Kolejność transformacji wykresów funkcji. Transformacja wykresów funkcji elementarnych

Hipoteza: Jeśli badasz ruch wykresu podczas tworzenia równania funkcji, możesz zobaczyć, że wszystkie wykresy są zgodne ogólne wzorce dlatego możliwe jest formułowanie ogólnych praw niezależnie od funkcji, co nie tylko ułatwi konstruowanie grafów różne funkcje ale także wykorzystuj je w rozwiązywaniu problemów.

Cel: Badanie ruchu wykresów funkcji:

1) Zadanie studiowania literatury

2) Naucz się budować wykresy różnych funkcji

3) Dowiedz się, jak konwertować wykresy funkcje liniowe

4) Rozważ użycie wykresów w rozwiązywaniu problemów

Przedmiot badań: Wykresy funkcji

Przedmiot badań: Ruchy wykresów funkcji

Trafność: Budowa wykresów funkcyjnych z reguły zajmuje dużo czasu i wymaga uwagi ucznia, ale znając zasady przekształcania wykresów funkcyjnych oraz wykresów funkcji podstawowych można szybko i łatwo zbudować wykresy funkcyjne, które pozwolą nie tylko wykonujesz zadania związane z wykreślaniem wykresów funkcji, ale także rozwiązywasz powiązane problemy (aby znaleźć maksimum (minimalną wysokość czasu i punkt spotkania))

Ten projekt jest przydatny dla wszystkich uczniów szkoły.

Przegląd literatury:

W literaturze omawiane są sposoby konstruowania wykresów różnych funkcji, a także przykłady przekształceń wykresów tych funkcji. Wykresy prawie wszystkich głównych funkcji są używane w różnych procesy techniczne, co pozwala na bardziej przejrzyste przedstawienie przebiegu procesu i zaprogramowanie wyniku

Funkcja stała. Ta funkcja jest wyrażona wzorem y = b, gdzie b jest pewną liczbą. Wykres funkcji stałej jest linią prostą równoległą do osi x i przechodzącą przez punkt (0; b) na osi y. Wykres funkcji y \u003d 0 to oś odciętej.

Rodzaje funkcji 1Proporcjonalność bezpośrednia. Ta funkcja jest określona wzorem y \u003d kx, gdzie współczynnik proporcjonalności k ≠ 0. Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą przechodzącą przez początek.

Funkcja liniowa. Taką funkcję podaje wzór y = kx + b, gdzie k i b są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

Wykresy funkcji liniowych mogą się przecinać lub być równoległe.

Tak więc linie wykresów funkcji liniowych y \u003d k 1 x + b 1 i y \u003d k 2 x + b 2 przecinają się, jeśli k 1 ≠ k 2; jeśli k 1 = k 2 , to linie są równoległe.

2 Odwrotna proporcjonalność to funkcja wyrażona wzorem y \u003d k / x, gdzie k ≠ 0. K nazywa się współczynnikiem odwrotna proporcjonalność. Wykres odwrotnej proporcjonalności to hiperbola.

Funkcja y \u003d x 2 jest reprezentowana przez wykres zwany parabolą: w przedziale [-~; 0] funkcja maleje, na przedziale funkcja rośnie.

Funkcja y \u003d x 3 wzrasta wzdłuż całej osi liczbowej i jest graficznie reprezentowana przez sześcienną parabolę.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem naturalnym. Ta funkcja jest wyrażona wzorem y \u003d x n, gdzie n to Liczba naturalna. Wykresy funkcja zasilania z wykładnikiem naturalnym zależy od n. Na przykład, jeśli n = 1, to wykres będzie linią prostą (y = x), jeśli n = 2, to wykres będzie parabolą itd.

Funkcja potęgowa z ujemnym wykładnikiem całkowitym jest reprezentowana przez wzór y \u003d x -n, gdzie n jest liczbą naturalną. Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich x ≠ 0. Wykres funkcji zależy również od wykładnika n.

Funkcja potęgowa z dodatnim wykładnikiem ułamkowym. Ta funkcja jest reprezentowana przez wzór y \u003d x r, gdzie r jest dodatnim ułamkiem nieredukowalnym. Ta funkcja nie jest również ani parzysta, ani nieparzysta.

Linia wykresu wyświetlająca relacje zmiennych zależnych i niezależnych na płaszczyźnie współrzędnych. Wykres służy do wizualnego przedstawienia tych elementów.

Zmienna niezależna to zmienna, która może przyjąć dowolną wartość w zakresie funkcji (gdzie podana funkcja ma sens (nie można dzielić przez zero)

Aby wykreślić wykres funkcji,

1) Znajdź ODZ (zakres dopuszczalnych wartości)

2) weź kilka dowolnych wartości dla zmiennej niezależnej

3) Znajdź wartość zmiennej zależnej

4) Zbuduj płaszczyznę współrzędnych, zaznacz na niej te punkty

5) Połącz ich linie, jeśli to konieczne, zbadaj wynikowy wykres Konwersja wykresów podstawowe funkcje.

Konwersja wykresu

W czysta forma podstawowe funkcje elementarne spotykamy niestety nie tak często. Znacznie częściej mamy do czynienia z funkcjami elementarnymi uzyskanymi z podstawowych funkcji elementarnych przez dodanie stałych i współczynników. Wykresy takich funkcji można zbudować, stosując przekształcenia geometryczne do wykresów odpowiednich podstawowych funkcji elementarnych (lub przełączając się na nowy układ współrzędnych). Na przykład, funkcja kwadratowa wzór jest kwadratową formułą paraboli, skompresowaną trzykrotnie względem osi rzędnych, wyświetlaną symetrycznie względem osi odciętych, przesuniętą w kierunku przeciwnym do tej osi o 2/3 jednostki i przesuniętą w kierunku osi rzędnych o 2 jednostki.

Zrozummy te geometryczne przekształcenia wykresu funkcji krok po kroku na konkretnych przykładach.

Za pomocą przekształceń geometrycznych wykresu funkcji f (x) można skonstruować wykres dowolnej funkcji wzoru formularza, w którym formułą są współczynniki kompresji lub rozszerzania odpowiednio wzdłuż osi oy i ox, minus znaki przed wzorem i wzorem współczynników wskazują na symetryczne wyświetlanie wykresu względem osie współrzędnych, a i b definiują przesunięcie odpowiednio względem osi odciętych i rzędnych.

Istnieją zatem trzy rodzaje przekształceń geometrycznych grafu funkcji:

Pierwszy typ to skalowanie (ściskanie lub rozszerzanie) wzdłuż osi odciętych i rzędnych.

Na potrzebę skalowania wskazują współczynniki wzoru inne niż jeden, jeśli liczba jest mniejsza niż 1, to wykres jest kompresowany względem oy i rozciągany względem ox, jeśli liczba jest większa niż 1, to rozciągamy wzdłuż osi rzędnych i kurczyć się wzdłuż osi odciętej.

Drugi typ to wyświetlanie symetryczne (lustrzane) względem osi współrzędnych.

O potrzebie tego przekształcenia świadczą znaki minusa przed współczynnikami wzoru (w tym przypadku wykres wyświetlamy symetrycznie względem osi wołu) i formuły (w tym przypadku wyświetlamy wykres symetrycznie z względem osi y). Jeśli nie ma znaków minus, ten krok jest pomijany.

Transfer równoległy.

PRZESUW WZDŁUŻ OSI Y

f(x) => f(x) - b
Niech będzie wymagane wykreślenie funkcji y \u003d f (x) - b. Łatwo zauważyć, że rzędne tego wykresu dla wszystkich wartości x na |b| jednostki mniejsze niż odpowiadające rzędne wykresu funkcji y = f(x) dla b>0 i |b| jednostki więcej - przy b 0 lub w górę przy b Aby wykreślić funkcję y + b = f(x), narysuj funkcję y = f(x) i przesuń oś x do |b| jednostki w górę dla b>0 lub o |b| jednostki w dół na b

TRANSFER WZDŁUŻ OSI X

f(x) => f(x + a)
Niech będzie wymagane wykreślenie funkcji y = f(x + a). Rozważmy funkcję y = f(x), która w pewnym momencie x = x1 przyjmuje wartość y1 = f(x1). Oczywiście funkcja y = f(x + a) przyjmie taką samą wartość w punkcie x2, którego współrzędna jest wyznaczona z równości x2 + a = x1, czyli x2 = x1 - a, a rozważana równość obowiązuje dla ogółu wszystkich wartości z dziedziny funkcji. Zatem wykres funkcji y = f(x + a) można otrzymać poprzez równoległe przesunięcie wykresu funkcji y = f(x) wzdłuż osi x w lewo o |a| jedynki dla a > 0 lub w prawo o |a| jednostki dla a Aby wykreślić funkcję y = f(x + a), wykreśl funkcję y = f(x) i przesuń oś y do |a| jednostki po prawej dla a>0 lub |a| jednostki po lewej stronie dla

Przykłady:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Odbicie.

WYKRES FUNKCJI WIDOKU Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Oczywiście funkcje y = f(-x) i y = f(x) przyjmują równe wartości w punktach, których odcięte są równe w całkowita wartość, ale przeciwnie w znaku. Innymi słowy rzędne wykresu funkcji y = f(-x) w obszarze dodatnich (ujemnych) wartości x będą równe rzędnym wykresu funkcji y = f(x) z ujemnymi (dodatnimi) wartościami x odpowiadającymi wartości bezwzględnej. W ten sposób otrzymujemy następującą zasadę.
Aby wykreślić funkcję y = f(-x), należy wykreślić funkcję y = f(x) i odzwierciedlić ją wzdłuż osi y. Otrzymany wykres jest wykresem funkcji y = f(-x)

WYKRES FUNKCJI WIDOKU Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Rzędne wykresu funkcji y = - f(x) dla wszystkich wartości argumentu są równe w wartości bezwzględnej, ale przeciwne w znaku do rzędnych wykresu funkcji y = f(x) dla te same wartości argumentu. W ten sposób otrzymujemy następującą zasadę.
Aby wykreślić funkcję y = - f(x), należy wykreślić funkcję y = f(x) i odzwierciedlić ją wokół osi x.

Przykłady:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Odkształcenie.

DEFORMACJA WYKRESU WZDŁUŻ OSI Y

f(x) => kf(x)
Rozważmy funkcję postaci y = k f(x), gdzie k > 0. Łatwo zauważyć, że dla równych wartości argumentu rzędne wykresu tej funkcji będą k razy większe niż rzędne wykres funkcji y = f(x) dla k > 1 lub 1/k razy mniej niż rzędne wykresu funkcji y = f(x) dla k ) lub zmniejsz jej rzędne o 1/k razy dla k
k > 1- rozciąganie od osi Wół
0 - kompresja do osi OX

DEFORMACJA WYKRESU WZDŁUŻ OSI X

f(x) => f(kx)
Niech będzie wymagane wykreślenie funkcji y = f(kx), gdzie k>0. Rozważ funkcję y = f(x), która przyjmuje wartość y1 = f(x1) w dowolnym punkcie x = x1. Oczywiście funkcja y = f(kx) przyjmuje tę samą wartość w punkcie x = x2, którego współrzędna jest wyznaczona przez równość x1 = kx2, a ta równość obowiązuje dla sumy wszystkich wartości x od dziedzina funkcji. W konsekwencji wykres funkcji y = f(kx) jest kompresowany (dla k 1) wzdłuż osi odciętej względem wykresu funkcji y = f(x). W ten sposób otrzymujemy regułę.
Aby wykreślić funkcję y = f(kx), wykreśl funkcję y = f(x) i zmniejsz jej odciętą o k razy dla k>1 (zmniejsz wykres wzdłuż odciętej) lub zwiększ jej odciętą o 1/k razy dla k
k > 1- kompresja do osi Oy
0 - rozciąganie od osi OY

W zależności od warunków przebiegu procesów fizycznych niektóre wielkości przyjmują wartości stałe i nazywane są stałymi, inne zmieniają się w określonych warunkach i nazywane są zmiennymi.

uważna nauka środowisko pokazuje, że wielkości fizyczne są od siebie zależne, to znaczy zmiana niektórych wielkości pociąga za sobą zmianę w innych.

Analiza matematyczna bada relacje ilościowe wzajemnie zmieniających się wielkości, abstrahując od konkretnego znaczenia fizycznego. Jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej jest pojęcie funkcji.

Rozważ elementy zbioru i elementy zbioru
(rys. 3.1).

Jeśli między elementami zbiorów zostanie ustalona jakaś korespondencja
oraz z zasady , to zauważamy, że funkcja jest zdefiniowana
.

Definicja 3.1. Konformizm , który jest powiązany z każdym elementem nie pusty zestaw
jakiś dobrze zdefiniowany element nie pusty zestaw , nazywa się funkcją lub mapowaniem
w .

Wyświetlaj symbolicznie
w jest napisane w następujący sposób:

.

Jednocześnie wielu
nazywana jest dziedziną funkcji i jest oznaczona
.

Z kolei wielu nazywa się zakresem funkcji i jest oznaczony
.

Ponadto należy zauważyć, że elementy zestawu
nazywamy zmiennymi niezależnymi, elementy zbioru nazywane są zmiennymi zależnymi.

Sposoby ustawiania funkcji

Funkcję można zdefiniować na następujące główne sposoby: tabelaryczny, graficzny, analityczny.

Jeżeli na podstawie danych eksperymentalnych zestawiane są tabele zawierające wartości funkcji i odpowiadające im wartości argumentu, wówczas ta metoda określania funkcji nazywana jest tabelaryczną.

Jednocześnie, jeśli do rejestratora (oscyloskop, rejestrator itp.) zostaną wyprowadzone niektóre badania wyniku eksperymentu, należy zauważyć, że funkcja jest ustawiona graficznie.

Najczęstszym jest analityczny sposób definiowania funkcji, czyli metoda, w której zmienne niezależne i zależne są łączone za pomocą formuły. W którym zasadnicza rola pełni zakres funkcji:

różne, choć dają je te same relacje analityczne.

Jeśli podano tylko formułę funkcji
, uważamy, że dziedzina definicji tej funkcji pokrywa się ze zbiorem tych wartości zmiennej , dla którego wyrażenie
ma znaczenie. W tym względzie szczególną rolę odgrywa problem znalezienia dziedziny funkcji.

Zadanie 3.1. Znajdź zakres funkcji

Rozwiązanie

Pierwszy termin przyjmuje realne wartości w
, a drugi o godz. Tak więc, aby znaleźć dziedzinę definicji podana funkcja konieczne jest rozwiązanie systemu nierówności:

W wyniku rozwiązania takiego systemu otrzymujemy . Dlatego dziedziną funkcji jest segment
.

Najprostsze przekształcenia wykresów funkcji

Konstrukcję wykresów funkcji można znacznie uprościć, jeśli użyjemy znanych wykresów głównych funkcji elementarnych. Następujące funkcje nazywane są podstawowymi funkcjami podstawowymi:

1) funkcja zasilania
gdzie
;

2) funkcja wykładnicza
gdzie
oraz
;

3) funkcja logarytmiczna
, gdzie - dowolna liczba dodatnia inna niż jeden:
oraz
;

4) funkcje trygonometryczne




;
.

5) odwrotne funkcje trygonometryczne
;
;
;
.

Funkcje elementarne nazywane są funkcjami, które uzyskuje się z podstawowych funkcji elementarnych przy użyciu czterech operacji arytmetycznych i superpozycji zastosowanych skończoną liczbę razy.

Proste przekształcenia geometryczne upraszczają również proces wykreślania funkcji. Te przekształcenia opierają się na następujących stwierdzeniach:

Wykres funkcji y=f(x+a) to wykres y=f(x), przesunięty (dla a >0 w lewo, dla< 0 вправо) на |a| единиц параллельно осиOx.

Wykres funkcji y=f(x) +b ma wykresy y=f(x), przesunięte (jeśli b>0 w górę, jeśli b< 0 вниз) на |b| единиц параллельно осиOy.

Wykres funkcji y = mf(x) (m0) to wykres y = f(x), rozciągnięty (dla m>1) m razy lub ściśnięty (dla 0

Wykres funkcji y = f(kx) to wykres y = f(x), skompresowany (dla k > 1) k razy lub rozciągnięty (dla 0< k < 1) вдоль оси Ox. При –< k < 0 график функции y = f(kx) есть зеркальное отображение графика y = f(–kx) от оси Oy.