Rozwiąż układ równań na dwa sposoby. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych, metody rozwiązywania, przykłady

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (SLAE) jest niewątpliwie najważniejszym tematem kursu algebry liniowej. Ogromna liczba problemów ze wszystkich dziedzin matematyki sprowadza się do rozwiązywania układów równań liniowych. Te czynniki wyjaśniają powód powstania tego artykułu. Materiał artykułu jest dobrany i ustrukturyzowany tak, aby z jego pomocą można było

• ulec poprawie najlepsza metoda rozwiązywanie swojego układu liniowych równań algebraicznych,
• studiować teorię wybranej metody,
• rozwiąż swój układ równań liniowych, po szczegółowym rozważeniu rozwiązań typowych przykładów i problemów.

Krótki opis materiału artykułu.

Dajmy to wszystko najpierw niezbędne definicje, pojęcia i wprowadzić notację.

Następnie rozważymy metody rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych, w których liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych i które mają jednoznaczne rozwiązanie. Najpierw skupmy się na metodzie Cramera, po drugie pokażemy macierzową metodę rozwiązywania takich układów równań, a po trzecie przeanalizujemy metodę Gaussa (metodę sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych). Aby skonsolidować teorię, na pewno rozwiążemy kilka SLAE na różne sposoby.

Następnie przechodzimy do rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych ogólny widok, w którym liczba równań nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych lub główna macierz układu jest zdegenerowana. Formułujemy twierdzenie Kroneckera-Capelliego, które pozwala nam ustalić zgodność SLAE. Przeanalizujmy rozwiązanie systemów (w przypadku ich kompatybilności) z wykorzystaniem pojęcia bazy minorowej macierzy. Rozważymy również metodę Gaussa i szczegółowo opiszemy rozwiązania przykładów.

Pamiętaj, aby zastanowić się nad strukturą ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych. Podajmy koncepcję fundamentalnego systemu rozwiązań i pokażmy, jak pisać wspólna decyzja SLAE za pomocą wektorów fundamentalnego układu rozwiązań. Dla lepszego zrozumienia spójrzmy na kilka przykładów.

Podsumowując, rozważamy układy równań, które sprowadzają się do liniowych, a także różne zadania, którego rozwiązanie powoduje powstanie SLAE.

Nawigacja po stronach.

Definicje, pojęcia, oznaczenia.

Rozważymy układy p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi (p może być równe n ) postaci

Zmienne nieznane, - współczynniki (niektóre liczby rzeczywiste lub zespolone), - wolne elementy (także liczby rzeczywiste lub zespolone).

Ta forma SLAE nazywa się koordynować.

W forma macierzowa ten układ równań ma postać ,
gdzie - macierz główna układu, - macierz-kolumna nieznanych zmiennych, - macierz-kolumna wolnych elementów.

Jeżeli do macierzy A jako (n+1)-tej kolumny dodamy macierz-kolumnę wyrazów wolnych, to otrzymamy tzw. rozszerzona macierz układy równań liniowych. Zwykle macierz rozszerzona jest oznaczona literą T, a kolumna wolnych elementów jest oddzielona pionową linią od pozostałych kolumn, czyli

Rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych nazwany zbiorem wartości nieznanych zmiennych, który zamienia wszystkie równania układu w tożsamości. Równanie macierzowe dla danych wartości nieznanych zmiennych również zamienia się w tożsamość.

Jeśli układ równań ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się to połączenie.

Jeśli układ równań nie ma rozwiązań, to nazywa się niekompatybilny.

Jeśli SLAE ma unikalne rozwiązanie, nazywa się to niektórzy; jeśli istnieje więcej niż jedno rozwiązanie, to - niepewny.

Jeśli wyrazy wolne wszystkich równań układu są równe zeru , wtedy system nazywa się jednorodny, Inaczej - heterogeniczny.

Rozwiązywanie układów elementarnych liniowych równań algebraicznych.

Jeżeli liczba równań systemowych jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik jej głównej macierzy nie jest równy zero, to takie SLAE będziemy nazywać podstawowy. Takie układy równań mają unikalne rozwiązanie, aw przypadku układu jednorodnego wszystkie nieznane zmienne są równe zeru.

Zaczęliśmy badać takie SLAE w Liceum. Rozwiązując je, wzięliśmy jedno równanie, wyraziliśmy jedną nieznaną zmienną w kategoriach innych i wstawiliśmy ją do pozostałych równań, następnie wzięliśmy następne równanie, wyraziliśmy kolejną nieznaną zmienną i wstawiliśmy ją do innych równań i tak dalej. Albo użyli metody dodawania, to znaczy dodali dwa lub więcej równań, aby wyeliminować niektóre nieznane zmienne. Nie będziemy się rozwodzić nad tymi metodami szczegółowo, ponieważ są one zasadniczo modyfikacjami metody Gaussa.

Głównymi metodami rozwiązywania elementarnych układów równań liniowych są metoda Cramera, metoda macierzowa i metoda Gaussa. Rozwiążmy je.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Cramera.

Rozwiążmy układ liniowych równań algebraicznych

w którym liczba równań jest równa liczbie nieznanych zmiennych, a wyznacznik głównej macierzy układu jest różny od zera, czyli .

Niech będzie wyznacznikiem głównej macierzy układu, a są wyznacznikami macierzy otrzymywanych z A przez zastąpienie 1., 2., …, nth kolumna odpowiednio do kolumny wolnych członków:

Przy takim zapisie nieznane zmienne obliczane są ze wzorów metody Cramera jako . W ten sposób metoda Cramera znajduje rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych.

Przykład.

Metoda Cramera .

Decyzja.

Główna macierz systemu ma postać . Oblicz jego wyznacznik (w razie potrzeby zobacz artykuł):

Ponieważ wyznacznik głównej macierzy systemu jest niezerowy, system posiada unikalne rozwiązanie, które można znaleźć metodą Cramera.

Skomponuj i oblicz niezbędne wyznaczniki (wyznacznik otrzymujemy zastępując pierwszą kolumnę w macierzy A kolumną wolnych prętów, wyznacznik - zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych prętów, - zastępując trzecią kolumnę macierzy A kolumną wolnych prętów ):

Znajdowanie nieznanych zmiennych za pomocą formuł :

Odpowiedź:

Główną wadą metody Cramera (jeśli można ją nazwać wadą) jest złożoność obliczania wyznaczników, gdy liczba równań układu jest większa niż trzy.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową (przy użyciu macierzy odwrotnej).

Niech układ liniowych równań algebraicznych będzie podany w postaci macierzowej , gdzie macierz A ma wymiar n na n, a jej wyznacznik jest niezerowy.

Ponieważ , wtedy macierz A jest odwracalna, czyli istnieje macierz odwrotna . Jeśli pomnożymy obie części równości przez po lewej stronie, otrzymamy wzór na znalezienie macierzy kolumnowej nieznanych zmiennych. Więc otrzymaliśmy rozwiązanie układu liniowych równań algebraicznych metodą macierzową.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych metoda macierzowa.

Decyzja.

Przepiszmy układ równań w postaci macierzowej:

Jak

wtedy SLAE można rozwiązać metodą macierzową. Korzystając z macierzy odwrotnej, rozwiązanie tego systemu można znaleźć jako .

Zbudujmy macierz odwrotną używając macierzy dopełnień algebraicznych elementów macierzy A (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Pozostaje do obliczenia - macierz nieznanych zmiennych przez pomnożenie macierzy odwrotnej na macierzowej kolumnie wolnych członków (jeśli to konieczne, zobacz artykuł):

Odpowiedź:

lub w innym zapisie x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Głównym problemem w znajdowaniu rozwiązań układów liniowych równań algebraicznych metodą macierzową jest złożoność znajdowania macierzy odwrotnej, zwłaszcza dla macierzy kwadratowych rzędu wyższego niż trzecia.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie układu n równań liniowych z n nieznanymi zmiennymi
wyznacznik głównej macierzy której jest różny od zera.

Istota metody Gaussa polega na sukcesywnym wykluczaniu nieznanych zmiennych: najpierw x 1 jest wykluczane ze wszystkich równań układu, począwszy od drugiego, następnie x 2 jest wykluczane ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego, i tak dalej, aż do samej nieznanej zmiennej x n pozostaje w ostatnim równaniu. Taki proces przekształcania równań układu dla sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednia metoda Gaussa. Po zakończeniu biegu do przodu metodą Gaussa, x n znajduje się z ostatniego równania, x n-1 jest obliczane z przedostatniego równania przy użyciu tej wartości, i tak dalej, x 1 znajduje się z pierwszego równania. Proces obliczania nieznanych zmiennych przy przechodzeniu od ostatniego równania układu do pierwszego nazywa się odwrotna metoda Gaussa.

Opiszmy krótko algorytm eliminowania nieznanych zmiennych.

Założymy, że , ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, przestawiając równania układu. Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. Aby to zrobić, dodaj pierwsze równanie pomnożone przez do drugiego równania układu, dodaj pierwsze pomnożone przez do trzeciego równania i tak dalej, dodaj pierwsze pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie .

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy w pierwszym równaniu układu wyrazili x 1 w postaci innych nieznanych zmiennych i wstawili otrzymane wyrażenie do wszystkich innych równań. W ten sposób zmienna x 1 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od drugiego.

Dalej postępujemy podobnie, ale tylko z częścią powstałego systemu, która jest zaznaczona na rysunku

Aby to zrobić, dodaj drugie równanie pomnożone przez do trzeciego równania układu, drugie pomnożone przez do czwartego i tak dalej, dodaj drugie pomnożone przez do n-tego równania. Układ równań po takich przekształceniach przyjmie postać

gdzie . W ten sposób zmienna x 2 jest wykluczona ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.

Następnie przystępujemy do eliminacji niewiadomego x 3, zachowując się podobnie z częścią układu zaznaczoną na rysunku

Kontynuujemy więc bezpośredni przebieg metody Gaussa, aż układ przybierze formę

Od tego momentu zaczynamy odwrotny przebieg metody Gaussa: obliczamy x n z ostatniego równania jako , korzystając z otrzymanej wartości x n znajdujemy x n-1 z przedostatniego równania, i tak dalej znajdujemy x 1 z równania pierwsze równanie.

Przykład.

Rozwiąż układ równań liniowych Metoda Gaussa.

Decyzja.

Wykluczmy nieznaną zmienną x 1 z drugiego i trzeciego równania układu. W tym celu do obu części równania drugiego i trzeciego dodajemy odpowiednie części równania pierwszego, pomnożone odpowiednio przez i przez:

Teraz wykluczamy x 2 z trzeciego równania, dodając do jego lewej i prawej części lewą i prawą część drugiego równania pomnożoną przez:

Na tym kończy się kurs do przodu metody Gaussa, zaczynamy kurs odwrotny.

Z ostatniego równania powstałego układu równań znajdujemy x 3:

Z drugiego równania otrzymujemy .

Z pierwszego równania znajdujemy pozostałą nieznaną zmienną i to dopełnia odwrotny przebieg metody Gaussa.

Odpowiedź:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych postaci ogólnej.

W ogólnym przypadku liczba równań układu p nie pokrywa się z liczbą nieznanych zmiennych n:

Takie SLAE mogą nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie lub mieć nieskończenie wiele rozwiązań. To stwierdzenie dotyczy również układów równań, których główna macierz jest kwadratowa i zdegenerowana.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.

Przed znalezieniem rozwiązania układu równań liniowych konieczne jest ustalenie jego zgodności. Odpowiedź na pytanie, kiedy SLAE jest zgodny, a kiedy nie, daje Twierdzenie Kroneckera-Capellego:
aby układ p równań z n niewiadomymi (p może być równy n ) był niesprzeczny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy głównej układu był równy rządowi macierzy rozszerzonej, czyli Rank( A)=Ranga (T) .

Jako przykład rozważmy zastosowanie twierdzenia Kroneckera-Capelliego do określenia zgodności układu równań liniowych.

Przykład.

Dowiedz się, czy układ równań liniowych ma rozwiązania.

Decyzja.

. Skorzystajmy z metody graniczenia nieletnich. Nieletni drugiego rzędu różne od zera. Przyjrzyjmy się otaczającym go nieletnim trzeciego rzędu:

Ponieważ wszystkie graniczące nieletnie trzeciorzędne są równe zeru, ranga głównej macierzy wynosi dwa.

Z kolei ranga rozszerzonej macierzy jest równy trzy, ponieważ młodszy trzeciego rzędu

różne od zera.

Zatem, Rang(A) , zatem zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capelliego możemy stwierdzić, że pierwotny układ równań liniowych jest niespójny.

Odpowiedź:

Nie ma systemu rozwiązań.

Tak więc nauczyliśmy się ustalać niespójność systemu za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego.

Ale jak znaleźć rozwiązanie SLAE, jeśli ustalono jego kompatybilność?

Aby to zrobić, potrzebujemy pojęcia bazy minorowej macierzy i twierdzenia o rzędzie macierzy.

Najwyższego rzędu minor macierzy A, inny niż zero, nazywa się podstawowy.

Z definicji bazy minor wynika, że ​​jej kolejność jest równa randze macierzy. Dla niezerowej macierzy A może być kilka podstawowych drugorzędnych; zawsze jest jedna podstawowa drugorzędna.

Rozważmy na przykład macierz .

Wszystkie podrzędne trzeciego rzędu tej macierzy są równe zeru, ponieważ elementy trzeciego rzędu tej macierzy są sumą odpowiednich elementów pierwszego i drugiego rzędu.

Następujące drugorzędne drugorzędne są podstawowe, ponieważ są niezerowe

Małoletni nie są podstawowe, ponieważ są równe zeru.

Twierdzenie o rangach macierzy.

Jeżeli rang macierzy rzędu p przez n wynosi r, to wszystkie elementy wierszy (i kolumn) macierzy, które nie tworzą wybranej bazy pomocniczej, są wyrażane liniowo w kategoriach odpowiadających im elementów wierszy (i kolumn ), które stanowią podstawę małoletnią.

Co daje nam twierdzenie o rangach macierzy?

Jeżeli za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego ustaliliśmy zgodność układu, to wybieramy dowolną podrzędną podrzędną macierzy głównej układu (jej rząd jest równy r) i wyłączamy z układu wszystkie równania, które nie z wybranego podstawowego nieletniego. Otrzymany w ten sposób SLAE będzie równoważny z pierwotnym, ponieważ odrzucone równania są nadal nadmiarowe (zgodnie z twierdzeniem o rangach macierzy są to liniowa kombinacja pozostałych równań).

W rezultacie, po odrzuceniu nadmiernych równań układu, możliwe są dwa przypadki.

Jeżeli liczba równań r w otrzymanym układzie jest równa liczbie nieznanych zmiennych, to będzie ona określona i jedyne rozwiązanie można znaleźć metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Przykład.

.

Decyzja.

Ranga głównej macierzy systemu jest równy dwóm, ponieważ młodszy drugiego rzędu różne od zera. Rozszerzona ranga macierzy jest również równa dwóm, ponieważ jedyny mniejszy trzeciego rzędu jest równy zero

a molowy drugiego rzędu rozważanego powyżej jest różny od zera. Na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capelliego można stwierdzić zgodność pierwotnego układu równań liniowych, ponieważ Rank(A)=Rank(T)=2 .

Jako podstawę małoletnią przyjmujemy . Tworzą go współczynniki pierwszego i drugiego równania:


Trzecie równanie układu nie bierze udziału w tworzeniu podstawowego minora, więc wyłączamy je z układu opartego na twierdzeniu o rangach macierzy:


W ten sposób otrzymaliśmy elementarny układ liniowych równań algebraicznych. Rozwiążmy to metodą Cramera:


Odpowiedź:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jeżeli liczba równań r w wynikowym SLAE mniej niż liczba nieznane zmienne n, to po lewej stronie równań zostawiamy wyrazy tworzące bazę mniejszą, a pozostałe wyrazy przenosimy na prawą stronę równań układu o przeciwnym znaku.

Nieznane zmienne (jest ich r) pozostałe po lewej stronie równań nazywamy Główny.

Nieznane zmienne (jest ich n - r), które znalazły się po prawej stronie, nazywają się wolny.

Teraz zakładamy, że wolne nieznane zmienne mogą przyjmować dowolne wartości, podczas gdy r główne nieznane zmienne będą wyrażone w postaci wolnych nieznanych zmiennych w unikalny sposób. Ich ekspresję można znaleźć rozwiązując wynikowy SLAE metodą Cramera, metodą macierzową lub metodą Gaussa.

Weźmy przykład.

Przykład.

Rozwiąż układ liniowych równań algebraicznych .

Decyzja.

Znajdź rangę głównej macierzy systemu metodą graniczących nieletnich. Przyjmijmy 1 1 = 1 jako niezerową liczbę drugorzędną pierwszego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego drugorzędnego małoletniego otaczającego go:


Więc znaleźliśmy niezerową molową drugiego rzędu. Zacznijmy szukać niezerowego granicznego małoletniego trzeciego rzędu:


Tak więc ranga głównej matrycy wynosi trzy. Ranga rozszerzonej macierzy jest również równa trzy, czyli system jest spójny.

Znaleziony niezerowy minor trzeciego rzędu będzie traktowany jako podstawowy.

Dla jasności pokazujemy elementy, które tworzą podstawę drobną:


Wyrazy uczestniczące w podstawowym minorowym zostawiamy po lewej stronie równań układu, a resztę przenosimy z przeciwne znaki po prawej stronie:


Podajemy wolne nieznane zmienne x 2 i x 5 dowolne wartości, czyli bierzemy , gdzie są arbitralne liczby. W tym przypadku SLAE przyjmuje formę


Otrzymany układ elementarny liniowych równań algebraicznych rozwiązujemy metodą Cramera:


Stąd, .

W odpowiedzi nie zapomnij wskazać wolnych nieznanych zmiennych.

Odpowiedź:

Gdzie są dowolne liczby.

Podsumować.

Aby rozwiązać układ liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej, najpierw dowiadujemy się o jego zgodności za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capelliego. Jeżeli ranga macierzy głównej nie jest równa randze macierzy rozszerzonej, to dochodzimy do wniosku, że system jest niespójny.

Jeżeli rząd macierzy głównej jest równy rządowi macierzy rozszerzonej, wówczas wybieramy podstawową podrzędną i odrzucamy równania układu, które nie uczestniczą w tworzeniu wybranej podstawowej podrzędnej.

Jeżeli rząd bazy minor jest równy liczbie nieznanych zmiennych, to SLAE ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć dowolną znaną nam metodą.

Jeżeli rząd bazy minor jest mniejszy niż liczba nieznanych zmiennych, to po lewej stronie równań układu zostawiamy wyrazy z głównymi nieznanymi zmiennymi, pozostałe wyrazy przenosimy na prawe strony i przypisujemy dowolne wartości​ ​do wolnych nieznanych zmiennych. Z otrzymanego układu równań liniowych znajdujemy główne niewiadome zmienne metody Cramer, metoda macierzowa lub metoda Gaussa.

Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Metodą Gaussa można rozwiązywać dowolne układy liniowych równań algebraicznych bez ich wstępnego badania zgodności. Proces sukcesywnego wykluczania nieznanych zmiennych umożliwia wnioskowanie zarówno o zgodności, jak i niezgodności SLAE, a jeśli istnieje rozwiązanie, umożliwia jego znalezienie.

Z punktu widzenia prac obliczeniowych preferowana jest metoda Gaussa.

Obejrzyj to szczegółowy opis oraz przeanalizowane przykłady w artykule Metoda Gaussa rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych o postaci ogólnej.

Zapis ogólnego rozwiązania jednorodnych i niejednorodnych liniowych układów algebraicznych z wykorzystaniem wektorów podstawowego układu rozwiązań.

W tej sekcji skupimy się na wspólnych jednorodnych i niejednorodnych układach liniowych równań algebraicznych, które mają nieskończony zestaw rozwiązania.

Zajmijmy się najpierw systemami jednorodnymi.

Podstawowy system decyzyjny jednorodnego układu p liniowych równań algebraicznych z n nieznanymi zmiennymi jest zbiorem (n – r) liniowo niezależnych rozwiązań tego układu, gdzie r jest rzędem bazy minorowej głównej macierzy układu.

Jeżeli oznaczymy liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego SLAE jako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) to kolumny macierzowe o wymiarze n przez 1 ), to ogólne rozwiązanie tego jednorodnego układu jest reprezentowane jako liniowa kombinacja wektorów podstawowego układu rozwiązań z dowolnymi stałymi współczynnikami С 1 , С 2 , …, С (n-r), czyli .

Co oznacza termin rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych (oroslau)?

Znaczenie jest proste: formuła ustawia wszystko możliwe rozwiązania oryginalny SLAE, innymi słowy, przyjmując dowolny zestaw wartości dowolnych stałych С 1 , С 2 , …, С (n-r) , zgodnie ze wzorem otrzymujemy jedno z rozwiązań oryginalnego jednorodnego SLAE.

Tak więc, jeśli znajdziemy fundamentalny układ rozwiązań, to możemy ustawić wszystkie rozwiązania tego jednorodnego SLAE jako .

Pokażmy proces konstruowania fundamentalnego systemu rozwiązań dla jednorodnego SLAE.

Wybieramy podstawowy minor z pierwotnego układu równań liniowych, wyłączamy z układu wszystkie inne równania i przenosimy na prawą stronę równań układu o przeciwnych znakach wszystkie wyrazy zawierające wolne nieznane zmienne. Nadajmy wolnym nieznanym zmiennym wartości 1,0,0,…,0 i obliczmy główne niewiadome, rozwiązując w dowolny sposób otrzymany elementarny układ równań liniowych, na przykład metodą Cramera. W ten sposób otrzymamy X (1) - pierwsze rozwiązanie układu podstawowego. Jeżeli wolnym niewiadomym damy wartości 0,1,0,0,…,0 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (2) . Itp. Jeśli wolnym nieznanym zmiennym nadamy wartości 0,0,…,0,1 i obliczymy główne niewiadome, to otrzymamy X (n-r) . W ten sposób zostanie skonstruowany podstawowy układ rozwiązań jednorodnego SLAE, a jego rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci .

Dla niejednorodnych układów liniowych równań algebraicznych rozwiązanie ogólne przedstawia się jako

Spójrzmy na przykłady.

Przykład.

Znajdź podstawowy układ rozwiązań i rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych .

Decyzja.

Rząd macierzy głównej jednorodnych układów równań liniowych jest zawsze równy rządowi macierzy rozszerzonej. Znajdźmy rangę macierzy głównej metodą marginalizacji nieletnich. Jako niezerową moll pierwszego rzędu, bierzemy element a 1 1 = 9 głównej macierzy układu. Znajdź graniczący niezerowy minor drugiego rzędu:

Znaleziono molowy drugiego rzędu, różny od zera. Przejdźmy przez graniczących z nim nieletnich trzeciego rzędu w poszukiwaniu niezerowego:

Wszystkie graniczące nieletnie trzeciego rzędu są równe zeru, dlatego ranga macierzy głównej i rozszerzonej wynosi dwa. Weźmy podstawowy nieletni. Dla jasności zwracamy uwagę na elementy systemu, które go tworzą:

Trzecie równanie oryginalnego SLAE nie uczestniczy w tworzeniu podstawowego małoletniego, dlatego można go wykluczyć:

Wyrazy zawierające główne niewiadome zostawiamy po prawej stronie równań, a wyrazy z wolnymi niewiadomymi przenosimy na prawe strony równań:

Zbudujmy podstawowy układ rozwiązań pierwotnego jednorodnego układu równań liniowych. System podstawowy rozwiązania tego SLAE składają się z dwóch rozwiązań, ponieważ oryginalny SLAE zawiera cztery nieznane zmienne, a kolejność jego podstawowego elementu pomocniczego to dwie. Aby znaleźć X (1), podajemy wolnym nieznanym zmiennym wartości x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a następnie znajdujemy główne niewiadome z układu równań
.

1. Metoda substytucji: z dowolnego równania układu wyrażamy jedną niewiadomą w terminach drugiej i podstawiamy ją do drugiego równania układu.

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Decyzja. Z pierwszego równania układu wyrażamy w poprzez X i podstaw do drugiego równania układu. Zdobądźmy system odpowiednik oryginału.

Po dostarczeniu takich warunków system przyjmie postać:

Z drugiego równania znajdujemy: . Podstawiając tę ​​wartość do równania w = 2 - 2X, dostajemy w= 3. Zatem rozwiązaniem tego systemu jest para liczb .

2. Metoda dodawania algebraicznego: dodając dwa równania, uzyskaj równanie z jedną zmienną.

Zadanie. Rozwiąż równanie systemowe:

Decyzja. Mnożąc obie strony drugiego równania przez 2, otrzymujemy układ odpowiednik oryginału. Dodając dwa równania tego układu, dochodzimy do układu

Po skróceniu podobnych terminów system ten przyjmie postać: Z drugiego równania znajdujemy . Podstawiając tę ​​wartość do równania 3 X + 4w= 5, otrzymujemy , gdzie . Dlatego rozwiązaniem tego systemu jest para liczb .

3. Sposób wprowadzania nowych zmiennych: szukamy w systemie kilku powtarzających się wyrażeń, które będziemy oznaczać nowymi zmiennymi, upraszczając tym samym formę systemu.

Zadanie. Rozwiąż układ równań:

Decyzja. Zapiszmy ten system Inaczej:

Zostawiać x + y = ty, hu = v. Wtedy otrzymujemy system

Rozwiążmy to metodą substytucji. Z pierwszego równania układu wyrażamy ty poprzez v i podstaw do drugiego równania układu. Zdobądźmy system tych.

Z drugiego równania układu znajdujemy v 1 = 2, v 2 = 3.

Podstawiając te wartości do równania ty = 5 - v, dostajemy ty 1 = 3,
ty 2 = 2. Wtedy mamy dwa systemy

Rozwiązując pierwszy system, otrzymujemy dwie pary liczb (1; 2), (2; 1). Drugi system nie ma rozwiązań.

Ćwiczenia do samodzielnej pracy

1. Rozwiązuj układy równań metodą substytucji.

Przeanalizujemy dwa rodzaje rozwiązywania układów równań:

1. Rozwiązanie systemu metodą substytucyjną.
2. Rozwiązanie układu przez dodawanie (odejmowanie) równań układu wyraz po wyrazie.

W celu rozwiązania układu równań metoda substytucji musisz postępować zgodnie z prostym algorytmem:
1. Wyrażamy. Z dowolnego równania wyrażamy jedną zmienną.
2. Zastępca. Podstawiamy w innym równaniu zamiast wyrażonej zmiennej wartość wynikową.
3. Otrzymane równanie rozwiązujemy jedną zmienną. Znajdujemy rozwiązanie systemu.

Rozwiązać system przez dodawanie (odejmowanie) okres po okresie potrzebować:
1. Wybierz zmienną, dla której zrobimy te same współczynniki.
2. Dodajemy lub odejmujemy równania, w wyniku czego otrzymujemy równanie z jedną zmienną.
3. Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe. Znajdujemy rozwiązanie systemu.

Rozwiązaniem układu są punkty przecięcia wykresów funkcji.

Rozważmy szczegółowo rozwiązanie systemów na przykładach.

Przykład 1:

Rozwiążmy metodą substytucji

Rozwiązywanie układu równań metodą substytucji

2x+5y=1 (1 równanie)
x-10y=3 (2. równanie)

1. Ekspresowe
Widać, że w drugim równaniu jest zmienna x o współczynniku równym 1, stąd okazuje się, że najłatwiej jest wyrazić zmienną x z drugiego równania.
x=3+10y

2. Po wyrażeniu podstawiamy 3 + 10y w pierwszym równaniu zamiast zmiennej x.
2(3+10 lat)+5 lat=1

3. Otrzymane równanie rozwiązujemy jedną zmienną.
2(3+10 lat)+5y=1 (otwarte nawiasy)
6+20 lat+5 lat=1
25 lat = 1-6
25 lat=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Rozwiązaniem układu równań są punkty przecięcia wykresów, dlatego musimy znaleźć x i y, ponieważ punkt przecięcia składa się z x i y. Znajdźmy x, w pierwszym akapicie, w którym wyraziliśmy, podstawiamy tam y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Przyjęło się pisać punkty w pierwszej kolejności, zapisujemy zmienną x, a w drugiej kolejności zmienną y.
Odpowiedź: (1; -0,2)

Przykład #2:

Rozwiążmy przez dodawanie (odejmowanie) wyraz po wyrazie.

Rozwiązywanie układu równań metodą dodawania

3x-2y=1 (1 równanie)
2x-3y=-10 (2. równanie)

1. Wybierz zmienną, powiedzmy, że wybieramy x. W pierwszym równaniu zmienna x ma współczynnik 3, w drugim - 2. Musimy wyrównać współczynniki, w tym celu mamy prawo mnożyć równania lub dzielić przez dowolną liczbę. Pomnóż pierwsze równanie przez 2, a drugie przez 3, aby uzyskać ogólny stosunek 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od pierwszego równania odejmij drugie, aby pozbyć się zmiennej x. Rozwiąż równanie liniowe.
__6x-4y=2

5lat=32 | :5
y=6,4

3. Znajdź x. Podstawiamy znalezione y w dowolnym równaniu, powiedzmy w pierwszym równaniu.
3x-2 lata=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Punktem przecięcia będzie x=4,6; y=6,4
Odpowiedź: (4,6; 6,4)

Chcesz przygotować się do egzaminów za darmo? Korepetytor online za darmo. Bez żartów.

W tej lekcji rozważymy metody rozwiązywania układu równań liniowych. W matematyce wyższej układy równań liniowych należy rozwiązywać zarówno w formie odrębnych zadań, np. „Rozwiąż układ za pomocą wzorów Cramera”, jak iw trakcie rozwiązywania innych problemów. Trzeba mieć do czynienia z układami równań liniowych w prawie wszystkich gałęziach matematyki wyższej.

Najpierw trochę teorii. Co w ta sprawa oznacza matematyczne słowo „liniowy”? Oznacza to, że w równaniach układu wszystko zmienne są uwzględnione w pierwszym stopniu: bez wymyślnych rzeczy, takich jak itp., z których zachwyceni tylko uczestnicy olimpiad matematycznych.

W wyższa matematyka do wyznaczenia zmiennych używa się nie tylko liter znanych z dzieciństwa.
Dość popularną opcją są zmienne z indeksami: .
Lub pierwsze litery alfabetu łacińskiego, małe i duże:
Nie jest tak rzadko spotykane greckie litery: - dobrze znane wielu "alfa, beta, gamma". A także zestaw z indeksami, powiedzmy, z literą „mu”:

Użycie jednego lub drugiego zestawu liter zależy od gałęzi matematyki wyższej, w której mamy do czynienia z układem równań liniowych. Na przykład w układach równań liniowych spotykanych przy rozwiązywaniu całek, równania różniczkowe notacja tradycyjnie używana

Ale bez względu na to, jak zmienne są wyznaczone, zasady, metody i metody rozwiązywania układu równań liniowych nie zmieniają się od tego. Jeśli więc natkniesz się na coś strasznego, nie spiesz się z zamykaniem ze strachu księgi problemów, zamiast tego możesz narysować słońce zamiast ptaka, a zamiast tego twarz (nauczyciela). I, co dziwne, można również rozwiązać układ równań liniowych z tymi zapisami.

Coś mam takie przeczucie, że artykuł okaże się dość długi, a więc mały spis treści. Tak więc sekwencyjne „debriefing” będzie wyglądało następująco:

– Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawienia („metoda szkolna”);
– Rozwiązanie układu metodą dodawania (odejmowania) członu po członie równań układu;
– Rozwiązanie układu za pomocą wzorów Cramera;
– Rozwiązanie systemu z wykorzystaniem macierzy odwrotnej;
– Rozwiązanie systemu metodą Gaussa.

Każdy zna układy równań liniowych od kurs szkolny matematyka. W rzeczywistości zaczynamy od powtórzeń.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą podstawienia

Ta metoda można też nazwać „metodą szkolną” lub metodą eliminacji niewiadomych. Mówiąc obrazowo, można ją również nazwać „półdokończoną metodą Gaussa”.

Przykład 1

Tutaj mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Zauważ, że wolne terminy (numery 5 i 7) znajdują się po lewej stronie równania. Ogólnie rzecz biorąc, nie ma znaczenia, gdzie się znajdują, po lewej czy po prawej stronie, po prostu w problemach z wyższej matematyki często tak się znajdują. A taki zapis nie powinien być mylący, w razie potrzeby system zawsze można napisać „jak zwykle”. Nie zapominaj, że przenosząc termin z części na część, musisz zmienić jego znak.

Co to znaczy rozwiązać układ równań liniowych? Rozwiązywanie układu równań oznacza znalezienie zbioru jego rozwiązań. Rozwiązaniem systemu jest zbiór wartości wszystkich zawartych w nim zmiennych, co zamienia KAŻDE równanie systemu w prawdziwą równość. Ponadto system może być: niekompatybilny (brak rozwiązań).Nie wstydź się, to jest ogólna definicja=) Będziemy mieli tylko jedną wartość „x” i jedną wartość „y”, które spełniają każde równanie z-my.

Istnieć metoda graficzna rozwiązania systemu, które można znaleźć w lekcji Najprostsze problemy z linią prostą. Tam mówiłem zmysł geometryczny układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Ale teraz na podwórku jest era algebry, liczb-liczb, akcji-czynności.

My decydujemy: z pierwszego równania wyrażamy:
Otrzymane wyrażenie podstawiamy do drugiego równania:

Otwieramy nawiasy, podajemy podobne terminy i znajdujemy wartość:

Następnie przypominamy, z czego tańczyli:
Znamy już wartość, pozostaje znaleźć:

Odpowiedź:

Po rozwiązaniu DOWOLNEGO układu równań w JAKIKOLWIEK sposób, zdecydowanie zalecam sprawdzenie (ustnie, na szkicu lub kalkulatorze). Na szczęście odbywa się to szybko i łatwo.

1) Podstaw znalezioną odpowiedź w pierwszym równaniu:

- uzyskuje się prawidłową równość.

2) Podstawiamy znalezioną odpowiedź w drugim równaniu:

- uzyskuje się prawidłową równość.

Lub, mówiąc prościej, „wszystko się połączyło”

Rozważana metoda rozwiązania nie jest jedyną, z pierwszego równania można było wyrazić , ale nie .
Możesz odwrotnie - wyrazić coś z drugiego równania i podstawić to do pierwszego równania. Przy okazji zauważ, że najbardziej niekorzystnym z czterech sposobów jest wyrażenie z drugiego równania:

Uzyskuje się frakcje, ale dlaczego? Jest bardziej racjonalne rozwiązanie.

Jednak w niektórych przypadkach ułamki są nadal niezbędne. W związku z tym zwracam uwagę na JAK napisałem wyrażenie. Nie w ten sposób: i w żadnym wypadku nie w ten sposób: .

Jeśli w matematyce wyższej masz do czynienia liczby ułamkowe, a następnie spróbuj wykonać wszystkie obliczenia w zwykłych ułamkach niewłaściwych.

Dokładnie nie lub!

Przecinka można użyć tylko sporadycznie, w szczególności jeśli - jest to ostateczna odpowiedź na jakiś problem i nie trzeba wykonywać dalszych czynności z tym numerem.

Wielu czytelników musiało pomyśleć: „dlaczego tak jest?” szczegółowe wyjaśnienie, jak dla klasy korekty i tak wszystko jest jasne. Nic podobnego, wydaje się takie proste przykład szkolny, a ile BARDZO ważnych wniosków! Oto kolejny:

Każde zadanie powinno dążyć do wykonania przez jak najwięcej w sposób racjonalny . Choćby dlatego, że oszczędza czas i nerwy, a także zmniejsza prawdopodobieństwo popełnienia błędu.

Jeśli w zadaniu z matematyki wyższej natkniesz się na układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, to zawsze możesz skorzystać z metody podstawienia (chyba że wskazano, że układ należy rozwiązać inną metodą)”.
Co więcej, w niektórych przypadkach metoda substytucji jest wskazana, gdy jeszcze zmienne.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań liniowych z trzema niewiadomymi

Podobny system równania często powstają przy zastosowaniu tzw. metody współczynników nieoznaczonych, gdy znajdujemy całkę funkcji ułamkowo-wymiernej. System, o którym mowa, został przeze mnie zabrany stamtąd.

Znajdując całkę - cel szybki znajdź wartości współczynników i nie bądź wyrafinowany za pomocą formuł Cramera, metody odwrotnej macierzy itp. Dlatego w tym przypadku odpowiednia jest metoda substytucji.

Kiedy dany jest dowolny układ równań, przede wszystkim pożądane jest, aby się dowiedzieć, ale czy można go jakoś uprościć NATYCHMIAST? Analizując równania układu, zauważamy, że drugie równanie układu można podzielić przez 2, co robimy:

Odniesienie: symbol matematyczny oznacza „z tego wynika to”, jest często używany w trakcie rozwiązywania problemów.

Teraz analizujemy równania, musimy wyrazić jakąś zmienną przez resztę. Jakie równanie wybrać? Zapewne już domyśliłeś się, że najłatwiej w tym celu wziąć pierwsze równanie układu:

Tutaj nie ma znaczenia, którą zmienną wyrazić, równie dobrze można wyrazić lub .

Następnie podstawiamy wyrażenie for do drugiego i trzeciego równania układu:

Otwórz nawiasy i dodaj podobne terminy:

Trzecie równanie dzielimy przez 2:

Z drugiego równania wyrażamy i podstawiamy do trzeciego równania:

Prawie wszystko jest gotowe, z trzeciego równania znajdujemy:
Z drugiego równania:
Z pierwszego równania:

Weryfikacja: Zastąp znalezione wartości zmiennych w lewa strona każde równanie układu:

1)
2)
3)

Otrzymane są odpowiednie prawe strony równań, więc rozwiązanie zostanie znalezione poprawnie.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań liniowych z 4 niewiadomymi

To jest przykład dla niezależne rozwiązanie(odpowiedź na końcu lekcji).

Rozwiązanie układu przez dodawanie (odejmowanie) równań układu przez wyraz po wyrazie

Przy rozwiązywaniu układów równań liniowych należy starać się stosować nie „metodę szkolną”, ale metodę dodawania (odejmowania) równań układu wyraz po wyrazie. Czemu? Oszczędza to czas i upraszcza obliczenia, jednak teraz stanie się to bardziej przejrzyste.

Przykład 4

Rozwiąż układ równań liniowych:

Wziąłem ten sam system, co w pierwszym przykładzie.
Analizując układ równań, zauważamy, że współczynniki zmiennej są identyczne w wartości bezwzględnej i przeciwne w znaku (–1 i 1). W tej sytuacji równania mogą być dodawane wyraz po wyrazie:

Akcje zakreślone na czerwono są wykonywane MENTALNIE.
Jak widać, w wyniku dodawania terminów straciliśmy zmienną . W rzeczywistości jest to istotą metody jest pozbycie się jednej ze zmiennych.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do zidentyfikowania konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.