Równania kwadratowe i sposoby ich rozwiązywania. Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady
Przeczytaj także
52. Więcej złożone przykłady równania.
Przykład 1 .
5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)
Wspólnym mianownikiem jest x 2 - 1, ponieważ x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Pomnóż obie strony tego równania przez x 2 - 1. Otrzymujemy:
lub po redukcji,
5(x + 1) - 3(x - 1) = 15
5x + 5 – 3x + 3 = 15
2x=7 i x=3½
Rozważ inne równanie:
5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)
Rozwiązując jak powyżej otrzymujemy:
5(x + 1) - 3(x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 lub 2x = 2 i x = 1.
Zobaczmy, czy nasze równości są uzasadnione, jeśli zastąpimy x w każdym z rozważanych równań znalezioną liczbą.
W pierwszym przykładzie otrzymujemy:
Widzimy, że nie ma tu miejsca na jakiekolwiek wątpliwości: znaleźliśmy dla x taką liczbę, że wymagana równość jest uzasadniona.
W drugim przykładzie otrzymujemy:
5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) lub 5/0 - 3/2 = 15/0
Tu pojawiają się wątpliwości: spotykamy się tu z dzieleniem przez zero, co jest niemożliwe. Jeżeli w przyszłości uda nam się nadać temu podziałowi pewne, choć pośrednie, znaczenie, to możemy zgodzić się, że znalezione rozwiązanie x-1 spełnia nasze równanie. Do tego czasu musimy przyznać, że nasze równanie w ogóle nie ma rozwiązania, które ma bezpośrednie znaczenie.
Takie przypadki mogą mieć miejsce, gdy niewiadoma jest w jakiś sposób uwzględniona w mianownikach ułamków w równaniu, a niektóre z tych mianowników po znalezieniu rozwiązania znikają.
Przykład 2 .
Od razu widać, że to równanie ma postać proporcji: stosunek liczby x + 3 do liczby x - 1 jest równy stosunkowi liczby 2x + 3 do liczby 2x - 2. Niech ktoś w Biorąc pod uwagę tę okoliczność, zdecyduj się zastosować tutaj uwolnienie równania od ułamków, które są główną własnością proporcji (iloczyn skrajnych wyrazów jest równy iloczynowi średnich). Wtedy otrzyma:
(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)
2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.
Tutaj może budzić obawy, że nie poradzimy sobie z tym równaniem, fakt, że równanie zawiera wyrazy z x 2 . Możemy jednak od obu stron równania odjąć 2x2 - to nie zepsuje równania; wtedy elementy z x 2 zostaną zniszczone i otrzymamy:
6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3
Przesuńmy nieznane terminy w lewo, znane w prawo – otrzymujemy:
3x=3 lub x=1
Pamiętając to równanie
(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)
od razu zauważymy, że znaleziona wartość x (x = 1) znika z mianowników każdego ułamka; musimy zrezygnować z takiego rozwiązania, dopóki nie rozważymy kwestii dzielenia przez zero.
Jeśli zauważymy dalej, że zastosowanie własności proporcji ma skomplikowane sprawy i że prostsze równanie można uzyskać, mnożąc obie strony danego przez wspólny mianownik, czyli na 2(x - 1) - w końcu 2x - 2 = 2 (x - 1), to otrzymujemy:
2(x + 3) = 2x - 3 lub 2x + 6 = 2x - 3 lub 6 = -3,
co jest niemożliwe.
Ta okoliczność wskazuje, że w równaniu tym nie ma rozwiązań o bezpośrednim znaczeniu, które nie zamieniłyby mianowników tego równania na zero.
Rozwiążmy teraz równanie:
(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)
Mnożymy obie części równania 2(x - 1), czyli przez wspólny mianownik otrzymujemy:
6x + 10 = 2x + 18
Znalezione rozwiązanie nie unieważnia mianownika i ma bezpośrednie znaczenie:
lub 11 = 11
Gdyby ktoś zamiast pomnożenia obu części przez 2(x - 1) użył własności proporcji, otrzymałby:
(3x + 5)(2x - 2) = (2x + 18)(x - 1) lub
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.
Tutaj już warunki z x 2 nie zostałyby unicestwione. Przenoszenie wszystkich nieznanych terminów do lewa strona i znani z prawej strony, dostalibyśmy
4x 2 - 12x = -8
x 2 - 3x = -2
Nie możemy teraz rozwiązać tego równania. W przyszłości nauczymy się rozwiązywać takie równania i znaleźć dla niego dwa rozwiązania: 1) możemy przyjąć x = 2 i 2) możemy przyjąć x = 1. Łatwo jest sprawdzić oba rozwiązania:
1) 2 2 - 3 2 = -2 i 2) 1 2 - 3 1 = -2
Jeśli pamiętamy początkowe równanie
(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),
zobaczymy, że teraz otrzymamy oba rozwiązania: 1) x = 2 to rozwiązanie, które ma bezpośrednie znaczenie i nie zmienia mianownika na zero, 2) x = 1 to rozwiązanie, które zamienia mianownik na zero i nie nie mają bezpośredniego znaczenia.
Przykład 3 .
Znajdźmy wspólny mianownik ułamków zawartych w tym równaniu, dla którego rozkładamy każdy z mianowników:
1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),
2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),
3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).
Wspólnym mianownikiem jest (x - 3)(x - 2)(x + 1).
Pomnóż obie strony tego równania (a teraz możemy je przepisać jako:
do wspólnego mianownika (x - 3) (x - 2) (x + 1). Następnie po zmniejszeniu każdej frakcji otrzymujemy:
3(x + 1) - 2(x - 3) = 2(x - 2) lub
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.
Stąd otrzymujemy:
–x = –13 i x = 13.
To rozwiązanie ma bezpośrednie znaczenie: nie ustawia żadnego z mianowników na zero.
Gdybyśmy wzięli równanie:
wtedy, postępując w taki sam sposób jak powyżej, otrzymalibyśmy
3(x + 1) - 2(x - 3) = x - 2
3x + 3 - 2x + 6 = x - 2
3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,
gdzie byś się dostał?
co jest niemożliwe. Ta okoliczność pokazuje, że nie można znaleźć rozwiązania dla ostatniego równania, które ma bezpośrednie znaczenie.
W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych, które są rozwiązywane za pomocą tego samego algorytmu - dlatego nazywa się je najprostszymi.
Na początek zdefiniujmy: czym jest równanie liniowe i które z nich należy nazwać najprostszym?
Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i to tylko pierwszego stopnia.
Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:
Wszystkie inne równania liniowe sprowadza się do najprostszych za pomocą algorytmu:
- Otwarte nawiasy, jeśli występują;
- Przenieś terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
- Przynieś podobne warunki po lewej i prawej stronie znaku równości;
- Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $x$ .
Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasami po tych wszystkich machinacjach współczynnik zmiennej $x$ okazuje się równy zero. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:
- Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy otrzymasz coś takiego jak $0\cdot x=8$, tj. po lewej stronie jest zero, a po prawej niezerowa liczba. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku przyczynom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
- Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jedynym przypadkiem, w którym jest to możliwe, jest sprowadzenie równania do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że bez względu na to, jakie $x$ zastąpimy, i tak okaże się, że „zero jest równe zero”, tj. poprawna równość liczbowa.
A teraz zobaczmy, jak to wszystko działa na przykładzie prawdziwych problemów.
Przykłady rozwiązywania równań
Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe oznacza każdą równość, która zawiera dokładnie jedną zmienną i idzie tylko do pierwszego stopnia.
Takie konstrukcje są rozwiązywane w przybliżeniu w ten sam sposób:
- Przede wszystkim musisz otworzyć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
- Następnie przynieś podobne
- Na koniec wyizoluj zmienną, tj. wszystko, co jest związane ze zmienną — terminy, w których jest ona zawarta — przenosi się na jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, na drugą stronę.
Następnie z reguły trzeba zbliżyć po każdej stronie wynikową równość, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik przy „x”, a otrzymamy ostateczną odpowiedź.
W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni licealiści mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zwykle błędy popełniane są albo podczas otwierania nawiasów, albo podczas liczenia „plusów” i „minusów”.
Poza tym zdarza się, że równanie liniowe nie ma w ogóle rozwiązań lub rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przeanalizujemy te subtelności w dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najbardziej proste zadania.
Schemat rozwiązywania prostych równań liniowych
Na początek jeszcze raz napiszę cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:
- Rozwiń nawiasy, jeśli takie istnieją.
- Odseparuj zmienne, tj. wszystko, co zawiera „x”, jest przenoszone na jedną stronę, a bez „x” - na drugą.
- Przedstawiamy podobne terminy.
- Wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”.
Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, ma pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.
Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych
Zadanie 1
W pierwszym kroku musimy otworzyć wsporniki. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten etap. W drugim kroku musimy wyizolować zmienne. Notatka: rozmawiamy tylko o poszczególnych składnikach. Napiszmy:
Po lewej i prawej stronie podajemy podobne terminy, ale tutaj już to zostało zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tutaj otrzymaliśmy odpowiedź.
Zadanie nr 2
W tym zadaniu możemy obserwować nawiasy, więc je rozwińmy:
Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy w przybliżeniu tę samą konstrukcję, ale działajmy zgodnie z algorytmem, tj. zmienne sekwestrujące:
Oto niektóre z nich:
Na jakich korzeniach to działa? Odpowiedź: dla każdego. Dlatego możemy napisać, że $x$ to dowolna liczba.
Zadanie nr 3
Trzecie równanie liniowe jest już bardziej interesujące:
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one przez nic mnożone, po prostu mają przed sobą różne znaki. Podzielmy je:
Wykonujemy drugi krok już nam znany:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Obliczmy:
Wykonujemy ostatni krok - wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Rzeczy do zapamiętania podczas rozwiązywania równań liniowych
Jeśli zignorujemy zbyt proste zadania, to powiem:
- Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
- Nawet jeśli są korzenie, to zero może się między nimi dostać - nie ma w tym nic złego.
Zero to ta sama liczba, co reszta, nie należy jej jakoś dyskryminować ani zakładać, że jeśli otrzymałeś zero, to zrobiłeś coś złego.
Kolejna funkcja związana jest z rozszerzaniem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi jest „minus”, usuwamy go, ale w nawiasach zmieniamy znaki na naprzeciwko. A potem możemy go otworzyć przez standardowe algorytmy: otrzymujemy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.
Rozumiem to prosty fakt powstrzyma cię przed popełnianiem głupich i bolesnych błędów w szkole średniej, gdy robienie takich rzeczy jest oczywiste.
Rozwiązywanie złożonych równań liniowych
Przejdźmy do więcej złożone równania. Teraz konstrukcje staną się bardziej skomplikowane i podczas wykonywania różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Jednak nie należy się tego obawiać, ponieważ jeśli zgodnie z intencją autora rozwiążemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową z konieczności zostaną zredukowane.
Przykład 1
Oczywiście pierwszym krokiem jest otwarcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:
Teraz weźmy prywatność:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Oto niektóre z nich:
Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc w odpowiedzi piszemy tak:
\[\różnorodność \]
lub bez korzeni.
Przykład #2
Wykonujemy te same kroki. Pierwszy krok:
Przenieśmy wszystko ze zmienną w lewo, a bez niej - w prawo:
Oto niektóre z nich:
Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc piszemy je tak:
\[\varnic\],
lub bez korzeni.
Niuanse rozwiązania
Oba równania są całkowicie rozwiązane. Na przykładzie tych dwóch wyrażeń po raz kolejny upewniliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, w obu po prostu nie ma pierwiastków.
Ale chciałbym zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je rozwinąć, jeśli przed nimi jest znak minus. Rozważ to wyrażenie:
Przed otwarciem musisz wszystko pomnożyć przez „x”. Uwaga: pomnóż każdy indywidualny termin. Wewnątrz znajdują się dwa wyrazy - odpowiednio dwa wyrazy i jest mnożony.
I dopiero po dokonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można otworzyć nawias z tego punktu widzenia, że jest po nim znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, po przekształceniach, pamiętamy, że przed nawiasami jest znak minus, co oznacza, że wszystko poniżej po prostu zmienia znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.
To samo robimy z drugim równaniem:
Nieprzypadkowo zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Ponieważ rozwiązywanie równań jest zawsze sekwencją przekształcenia elementarne gdzie niezdolność do jasnego i kompetentnego wykonania proste kroki prowadzi do tego, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.
Oczywiście nadejdzie dzień, w którym wyszlifujesz te umiejętności do automatyzmu. Nie musisz już za każdym razem wykonywać tylu przekształceń, wszystko napiszesz w jednej linijce. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.
Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych
To, co teraz rozwiążemy, trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.
Zadanie 1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Pomnóżmy wszystkie elementy z pierwszej części:
Zróbmy rekolekcje:
Oto niektóre z nich:
Zróbmy ostatni krok:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Oto nasza ostateczna odpowiedź. I pomimo tego, że w procesie rozwiązywania mieliśmy współczynniki z funkcją kwadratową, to jednak wzajemnie się znosiły, co sprawia, że równanie jest dokładnie liniowe, a nie kwadratowe.
Zadanie nr 2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
Zróbmy pierwszy krok ostrożnie: pomnóż każdy element w pierwszym nawiasie przez każdy element w drugim. W sumie po przekształceniach należy uzyskać cztery nowe terminy:
A teraz dokładnie wykonaj mnożenie w każdym wyrazie:
Przesuńmy wyrazy z "x" w lewo, a bez - w prawo:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Oto podobne terminy:
Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.
Niuanse rozwiązania
Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest taka: jak tylko zaczniemy mnożyć nawiasy, w których jest więcej niż wyraz, to odbywa się to zgodnie z następującą zasadą: bierzemy pierwszy wyraz z pierwszego i mnożymy przez każdy element od drugiego; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element z drugiego. W rezultacie otrzymujemy cztery terminy.
Na sumie algebraicznej
Ostatnim przykładem chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 $ mamy na myśli prosty projekt: Odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to, co następuje: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. Ta suma algebraiczna różni się od zwykłej sumy arytmetycznej.
Gdy tylko wykonasz wszystkie przekształcenia, każde dodawanie i mnożenie, zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz miał problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.
Podsumowując, spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie oglądaliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.
Rozwiązywanie równań z ułamkiem
Aby rozwiązać takie zadania, do naszego algorytmu trzeba będzie dodać jeszcze jeden krok. Ale najpierw przypomnę nasz algorytm:
- Otwarte nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobne.
- Podziel przez współczynnik.
Niestety, ten wspaniały algorytm, mimo całej swojej skuteczności, nie jest całkowicie odpowiedni, gdy mamy przed sobą ułamki. A w tym, co zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek po lewej i po prawej stronie.
Jak pracować w takim przypadku? Tak, to bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać jeszcze jeden krok do algorytmu, który można wykonać zarówno przed pierwszą akcją, jak i po niej, a mianowicie pozbyć się ułamków. Zatem algorytm będzie wyglądał następująco:
- Pozbądź się ułamków.
- Otwarte nawiasy.
- Oddzielne zmienne.
- Przynieś podobne.
- Podziel przez współczynnik.
Co to znaczy „pozbyć się ułamków”? I dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe pod względem mianownika, tj. wszędzie mianownik to tylko liczba. Dlatego jeśli pomnożymy obie części równania przez tę liczbę, to pozbędziemy się ułamków.
Przykład 1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Uwaga: wszystko jest mnożone przez „cztery” raz, tj. tylko dlatego, że masz dwa nawiasy nie oznacza, że musisz pomnożyć każdy z nich przez „cztery”. Napiszmy:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Teraz otwórzmy to:
Wykonujemy oddzielenie zmiennej:
Przeprowadzamy redukcję podobnych terminów:
\[-4x=-1\lewo| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Otrzymaliśmy ostateczne rozwiązanie, przechodzimy do drugiego równania.
Przykład #2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Tutaj wykonujemy te same czynności:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem rozwiązany.
To właściwie wszystko, co chciałem dzisiaj powiedzieć.
Kluczowe punkty
Najważniejsze ustalenia są następujące:
- Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
- Możliwość otwierania nawiasów.
- Nie martw się, jeśli gdzieś masz funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej w procesie dalszych przekształceń ulegną one zmniejszeniu.
- Pierwiastki w równaniach liniowych, nawet najprostszych, są trzech typów: jeden pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem, nie ma w ogóle pierwiastków.
Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże Ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś jest niejasne, wejdź na stronę, rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka na Ciebie wiele innych ciekawych rzeczy!
Zazwyczaj, równania pojawiają się w problemach, w których wymagane jest znalezienie określonej wartości. Równanie pozwala nam sformułować problem w języku algebry. Rozwiązując równanie otrzymujemy wartość pożądanej wielkości, którą nazywamy niewiadomą. „Andrey ma w portfelu kilka rubli. Jeśli pomnożysz tę liczbę przez 2, a następnie odejmiesz 5, otrzymasz 10. Ile pieniędzy ma Andrzej?” Oznaczmy nieznaną ilość pieniędzy jako x i zapiszmy równanie: 2x-5=10.
Porozmawiać o sposoby rozwiązywania równań, należy najpierw zdefiniować podstawowe pojęcia i zapoznać się z ogólnie przyjętą notacją. Do różne rodzaje równań, istnieją różne algorytmy ich rozwiązywania. Najłatwiejsze do rozwiązania są równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Wiele osób ze szkoły zna wzór rozwiązywania równań kwadratowych. wydziwianie wyższa matematyka pomóc rozwiązać równania wyższego rzędu. Zbiór liczb, na którym definiowane jest równanie, jest ściśle powiązany z jego rozwiązaniami. Interesująca jest również zależność między równaniami a wykresami funkcji, gdyż bardzo pomocna jest w nich reprezentacja równań w formie graficznej.
Opis. Równanie to równanie matematyczne z co najmniej jedną niewiadomą, np. 2x+3y=0.
Wyrażenia po obu stronach znaku równości nazywają się lewa i prawa strona równania. Litery alfabetu łacińskiego oznaczają niewiadome. Chociaż może być dowolna liczba niewiadomych, w dalszej części omówimy tylko równania z jedną niewiadomą, którą oznaczymy przez x.
Stopień równania to maksymalna moc, do której podnoszona jest niewiadoma. Na przykład,
$3x^4+6x-1=0$ to równanie czwartego stopnia, $x-4x^2+6x=8$ to równanie drugiego stopnia.
Liczby, przez które mnoży się niewiadome, nazywa się współczynniki. W poprzednim przykładzie niewiadoma do potęgi czwartej ma współczynnik 3. Jeśli, gdy x zostanie zastąpione tą liczbą, dana równość jest spełniona, mówi się, że ta liczba spełnia równanie. To jest nazwane rozwiązanie równania lub jego root. Na przykład 3 jest pierwiastkiem lub rozwiązaniem równania 2x+8=14, ponieważ 2*3+8=6+8=14.
Rozwiązywanie równań. Powiedzmy, że chcemy rozwiązać równanie 2x+5=11.
Możesz podstawić do niego dowolną wartość x, na przykład x = 2. Zamieńmy x na 2 i otrzymamy: 2*2+5=4+5=9.
Coś tu jest nie tak, bo po prawej stronie równania powinniśmy mieć 11. Spróbujmy x=3: 2*3+5=6+5=11.
Odpowiedź jest prawidłowa. Okazuje się, że jeśli niewiadoma przyjmuje wartość 3, to obowiązuje równość. Dlatego pokazaliśmy, że liczba 3 jest rozwiązaniem równania.
Sposób, w jaki rozwiązaliśmy to równanie, nazywa się metoda wyboru. Oczywiście jest to niewygodne w użyciu. Co więcej, nie można tego nawet nazwać metodą. Aby to zweryfikować, wystarczy spróbować zastosować to do równania postaci $x^4-5x^2+16=2365$.
Metody rozwiązania. Kiedy istnieją tak zwane „zasady gry”, z którymi warto się zapoznać. Naszym celem jest określenie wartości nieznanej, która spełnia równanie. Dlatego konieczne jest w jakiś sposób odizolowanie nieznanego. Aby to zrobić, konieczne jest przeniesienie warunków równania z jednej jego części na drugą. Pierwsza zasada rozwiązywania równań to...
1. Przenosząc człon równania z jednej części do drugiej, jego znak zmienia się na przeciwny: plus zmienia się na minus i odwrotnie. Rozważmy równanie 2x+5=11 jako przykład. Przesuń 5 od lewej do prawej: 2x=11-5. Równanie przyjmie postać 2x=6.
Przejdźmy do drugiej zasady.
2. Obie strony równania można pomnożyć i podzielić przez liczbę niezerową. Zastosujmy tę regułę do naszego równania: $x=\frac62=3$. Po lewej stronie równości pozostało tylko nieznane x, dlatego znaleźliśmy jego wartość i rozwiązaliśmy równanie.
Właśnie rozważyliśmy najprostszy problem - równanie liniowe z jedną niewiadomą. Równania tego typu zawsze mają rozwiązanie, ponadto zawsze można je rozwiązać za pomocą najprostszych operacji: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Niestety, nie wszystkie równania są tak proste. Co więcej, bardzo szybko wzrasta stopień ich złożoności. Na przykład równania drugiego stopnia mogą być łatwo rozwiązane przez każdego ucznia Liceum, ale metody rozwiązywania układów równań liniowych lub równań wyższych stopni są badane tylko w liceum.
Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")
Równania liniowe.
Równania liniowe- nie najtrudniejszy temat szkolnej matematyki. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zagadać nawet wyszkolonego ucznia. Możemy to rozgryźć?)
Równanie liniowe jest zwykle definiowane jako równanie o postaci:
topór + b = 0 gdzie a i b- dowolne liczby.
2x + 7 = 0. Tutaj a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Tutaj a=12, b=1/2
Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważasz słów: „gdzie a i b są liczbami”... A jeśli zauważysz, ale niedbale o tym pomyśl?) W końcu, jeśli a=0, b=0(możliwe są jakieś liczby?), wtedy otrzymujemy zabawne wyrażenie:
Ale to nie wszystko! Jeśli powiedzmy a=0, a b=5, okazuje się, że jest to coś całkiem absurdalnego:
Co nadweręża i podkopuje zaufanie do matematyki, tak...) Zwłaszcza na egzaminach. Ale z tych dziwnych wyrażeń musisz także znaleźć X! Który w ogóle nie istnieje. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Dowiemy się, jak to zrobić. W tej lekcji.
Jak rozpoznać wygląd równania liniowego? To zależy od czego wygląd zewnętrzny.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe nazywa się nie tylko równaniami postaci topór + b = 0 , ale także wszelkie równania, które do tej postaci sprowadza się poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy jest zmniejszony, czy nie?)
W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Powiedzmy, że jeśli mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia, tak liczby. A równanie nie ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I podział przez numer, lub ułamek liczbowy - to wszystko! Na przykład:
To jest równanie liniowe. Są tu ułamki, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itd., i nie ma x w mianownikach, tj. Nie dzielenie przez x. A oto równanie
nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie x są w pierwszym stopniu, ale jest dzielenie przez wyrażenie z x. Po uproszczeniach i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, kwadratowe i cokolwiek chcesz.
Okazuje się, że niemożliwe jest znalezienie równania liniowego w jakimś skomplikowanym przykładzie, dopóki prawie go nie rozwiążesz. To denerwujące. Ale w zadaniach z reguły nie pytają o formę równania, prawda? W zadaniach równania są uporządkowane zdecydować. To sprawia, że jestem szczęśliwy.)
Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.
Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Nawiasem mówiąc, te przekształcenia (aż dwie!) leżą u podstaw rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Innymi słowy, decyzja każdy Równanie zaczyna się od tych samych przekształceń. W przypadku równań liniowych to (rozwiązanie) na tych przekształceniach kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Ponadto istnieją również przykłady rozwiązywania równań liniowych.
Zacznijmy od najprostszego przykładu. Bez pułapek. Powiedzmy, że musimy rozwiązać następujące równanie.
x - 3 = 2 - 4x
To jest równanie liniowe. Wszystkie X są do pierwszej potęgi, nie ma dzielenia przez X. Ale tak naprawdę nie obchodzi nas, jakie to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat tutaj jest prosty. Zbierz wszystko, co ma x po lewej stronie równania, wszystko bez x (liczby) po prawej.
Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku, ale - 3 - w prawo. Nawiasem mówiąc, to jest pierwsza identyczna transformacja równań. Zaskoczony? Więc nie poszli za linkiem, ale na próżno ...) Otrzymujemy:
x + 4x = 2 + 3
Podajemy podobne, uważamy:
Czego potrzebujemy, aby być całkowicie szczęśliwym? Tak, aby po lewej stronie był czysty X! Pięć przeszkadza. Pozbądź się piątki za pomocą druga identyczna transformacja równań. Mianowicie dzielimy obie części równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:
Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest jasne, dlaczego przywołałem tutaj identyczne przekształcenia? OK. Bierzemy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś bardziej imponującego.
Na przykład, oto to równanie:
Gdzie zaczynamy? Z X - w lewo, bez X - w prawo? Może tak być. Małymi krokami długa droga. I możesz natychmiast, uniwersalny i potężny sposób. O ile oczywiście w twoim arsenale nie ma identycznych przekształceń równań.
Zadaję Ci kluczowe pytanie: Czego najbardziej nie lubisz w tym równaniu?
95 osób na 100 odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Więc pozbądźmy się ich. Więc zaczynamy od razu druga identyczna transformacja. Przez co należy pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik został całkowicie zmniejszony? Zgadza się, 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer. Jak się wydostaniemy? Pomnóżmy obie strony przez 12! Tych. do wspólnego mianownika. Wtedy trzy zostaną zredukowane, a cztery. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część całkowicie. Oto jak wygląda pierwszy krok:
Rozwijanie nawiasów:
Notatka! Licznik ułamka (x+2) Wziąłem w nawiasy! Dzieje się tak, ponieważ mnożąc ułamki, licznik mnoży się przez całość, całkowicie! A teraz możesz redukować ułamki i redukować:
Otwarcie pozostałych nawiasów:
Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Teraz przypominamy sobie zaklęcie z niższe oceny: z x - w lewo, bez x - w prawo! I zastosuj tę transformację:
Oto niektóre z nich:
I obie części dzielimy przez 25, tj. zastosuj ponownie drugą transformację:
To wszystko. Odpowiedź: X=0,16
Zwróćmy uwagę: aby sprowadzić oryginalne mylące równanie do dobrze wyglądający, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) identyczne przekształcenia- tłumaczenie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem - dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To jest uniwersalny sposób! Tak będziemy pracować każdy równania! Absolutnie dowolny. Dlatego cały czas powtarzam te same przekształcenia.)
Jak widać, zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy są tutaj w obliczeniach, a nie w zasadzie rozwiązania.
Ale… Są takie niespodzianki w procesie rozwiązywania najbardziej elementarnych równań liniowych, że potrafią doprowadzić do silnego odrętwienia…) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je szczególnymi przypadkami.
Szczególne przypadki rozwiązywania równań liniowych.
Najpierw niespodzianka.
Załóżmy, że natkniesz się na równanie elementarne, coś takiego:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Lekko znudzony przenosimy z X w lewo, bez X - w prawo... Ze zmianą znaku wszystko jest podbródkowo-chinarowe... Otrzymujemy:
2x-5x+3x=5-2-3
Wierzymy i… o mój! Otrzymujemy:
Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero to naprawdę zero. Ale X zniknął! I musimy napisać w odpowiedzi, ile x jest równe. W przeciwnym razie rozwiązanie się nie liczy, tak...) Ślepy zaułek?
Spokojna! W takich wątpliwych przypadkach zachowują najogólniejsze zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po wstawieniu do oryginalnego równania dadzą nam poprawną równość.
Ale mamy poprawną równość już stało się! 0=0, gdzie tak naprawdę?! Pozostaje dowiedzieć się, przy jakim x jest to uzyskane. W jakie wartości x można podstawić? Inicjał równanie jeśli te x's nadal kurczyć się do zera? Dalej?)
Tak!!! Xs można podstawić każdy! Co chcesz. Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. Nadal będą się kurczyć. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości x w Inicjał równanie i obliczenia. Cały czas będzie uzyskiwana czysta prawda: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 i tak dalej.
Oto twoja odpowiedź: x jest dowolną liczbą.
Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. To jest całkowicie poprawna i kompletna odpowiedź.
Niespodzianka druga.
Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Tak zdecydujemy:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:
Lubię to. Rozwiązał równanie liniowe, uzyskał dziwną równość. Mówiąc matematycznie, mamy zła równość. I mówienie zwykły język, to nie jest prawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest całkiem dobrym powodem do… Dobra decyzja równania.)
Znowu myślimy od Główne zasady. Co da nam x po wstawieniu do pierwotnego równania? prawidłowy równość? Tak, żaden! Nie ma takich xów. Cokolwiek zastąpisz, wszystko zostanie zredukowane, bzdury pozostaną.)
Oto twoja odpowiedź: nie ma rozwiązań.
To też jest całkowicie słuszna odpowiedź. W matematyce takie odpowiedzi często się zdarzają.
Lubię to. Teraz mam nadzieję, że utrata X w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania w ogóle Ci nie przeszkadza. Sprawa jest znajoma.)
Teraz, gdy uporaliśmy się ze wszystkimi pułapkami w równaniach liniowych, rozwiązanie ich ma sens.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)
Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Ministerstwo Generalnego i kształcenie zawodowe RF
Miejska instytucja edukacyjna
Gimnazjum nr 12
pismo
na temat: Równania i sposoby ich rozwiązywania
Ukończone: uczeń 10 klasy „A”
Krutko Eugeniusz
Sprawdzono: nauczyciel matematyki Iskhakova Gulsum Akramovna
Tiumeń 2001
Plan................................................. ................................................. . ............................... jeden
Wprowadzenie ............................................... . ................................................ .. ........................ 2
Głównym elementem................................................ ................................................. . .............. 3
Wniosek................................................. ................................................. . ............... 25
Załącznik................................................. ................................................. . ............... 26
Lista referencji ............................................. .............................. ................... ... 29
Plan.
Wstęp.
Odniesienie do historii.
Równania. Równania algebraiczne.
a) Podstawowe definicje.
b) Równanie liniowe i sposób jego rozwiązania.
w) Równania kwadratowe i sposoby jego rozwiązania.
d) Równania dwuczłonowe, sposób ich rozwiązywania.
e) Równania sześcienne i metody ich rozwiązywania.
f) Równanie dwukwadratowe i metoda jego rozwiązania.
g) Równania IV stopnia i metody ich rozwiązywania.
g) Równania wysokie stopnie i metody z rozwiązania.
h) Racjonalne równanie algebraiczne i sposób, w jaki to?
oraz) Równania irracjonalne i sposoby jego rozwiązania.
j) Równania zawierające niewiadomą pod znakiem.
wartość bezwzględna i jak ją rozwiązać.
Równania transcendentalne.
a) równania wykładnicze i jak je rozwiązać.
b) Równania logarytmiczne i jak je rozwiązać.
Wstęp
Wykształcenie matematyczne otrzymane w szkoła ogólnokształcąca, jest najważniejszym składnikiem ogólne wykształcenie i kultura ogólna nowoczesny mężczyzna. Prawie wszystko, co otacza współczesnego człowieka, jest w taki czy inny sposób związane z matematyką. I ostatnie postępy w fizyce, technologii i technologia informacyjna nie pozostawiaj wątpliwości, że w przyszłości wszystko pozostanie bez zmian. Dlatego rozwiązanie wielu praktycznych problemów sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równania do nauki rozwiązywania.
Niniejsza praca jest próbą uogólnienia i usystematyzowania badanego materiału na powyższy temat. Materiał ułożyłem według stopnia jego złożoności, zaczynając od najprostszego. Obejmuje zarówno typy równań znane nam ze szkolnego kursu algebry, jak i dodatkowy materiał. Jednocześnie starałem się pokazać typy równań, które nie są badane w kurs szkolny, ale wiedza o której może być potrzebna przy wpisywaniu wyższego instytucja edukacyjna. W swojej pracy, rozwiązując równania, nie ograniczałem się tylko do rozwiązania rzeczywistego, ale wskazywałem także na rozwiązanie złożone, ponieważ uważam, że inaczej równania po prostu nie da się rozwiązać. W końcu, jeśli w równaniu nie ma prawdziwych pierwiastków, to nie oznacza to, że nie ma rozwiązań. Niestety z powodu braku czasu nie byłem w stanie przedstawić całego posiadanego materiału, ale nawet przy materiale, który tu prezentuję, może pojawić się wiele pytań. Mam nadzieję, że moja wiedza wystarczy, aby odpowiedzieć na większość pytań. Zaprezentuję więc materiał.
Matematyka... ujawnia porządek
symetria i pewność,
a to jest najważniejsze gatunki piękny.
Arystotelesa.
Odniesienie do historii
W tych odległych czasach, kiedy mędrcy zaczęli myśleć o równościach zawierających nieznane ilości, prawdopodobnie nie było jeszcze monet ani portfeli. Ale z drugiej strony były stosy, a także garnki, kosze, które doskonale nadawały się do roli skrytek-sklepów zawierających nieznaną liczbę przedmiotów. „Szukamy hałdy, która razem z dwiema trzecimi, czyli połową i jedną siódmą, daje 37…”, nauczał egipski skryba Ahmes w II tysiącleciu p.n.e. W starożytnych problemach matematycznych Mezopotamii, Indii, Chin, Grecji nieznane wielkości wyrażały liczbę pawi w ogrodzie, liczbę byków w stadzie, całość rzeczy branych pod uwagę przy podziale majątku. Dobrze wyszkoleni skrybowie, urzędnicy i nowicjusze w nauce liczenia wiedza tajemna księża całkiem skutecznie radzili sobie z takimi zadaniami.
Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy posiadali niektóre wspólne sztuczki rozwiązywanie problemów z nieznanymi wielkościami. Jednak ani jeden papirus, ani jedna gliniana tabliczka nie dają opisu tych technik. Autorzy tylko sporadycznie podawali do swoich obliczeń numerycznych złośliwe komentarze typu: „Spójrz!”, „Zrób to!”, „Znalazłeś to dobrze”. W tym sensie wyjątkiem jest „Arytmetyka” greckiego matematyka Diofantusa z Aleksandrii (III wiek) - zbiór problemów do kompilacji równań z systematyczną prezentacją ich rozwiązań.
Jednak dzieło bagdadzkiego uczonego z IX wieku stało się pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany. Muhammad bin Musa al-Chwarizmi. Słowo „al-jabr” z arabskiego tytułu tego traktatu – „Kitab al-jaber wal-muqabala” („Księga restauracji i kontrastów”) – z czasem przekształciło się w dobrze wszystkim znane słowo „algebra”, a sama praca al-Khwarizmi służyła jako punkt wyjścia w rozwoju nauki rozwiązywania równań.
równania. Równania algebraiczne
Podstawowe definicje
W algebrze brane są pod uwagę dwa rodzaje równości - tożsamości i równania.
Tożsamość to równość, która obowiązuje dla wszystkich (dopuszczalnych) wartości liter ). Aby wpisać tożsamość wraz ze znakiem
używany jest również znak.Równanie- jest to równość, która jest spełniona tylko dla niektórych wartości zawartych w niej liter. Litery zawarte w równaniu, w zależności od stanu problemu, mogą być nierówne: niektóre mogą wziąć wszystkie swoje dozwolone wartości(nazywają się parametry lub współczynniki równania i są zwykle oznaczane pierwszymi literami alfabetu łacińskiego:
, , ... – lub te same litery, opatrzone indeksami: , , ... lub , , ...); inne, których wartości można znaleźć, nazywają się nieznany(zazwyczaj są oznaczane ostatnimi literami alfabetu łacińskiego: , , , ... - lub tymi samymi literami, opatrzone indeksami: , , ... lub , , ...).W ogólny widok równanie można zapisać w ten sposób:
(, , ..., ).W zależności od liczby nieznane równanie nazwany równaniem z jedną, dwiema itd. niewiadomymi.