Rozwiązywanie typowych problemów wytrzymałościowych materiałów. Gięcie płaskie prostych prętów Co to jest gięcie pierwszego drugiego rzędu

schylać się

Podstawowe pojęcia dotyczące gięcia

Odkształcenie zginające charakteryzuje się utratą prostoliniowości lub pierwotnego kształtu przez linię belki (jej oś) pod wpływem obciążenia zewnętrznego. W tym przypadku, w przeciwieństwie do odkształcenia ścinającego, linia belki płynnie zmienia swój kształt.
Łatwo zauważyć, że na odporność na zginanie wpływa nie tylko pole przekroju poprzecznego belki (belka, pręt itp.), ale także kształt geometryczny tego przekroju.

Ponieważ korpus (belka, pręt itp.) jest zginany względem dowolnej osi, na nośność zginania ma wpływ wielkość osiowego momentu bezwładności sekcji korpusu względem tej osi.
Dla porównania, podczas odkształcenia skrętnego odcinek korpusu podlega skręceniu względem bieguna (punktu), dlatego biegunowy moment bezwładności tego odcinka wpływa na odporność na skręcanie.

Na gięciu może pracować wiele elementów konstrukcyjnych - osie, wały, belki, zęby kół zębatych, dźwignie, pręty itp.

W odporności materiałów rozważa się kilka rodzajów zagięć:
- w zależności od charakteru obciążenia zewnętrznego przyłożonego do belki rozróżniają czysty zakręt oraz zgięcie poprzeczne;
- w zależności od położenia płaszczyzny działania obciążenia zginającego względem osi belki - prosty zakręt oraz skośny zakręt.

Zginanie belek czystych i poprzecznych

Zgięcie czyste to rodzaj odkształcenia, w którym w dowolnym przekroju belki występuje tylko moment zginający ( Ryż. 2).
Odkształcenie czystego zginania nastąpi na przykład, jeśli dwie pary sił o równej wielkości i przeciwnych znakach zostaną przyłożone do prostej belki w płaszczyźnie przechodzącej przez oś. Wtedy na każdą sekcję belki będą działać tylko momenty zginające.

Jeżeli zgięcie następuje w wyniku przyłożenia siły poprzecznej do pręta ( Ryż. 3), wtedy taki zakręt nazywa się poprzecznym. W tym przypadku zarówno siła poprzeczna, jak i moment zginający działają w każdym odcinku belki (z wyjątkiem odcinka, do którego przyłożone jest obciążenie zewnętrzne).

Jeżeli belka posiada co najmniej jedną oś symetrii, a płaszczyzna działania obciążeń jest z nią zbieżna, wówczas następuje zginanie bezpośrednie, jeżeli warunek ten nie jest spełniony, następuje zginanie skośne.

Badając odkształcenie zginania, wyobrazimy sobie w myślach, że belka (belka) składa się z niezliczonej liczby włókien podłużnych równoległych do osi.
W celu zobrazowania odkształcenia gięcia bezpośredniego przeprowadzimy eksperyment z gumowym prętem, na który nakładana jest siatka linii podłużnych i poprzecznych.
Poddając taką belkę bezpośredniemu zginaniu można zauważyć, że ( Ryż. jeden):

Linie poprzeczne pozostaną proste po odkształceniu, ale będą się obracać pod kątem do siebie;
- przekroje belek rozszerzają się w kierunku poprzecznym po stronie wklęsłej i zwężają się po stronie wypukłej;
- podłużne linie proste będą zakrzywione.

Z tego doświadczenia można wywnioskować, że:

W przypadku czystego zginania obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów;
- włókna leżące po stronie wypukłej są rozciągnięte, po stronie wklęsłej są ściśnięte, a na granicy między nimi leży neutralna warstwa włókien, które tylko uginają się bez zmiany swojej długości.

Zakładając, że hipoteza o braku nacisku włókien jest słuszna, można argumentować, że przy czystym zginaniu w przekroju belki powstają tylko normalne naprężenia rozciągające i ściskające, które są nierównomiernie rozłożone na przekroju.
Nazywa się linię przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju Oś neutralna. Oczywiście normalne naprężenia na osi neutralnej wynoszą zero.

Moment zginający i siła ścinająca

Jak wiadomo z mechaniki teoretycznej, reakcje podporowe belek są wyznaczane przez zestawienie i rozwiązanie równań równowagi statycznej dla całej belki. Przy rozwiązywaniu problemów wytrzymałości materiałów i wyznaczaniu współczynników sił wewnętrznych w prętach uwzględniliśmy reakcje wiązań wraz z obciążeniami zewnętrznymi działającymi na pręty.
Do wyznaczenia współczynników sił wewnętrznych stosujemy metodę przekroju i belkę przedstawiamy tylko jedną linią - osią, do której przyłożone są siły czynne i bierne (obciążenia i reakcje wiązań).

Rozważ dwa przypadki:

1. Na belkę działają dwie równe i przeciwne pary sił.
Biorąc pod uwagę równowagę części belki znajdującej się po lewej lub prawej stronie sekcji 1-1 (Rys. 2), widzimy, że we wszystkich przekrojach występuje tylko moment zginający M i równy momentowi zewnętrznemu. Jest to więc przypadek czystego zginania.

Moment zginający jest momentem wypadkowym wokół osi obojętnej wewnętrznych sił normalnych działających w przekroju belki.

Zwróćmy uwagę, że moment zginający ma inny kierunek dla lewej i prawej części belki. Wskazuje to na nieprzydatność zasady znaków statyki do wyznaczania znaku momentu zginającego.

2. Na belkę działają siły czynne i bierne (obciążenia i reakcje wiązań) prostopadłe do osi (Ryż. 3). Biorąc pod uwagę równowagę części belek znajdujących się po lewej i prawej stronie widzimy, że moment zginający M powinien działać w przekrojach oraz i siła ścinająca Q.
Z tego wynika, że ​​w rozpatrywanym przypadku w punktach przekrojów działają nie tylko naprężenia normalne odpowiadające momentowi zginającemu, ale także naprężenia styczne odpowiadające sile poprzecznej.

Siła poprzeczna jest wypadkową wewnętrznych sił stycznych w przekroju belki.

Zwróćmy uwagę, że siła ścinająca ma przeciwny kierunek dla lewej i prawej części belki, co wskazuje na nieprzydatność zasady znaków statycznych przy wyznaczaniu znaku siły ścinającej.

Zginanie, w którym w przekroju belki działa moment zginający i siła poprzeczna, nazywa się poprzecznym.

Dla belki w równowadze z działaniem płaskiego układu sił suma algebraiczna momentów wszystkich sił aktywnych i reaktywnych względem dowolnego punktu jest równa zeru; dlatego suma momentów sił zewnętrznych działających na belkę po lewej stronie przekroju jest liczbowo równa sumie momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na belkę po prawej stronie przekroju.
Zatem, moment zginający w przekroju belki jest liczbowo równy sumie algebraicznej momentów wokół środka ciężkości przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających na belkę po prawej lub lewej stronie przekroju.

Dla belki w równowadze pod działaniem płaskiego układu sił prostopadłych do osi (tj. układu sił równoległych) suma algebraiczna wszystkich sił zewnętrznych wynosi zero; dlatego suma sił zewnętrznych działających na belkę po lewej stronie przekroju jest liczbowo równa sumie algebraicznej sił działających na belkę po prawej stronie przekroju.
Zatem, siła poprzeczna w przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej wszystkich sił zewnętrznych działających po prawej lub lewej stronie przekroju.

Ponieważ zasady znaków statyki są niedopuszczalne przy ustalaniu znaków momentu zginającego i siły poprzecznej, ustalimy dla nich inne zasady znaków, a mianowicie: belka wypukła do góry, wówczas moment zginający w przekroju jest uważany za ujemny ( Rysunek 4a).

Jeżeli suma sił zewnętrznych leżących po lewej stronie przekroju daje wypadkową skierowaną do góry, to siłę poprzeczną w przekroju uważa się za dodatnią, jeżeli wypadkową skierowaną w dół, to siłę poprzeczną w przekroju uważa się za ujemną; dla części belki znajdującej się po prawej stronie przekroju znaki siły poprzecznej będą przeciwne ( Ryż. 4b). Stosując te zasady, należy sobie w myślach wyobrazić przekrój belki jako sztywno zaciśnięty, a połączenia jako odrzucone i zastąpione reakcjami.

Po raz kolejny zauważamy, że do wyznaczenia reakcji wiązań stosuje się zasady znaków statycznych, a do wyznaczenia znaków momentu zginającego i siły poprzecznej stosuje się zasady znaków wytrzymałości materiałów.
Reguła znaków dla momentów zginających bywa nazywana „regułą deszczu”, co oznacza, że ​​w przypadku wybrzuszenia ku dołowi tworzy się lejek, w którym zatrzymywana jest woda deszczowa (znak jest dodatni) i odwrotnie - jeśli pod działanie obciążeń belka wygina się w górę po łuku, woda na niej nie jest opóźniona (znak momentów zginających jest ujemny).

Materiały sekcji „Gięcie”:

Zaczynamy od najprostszego przypadku tzw. czystego gięcia.

Czyste zginanie to szczególny przypadek zginania, w którym siła poprzeczna w odcinkach belki wynosi zero. Czyste zginanie może mieć miejsce tylko wtedy, gdy ciężar własny belki jest tak mały, że jego wpływ można pominąć. W przypadku belek na dwóch podporach przykłady obciążeń powodujących siatkę

zgięcie, pokazane na ryc. 88. Na odcinkach tych belek, gdzie Q \u003d 0, a zatem M \u003d const; jest czysty zakręt.

Siły w dowolnym odcinku belki z czystym zginaniem są redukowane do pary sił, których płaszczyzna działania przechodzi przez oś belki, a moment jest stały.

Naprężenia można określić na podstawie następujących rozważań.

1. Składowych stycznych sił na elementarnych obszarach w przekroju belki nie można sprowadzić do pary sił, których płaszczyzna działania jest prostopadła do płaszczyzny przekroju. Wynika z tego, że siła zginająca w przekroju jest wynikiem oddziaływania na powierzchnie elementarne

tylko normalne siły, a zatem przy czystym zginaniu naprężenia są redukowane tylko do normalnych.

2. Aby wysiłki na elementarnych platformach sprowadzały się tylko do kilku sił, muszą być wśród nich zarówno siły pozytywne, jak i negatywne. Dlatego muszą istnieć zarówno naprężone, jak i ściśnięte włókna belki.

3. Ze względu na to, że siły w różnych przekrojach są takie same, naprężenia w odpowiednich punktach przekrojów są takie same.

Rozważ dowolny element w pobliżu powierzchni (ryc. 89, a). Ponieważ wzdłuż dolnej powierzchni, która pokrywa się z powierzchnią belki, nie działają żadne siły, nie występują również na niej naprężenia. W związku z tym nie ma naprężeń na górnej powierzchni elementu, ponieważ w przeciwnym razie element nie byłby w równowadze.Rozważając element przylegający do niego na wysokości (rys. 89, b), dochodzimy do

Ten sam wniosek itp. Wynika z tego, że nie ma naprężeń wzdłuż poziomych powierzchni żadnego elementu. Biorąc pod uwagę elementy tworzące warstwę poziomą, zaczynając od elementu przy powierzchni belki (rys. 90), dochodzimy do wniosku, że nie ma naprężeń wzdłuż bocznych pionowych powierzchni żadnego elementu. Tak więc stan naprężenia dowolnego elementu (ryc. 91, a) oraz w granicach włókna należy przedstawić, jak pokazano na ryc. 91b, tj. może to być rozciąganie osiowe lub ściskanie osiowe.

4. Ze względu na symetrię przyłożenia sił zewnętrznych, przekrój wzdłuż środka długości belki po odkształceniu powinien pozostać płaski i prostopadły do ​​osi belki (rys. 92, a). Z tego samego powodu sekcje w ćwiartkach długości belki również pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki (ryc. 92, b), jeśli tylko skrajne sekcje belki pozostają płaskie i prostopadłe do osi belki podczas deformacji. Podobny wniosek dotyczy również odcinków w ósmych długości belki (ryc. 92, c) itp. Dlatego jeśli skrajne odcinki belki pozostają płaskie podczas zginania, to dla dowolnego odcinka pozostaje

można śmiało powiedzieć, że po odkształceniu pozostaje płaska i prostopadła do osi zakrzywionej belki. Ale w tym przypadku oczywiste jest, że zmiana wydłużenia włókien belki wzdłuż jej wysokości powinna zachodzić nie tylko w sposób ciągły, ale także monotonnie. Jeżeli warstwę nazwiemy zbiorem włókien o takich samych wydłużeniach, to z tego co zostało powiedziane wynika, że ​​rozciągane i ściśnięte włókna belki powinny znajdować się po przeciwnych stronach warstwy, w której wydłużenia włókien są równe zeru. Włókna o wydłużeniu równym zero nazwiemy neutralnymi; warstwa składająca się z włókien neutralnych - warstwa neutralna; linia przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju belki - linia neutralna tego przekroju. Następnie, na podstawie wcześniejszych rozważań, można argumentować, że przy czystym zginaniu belki w każdym z jej odcinków istnieje linia neutralna, która dzieli ten odcinek na dwie części (strefy): strefę włókien rozciągniętych (strefę naprężoną) oraz strefa sprasowanych włókien (strefa sprasowana ). W związku z tym normalne naprężenia rozciągające powinny działać w punktach rozciągniętej strefy przekroju, naprężenia ściskające w punktach strefy ściskanej, aw punktach linii neutralnej naprężenia są równe zeru.

Tak więc przy czystym zginaniu belki o stałym przekroju:

1) w przekrojach działają tylko naprężenia normalne;

2) cały odcinek można podzielić na dwie części (strefy) – rozciągniętą i ściśniętą; granica stref jest linią neutralną przekroju, w punktach, w których normalne naprężenia są równe zeru;

3) każdy podłużny element belki (w granicy, dowolne włókno) jest poddawany osiowemu rozciąganiu lub ściskaniu, tak że sąsiednie włókna nie wchodzą ze sobą w interakcje;

4) jeżeli skrajne odcinki belki podczas deformacji pozostają płaskie i prostopadłe do osi, to wszystkie jej przekroje pozostają płaskie i normalne do osi zakrzywionej belki.

Stan naprężenia belki w czystym zginaniu

Rozważmy element belki poddawany czystemu zginaniu, podsumowując mierzone między odcinkami m-m i n-n, które są oddalone od siebie w nieskończenie małej odległości dx (rys. 93). Zgodnie z przepisem (4) poprzedniego paragrafu, odcinki m-m i n-n, które były równoległe przed odkształceniem, po zgięciu pozostając płaskie, utworzą kąt dQ i przecinają się wzdłuż linii prostej przechodzącej przez punkt C, który jest środkiem krzywizny włókna neutralnego NN. Wtedy część włókna AB zamknięta między nimi, znajdująca się w odległości z od włókna neutralnego (dodatni kierunek osi z jest przyjmowany w kierunku wypukłości wiązki podczas zginania), zamieni się w łuk A „B” po odkształcenie Odcinek włókna neutralnego O1O2, zamieniając się w łuk O1O2, nie zmieni swojej długości, natomiast włókno AB otrzyma wydłużenie:

przed deformacją

po odkształceniu

gdzie p jest promieniem krzywizny włókna neutralnego.

Dlatego bezwzględne wydłużenie odcinka AB wynosi

i wydłużenie

Ponieważ zgodnie z pozycją (3) włókno AB jest poddawane rozciąganiu osiowemu, a następnie odkształceniu sprężystemu

Z tego widać, że naprężenia normalne wzdłuż wysokości belki rozkładają się zgodnie z prawem liniowym (ryc. 94). Ponieważ jednakowa siła wszystkich wysiłków na wszystkich elementarnych odcinkach odcinka musi być równa zeru, to

stąd, podstawiając wartość z (5.8), znajdujemy

Ale ostatnia całka jest momentem statycznym wokół osi Oy, która jest prostopadła do płaszczyzny działania sił zginających.

Ze względu na równość do zera oś ta musi przechodzić przez środek ciężkości O przekroju. Zatem linia neutralna przekroju belki jest linią prostą yy, prostopadłą do płaszczyzny działania sił zginających. Nazywa się to neutralną osią przekroju belki. Następnie z (5.8) wynika, że ​​naprężenia w punktach leżących w tej samej odległości od osi neutralnej są takie same.

Przypadek czystego zginania, w którym siły zginające działają tylko w jednej płaszczyźnie, powodując zginanie tylko w tej płaszczyźnie, jest czystym zginaniem planarnym. Jeśli nazwana płaszczyzna przechodzi przez oś Oz, to moment elementarnych wysiłków względem tej osi musi być równy zero, tj.

Podstawiając tutaj wartość σ z (5.8), otrzymujemy

Całką po lewej stronie tej równości, jak wiadomo, jest odśrodkowy moment bezwładności przekroju wokół osi y i z, tak że

Osie, względem których odśrodkowy moment bezwładności przekroju jest równy zero, nazywane są głównymi osiami bezwładności tego przekroju. Jeżeli dodatkowo przechodzą przez środek ciężkości sekcji, można je nazwać głównymi centralnymi osiami bezwładności sekcji. Tak więc, przy płaskim czystym zginaniu, kierunek płaszczyzny działania sił zginających i neutralna oś przekroju są głównymi centralnymi osiami bezwładności tego ostatniego. Innymi słowy, aby uzyskać płaskie, czyste zginanie belki, nie można do niej przyłożyć obciążenia arbitralnie: należy je zredukować do sił działających w płaszczyźnie przechodzącej przez jedną z głównych centralnych osi bezwładności odcinków belki; w tym przypadku drugą główną centralną osią bezwładności będzie oś neutralna przekroju.

Jak wiadomo, w przypadku przekroju symetrycznego względem dowolnej osi, oś symetrii jest jedną z jego głównych centralnych osi bezwładności. W konsekwencji w tym konkretnym przypadku z pewnością uzyskamy czyste zginanie poprzez przyłożenie odpowiednich obciążeń w płaszczyźnie przechodzącej przez oś podłużną belki i oś symetrii jej przekroju. Linia prosta, prostopadła do osi symetrii i przechodząca przez środek ciężkości odcinka, jest osią obojętną tego odcinka.

Po ustaleniu położenia osi neutralnej nie jest trudno znaleźć wielkość naprężenia w dowolnym punkcie przekroju. Rzeczywiście, ponieważ suma momentów sił elementarnych względem osi neutralnej yy musi być równa momentowi zginającemu, to

stąd, podstawiając wartość σ z (5.8), znajdujemy

Ponieważ całka to moment bezwładności przekroju wokół osi y, to

a z wyrażenia (5.8) otrzymujemy

Iloczyn EI Y nazywamy sztywnością zginania belki.

Największe naprężenia rozciągające i ściskające w wartości bezwzględnej działają w punktach przekroju, dla których wartość bezwzględna z jest największa, tj. w punktach najbardziej oddalonych od osi neutralnej. Z oznaczeniami, ryc. 95 mieć

Wartość Jy / h1 nazywana jest momentem oporu przekroju na rozciąganie i jest oznaczona przez Wyr; podobnie Jy/h2 nazywamy momentem nośności przekroju na ściskanie

i oznaczają Wyc, więc

i dlatego

Jeżeli oś obojętna jest osią symetrii przekroju, to h1 = h2 = h/2, a co za tym idzie Wyp = Wyc, więc nie ma potrzeby ich rozróżniania, a używają tego samego oznaczenia:

nazywając W y po prostu wskaźnikiem przekroju, dlatego w przypadku przekroju symetrycznego względem osi neutralnej,

Wszystkie powyższe wnioski wyciągnięto przy założeniu, że przekroje belki w stanie zgięcia pozostają płaskie i prostopadłe do jej osi (hipoteza płaskich przekrojów). Jak pokazano, to założenie jest ważne tylko wtedy, gdy skrajne (końcowe) sekcje belki pozostają płaskie podczas zginania. Z drugiej strony z hipotezy płaskich przekrojów wynika, że ​​siły elementarne w takich odcinkach powinny być rozłożone zgodnie z zasadą liniową. Dlatego dla ważności otrzymanej teorii płaskiego czystego zginania konieczne jest, aby momenty zginające na końcach belki były przykładane w postaci sił elementarnych rozłożonych na wysokości przekroju zgodnie z prawem liniowym (rys. 96), co jest zbieżne z prawem rozkładu naprężeń wzdłuż wysokości belek przekroju. Jednak w oparciu o zasadę Saint-Venanta można argumentować, że zmiana sposobu przyłożenia momentów zginających na końcach belki spowoduje jedynie lokalne odkształcenia, których wpływ będzie oddziaływał tylko w pewnej odległości od tych końce (w przybliżeniu równe wysokości sekcji). Sekcje znajdujące się w pozostałej części belki pozostaną płaskie. W konsekwencji podana teoria płaskiego czystego zginania, przy dowolnej metodzie przykładania momentów zginających, obowiązuje tylko w środkowej części długości belki, znajdującej się w odległości od jej końców w przybliżeniu równej wysokości przekroju. Z tego jasno wynika, że ​​teoria ta nie ma oczywiście zastosowania, jeśli wysokość przekroju przekracza połowę długości lub rozpiętości belki.

schylać się nazywa się rodzaj obciążenia pręta, w którym przykładany jest do niego moment leżący w płaszczyźnie przechodzącej przez oś podłużną. W przekrojach belki występują momenty zginające. Podczas gięcia następuje odkształcenie, w którym wygina się oś belki prostej lub zmienia się krzywizna belki zakrzywionej.

Nazywana jest belka, która pracuje w zginaniu Belka . Nazywana jest konstrukcja składająca się z kilku prętów gnących, najczęściej połączonych ze sobą pod kątem 90 ° rama .

Zakręt nazywa się płaskie lub proste , jeżeli płaszczyzna działania obciążenia przechodzi przez główną środkową oś bezwładności przekroju (rys. 6.1).

Rys.6.1

Przy płaskim zginaniu poprzecznym belki powstają dwa rodzaje sił wewnętrznych: siła poprzeczna Q i moment zginający M. W ramie z płaskim zgięciem poprzecznym powstają trzy siły: wzdłużna N, poprzeczny Q siły i moment zginający M.

Jeżeli moment zginający jest jedynym współczynnikiem siły wewnętrznej, to takie zgięcie nazywa się czysty (rys.6.2). W obecności siły poprzecznej nazywa się zgięcie poprzeczny . Ściśle mówiąc, tylko czyste zginanie należy do prostych rodzajów oporu; zginanie poprzeczne warunkowo odnosi się do prostych rodzajów nośności, ponieważ w większości przypadków (dla wystarczająco długich belek) działanie siły poprzecznej można pominąć w obliczeniach wytrzymałościowych.

22.Płaskie wygięcie poprzeczne. Zależności różnicowe między siłami wewnętrznymi a obciążeniem zewnętrznym. Pomiędzy momentem zginającym, siłą poprzeczną i intensywnością rozłożonego obciążenia istnieją zależności różniczkowe oparte na twierdzeniu Żurawskiego, nazwanym na cześć rosyjskiego inżyniera mostowego D. I. Żurawskiego (1821-1891).

Twierdzenie to jest sformułowane w następujący sposób:

Siła poprzeczna jest równa pierwszej pochodnej momentu zginającego wzdłuż odciętej przekroju belki.

23. Płaskie zgięcie poprzeczne. Budowa wykresów sił poprzecznych i momentów zginających. Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 1

Odrzucamy prawą stronę belki i zastępujemy jej działanie po lewej stronie siłą poprzeczną i momentem zginającym. Dla wygody obliczeń zamykamy odrzuconą prawą stronę belki kartką papieru, wyrównując lewą krawędź arkusza z rozważaną sekcją 1.

Siła poprzeczna w sekcji 1 belki jest równa algebraicznej sumie wszystkich sił zewnętrznych widocznych po zamknięciu

Widzimy tylko reakcję wsparcia w dół. Zatem siła poprzeczna to:

kN.

Przyjęliśmy znak minus, ponieważ siła obraca widoczną część belki względem pierwszej sekcji w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (lub ponieważ jest ona skierowana równo z kierunkiem siły poprzecznej zgodnie z zasadą znaków)

Moment zginający w sekcji 1 belki jest równy algebraicznej sumie momentów wszystkich wysiłków, które widzimy po zamknięciu odrzuconej części belki, względem rozważanej sekcji 1.

Widzimy dwa wysiłki: reakcję podpory i moment M. Jednak ramię siły jest prawie zerowe. Zatem moment zginający wynosi:

kN m

Tutaj znak plusa bierzemy, ponieważ moment zewnętrzny M wygina widoczną część belki wypukłością w dół. (lub ponieważ jest przeciwny do kierunku momentu zginającego zgodnie z regułą znaków)

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 2

W przeciwieństwie do pierwszej sekcji, siła reakcji ma ramię równe a.

siła poprzeczna:

kN;

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 3

siła poprzeczna:

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 4

Teraz wygodniejsze przykryj lewą stronę belki liściem.

siła poprzeczna:

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 5

siła poprzeczna:

moment zginający:

Wyznaczanie sił ścinających i momentów zginających - przekrój 1

siła poprzeczna i moment zginający:

.

Na podstawie znalezionych wartości konstruujemy wykres sił poprzecznych (ryc. 7.7, b) i momentów zginających (ryc. 7.7, c).

KONTROLA PRAWIDŁOWEJ KONSTRUKCJI FIZYKI

Zweryfikujemy poprawność konstrukcji diagramów według cech zewnętrznych, stosując zasady konstruowania diagramów.

Sprawdzanie wykresu siły ścinającej

Jesteśmy przekonani: pod odcinkami nieobciążonymi wykres sił poprzecznych przebiega równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q po linii prostej nachylonej w dół. Na wykresie siły wzdłużnej występują trzy skoki: pod wpływem reakcji - w dół o 15 kN, pod siłą P - w dół o 20 kN i pod reakcją - w górę o 75 kN.

Sprawdzanie wykresu momentu zginającego

Na wykresie momentów zginających widzimy pęknięcia pod wpływem siły skupionej P oraz pod reakcjami podporowymi. Kąty złamania skierowane są na te siły. Pod obciążeniem rozłożonym q wykres momentów zginających zmienia się wzdłuż kwadratowej paraboli, której wypukłość jest skierowana w kierunku obciążenia. W sekcji 6 na wykresie momentu zginającego znajduje się ekstremum, ponieważ wykres siły poprzecznej w tym miejscu przechodzi przez zero.

Dla belki wspornikowej obciążonej obciążeniem rozłożonym o natężeniu kN/m i momencie skupionym kN m (rys. 3.12) należy: do zbudowania wykresów sił ścinających i momentów zginających dobrać belkę o przekroju kołowym o dopuszczalnym naprężenie normalne kN/cm2 i sprawdź wytrzymałość belki według naprężeń ścinających przy dopuszczalnym naprężeniu ścinającym kN/cm2. Wymiary belki m; m; m.

Schemat projektowania dla problemu bezpośredniego zginania poprzecznego

Ryż. 3.12

Rozwiązanie problemu „bezpośredniego gięcia poprzecznego”

Określanie reakcji podporowych

Reakcja pozioma w osadzeniu wynosi zero, ponieważ na belkę nie działają obciążenia zewnętrzne w kierunku osi Z.

Wybieramy kierunki pozostałych sił reaktywnych, które powstają w osadzeniu: skierujmy reakcję pionową na przykład w dół, a moment - zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ich wartości określane są z równań statyki:

Kompilując te równania, uważamy moment za dodatni przy obrocie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a rzut siły jest dodatni, jeśli jej kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi y.

Z pierwszego równania znajdujemy moment zakończenia:

Z drugiego równania - reakcja pionowa:

Uzyskane przez nas na chwilę dodatnie wartości oraz reakcja pionowa w końcówce wskazują, że odgadliśmy ich kierunki.

Zgodnie z charakterem mocowania i obciążenia belki dzielimy jej długość na dwa odcinki. Wzdłuż granic każdego z tych przekrojów nakreślamy cztery przekroje (patrz rys. 3.12), w których obliczymy wartości sił ścinających i momentów zginających metodą przekrojów (ROZU).

Sekcja 1. Odrzućmy w myślach prawą stronę belki. Zamieńmy jego działanie na pozostałą lewą stronę siłą skrawania i momentem zginającym. Dla wygody obliczania ich wartości zamykamy prawą stronę odrzuconej przez nas belki kartką papieru, wyrównując lewą krawędź arkusza z rozważaną sekcją.

Przypomnijmy, że siła ścinająca powstająca w dowolnym przekroju musi równoważyć wszystkie siły zewnętrzne (czynne i reaktywne), które działają na rozważaną przez nas (czyli widoczną) część belki. Dlatego siła ścinająca musi być równa sumie algebraicznej wszystkich sił, które widzimy.

Podajmy również zasadę znaków dla siły ścinającej: siła zewnętrzna działająca na rozważaną część belki i dążąca do „obracania” tej części względem przekroju w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara powoduje dodatnią siłę ścinającą w przekroju. Taka siła zewnętrzna jest zawarta w sumie algebraicznej definicji ze znakiem plus.

W naszym przypadku widzimy tylko reakcję podpory, która obraca widoczną część belki względem pierwszego odcinka (względem krawędzi kartki) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Więc

kN.

Moment zginający w dowolnym przekroju musi zrównoważyć moment wytworzony przez siły zewnętrzne, które widzimy w odniesieniu do rozważanego przekroju. Jest to zatem suma algebraiczna momentów wszystkich sił działających na rozważaną część belki w odniesieniu do rozpatrywanego odcinka (innymi słowy, w odniesieniu do krawędzi kartki). W tym przypadku obciążenie zewnętrzne zginające rozpatrywaną część belki z wypukłością w dół powoduje dodatni moment zginający w przekroju. A moment utworzony przez takie obciążenie jest zawarty w sumie algebraicznej dla definicji ze znakiem plus.

Widzimy dwa wysiłki: reakcję i moment zakończenia. Jednak ramię siły w odniesieniu do sekcji 1 jest równe zeru. Więc

kN m

Wzięliśmy znak plus, ponieważ moment reaktywny wygina widoczną część belki wypukłością w dół.

Sekcja 2. Tak jak poprzednio, całą prawą stronę belki pokryjemy kartką papieru. Teraz, w przeciwieństwie do pierwszej sekcji, siła ma ramię: m. Dlatego

kN; kN m

Sekcja 3. Zamykając prawą stronę belki, znajdujemy

kN;

Sekcja 4. Zamknijmy lewą stronę belki liściem. Następnie

kN m

kN m

.

Na podstawie znalezionych wartości budujemy wykresy sił ścinających (ryc. 3.12, b) i momentów zginających (ryc. 3.12, c).

Pod odcinkami nieobciążonymi wykres sił ścinających przebiega równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q po linii prostej nachylonej do góry. Pod reakcją podporową na wykresie znajduje się skok w dół o wartość tej reakcji, czyli o 40 kN.

Na wykresie momentów zginających widzimy przerwę pod reakcją podporową. Kąt złamania jest skierowany w stronę reakcji podpory. Pod obciążeniem rozłożonym q wykres zmienia się wzdłuż paraboli kwadratowej, której wypukłość jest skierowana w kierunku obciążenia. W sekcji 6 na wykresie jest ekstremum, ponieważ wykres siły ścinającej w tym miejscu przechodzi tutaj przez wartość zerową.

Określ wymaganą średnicę przekroju belki

Warunek wytrzymałościowy dla naprężeń normalnych ma postać:

,

gdzie jest moment oporu belki przy zginaniu. Dla belki o przekroju kołowym jest on równy:

.

Moment zginający o największej wartości bezwzględnej występuje w trzecim odcinku belki: kN cm

Następnie wymaganą średnicę belki określa wzór

cm.

Akceptujemy mm. Następnie

kN/cm2 kN/cm2.

„Przepięcie” to

,

co jest dozwolone.

Sprawdzamy wytrzymałość belki pod kątem największych naprężeń stycznych

Największe naprężenia ścinające występujące w przekroju belki kołowej oblicza się ze wzoru

,

gdzie jest pole przekroju.

Zgodnie z wykresem największa wartość algebraiczna siły ścinającej jest równa kN. Następnie

kN/cm2 kN/cm2,

czyli warunek wytrzymałości i naprężeń ścinających jest spełniony, co więcej, z dużym marginesem.

Przykład rozwiązania problemu „bezpośrednie zginanie poprzeczne” nr 2

Warunek przykładu problemu dla bezpośredniego zginania poprzecznego

W przypadku belki przegubowej obciążonej obciążeniem rozłożonym o natężeniu kN/m, sile skupionej kN i momencie skupionym kN m (rys. 3.13) należy wykreślić wykresy siły ścinającej i momentu zginającego oraz wybrać przekrój belki dwuteowej przy dopuszczalnym naprężeniu normalnym kN/cm2 i dopuszczalnym naprężeniu ścinającym kN/cm2. Rozpiętość belki m.

Przykład zadania dla prostego zgięcia - schemat projektowy

Ryż. 3,13

Rozwiązanie przykładu problemu z prostym zgięciem

Określanie reakcji podporowych

Dla danej belki podpartej przegubowo należy znaleźć trzy reakcje podporowe: , i . Ponieważ na belkę działają tylko obciążenia pionowe, prostopadłe do jej osi, reakcja pozioma stałego wspornika przegubowego A jest równa zeru: .

Kierunki reakcji pionowych i są wybierane arbitralnie. Skierujmy na przykład obie reakcje pionowe w górę. Aby obliczyć ich wartości, układamy dwa równania statyki:

Przypomnijmy, że wypadkowe obciążenie liniowe, równomiernie rozłożone na odcinku o długości l, jest równe powierzchni wykresu tego obciążenia i jest przyłożone w środku ciężkości tego wykresu, czyli w połowie długości.

;

kN.

Sprawdzamy: .

Przypomnijmy, że siły, których kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi y, są rzutowane (rzutowane) na tę oś ze znakiem plus:

to jest poprawne.

Budujemy wykresy sił ścinających i momentów zginających

Długość belki dzielimy na osobne sekcje. Granicami tych odcinków są punkty przyłożenia sił skupionych (czynnych i/lub reaktywnych) oraz punkty odpowiadające początkowi i końcowi obciążenia rozłożonego. W naszym problemie są trzy takie obszary. Wzdłuż granic tych przekrojów nakreślamy sześć przekrojów, w których obliczymy wartości sił ścinających i momentów zginających (ryc. 3.13, a).

Sekcja 1. Odrzućmy w myślach prawą stronę belki. Dla wygody obliczania siły ścinającej i momentu zginającego powstającego w tej sekcji zamykamy odrzuconą przez nas część belki kartką papieru, wyrównując lewą krawędź kartki z samą sekcją.

Siła ścinająca w przekroju belki jest równa algebraicznej sumie wszystkich sił zewnętrznych (czynnych i reaktywnych), które widzimy. W tym przypadku obserwujemy reakcję podpory i obciążenia liniowego q, rozłożonego na nieskończenie małej długości. Wynikowe obciążenie liniowe wynosi zero. Więc

kN.

Znak plus jest brany, ponieważ siła obraca widoczną część wiązki względem pierwszej sekcji (krawędź kartki) w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Moment zginający w przekroju belki jest równy algebraicznej sumie momentów wszystkich sił, które widzimy, względem rozpatrywanego przekroju (czyli względem krawędzi kartki papieru). Widzimy reakcję podpory i obciążenia liniowego q, rozłożone na nieskończenie małej długości. Jednak dźwignia siły wynosi zero. Wynikowe obciążenie liniowe jest również równe zeru. Więc

Sekcja 2. Tak jak poprzednio, całą prawą stronę belki pokryjemy kartką papieru. Teraz widzimy reakcję i obciążenie q działające na odcinku długości . Wypadkowe obciążenie liniowe jest równe . Jest przymocowany w środku odcinka o długości . Więc

Przypomnijmy, że wyznaczając znak momentu zginającego, w myślach uwalniamy tę część belki, którą widzimy ze wszystkich rzeczywistych mocowań podpory i wyobrażamy ją sobie tak, jakby była zaciśnięta w rozważanym odcinku (czyli lewą krawędź kawałka papier jest przez nas mentalnie reprezentowany jako sztywna pieczęć).

Sekcja 3. Zamknijmy właściwą część. Otrzymać

Sekcja 4. Zamykamy prawą stronę belki liściem. Następnie

Teraz dla kontroli poprawności obliczeń przykryjmy lewą stronę belki kartką papieru. Widzimy siłę skupioną P, reakcję podpory prawej i obciążenie liniowe q, rozłożone na nieskończenie małej długości. Wynikowe obciążenie liniowe wynosi zero. Więc

kN m

Oznacza to, że wszystko się zgadza.

Sekcja 5. Nadal zamknij lewą stronę belki. Będzie miał

kN;

kN m

Sekcja 6. Zamknijmy ponownie lewą stronę belki. Otrzymać

kN;

Na podstawie znalezionych wartości budujemy wykresy sił ścinających (ryc. 3.13, b) i momentów zginających (ryc. 3.13, c).

Jesteśmy przekonani, że pod nieobciążoną sekcją wykres siły ścinającej przebiega równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q - po linii prostej o nachyleniu w dół. Na wykresie są trzy skoki: pod reakcją - w górę o 37,5 kN, pod reakcją - w górę o 132,5 kN i pod siłą P - w dół o 50 kN.

Na wykresie momentów zginających widzimy pęknięcia pod wpływem siły skupionej P oraz pod reakcjami podporowymi. Kąty złamania skierowane są na te siły. Przy rozłożonym obciążeniu o natężeniu q wykres zmienia się wzdłuż kwadratowej paraboli, której wypukłość jest skierowana w kierunku obciążenia. Pod momentem skupionym następuje skok o 60 kN m, czyli o wielkość samego momentu. W sekcji 7 na schemacie znajduje się ekstremum, ponieważ wykres siły ścinającej dla tej sekcji przechodzi przez wartość zerową (). Określmy odległość od sekcji 7 do lewej podpory.

schylać się zwana deformacją, w której oś pręta i wszystkie jego włókna, tj. linie podłużne równoległe do osi pręta, są zginane pod działaniem sił zewnętrznych. Najprostszy przypadek zginania uzyskuje się, gdy siły zewnętrzne leżą w płaszczyźnie przechodzącej przez oś środkową pręta i nie wystają na tę oś. Taki przypadek zginania nazywa się zginaniem poprzecznym. Rozróżnij płaskie zgięcie i ukośne.

płaskie zgięcie- taki przypadek, gdy wygięta oś pręta znajduje się w tej samej płaszczyźnie, w której działają siły zewnętrzne.

Skośny (złożony) zakręt- taki przypadek zginania, gdy zginana oś pręta nie leży w płaszczyźnie działania sił zewnętrznych.

Pręt do gięcia jest powszechnie określany jako Belka.

Przy płaskim zginaniu poprzecznym belek w przekroju o układzie współrzędnych y0x mogą wystąpić dwie siły wewnętrzne - siła poprzeczna Q y i moment zginający M x; w dalszej części wprowadzamy notację Q oraz M. Jeżeli w przekroju lub przekroju belki nie ma siły poprzecznej (Q = 0), a moment zginający nie jest równy zero lub M jest const, to takie zgięcie jest powszechnie nazywane czysty.

Siła ścinająca w dowolnym przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej rzutów na oś wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) znajdujących się po jednej (dowolnej) stronie przekroju.

Moment zginający w przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej momentów wszystkich sił (w tym reakcji podporowych) znajdujących się po jednej stronie (dowolnej) przekroju narysowanego względem środka ciężkości tego przekroju, a dokładniej względem osi przechodzące prostopadle do płaszczyzny rysunku przez środek ciężkości narysowanego przekroju.

Siła Q jest wynikowy rozłożone na przekroju wewnętrznym naprężenia ścinające, a za chwilę M– suma chwil wokół osi środkowej przekroju X wewnętrzna normalne naprężenia.

Istnieje zróżnicowana zależność między siłami wewnętrznymi

który służy do budowy i weryfikacji wykresów Q i M.

Ponieważ niektóre włókna belki są rozciągnięte, a inne ściśnięte, a przejście od rozciągania do ściskania odbywa się płynnie, bez przeskoków, w środkowej części belki znajduje się warstwa, której włókna tylko się wyginają, ale też nie doświadczają napięcie lub kompresja. Taka warstwa nazywa się warstwa neutralna. Nazywa się linię, wzdłuż której neutralna warstwa przecina się z przekrojem belki neutralna linia th lub Oś neutralna Sekcje. Linie neutralne są nawleczone na osi belki.

Linie narysowane na bocznej powierzchni belki prostopadłej do osi pozostają płaskie po zgięciu. Te dane eksperymentalne umożliwiają oparcie wniosków ze wzorów na hipotezie płaskich przekrojów. Zgodnie z tą hipotezą, sekcje belki są płaskie i prostopadłe do jej osi przed zginaniem, pozostają płaskie i stają się prostopadłe do wygiętej osi belki podczas jej zginania. Przekrój belki ulega zniekształceniu podczas gięcia. Na skutek odkształcenia poprzecznego wymiary przekroju poprzecznego w strefie ściskanej belki zwiększają się, aw strefie rozciąganej są ściskane.

Założenia do wyprowadzania formuł. Naprężenia normalne

1) Spełniona jest hipoteza płaskich przekrojów.

2) Włókna podłużne nie ściskają się nawzajem i dlatego pod wpływem normalnych naprężeń działają naprężenia liniowe lub ściskanie.

3) Odkształcenia włókien nie zależą od ich położenia na szerokości przekroju. W konsekwencji normalne naprężenia, zmieniające się na wysokości przekroju, pozostają takie same na całej szerokości.

4) Belka ma co najmniej jedną płaszczyznę symetrii i wszystkie siły zewnętrzne leżą w tej płaszczyźnie.

5) Materiał belki jest zgodny z prawem Hooke'a, a moduł sprężystości przy rozciąganiu i ściskaniu jest taki sam.

6) Stosunki między wymiarami belki są takie, że działa ona w warunkach zginania płaskiego bez wypaczania lub skręcania.

Tylko przy czystym zginaniu belki na platformach w jej przekroju normalne naprężenia, określone wzorem:

gdzie y jest współrzędną dowolnego punktu przekroju, mierzoną od linii neutralnej - głównej osi środkowej x.

Normalne naprężenia zginające wzdłuż wysokości przekroju rozkładają się prawo liniowe. Na skrajnych włóknach naprężenia normalne osiągają maksymalną wartość, a w środku ciężkości przekroje są równe zeru.

Charakter wykresów naprężeń normalnych dla przekrojów symetrycznych względem linii neutralnej

Charakter wykresów naprężeń normalnych dla odcinków, które nie mają symetrii względem linii neutralnej

Niebezpieczne punkty to te najbardziej oddalone od linii neutralnej.

Wybierzmy jakiś dział

Dla dowolnego punktu sekcji nazwijmy go punktem W celu, warunek wytrzymałości belki dla naprężeń normalnych ma postać:

, gdzie i.d. - Ten Oś neutralna

Ten wskaźnik przekroju osiowego wokół osi neutralnej. Jego wymiar to cm 3, m 3. Moment oporu charakteryzuje wpływ kształtu i wymiarów przekroju na wielkość naprężeń.

Warunki wytrzymałościowe dla normalnych naprężeń:

Naprężenie normalne jest równe stosunkowi maksymalnego momentu zginającego do modułu przekroju osiowego względem osi neutralnej.

Jeżeli materiał nierówno wytrzymuje rozciąganie i ściskanie, należy zastosować dwa warunki wytrzymałościowe: dla strefy rozciągania z dopuszczalnym naprężeniem rozciągającym; dla strefy ściskania z dopuszczalnym naprężeniem ściskającym.

Przy zginaniu poprzecznym belki na platformach w swoim przekroju zachowują się jak normalna, oraz styczne Napięcie.