Przykłady na temat stopnia z wykładnikiem racjonalnym. Własności stopni, sformułowania, dowody, przykłady

Lekcja wideo „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem” zawiera wizualizację materiał edukacyjny uczyć na ten temat. Lekcja wideo zawiera informacje o pojęciu stopnia z racjonalnym wykładnikiem, właściwościach takich stopni, a także przykłady opisujące wykorzystanie materiałów edukacyjnych do rozwiązywania praktycznych problemów. Zadaniem tej lekcji wideo jest jasne i jasne przedstawienie materiału edukacyjnego, ułatwienie jego opracowywania i zapamiętywania przez uczniów, kształtowanie umiejętności rozwiązywania problemów z wykorzystaniem poznanych pojęć.

Główne zalety lekcji wideo to możliwość dokonywania przekształceń wizualnych i obliczeń, możliwość wykorzystania efektów animacji w celu poprawy efektywności uczenia się. Akompaniament głosowy pomaga rozwijać poprawną mowę matematyczną, a także umożliwia zastąpienie wyjaśnień nauczyciela, uwalniając go do samodzielnej pracy.

Samouczek wideo zaczyna się od wprowadzenia tematu. Łączenie badania nowy temat W przypadku poprzednio badanego materiału sugeruje się przypomnieć, że n √ a jest inaczej oznaczane przez 1/n dla naturalnego n i dodatniego a. Ta reprezentacja n-root jest wyświetlana na ekranie. Ponadto proponuje się rozważenie, co oznacza wyrażenie a m / n, w którym a jest liczbą dodatnią, a m / n jest ułamkiem. Definicja stopnia wyróżnionego w ramce jest podana z wykładnikiem wymiernym jako a m/n = n √ a m . Należy zauważyć, że n może być liczbą naturalną, a m - liczbą całkowitą.

Po określeniu stopnia za pomocą wykładnika wymiernego jego znaczenie ujawniają przykłady: (5/100) 3/7 = 7 √(5//100) 3 . Pokazano również przykład, w którym potęga reprezentowana przez ułamek dziesiętny jest zamieniana na frakcja być reprezentowanym jako pierwiastek: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i ujemny wykładnik przykład: 3 -1/8 = 8 √3 -jeden .

Osobno wskazana jest cecha konkretnego przypadku, gdy podstawa stopnia wynosi zero. Należy zauważyć, że ten stopień ma sens tylko z dodatnim wykładnikiem ułamkowym. W tym przypadku jego wartość jest równa zero: 0 m/n =0.

Zauważono inną cechę stopnia z wykładnikiem wymiernym - stopień z wykładnikiem ułamkowym nie może być rozpatrywany z wykładnikiem ułamkowym. Podano przykłady nieprawidłowego zapisu stopnia: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

W dalszej części lekcji wideo brane są pod uwagę właściwości stopnia z wymiernym wykładnikiem. Należy zauważyć, że właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym będą również ważne dla stopnia z wykładnikiem wymiernym. Proponuje się przywołanie listy właściwości, które obowiązują również w: ta sprawa:

1. Mnożąc potęgi za pomocą te same podstawy ich wskaźniki sumują się: a p a q =a p+q .
2. Podział stopni o tych samych podstawach sprowadza się do stopnia o danej podstawie i różnicy wykładników: a p:a q =a p-q .
3. Jeśli podniesiemy potęgę do pewnej potęgi, to w rezultacie otrzymamy potęgę o danej podstawie i iloczynie wykładników: (a p) q =a pq .

Wszystkie te własności obowiązują dla potęg o wymiernych wykładnikach p, q i dodatniej podstawie a>0. Również transformacje stopni pozostają prawdziwe podczas otwierania nawiasów:

1. (ab) p =a p b p - podniesienie iloczynu dwóch liczb do pewnej potęgi z wykładnikiem wymiernym sprowadza się do iloczynu liczb, z których każda jest podnoszona do określonej potęgi.
2. (a/b) p =a p /b p - potęga z wykładnikiem wymiernym ułamka sprowadza się do ułamka, którego licznik i mianownik są podniesione do danej potęgi.

Samouczek wideo omawia rozwiązanie przykładów wykorzystujących rozważane właściwości stopni z wykładnikiem wymiernym. W pierwszym przykładzie proponuje się znaleźć wartość wyrażenia, które zawiera zmienne x do potęgi ułamkowej: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Pomimo złożoności wyrażenia, przy użyciu właściwości stopni, rozwiązuje się go dość prosto. Rozwiązanie zadania rozpoczyna się od uproszczenia wyrażenia, które wykorzystuje zasadę podnoszenia potęgi z wykładnikiem rozumnym do potęgi, a także mnożenia potęg o tej samej podstawie. Po podstawieniu podanej wartości x=8 do uproszczonego wyrażenia x 1/3 +48, ​​łatwo uzyskać wartość - 50.

W drugim przykładzie wymagane jest zmniejszenie ułamka, którego licznik i mianownik zawierają potęgi z wykładnikiem wymiernym. Wykorzystując własności stopnia, z różnicy dobieramy czynnik x 1/3, który jest następnie redukowany w liczniku i mianowniku, i korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, licznik jest rozkładany na czynniki, co daje większe redukcje stopnia te same czynniki w liczniku i mianowniku. Wynikiem takich przekształceń jest krótki ułamek x 1/4 +3.

Zamiast nauczyciela wyjaśniającego nowy temat lekcji można wykorzystać lekcję wideo „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem”. Niniejsza instrukcja zawiera również: pełna informacja dla samokształcenie student. Materiał może być przydatny w nauce na odległość.

Z wykładników całkowitych liczby a nasuwa się przejście do wykładnika wymiernego. Poniżej definiujemy stopień z wykładnikiem wymiernym i zrobimy to w taki sposób, aby zachowane zostały wszystkie właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Jest to konieczne, ponieważ liczby całkowite są częścią liczb wymiernych.

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych składa się z liczb całkowitych i ułamkowych, a każda liczba ułamkowa może być reprezentowana jako dodatnia lub ujemna wspólny ułamek. W poprzednim akapicie zdefiniowaliśmy stopień wykładnikiem całkowitym, dlatego aby uzupełnić definicję stopnia wykładnikiem wymiernym, musimy podać znaczenie stopnia liczby a z ułamkiem m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą i n- naturalny. Zróbmy to.

Rozważ stopień z ułamkowym wykładnikiem postaci . Aby własność stopnia w stopniu pozostała ważna, równość musi być zachowana . Jeśli weźmiemy pod uwagę wynikową równość i sposób, w jaki ustaliliśmy pierwiastek n-tego stopnia, to logiczne jest przyjęcie, pod warunkiem, że z danymi m, n oraz a wyrażenie ma sens.

Łatwo jest sprawdzić, czy wszystkie właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym są prawidłowe dla as (jest to zrobione w sekcji dotyczącej właściwości stopnia z wykładnikiem wymiernym).

Powyższe rozumowanie pozwala nam na następujące: wniosek: jeśli podano m, n oraz a wyrażenie ma sens, to potęga liczby a z ułamkiem m/n zwany korzeń n stopień a w stopniu m.

To stwierdzenie zbliża nas do definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Pozostaje tylko opisać pod czym m, n oraz a wyrażenie ma sens. W zależności od ograniczeń nałożonych na m, n oraz a istnieją dwa główne podejścia.

1. Najprostszym sposobem jest nałożenie ograniczenia na a, akceptuję a≥0 dla pozytywnych m oraz a>0 dla negatywu m(ponieważ w m≤0 stopień 0 mln nieokreślony). Następnie otrzymujemy następującą definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Stopień liczby dodatniej a z ułamkiem m/n , gdzie m jest całością i n – Liczba naturalna, nazywa się korzeniem n-ty spośród a w stopniu m, tj, .

Ułamkowy stopień zero jest również zdefiniowany z jedynym zastrzeżeniem, że wykładnik musi być dodatni.

Definicja.

Potęga zera z ułamkowym wykładnikiem dodatnim m/n , gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą, i n jest liczbą naturalną, zdefiniowaną jako .
Gdy stopień nie jest zdefiniowany, to znaczy stopień liczby zero z ułamkowym wykładnikiem ujemnym nie ma sensu.

Należy zauważyć, że przy takiej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym istnieje jeden niuans: dla niektórych negatywnych a a niektóre m oraz n wyrażenie ma sens i odrzuciliśmy te przypadki, wprowadzając warunek a≥0. Na przykład warto pisać lub , a definicja podana powyżej zmusza nas do powiedzenia, że ​​stopnie z ułamkowym wykładnikiem postaci są bez znaczenia, ponieważ podstawa nie może być ujemna.

2. Inne podejście do określania stopnia z wykładnikiem ułamkowym m/n polega na oddzielnym rozważeniu parzystych i nieparzystych wykładników pierwiastka. Takie podejście wymaga dodatkowego warunku: potęgi liczby a, którego wskaźnikiem jest zmniejszony ułamek zwykły, jest uważany za potęgę liczby a, którego wskaźnikiem jest odpowiedni ułamek nieredukowalny (znaczenie tego warunku zostanie wyjaśnione poniżej). To znaczy, jeśli m/n jest ułamkiem nieredukowalnym, to dla dowolnej liczby naturalnej k stopień zostaje wstępnie zastąpiony przez .

Nawet n i pozytywne m wyrażenie ma sens dla każdego nieujemnego a(pierwiastek parzystego stopnia liczby ujemnej nie ma sensu), z liczbą ujemną m numer a musi być różna od zera (w przeciwnym razie będzie to dzielenie przez zero). I na dziwo n i pozytywne m numer a może być dowolna (pierwiastek nieparzystego stopnia jest zdefiniowany dla dowolnej liczby rzeczywistej), a dla ujemnej m numer a musi być różna od zera (aby nie było dzielenia przez zero).

Powyższe rozumowanie prowadzi nas do takiej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Zostawiać m/n- frakcja nieredukowalna m jest całością i n- Liczba naturalna. W przypadku dowolnej redukowalnej frakcji zwykłej stopień jest zastępowany przez . Stopień a z nieredukowalnym wykładnikiem ułamkowym m/n- to dla

o dowolna liczba rzeczywista a, liczba całkowita dodatnia m i dziwne naturalne n, Na przykład, ;

o dowolna niezerowa liczba rzeczywista a, liczba całkowita ujemna m i dziwne n, na przykład, ;

o dowolna nieujemna liczba a, liczba całkowita dodatnia m i nawet n, Na przykład, ;

o jakiekolwiek pozytywne a, liczba całkowita ujemna m i nawet n, na przykład, ;

o w innych przypadkach stopień z wykładnikiem ułamkowym nie jest zdefiniowany, ponieważ na przykład stopnie nie są zdefiniowane .a wpisy nie przypisujemy żadnego znaczenia, definiujemy stopień zera dla dodatnich wykładników ułamkowych m/n jak , dla ujemnych wykładników ułamkowych stopień liczby zero nie jest zdefiniowany.

Na zakończenie tej sekcji zwróćmy uwagę na fakt, że wykładnik ułamkowy można zapisać w postaci Ułamek dziesiętny lub pomieszane numery, Na przykład, . Aby obliczyć wartości tego rodzaju wyrażeń, należy zapisać wykładnik jako zwykły ułamek, a następnie użyć definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Do przykłady mamy oraz

Stopień z wykładnikiem wymiernym

Khasyanova T.G.,

nauczyciel matematyki

Prezentowany materiał będzie przydatny dla nauczycieli matematyki podczas studiowania tematu „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem”.

Cel prezentowanego materiału: ujawnienie mojego doświadczenia w prowadzeniu lekcji na temat „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem” program pracy dyscyplina „Matematyka”.

Metodologia lekcji odpowiada jej rodzajowi - lekcja w nauce i pierwotna konsolidacja nowej wiedzy. Dokonano aktualizacji podstawowa wiedza oraz umiejętności oparte na wcześniejszych doświadczeniach; pierwotne zapamiętywanie, utrwalanie i stosowanie nowych informacji. Konsolidacja i zastosowanie nowego materiału odbyło się w postaci rozwiązywania testowanych przeze mnie problemów o różnej złożoności dające pozytywny wynik opanowania tematu.

Na początku lekcji wyznaczyłem uczniom następujące cele: edukacyjny, rozwojowy, wychowawczy. Na zajęciach używałem różne drogi zajęcia: czołowa, indywidualna, łaźnia parowa, samodzielna, próbna. Zadania były zróżnicowane i pozwalały określić na każdym etapie lekcji stopień przyswojenia wiedzy. Wielkość i złożoność zadań odpowiada charakterystyce wiekowej uczniów. Z mojego doświadczenia - zadanie domowe, podobnie jak zadania rozwiązywane na zajęciach, pozwala bezpiecznie utrwalić zdobytą wiedzę i umiejętności. Na zakończenie lekcji przeprowadzono refleksję i oceniono pracę poszczególnych uczniów.

Cele zostały osiągnięte. Studenci zapoznali się z pojęciem i właściwościami stopnia z wykładnikiem wymiernym, nauczyli się wykorzystywać te właściwości w rozwiązywaniu praktycznych problemów. Za niezależna praca oceny są ogłaszane w następnej lekcji.

Uważam, że stosowana przeze mnie metodologia prowadzenia zajęć z matematyki może być zastosowana przez nauczycieli matematyki.

Temat lekcji: Stopień z racjonalnym wskaźnikiem

Cel lekcji:

Identyfikacja poziomu opanowania przez studentów kompleksu wiedzy i umiejętności i na tej podstawie zastosowanie określonych rozwiązań usprawniających proces edukacyjny.

Cele Lekcji:

Poradniki: kształtowanie wśród studentów nowej wiedzy o podstawowych pojęciach, zasadach, prawach określania stopnia za pomocą racjonalnego wskaźnika, umiejętności samodzielnego stosowania wiedzy w warunkach standardowych, w warunkach zmienionych i niestandardowych;

opracowanie: myśl logicznie i wdrażaj Umiejętności twórcze;

wychowawcy: zainteresować się matematyką, uzupełnić słownictwo o nowe terminy, uzyskać Dodatkowe informacje o otaczającym świecie. Pielęgnuj cierpliwość, wytrwałość, umiejętność pokonywania trudności.

Organizowanie czasu

Aktualizacja podstawowej wiedzy

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodaje się wykładniki, a podstawa pozostaje taka sama:

Na przykład,

2. Przy dzieleniu potęgi za pomocą tych samych podstaw wykładniki są odejmowane, a podstawa pozostaje taka sama:

Na przykład,

3. Podnosząc stopień do potęgi, wykładniki są mnożone, a podstawa pozostaje taka sama:

Na przykład,

4. Stopień iloczynu jest równy iloczynowi potęg czynników:

Na przykład,

5. Stopień ilorazu jest równy ilorazowi uprawnień dywidendy i dzielnika:

Na przykład,

Ćwiczenia z rozwiązaniami

Znajdź wartość wyrażenia:

Decyzja:

W tym przypadku żadna z właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym nie może być zastosowana wprost, ponieważ wszystkie stopnie mają z różnych powodów. Napiszmy kilka stopni w innej formie:

(stopień iloczynu jest równy iloczynowi stopni czynników);

(gdy mnoży się potęgi o tej samej podstawie, wykładniki są dodawane i podstawa pozostaje taka sama, podczas podnoszenia stopnia do potęgi wykładniki są mnożone, ale podstawa pozostaje taka sama).

Następnie otrzymujemy:

W tym przykładzie użyto pierwszych czterech właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy
- nie jest liczba ujemna, którego kwadrat toa,
. Na
- wyrażenie
nie określono, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat jest równy liczbie ujemneja.

Dyktowanie matematyczne(8-10 min.)

Opcja

II. Opcja

1. Znajdź wartość wyrażenia

a)

b)

1. Znajdź wartość wyrażenia

a)

b)

2. Oblicz

a)

b)

W)

2. Oblicz

a)

b)

w)

Autotest(na desce z klapami):

Macierz odpowiedzi:

№ opcja/zadanie

Zadanie 1

Zadanie 2

opcja 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

w)

Opcja 2

a) 1,5

b)

a)

b)

o 4

II Formowanie nowej wiedzy

Rozważ znaczenie wyrażenia, gdzie - Liczba dodatnia– liczba ułamkowa i m-całkowita, n-naturalna (n>1)

Definicja: stopień liczby a›0 z wykładnikiem wymiernymr = , m-cały, n- naturalny ( n›1) numer jest wywoływany.

Więc:

Na przykład:

Uwagi:

1. Dla dowolnego dodatniego a i dowolnego wymiernego r liczba pozytywnie.

2. Kiedy
racjonalny stopień liczbyaNie określono.

Wyrażenia takie jak
nie ma sensu.

3. Jeśli ułamkowa liczba dodatnia
.

Jeśli frakcyjny liczba ujemna, to -nie ma sensu.

Na przykład: - nie ma sensu.

Rozważ właściwości stopnia z wymiernym wykładnikiem.

Niech a>0, в>0; r, s - dowolny liczby wymierne. Następnie stopień z dowolnym racjonalnym wykładnikiem ma następujące właściwości:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidacja. Kształtowanie nowych umiejętności i zdolności.

Karty zadań pracują w małych grupach w formie testu.