Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie dla bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych publicznych ważne okazje.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Komunalny instytucja edukacyjna

przeciętny Szkoła ogólnokształcąca №1

Sztuka. Bryuchowieckaja

miasto Rejon Bryukhovetsky

Nauczyciel matematyki

Guczenko Anżela Wiktorowna

rok 2014

Funkcja y =
, jego właściwości i wykres

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału

Cele Lekcji:

Zadania rozwiązane na lekcji:

nauczyć uczniów samodzielnej pracy;

robić założenia i domysły;

umieć uogólniać badane czynniki.

Ekwipunek: tablica, kreda, projektor multimedialny, Rozdawać

Czas lekcji.

Ustalenie tematu lekcji wspólnie z uczniami -1 minuta.

Ustalenie celów i zadań lekcji wspólnie z uczniami -1 minuta.

Aktualizacja wiedzy (badanie czołowe) -3 min.

Praca ustna -3 min.

Wyjaśnienie nowego materiału, oparte na tworzeniu sytuacji problemowych -7 minut

Fizminutka -2 minuty.

Budowanie wykresu wraz z klasą wraz z projektem konstrukcji w zeszytach i określeniem właściwości funkcji, praca z podręcznikiem -10 minut.

Konsolidacja zdobytej wiedzy i rozwijanie umiejętności przekształcania grafów -9 minut .

Podsumowanie lekcji, ustalenie informacja zwrotna – 3 min.

Zadanie domowe -1 minuta.

Razem 40 minut.

Podczas zajęć.

Ustalenie tematu lekcji wspólnie z uczniami (1 min).

Temat lekcji ustalają uczniowie za pomocą pytań wiodących:

funkcjonować- praca wykonywana przez ciało, ciało jako całość.

funkcjonować- możliwość, opcja, zdolność programu lub urządzenia.

funkcjonować- obowiązek, zakres działalności.

funkcjonować postać w dziele literackim.

funkcjonować- rodzaj podprogramu w informatyce

funkcjonować w matematyce prawo zależności jednej wielkości od drugiej.

Ustalenie celów i zadań lekcji wspólnie z uczniami (1 min).

Nauczyciel z pomocą uczniów formułuje i ogłasza cele i zadania tej lekcji.

Aktualizacja wiedzy (badanie czołowe - 3 min).

Praca ustna - 3 min.

Praca z przodu.

(A i B należą, C nie)

Wyjaśnienie nowego materiału (na podstawie tworzenia sytuacji problemowych - 7 min).

Sytuacja problemowa: opisać właściwości nieznanej funkcji.

Podziel klasę na 4-5 osobowe zespoły, rozdaj formularze, aby odpowiedzieć na pytania

Formularz №1

y=0, przy x=?

Zakres funkcji.

Zbiór wartości funkcji.

Na każde pytanie odpowiada jeden z przedstawicieli zespołu, pozostałe zespoły głosują „za” lub „przeciw” kartami sygnałowymi i, jeśli to konieczne, uzupełniają odpowiedzi kolegów z klasy.

Wspólnie z klasą wyciągnij wnioski dotyczące dziedziny definicji, zbioru wartości, zer funkcji y=.

Sytuacja problemowa : spróbuj zbudować wykres nieznanej funkcji (jest dyskusja w zespołach, poszukiwanie rozwiązania).

Z nauczycielem przywoływany jest algorytm konstruowania wykresów funkcji. Uczniowie w zespołach próbują narysować wykres funkcji y \u003d na formularzach, a następnie wymieniać między sobą formularze w celu samodzielnej i wzajemnej weryfikacji.

Fizminutka (klauna)

Budowanie wykresu wraz z klasą wraz z projektem konstrukcji w zeszytach - 10 min.

Po ogólnej dyskusji zadanie skonstruowania wykresu funkcji y \u003d jest wykonywane indywidualnie przez każdego ucznia w zeszycie. Nauczyciel w tym czasie zapewnia uczniom zróżnicowaną pomoc. Po wykonaniu zadania uczniom pokazywany jest wykres funkcji na tablicy i proszeni są o odpowiedź na następujące pytania:

Wniosek: wspólnie z uczniami ponownie wyciągnij wnioski dotyczące właściwości funkcji i przeczytaj je z podręcznika:

Utrwalanie nabytej wiedzy i rozwijanie umiejętności przekształcania wykresu - 9 min.

Uczniowie pracują nad swoją kartą (według opcji), potem zmieniają się i sprawdzają. Wykresy są następnie wyświetlane na tablicy, a uczniowie oceniają swoją pracę, porównując ją z tablicą.

Karta #1

Karta #2

Wniosek: o przekształceniach wykresów

1) translacja równoległa wzdłuż osi OS

2) przesunięcie wzdłuż osi OX.

9. Podsumowanie lekcji, ustalenie informacji zwrotnej - 3 min.

SLAJDY – wstaw brakujące słowa

Zakres tej funkcji, wszystkie liczby, z wyjątkiem ... (negatywny).

Wykres funkcji znajduje się w ... (I) mieszkanie.

Gdy wartość argumentu x = 0, wartość ... (Funkcje) y = ... (0).

Największa wartość funkcji... (nie istnieje), najmniejsza wartość - …(równe 0)

10. Praca domowa (z komentarzami - 1 min).

Według podręcznika- §trzynaście

Zgodnie z książką problemów- nr 13.3, nr 74 (powtórzenie niepełnych równań kwadratowych)

Cele podstawowe:

1) sformułowanie idei celowości uogólnionego badania zależności wielkości rzeczywistych na przykładzie wielkości, powiązany związek y=

2) kształtowanie umiejętności kreślenia y= i jego własności;

3) powtarzać i utrwalać metody obliczeń ustnych i pisemnych, podnoszenie do kwadratu, wyciąganie pierwiastka kwadratowego.

Sprzęt, materiały demonstracyjne: materiały informacyjne.

1. Algorytm:

2. Przykład wykonania zadania w grupach:

3. Próbka do samodzielnego sprawdzenia pracy samodzielnej:

4. Karta do etapu refleksji:

1) Zorientowałem się, jak narysować funkcję y=.

2) Potrafię wymienić jego właściwości zgodnie z harmonogramem.

3) Nie popełniałem błędów w samodzielnej pracy.

4) Popełniłem błędy w samodzielnej pracy (wymień te błędy i wskaż ich przyczynę).

Podczas zajęć

1. Samostanowienie w działaniach edukacyjnych

Cel sceny:

1) włączać uczniów w zajęcia edukacyjne;

2) określ treść lekcji: kontynuujemy pracę z liczbami rzeczywistymi.

Organizacja proces edukacyjny w kroku 1:

Czego uczyliśmy się na ostatniej lekcji? (Zbadaliśmy zbiór liczb rzeczywistych, działania z nimi, zbudowaliśmy algorytm do opisu właściwości funkcji, powtórzyliśmy funkcje badane w klasie 7).

– Dzisiaj będziemy kontynuować pracę ze zbiorem liczb rzeczywistych, funkcją.

2. Aktualizacja wiedzy i naprawianie trudności w działaniach

Cel sceny:

1) zaktualizować treści edukacyjne niezbędne i wystarczające do percepcji nowego materiału: funkcja, zmienna niezależna, zmienna zależna, wykresy

y \u003d kx + m, y \u003d kx, y \u003d c, y \u003d x 2, y \u003d - x 2,

2) zaktualizować operacje umysłowe niezbędne i wystarczające do percepcji nowego materiału: porównanie, analiza, uogólnienie;

3) naprawić wszystkie powtarzające się koncepcje i algorytmy w postaci schematów i symboli;

4) ustalić indywidualną trudność w działaniu, wykazując niewystarczalność istniejącej wiedzy na osobiście istotnym poziomie.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 2:

1. Pamiętajmy, jak ustawić zależności między wielkościami? (Za pomocą tekstu, wzoru, tabeli, wykresu)

2. Co nazywa się funkcją? (Relacja między dwiema wielkościami, gdzie każda wartość jednej zmiennej odpowiada pojedynczej wartości drugiej zmiennej y = f(x)).

Jak nazywa się x? (zmienna niezależna - argument)

Jak masz na imię? (Zmienna zależna).

3. Czy uczyliśmy się funkcji w 7 klasie? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2 , y = - x 2 , ).

Zadanie indywidualne:

Jaki jest wykres funkcji y = kx + m, y =x 2 , y = ?

3. Identyfikacja przyczyn trudności i wyznaczenie celu działania

Cel sceny:

1) organizować interakcję komunikacyjną, podczas której cecha wyróżniająca zadania, które powodowały trudności w zajęciach edukacyjnych;

2) uzgodnić cel i temat lekcji.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 3:

Co jest specjalnego w tym zadaniu? (Zależność podaje wzór y = którego jeszcze nie poznaliśmy).

- Jaki jest cel lekcji? (Zapoznaj się z funkcją y \u003d, jej właściwościami i wykresem. Funkcja w tabeli określa rodzaj zależności, zbuduj formułę i wykres.)

- Czy potrafisz odgadnąć temat lekcji? (Funkcja y=, jej właściwości i wykres).

- Napisz temat w swoim notatniku.

4. Budowanie projektu wyjścia z trudności

Cel sceny:

1) organizować interakcję komunikacyjną w celu zbudowania nowego sposobu działania, który eliminuje przyczynę zidentyfikowanej trudności;

2) naprawić nowy sposób czynności w formie migowej, słownej i przy pomocy normy.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 4:

Pracę na scenie można podzielić na grupy, zapraszając grupy do wykreślenia y = , a następnie przeanalizuj wyniki. Można również zaproponować grupy do opisu właściwości tej funkcji zgodnie z algorytmem.

5. Konsolidacja pierwotna w mowie zewnętrznej

Cel etapu: naprawienie badanych treści edukacyjnych w mowie zewnętrznej.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 5:

Zbuduj wykres y= - i opisz jego właściwości.

Właściwości y= - .

1.Zakres definicji funkcji.

2.Zakres wartości funkcji.

3. y=0, y>0, y<0.

y=0 jeśli x=0.

tak<0, если х(0;+)

4. Zwiększ, zmniejsz funkcję.

Funkcja maleje przy x.

Wykreślmy y=.

Wybierzmy jego część na odcinku . Zauważmy to w Naim. = 1 dla x = 1 i y max. \u003d 3 dla x \u003d 9.

Odpowiedź: naim. = 1, przy max. =3

6. Niezależna praca z autotestem zgodnie ze standardem

Cel etapu: sprawdzenie umiejętności zastosowania nowej treści nauczania w typowych warunkach na podstawie porównania Twojego rozwiązania ze standardem do samodzielnego testowania.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 6:

Studenci wykonują zadanie samodzielnie, przeprowadzają autotest zgodnie ze standardem, analizują, poprawiają błędy.

Wykreślmy y=.

Korzystając z wykresu, znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie.

7. Włączenie do systemu wiedzy i powtórzenie

Cel etapu: wyszkolenie umiejętności korzystania z nowych treści w połączeniu z wcześniej wyuczonymi: 2) powtórzenie treści nauczania, które będą wymagane na kolejnych lekcjach.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 7:

Rozwiąż graficznie równanie: \u003d x - 6.

Jeden uczeń przy tablicy, reszta w zeszytach.

8. Odbicie aktywności

Cel sceny:

1) naprawić nowe treści poznane na lekcji;

2) oceniać własne czynności na lekcji;

3) podziękować kolegom z klasy, którzy pomogli uzyskać wynik lekcji;

4) ustalić nierozwiązane trudności jako wskazówki dla przyszłych działań edukacyjnych;

5) Omów i zapisz pracę domową.

Organizacja procesu edukacyjnego na etapie 8:

- Chłopaki, jaki był dla nas dzisiejszy cel? (Przestudiuj funkcję y \u003d, jej właściwości i wykres).

- Jaka wiedza pomogła nam osiągnąć cel? (Umiejętność wyszukiwania wzorców, umiejętność czytania wykresów.)

- Przejrzyj swoje działania w klasie. (karty refleksyjne)

Zadanie domowe

poz. 13 (do przykładu 2) № 13.3, 13.4

Rozwiąż graficznie równanie:

Narysuj wykres funkcji i opisz jego właściwości.

8 klasa

Nauczyciel: Melnikova TV

Cele Lekcji:

Ekwipunek:

Komputer, tablica interaktywna, materiały informacyjne.

Prezentacja do lekcji.

PODCZAS ZAJĘĆ

Plan lekcji.

Wprowadzenie przez nauczyciela.

Powtórzenie wcześniej poznanego materiału.

Nauka nowego materiału (praca grupowa).

Badania funkcji. Właściwości wykresu.

Omówienie harmonogramu (praca czołowa).

Gra w karty matematyczne.

Wyniki lekcji.

I. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Powitanie nauczyciela.

Nauczyciel :

Zależność jednej zmiennej od drugiej nazywa się funkcją. Do tej pory studiowałeś funkcje y = kx + b; y \u003d k / x, y \u003d x 2. Dzisiaj będziemy kontynuować nasze badanie funkcji. W dzisiejszej lekcji dowiesz się, jak wygląda wykres funkcji pierwiastka kwadratowego, nauczysz się samodzielnie budować wykresy funkcji pierwiastka kwadratowego.

Zapisz temat lekcji (slajd1).

2. Powtórzenie przerabianego materiału.

1. Jakie są nazwy funkcji określonych wzorami:

a) y=2x+3; b) y=5/x; c) y \u003d -1 / 2x + 4; d) y=2x; e) y \u003d -6 / x e) y \u003d x 2?

2. Jaki jest ich harmonogram? Jak to się znajduje? Określ zakres i zakres każdej z tych funkcji ( na ryc. pokazane są wykresy funkcji podanych przez te wzory, dla każdej funkcji wskazać jej typ) (slajd2).

3. Jaki jest wykres każdej funkcji, jak zbudowane są te wykresy?

(slajd3, wykresy funkcji są konstruowane schematycznie).

3. Nauka nowego materiału.

Nauczyciel:

Więc dzisiaj studiujemy funkcję
i jej harmonogram.

Wiemy, że wykres funkcji y \u003d x 2 jest parabolą. Jaki będzie wykres funkcji y \u003d x 2, jeśli weźmiemy tylko x ≥ 0? Jest częścią paraboli - jej prawej gałęzi. Teraz wykreślmy funkcję
.

Powtórzmy algorytm konstruowania wykresów funkcji ( slajd 4, z algorytmem)

Pytanie : Jak myślisz, patrząc na zapis analityczny funkcji, możesz powiedzieć, jakie wartości X dozwolony? (Tak, x≥0). Ponieważ wyrażenie
ma sens dla wszystkich x większych lub równych 0.

Nauczyciel: W zjawiskach naturalnych, w działalności człowieka, często występują relacje między dwiema wielkościami. Jaki wykres może przedstawiać tę zależność? ( Praca grupowa)

Klasa podzielona jest na grupy. Każda grupa otrzymuje zadanie: narysować wykres funkcji
na papierze milimetrowym, śledząc wszystkie punkty algorytmu. Następnie reprezentant z każdej grupy wychodzi i pokazuje pracę grupy. (magazyn 5 otwiera się, sprawdzanie w toku, następnie harmonogram budowany w zeszytach)

4. Studium funkcji (praca w grupie jest kontynuowana)

Nauczyciel:

znajdź zakres funkcji;

znajdź zakres funkcji;

określić przedziały spadku (wzrostu) funkcji;

y>0, y<0.

Zapisz wyniki (slajd 6).

Nauczyciel: Przeanalizujmy wykres. Wykres funkcji jest gałęzią paraboli.

Pytanie : Powiedz mi, czy widziałeś kiedyś ten wykres?

Spójrz na wykres i powiedz mi, czy przecina linię OX? (Nie) OU? (Nie). Spójrz na wykres i powiedz mi, czy wykres ma środek symetrii? Oś symetrii?

Podsumujmy:

Teraz uwierzmy, jak nauczyliśmy się nowego tematu i powtórzyliśmy omawiany materiał. Gra w karty matematyczne. (Zasady gry: każda grupa 5 osób otrzymuje zestaw kart (25 kart). Każdy gracz otrzymuje 5 kart, na których zapisane są pytania. Pierwszy uczeń przekazuje jedną z kart drugiemu uczniowi, kto ma odpowiedzieć na pytanie z kartki Jeśli uczeń odpowie na pytanie, to karta zostaje pobita, jeśli nie, to uczeń bierze kartkę dla siebie i zdradza ruch itd. łącznie 5 ruchów. Jeżeli uczeń nie ma kartek po lewej, wynik wynosi -5, jest 1 kartka – wynik 4, 2 kartki – wynik 3, 3 kartki – wynik – 2)

5. Wyniki lekcji.(uczniowie są oceniani na listach kontrolnych)

Praca domowa.

Poz. 8.

Rozwiąż #172, #179, #183.

Przygotować raporty na temat „Zastosowanie funkcji w różnych dziedzinach nauki iw literaturze”.

Odbicie.

Pokaż swój nastrój zdjęciami na stole.

Dzisiejsza lekcja

Lubię to.

Nie lubiłem.

Materiał lekcji zrozumiał, nie zrozumiał).

Podano główne właściwości funkcja zasilania, w tym formuły i właściwości korzeni. Pochodna, całka, rozwinięcie w seria mocy oraz reprezentacja funkcji potęgowej za pomocą liczb zespolonych.

Definicja

Definicja
Funkcja potęgowa z wykładnikiem p jest funkcją f (x) = xp, którego wartość w punkcie x jest równa wartości funkcji wykładniczej o podstawie x w punkcie p .
Ponadto f (0) = 0 p = 0 dla p > 0 .

Dla naturalnych wartości wykładnika funkcja potęgowa jest iloczynem n liczb równych x :
.
Jest zdefiniowany dla wszystkich prawdziwych.

Dla dodatnich wartości wymiernych wykładnika funkcja potęgowa jest iloczynem n pierwiastków stopnia m od liczby x:
.
Dla nieparzystego m jest ono zdefiniowane dla wszystkich rzeczywistych x . Dla parzystego m funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla nieujemnej .

W przypadku ujemnych funkcja potęgowa jest określona wzorem:
.
Dlatego nie jest zdefiniowany w punkcie .

Dla niewymiernych wartości wykładnika p funkcję wykładniczą określa wzór:
,
gdzie a jest dowolną liczbą dodatnią nie równą jeden: .
Dla , jest zdefiniowany dla .
Dla , funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla .

Ciągłość. Funkcja potęgowa jest ciągła w swojej dziedzinie definicji.

Własności i wzory funkcji potęgowej dla x ≥ 0

Tutaj rozważamy właściwości funkcji potęgowej dla nieujemnych wartości argumentu x . Jak stwierdzono powyżej, dla niektórych wartości wykładnika p , funkcja wykładnicza jest również definiowana dla ujemnych wartości x . W takim przypadku jego właściwości można uzyskać z właściwości w , używając parzystości lub parzystości. Przypadki te zostały szczegółowo omówione i zilustrowane na stronie „”.

Funkcja potęgowa, y = x p , z wykładnikiem p ma następujące własności:
(1.1) zdefiniowany i ciągły na planie
w ,
w ;
(1.2) ma wiele znaczeń
w ,
w ;
(1.3) ściśle wzrasta o ,
ściśle maleje w ;
(1.4) w ;
w ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dowód właściwości jest podany na stronie Funkcja potęgowa (Dowód ciągłości i właściwości).

Korzenie - definicja, wzory, właściwości

Definicja
Pierwiastek x do potęgi n jest liczbą, której podniesienie do potęgi n daje x:
.
Tutaj n = 2, 3, 4, ... jest liczbą naturalną większą niż jeden.

Można również powiedzieć, że pierwiastek liczby x stopnia n jest pierwiastkiem (czyli rozwiązaniem) równania
.
Zauważ, że funkcja jest odwrotnością funkcji.

Pierwiastek kwadratowy od numeru x jest pierwiastkiem stopnia 2: .

Pierwiastek sześcienny z x jest pierwiastkiem stopnia 3: .

Nawet stopień

Dla parzystych potęg n = 2 mln, pierwiastek jest zdefiniowany dla x ≥ 0 . Często używany wzór jest ważny zarówno dla dodatniego, jak i ujemnego x :
.
Dla pierwiastka kwadratowego:
.

Istotna jest tu kolejność wykonywania operacji – tzn. najpierw wykonuje się podniesienie do kwadratu, co daje w wyniku liczbę nieujemną, a następnie wyciąga się z niej pierwiastek (z liczby nieujemnej można wydobyć pierwiastek kwadratowy ). Gdybyśmy zmienili kolejność: , to dla ujemnego x pierwiastek byłby niezdefiniowany, a wraz z nim całe wyrażenie byłoby niezdefiniowane.

nieparzysty stopień

Dla potęg nieparzystych pierwiastek jest zdefiniowany dla wszystkich x:
;
.

Właściwości i formuły korzeni

Pierwiastek x jest funkcją potęgową:
.
Dla x ≥ 0 obowiązują następujące formuły:
;
;
, ;
.

Wzory te można również zastosować do ujemnych wartości zmiennych. Trzeba tylko zadbać o to, by radykalne wyrażanie równych sił nie było negatywne.

Wartości prywatne

Korzeń 0 to 0: .
Pierwiastek 1 to 1: .
Pierwiastek kwadratowy z 0 to 0: .
Pierwiastek kwadratowy z 1 to 1: .

Przykład. Korzeń z korzeni

Rozważmy przykład pierwiastka kwadratowego z pierwiastków:
.
Przekształć wewnętrzny pierwiastek kwadratowy, korzystając z powyższych wzorów:
.
Teraz przekształćmy pierwotny korzeń:
.
Więc,
.

y = x p dla różnych wartości wykładnika p .

Oto wykresy funkcji dla nieujemnych wartości argumentu x. Wykresy funkcji wykładniczej, zdefiniowane dla ujemnych wartości x, podane są na stronie „Funkcja potęgowa, jej właściwości i wykresy”

Funkcja odwrotna

Odwrotnością funkcji potęgowej z wykładnikiem p jest funkcja potęgowa z wykładnikiem 1/p .

Jeśli następnie .

Pochodna funkcji potęgowej

Pochodna n-tego rzędu:
;

Wyprowadzanie wzorów > > >

Całka funkcji potęgowej

P≠- 1 ;
.

Rozszerzenie serii mocy

Na - 1 < x < 1 następuje następujący rozkład:

Wyrażenia w postaci liczb zespolonych

Rozważmy funkcję zmiennej zespolonej z :
f (z) = z t.
Wyrażamy zmienną zespoloną z w postaci modułu r i argumentu φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Liczbę zespoloną t reprezentujemy jako części rzeczywiste i urojone:
t = p + i q .
Mamy:

Ponadto bierzemy pod uwagę, że argument φ nie jest jednoznacznie zdefiniowany:
,

Rozważ przypadek, gdy q = 0 , to znaczy wykładnik jest liczbą rzeczywistą, t = p. Następnie
.

Jeśli p jest liczbą całkowitą, to kp jest również liczbą całkowitą. Następnie ze względu na okresowość funkcji trygonometrycznych:
.
Tj funkcja wykładnicza z wykładnikiem całkowitym, dla danego z, ma tylko jedną wartość i dlatego jest jednowartościowy.

Jeśli p jest niewymierne, to iloczyny kp nie dają liczby całkowitej dla żadnego k. Ponieważ k przebiega przez nieskończoną serię wartości k = 0, 1, 2, 3, ..., to funkcja z p ma nieskończenie wiele wartości. Ilekroć argument z jest zwiększany 2 π(jeden obrót) przechodzimy do nowej gałęzi funkcji.

Jeśli p jest wymierne, to można je przedstawić jako:
, gdzie m, n- całe, nie zawierające wspólne dzielniki. Następnie
.
Pierwsze n wartości, dla k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dany różne znaczenia kp :
.
Jednak kolejne wartości dają wartości, które różnią się od poprzednich o liczbę całkowitą. Na przykład dla k = k 0+n mamy:
.
Funkcje trygonometryczne, którego argumenty różnią się wielokrotnością 2 π, mają równe wartości. Dlatego przy dalszym wzroście k otrzymujemy te same wartości z p jak dla k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Zatem funkcja wykładnicza z racjonalny wskaźnik stopień jest wielowartościowy i ma n wartości (gałęzi). Ilekroć argument z jest zwiększany 2 π(jeden obrót) przechodzimy do nowej gałęzi funkcji. Po n takich turach wracamy do pierwszej gałęzi, od której rozpoczęło się odliczanie.

W szczególności pierwiastek stopnia n ma n wartości. Jako przykład rozważmy n-ty pierwiastek rzeczywistej liczby dodatniej z = x. W tym przypadku φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Tak więc dla pierwiastka kwadratowego n = 2 ,
.
Nawet dla k, (- 1 ) k = 1. Dla nieparzystego k, (- 1 ) k = - 1.
Oznacza to, że pierwiastek kwadratowy ma dwa znaczenia: + i -.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.