Proporcja bezpośrednia i odwrotna. Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna
Przykład
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.Współczynnik proporcjonalności
Nazywa się stały stosunek proporcjonalnych wielkości współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej.
Proporcjonalność bezpośrednia
Proporcjonalność bezpośrednia- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja zmienia się również dwukrotnie w tym samym kierunku.
Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako formuła:
f(x) = ax,a = const
Odwrotna proporcjonalność
Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalny spadek wartości zależnej (funkcji).
Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako formuła:
Właściwości funkcji:
Źródła
Fundacja Wikimedia. 2010 .
Przykład
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.Współczynnik proporcjonalności
Nazywa się stały stosunek proporcjonalnych wielkości współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej.
Proporcjonalność bezpośrednia
Proporcjonalność bezpośrednia- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja zmienia się również dwukrotnie w tym samym kierunku.
Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako formuła:
f(x) = ax,a = const
Odwrotna proporcjonalność
Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalny spadek wartości zależnej (funkcji).
Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako formuła:
Właściwości funkcji:
Źródła
Fundacja Wikimedia. 2010 .
- Drugie prawo Newtona
- Bariera kulombowska
Zobacz, co „Bezpośrednia proporcjonalność” znajduje się w innych słownikach:
bezpośrednia proporcjonalność- - [A.S. Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energetyczny. 2006] Tematy energia ogólnie EN stosunek bezpośredni … Podręcznik tłumacza technicznego
bezpośrednia proporcjonalność- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. bezpośrednia proporcjonalność vok. direkte Proportionalitat, fr rus. bezpośrednia proporcjonalność, f pranc. proporcjonalnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORCJONALNOŚĆ- (od łac. proporcjonalny proporcjonalny, proporcjonalny). Proporcjonalność. Słownik wyrazów obcych zawartych w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. PROPORCJONALNOŚĆ otlat. proporcjonalny, proporcjonalny. Proporcjonalność. Wyjaśnienie dotyczące 25000… … Słownik wyrazów obcych języka rosyjskiego
PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ, proporcjonalność, pl. nie, kobieta (książka). 1. rozproszenie rzeczownik proporcjonalne. Proporcjonalność części. Proporcjonalność ciała. 2. Taki związek między ilościami, gdy są one proporcjonalne (patrz proporcjonalny ... Słownik wyjaśniający Uszakowa
Proporcjonalność- Dwie wzajemnie zależne wielkości nazywane są proporcjonalnymi, jeśli stosunek ich wartości pozostaje niezmieniony. Spis treści 1 Przykład 2 Współczynnik proporcjonalności ... Wikipedia
PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ i żony. 1. patrz proporcjonalna. 2. W matematyce: taki związek między wielkościami, gdy wzrost jednej z nich pociąga za sobą zmianę drugiej o tę samą wielkość. Bezpośrednie p. (przy cięciu ze wzrostem o jedną wartość ... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa
proporcjonalność- oraz; dobrze. 1. do proporcjonalnego (1 cyfra); proporcjonalność. P. części. P. budowa ciała. P. reprezentacja w parlamencie. 2. Matematyka. Zależność między proporcjonalnie zmieniającymi się wielkościami. Współczynnik proporcjonalności. Bezpośrednie p. (w którym z ... ... słownik encyklopedyczny
Wraz z wielkościami wprost proporcjonalnymi w arytmetyce uwzględniono również wielkości odwrotnie proporcjonalne.
Podajmy przykłady.
1) Długości podstawy i wysokość prostokąta o stałym polu.
Niech będzie wymagane wydzielenie na ogród prostokątny obszar o powierzchni
Możemy „arbitralnie ustawić np. długość odcinka. Ale wtedy szerokość sekcji będzie zależeć od wybranej przez nas długości. W tabeli przedstawiono różne (możliwe) długości i szerokości.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli oznaczymy długość przekroju przez x, a szerokość przez y, to zależność między nimi można wyrazić wzorem:
Wyrażając y w kategoriach x, otrzymujemy:
Podając x dowolne wartości, otrzymamy odpowiadające im wartości y.
2) Czas i prędkość ruchu równomiernego na pewną odległość.
Niech odległość między dwoma miastami wynosi 200 km. Im większa prędkość, tym mniej czasu zajmie pokonanie danego dystansu. Widać to w poniższej tabeli:
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli oznaczymy prędkość przez x, a czas przemieszczenia przez y, to zależność między nimi będzie wyrażona wzorem:
Definicja. Związek między dwiema wielkościami, wyrażony jako , gdzie k jest pewną liczbą (nie równą zero), nazywany jest zależnością odwrotną.
Liczba tutaj nazywana jest również współczynnikiem proporcjonalności.
Podobnie jak w przypadku bezpośredniej proporcjonalności, w równości wartości x i y w ogólnym przypadku mogą przyjmować wartości dodatnie i ujemne.
Ale we wszystkich przypadkach odwrotnej proporcjonalności żadna z wielkości nie może być równa zeru. Rzeczywiście, jeśli przynajmniej jedna z wartości x lub y jest równa zeru, to w równości lewa strona będzie równa zero
I właściwy - do pewnej liczby, która nie jest równa zeru (z definicji), czyli uzyskana zostanie nieprawidłowa równość.
2. Wykres proporcji odwrotnej.
Zbudujmy wykres zależności
Wyrażając y w kategoriach x, otrzymujemy:
Podamy x dowolnych (dopuszczalnych) wartości i obliczymy odpowiadające im wartości y. Zdobądźmy stolik:
Skonstruujmy odpowiednie punkty (ryc. 28).
Jeśli przyjmiemy wartości x w mniejszych odstępach, to punkty będą zlokalizowane bliżej.
Dla wszystkich możliwych wartości x odpowiednie punkty będą znajdować się na dwóch gałęziach wykresu, symetrycznych względem początku i przechodzących w I i III ćwiartce płaszczyzny współrzędnych (ryc. 29).
Widzimy więc, że wykres odwrotnej proporcjonalności jest linią krzywą. Linia ta ma dwie gałęzie.
Jedna gałąź zostanie uzyskana z dodatnią, druga z ujemną wartością x.
Wykres odwrotnie proporcjonalny nazywa się hiperbolą.
Aby uzyskać dokładniejszy wykres, musisz zbudować jak najwięcej punktów.
Z wystarczająco dużą dokładnością można narysować hiperbolę za pomocą np. wzorów.
Na rysunku 30 wykreślono odwrotnie proporcjonalną zależność z ujemnym współczynnikiem. Na przykład, tworząc taki stół:
otrzymujemy hiperbolę, której gałęzie znajdują się w ćwiartce II i IV.
Przykład
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.Współczynnik proporcjonalności
Nazywa się stały stosunek proporcjonalnych wielkości współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej.
Proporcjonalność bezpośrednia
Proporcjonalność bezpośrednia- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja zmienia się również dwukrotnie w tym samym kierunku.
Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako formuła:
f(x) = ax,a = const
Odwrotna proporcjonalność
Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalny spadek wartości zależnej (funkcji).
Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako formuła:
Właściwości funkcji:
Źródła
Fundacja Wikimedia. 2010 .
§ 129. Wyjaśnienia wstępne.
Człowiek nieustannie zajmuje się bardzo różnorodnymi ilościami. Pracownik i robotnik starają się dotrzeć do serwisu, do pracy w określonym czasie, pieszy śpieszy się do określonego miejsca najkrótszą drogą, parowe źródło martwi się, że temperatura w kotle powoli rośnie, kierownik firmy planuje obniżyć koszty produkcji itp.
Można by przytoczyć dowolną liczbę takich przykładów. Czas, odległość, temperatura, koszt - wszystko to są różne wielkości. W pierwszej i drugiej części tej książki zapoznaliśmy się z niektórymi szczególnie powszechnymi wielkościami: powierzchnia, objętość, waga. W badaniach fizyki i innych nauk spotykamy się z wieloma wielkościami.
Wyobraź sobie, że jedziesz pociągiem. Od czasu do czasu spoglądasz na zegarek i zauważasz, jak długo jesteś już w drodze. Mówisz na przykład, że od odjazdu Twojego pociągu upłynęły 2, 3, 5, 10, 15 godzin itd. Liczby te oznaczają różne okresy czasu; nazywane są wartościami tej wielkości (czasu). Albo wyglądasz przez okno i podążasz za słupkami drogowymi, aby zobaczyć odległość, jaką pokonuje Twój pociąg. Przed tobą migają liczby 110, 111, 112, 113, 114 km. Liczby te wskazują różne odległości, które pociąg przebył od punktu odjazdu. Nazywa się je również wartościami, tym razem z inną wartością (ścieżką lub odległością między dwoma punktami). Tak więc jedna wartość, na przykład czas, odległość, temperatura, może przyjąć dowolną różne wartości.
Zwróć uwagę na to, że człowiek prawie nigdy nie bierze pod uwagę tylko jednej wartości, ale zawsze łączy ją z innymi wartościami. Ma do czynienia z dwoma, trzema lub więcej ilościami w tym samym czasie. Wyobraź sobie, że musisz dotrzeć do szkoły przed godziną 9 rano. Patrzysz na zegarek i widzisz, że masz 20 minut. Wtedy szybko decydujesz, czy jechać tramwajem, czy będziesz miał czas na spacer do szkoły. Po namyśle decydujesz się na spacer. Zauważ, że w czasie, gdy myślałeś, rozwiązywałeś jakiś problem. To zadanie stało się proste i znajome, ponieważ codziennie rozwiązujesz takie problemy. W nim szybko porównałeś kilka wartości. To ty patrzyłeś na zegar, czyli brałeś pod uwagę czas, potem w myślach wyobrażałeś sobie odległość z domu do szkoły; na koniec porównałeś dwie wielkości: prędkość swojego kroku i prędkość tramwaju i stwierdziłeś, że za dany czas (20 minut) będziesz miał czas na spacer. Z tego prostego przykładu widać, że w naszej praktyce niektóre wielkości są ze sobą powiązane, to znaczy zależą od siebie
W rozdziale dwunastym powiedziano o stosunku ilości jednorodnych. Na przykład, jeśli jeden segment ma 12 m, a drugi 4 m, stosunek tych segmentów wyniesie 12: 4.
Powiedzieliśmy, że jest to stosunek dwóch jednorodnych wielkości. Innymi słowy jest to stosunek dwóch liczb jedno imię.
Teraz, gdy zaznajomiliśmy się z ilościami i wprowadziliśmy pojęcie wartości ilości, możemy w nowy sposób określić definicję relacji. W rzeczywistości, gdy rozważaliśmy dwa odcinki 12 m i 4 m, mówiliśmy o jednej wartości - długości, a 12 m i 4 m to tylko dwie różne wartości tej wartości.
Dlatego w przyszłości, gdy zaczniemy mówić o stosunku, rozważymy dwie wartości jednej z niektórych wielkości, a stosunek jednej wartości wielkości do drugiej wartości tej samej wielkości będzie nazywany ilorazem dzielenia pierwsza wartość przez drugą.
§ 130. Ilości są wprost proporcjonalne.
Rozważ problem, którego stan obejmuje dwie wielkości: odległość i czas.
Zadanie 1. Ciało poruszające się w linii prostej i jednostajnie przejeżdżające 12 cm na sekundę Określ drogę przebytą przez ciało w ciągu 2, 3, 4, ..., 10 sekund.
Zróbmy tabelę, za pomocą której będzie można monitorować zmianę czasu i odległości.
Tabela daje nam możliwość porównania tych dwóch serii wartości. Widzimy z niego, że gdy wartości pierwszej wielkości (czasu) stopniowo wzrastają 2, 3, ..., 10 razy, to wartości drugiej wielkości (odległość) również wzrastają o 2, 3, ..., 10 razy. Tak więc, gdy wartości jednej wielkości wzrosną kilkakrotnie, wartości innej wielkości wzrosną o tę samą kwotę, a gdy wartości jednej wielkości zmniejszą się kilkakrotnie, wartości drugiej wielkości zmniejszą się o taką samą kwotę.
Rozważmy teraz problem, który zawiera dwie takie wielkości: ilość materii i jej koszt.
Zadanie 2. 15 m tkaniny kosztuje 120 rubli. Oblicz koszt tej tkaniny dla kilku innych ilości metrów wskazanych w tabeli.
Z tej tabeli możemy zobaczyć, jak wartość towaru stopniowo wzrasta, w zależności od wzrostu jego ilości. Pomimo tego, że w zadaniu tym występują zupełnie inne wielkości (w zadaniu pierwszym - czas i odległość, a tu - ilość towaru i jego koszt), to jednak w zachowaniu tych wielkości można znaleźć duże podobieństwo.
Rzeczywiście, w górnym wierszu tabeli znajdują się liczby oznaczające liczbę metrów tkaniny, pod każdym z nich zapisana jest liczba wyrażająca koszt odpowiedniej ilości towaru. Nawet pobieżne spojrzenie na tę tabelę pokazuje, że liczby w górnym i dolnym rzędzie rosną; przy bliższym przyjrzeniu się tabeli i porównaniu poszczególnych kolumn okazuje się, że we wszystkich przypadkach wartości drugiej wielkości wzrastają o taki sam współczynnik, jak wartości pierwszej wielkości, czyli jeśli wartość pierwszej wielkości wzrosła powiedzmy 10 razy, to wartość drugiej wartości również wzrosła 10 razy.
Jeśli spojrzymy na tabelę od prawej do lewej, stwierdzimy, że wskazane wartości ilości zmniejszą się o tę samą liczbę razy. W tym sensie istnieje bezwarunkowe podobieństwo między pierwszym zadaniem a drugim.
Pary wielkości, które spotkaliśmy w pierwszym i drugim zadaniu nazywamy wprost proporcjonalne.
Tak więc, jeśli dwie wielkości są ze sobą połączone w taki sposób, że przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej z nich wartość drugiej wzrasta (zmniejsza się) o tę samą wielkość, to takie wielkości nazywamy wprost proporcjonalnymi.
Mówi się również o takich wielkościach, że są one połączone bezpośrednio proporcjonalną zależnością.
W przyrodzie i otaczającym nas życiu takich ilości jest wiele. Oto kilka przykładów:
1. Czas pracy (dzień, dwa dni, trzy dni itd.) i zyski otrzymywane w tym czasie na dzienne wynagrodzenie.
2. Tom dowolny przedmiot wykonany z jednorodnego materiału, oraz waga ten przedmiot.
§ 131. Własność ilości wprost proporcjonalnych.
Weźmy zadanie, które obejmuje dwie wielkości: czas pracy i zarobki. Jeśli dzienne zarobki wynoszą 20 rubli, to zarobki za 2 dni wyniosą 40 rubli itd. Najwygodniej jest sporządzić tabelę, w której określone zarobki będą odpowiadać określonej liczbie dni.
Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły 10 różnych wartości. Każda wartość pierwszej wartości odpowiada pewnej wartości drugiej wartości, na przykład 40 rubli odpowiada 2 dniom; 5 dni odpowiada 100 rubli. W tabeli liczby te są zapisane jedna pod drugą.
Wiemy już, że jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to każda z nich w procesie swojej zmiany wzrasta o tyle samo, co druga. Wynika z tego natychmiast: jeśli weźmiemy stosunek dowolnych dwóch wartości pierwszej wielkości, to będzie on równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości. W rzeczy samej:
Dlaczego to się dzieje? Ale ponieważ te wartości są wprost proporcjonalne, to znaczy, gdy jedna z nich (czas) wzrosła 3 razy, to druga (zarobki) wzrosła 3 razy.
Doszliśmy zatem do następującego wniosku: jeśli weźmiemy dowolne dwie wartości pierwszej wielkości i podzielimy je jedna po drugiej, a następnie podzielimy przez siebie odpowiednie wartości drugiej wielkości, to w obu przypadkach otrzymamy jedną i tę samą liczbę, czyli tę samą relację. Oznacza to, że dwie relacje, które pisaliśmy powyżej, można połączyć znakiem równości, tj.
Nie ulega wątpliwości, że gdybyśmy wzięli nie te relacje, ale inne, w złej kolejności, ale w odwrotnym kierunku, uzyskalibyśmy również równość relacji. Rzeczywiście, rozważymy wartości naszych ilości od lewej do prawej i przyjmiemy trzecią i dziewiątą wartość:
60:180 = 1 / 3 .
Możemy więc napisać:
To implikuje następujący wniosek: jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch arbitralnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.
§ 132. Formuła bezpośredniej proporcjonalności.
Zróbmy tabelę kosztów różnych ilości słodyczy, jeśli 1 kg kosztuje 10,4 rubla.
Teraz zróbmy to w ten sposób. Weźmy dowolną liczbę z drugiego rzędu i podzielmy ją przez odpowiednią liczbę z pierwszego rzędu. Na przykład:
Widzisz, że w ilorazie cały czas otrzymuje się tę samą liczbę. Dlatego dla danej pary wielkości wprost proporcjonalnych iloraz dzielenia dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość innej wielkości jest liczbą stałą (to znaczy niezmienną). W naszym przykładzie ten iloraz wynosi 10,4. Ta stała liczba nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności. W tym przypadku wyraża cenę jednostki miary, czyli jednego kilograma towaru.
Jak znaleźć lub obliczyć współczynnik proporcjonalności? Aby to zrobić, musisz wziąć dowolną wartość jednej wielkości i podzielić ją przez odpowiednią wartość innej.
Oznaczmy tę dowolną wartość jednej wielkości literą w , oraz odpowiadająca jej wartość innej ilości - litery X , to współczynnik proporcjonalności (oznaczamy go W celu) znajdź dzieląc:
W tej równości w - podzielna X - przegroda i W celu- iloraz, a ponieważ przez własność podziału dywidenda jest równa dzielnikowi pomnożonemu przez iloraz, możemy napisać:
y= K x
Powstała równość nazywa się formuła bezpośredniej proporcjonalności. Korzystając z tego wzoru, możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z wprost proporcjonalnych wielkości, jeśli znamy odpowiednie wartości drugiej wielkości i współczynnik proporcjonalności.
Przykład. Z fizyki wiemy, że waga R dowolnego ciała jest równy jego ciężarowi właściwemu d pomnożona przez objętość tego ciała V, tj. R = d V.
Weź pięć sztabek żelaza o różnych rozmiarach; znając ciężar właściwy żelaza (7,8), możemy obliczyć masy tych półfabrykatów za pomocą wzoru:
R = 7,8 V.
Porównanie tej formuły z formułą w = W celu X , widzimy to y= R, x = V, oraz współczynnik proporcjonalności W celu= 7,8. Formuła jest taka sama, tylko litery są inne.
Korzystając z tej formuły, stwórzmy tabelę: niech objętość pierwszego półfabrykatu wyniesie 8 metrów sześciennych. cm, to jego waga wynosi 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Objętość drugiego półfabrykatu wynosi 27 metrów sześciennych. cm Jego waga wynosi 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabela będzie wyglądać tak:
Oblicz liczby, których brakuje w tej tabeli, korzystając ze wzoru R= d V.
§ 133. Inne sposoby rozwiązywania problemów z wielkościami wprost proporcjonalnymi.
W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problem, którego stan obejmował ilości wprost proporcjonalne. W tym celu wcześniej wyprowadziliśmy formułę bezpośredniej proporcjonalności, a następnie zastosowaliśmy tę formułę. Teraz pokażemy dwa inne sposoby rozwiązania podobnych problemów.
Zróbmy problem zgodnie z danymi liczbowymi podanymi w tabeli w poprzednim akapicie.
Zadanie. Puste miejsce o objętości 8 metrów sześciennych. cm waży 62,4 g. Ile waży blank o objętości 64 metrów sześciennych? cm?
Decyzja. Jak wiadomo, waga żelaza jest proporcjonalna do jego objętości. Jeśli 8 cu. cm waży 62,4 g, a następnie 1 cu. cm waży 8 razy mniej, czyli
62,4:8 = 7,8 (g).
Półfabrykat o objętości 64 metrów sześciennych. cm waży 64 razy więcej niż blank o pojemności 1 cu. cm, tj.
7,8 64 = 499,2 (g).
Rozwiązaliśmy nasz problem, sprowadzając się do jedności. Znaczenie tej nazwy uzasadnia fakt, że aby ją rozwiązać, w pierwszym pytaniu musieliśmy znaleźć wagę jednostki objętości.
2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem metodą proporcji.
Ponieważ waga żelaza i jego objętość są ilościami wprost proporcjonalnymi, stosunek dwóch wartości jednej ilości (objętości) jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości innej ilości (ciężaru), tj.
(list R oznaczyliśmy nieznaną wagę półfabrykatu). Stąd:
(G).
Problem rozwiązuje metoda proporcji. Oznacza to, że aby go rozwiązać, część składała się z liczb zawartych w warunku.
§ 134. Ilości są odwrotnie proporcjonalne.
Rozważmy następujący problem: „Pięciu murarzy może położyć ceglane ściany domu w 168 dni. Określ, w ilu dniach 10, 8, 6 itd. murarze mogą wykonać tę samą pracę.
Gdyby 5 murarzy zburzyło ściany domu w 168 dni, to (przy tej samej wydajności pracy) 10 murarzy mogłoby to zrobić dwa razy szybciej, ponieważ średnio 10 osób wykonuje pracę dwa razy więcej niż 5 osób.
Zróbmy tabelę, według której będzie można monitorować zmianę liczby godzin pracy i godzin pracy.
Na przykład, aby dowiedzieć się, ile dni zajmuje 6 pracowników, należy najpierw obliczyć, ile dni zajmuje jeden pracownik (168 5 = 840), a następnie sześciu pracowników (840: 6 = 140). Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły sześć różnych wartości. Każda wartość pierwszej wielkości odpowiada bardziej zdecydowanie; wartość drugiej wartości, na przykład 10 odpowiada 84, liczbie 8 - liczbie 105 itd.
Jeśli weźmiemy pod uwagę wartości obu wartości od lewej do prawej, to zauważymy, że wartości górnej wartości rosną, a wartości dolnej maleją. Wzrost i spadek podlega następującemu prawu: wartości liczby pracowników wzrastają tyle razy, ile zmniejsza się wartość spędzanego czasu pracy. Mówiąc prościej, tę ideę można wyrazić w następujący sposób: im więcej pracowników jest zatrudnionych w jakiejkolwiek firmie, tym mniej czasu potrzebują na wykonanie określonej pracy. Dwie wielkości, które napotkaliśmy w tym problemie, nazywają się odwrotnie proporcjonalny.
Tak więc, jeśli dwie wielkości są ze sobą połączone, tak że przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości jednej z nich wartość drugiej maleje (wzrasta) o tę samą wielkość, wówczas takie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi.
W życiu jest wiele takich rzeczy. Podajmy przykłady.
1. Jeśli za 150 rubli. musisz kupić kilka kilogramów słodyczy, wtedy liczba słodyczy będzie zależeć od ceny jednego kilograma. Im wyższa cena, tym mniej towarów można za te pieniądze kupić; widać to z tabeli:
Przy kilkukrotnym wzroście ceny słodyczy liczba kilogramów słodyczy, które można kupić za 150 rubli, spada o tę samą kwotę. W tym przypadku te dwie ilości (waga produktu i jego cena) są odwrotnie proporcjonalne.
2. Jeżeli odległość między dwoma miastami wynosi 1200 km, to można ją pokonać w różnym czasie, w zależności od prędkości poruszania się. Istnieją różne środki transportu: pieszo, konno, rowerem, statkiem, samochodem, pociągiem, samolotem. Im niższa prędkość, tym więcej czasu zajmuje ruch. Widać to z tabeli:
Przy kilkukrotnym wzroście prędkości czas ruchu zmniejsza się o tę samą wartość. Stąd w danych warunkach prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
§ 135. Własność wielkości odwrotnie proporcjonalnych.
Weźmy drugi przykład, który rozważaliśmy w poprzednim akapicie. Tam mieliśmy do czynienia z dwiema wielkościami – szybkością ruchu i czasem. Jeśli weźmiemy pod uwagę wartości tych wielkości od lewej do prawej w tabeli, zobaczymy, że wartości pierwszej wielkości (prędkości) rosną, a wartości drugiej (czasu) maleją, a prędkość wzrasta o ten sam współczynnik, w jakim zmniejsza się czas.Łatwo zrozumieć, że jeśli zapiszesz stosunek dowolnych wartości jednej wielkości, to nie będzie on równy stosunkowi odpowiednich wartości innej ilości. Rzeczywiście, jeśli weźmiemy stosunek czwartej wartości górnej wartości do siódmej wartości (40: 80), to nie będzie on równy stosunkowi czwartej i siódmej wartości dolnej wartości (30: 15 ). Można to napisać tak:
40:80 nie jest równe 30:15, czyli 40:80 =/= 30:15.
Ale jeśli zamiast jednego z tych stosunków przyjmiemy coś przeciwnego, to otrzymamy równość, tj. z tych stosunków będzie można zrobić proporcję. Na przykład:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na podstawie powyższego możemy wyciągnąć następujący wniosek: jeśli dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, to stosunek dwóch arbitralnie przyjętych wartości jednej wielkości jest równy odwrotnemu stosunkowi odpowiednich wartości drugiej wielkości.
§ 136. Formuła odwrotnej proporcjonalności.
Rozważ problem: „Istnieje 6 kawałków jedwabnej tkaniny o różnych rozmiarach i różnych gatunkach. Wszystkie sztuki są w tej samej cenie. W jednym kawałku 100 m tkaniny w cenie 20 rubli. za metr. Ile metrów znajduje się w każdym z pozostałych pięciu kawałków, jeśli metr tkaniny w tych kawałkach kosztuje odpowiednio 25, 40, 50, 80, 100 rubli? Stwórzmy tabelę, aby rozwiązać ten problem:
Musimy wypełnić puste komórki w górnym rzędzie tej tabeli. Spróbujmy najpierw ustalić, ile metrów znajduje się w drugiej części. Można to zrobić w następujący sposób. Ze stanu problemu wiadomo, że koszt wszystkich sztuk jest taki sam. Koszt pierwszej sztuki jest łatwy do ustalenia: ma 100 m, a każdy metr kosztuje 20 rubli, co oznacza, że w pierwszym kawałku jedwabiu za 2000 rubli. Ponieważ drugi kawałek jedwabiu zawiera taką samą liczbę rubli, dzieląc 2000 rubli. w cenie jednego metra, czyli przy 25, znajdujemy wartość drugiej sztuki: 2000:25 = 80 (m). W ten sam sposób znajdziemy rozmiar wszystkich pozostałych sztuk. Tabela będzie wyglądać tak:
Łatwo zauważyć, że istnieje odwrotna zależność między liczbą metrów a ceną.
Jeśli sam wykonasz niezbędne obliczenia, zauważysz, że za każdym razem musisz dzielić liczbę 2000 przez cenę 1 m. I odwrotnie, jeśli teraz zaczniesz mnożyć wielkość kawałka w metrach przez cenę 1 m, zawsze otrzyma liczbę 2000. i należało się tego spodziewać, ponieważ każda sztuka kosztuje 2000 rubli.
Z tego możemy wyciągnąć następujący wniosek: dla danej pary odwrotnie proporcjonalnych wielkości iloczyn dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiednią wartość innej wielkości jest liczbą stałą (to znaczy niezmienną).
W naszym zadaniu ten iloczyn jest równy 2000. Sprawdź, czy w poprzednim zadaniu, który mówił o szybkości poruszania się i czasie potrzebnym na przejście z jednego miasta do drugiego, była też stała liczba dla tego problemu (1200).
Biorąc pod uwagę wszystko, co zostało powiedziane, łatwo wyprowadzić wzór na odwrotną proporcjonalność. Oznacz literowo jakąś wartość jednej wielkości X , oraz odpowiadająca jej wartość innej wartości - litera w . Następnie na podstawie powyższej pracy X na w musi być równa jakiejś stałej wartości, którą oznaczamy literą W celu, tj.
x y = W celu.
W tej równości X - mnożnik, w - mnożnik i K- praca. Zgodnie z właściwością mnożenia, mnożnik jest równy iloczynowi podzielonemu przez mnożnik. Znaczy,
To jest wzór na odwrotną proporcjonalność. Za jego pomocą możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z odwrotnie proporcjonalnych wielkości, znając wartości drugiej i stałą liczbę W celu.
Rozważ inny problem: „Autor jednego eseju obliczył, że gdyby jego książka była w zwykłym formacie, to miałaby 96 stron, ale jeśli byłaby w formacie kieszonkowym, miałaby 300 stron. Próbował różnych opcji, zaczynał od 96 stron, a potem dostawał 2500 listów na stronę. Następnie wziął liczbę stron wskazaną w poniższej tabeli i ponownie obliczył, ile liter znajdzie się na stronie.
Spróbujmy obliczyć, ile liter będzie na stronie, jeśli książka ma 100 stron.
W całej księdze jest 240 000 liter, ponieważ 2500 96 = 240 000.
Biorąc to pod uwagę, posługujemy się formułą odwrotnej proporcjonalności ( w - liczba liter na stronie X - Numer stron):
W naszym przykładzie W celu= 240 000, zatem
Na stronie jest więc 2400 liter.
Podobnie dowiadujemy się, że jeśli książka ma 120 stron, to liczba liter na stronie będzie wynosić:
Nasz stół będzie wyglądał tak:
Pozostałe komórki wypełnij samodzielnie.
§ 137. Inne sposoby rozwiązywania problemów z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problemy, które obejmowały wielkości odwrotnie proporcjonalne. Wcześniej wyprowadziliśmy wzór na odwrotną proporcjonalność, a następnie zastosowaliśmy ten wzór. Teraz pokażemy dwa inne sposoby rozwiązania takich problemów.
1. Metoda redukcji do jedności.
Zadanie. 5 tokarzy może popracować w 16 dni. W ilu dniach 8 tokarzy może wykonać tę pracę?
Decyzja. Istnieje odwrotna zależność między liczbą tokarek a czasem pracy. Jeśli 5 tokarzy wykona pracę w 16 dni, to jedna osoba będzie potrzebowała na to 5 razy więcej czasu, tj.
5 tokarzy wykonuje pracę w 16 dni,
1 tokarz wykona go w 16 5 = 80 dni.
Problem pyta, za ile dni 8 tokarzy zakończy pracę. Oczywiście wykonają pracę 8 razy szybciej niż 1 tokarz, czyli dla
80: 8 = 10 (dni).
To jest rozwiązanie problemu metodą redukcji do jedności. Tutaj przede wszystkim należało określić czas wykonywania pracy przez jednego pracownika.
2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem w drugi sposób.
Ponieważ istnieje odwrotna zależność między liczbą robotników a czasem pracy, możemy zapisać: czas pracy 5 tokarzy nowa liczba tokarzy (8) czas pracy 8 tokarzy poprzednia liczba tokarzy (5 ) Pożądany czas pracy oznaczmy literą X i zastąp w proporcji wyrażonej słownie niezbędne liczby:
Ten sam problem rozwiązuje metoda proporcji. Aby go rozwiązać, musieliśmy wykonać proporcję liczb zawartych w stanie problemu.
Notatka. W poprzednich akapitach rozważaliśmy kwestię proporcjonalności bezpośredniej i odwrotnej. Natura i życie dają nam wiele przykładów bezpośrednich i odwrotnych proporcji ilości. Należy jednak zauważyć, że te dwa rodzaje zależności są tylko najprostsze. Wraz z nimi istnieją inne, bardziej złożone relacje między wielkościami. Ponadto nie należy myśleć, że jeśli jakiekolwiek dwie wielkości wzrosną jednocześnie, to z konieczności istnieje między nimi bezpośrednia proporcjonalność. To jest dalekie od prawdy. Na przykład opłaty kolejowe rosną wraz z odległością: im dalej podróżujemy, tym więcej płacimy, ale nie oznacza to, że opłata za przejazd jest proporcjonalna do odległości.