Stopień z opcją wykładnika wymiernego 3. Własności stopni, sformułowania, dowody, przykłady

MBOU „Sidorskaja”

Szkoła ogólnokształcąca»

Opracowanie planu-zarysu lekcja otwarta

z algebry w klasie 11 na temat:

Przygotowane i przeprowadzone

nauczyciel matematyki

Iskhakova E.F.

Zarys otwartej lekcji algebry w klasie 11.

Podmiot : „Stopień z wymiernym wykładnikiem”.

Rodzaj lekcji : Nauka nowego materiału

Cele Lekcji:

Zapoznanie studentów z pojęciem stopnia ze wskaźnikiem racjonalnym i jego głównymi właściwościami na podstawie wcześniej przestudiowanego materiału (stopień ze wskaźnikiem całkowitym).

Rozwijaj umiejętności obliczeniowe oraz umiejętność konwertowania i porównywania liczb z wymiernym wykładnikiem.

Kultywowanie umiejętności matematycznych i zainteresowań matematycznych uczniów.

Ekwipunek : Karty zadań, prezentacja studenta na dyplomie ze wskaźnikiem całkowitym, prezentacja nauczyciela na dyplomie ze wskaźnikiem wymiernym, laptop, rzutnik multimedialny, ekran.

Podczas zajęć:

Organizowanie czasu.

Sprawdzenie przyswojenia tematu objętego poszczególnymi kartami zadań.

Zadanie numer 1.

=2;

B) = x + 5;

Rozwiąż system irracjonalne równania: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Zadanie nr 2.

Rozwiąż irracjonalne równanie: = - 3;

B) = x-2;

Rozwiąż układ nieracjonalnych równań: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Prezentacja tematu i celów lekcji.

Temat naszej dzisiejszej lekcji Stopień z wykładnikiem wymiernym».

Wyjaśnienie nowego materiału na przykładzie wcześniej badanego.

Znasz już pojęcie stopnia z wykładnikiem całkowitym. Kto może mi pomóc je zapamiętać?

Powtórzenie z prezentacją Stopień z wykładnikiem całkowitym».

Dla dowolnych liczb a , b i dowolnych liczb całkowitych m i n równości są prawdziwe:

am * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a 0);

(am) n = a mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a 1 = a ; a 0 = 1 (a 0)

Dzisiaj uogólnimy pojęcie stopnia liczby i nadamy znaczenie wyrażeniom, które mają wykładnik ułamkowy. Przedstawmy się definicja stopnie ze wskaźnikiem racjonalnym (Prezentacja „Stopień ze wskaźnikiem racjonalnym”):

Stopień a > 0 z wykładnikiem wymiernym r = , gdzie m jest liczbą całkowitą i n - naturalny ( n > 1), zwany numerem m .

Tak więc z definicji otrzymujemy to = m .

Spróbujmy zastosować tę definicję podczas wykonywania zadania.

PRZYKŁAD 1

Jako pierwiastek liczby wyrażam wyrażenie:

ALE) B) W) .

Spróbujmy teraz zastosować tę definicję w odwrotnej kolejności

II Wyraź wyrażenie jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

ALE) 2 B) W) 5 .

Potęga 0 jest zdefiniowana tylko dla dodatnich wykładników.

0 r= 0 dla dowolnego r> 0.

Za pomocą ta definicja, Domy wypełnisz #428 i #429.

Pokażmy teraz, że powyższa definicja stopnia z wykładnikiem wymiernym zachowuje podstawowe własności stopni, które są prawdziwe dla każdego wykładnika.

Dla każdego liczby wymierne r i s oraz dowolne dodatnie a i b, równości są prawdziwe:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PRZYKŁAD: *

20 . a r: a s = a r-s ;

PRZYKŁAD: :

3 0 . (ar) s = ar ;

PRZYKŁAD: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PRZYKŁAD: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRZYKŁAD użycia kilku właściwości jednocześnie: * : .

Fizkultminutka.

Kładziemy długopisy na biurku, prostujemy grzbiety, a teraz wyciągamy rękę, chcemy dotknąć tablicy. A teraz podnosiliśmy się i pochylaliśmy w prawo, w lewo, do przodu, do tyłu. Pokazali mi długopisy, a teraz pokaż mi, jak twoje palce potrafią tańczyć.

Pracuj nad materiałem

Odnotowujemy jeszcze dwie własności potęg z wykładnikami wymiernymi:

60 . Zostawiać r jest liczbą wymierną, a 0< a < b . Тогда

a r < b r w r> 0,

a r < b r w r< 0.

7 0 . Dla dowolnych liczb wymiernychr oraz s z nierówności r> s wynika z tego

a r> a r dla a > 1,

a r < а r o 0< а < 1.

PRZYKŁAD: Porównaj liczby:

I ; 2 300 i 3 200 .

Podsumowanie lekcji:

Dziś na lekcji przypomnieliśmy sobie własności stopnia z wykładnikiem całkowitym, poznaliśmy definicję i podstawowe własności stopnia z wykładnikiem wymiernym, rozważaliśmy zastosowanie tego materiału teoretycznego w praktyce podczas wykonywania ćwiczeń. Chcę zwrócić uwagę na fakt, że temat „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem” jest obowiązkowy w UŻYWAJ zadań. Przygotowując pracę domową nr 428 i nr 429

W tym artykule zrozumiemy, co to jest stopień. W tym miejscu podamy definicje stopnia liczby, biorąc pod uwagę szczegółowo wszystkie możliwe wykładniki stopnia, począwszy od wykładnika naturalnego, a skończywszy na irracjonalnym. W materiale znajdziesz wiele przykładów stopni obejmujących wszystkie pojawiające się subtelności.

Nawigacja po stronach.

Stopień z wykładnikiem naturalnym, kwadrat liczby, sześcian liczby

Zacznijmy . Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że definicja stopnia a z wykładnikiem naturalnym n jest podana dla a , które nazwiemy podstawa stopnia, i n , które nazwiemy wykładnik potęgowy. Zauważamy również, że stopień z naturalnym wskaźnikiem jest określany przez produkt, więc aby zrozumieć poniższy materiał, musisz mieć pojęcie o mnożeniu liczb.

Definicja.

Potęga liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest wyrażeniem postaci a n , którego wartość jest równa iloczynowi n czynników, z których każdy jest równy a , czyli .
W szczególności, stopień liczby a z wykładnikiem 1 jest samą liczbą a, to znaczy a 1 =a.

Od razu warto wspomnieć o zasadach czytania stopni. Uniwersalny sposób czytanie wpisu a n to: "a do potęgi n". W niektórych przypadkach dopuszczalne są również takie opcje: „a do n-tej potęgi” oraz „n-ta potęga liczby a”. Na przykład weźmy stopień 8 12, to jest „ósemka do potęgi dwunastej” lub „ósemka do potęgi dwunastej” lub „dwunasta potęga ósemki”.

Druga potęga liczby, jak również trzecia potęga liczby, mają swoje własne nazwy. Druga potęga liczby nazywa się kwadrat liczby, na przykład 7 2 jest czytane jako „siedem do kwadratu” lub „kwadrat liczby siedem”. Trzecia potęga liczby nazywa się numer kostki, na przykład 5 3 można odczytać jako „pięć sześcianów” lub powiedzieć „sześcian z liczby 5”.

Czas przynieść przykłady stopni ze wskaźnikami fizycznymi. Zacznijmy od potęgi 5 7 , gdzie 5 jest podstawą potęgi, a 7 jest wykładnikiem. Podajmy inny przykład: 4,32 to podstawa, a Liczba naturalna 9 - wykładnik (4,32) 9 .

Zwróć uwagę, że w ostatnim przykładzie podstawa stopnia 4,32 jest zapisana w nawiasach: aby uniknąć rozbieżności, w nawiasach weźmiemy wszystkie podstawy stopnia, które różnią się od liczb naturalnych. Jako przykład podajemy następujące stopnie z naturalnymi wskaźnikami , ich podstawy nie są liczbami naturalnymi, więc są zapisane w nawiasach. Otóż ​​dla pełnej jasności w tym miejscu pokażemy różnicę zawartą w zapisach postaci (−2) 3 i −2 3 . Wyrażenie (−2) 3 to potęga −2 z wykładnikiem naturalnym 3, a wyrażenie −2 3 (można je zapisać jako −(2 3) ) odpowiada liczbie, wartości potęgi 2 3 .

Zauważ, że istnieje notacja stopnia a z wykładnikiem n postaci a^n . Co więcej, jeśli n jest wielowartościową liczbą naturalną, to wykładnik jest uwzględniony w nawiasach. Na przykład 4^9 to kolejny zapis potęgi 4 9 . A oto więcej przykładów zapisywania stopni za pomocą symbolu „^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . W dalszej części posłużymy się głównie zapisem stopnia formy a n .

Jednym z problemów, odwrotnością potęgowania z wykładnikiem naturalnym, jest problem znajdowania podstawy stopnia ze znanej wartości stopnia i znanego wykładnika. To zadanie prowadzi do .

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych składa się z liczb całkowitych i ułamkowych, a każda liczba ułamkowa może być reprezentowana jako dodatnia lub ujemna wspólny ułamek. W poprzednim akapicie zdefiniowaliśmy stopień wykładnikiem całkowitym, dlatego aby uzupełnić definicję stopnia wykładnikiem wymiernym, musimy podać znaczenie stopnia liczby a wykładnikiem ułamkowym m / n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Zróbmy to.

Rozważ stopień z ułamkowym wykładnikiem postaci . Aby własność stopnia w stopniu pozostała ważna, równość musi być zachowana . Jeśli weźmiemy pod uwagę wynikową równość i sposób, w jaki zdefiniowaliśmy , to logiczne jest przyjęcie, pod warunkiem, że dla danych m, n i a wyrażenie ma sens.

Łatwo jest sprawdzić, czy wszystkie właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym są prawidłowe dla as (jest to zrobione w sekcji dotyczącej właściwości stopnia z wykładnikiem wymiernym).

Powyższe rozumowanie pozwala nam na następujące: wniosek: jeśli dla danego m, n i a wyrażenie ma sens, to potęga liczby a z wykładnikiem ułamkowym m / n nazywana jest pierwiastkiem n-tego stopnia od a do potęgi m.

To stwierdzenie zbliża nas do definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Pozostaje tylko opisać, dla których m, ni a wyrażenie ma sens. W zależności od ograniczeń nałożonych na m , n i a istnieją dwa główne podejścia.

Najłatwiejszym sposobem ograniczenia a jest założenie a≥0 dla dodatniego m i a>0 dla ujemnego m (ponieważ m≤0 nie ma potęgi 0 m). Następnie otrzymujemy następującą definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Potęga liczby dodatniej a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, nazywamy pierwiastkiem n-tej liczby a do potęgi m, czyli .

Ułamkowy stopień zero jest również zdefiniowany z jedynym zastrzeżeniem, że wykładnik musi być dodatni.

Definicja.

Potęga zero z ułamkowym dodatnim wykładnikiem m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą dodatnią, a n jest liczbą naturalną, definiuje się jako .
Gdy stopień nie jest zdefiniowany, to znaczy stopień liczby zero z ułamkowym wykładnikiem ujemnym nie ma sensu.

Należy zauważyć, że przy takim zdefiniowaniu stopnia z wykładnikiem ułamkowym jest jeden niuans: dla niektórych ujemnych a oraz niektórych m i n wyrażenie ma sens i odrzuciliśmy te przypadki wprowadzając warunek a≥0 . Na przykład warto pisać lub , a powyższa definicja zmusza nas do stwierdzenia, że ​​stopnie z ułamkowym wykładnikiem postaci są bez znaczenia, ponieważ podstawa nie może być ujemna.

Innym podejściem do określania stopnia za pomocą ułamkowego wykładnika m / n jest oddzielne rozważenie parzystych i nieparzystych wykładników pierwiastka. Takie podejście wymaga dodatkowego warunku: stopień liczby a, której wykładnikiem jest , jest uważany za stopień liczby a, której wykładnikiem jest odpowiedni ułamek nieredukowalny (ważność tego warunku zostanie wyjaśniona poniżej). Oznacza to, że jeśli m/n jest ułamkiem nieredukowalnym, to dla dowolnej liczby naturalnej k stopień jest najpierw zastępowany przez .

Dla parzystego n i dodatniego m wyrażenie ma sens dla dowolnego nieujemnego a (parzysty stopień pierwiastka z Liczba ujemna nie ma sensu), dla ujemnego m liczba a musi być jeszcze różna od zera (w przeciwnym razie będzie to dzielenie przez zero). A dla nieparzystego n i dodatniego m liczba a może być dowolna (pierwiastek nieparzystego stopnia jest zdefiniowany dla dowolnej liczby rzeczywistej), a dla ujemnego m liczba a musi być różna od zera (aby nie było dzielenia przez zero).

Powyższe rozumowanie prowadzi nas do takiej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Niech m/n będzie ułamkiem nieredukowalnym, m liczbą całkowitą, a n liczbą naturalną. W przypadku dowolnej redukowalnej frakcji zwykłej stopień jest zastępowany przez . Potęga a z nieredukowalnym wykładnikiem ułamkowym m / n jest dla



Wyjaśnijmy, dlaczego stopień z redukowalnym wykładnikiem ułamkowym jest najpierw zastępowany stopniem z nieredukowalnym wykładnikiem. Gdybyśmy po prostu określili stopień jako , i nie zrobili zastrzeżenia co do nieredukowalności ułamka m / n , to spotkalibyśmy się z sytuacjami podobnymi do następujących: skoro 6/10=3/5 , to równość , ale , a .

Po określeniu stopnia liczby logiczne jest, aby o tym mówić właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe własności stopnia liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopnia, a także pokażemy, jak te właściwości są stosowane podczas rozwiązywania przykładów.

Nawigacja po stronach.

Właściwości stopni z naturalnymi wskaźnikami

Z definicji potęgi z wykładnikiem naturalnym potęga a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a . Opierając się na tej definicji i używając właściwości mnożenia liczb rzeczywistych, możemy uzyskać i uzasadnić następujące właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym:

1. główna własność stopnia a m ·a n =a m+n , jego uogólnienie ;
2. własność potęg cząstkowych z te same podstawy a m: a n = a m−n ;
3. własność stopnia produktu (a b) n =a n b n , jej rozszerzenie ;
4. iloraz własności rzeczowej (a:b) n =a n:b n ;
5. potęgowanie (a m) n =a m n , jego uogólnienie (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
6. porównywanie stopnia z zerem:
   • jeśli a>0 , to a n >0 dla dowolnego naturalnego n ;
   • jeśli a=0 , to a n =0 ;
   • Jeśli<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jeśli<0 и показатель степени есть liczba nieparzysta 2 m−1 , potem 2 m−1<0 ;
7. jeśli a i b są liczbami dodatnimi, a a
8. jeśli m i n są liczbami naturalnymi takimi, że m>n , to w 0 0 nierówność a m > a n jest prawdziwa.

Od razu zauważamy, że wszystkie zapisane równości są identyczny w określonych warunkach, a ich prawą i lewą część można zamienić. Na przykład główna właściwość ułamka a m a n = a m + n with uproszczenie wyrażeń często używany w postaci a m+n = a m a n .

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.

Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, którą nazywamy główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n, równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa.

Udowodnijmy główną właściwość stopnia. Z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m a n można zapisać jako iloczyn. Ze względu na właściwości mnożenia wynikowe wyrażenie można zapisać jako , a ten iloczyn jest potęgą a z wykładnikiem naturalnym m+n , czyli a m+n . To kończy dowód.

Podajmy przykład, który potwierdza główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tej samej podstawie 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, zgodnie z główną własnością stopnia, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Sprawdźmy jego poprawność, dla której obliczamy wartości wyrażeń 2 2 ·2 3 i 2 5 . Wykonując potęgowanie, mamy 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 i 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, ponieważ uzyskuje się równe wartości, wówczas równość 2 2 2 3 \u003d 2 5 jest poprawna i potwierdza główną właściwość stopnia.

Główną właściwość stopnia opartego na właściwościach mnożenia można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach. Czyli dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1 , n 2 , …, n k równość a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Na przykład, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Możesz przejść do następnej właściwości stopni za pomocą naturalnego wskaźnika - własność potęg cząstkowych o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n , równość a m:a n =a m−n jest prawdziwa.

Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w oświadczeniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, ponieważ 0 n =0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie da się dzielić przez zero. Warunek m>n został wprowadzony, aby nie wychodzić poza naturalne wykładniki. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie albo zero (co zdarza się dla m−n ) albo liczba ujemna (co zdarza się dla m

Dowód. Główna własność ułamka pozwala na zapisanie równości a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Z otrzymanej równości a m−n ·a n =a m wynika, że ​​a m−n jest ilorazem potęg a m i a n . Dowodzi to własności potęg cząstkowych o tych samych podstawach.

Weźmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i naturalnych wykładnikach 5 i 2, rozważana własność stopnia odpowiada równości π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Teraz rozważ właściwość stopnia produktu: naturalny stopień n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równy iloczynowi stopni a n i bn , czyli (a b) n =a n b n .

Rzeczywiście, z definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym mamy . Ostatni iloczyn, na podstawie właściwości mnożenia, można przepisać jako , który jest równy a n b n .

Oto przykład: .

Ta właściwość rozciąga się na stopień iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość potęgi naturalnej n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Dla jasności pokazujemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .

Następna nieruchomość to własność przyrodnicza: iloraz liczb rzeczywistych aib , b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n , czyli (a:b) n =a n:b n .

Dowód można przeprowadzić przy użyciu poprzedniej właściwości. Więc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a równość (a:b) n b n =a n implikuje, że (a:b) n jest ilorazem a n podzielonego przez b n .

Napiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: .

Teraz zabierzmy głos właściwość potęgowania: dla dowolnej liczby rzeczywistej a i dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potęgi a z wykładnikiem m·n , czyli (a m) n =a m·n .

Na przykład (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Dowodem własności władzy w stopniu jest następujący łańcuch równości: .

Rozważana właściwość może zostać rozszerzona o stopień w stopniu w stopniu i tak dalej. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s, równość . Dla większej jasności oto przykład z określonymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.

Zaczynamy od udowodnienia własności porównania zera i potęgi za pomocą naturalnego wykładnika.

Najpierw uzasadnijmy, że a n >0 dla dowolnego a>0 .

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Ten fakt oraz właściwości mnożenia pozwalają stwierdzić, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich będzie również liczbą dodatnią. A potęga a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej dodatniej podstawy a stopień a n jest liczbą dodatnią. Na mocy udowodnionej własności 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 i .

Jest całkiem oczywiste, że dla każdego naturalnego n przy a=0 stopień a n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0,0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0 .

Przejdźmy do podstaw ujemnych.

Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2 m , gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie . Ponieważ każdy z iloczynów postaci a·a jest równy iloczynowi modułów liczb a, a zatem a jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny. i stopień 2 m . Oto przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnikiem jest liczba nieparzysta 2 m−1, to . Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni, a jego pomnożenie przez pozostałą liczbę ujemną a daje liczbę ujemną. Ze względu na tę właściwość (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Zwracamy się do własności porównywania stopni z tymi samymi wykładnikami naturalnymi, która ma następujące sformułowanie: dwa stopnie z tymi samymi wykładnikami naturalnymi, n jest mniejsze niż ten, którego podstawa jest mniejsza, i więcej niż ten, którego podstawa jest większa. Udowodnijmy to.

Nierówność a n własności nierówności udowodniono nierówność postaci a n (2,2) 7 i .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości potęg z wykładnikami naturalnymi. Sformułujmy to. Spośród dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi pozytywnymi podstawami, mniejszym niż jeden, stopień jest większy, którego wskaźnik jest mniejszy; i dwóch stopni z naturalnymi wskaźnikami i tymi samymi podstawami większymi niż jeden, stopień, którego wskaźnik jest większy, jest większy. Zwracamy się do dowodu tej właściwości.

Udowodnijmy, że dla m>n i 0 0 ze względu na warunek początkowy m>n , z czego wynika, że ​​przy 0

Pozostaje udowodnić drugą część nieruchomości. Udowodnijmy, że dla m>n i a>1, a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po wyjęciu n z nawiasów przyjmuje postać a n ·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, ponieważ dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, ponieważ m−n>0 ze względu na warunek początkowy, a dla a>1, stopień m−n jest większy niż jeden . Zatem a m − a n >0 i a m >a n , co miało być udowodnione. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2 .

Własności stopni z wykładnikami całkowitymi

Ponieważ liczby całkowite dodatnie są liczbami naturalnymi, to wszystkie własności potęg z dodatnimi wykładnikami całkowitymi dokładnie pokrywają się z własnościami potęg z wykładnikami naturalnymi wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.

Stopień z ujemnym wykładnikiem całkowitym, jak również stopień z wykładnikiem zerowym, zdefiniowaliśmy w taki sposób, że wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażonymi przez równości pozostają ważne. Dlatego wszystkie te własności obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i dla wykładników ujemnych, podczas gdy oczywiście podstawy stopni są różne od zera.

Tak więc dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych a i b, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, następujące są prawdziwe własności stopni z wykładnikami całkowitymi:

1. za m za n \u003d za m + n;
2. a m: a n = a m−n ;
3. (a b) n = a n b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n = a m n ;
6. jeśli n jest liczbą całkowitą dodatnią, a i b są liczbami dodatnimi, a a b-n;
7. jeśli m i n są liczbami całkowitymi, a m>n , to w 0 1 nierówność a m > a n jest spełniona.

Dla a=0 potęgi a m i a n mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, czyli liczbami naturalnymi. Tak więc opisane właśnie własności obowiązują również w przypadkach, gdy a=0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Nie jest trudno udowodnić każdą z tych własności, wystarczy do tego posłużyć się definicjami stopnia z wykładnikiem naturalnym i całkowitym oraz własności działań z liczbami rzeczywistymi. Jako przykład wykażmy, że własność potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, musimy pokazać, że jeśli p jest zerem lub liczbą naturalną i q jest zerem lub liczbą naturalną, to równości (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) i (a-p)-q =a (-p) (-q). Zróbmy to.

Dla dodatnich p i q równość (a p) q =a p·q została udowodniona w poprzednim podrozdziale. Jeśli p=0 , to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0 q =a 0 =1 , skąd (a 0) q =a 0 q . Podobnie, jeśli q=0 , wtedy (a p) 0 =1 i a p 0 = a 0 =1 , skąd (a p) 0 = a p 0 . Jeśli zarówno p=0 i q=0 , wtedy (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0 0 =a 0 =1 , skąd (a 0) 0 =a 0 0 .

Wykażmy teraz, że (a −p) q =a (−p) q . Z definicji stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym , wtedy . Przez własność ilorazu w stopniu mamy . Ponieważ 1 p =1,1·…·1=1 i , to . To ostatnie wyrażenie jest z definicji potęgą postaci a −(p q) , którą na mocy reguł mnożenia można zapisać jako a (−p) q .

podobnie .

I .

Na tej samej zasadzie można udowodnić wszystkie inne własności stopnia za pomocą wykładnika całkowitego, zapisanego w postaci równości.

W przedostatnim z zapisanych własności warto zastanowić się nad dowodem nierówności a −n >b −n , który jest prawdziwy dla każdej ujemnej liczby całkowitej −n i każdej dodatniej a i b, dla której warunek a . Ponieważ według warunku a 0 . Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy otrzymany ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n − a n i a n b n . Stąd skąd a −n >b −n , co miało być udowodnione.

Ostatnią własność stopni z wykładnikami całkowitymi dowodzi się w taki sam sposób, jak analogiczną własność stopni z wykładnikami naturalnymi.

Własności potęg z wykładnikami wymiernymi

Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając do niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, stopnie z wykładnikami ułamkowymi mają te same właściwości, co stopnie z wykładnikami całkowitymi. Mianowicie:

Dowód własności stopni z wykładnikiem ułamkowym opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym oraz na własności stopnia z wykładnikiem całkowitym. Dajmy dowód.

Z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym i , wtedy . Własności pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam napisać następujące równości. Dalej, korzystając z własności stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , skąd z definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym mamy , a wykładnik uzyskanego stopnia można przeliczyć w następujący sposób: . To kończy dowód.

Druga własność potęg z wykładnikami ułamkowymi jest udowodniona dokładnie w ten sam sposób:

Resztę równości dowodzą podobne zasady:

Przechodzimy do dowodu kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnych dodatnich a i b , a b s . Liczbę wymierną p zapisujemy jako m/n , gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki p<0 и p>0 w tym przypadku będzie równoważne warunkom m<0 и m>0 odpowiednio. Dla m>0 i a

Podobnie dla m<0 имеем a m >b m , skąd , czyli i a p > b p .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q , p>q dla 0 0 – nierówność a p >a q . Zawsze możemy zredukować liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, weźmy zwykłe ułamki i, gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 >m 2, który wynika z . Następnie przez własność porównywania potęg o tych samych podstawach i naturalnych wykładnikach przy 0 1 – nierówność a m 1 > a m 2 . Te nierówności pod względem właściwości pierwiastków można przepisać odpowiednio jako oraz . A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Z tego wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0 0 – nierówność a p >a q .

Własności stopni z niewymiernymi wykładnikami

Z definicji stopnia z wykładnikiem irracjonalnym można wywnioskować, że posiada on wszystkie właściwości stopni z wykładnikiem racjonalnym. Czyli dla dowolnych a>0 , b>0 i niewymiernych liczb p i q prawdziwe są: własności stopni z irracjonalnymi wykładnikami:

1. a pa q = a p + q ;
2. a p:a q = a p−q ;
3. (a b) p = a p b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q = a p q ;
6. dla dowolnych liczb dodatnich a i b , a 0 nierówność a p bp ;
7. dla liczb niewymiernych p i q , p>q w 0 0 – nierówność a p >a q .

Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same własności.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki Zh na 5 komórek. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 7 komórek. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 9 komórek. instytucje edukacyjne.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnicyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11 ogólnych instytucji edukacyjnych.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych).

Stopień z wykładnikiem wymiernym

Khasyanova T.G.,

nauczyciel matematyki

Prezentowany materiał przyda się nauczycielom matematyki podczas studiowania tematu „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem”.

Cel prezentowanego materiału: ujawnienie mojego doświadczenia w prowadzeniu lekcji na temat „Stopień z racjonalnym wskaźnikiem” program pracy dyscyplina „Matematyka”.

Metodologia lekcji odpowiada jej rodzajowi - lekcja w nauce i pierwotna konsolidacja nowej wiedzy. Dokonano aktualizacji podstawowa wiedza oraz umiejętności oparte na wcześniejszych doświadczeniach; pierwotne zapamiętywanie, utrwalanie i stosowanie nowych informacji. Konsolidacja i zastosowanie nowego materiału odbyło się w postaci rozwiązywania testowanych przeze mnie problemów o różnej złożoności dające pozytywny wynik opanowania tematu.

Na początku lekcji wyznaczyłem uczniom następujące cele: edukacyjny, rozwojowy, wychowawczy. Na zajęciach używałem różne drogi zajęcia: czołowa, indywidualna, łaźnia parowa, samodzielna, próbna. Zadania były zróżnicowane i pozwalały określić na każdym etapie lekcji stopień przyswojenia wiedzy. Wielkość i złożoność zadań odpowiada charakterystyce wiekowej uczniów. Z mojego doświadczenia - zadanie domowe, podobnie jak zadania rozwiązywane na zajęciach, pozwala bezpiecznie utrwalić zdobytą wiedzę i umiejętności. Na zakończenie lekcji przeprowadzono refleksję i oceniono pracę poszczególnych uczniów.

Cele zostały osiągnięte. Studenci zapoznali się z pojęciem i właściwościami stopnia z wykładnikiem wymiernym, nauczyli się wykorzystywać te właściwości w rozwiązywaniu praktycznych problemów. Za niezależna praca oceny są ogłaszane w następnej lekcji.

Uważam, że stosowana przeze mnie metodologia prowadzenia zajęć z matematyki może być zastosowana przez nauczycieli matematyki.

Temat lekcji: Stopień z racjonalnym wskaźnikiem

Cel lekcji:

Identyfikacja poziomu opanowania przez studentów kompleksu wiedzy i umiejętności i na tej podstawie zastosowanie określonych rozwiązań usprawniających proces edukacyjny.

Cele Lekcji:

Poradniki: kształtowanie wśród studentów nowej wiedzy o podstawowych pojęciach, zasadach, prawach określania stopnia za pomocą racjonalnego wskaźnika, umiejętności samodzielnego stosowania wiedzy w warunkach standardowych, w warunkach zmienionych i niestandardowych;

opracowanie: myśl logicznie i wdrażaj Umiejętności twórcze;

wychowawcy: zainteresować się matematyką, uzupełnić słownictwo o nowe terminy, uzyskać Dodatkowe informacje o otaczającym świecie. Pielęgnuj cierpliwość, wytrwałość, umiejętność pokonywania trudności.

Organizowanie czasu

Aktualizacja podstawowej wiedzy

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodaje się wykładniki, a podstawa pozostaje taka sama:

Na przykład,

2. Przy dzieleniu potęgi za pomocą tych samych podstaw wykładniki są odejmowane, a podstawa pozostaje taka sama:

Na przykład,

3. Podnosząc stopień do potęgi, wykładniki są mnożone, a podstawa pozostaje taka sama:

Na przykład,

4. Stopień iloczynu jest równy iloczynowi potęg czynników:

Na przykład,

5. Stopień ilorazu jest równy ilorazowi uprawnień dywidendy i dzielnika:

Na przykład,

Ćwiczenia z rozwiązaniami

Znajdź wartość wyrażenia:

Decyzja:

W ta sprawa w formie jawnej nie można zastosować żadnej właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym, ponieważ wszystkie stopnie mają z różnych powodów. Napiszmy kilka stopni w innej formie:

(stopień iloczynu jest równy iloczynowi stopni czynników);

(gdy mnoży się potęgi o tej samej podstawie, wykładniki są dodawane i podstawa pozostaje taka sama, podczas podnoszenia stopnia do potęgi wykładniki są mnożone, ale podstawa pozostaje taka sama).

Następnie otrzymujemy:

W tym przykładzie użyto pierwszych czterech właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym.

Arytmetyczny pierwiastek kwadratowy
jest liczbą nieujemną, której kwadrat toa,
. Na
- wyrażenie
nie określono, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej, której kwadrat jest równy liczbie ujemneja.

Dyktowanie matematyczne(8-10 min.)

Opcja

II. Opcja

1. Znajdź wartość wyrażenia

a)

b)

1. Znajdź wartość wyrażenia

a)

b)

2. Oblicz

a)

b)

W)

2. Oblicz

a)

b)

w)

Autotest(na desce z klapami):

Macierz odpowiedzi:

№ opcja/zadanie

Zadanie 1

Zadanie 2

opcja 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

w)

Opcja 2

a) 1,5

b)

a)

b)

o 4

II.Kształtowanie nowej wiedzy

Rozważ znaczenie wyrażenia, gdzie - Liczba dodatnia– liczba ułamkowa i m-całkowita, n-naturalna (n>1)

Definicja: stopień liczby a›0 z wykładnikiem wymiernymr = , m-cały, n- naturalny ( n›1) numer jest wywoływany.

Więc:

Na przykład:

Uwagi:

1. Dla dowolnego dodatniego a i dowolnego wymiernego r liczba pozytywnie.

2. Kiedy
racjonalny stopień liczbyaNie określono.

Wyrażenia takie jak
nie ma sensu.

3. Jeśli ułamkowa liczba dodatnia
.

Jeśli frakcyjny liczba ujemna, to -nie ma sensu.

Na przykład: - nie ma sensu.

Rozważ właściwości stopnia z wymiernym wykładnikiem.

Niech a>0, в>0; r, s - dowolne liczby wymierne. Następnie stopień z dowolnym racjonalnym wykładnikiem ma następujące właściwości:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidacja. Kształtowanie nowych umiejętności i zdolności.

Karty zadań pracują w małych grupach w formie testu.

Z wykładników całkowitych liczby a nasuwa się przejście do wykładnika wymiernego. Poniżej definiujemy stopień z wykładnikiem wymiernym i zrobimy to w taki sposób, aby zachowane zostały wszystkie właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Jest to konieczne, ponieważ liczby całkowite są częścią liczb wymiernych.

Wiadomo, że zbiór liczb wymiernych składa się z liczb całkowitych i ułamkowych, a każdą liczbę ułamkową można przedstawić jako dodatni lub ujemny zwykły ułamek. W poprzednim akapicie zdefiniowaliśmy stopień wykładnikiem całkowitym, dlatego aby uzupełnić definicję stopnia wykładnikiem wymiernym, musimy nadać znaczenie stopniowi liczby a z ułamkiem m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą i n- naturalny. Zróbmy to.

Rozważ stopień z ułamkowym wykładnikiem postaci . Aby własność stopnia w stopniu pozostała ważna, równość musi być zachowana . Jeśli weźmiemy pod uwagę wynikową równość i sposób, w jaki ustaliliśmy pierwiastek n-tego stopnia, to logiczne jest przyjęcie, pod warunkiem, że z danymi m, n oraz a wyrażenie ma sens.

Łatwo jest sprawdzić, czy wszystkie właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym są prawidłowe dla as (jest to zrobione w sekcji dotyczącej właściwości stopnia z wykładnikiem wymiernym).

Powyższe rozumowanie pozwala nam na następujące: wniosek: jeśli podano m, n oraz a wyrażenie ma sens, to potęga liczby a z ułamkiem m/n zwany korzeń n stopień a w stopniu m.

To stwierdzenie zbliża nas do definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Pozostaje tylko opisać pod czym m, n oraz a wyrażenie ma sens. W zależności od ograniczeń nałożonych na m, n oraz a istnieją dwa główne podejścia.

1. Najprostszym sposobem jest nałożenie ograniczenia na a, akceptuję a≥0 dla pozytywnych m oraz a>0 dla negatywu m(ponieważ w m≤0 stopień 0 mln nieokreślony). Następnie otrzymujemy następującą definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Stopień liczby dodatniej a z ułamkiem m/n , gdzie m jest całością i n jest liczbą naturalną, zwaną pierwiastkiem n-ty spośród a w stopniu m, tj, .

Ułamkowy stopień zero jest również zdefiniowany z jedynym zastrzeżeniem, że wykładnik musi być dodatni.

Definicja.

Potęga zera z ułamkowym wykładnikiem dodatnim m/n , gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą, i n jest liczbą naturalną, zdefiniowaną jako .
Gdy stopień nie jest zdefiniowany, to znaczy stopień liczby zero z ułamkowym wykładnikiem ujemnym nie ma sensu.

Należy zauważyć, że przy takiej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym istnieje jeden niuans: dla niektórych negatywnych a a niektóre m oraz n wyrażenie ma sens i odrzuciliśmy te przypadki, wprowadzając warunek a≥0. Na przykład warto pisać lub , a powyższa definicja zmusza nas do stwierdzenia, że ​​stopnie z ułamkowym wykładnikiem postaci są bez znaczenia, ponieważ podstawa nie może być ujemna.

2. Inne podejście do określania stopnia z wykładnikiem ułamkowym m/n polega na oddzielnym rozważeniu parzystych i nieparzystych wykładników pierwiastka. Takie podejście wymaga dodatkowego warunku: potęgi liczby a, którego wskaźnikiem jest zmniejszony ułamek zwykły, jest uważany za potęgę liczby a, którego wskaźnikiem jest odpowiedni ułamek nieredukowalny (znaczenie tego warunku zostanie wyjaśnione poniżej). To znaczy, jeśli m/n jest ułamkiem nieredukowalnym, to dla dowolnej liczby naturalnej k stopień zostaje wstępnie zastąpiony przez .

Nawet n i pozytywne m wyrażenie ma sens dla każdego nieujemnego a(pierwiastek parzystego stopnia liczby ujemnej nie ma sensu), z liczbą ujemną m numer a musi być różna od zera (w przeciwnym razie będzie to dzielenie przez zero). I na dziwo n i pozytywne m numer a może być dowolna (pierwiastek nieparzystego stopnia jest zdefiniowany dla dowolnej liczby rzeczywistej), a dla ujemnej m numer a musi być różna od zera (aby nie było dzielenia przez zero).

Powyższe rozumowanie prowadzi nas do takiej definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym.

Definicja.

Zostawiać m/n- frakcja nieredukowalna m jest całością i n- Liczba naturalna. W przypadku dowolnej redukowalnej frakcji zwykłej stopień jest zastępowany przez . Stopień a z nieredukowalnym wykładnikiem ułamkowym m/n- to dla

o dowolna liczba rzeczywista a, liczba całkowita dodatnia m i dziwne naturalne n, Na przykład, ;

o dowolna niezerowa liczba rzeczywista a, liczba całkowita ujemna m i dziwne n, na przykład, ;

o dowolna nieujemna liczba a, liczba całkowita dodatnia m i nawet n, Na przykład, ;

o jakiekolwiek pozytywne a, liczba całkowita ujemna m i nawet n, na przykład, ;

o w innych przypadkach stopień z wykładnikiem ułamkowym nie jest zdefiniowany, ponieważ np. stopnie nie są zdefiniowane .a wpisy nie przypisujemy żadnego znaczenia, definiujemy stopień zera dla dodatnich wykładników ułamkowych m/n jak , dla ujemnych wykładników ułamkowych stopień liczby zero nie jest zdefiniowany.

Na zakończenie tej sekcji zwróćmy uwagę na fakt, że wykładnik ułamkowy można zapisać w postaci Ułamek dziesiętny lub pomieszane numery, Na przykład, . Aby obliczyć wartości tego rodzaju wyrażeń, należy zapisać wykładnik jako zwykły ułamek, a następnie użyć definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Do przykłady mamy oraz