Rozwiąż równanie 20. Rozwiązywanie prostych równań liniowych

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Równania potęgowe lub wykładnicze nazywane są równaniami, w których zmienne są potęgami, a podstawą jest liczba. Na przykład:

Rozwiązanie równania wykładniczego redukuje się raczej do 2 proste czynności:

1. Należy sprawdzić, czy podstawy równania po prawej i po lewej stronie są takie same. Jeśli podstawy nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.

2. Po tym, jak podstawy staną się takie same, zrównujemy stopnie i rozwiązujemy powstałe nowe równanie.

Powiedzmy, że dane równanie wykładnicze następujący rodzaj:

zacznij rozwiązanie podane równanie stoiska z analizą terenu. Bazy są różne - 2 i 4, a do rozwiązania potrzebujemy, aby były takie same, więc przekształcamy 4 zgodnie z następującym wzorem - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Dodaj do oryginalnego równania:

Wyjmijmy wsporniki \

Ekspresowe \

Ponieważ stopnie są takie same, odrzucamy je:

Odpowiedź: \

Gdzie mogę rozwiązać równanie wykładnicze online za pomocą solvera?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz również obejrzeć instrukcję wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszego grona, zawsze chętnie Ci pomożemy.

I. topór 2 \u003d 0 – niekompletny równanie kwadratowe (b=0, c=0 ). Rozwiązanie: x=0. Odpowiedź: 0.

Rozwiązuj równania.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Decyzja. Rozwiń nawiasy, mnożąc 2x dla każdego terminu w nawiasie:

2x2 +6x=6x-x2 ; przenoszenie terminów z prawej strony na lewą:

2x2 +6x-6x+x2=0; Oto podobne terminy:

3x 2 =0, stąd x=0.

Odpowiedź: 0.

II. topór2+bx=0 –niekompletny równanie kwadratowe (s=0 ). Rozwiązanie: x (ax+b)=0 → x 1 =0 lub ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odpowiedź: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Decyzja. Usuń wspólny czynnik X dla wsporników:

x(5x-26)=0; każdy czynnik może wynosić zero:

x=0 lub 5x-26=0→ 5x=26, podziel obie strony równości przez 5 i otrzymujemy: x \u003d 5.2.

Odpowiedź: 0; 5,2.

Przykład 3 64x+4x2=0.

Decyzja. Usuń wspólny czynnik 4x dla wsporników:

4x(16+x)=0. Mamy więc trzy czynniki, 4≠0, czyli x=0 lub 16+x=0. Z ostatniej równości otrzymujemy x=-16.

Odpowiedź: -16; 0.

Przykład 4(x-3) 2 +5x=9.

Decyzja. Stosując wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otwórz nawiasy:

x 2 -6x+9+5x=9; przekształć do postaci: x 2 -6x+9+5x-9=0; Oto podobne terminy:

x2-x=0; wytrzymać X poza nawiasami otrzymujemy: x (x-1)=0. Stąd lub x=0 lub x-1=0→ x=1.

Odpowiedź: 0; 1.

III. topór2+c=0 –niekompletny równanie kwadratowe (b=0 ); Rozwiązanie: topór 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Jeśli (-c/a)<0 , wtedy nie ma prawdziwych korzeni. Jeśli (-s/a)>0

Przykład 5 x 2 -49=0.

Decyzja.

x 2 \u003d 49, stąd x=±7. Odpowiedź:-7; 7.

Przykład 6 9x2-4=0.

Decyzja.

Często wymagane jest znalezienie sumy kwadratów (x 1 2 + x 2 2) lub sumy sześcianów (x 1 3 + x 2 3) pierwiastków równania kwadratowego, rzadziej - sumy odwrotności kwadraty pierwiastków lub sumy arytmetyki pierwiastki kwadratowe z pierwiastków równania kwadratowego:

Twierdzenie Viety może w tym pomóc:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Wyrazić poprzez p oraz q:

1) suma kwadratów pierwiastków równania x2+px+q=0;

2) suma sześcianów pierwiastków równania x2+px+q=0.

Decyzja.

1) Wyrażenie x 1 2 + x 2 2 uzyskany przez podniesienie do kwadratu obu stron równania x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; otwórz wsporniki: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; wyrażamy pożądaną ilość: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Mamy przydatne równanie: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Wyrażenie x 1 3 + x 2 3 reprezentować wzorem sumy kostek w postaci:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).

Kolejne przydatne równanie: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

Przykłady.

3) x 2 -3x-4=0. Bez rozwiązywania równania oblicz wartość wyrażenia x 1 2 + x 2 2.

Decyzja.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, i praca x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dw przykładzie 1) równość:

x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. Mamy -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Następnie x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

Odpowiedź: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0. Oblicz: x 1 3 +x 2 3 .

Decyzja.

Według twierdzenia Viety suma pierwiastków tego zredukowanego równania kwadratowego x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, i praca x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-4. Zastosujmy to, co uzyskaliśmy ( w przykładzie 2) równość: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.

Odpowiedź: x 1 3 + x 2 3 =32.

Pytanie: co jeśli otrzymamy niezredukowane równanie kwadratowe? Odpowiedź: zawsze można ją „zredukować”, dzieląc termin po terminie przez pierwszy współczynnik.

5) 2x2 -5x-7=0. Bez rozwiązywania oblicz: x 1 2 + x 2 2.

Decyzja. Otrzymaliśmy pełne równanie kwadratowe. Podziel obie strony równania przez 2 (pierwszy współczynnik) i uzyskaj następujące równanie kwadratowe: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.

Według twierdzenia Viety suma pierwiastków wynosi 2,5 ; iloczynem korzeni jest -3,5 .

Rozwiązujemy tak samo jak w przykładzie 3) używając równości: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Odpowiedź: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2=0. Znaleźć:

Przekształćmy tę równość i zastępując sumę pierwiastków w kategoriach twierdzenia Vieta, -p, a iloczyn korzeni przez q, otrzymujemy kolejną przydatną formułę. Wyprowadzając wzór, użyliśmy równości 1): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

W naszym przykładzie x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Zastąp te wartości otrzymaną formułą:

7) x 2 -13x+36=0. Znaleźć:

Przekształćmy tę sumę i uzyskajmy wzór, za pomocą którego będzie można znaleźć sumę arytmetycznych pierwiastków kwadratowych z pierwiastków równania kwadratowego.

Mamy x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Zastąp te wartości wyprowadzoną formułą:

Rada : zawsze sprawdzaj możliwość znalezienia pierwiastków równania kwadratowego przez odpowiedni sposób, w końcu 4 Oceniony przydatne formuły pozwalają szybko wykonać zadanie, przede wszystkim w przypadkach, gdy wyróżnikiem jest „niewygodna” liczba. We wszystkich prostych przypadkach znajdź korzenie i operuj na nich. Na przykład w ostatnim przykładzie pierwiastki wybieramy za pomocą twierdzenia Vieta: suma pierwiastków powinna być równa 13 i produkt z korzeni 36 . Jakie są te liczby? Na pewno, 4 i 9. Teraz oblicz sumę pierwiastków kwadratowych tych liczb: 2+3=5. Otóż ​​to!

I. Twierdzenie Viety dla zredukowanego równania kwadratowego.

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 jest równy drugiemu współczynnikowi zaczerpniętemu z przeciwny znak, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Znajdź pierwiastki podanego równania kwadratowego, korzystając z twierdzenia Viety.

Przykład 1) x 2 -x-30=0. To jest zredukowane równanie kwadratowe ( x 2 +px+q=0), drugi współczynnik p=-1, a wolny termin q=-30. Najpierw upewnij się, że dane równanie ma pierwiastki i że pierwiastki (jeśli istnieją) będą wyrażone jako liczby całkowite. W tym celu wystarczy, aby wyróżnikiem był pełny kwadrat liczby całkowitej.

Znalezienie dyskryminatora D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Teraz, zgodnie z twierdzeniem Vieta, suma pierwiastków musi być równa drugiemu współczynnikowi, przyjętemu ze znakiem przeciwnym, tj. ( -p), a iloczyn jest równy terminowi bezpłatnemu, tj. ( q). Następnie:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Musimy wybrać takie dwie liczby, aby ich iloczyn był równy -30 , a suma to jednostka. To są liczby -5 oraz 6 . Odpowiedź: -5; 6.

Przykład 2) x 2 +6x+8=0. Mamy zredukowane równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem p=6 i wolny członek q=8. Upewnij się, że istnieją pierwiastki całkowite. Znajdźmy wyróżnik D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Dyskryminator D 1 jest idealnym kwadratem liczby 1 , więc pierwiastki tego równania są liczbami całkowitymi. Pierwiastki wybieramy zgodnie z twierdzeniem Vieta: suma pierwiastków jest równa –p=-6, a iloczynem korzeni jest q=8. To są liczby -4 oraz -2 .

Właściwie: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Odpowiedź: -4; -2.

Przykład 3) x 2 +2x-4=0. W tym zredukowanym równaniu kwadratowym drugi współczynnik p=2, a wolny termin q=-4. Znajdźmy wyróżnik D1, ponieważ drugi współczynnik jest liczbą parzystą. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Dyskryminator nie jest idealnym kwadratem liczby, więc robimy wniosek: pierwiastki tego równania nie są liczbami całkowitymi i nie można ich znaleźć za pomocą twierdzenia Viety. Więc jak zwykle rozwiązujemy to równanie według wzorów (in ta sprawa formuły). Otrzymujemy:

Przykład 4). Napisz równanie kwadratowe, używając jego pierwiastków, jeśli x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Decyzja. Pożądane równanie zostanie zapisane w postaci: x 2 +px+q=0 ponadto na podstawie twierdzenia Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Wtedy równanie przyjmie postać: x2 +3x-28=0.

Przykład 5). Napisz równanie kwadratowe, używając jego pierwiastków, jeśli:

II. Twierdzenie Viety dla pełnego równania kwadratowego ax2+bx+c=0.

Suma pierwiastków to minus b podzielony przez a, iloczynem korzeni jest z podzielony przez a:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Przykład 6). Znajdź sumę pierwiastków równania kwadratowego 2x2 -7x-11=0.

Decyzja.

Jesteśmy przekonani, że to równanie będzie miało pierwiastki. Aby to zrobić, wystarczy napisać wyrażenie dla dyskryminatora i bez obliczania go, po prostu upewnić się, że dyskryminator jest większy od zera. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . A teraz użyjmy twierdzenie Wietnam dla pełnych równań kwadratowych.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Przykład 7). Znajdź iloczyn pierwiastków równania kwadratowego 3x2 +8x-21=0.

Decyzja.

Znajdźmy wyróżnik D1, ponieważ drugi współczynnik ( 8 ) jest liczbą parzystą. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Równanie kwadratowe ma 2 pierwiastek, zgodnie z twierdzeniem Vieta, iloczyn pierwiastków x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. topór 2 +bx+c=0 jest ogólnym równaniem kwadratowym

Dyskryminujący D=b 2 - 4ac.

Jeśli D>0, wtedy mamy dwa prawdziwe pierwiastki:

Jeśli D=0, to mamy jeden pierwiastek (lub dwa równy pierwiastek) x=-b/(2a).

Jeśli D<0, то действительных корней нет.

Przykład 1) 2x2 +5x-3=0.

Decyzja. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 prawdziwe korzenie.

4x2 +21x+5=0.

Decyzja. a=4; b=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 prawdziwe korzenie.

II. ax2+bx+c=0 – specjalne równanie kwadratowe przez równą sekundę

współczynnik b

Przykład 3) 3x2 -10x+3=0.

Decyzja. a=3; b\u003d -10 (liczba parzysta); c=3.

Przykład 4) 5x2-14x-3=0.

Decyzja. a=5; b= -14 (liczba parzysta); c=-3.

Przykład 5) 71x2 +144x+4=0.

Decyzja. a=71; b=144 (liczba parzysta); c=4.

Przykład 6) 9x 2 -30x+25=0.

Decyzja. a=9; b\u003d -30 (liczba parzysta); c=25.

III. ax2+bx+c=0 – równanie kwadratowe typ prywatny, pod warunkiem: a-b+c=0.

Pierwszy pierwiastek to zawsze minus jeden, a drugi pierwiastek to minus z podzielony przez a:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Przykład 7) 2x2+9x+7=0.

Decyzja. a=2; b=9; c=7. Sprawdźmy równość: a-b+c=0. Otrzymujemy: 2-9+7=0 .

Następnie x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. Odpowiedź: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – równanie kwadratowe określonej postaci pod warunkiem : a+b+c=0.

Pierwszy pierwiastek jest zawsze równy jeden, a drugi pierwiastek jest równy z podzielony przez a:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Przykład 8) 2x2 -9x+7=0.

Decyzja. a=2; b=-9; c=7. Sprawdźmy równość: a+b+c=0. Otrzymujemy: 2-9+7=0 .

Następnie x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3,5. Odpowiedź: 1; 3,5.

Strona 1 z 1 1

Na kursie matematyki w 7 klasie po raz pierwszy spotykają się z równania z dwiema zmiennymi, ale są badane tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego jest poza zasięgiem wzroku cała linia problemy, w których na współczynnikach równania, które je ograniczają, wprowadza się określone warunki. Ponadto metody rozwiązywania problemów, takie jak „Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych lub całkowitych”, są również ignorowane, chociaż w UŻYWAJ materiałów i dalej egzaminy wstępne Tego rodzaju problemy stają się coraz bardziej powszechne.

Które równanie nazwiemy równaniem z dwiema zmiennymi?

Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami z dwiema zmiennymi.

Rozważ równanie 2x - y = 1. Zamienia się w prawdziwą równość przy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem rozważanego równania.

Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zestaw uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które to równanie zamienia w prawdziwą równość liczbową.

Równanie z dwiema niewiadomymi może:

a) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);

b) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

w) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;

G) mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Na przykład x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma wynosi 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać jako (k; 3 - k), gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na dekompozycji wyrażeń na czynniki, wybór pełnego kwadratu, wykorzystanie właściwości równania kwadratowego, ograniczenia wyrażeń oraz metody oceny. Równanie z reguły jest przekształcane do postaci, z której można uzyskać system znajdowania niewiadomych.

Faktoryzacja

Przykład 1

Rozwiąż równanie: xy - 2 = 2x - y.

Decyzja.

Terminy grupujemy na potrzeby faktoringu:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Wyjmij wspólny dzielnik z każdego nawiasu:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Mamy:

y = 2, x to dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y to dowolna liczba rzeczywista.

Zatem, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Zero nie jest liczby ujemne

Przykład 2

Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Decyzja.

Grupowanie:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można zwinąć za pomocą wzoru różnicy kwadratów.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Suma dwóch nieujemnych wyrażeń wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x - 2 = 0 i 2y - 3 = 0.

Więc x = 2/3 i y = 3/2.

Odpowiedź: (2/3; 3/2).

Metoda ewaluacji

Przykład 3

Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Decyzja.

W każdym nawiasie wybierz pełny kwadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacowanie znaczenie wyrażeń w nawiasach.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, to lewa strona równania wynosi zawsze co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeżeli:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y - 2) 2 + 2 = 2, więc x = -1, y = 2.

Odpowiedź: (-1; 2).

Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Ta metoda polega na tym, że równanie jest uważane za kwadrat względem jakiejś zmiennej.

Przykład 4

Rozwiąż równanie: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Decyzja.

Rozwiążmy równanie jako kwadratowe względem x. Znajdźmy wyróżnik:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, tj. jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do oryginalnego równania i znajdujemy, że x = 3.

Odpowiedź: (3; 4).

Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.

Przykład 5

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Decyzja.

Przepiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona otrzymanego równania po podzieleniu przez 5 daje resztę 2. Dlatego x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat liczby niepodzielnej przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: bez korzeni.

Przykład 6

Rozwiąż równanie: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Decyzja.

Wybierzmy pełne kwadraty w każdym nawiasie:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równanie jest zawsze większe lub równe 3. Równość jest możliwa pod warunkiem |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.

Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).

Przykład 7

Dla każdej pary liczb całkowitych ujemnych (x; y) spełniających równanie
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). Odpowiedz na najmniejszą kwotę.

Decyzja.

Wybierz pełne kwadraty:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ xiy są liczbami całkowitymi, ich kwadraty są również liczbami całkowitymi. Sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych, równą 37, otrzymujemy, dodając 1 + 36. Zatem:

(x - y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpowiedź: -17.

Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki będziesz w stanie poradzić sobie z każdym równaniem.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Usługa rozwiązywania równań online pomoże Ci rozwiązać dowolne równanie. Korzystając z naszej strony, nie tylko uzyskasz odpowiedź na równanie, ale także zobaczysz szczegółowe rozwiązanie, czyli wyświetlanie krok po kroku procesu uzyskiwania wyniku. Nasza usługa przyda się uczniom szkół średnich szkoły ogólnokształcące i ich rodziców. Studenci będą mogli przygotować się do sprawdzianów, egzaminów, sprawdzić swoją wiedzę, a rodzice będą mogli kontrolować rozwiązywanie równań matematycznych przez swoje dzieci. Umiejętność rozwiązywania równań wymóg obowiązkowy dla uczniów. Usługa pomoże Ci w samouczeniu się i pogłębianiu wiedzy z zakresu równań matematycznych. Dzięki niemu możesz rozwiązać dowolne równanie: kwadratowe, sześcienne, irracjonalne, trygonometryczne itp. serwis internetowy ale bezcenne, ponieważ oprócz poprawnej odpowiedzi otrzymujesz szczegółowe rozwiązanie każdego równania. Korzyści z rozwiązywania równań online. Na naszej stronie internetowej możesz rozwiązać dowolne równanie całkowicie bezpłatnie. Usługa jest w pełni automatyczna, nie musisz niczego instalować na swoim komputerze, wystarczy wprowadzić dane, a program wyda rozwiązanie. Wszelkie błędy obliczeniowe lub błędy typograficzne są wykluczone. U nas bardzo łatwo jest rozwiązać dowolne równanie online, więc upewnij się, że korzystasz z naszej strony do rozwiązywania wszelkiego rodzaju równań. Wystarczy wprowadzić dane, a obliczenia zostaną zakończone w ciągu kilku sekund. Program działa niezależnie, bez ingerencji człowieka, a Ty otrzymujesz dokładną i szczegółową odpowiedź. Rozwiązywanie równania w ogólny widok. W takim równaniu zmienne współczynniki i pożądane pierwiastki są ze sobą powiązane. Najwyższa potęga zmiennej określa kolejność takiego równania. Na tej podstawie do równań użyj różne metody i twierdzenia dotyczące znajdowania rozwiązań. Rozwiązywanie równań tego typu oznacza znalezienie pożądanych korzeni w ujęciu ogólnym. Nasza usługa pozwala rozwiązać nawet najbardziej złożone równania algebraiczne online. Możesz uzyskać zarówno ogólne rozwiązanie równania, jak i prywatne dla wartości liczbowych określonych współczynników. Aby rozwiązać równanie algebraiczne na stronie wystarczy poprawnie wypełnić tylko dwa pola: lewą i prawą część podane równanie. Na równania algebraiczne ze zmiennymi współczynnikami, nieskończoną liczbą rozwiązań, a ustalając pewne warunki, ze zbioru rozwiązań wybiera się te prywatne. Równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe ma postać ax^2+bx+c=0 dla a>0. Rozwiązanie równań o postaci kwadratowej implikuje znalezienie wartości x, przy których spełniona jest równość ax^2+bx+c=0. Aby to zrobić, wartość dyskryminatora znajduje się według wzoru D=b^2-4ac. Jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (pierwiastki pochodzą z ciała liczb zespolonych), jeśli jest równe zero, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty, a jeśli dyskryminator jest większy od zera, to równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki, które można znaleźć według wzoru: D \u003d -b + -sqrt / 2a. Aby rozwiązać równanie kwadratowe online, wystarczy wprowadzić współczynniki takiego równania (liczby całkowite, ułamki zwykłe lub wartości dziesiętne). Jeśli w równaniu występują znaki odejmowania, należy umieścić minus przed odpowiednimi członami równania. Możesz także rozwiązać równanie kwadratowe online w zależności od parametru, czyli zmiennych we współczynnikach równania. Nasza usługa online do wyszukiwania wspólne rozwiązania. Równania liniowe. Dla rozwiązań równania liniowe(lub układy równań) w praktyce stosuje się cztery główne metody. Opiszmy szczegółowo każdą metodę. Metoda substytucyjna. Rozwiązywanie równań metodą substytucji wymaga wyrażenia jednej zmiennej w kategoriach pozostałych. Następnie wyrażenie jest zastępowane innymi równaniami układu. Stąd podstawiana jest nazwa metody rozwiązania, czyli zamiast zmiennej jej wyrażenie przez pozostałe zmienne. W praktyce metoda wymaga: złożone obliczenia, choć łatwe do zrozumienia, więc rozwiązanie takiego równania online zaoszczędzi czas i ułatwi obliczenia. Wystarczy podać liczbę niewiadomych w równaniu i uzupełnić dane z równań liniowych, wtedy usługa dokona obliczeń. Metoda Gaussa. Metoda opiera się na najprostszych przekształceniach układu w celu uzyskania równoważnego układu trójkątnego. Niewiadome są z niej wyznaczane jedna po drugiej. W praktyce takie równanie należy rozwiązać online za pomocą szczegółowy opis, dzięki której dobrze opanujesz metodę Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych. Zapisz układ równań liniowych w odpowiednim formacie i uwzględnij liczbę niewiadomych, aby poprawnie rozwiązać układ. Metoda Cramera. Ta metoda rozwiązuje układy równań w przypadkach, w których układ ma unikalne rozwiązanie. Główną operacją matematyczną jest tutaj obliczenie wyznaczników macierzy. Rozwiązywanie równań metodą Cramera odbywa się online, natychmiast otrzymujesz wynik wraz z pełnym i szczegółowym opisem. Wystarczy wypełnić układ współczynnikami i wybrać liczbę nieznanych zmiennych. metoda macierzowa. Metoda ta polega na zebraniu współczynników dla niewiadomych w macierzy A, niewiadomych w kolumnie X i wyrazów wolnych w kolumnie B. W ten sposób układ równań liniowych sprowadza się do równania macierzowego postaci AxX=B. To równanie ma unikalne rozwiązanie tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A jest niezerowy, w przeciwnym razie układ nie ma rozwiązań lub nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązanie równań metodą macierzową polega na znalezieniu macierzy odwrotnej A.

Darmowy kalkulator oferowany Twojej uwadze ma bogaty arsenał możliwości obliczenia matematyczne. Umożliwia korzystanie z kalkulatora online w różne pola zajęcia: edukacyjny, profesjonalny oraz Reklama w telewizji. Oczywiście korzystanie z kalkulatora internetowego jest szczególnie popularne wśród studenci oraz uczniowie, znacznie ułatwia im wykonywanie różnorodnych obliczeń.

Jednak kalkulator może być użyteczne narzędzie w niektórych branżach i dla ludzi różne zawody. Oczywiście konieczność korzystania z kalkulatora w biznesie lub aktywność zawodowa zależy przede wszystkim od samego rodzaju działalności. Jeśli biznes i zawód są powiązane z stałe rozliczenia i obliczeń, warto wypróbować kalkulator elektroniczny i ocenić stopień jego przydatności w konkretnym przypadku.

Ten kalkulator online może

• Prawidłowo wykonuj standardowe funkcje matematyczne zapisane w jednym wierszu, takie jak - 12*3-(7/2) i radzi sobie z liczbami większymi niż liczymy ogromne liczby w kalkulatorze online.Nie wiemy nawet, jak poprawnie zadzwonić na taki numer ( są 34 znaki i to wcale nie jest limit).
• Oprócz tangens, cosinus, Zatoka i inne standardowe funkcje - kalkulator wspomaga operacje obliczeniowe łuk styczny, łuk styczny i inni.
• Dostępny w arsenale logarytmy, silnia i inne fajne funkcje
• Ten kalkulator online może tworzyć wykresy!!!

Do wykreślania wykresów usługa wykorzystuje specjalny przycisk (rysowany jest szary wykres) lub dosłowną reprezentację tej funkcji (Wykres). Aby zbudować wykres w kalkulatorze online, po prostu napisz funkcję: wykres(tan(x)),x=-360..360.

Dla stycznej wzięliśmy najprostszy wykres, a po przecinku wskazaliśmy zakres zmiennej X od -360 do 360.

Możesz zbudować absolutnie dowolną funkcję, z dowolną liczbą zmiennych, na przykład: wykres(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Lub nawet bardziej złożone, niż myślisz. Zwracamy uwagę na zachowanie zmiennej X - odstęp od i do jest wskazywany za pomocą dwóch punktów.

Jedyny minus (choć trudno to nazwać negatywem) tego kalkulator online to jest, że nie umie budować kul i innych trójwymiarowych figur - tylko samolot.

Jak pracować z kalkulatorem matematycznym

1. Wyświetlacz (ekran kalkulatora) wyświetla wpisane wyrażenie i wynik jego obliczenia zwykłymi znakami, tak jak piszemy na papierze. To pole służy po prostu do przeglądania bieżącej operacji. Wpis jest wyświetlany na wyświetlaczu podczas wpisywania wyrażenia matematycznego w wierszu wprowadzania.

2. Pole wejściowe wyrażenia służy do zapisania wyrażenia, które ma zostać obliczone. Należy tutaj zauważyć, że symbole matematyczne użyte w programy komputerowe, nie zawsze pokrywają się z tymi, których zwykle używamy na papierze. W przeglądzie każdej funkcji kalkulatora znajdziesz prawidłowe oznaczenie dla konkretnej operacji oraz przykłady obliczeń w kalkulatorze. Na tej stronie poniżej znajduje się lista wszystkich możliwych operacji w kalkulatorze, wskazująca również ich poprawną pisownię.

3. Pasek narzędzi - są to przyciski kalkulatora, które zastępują ręczne wprowadzanie symboli matematycznych wskazujących odpowiednią operację. Niektóre przyciski kalkulatora (funkcje dodatkowe, przelicznik jednostek, rozwiązanie macierzy i równań, wykresy) uzupełniają pasek zadań o nowe pola, w których wprowadzane są dane do konkretnego obliczenia. Pole „Historia” zawiera przykłady pisania wyrażeń matematycznych, a także sześć ostatnich wpisów.

Należy pamiętać, że po naciśnięciu przycisków do wywoływania dodatkowych funkcji, konwertera wartości, rozwiązywania macierzy i równań, kreślenia wykresów, cały panel kalkulatora przesuwa się w górę, zasłaniając część wyświetlacza. Wypełnij wymagane pola i naciśnij klawisz „I” (podświetlony na czerwono na rysunku), aby wyświetlić wyświetlacz w pełnym rozmiarze.

4. Klawiatura numeryczna zawiera cyfry i znaki arytmetyczne. Przycisk „C” usuwa cały wpis w polu wprowadzania wyrażenia. Aby usunąć znaki jeden po drugim, musisz użyć strzałki po prawej stronie wiersza wejściowego.

Staraj się zawsze zamykać nawiasy na końcu wyrażenia. W przypadku większości operacji nie jest to krytyczne, kalkulator online obliczy wszystko poprawnie. Jednak w niektórych przypadkach możliwe są błędy. Na przykład przy podnoszeniu do potęgi ułamkowej niezamknięte nawiasy spowodują, że mianownik ułamka w wykładniku przejdzie do mianownika podstawy. Na wyświetlaczu nawias zamykający jest zaznaczony w kolorze jasnoszarym, należy go zamknąć po zakończeniu nagrywania.