Formuła matematycznego oczekiwania. Dyskretne zmienne losowe

- Ten konformizm między możliwymi wartościami tej wielkości a ich prawdopodobieństwami. Najczęściej prawo zapisane jest w tabeli:

Termin jest dość powszechny wiersz dystrybucja, ale w niektórych sytuacjach brzmi to niejednoznacznie, dlatego będę się trzymać „prawa”.

I teraz bardzo ważny punkt : ponieważ zmienna losowa koniecznie zaakceptuje jedna z wartości, a następnie forma odpowiednich zdarzeń pełna grupa a suma prawdopodobieństw ich wystąpienia jest równa jeden:

lub, jeśli jest napisane złożone:

Na przykład prawo rozkładu prawdopodobieństwa punktów wyrzuconych na kostkę ma następny widok:

Bez komentarza.

Możesz odnieść wrażenie, że dyskretna zmienna losowa może przyjmować tylko „dobre” wartości całkowite. Rozwiejmy iluzję - mogą być cokolwiek:

Przykład 1

Niektóre gry mają następujące przepisy dotyczące dystrybucji wypłat:

…prawdopodobnie od dawna marzyłeś o takich zadaniach :) Pozwól, że zdradzę Ci sekret - ja też. Zwłaszcza po zakończeniu pracy nad teoria pola.

Decyzja: ponieważ zmienna losowa może przyjąć tylko jedną z trzech wartości, odpowiednie zdarzenia tworzą pełna grupa , co oznacza, że suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden:

Demaskujemy „partyzanta”:

– tym samym prawdopodobieństwo wygrania jednostek konwencjonalnych wynosi 0,4.

Kontrola: czego potrzebujesz, aby się upewnić.

Odpowiedź:

Nierzadko zdarza się, że prawo dystrybucji musi być opracowane niezależnie. Do tego celu klasyczna definicja prawdopodobieństwa, twierdzenia o mnożeniu / dodawaniu dla prawdopodobieństw zdarzeń i inne żetony tervera:

Przykład 2

W pudełku znajduje się 50 losów na loterię, z których 12 wygrywa, a 2 z nich wygrywają po 1000 rubli, a pozostałe po 100 rubli. Stwórz prawo dystrybucji zmienna losowa– wysokość wygranej w przypadku wylosowania jednego losu z pudełka.

Decyzja: jak zauważyłeś zwyczajowo umieszcza się wartości zmiennej losowej w rosnąco. Dlatego zaczynamy od najmniejszych wygranych, a mianowicie rubli.

Łącznie jest 50 - 12 = 38 takich biletów i według klasyczna definicja:
to prawdopodobieństwo, że losowo wylosowany los nie wygra.

Reszta spraw jest prosta. Prawdopodobieństwo wygrania rubli wynosi:

Sprawdzanie: - a to szczególnie przyjemny moment takich zadań!

Odpowiedź: wymagane prawo dystrybucji wypłat:

Kolejne zadanie dla niezależne rozwiązanie:

Przykład 3

Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel wynosi . Stwórz prawo rozkładu dla zmiennej losowej - liczby trafień po 2 strzałach.

... wiedziałam, że za nim tęskniłeś :) Pamiętamy twierdzenia o mnożeniu i dodawaniu. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Prawo rozkładu całkowicie opisuje zmienną losową, ale w praktyce przydatne (a czasem bardziej przydatne) jest poznanie tylko jej części. cechy liczbowe .

Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

mówić zwykły język, Ten średnia oczekiwana wartość z wielokrotnymi testami. Niech zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami odpowiednio. Wtedy matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej jest równe suma produktów wszystkie jego wartości według odpowiednich prawdopodobieństw:

lub w formie złożonej:

Policzmy na przykład matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej - liczbę punktów upuszczonych na kostkę:

Przypomnijmy sobie teraz naszą hipotetyczną grę:

Powstaje pytanie: czy w ogóle opłaca się grać w tę grę? ... kto ma jakieś wrażenia? Więc nie możesz powiedzieć „od ręki”! Ale na to pytanie można łatwo odpowiedzieć, obliczając matematyczne oczekiwanie, w istocie - Średnia ważona prawdopodobieństwa wygranej:

Tak więc matematyczne oczekiwanie tej gry przegrywający.

Nie ufaj wrażeniom - ufaj liczbom!

Tak, tutaj można wygrać 10, a nawet 20-30 razy z rzędu, ale na dłuższą metę nieuchronnie zostaniemy zrujnowani. I nie radziłbym grać w takie gry :) No może tylko dla zabawy.

Z powyższego wynika, że oczekiwanie matematyczne NIE jest wartością LOSOWĄ.

Twórcze zadanie do samodzielnych badań:

Przykład 4

Pan X gra w europejską ruletkę według następującego systemu: stale obstawia 100 rubli na czerwone. Ułóż prawo rozkładu zmiennej losowej - jej wypłatę. Oblicz matematyczne oczekiwanie wygranych i zaokrąglij je do kopiejek. Jak dużo przeciętny czy gracz przegrywa za każde sto zakładu?

Odniesienie : Ruletka europejska zawiera 18 czerwonych, 18 czarnych i 1 zielony sektor („zero”). W przypadku wypadnięcia „czerwonego” gracz otrzymuje podwójny zakład, w przeciwnym razie trafia do dochodu kasyna

Istnieje wiele innych systemów gry w ruletkę, dla których możesz stworzyć własne tabele prawdopodobieństwa. Ale tak jest w przypadku, gdy nie potrzebujemy żadnych praw i tabel dystrybucji, ponieważ jest pewne, że matematyczne oczekiwania gracza będą dokładnie takie same. Tylko zmiany z systemu na system

Następną po matematycznym oczekiwaniu najważniejszą właściwością zmiennej losowej jest jej wariancja, zdefiniowana jako średni kwadrat odchylenia od średniej:

Jeśli do tego czasu zostanie oznaczona, wariancja VX będzie wartością oczekiwaną. Jest to cecha „rozrzutu” rozkładu X.

Jak prosty przykład obliczając wariancję, załóżmy, że właśnie otrzymaliśmy ofertę nie do odrzucenia: ktoś dał nam dwa certyfikaty do udziału w tej samej loterii. Co tydzień organizatorzy loterii sprzedają 100 losów, uczestnicząc w oddzielnym losowaniu. Jeden z tych losów jest wybierany w losowaniu w jednolitym procesie losowym – każdy los ma taką samą szansę na wybór – a właściciel tego szczęśliwego losu otrzymuje sto milionów dolarów. Pozostałych 99 posiadaczy losów na loterię nic nie wygrywa.

Prezent możemy wykorzystać na dwa sposoby: albo kupić dwa losy w tej samej loterii, albo po jednym losie na udział w dwóch różnych loteriach. Jaka jest najlepsza strategia? Spróbujmy przeanalizować. W tym celu oznaczamy losowymi zmiennymi reprezentującymi wielkość naszych wygranych na pierwszym i drugim kuponie. Oczekiwana wartość w milionach to

i to samo dotyczy wartości oczekiwanych addytywnych, więc nasza średnia całkowita wypłata będzie

niezależnie od przyjętej strategii.

Jednak te dwie strategie wydają się być różne. Wyjdźmy poza oczekiwane wartości i przestudiujmy cały rozkład prawdopodobieństwa

Jeśli kupimy dwa losy w tej samej loterii, mamy 98% szans na wygranie niczego i 2% na wygranie 100 milionów. Jeśli kupimy losy na różne losowania, to liczby będą wyglądały następująco: 98,01% - szansa na nic nie wygrana, nieco wyższa niż wcześniej; 0,01% - szansa na wygranie 200 milionów, także trochę więcej niż wcześniej; a szansa na wygranie 100 milionów wynosi teraz 1,98%. Tak więc w drugim przypadku rozkład wielkości jest nieco bardziej rozproszony; średnia 100 milionów dolarów jest nieco mniej prawdopodobna, podczas gdy skrajności są bardziej prawdopodobne.

To właśnie ta koncepcja rozrzutu zmiennej losowej ma odzwierciedlać wariancję. Rozrzut mierzymy za pomocą kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej matematycznego oczekiwania. Zatem w przypadku 1 wariancja będzie

w przypadku 2 wariancja wynosi

Jak się spodziewaliśmy, ta ostatnia wartość jest nieco większa, ponieważ rozkład w przypadku 2 jest nieco bardziej rozproszony.

Kiedy pracujemy z wariancjami, wszystko jest do kwadratu, więc wynikiem mogą być dość duże liczby. (Mnożnik to jeden bilion, to powinno być imponujące

nawet gracze przyzwyczajeni do wysokich stawek.) Pierwiastek kwadratowy z dyspersji. Wynikowa liczba nazywana jest odchyleniem standardowym i jest zwykle oznaczana grecką literą a:

Odchylenia standardowe dla naszych dwóch strategii loterii to . Pod pewnymi względami druga opcja jest o około 71 247 USD bardziej ryzykowna.

Jak wariancja pomaga w wyborze strategii? To nie jest jasne. Strategia o większej wariancji jest bardziej ryzykowna; ale co jest lepsze dla naszego portfela – ryzyko czy bezpieczna gra? Miejmy okazję kupić nie dwa bilety, ale wszystkie sto. Wtedy moglibyśmy zagwarantować wygraną w jednej loterii (a wariancja wynosiłaby zero); lub możesz zagrać w setki różnych losowań, nie otrzymując nic z prawdopodobieństwem, ale mając niezerową szansę na wygraną do dolarów. Wybór jednej z tych alternatyw wykracza poza zakres tej książki; wszystko, co możemy tutaj zrobić, to wyjaśnić, jak wykonać obliczenia.

W rzeczywistości istnieje prostszy sposób obliczenia wariancji niż bezpośrednie użycie definicji (8.13). (Istnieją wszelkie powody, by podejrzewać tutaj jakąś ukrytą matematykę; w przeciwnym razie, dlaczego wariancja w przykładach loterii okazałaby się wielokrotnością całkowitą)

ponieważ jest stałą; W związku z tym,

„Rozproszenie to średnia kwadratowa minus kwadrat średniej”

Na przykład w zadaniu loteryjnym średnia jest lub Odejmowanie (kwadratu średniej) daje wyniki, które już wcześniej uzyskaliśmy w trudniejszy sposób.

Jest ich jednak jeszcze więcej prosta formuła, ma zastosowanie, gdy obliczamy niezależne X i Y. Mamy

ponieważ, jak wiemy, dla niezależnych zmiennych losowych

„Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji” Czyli na przykład wariancja kwoty, jaką można wygrać na jednym losie na loterię, jest równa

Dlatego odchylenie całkowitych wygranych dla dwóch losów na loterię w dwóch różnych (niezależnych) loteriach będzie. Odpowiadająca wartość odchylenia dla niezależnych losów na loterię będzie wynosić

Wariancję sumy punktów wyrzuconych na dwóch kostkach można uzyskać za pomocą tego samego wzoru, ponieważ istnieje suma dwóch niezależnych zmiennych losowych. Mamy

dla właściwej kostki; dlatego w przypadku przemieszczonego środka masy

w związku z tym, jeśli środek masy obu sześcianów jest przesunięty. Zauważ, że w tym drugim przypadku wariancja jest większa, chociaż zajmuje średnio 7 częściej niż w przypadku zwykłych kości. Jeśli naszym celem jest wyrzucenie większej liczby szczęśliwych siódemek, wariancja nie jest najlepszym wskaźnikiem sukcesu.

OK, ustaliliśmy, jak obliczyć wariancję. Ale nie udzieliliśmy jeszcze odpowiedzi na pytanie, dlaczego konieczne jest obliczenie wariancji. Każdy to robi, ale dlaczego? Głównym powodem jest nierówność Czebyszewa, która stwierdza: ważna własność dyspersja:

(Ta nierówność różni się od nierówności Czebyszewa dla sum, które napotkaliśmy w rozdziale 2.) Jakościowo (8.17) stwierdza, że zmienna losowa X rzadko przyjmuje wartości daleko od swojej średniej, jeśli jej wariancja VX jest mała. Dowód

działanie jest niezwykle proste. Naprawdę,

podział przez uzupełnia dowód.

Jeśli oznaczymy oczekiwanie matematyczne przez a i odchylenie standardowe - przez a i zamień w (8.17) na to warunek zamienia się w zatem otrzymujemy z (8.17)

Zatem X będzie się mieścić w - razy odchylenie standardowe jego średniej, z wyjątkiem przypadków, w których prawdopodobieństwo nie przekracza wartości Random, będzie mieściło się w granicach 2a z co najmniej 75% prób; w zakresie od do - przynajmniej przez 99%. To są przypadki nierówności Czebyszewa.

Jeśli rzucisz kilka razy kostką, łączny wynik we wszystkich rzutach jest prawie zawsze, w przypadku dużych będzie bliski. Powód tego jest następujący:

Dlatego z nierówności Czebyszewa otrzymujemy, że suma punktów będzie leżeć pomiędzy

za co najmniej 99% wszystkich rzutów prawidłowymi kośćmi. Na przykład suma miliona rzutów z prawdopodobieństwem większym niż 99% będzie wynosić od 6,976 do 7,024 miliona.

W ogólnym przypadku niech X będzie dowolną zmienną losową w przestrzeni prawdopodobieństwa P, która ma skończone oczekiwanie matematyczne i skończone odchylenie standardowe a. Następnie możemy wprowadzić pod uwagę przestrzeń prawdopodobieństwa Пп, której zdarzeniami elementarnymi są -ciągi, gdzie każdy , a prawdopodobieństwo jest określone jako

Jeśli teraz zdefiniujemy zmienne losowe za pomocą wzoru

to wartość

będzie sumą niezależnych zmiennych losowych, która odpowiada procesowi sumowania niezależnych realizacji wielkości X na P. Oczekiwanie matematyczne będzie równe i odchylenie standardowe - ; zatem średnia wartość realizacji,

będzie mieścić się w zakresie od do co najmniej 99% okresu. Innymi słowy, jeśli wybierzemy wystarczająco dużą liczbę, to średnia arytmetyczna niezależnych prób będzie prawie zawsze bardzo zbliżona do wartości oczekiwanej (w podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa udowodnione jest jeszcze silniejsze twierdzenie, zwane silnym prawem dużej liczb, ale potrzebujemy również prostego następstwa nierówności Czebyszewa, którą właśnie przedstawiliśmy.)

Czasami nie znamy charakterystyk przestrzeni prawdopodobieństwa, ale musimy oszacować matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X poprzez powtarzane obserwacje jej wartości. (Na przykład możemy chcieć średniej temperatury w styczniu w południe w San Francisco; lub możemy chcieć poznać przewidywaną długość życia, na której agenci ubezpieczeniowi powinni opierać swoje obliczenia). Jeśli mamy do dyspozycji niezależne obserwacje empiryczne, możemy założyć, że prawdziwe oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe

Możesz również oszacować wariancję za pomocą wzoru

Patrząc na tę formułę, można by pomyśleć, że jest w niej błąd typograficzny; wydawałoby się, że powinno być jak w (8.19), ponieważ prawdziwa wartość wariancji jest określana w (8.15) poprzez wartości oczekiwane. Jednak zmiana w tym miejscu na pozwala uzyskać lepsze oszacowanie, ponieważ z definicji (8.20) wynika, że

Oto dowód:

(W tym obliczeniu polegamy na niezależności obserwacji, gdy zastępujemy przez )

W praktyce, aby ocenić wyniki eksperymentu ze zmienną losową X, zwykle oblicza się średnią empiryczną i empiryczne odchylenie standardowe, a następnie zapisuje odpowiedź w postaci Oto np. wyniki rzutu kostką do gry, podobno poprawne.

Jak już wiadomo, prawo rozkładu całkowicie charakteryzuje zmienną losową. Jednak prawo dystrybucji jest często nieznane i trzeba ograniczyć się do pomniejszych informacji. Czasami nawet bardziej opłaca się używać liczb, które w sumie opisują zmienną losową; takie numery nazywają się charakterystyka liczbowa zmiennej losowej. Oczekiwanie matematyczne jest jedną z ważnych cech liczbowych.

Oczekiwanie matematyczne, jak zostanie pokazane poniżej, jest w przybliżeniu równe średniej wartości zmiennej losowej. Aby rozwiązać wiele problemów, wystarczy znać oczekiwanie matematyczne. Na przykład, jeśli wiadomo, że matematyczne oczekiwanie liczby punktów zdobytych przez pierwszego strzelca jest większe niż drugiego, to średnio pierwszy strzelec wybija więcej punktów niż drugi, a zatem strzela lepiej niż drugi. Wprawdzie oczekiwanie matematyczne daje znacznie mniej informacji o zmiennej losowej niż prawo jej rozkładu, ale do rozwiązywania problemów takich jak ten podany i wiele innych wystarcza znajomość oczekiwań matematycznych.

§ 2. Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

matematyczne oczekiwanie Dyskretna zmienna losowa nazywana jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i ich prawdopodobieństw.

Niech zmienna losowa X może przyjmować tylko wartości X 1 , X 2 , ..., X P , których prawdopodobieństwa są odpowiednio równe R 1 , R 2 , . . ., R P . Następnie matematyczne oczekiwanie M(X) zmienna losowa X jest określony przez równość

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n p n .

Jeśli dyskretna zmienna losowa X przyjmuje policzalny zestaw możliwych wartości, wtedy

M(X)=

ponadto oczekiwanie matematyczne istnieje, jeśli szereg po prawej stronie równości jest zbieżny absolutnie.

Komentarz. Z definicji wynika, że matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest zmienną nielosową (stałą). Zalecamy zapamiętanie tego stwierdzenia, ponieważ jest ono później wielokrotnie używane. Później zostanie wykazane, że matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej jest również wartością stałą.

Przykład 1 Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X, znając prawo jego dystrybucji:

Decyzja. Pożądane oczekiwanie matematyczne jest równe sumie iloczynów wszystkich możliwych wartości zmiennej losowej i ich prawdopodobieństw:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Przykład 2 Znajdź matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia ALE w jednej próbie, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia ALE jest równe R.

Decyzja. Wartość losowa X - liczba wystąpień zdarzenia ALE w jednym teście - może przyjąć tylko dwie wartości: X 1 = 1 (wydarzenie ALE zdarzyło się) z prawdopodobieństwem R oraz X 2 = 0 (wydarzenie ALE nie wystąpił) z prawdopodobieństwem q= 1 -R. Pożądane oczekiwanie matematyczne

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Więc, matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w jednej próbie jest równe prawdopodobieństwu tego zdarzenia. Ten wynik zostanie wykorzystany poniżej.

§ 3. Probabilistyczne znaczenie oczekiwań matematycznych

Niech wyprodukowany P testy, w których zmienna losowa X przyjęty t 1 razy wartość X 1 , t 2 razy wartość X 2 ,...,m k razy wartość x k , oraz t 1 + t 2 + …+t do = s. Następnie suma wszystkich przyjętych wartości X, jest równe

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X do t do .

Znajdź średnią arytmetyczną wszystkich wartości przyjętych jako zmienna losowa, dla których znalezioną sumę dzielimy przez całkowitą liczbę prób:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X do t do)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X do (t do /P). (*)

Zauważając, że związek m 1 / n- częstotliwość względna W 1 wartości X 1 , m 2 / n - częstotliwość względna W 2 wartości X 2 itp., zapisujemy relację (*) w następujący sposób:

=X 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + X do W k . (**)

Załóżmy, że liczba prób jest wystarczająco duża. Wtedy względna częstotliwość jest w przybliżeniu równa prawdopodobieństwu wystąpienia zdarzenia (zostanie to wykazane w rozdziale IX, § 6):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Zastępując względne częstotliwości w relacji (**) odpowiednimi prawdopodobieństwami otrzymujemy

x 1 p 1 + X 2 R 2 + … + X do R do .

Prawa strona tej przybliżonej równości to M(X). Więc,

M(X).

Znaczenie probabilistyczne otrzymanego wyniku jest następujące: oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe(im dokładniejsze, tym większa liczba prób) średnia arytmetyczna obserwowanych wartości zmiennej losowej.

Uwaga 1. Łatwo zauważyć, że oczekiwanie matematyczne jest większe niż najmniejsze i mniejsze niż największe możliwe wartości. Innymi słowy, na osi liczbowej możliwe wartości znajdują się po lewej i prawej stronie wartości oczekiwanej. W tym sensie oczekiwanie charakteryzuje lokalizację dystrybucji i dlatego jest często określane jako Centrum dystrybucji.

Termin ten jest zapożyczony z mechaniki: jeśli masy R 1 , R 2 , ..., R P zlokalizowane w punktach z odciętymi x 1 , X 2 , ..., X n, oraz
następnie odcięta środka ciężkości

x c =
.

Jeśli się uwzględni
= M (X) oraz
dostajemy M(X)= x z .

Zatem matematycznym oczekiwaniem jest odcięta środka ciężkości układu punkty materialne, których odcięte są równe możliwym wartościom zmiennej losowej, a masy są równe ich prawdopodobieństwu.

Uwaga 2. Geneza terminu „oczekiwanie” związana jest z początkowym okresem pojawienia się rachunku prawdopodobieństwa (XVI-XVII wiek), kiedy jego zakres ograniczał się do hazardu. Gracza interesowała średnia wartość oczekiwanej wypłaty, czyli innymi słowy matematyczne oczekiwanie wypłaty.

Wartość oczekiwana

Dyspersja ciągła zmienna losowa X, której możliwe wartości należą do całej osi Ox, jest określona przez równość:

Przypisanie usługi. Kalkulator online zaprojektowany do rozwiązywania problemów, w których albo gęstość dystrybucji f(x) lub funkcja dystrybucji F(x) (patrz przykład). Zwykle w takich zadaniach wymagane jest znalezienie oczekiwanie matematyczne, odchylenie standardowe, wykreśl funkcje f(x) i F(x).

Instrukcja. Wybierz typ danych wejściowych: gęstość rozkładu f(x) lub funkcję rozkładu F(x) .

Gęstość rozkładu f(x) jest podana:

Funkcja dystrybucji F(x) jest podana:

Ciągła zmienna losowa jest definiowana przez gęstość prawdopodobieństwa
(Prawo dystrybucji Rayleigha - stosowane w radiotechnice). Znajdź M(x) , D(x) .

Zmienna losowa X nazywa się ciągły , jeśli jego funkcja dystrybucji F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Dystrybutor zmiennej losowej ciągłej służy do obliczenia prawdopodobieństw, że zmienna losowa przypada na dany przedział:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
ponadto dla ciągłej zmiennej losowej nie ma znaczenia, czy jej granice są zawarte w tym przedziale, czy nie:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gęstość dystrybucji ciągła zmienna losowa nazywana jest funkcją
f(x)=F'(x) , pochodna funkcji rozkładu.

Właściwości gęstości dystrybucji

1. Gęstość rozkładu zmiennej losowej jest nieujemna (f(x) ≥ 0) dla wszystkich wartości x.
2. Stan normalizacji:

Geometryczne znaczenie warunku normalizacji: pole pod krzywą gęstości rozkładu jest równe jedności.
3. Prawdopodobieństwo trafienia zmiennej losowej X w przedziale od α do β można obliczyć ze wzoru

Geometrycznie prawdopodobieństwo wpadnięcia zmiennej losowej ciągłej X do przedziału (α, β) jest równe powierzchni trapez krzywoliniowy pod krzywą gęstości rozkładu na podstawie tego przedziału.
4. Rozkład funkcji wyraża się w postaci gęstości w następujący sposób:

Wartość gęstości rozkładu w punkcie x nie jest równa prawdopodobieństwu przyjęcia tej wartości, dla zmiennej losowej ciągłej możemy mówić tylko o prawdopodobieństwie wpadnięcia w dany przedział. Niech będzie )