Master class „Pochodna funkcji w zadaniach egzaminu. Pochodna w zadaniach USE Zadania B9 i B15 Gruk Lyubov Vladimirovna nauczyciel matematyki Państwowa budżetowa instytucja edukacyjna średnia

Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i stycznej do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f (x) w punkcie x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5" title="(!LANG: Na rysunku wykres funkcji y \u003d f (x ) i styczna do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f (x) w punkcie x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> title="Rysunek przedstawia wykres funkcji y \u003d f (x) i stycznej do niej w punkcie z odciętą x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f (x) w punkcie x 0. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x), określonej na przedziale (-1; 17). Znajdź przedziały malejącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi wpisz długość największego z nich. f(x)

0 na przedziale, a następnie funkcja f (x) "title=" (!LANG: Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f (x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4 , x 5, x 6 i x 7 to punkty, w których pochodna funkcji f (x) jest dodatnia. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Jeśli f (x) > 0 na przedziale, to funkcja f(x)" class="link_thumb"> 8 !} Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te punkty, w których pochodna funkcji f (x) jest dodatnia. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Jeśli f(x) > 0 na przedziale, to funkcja f(x) rośnie na tym przedziale Odpowiedź: 2 0 na przedziale, potem funkcja f(x)"> 0 na przedziale, potem funkcja f(x) rośnie na tym przedziale Odpowiedź: 2"> 0 na przedziale, to funkcja f(x)" title= „(!LANG:Na wykresie funkcji y \u003d f (x) pokazano na rysunku. Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te punkty przy której pochodna funkcji f(x) jest dodatnia Wpisz w odpowiedzi liczbę znalezionych punktów Jeżeli f(x) > 0 na przedziale, to funkcja f(x)"> title="Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 i x 7 te punkty, w których pochodna funkcji f (x) jest dodatnia. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Jeżeli f(x) > 0 na przedziale, to funkcja f(x)"> !}

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f (x), określonej na przedziale (-9; 2). W którym punkcie segmentu -8; -4 funkcja f(x) przyjmuje największą wartość? Na segmencie -8; -4f(x)

Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-5; 6). Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x). Znajdź wśród punktów x 1, x 2, ..., x 7 te punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest równa zero. W odpowiedzi zapisz liczbę znalezionych punktów. Odpowiedź: 3 punkty x 1, x 4, x 6 i x 7 to punkty skrajne. W punkcie x 4 nie ma f(x)

Literatura 4 Algebra i początek zajęć z analizy. Podręcznik dla instytucji edukacyjnych podstawowy poziom/ Sh. A. Alimov i inni, - M .: Edukacja, Semenov A. L. Unified State Examination: 3000 problemów z matematyki. - M .: Wydawnictwo „Egzamin”, Gendenshtein L. E., Ershova A. P., Ershova A. S. Wizualny przewodnik po algebrze i początkach analizy z przykładami dla klas 7-11. – M.: Ileksa, Zasób elektroniczny Otwarty bank zadań USE.

Komunalny instytucja edukacyjna

„Sałtykowska środkowa Szkoła ogólnokształcąca

Rejon Rtishchevsky w obwodzie saratowskim

Kurs mistrzowski z matematyki

w 11 klasie

w tym temacie

„FUNKCJA POCHODNA

W ZADANIACH UŻYTKOWANIA”

Prowadzony nauczyciel matematyki

Beloglazova L.S.

Rok akademicki 2012-2013

Cel klasy mistrzowskiej : rozwijanie umiejętności zastosowania przez studentów wiedzy teoretycznej na temat „Pochodna funkcji” do rozwiązywania problemów jednorazowych Egzamin państwowy.

Zadania

Edukacyjny: uogólniać i usystematyzować wiedzę uczniów na dany temat

„Pochodna funkcji”, rozważ prototypy UŻYWAJ zadań na ten temat, aby zapewnić uczniom możliwość sprawdzenia swojej wiedzy poprzez samodzielne rozwiązywanie problemów.

Rozwijanie: promować rozwój pamięci, uwagi, samooceny i umiejętności samokontroli; podstawowy Kompetencje kluczowe(porównanie, zestawienie, klasyfikacja obiektów, określenie adekwatnych metod rozwiązywania problemu uczenia się w oparciu o zadane algorytmy, umiejętność samodzielnego działania w sytuacji niepewności, kontrola i ocena własnych działań, znajdowanie i eliminowanie przyczyn trudności).

Edukacyjny: promować:

kształtowanie odpowiedzialnego podejścia uczniów do uczenia się;

rozwój trwałego zainteresowania matematyką;

tworzenie pozytywnej wewnętrznej motywacji do studiowania matematyki.

Technologia: nauczanie indywidualnie zróżnicowane, ICT.

Metody nauczania: werbalne, wizualne, praktyczne, problematyczne.

Formy pracy: indywidualne, czołowe, w parach.

Sprzęt i materiały do ​​lekcji: projektor, ekran, komputer dla każdego ucznia, symulator (Załącznik nr 1), prezentacja na lekcję (Załącznik nr 2), indywidualnie - zróżnicowane karty dla niezależna praca W parach (Załącznik nr 3), wykaz stron internetowych, indywidualnie zróżnicowanych zadanie domowe (Załącznik nr 4).

Wyjaśnienie dla klasy mistrzowskiej. Ta klasa mistrzowska odbywa się w klasie 11 w celu przygotowania do egzaminu. Ma na celu zastosowanie materiału teoretycznego na temat „Pochodna funkcji” w rozwiązywaniu problemów egzaminacyjnych.

Czas trwania klasy mistrzowskiej- 30 minut.

Struktura klasy mistrzowskiej

I. Moment organizacyjny -1 min.

II Komunikacja tematu, cele zajęć mistrzowskich, motywacja do działań edukacyjnych-1 min.

III. Praca z przodu. Szkolenie „Zadania B8 USE”. Analiza pracy z symulatorem - 6 min.

IV.Indywidualnie - zróżnicowana praca w parach. Rozwiązanie „zrób to sam” zadania B14. Wzajemna kontrola - 7 min.

V. Sprawdzanie indywidualnej pracy domowej. Zadanie z parametrem C5 USE

3 min.

VI .Testowanie on-line. Analiza wyników badań - 9 min.

VII. Indywidualnie zróżnicowana praca domowa -1 min.

VIII Oceny z lekcji - 1 min.

IX Podsumowanie lekcji. Odbicie -1 min.

Postęp klasy mistrzowskiej

I .Organizowanie czasu.

II .Komunikacja tematu, cele klasy mistrzowskiej, motywacja działań edukacyjnych.

(Slajdy 1-2, Załącznik nr 2)

Tematem naszej lekcji jest „Pochodna funkcji w zadaniach egzaminu”. Wszyscy znają powiedzenie „Szpula jest mała i droga”. Jedną z takich „szpul” w matematyce jest pochodna. Pochodna jest wykorzystywana w rozwiązywaniu wielu praktycznych problemów z matematyki, fizyki, chemii, ekonomii i innych dyscyplin. Pozwala rozwiązywać problemy prosto, pięknie, ciekawie.

Temat „Pochodna” jest przedstawiony w zadaniach części B (B8, B14) ujednoliconego egzaminu państwowego. Niektóre zadania C5 można również rozwiązać za pomocą pochodnej. Jednak do rozwiązania tych problemów wymagane jest dobre przygotowanie matematyczne i niestandardowe myślenie.

Pracowałeś z dokumentami regulującymi strukturę i zawartość kontrolnych materiałów pomiarowych do ujednoliconego egzaminu państwowego z matematyki 2013. Stwierdzasz, żejakiej wiedzy i umiejętności potrzebujesz, aby pomyślnie rozwiązać problemy egzaminu na temat „Pochodna”.

(Slajdy 3-4, Załącznik nr 2)

My badane„Kodyfikator elementy treści z MATEMATYKI do opracowywania kontrolnych materiałów pomiarowych do przeprowadzenia ujednoliconego egzaminu państwowego”,

„Kodyfikator wymagań dotyczących poziomu wyszkolenia absolwentów”,"Specyfikacja kontrolne materiały pomiarowe","Wersja demo"kontrolne materiały pomiarowe z ujednoliconego egzaminu państwowego 2013” ​​ipojąć jaka wiedza i umiejętności dotyczące funkcji i jej pochodnej są potrzebne do skutecznego rozwiązywania problemów na temat „Pochodna”.

Niezbędny

• WIEDZIEĆ

P zasady obliczania instrumentów pochodnych;

pochodne podstawowych funkcji elementarnych;

geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej;
równanie stycznej do wykresu funkcji;
badanie funkcji za pomocą pochodnej.

BYĆ MÓGŁ

wykonuj akcje z funkcjami (opisz zachowanie i właściwości funkcji zgodnie z wykresem, znajdź jej maksymalne i minimalne wartości).

POSŁUGIWAĆ SIĘ

zdobyta wiedza i umiejętności w zakresie zajęcia praktyczne oraz Życie codzienne.

Masz teoretyczną wiedzę na temat „Pochodna”. Dzisiaj będziemyNAUCZ SIĘ ZASTOSOWAĆ WIEDZĘ O POCHODNEJ FUNKCJI DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW UŻYTKOWANIA. ( Slajd 4, wniosek nr 2)

W końcu nie bez powodu Arystoteles powiedział, że… „INTELIGENCJA TO NIE TYLKO WIEDZA, ALE RÓWNIEŻ ZDOLNOŚĆ STOSOWANIA WIEDZY W PRAKTYCE”( Slajd 5, wniosek nr 2)

Pod koniec lekcji wrócimy do celu naszej lekcji i dowiemy się, czy go osiągnęliśmy?

III . Praca z przodu. Szkolenie „Zadania B8 USE” (Załącznik nr 1) . Analiza pracy z symulatorem.

Wybierz poprawną odpowiedź z czterech podanych.

Jaka jest według Ciebie trudność wykonania zadania B8?

Co myślisz typowe błędy pozwolić absolwentom przystąpić do egzaminu przy rozwiązywaniu tego problemu?

Odpowiadając na pytania zadania B8, powinieneś umieć opisać zachowanie i właściwości funkcji na wykresie pochodnej, a na wykresie funkcji, zachowanie i właściwości pochodnej funkcji. A to wymaga dobrej wiedzy teoretycznej na następujące tematy: „Znaczenie geometryczne i mechaniczne pochodnej. Styczna do wykresu funkcji. Zastosowanie pochodnej do badania funkcji.

Przeanalizuj, jakie zadania sprawiły Ci trudności?

Jaki rodzaj pytania teoretyczne musisz wiedzieć?

IV. Indywidualnie - zróżnicowana praca w parach. Samodzielne rozwiązywanie problemów B14. Wzajemna weryfikacja. (Załącznik nr 3)

Przypomnij sobie algorytm rozwiązywania problemów (B14 USE) do znajdowania ekstremów, ekstremów funkcji, największej i najmniejszej wartości funkcji na przedziale za pomocą pochodnej.

Rozwiąż zadania za pomocą pochodnej.

Uczniom zadano następujący problem:

„Pomyśl o tym, czy niektóre problemy z B14 można rozwiązać w inny sposób, bez użycia pochodnej?”

1 para(Lukyanova D., Gavryushina D.)

1)B14. Znajdź minimalny punkt funkcji y \u003d 10x-ln (x + 9) + 6

2) B14.Znajdź największą wartość funkcjitak =

- Spróbuj rozwiązać drugi problem na dwa sposoby.

2 pary(Saninskaya T., Sazanov A.)

1)B14.Znajdować najmniejsza wartość funkcje y=(x-10) na segmencie

2) B14. Znajdź maksymalny punkt funkcji y \u003d -

(Uczniowie bronią swojego rozwiązania, spisując na tablicy główne kroki rozwiązywania problemów. Uczniowie z 1 pary (Lukyanova D., Gavryushina D.) podać dwa sposoby rozwiązania problemu nr 2).

Rozwiązanie problemu. Wnioski do wyciągnięcia przez studentów:

„Niektóre zadania B14 USE do znajdowania najmniejszych i największa wartość funkcje można rozwiązywać bez użycia pochodnej, opierając się na własnościach funkcji.

Przeanalizuj, jaki błąd popełniłeś w zadaniu?

Jakie pytania teoretyczne musisz powtórzyć?

V. Sprawdzanie indywidualnej pracy domowej. Zadanie z parametrem C5(USE) ( Slajdy 7-8, dodatek nr 2)

Lukyanova K. otrzymała indywidualne zadanie domowe: wybierz problem z parametrem (C5) z podręczników przygotowania USE i rozwiąż go za pomocą pochodnej.

(Student podaje rozwiązanie problemu w oparciu o funkcjonalną - metoda graficzna, jako jedna z metod rozwiązywania problemów C5 USE i daje krótkie wyjaśnienie Ta metoda).

Jaka wiedza o funkcji i jej pochodnej jest niezbędna przy rozwiązywaniu problemów C5 USE?

V I. Testowanie on-line do zadań B8, B14. Analiza wyników badań.

Strona do testowania w lekcji:

Kto nie popełniał błędów?

Kto miał trudności w testowaniu? Czemu?

Jakie zadania są złe?

Zakończ, jakie pytania teoretyczne musisz znać?

VI I. Indywidualnie zróżnicowane prace domowe

(Slajd 9, wniosek nr 2), (Załącznik nr 4).

Przygotowałem listę stron internetowych, które przygotowują do egzaminu. Możesz także przeglądać te stronyn – liniatestowanie. Na następnej lekcji musisz: 1) powtórzyć materiał teoretyczny na temat „Pochodna funkcji”;

2) na stronie „Otwarty bank zadań z matematyki” ( ) znaleźć prototypy zadań B8 i B14 i rozwiązać co najmniej 10 zadań;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. rozwiązują problemy z parametrami. Pozostali uczniowie rozwiązują zadania 1-8 (wariant 1).

VIII. Oceny z lekcji.

Jaką ocenę dałbyś sobie za lekcję?

Czy myślisz, że mógłbyś radzić sobie lepiej w klasie?

IX. Podsumowanie lekcji. Odbicie

Podsumujmy naszą pracę. Jaki był cel lekcji? Czy uważasz, że to zostało osiągnięte?

Spójrz na tablicę iw jednym zdaniu, wybierając początek frazy, kontynuuj zdanie, które najbardziej Ci odpowiada.

Poczułem…

Dowiedziałem się…

Dałem radę …

Byłem w stanie...

Spróbuję …

Byłem zaskoczony, że …

Chciałem…

Czy możesz powiedzieć, że podczas lekcji nastąpiło wzbogacenie Twojego zasobu wiedzy?

Więc powtórzyłeś teoretyczne pytania dotyczące pochodnej funkcji, zastosowali swoją wiedzę w rozwiązywaniu prototypów zadań USE (B8, B14), a Lukyanova K. wykonała zadanie C5 z parametrem, które jest zadaniem o podwyższonym stopniu złożoności.

Podobała mi się praca z tobą i Mam nadzieję, że wiedzę zdobytą na lekcjach matematyki będziesz mógł z powodzeniem zastosować nie tylko podczas zdawania egzaminu, ale także w dalszych studiach.

Zakończę lekcję słowami włoskiego filozofa Tomasz z Akwinu„Wiedza jest tak cenną rzeczą, że zdobycie jej z jakiegokolwiek źródła nie jest wstydem” (Slajd 10, Załącznik nr 2).

Życzę powodzenia w przygotowaniach do egzaminu!

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Elementy treści

Pochodna, tangens, pierwotna, wykresy funkcji i pochodne.

Pochodna Niech funkcja \(f(x)\) będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu \(x_0\).

Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) zwany limitem

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

jeśli ten limit istnieje.

Pochodna funkcji w punkcie charakteryzuje szybkość zmian tej funkcji w danym punkcie.

Tabela pochodna

Zasady różnicowania\(f\) i \(g\) są funkcjami zależnymi od zmiennej \(x\); \(c\) to liczba.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - pochodna funkcji zespolonej

Geometryczne znaczenie pochodnej Równanie prostej- oś nierównoległą \(Oy\) można zapisać jako \(y=kx+b\). Współczynnik \(k\) w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej. On równy tangens Kąt pochylenia ta prosta linia.

Kąt prosty- kąt między dodatnim kierunkiem osi \(Ox\) a daną linią prostą, mierzony w kierunku dodatnich kątów (czyli w kierunku najmniejszego obrotu od osi \(Ox\) do \ (Oy\) oś).

Pochodna funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równa współczynnik kątowy styczna do wykresu funkcji w danym punkcie: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Jeżeli \(f"(x_0)=0\), to styczna do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równoległa do osi \(Ox\).

Równanie styczne

Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotoniczność funkcji Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia we wszystkich punktach przedziału, to funkcja rośnie na tym przedziale.

Jeśli pochodna funkcji jest ujemna we wszystkich punktach przedziału, to funkcja maleje na tym przedziale.

Punkty minimalne, maksymalne i przegięcia pozytywny na negatywny w tym momencie \(x_0\) jest punktem maksymalnym funkcji \(f\).

Jeżeli funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_0\), a wartość pochodnej tej funkcji \(f"\) zmienia się od negatywny na pozytywny w tym momencie \(x_0\) jest minimalnym punktem funkcji \(f\).

Punkty, w których pochodna \(f"\) jest równa zero lub nie istnieje, nazywamy punkt krytyczny funkcje \(f\).

Punkty wewnętrzne obszaru definicji funkcji \(f(x)\), gdzie \(f"(x)=0\) mogą być punktami minimum, maksimum lub punktów przegięcia.

Fizyczne znaczenie pochodnej Jeżeli punkt materialny porusza się po linii prostej, a jego współrzędna zmienia się w zależności od czasu zgodnie z prawem \(x=x(t)\), to prędkość tego punktu jest równa pochodnej czasowej współrzędnej:

Przyśpieszenie punkt materialny równa się pochodnej prędkości tego punktu względem czasu:

\(a(t)=v"(t).\)