Druga pochodna funkcji parametrycznej online. Funkcje definiowane parametrycznie

Wzór na pochodną funkcji zdefiniowanej w sposób parametryczny. Dowód i przykłady zastosowania tej formuły. Przykłady obliczania pochodnych pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu.

Niech funkcja zostanie podana w sposób parametryczny:
(1)
gdzie jest jakaś zmienna zwana parametrem. I niech funkcje i mają pochodne przy pewnej wartości zmiennej . Co więcej, funkcja ma również funkcję odwrotną w pewnym sąsiedztwie punktu . Wówczas funkcja (1) ma w punkcie pochodną, ​​którą w postaci parametrycznej określają wzory:
(2)

Tu i są pochodnymi funkcji iw odniesieniu do zmiennej (parametr) . Często są pisane w następującej formie:
;
.

Wtedy system (2) można zapisać w następujący sposób:

Dowód

Pod warunkiem funkcja ma funkcję odwrotną. Oznaczmy to jako
.
Wtedy pierwotną funkcję można przedstawić jako funkcję złożoną:
.
Znajdźmy jej pochodną, ​​stosując zasady różniczkowania funkcji zespolonych i odwrotnych:
.

Zasada została sprawdzona.

Dowód na drugi sposób

Znajdźmy pochodną w drugi sposób, opierając się na definicji pochodnej funkcji w punkcie :
.
Wprowadźmy notację:
.
Wtedy poprzednia formuła przyjmuje postać:
.

Wykorzystajmy fakt, że funkcja ma funkcję odwrotną w pobliżu punktu.
Wprowadźmy notację:
; ;
; .
Podziel licznik i mianownik ułamka przez:
.
Na , . Następnie
.

Zasada została sprawdzona.

Pochodne wyższych rzędów

Aby znaleźć pochodne wyższych rzędów, konieczne jest kilkukrotne zróżnicowanie. Załóżmy, że musimy znaleźć drugą pochodną funkcji podanej w sposób parametryczny o następującej postaci:
(1)

Zgodnie ze wzorem (2) znajdujemy pierwszą pochodną, ​​która również jest wyznaczana parametrycznie:
(2)

Oznaczmy pierwszą pochodną za pomocą zmiennej:
.
Następnie, aby znaleźć drugą pochodną funkcji po zmiennej , musisz znaleźć pierwszą pochodną funkcji po zmiennej . Zależność zmiennej od zmiennej określana jest również w sposób parametryczny:
(3)
Porównując (3) ze wzorami (1) i (2), znajdujemy:

Teraz wyrażmy wynik w postaci funkcji i . W tym celu podstawiamy i stosujemy wzór na pochodną ułamka:
.
Następnie
.

Stąd otrzymujemy drugą pochodną funkcji po zmiennej:

Jest również podany w postaci parametrycznej. Zauważ, że pierwszy wiersz można również zapisać w następujący sposób:
.

Kontynuując proces, można otrzymać pochodne funkcji od zmiennej trzeciego i wyższego rzędu.

Zauważ, że możliwe jest nie wprowadzanie notacji dla pochodnej . Można to napisać tak:
;
.

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji podanej w sposób parametryczny:

Decyzja

Znajdujemy pochodne i względem .
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.
Stosujemy:

.
Tutaj .

.
Tutaj .

Pożądana pochodna:
.

Odpowiedź

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji wyrażonej przez parametr:

Decyzja

Otwórzmy nawiasy używając wzorów na funkcje potęgowe i pierwiastki:
.

Znajdujemy pochodną:

.

Znajdujemy pochodną. W tym celu wprowadzamy zmienną i stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.

.

Znajdujemy pożądaną pochodną:
.

Odpowiedź

Przykład 3

Znajdź drugą i trzecią pochodną funkcji podanej parametrycznie w przykładzie 1:

Decyzja

W przykładzie 1 znaleźliśmy pochodną pierwszego rzędu:

Wprowadźmy notację . Wtedy funkcja jest pochodną względem . Jest ustawiany parametrycznie:

Aby znaleźć drugą pochodną względem , musimy znaleźć pierwszą pochodną względem .

Wyróżniamy się pod względem .
.
Znaleźliśmy pochodną w przykładzie 1:
.
Pochodna drugiego rzędu względem jest równa pochodnej pierwszego rzędu względem:
.

Tak więc znaleźliśmy pochodną drugiego rzędu względem postaci parametrycznej:

Teraz znajdujemy pochodną trzeciego rzędu. Wprowadźmy notację . Następnie musimy znaleźć pierwszą pochodną funkcji , która jest podana w sposób parametryczny:

Znajdujemy pochodną względem . Aby to zrobić, przepisujemy w równoważnej formie:
.
Od

.

Pochodna trzeciego rzędu w odniesieniu do jest równa pochodnej pierwszego rzędu w odniesieniu do:
.

Komentarz

Można nie wprowadzać zmiennych i , które są pochodnymi odpowiednio i . Następnie możesz napisać to tak:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Odpowiedź

W reprezentacji parametrycznej pochodna drugiego rzędu ma następny widok:

Pochodna trzeciego rzędu:

Funkcję można zdefiniować na kilka sposobów. Zależy to od reguły używanej podczas jej ustawiania. Wyraźna forma definicji funkcji to y = f (x) . Zdarzają się przypadki, gdy jego opis jest niemożliwy lub niewygodny. Jeśli istnieje zbiór par (x; y), które należy obliczyć dla parametru t w przedziale (a; b). Aby rozwiązać system x = 3 cos t y = 3 sin t z 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parametryczna definicja funkcji

Stąd mamy, że x = φ (t) , y = ψ (t) są zdefiniowane dla t ∈ (a ; b) i mają funkcję odwrotną t = Θ (x) dla x = φ (t), wtedy w pytaniu o ustaleniu parametrycznego równania funkcji postaci y = ψ (Θ (x)) .

Zdarzają się przypadki, gdy w celu zbadania funkcji konieczne jest wyszukanie pochodnej względem x. Rozważ wzór na pochodną parametrycznie danej funkcji postaci y x " = ψ " (t) φ " (t) , porozmawiajmy o pochodnej drugiego i n-tego rzędu.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji danej parametrycznie

Mamy, że x = φ (t) , y = ψ (t) , zdefiniowane i różniczkowalne dla t ∈ a ; b , gdzie x t " = φ " (t) ≠ 0 i x = φ (t) , to istnieje funkcja odwrotna postaci t = Θ (x) .

Na początek powinieneś przejść od zadania parametrycznego do zadania jawnego. Aby to zrobić, musisz uzyskać złożoną funkcję postaci y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , gdzie jest argument x .

W oparciu o zasadę znajdowania pochodnej złożona funkcja, otrzymujemy, że y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x Θ " x .

To pokazuje, że t = Θ (x) i x = φ (t) są funkcjami odwrotnymi ze wzoru funkcja odwrotnaΘ "(x) = 1 φ" (t), to y "x = ψ" Θ (x) Θ" (x) = ψ" (t) φ" (t) .

Przejdźmy do rozwiązania kilku przykładów za pomocą tablicy pochodnych zgodnie z zasadą różniczkowania.

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji x = t 2 + 1 y = t .

Decyzja

Z warunku mamy, że φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, stąd otrzymujemy, że φ "(t) = t 2 + 1" , ψ "(t) = t" = 1. Należy skorzystać z wyprowadzonej formuły i napisać odpowiedź w postaci:

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

Odpowiedź: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Podczas pracy z pochodną funkcji parametr t określa wyrażenie argumentu x przez ten sam parametr t, aby nie utracić związku między wartościami pochodnej a funkcją zdefiniowaną parametrycznie z argumentem, do którego te wartości odpowiadają.

Aby wyznaczyć pochodną drugiego rzędu funkcji podanej parametrycznie, musisz użyć wzoru na pochodną pierwszego rzędu na wynikowej funkcji, wtedy otrzymujemy to

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"( t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

Przykład 2

Znajdź pochodne 2-go i 2-go rzędu danej funkcji x = cos (2 t) y = t 2 .

Decyzja

Z warunku otrzymujemy, że φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Następnie po transformacji

φ „(t) \u003d cos (2 t)” \u003d - grzech (2 t) 2 t " \u003d - 2 grzech (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

Wynika z tego, że y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Otrzymujemy, że forma pochodnej pierwszego rzędu to x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Aby go rozwiązać, musisz zastosować wzór na pochodną drugiego rzędu. Dostajemy wyrażenie, takie jak

y x "" \u003d - t grzech (2 t) φ "t \u003d - t" grzech (2 t) - t (sin (2 t)) " grzech 2 (2 t) - 2 grzech (2 t) = = 1 grzech (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 grzech 3 (2 t) = grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 grzech 3 (2 t)

Następnie ustawiamy pochodną drugiego rzędu za pomocą funkcji parametrycznej

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Podobne rozwiązanie można rozwiązać inną metodą. Następnie

φ „t \u003d (cos (2 t)) „ \u003d - grzech (2 t) 2 t " \u003d - 2 grzechy (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 grzechy (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Stąd otrzymujemy, że

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 grzech 2 t 3 \u003d \u003d grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s w 3 (2 t)

Odpowiedź: y „” x \u003d grzech (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Podobnie znajdują się pochodne wyższego rzędu z funkcjami określonymi parametrycznie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Nie napinaj się, również w tym akapicie wszystko jest dość proste. Można napisać ogólna formuła funkcja zdefiniowana parametrycznie, ale żeby było jasne, od razu napiszę konkretny przykład. W postaci parametrycznej funkcja jest wyrażona dwoma równaniami: . Często równania są zapisywane nie pod nawiasami klamrowymi, ale sekwencyjnie:,.

Zmienna nazywana jest parametrem i może przyjmować wartości od „minus nieskończoności” do „plus nieskończoność”. Rozważmy na przykład wartość i zamieńmy ją na oba równania: . Lub po ludzku: „jeśli x równa się cztery, to y równa się jeden”. Możesz zaznaczyć punkt na płaszczyźnie współrzędnych, a ten punkt będzie odpowiadał wartości parametru. Podobnie można znaleźć punkt dla dowolnej wartości parametru „te”. Jeśli chodzi o funkcję „zwykłą”, to dla Indian amerykańskich o funkcji określonej parametrycznie przestrzegane są również wszelkie prawa: można wykreślić wykres, znaleźć pochodne i tak dalej. Swoją drogą, jeśli istnieje potrzeba zbudowania wykresu funkcji zadanej parametrycznie, pobierz mój program geometryczny na stronie Wzory matematyczne i stoły.

W najprostszych przypadkach możliwe jest jawne przedstawienie funkcji. Wyrażamy parametr z pierwszego równania: i podstaw to do drugiego równania: . Wynikiem jest zwykła funkcja sześcienna.

W bardziej „ciężkich” przypadkach taka sztuczka nie działa. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ istnieje wzór na znalezienie pochodnej funkcji parametrycznej:

Znajdujemy pochodną „gracza względem zmiennej te”:

Wszystkie reguły różniczkowania i tablica instrumentów pochodnych obowiązują oczywiście dla litery , a więc nie ma nowości w procesie znajdowania pochodnych. Wystarczy w myślach zastąpić wszystkie „x” w tabeli literą „te”.

Znajdujemy pochodną „x po zmiennej te”:

Teraz pozostaje tylko podstawić znalezione pochodne do naszego wzoru:

Gotowy. Pochodna, podobnie jak sama funkcja, również zależy od parametru .

Jeśli chodzi o notację, to zamiast pisać we wzorze, można po prostu napisać go bez indeksu dolnego, gdyż jest to „zwykła” pochodna „przez x”. Ale w literaturze zawsze jest jakiś wariant, więc nie odbiegam od standardu.

Przykład 6

Używamy formuły

W ta sprawa:

Zatem:

Cechą znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej jest fakt, że na każdym kroku warto maksymalnie uprościć wynik. Tak więc w rozważanym przykładzie podczas wyszukiwania otworzyłem nawiasy pod korzeniem (chociaż mogłem tego nie zrobić). Jest duża szansa, że ​​podczas podmiany i do formuły wiele rzeczy zostanie dobrze zredukowanych. Chociaż są oczywiście przykłady z niezdarnymi odpowiedziami.

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji podanej parametrycznie

To jest przykład zrób to sam.

W artykule pierwotniaki typowe zadania z pochodną rozważaliśmy przykłady, w których należało znaleźć drugą pochodną funkcji. Dla funkcji podanej parametrycznie można również znaleźć drugą pochodną i jest ona wyznaczana według następującego wzoru: . Jest całkiem oczywiste, że aby znaleźć drugą pochodną, ​​trzeba najpierw znaleźć pierwszą pochodną.

Przykład 8

Znajdź pierwszą i drugą pochodną funkcji podanej parametrycznie

Najpierw znajdźmy pierwszą pochodną.
Używamy formuły

W tym przypadku:

Zastępuje znalezione pochodne we wzorze. Dla uproszczenia posługujemy się wzorem trygonometrycznym:

Zauważyłem, że w problemie znajdowania pochodnej funkcji parametrycznej dość często, aby uprościć, trzeba użyć formuły trygonometryczne . Zapamiętaj je lub trzymaj pod ręką i nie przegap okazji do uproszczenia każdego wyniku pośredniego i odpowiedzi. Po co? Teraz musimy wziąć pochodną , i jest to wyraźnie lepsze niż znalezienie pochodnej .

Znajdźmy drugą pochodną.
Używamy wzoru: .

Przyjrzyjmy się naszej formule. Mianownik został już znaleziony w poprzednim kroku. Pozostaje znaleźć licznik - pochodną pierwszej pochodnej względem zmiennej „te”:

Pozostaje użyć formuły:

Aby skonsolidować materiał, podaję jeszcze kilka przykładów samodzielnego rozwiązania.

Przykład 9

Przykład 10

Znajdź i dla funkcji zdefiniowanej parametrycznie

Życzę powodzenia!

Mam nadzieję, że ta lekcja była przydatna i teraz można łatwo znaleźć pochodne funkcji niejawnych i funkcji parametrycznych

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 3: Rozwiązanie:






Zatem:

Rozważmy definicję prostej na płaszczyźnie, w której zmienne x, y są funkcjami trzeciej zmiennej t (nazywanej parametrem):

Dla każdej wartości t z pewnego przedziału odpowiadają pewnym wartościom x oraz y, i, stąd pewien punkt M(x, y) płaszczyzny. Kiedy t przebiega przez wszystkie wartości z danego przedziału, następnie punkt M (x, y) opisuje jakąś linijkę L. Równania (2.2) nazywane są równaniami parametrycznymi prostej L.

Jeśli funkcja x = φ(t) ma odwrotność t = Ф(x), to zastępując to wyrażenie równaniem y = g(t), otrzymujemy y = g(Ф(x)), które określa tak jako funkcja x. W tym przypadku równania (2.2) definiują funkcję tak parametrycznie.

Przykład 1 Zostawiać M (x, y) jest dowolnym punktem okręgu o promieniu R i wyśrodkowany na początku. Zostawiać t- kąt między osiami Wół i promień OM(Patrz Rysunek 2.3). Następnie x, y wyrażony przez t:

Równania (2.3) są równaniami parametrycznymi okręgu. Wykluczmy parametr t z równań (2.3). Aby to zrobić, podnosimy do kwadratu każde z równań i sumujemy je, otrzymujemy: x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) lub x 2 + y 2 \u003d R 2 - równanie okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych. Definiuje dwie funkcje: Każda z tych funkcji jest podana przez równania parametryczne (2.3), ale dla pierwszej funkcji i dla drugiej .

Przykład 2. Równania parametryczne

zdefiniuj elipsę za pomocą półosi a, b(rys. 2.4). Eliminacja parametru z równań t otrzymujemy kanoniczne równanie elipsy:

Przykład 3. Cykloida to linia opisana przez punkt leżący na okręgu, jeśli ten okrąg toczy się bez poślizgu po linii prostej (rys. 2.5). Wprowadźmy równania parametryczne cykloidy. Niech promień toczącego się koła będzie a, kropka M, opisujący cykloidę, na początku ruchu zbiegł się z początkiem.

Ustalmy współrzędne x, y punktów M po tym, jak okrąg obrócił się o kąt t
(rys. 2.5), t = MCB. Długość łuku MB równa długości odcinka OB, ponieważ koło toczy się bez poślizgu, więc

OB = o, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = o – asint = a(t – sint),

y = AM = CB - CD = a - koszt = a(1 - koszt).

Tak więc otrzymujemy parametryczne równania cykloidy:

Podczas zmiany parametru t od 0 do 2π okrąg jest obrócony o jeden obrót, natomiast punkt M opisuje jeden łuk cykloidy. Równania (2.5) definiują tak jako funkcja x. Chociaż funkcja x = a(t - sint) ma funkcję odwrotną, ale nie jest wyrażona w postaci podstawowe funkcje, więc funkcja y = f(x) nie wyraża się w kategoriach funkcji elementarnych.

Rozważ zróżnicowanie funkcji podanej parametrycznie przez równania (2.2). Funkcja x = φ(t) na pewnym przedziale zmian t ma funkcję odwrotną t = (x), następnie y = g(Ф(x)). Zostawiać x = φ(t), y = g(t) mają instrumenty pochodne i x"t≠0. Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej y"x=y"t×t"x. W oparciu o zasadę różniczkowania funkcji odwrotnych, zatem:

Otrzymany wzór (2.6) pozwala znaleźć pochodną funkcji podanej parametrycznie.

Przykład 4. Niech funkcja tak, zależy od x, jest ustawiana parametrycznie:

Decyzja. .
Przykład 5 Znajdź nachylenie k styczna do cykloidy w punkcie M 0 odpowiadającym wartości parametru .
Decyzja. Z równań cykloidalnych: y" t = asint, x" t = a(1 - koszt), Dlatego

Nachylenie styczna w punkcie M0 równa wartości w t 0 \u003d π / 4:

FUNKCJA RÓŻNICOWA

Niech funkcja w punkcie x0 ma pochodną. A-priorytetowe:
zatem przez własności granicy (rozdz. 1.8) , gdzie a jest nieskończenie mały w ∆x → 0. Stąd

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Ponieważ Δx → 0, drugi składnik w równości (2.7) jest nieskończenie małym wyższym rzędem, w porównaniu z , zatem Δy i f "(x 0) × Δx są równoważne, nieskończenie małe (dla f "(x 0) ≠ 0).

Zatem przyrost funkcji Δy składa się z dwóch wyrazów, z których pierwszy f "(x 0) × Δx wynosi Głównym elementem przyrosty Δy, liniowe względem Δx (dla f "(x 0) ≠ 0).

Mechanizm różnicowy funkcja f(x) w punkcie x 0 jest wywoływana Głównym elementem funkcja zwiększa się i jest oznaczona: dy lub df(x0). Stąd,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Przykład 1 Znajdź różniczkę funkcji dy oraz przyrost funkcji Δy dla funkcji y \u003d x 2, gdy:
1) arbitralne x i x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1.

Decyzja

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) Jeśli x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0,1, to Δy \u003d 40 × 0,1 + (0,1) 2 \u003d 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Równość (2.7) zapisujemy w postaci:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Przyrost Δy różni się od różniczki dy do nieskończenie małego wyższego rzędu, w porównaniu do Δx, dlatego w przybliżonych obliczeniach używana jest przybliżona równość Δy ≈ dy, jeśli Δx jest wystarczająco mała.

Biorąc pod uwagę, że Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0), otrzymujemy przybliżony wzór:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Przykład 2. Oblicz w przybliżeniu.

Decyzja. Rozważać:

Korzystając ze wzoru (2.10) otrzymujemy:

Stąd ≈ 2,025.

Rozważać zmysł geometryczny mechanizm różnicowy df(x0)(rys. 2.6).

Narysuj styczną do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie M 0 (x0, f (x 0)), niech φ będzie kątem między styczną KM0 a osią Ox, to f”(x 0 ) = tgφ Z ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f „(x 0) × Δx \u003d df (x 0). Ale PN to przyrost rzędnej stycznej, gdy x zmienia się z x 0 na x 0 + Δx.

Zatem różniczka funkcji f(x) w punkcie x 0 jest równa przyrostowi rzędnej stycznej.

Znajdźmy różniczkę funkcji
y=x. Ponieważ (x)" = 1, to dx = 1 × Δx = Δx. Zakładamy, że różniczka zmiennej niezależnej x jest równa jej przyrostowi, czyli dx = Δx.

Jeśli x jest dowolną liczbą, to z równości (2.8) otrzymujemy df(x) = f "(x)dx, skąd .
Zatem pochodna funkcji y = f(x) jest równa stosunkowi jej różniczki do różniczki argumentu.

Rozważ właściwości różniczki funkcji.

Jeżeli u(x), v(x) są funkcjami różniczkowalnymi, to prawdziwe są następujące formuły:

Aby udowodnić te formuły, stosuje się formuły pochodne na sumę, iloczyn i iloraz. Udowodnijmy na przykład wzór (2.12):

d(u×v) = (u×v)”Δx = (u×v” + u”×v)Δx = u×v”Δx + u”Δx×v = u×dv + v×du.

Rozważ różniczkę funkcji zespolonej: y = f(x), x = φ(t), tj. y = f(φ(t)).

Wtedy dy = y" t dt, ale y" t = y" x × x" t , więc dy = y" x x" t dt. Rozważając,

że x" t = dx, otrzymujemy dy = y" x dx =f "(x)dx.

Zatem różniczka funkcji złożonej y \u003d f (x), gdzie x \u003d φ (t), ma postać dy \u003d f "(x) dx, tak samo jak gdy x jest zmienną niezależną. Ta właściwość jest nazywany różnica niezmienna kształtu a.