A nieskończoność to nawet więcej niż to, co się dzieje. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są odwrotne do siebie, to znaczy w i odwrotnie: w.

Teraz wróćmy na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego segmentu ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości również będzie nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie małe nie znaczy równe zero. Jeśli podzielisz nieskończenie małe liczby przez siebie, możesz otrzymać zupełnie zwyczajną liczbę, na przykład. Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie dwa razy większa od innej.

Po co to wszystko? Droga, stromizna... Nie jedziemy na rajd, ale uczymy się matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej nazywane.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu przy nieskończenie małym przyrostie argumentu.

Przyrost w matematyce nazywa się zmianą. Jak bardzo zmienił się argument () podczas poruszania się wzdłuż osi jest nazywany przyrost argumentów i oznaczony jako Jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas poruszania się do przodu wzdłuż osi o odległość jest wywoływana przyrost funkcji i jest oznaczony.

Zatem pochodną funkcji jest relacja do kiedy. Pochodną oznaczamy taką samą literą jak funkcja, tylko kreską od góry po prawej: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, ​​używając tych notacji:

Podobnie jak w analogii do drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Ale czy pochodna jest równa zeru? Na pewno. Na przykład, jeśli jedziemy po płaskiej poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. Rzeczywiście, wysokość wcale się nie zmienia. Czyli z pochodną: pochodna funkcji stałej (stałej) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji wynosi zero dla każdego.

Weźmy przykład ze szczytu wzgórza. Okazało się, że można było ułożyć końce segmentu po przeciwnych stronach wierzchołka w taki sposób, aby wysokość na końcach okazała się taka sama, czyli segment był równoległy do ​​osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wtedy jego długość się zmniejszy.

W końcu, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostała równoległa do osi, to znaczy różnica wysokości na jej końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Więc pochodna

Można to rozumieć w następujący sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost pomijalnie.

Jest też wyjaśnienie czysto algebraiczne: po lewej stronie od góry funkcja rośnie, a po prawej maleje. Jak już wcześniej dowiedzieliśmy się, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (bo droga nie zmienia nigdzie ostro swojego nachylenia). Dlatego musi być między wartościami ujemnymi i dodatnimi. Będzie tam, gdzie funkcja ani nie wzrasta, ani nie maleje - w punkcie wierzchołka.

To samo dotyczy doliny (obszar, w którym funkcja zmniejsza się z lewej strony, a zwiększa z prawej):

Trochę więcej o przyrostach.

Więc zmieniamy argument na wartość. Z jakiej wartości się zmieniamy? Czym się teraz (argument) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy z niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędną. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie robimy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaki jest teraz argument? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie idzie argument, funkcja idzie tam: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: to wciąż kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Przećwicz znajdowanie przyrostów:

1. Znajdź przyrost funkcji w punkcie z przyrostem argumentu równym.
2. To samo dla funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różnych punktach, z tym samym przyrostem argumentu, przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie ma swoją własną (o tym mówiliśmy na samym początku - stromość drogi w różnych punktach jest różna). Dlatego pisząc pochodną musimy wskazać w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgowa nazywana jest funkcją, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

I - w dowolnym zakresie: .

Najprostszy przypadek to wykładnik:

Znajdźmy jego pochodną w punkcie. Zapamiętaj definicję pochodnej:

Tak więc argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost jest. Ale funkcja w dowolnym momencie jest równa jej argumentowi. Więc:

Pochodna to:

Pochodna to:

b) Rozważmy teraz funkcję kwadratową (): .

A teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, ponieważ jest nieskończenie mała, a więc nieistotna na tle innego wyrazu:

Mamy więc kolejną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone mnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów. Spróbuj zrobić to sam w dowolny z sugerowanych sposobów.

Tak więc otrzymałem:

I pamiętajmy o tym jeszcze raz. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że regułę tę można uogólnić na funkcję potęgową z dowolnym wykładnikiem, a nawet liczbą całkowitą:

(2)

Możesz sformułować regułę słowami: „stopień jest przesuwany do przodu jako współczynnik, a następnie maleje o”.

Tę zasadę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Spójrzmy teraz na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

1. (na dwa sposoby: według wzoru i wykorzystując definicję pochodnej - przez obliczenie przyrostu funkcji);

1. . Wierz lub nie, ale to jest funkcja władzy. Jeśli masz pytania typu „Jak to jest? A gdzie jest stopień? ”, Zapamiętaj temat„ ”!
   Tak, tak, korzeń to także stopień, tylko ułamkowy:.
   Zatem nasz pierwiastek kwadratowy to po prostu potęga z wykładnikiem:
   .
   Pochodnej szukamy według niedawno poznanego wzoru:

   Jeśli w tym momencie znowu stanie się niejasne, powtórz temat „” !!! (około stopnia ze wskaźnikiem ujemnym)

2. . Teraz wykładnik:

   A teraz poprzez definicję (zapomniałeś już?):
   ;
   .
   Teraz jak zwykle pomijamy termin zawierający:
   .

3. . Połączenie poprzednich spraw: .

funkcje trygonometryczne.

Tutaj użyjemy jednego faktu z wyższej matematyki:

Kiedy wyrażenie.

Dowód poznasz w pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, trzeba dobrze zdać egzamin). Teraz pokażę to tylko graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje - punkt na wykresie jest przebijany. Ale im bliżej wartości, tym bliżej funkcji.To jest właśnie „dążenie”.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę zasadę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, jeszcze nie jesteśmy na egzaminie.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniejszy, tym bliżej wartości stosunku.

a) Rozważ funkcję. Jak zwykle znajdujemy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów w iloczyn. Aby to zrobić, używamy formuły (pamiętaj o temacie „”):.

Teraz pochodna:

Zróbmy podstawienie: . Wtedy dla nieskończenie małego jest również nieskończenie mały: . Wyrażenie for przyjmuje postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co jeśli nieskończenie małą wartość można pominąć w sumie (to znaczy w).

Otrzymujemy więc następującą zasadę: pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe („tablicowe”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, bo są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

1. Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
2. Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

1. Najpierw znajdujemy pochodną w postaci ogólnej, a następnie podstawiamy jej wartość:
   ;
   .
2. Tutaj mamy coś podobnego do funkcji potęgowej. Spróbujmy doprowadzić ją do
   normalny widok:
   .
   Ok, teraz możesz skorzystać ze wzoru:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Co to jest????

Ok, masz rację, nadal nie wiemy, jak znaleźć takie pochodne. Tutaj mamy kombinację kilku rodzajów funkcji. Aby z nimi pracować, musisz nauczyć się kilku dodatkowych zasad:

Wykładnik i logarytm naturalny.

W matematyce istnieje taka funkcja, której pochodna dla każdego jest równa wartości samej funkcji dla tego samego. Nazywa się „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji - stała - jest nieskończony ułamek dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera”, dlatego jest oznaczona literą.

Więc zasadą jest:

Bardzo łatwo to zapamiętać.

Cóż, nie zajdziemy daleko, od razu rozważymy funkcję odwrotną. Jaka jest odwrotność funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywamy logarytmem „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Co jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wykładnik i logarytm naturalny są funkcjami wyjątkowo prostymi pod względem pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po przejrzeniu reguł różniczkowania.

Zasady różnicowania

Jakie zasady? Znowu nowy termin?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

Tylko i wszystko. Jakie jest inne słowo na ten proces? Not proizvodnovanie... Różniczka matematyki nazywana jest samym przyrostem funkcji przy. Termin ten pochodzi od łacińskiego różniczka - różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Potrzebne będą nam również formuły na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest pobierana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również na różnicę: .

Udowodnijmy to. Pozwól, albo łatwiej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w punkcie;
2. w punkcie;
3. w punkcie;
4. w punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobnie: wprowadzamy nową funkcję i znajdujemy jej przyrost:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz Twoja wiedza wystarczy, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładnika (zapomniałeś jeszcze, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy przenieść naszą funkcję do nowej bazy:

W tym celu stosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapomnij, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: tak jak było, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To tylko liczba, której nie można obliczyć bez kalkulatora, to znaczy nie można jej zapisać w prostszej formie. Dlatego w odpowiedzi pozostaje w tej formie.

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny z logarytmu o innej podstawie, na przykład :

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast napiszemy:

Mianownik okazał się po prostu stałą (liczba stała, bez zmiennej). Pochodna jest bardzo prosta:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie występują na egzaminie, ale znajomość ich nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „złożona funkcja”? Nie, to nie jest logarytm ani arcus tangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarytmy” i wszystko się ułoży), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Na przykład pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi wiąże go wstążką. Okazuje się, że taki złożony przedmiot: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, musisz wykonać odwrotne kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynik do kwadratu. Więc dają nam numer (czekolada), ja znajduję jego cosinus (opakowanie), a potem podbijasz to, co mam (wiążę wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: kiedy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co stało się w wyniku pierwszej.

Równie dobrze możemy wykonać te same czynności w odwrotnej kolejności: najpierw do kwadratu, a potem szukam cosinusa otrzymanej liczby:. Łatwo zgadnąć, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Innymi słowy, Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

W pierwszym przykładzie .

Drugi przykład: (to samo). .

Ostatnia akcja, którą wykonamy, zostanie nazwana funkcja „zewnętrzna”, a czynność wykonywana jako pierwsza - odpowiednio funkcja „wewnętrzna”(są to nieformalne nazwy, używam ich tylko do wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam ustalić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Rozdzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jakie działania podejmiemy w pierwszej kolejności? Najpierw obliczamy sinus, a dopiero potem podnosimy go do sześcianu. Jest to więc funkcja wewnętrzna, a nie zewnętrzna.
   A pierwotną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

No to teraz wydobędziemy naszą czekoladę - poszukaj pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, a następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W oryginalnym przykładzie wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wszystko wydaje się proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(tylko nie próbuj teraz zmniejszać! Nic nie jest wyjęte spod cosinusa, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że istnieje tutaj trzypoziomowa funkcja złożona: w końcu jest to już złożona funkcja sama w sobie i nadal wydobywamy z niej korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma się czego bać: i tak tę funkcję „rozpakujemy” w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw rozróżniamy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasie. A potem to wszystko pomnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować akcje. To znaczy wyobraźmy sobie, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później zostanie wykonana akcja, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Kolejność czynności - jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest ogólnie 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalna ekspresja. .

2. Korzeń. .

3. Zatok. .

4. Kwadrat. .

5. Łącząc to wszystko w całość:

POCHODNA. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu z nieskończenie małym przyrostem argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest brana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Produkt pochodny:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji zespolonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.