Najprostsze przekształcenia wykresów funkcji. Konwersja wykresu

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca pobierz pełną wersję.

Cel lekcji: Wyznacz wzorce transformacji wykresów funkcji.

Zadania:

Edukacyjny:

• Naucz uczniów sporządzać wykresy funkcji, przekształcając wykres ta funkcja, stosowanie translacji równoległej, kompresji (stretching), Różne rodzaje symetria.

Edukacyjny:

• Wychować cechy osobiste studenci (umiejętność słuchania), życzliwość wobec innych, uważność, dokładność, dyscyplina, umiejętność pracy w grupie.
• Wzbudza zainteresowanie tematem oraz potrzebę zdobycia wiedzy.

Rozwijanie:

• Rozwijaj wyobraźnię przestrzenną i logiczne myślenie studenci, umiejętność szybkiego poruszania się po środowisku; rozwijać inteligencję, zaradność, trenować pamięć.

Ekwipunek:

• Instalacja multimedialna: komputer, projektor.

Literatura:

1. Bashmakov, MI Matematyka [Tekst]: podręcznik dla instytucji wcześnie. i śr. prof. edukacja / M. I. Bashmakov - wyd. 5, poprawione. - M.: Ośrodek Wydawniczy „Akademia”, 2012 r. - 256 s.
2. Bashmakov, MI Matematyka. Książka problemów [Tekst]: podręcznik. dodatek na edukację. instytucje na początku i śr. prof. Edukacja / M. I. Bashmakov - M .: Centrum wydawnicze „Akademia”, 2012. - 416 s.

Plan lekcji:

1. Moment organizacyjny (3 min).
2. Aktualizacja wiedzy (7 min).
3. Wyjaśnienie nowego materiału (20 min).
4. Konsolidacja nowego materiału (10 min).
5. Podsumowanie lekcji (3 min).
6. Zadanie domowe(2 minuty).

Podczas zajęć

1. Organizacja chwilę (3 min).

Sprawdzam obecnych.

Wiadomość o celu lekcji.

Główne właściwości funkcji jako zależności między zmiennymi nie powinny ulec istotnej zmianie wraz ze zmianą sposobu pomiaru tych wielkości, to znaczy przy zmianie skali pomiaru i punktu odniesienia. Jednak ze względu na bardziej racjonalny wybór metody pomiaru zmienne zwykle można uprościć zapis zależności między nimi, sprowadzić ten zapis do jakiejś standardowej postaci. W języku geometrycznym zmiana sposobu pomiaru wielkości oznacza kilka prostych przekształceń wykresów, które teraz będziemy badać.

2. Aktualizacja wiedzy (7 min).

Zanim zaczniemy mówić o przekształceniach grafów, powtórzmy omówiony materiał.

praca ustna. (Slajd 2).

Podane funkcje:

3. Opisz wykresy funkcji: , , , .

3. Wyjaśnienie nowego materiału (20 min).

Najprostsze przekształcenia grafów to ich translacja równoległa, kompresja (rozciąganie) oraz niektóre rodzaje symetrii. Niektóre przekształcenia przedstawiono w tabeli (Załącznik 1), (slajd 3).

Praca grupowa.

Każda grupa wykreśla określone funkcje i przedstawia wynik do dyskusji.

Transformacja wykresu funkcji

W tym artykule przedstawię przekształcenia liniowe wykresów funkcji i pokażę, jak wykorzystać te przekształcenia do uzyskania wykresu funkcji z wykresu funkcji.

Transformacja liniowa funkcji to transformacja samej funkcji i/lub jej argumentu do postaci , a także przekształcenie zawierające moduł argumentu i/lub funkcji.

Największe trudności w kreśleniu wykresów z wykorzystaniem przekształceń liniowych powodują następujące czynności:

1. Izolacja funkcji bazowej, w rzeczywistości wykres, którego transformujemy.
2. Definicje porządku przekształceń.

I Właśnie w tych punktach omówimy bardziej szczegółowo.

Przyjrzyjmy się bliżej funkcji

Opiera się na funkcji. Zadzwońmy do niej podstawowa funkcja.

Podczas kreślenia funkcji dokonujemy przekształceń wykresu funkcji bazowej .

Gdybyśmy mieli przekształcić funkcję w tej samej kolejności, w jakiej ustalono jej wartość dla określonej wartości argumentu, to

Zastanówmy się, jakie typy liniowych przekształceń argumentów i funkcji istnieją i jak je wykonać.

Przekształcenia argumentów.

1. f(x) f(x+b)

1. Budujemy wykres funkcji

2. Przesuwamy wykres funkcji wzdłuż osi OX o |b| jednostki

• lewo, jeśli b>0
• dobrze, jeśli b<0

Wykreślmy funkcję

1. Wykreślamy funkcję

2. Przesuń go o 2 jednostki w prawo:

2. f(x) f(kx)

1. Budujemy wykres funkcji

2. Podziel odcięte punkty wykresu przez k, rzędne punktów pozostaw bez zmian.

Wykreślmy funkcję.

1. Wykreślamy funkcję

2. Podziel wszystkie odcięte punkty wykresu przez 2, rzędne pozostaw bez zmian:

3. f(x) f(-x)

1. Budujemy wykres funkcji

2. Wyświetlamy go symetrycznie wokół osi OY.

Wykreślmy funkcję.

1. Wykreślamy funkcję

2. Wyświetlamy go symetrycznie wokół osi OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Wykreślamy funkcję

2. Wymazujemy część wykresu znajdującą się na lewo od osi OY, część wykresu znajdującą się na prawo od osi OY Uzupełniamy go symetrycznie względem osi OY:

Wykres funkcji wygląda tak:

Wykreślmy funkcję

1. Budujemy wykres funkcji (jest to wykres funkcji przesunięty wzdłuż osi OX o 2 jednostki w lewo):

2. Część wykresu znajdująca się po lewej stronie OY (x<0) стираем:

3. Część wykresu znajdująca się na prawo od osi OY (x>0) jest uzupełniana symetrycznie względem osi OY:

Ważny! Dwie główne zasady konwersji argumentów.

1. Wszystkie przekształcenia argumentów wykonywane są wzdłuż osi OX

2. Wszystkie przekształcenia argumentu wykonywane są „odwrotnie” i „w odwrotnej kolejności”.

Na przykład w funkcji sekwencja przekształceń argumentów jest następująca:

1. Bierzemy moduł z x.

2. Dodaj liczbę 2 do modulo x.

Ale kreśliliśmy w odwrotnej kolejności:

Najpierw wykonaliśmy transformację 2. - przesunęliśmy wykres o 2 jednostki w lewo (czyli odcięte punkty zostały zmniejszone o 2, jakby „na odwrót”)

Następnie wykonaliśmy transformację f(x) f(|x|).

W skrócie sekwencja przekształceń jest napisana w następujący sposób:

Teraz porozmawiajmy o transformacja funkcji . Dokonują się przemiany

1. Wzdłuż osi OY.

2. W tej samej kolejności, w jakiej wykonywane są akcje.

Oto przekształcenia:

1. f(x)f(x)+D

2. Przesuń go wzdłuż osi OY o |D| jednostki

• w górę, jeśli D>0
• w dół, jeśli D<0

Wykreślmy funkcję

1. Wykreślamy funkcję

2. Przesuń go wzdłuż osi OY o 2 jednostki w górę:

2. f(x)Af(x)

1. Wykreślamy funkcję y=f(x)

2. Mnożymy rzędne wszystkich punktów wykresu przez A, odcięte pozostawiamy bez zmian.

Wykreślmy funkcję

1. Wykres funkcji

2. Mnożymy rzędne wszystkich punktów wykresu przez 2:

3.f(x)-f(x)

1. Wykreślamy funkcję y=f(x)

Wykreślmy funkcję.

1. Budujemy wykres funkcji.

2. Wyświetlamy go symetrycznie wokół osi OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Wykreślamy funkcję y=f(x)

2. Część wykresu znajdująca się nad osią OX pozostaje niezmieniona, część wykresu znajdująca się poniżej osi OX jest wyświetlana symetrycznie względem tej osi.

Wykreślmy funkcję

1. Budujemy wykres funkcji. Uzyskuje się go przesuwając wykres funkcji wzdłuż osi OY o 2 jednostki w dół:

2. Teraz część wykresu znajdująca się poniżej osi OX będzie wyświetlana symetrycznie względem tej osi:

I ostatnia transformacja, której ściśle mówiąc nie można nazwać transformacją funkcji, ponieważ wynikiem tej transformacji nie jest już funkcja:

|y|=f(x)

1. Wykreślamy funkcję y=f(x)

2. Wymazujemy część wykresu znajdującą się poniżej osi OX, następnie uzupełniamy część wykresu znajdującą się powyżej osi OX symetrycznie względem tej osi.

Zbudujmy wykres równania

1. Budujemy wykres funkcji:

2. Usuwamy część wykresu znajdującą się poniżej osi OX:

3. Część wykresu znajdująca się nad osią OX jest uzupełniona symetrycznie względem tej osi.

I na koniec proponuję obejrzeć LEKCJĘ WIDEO, w której pokazuję krok po kroku algorytm wykreślania wykresu funkcji

Wykres tej funkcji wygląda tak:

Hipoteza: Jeśli przestudiujesz ruch wykresu podczas tworzenia równania funkcji, zauważysz, że wszystkie wykresy są zgodne ze wspólnymi prawami, dlatego możesz formułować ogólne prawa niezależnie od funkcji, co nie tylko ułatwi konstruowanie wykresów różnych funkcji, ale także wykorzystywać je w rozwiązywaniu problemów.

Cel: Badanie ruchu wykresów funkcji:

1) Zadanie studiowania literatury

2) Naucz się budować wykresy różnych funkcji

3) Naucz się konwertować wykresy funkcji liniowych

4) Rozważ użycie wykresów w rozwiązywaniu problemów

Przedmiot badań: Wykresy funkcji

Przedmiot badań: Ruchy wykresów funkcji

Trafność: Budowa wykresów funkcyjnych z reguły zajmuje dużo czasu i wymaga uwagi ucznia, ale znając zasady przekształcania wykresów funkcyjnych oraz wykresów funkcji podstawowych można szybko i łatwo zbudować wykresy funkcyjne, które pozwolą nie tylko wykonujesz zadania związane z wykreślaniem wykresów funkcji, ale także rozwiązywasz powiązane problemy (aby znaleźć maksimum (minimalną wysokość czasu i punkt spotkania))

Ten projekt jest przydatny dla wszystkich uczniów szkoły.

Przegląd literatury:

W literaturze omawiane są sposoby konstruowania wykresów różnych funkcji, a także przykłady przekształceń wykresów tych funkcji. Wykresy prawie wszystkich głównych funkcji są wykorzystywane w różnych procesach technicznych, co pozwala na bardziej przejrzyste przedstawienie przebiegu procesu i zaprogramowanie wyniku

Funkcja stała. Ta funkcja jest wyrażona wzorem y = b, gdzie b jest pewną liczbą. Wykres funkcji stałej jest linią prostą równoległą do osi x i przechodzącą przez punkt (0; b) na osi y. Wykres funkcji y \u003d 0 to oś odciętej.

Rodzaje funkcji 1Proporcjonalność bezpośrednia. Ta funkcja jest wyrażona wzorem y \u003d kx, gdzie współczynnik proporcjonalności k ≠ 0. Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przechodzącą przez początek.

Funkcja liniowa. Taką funkcję wyraża wzór y = kx + b, gdzie k i b są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

Wykresy funkcji liniowych mogą się przecinać lub być równoległe.

Tak więc linie wykresów funkcji liniowych y \u003d k 1 x + b 1 i y \u003d k 2 x + b 2 przecinają się, jeśli k 1 ≠ k 2; jeśli k 1 = k 2 , to linie są równoległe.

2 Odwrotna proporcjonalność to funkcja wyrażona wzorem y \u003d k / x, gdzie k ≠ 0. K nazywa się współczynnikiem odwrotnej proporcjonalności. Wykres odwrotnej proporcjonalności to hiperbola.

Funkcja y \u003d x 2 jest reprezentowana przez wykres zwany parabolą: w przedziale [-~; 0] funkcja maleje, w przedziale funkcji rośnie.

Funkcja y \u003d x 3 wzrasta wzdłuż całej osi liczbowej i jest graficznie reprezentowana przez sześcienną parabolę.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem naturalnym. Ta funkcja jest wyrażona wzorem y \u003d x n, gdzie n jest liczbą naturalną. Wykresy funkcji potęgowej z wykładnikiem naturalnym zależą od n. Na przykład, jeśli n = 1, to wykres będzie linią prostą (y = x), jeśli n = 2, to wykres będzie parabolą itd.

Funkcja potęgowa z ujemnym wykładnikiem całkowitym jest reprezentowana przez wzór y \u003d x -n, gdzie n jest liczbą naturalną. Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich x ≠ 0. Wykres funkcji zależy również od wykładnika n.

Funkcja potęgowa z dodatnim wykładnikiem ułamkowym. Ta funkcja jest reprezentowana przez wzór y \u003d x r, gdzie r jest dodatnim ułamkiem nieredukowalnym. Ta funkcja nie jest również ani parzysta, ani nieparzysta.

Linia wykresu wyświetlająca relacje zmiennych zależnych i niezależnych na płaszczyźnie współrzędnych. Wykres służy do wizualnego przedstawienia tych elementów.

Zmienna niezależna to zmienna, która może przyjąć dowolną wartość w zakresie funkcji (gdzie dana funkcja ma sens (nie można jej podzielić przez zero))

Aby wykreślić wykres funkcji,

1) Znajdź ODZ (zakres dopuszczalnych wartości)

2) weź kilka dowolnych wartości dla zmiennej niezależnej

3) Znajdź wartość zmiennej zależnej

4) Zbuduj płaszczyznę współrzędnych, zaznacz na niej te punkty

5) Połącz ich linie jeśli to konieczne, zbadaj wynikowy wykres Transformacja wykresów funkcji elementarnych.

Konwersja wykresu

W czystej postaci podstawowe funkcje elementarne nie są niestety tak powszechne. Znacznie częściej mamy do czynienia z funkcjami elementarnymi uzyskanymi z podstawowych funkcji elementarnych przez dodanie stałych i współczynników. Wykresy takich funkcji można zbudować, stosując przekształcenia geometryczne do wykresów odpowiednich podstawowych funkcji elementarnych (lub przełączając się na nowy układ współrzędnych). Na przykład wzór funkcji kwadratowej to wzór paraboli kwadratowej, skompresowany trzykrotnie względem osi rzędnych, wyświetlany symetrycznie względem osi odciętej, przesunięty w stosunku do kierunku tej osi o 2/3 jednostki i przesunięty wzdłuż kierunku rzędnej oś o 2 jednostki.

Zrozummy te geometryczne przekształcenia wykresu funkcji krok po kroku na konkretnych przykładach.

Za pomocą przekształceń geometrycznych wykresu funkcji f (x) można skonstruować wykres dowolnej funkcji o wzorze postaci, w którym formułą są współczynniki kompresji lub rozszerzania odpowiednio wzdłuż osi oy i ox, minus znaki przed wzorem i wzorem współczynników oznaczają symetryczne wyświetlanie wykresu względem osi współrzędnych , a i b określają przesunięcie odpowiednio względem osi odciętych i rzędnych.

Istnieją zatem trzy rodzaje przekształceń geometrycznych grafu funkcji:

Pierwszy typ to skalowanie (ściskanie lub rozszerzanie) wzdłuż osi odciętych i rzędnych.

Na potrzebę skalowania wskazują współczynniki wzoru inne niż jeden, jeśli liczba jest mniejsza niż 1, to wykres jest kompresowany względem oy i rozciągany względem ox, jeśli liczba jest większa niż 1, to rozciągamy wzdłuż osi rzędnych i kurczyć się wzdłuż osi odciętej.

Drugi typ to wyświetlanie symetryczne (lustrzane) względem osi współrzędnych.

O potrzebie tego przekształcenia świadczą znaki minusa przed współczynnikami wzoru (w tym przypadku wykres wyświetlamy symetrycznie względem osi wół) i formuły (w tym przypadku wyświetlamy wykres symetrycznie z względem osi y). Jeśli nie ma znaków minus, ten krok jest pomijany.

Transfer równoległy.

PRZESUW WZDŁUŻ OSI Y

f(x) => f(x) - b
Niech będzie wymagane wykreślenie funkcji y \u003d f (x) - b. Łatwo zauważyć, że rzędne tego wykresu dla wszystkich wartości x na |b| jednostki mniejsze niż odpowiadające rzędne wykresu funkcji y = f(x) dla b>0 i |b| więcej jednostek - przy b 0 lub w górę przy b Aby wykreślić funkcję y + b = f(x), narysuj funkcję y = f(x) i przesuń oś x do |b| jednostki w górę dla b>0 lub o |b| jednostki w dół w b

TRANSFER WZDŁUŻ OSI X

f(x) => f(x + a)
Niech będzie wymagane wykreślenie funkcji y = f(x + a). Rozważ funkcję y = f(x), która w pewnym momencie x = x1 przyjmuje wartość y1 = f(x1). Oczywiście funkcja y = f(x + a) przyjmie taką samą wartość w punkcie x2, którego współrzędna jest wyznaczona z równości x2 + a = x1, czyli x2 = x1 - a, a rozważana równość obowiązuje dla ogółu wszystkich wartości z dziedziny funkcji. Zatem wykres funkcji y = f(x + a) można otrzymać przez równoległe przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) wzdłuż osi x w lewo o |a| jedynki dla a > 0 lub w prawo o |a| jednostki dla a Aby wykreślić funkcję y = f(x + a), wykreśl funkcję y = f(x) i przesuń oś y do |a| jednostki na prawo dla a>0 lub |a| jednostki po lewej stronie dla

Przykłady:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Odbicie.

WYKRES FUNKCJI WIDOKU Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Oczywiście funkcje y = f(-x) i y = f(x) przyjmują równe wartości w punktach, których odcięte są równe w całkowita wartość, ale przeciwnie w znaku. Innymi słowy rzędne wykresu funkcji y = f(-x) w obszarze dodatnich (ujemnych) wartości x będą równe rzędnym wykresu funkcji y = f(x) z ujemnymi (dodatnimi) wartościami x odpowiadającymi wartości bezwzględnej. W ten sposób otrzymujemy następującą zasadę.
Aby wykreślić funkcję y = f(-x), należy wykreślić funkcję y = f(x) i odzwierciedlić ją wzdłuż osi y. Otrzymany wykres to wykres funkcji y = f(-x)

WYKRES FUNKCJI WIDOKU Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Rzędne wykresu funkcji y = - f(x) dla wszystkich wartości argumentu są równe w wartości bezwzględnej, ale przeciwne w znaku do rzędnych wykresu funkcji y = f(x) dla te same wartości argumentu. W ten sposób otrzymujemy następującą zasadę.
Aby wykreślić funkcję y = - f(x), powinieneś wykreślić funkcję y = f(x) i odzwierciedlić ją wokół osi x.

Przykłady:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Odkształcenie.

DEFORMACJA WYKRESU WZDŁUŻ OSI Y

f(x) => kf(x)
Rozważmy funkcję postaci y = k f(x), gdzie k > 0. Łatwo zauważyć, że dla równych wartości argumentu rzędne wykresu tej funkcji będą k razy większe niż rzędne wykres funkcji y = f(x) dla k > 1 lub 1/k razy mniej niż rzędne wykresu funkcji y = f(x) dla k ) lub zmniejsz jej rzędne o 1/k razy dla k
k > 1- rozciąganie od osi Wołu
0 - kompresja do osi OX

DEFORMACJA WYKRESU WZDŁUŻ OSI X

f(x) => f(kx)
Niech będzie wymagane wykreślenie funkcji y = f(kx), gdzie k>0. Rozważ funkcję y = f(x), która przyjmuje wartość y1 = f(x1) w dowolnym punkcie x = x1. Oczywiście funkcja y = f(kx) przyjmuje tę samą wartość w punkcie x = x2, którego współrzędna jest wyznaczona przez równość x1 = kx2, a ta równość obowiązuje dla sumy wszystkich wartości x od dziedzina funkcji. W konsekwencji wykres funkcji y = f(kx) jest skompresowany (dla k 1) wzdłuż osi odciętej względem wykresu funkcji y = f(x). W ten sposób otrzymujemy regułę.
Aby wykreślić funkcję y = f(kx), wykreśl funkcję y = f(x) i zmniejsz jej odcięte k razy dla k>1 (skompresuj wykres wzdłuż osi odciętej) lub zwiększ jej odcięte o 1/k razy dla k
k > 1- kompresja do osi Oy
0 - rozciąganie od osi OY