Jak rozwiązać równanie logarytmiczne o podstawie. Równania logarytmiczne
Przeczytaj także
Decyzja równania logarytmiczne. Część 1.
Równanie logarytmiczne nazywamy równaniem, w którym niewiadoma zawarta jest pod znakiem logarytmu (w szczególności w podstawie logarytmu).
pierwotniaki równanie logarytmiczne wygląda jak:
Rozwiązywanie dowolnego równania logarytmicznego polega na przejściu od logarytmów do wyrażeń pod znakiem logarytmów. Jednak to działanie rozszerza zakres dozwolone wartości równania i mogą prowadzić do pojawienia się obcych korzeni. Aby uniknąć pojawienia się obcych korzeni możesz to zrobić na jeden z trzech sposobów:
1. Dokonaj równoważnego przejścia od pierwotnego równania do układu zawierającego
w zależności od nierówności lub łatwiej.
Jeśli równanie zawiera niewiadomą u podstawy logarytmu:
następnie przechodzimy do systemu:
2. Oddzielnie znajdź zakres dopuszczalnych wartości równania, a następnie rozwiąż równanie i sprawdź, czy znalezione rozwiązania spełniają równanie.
3. Rozwiąż równanie, a następnie zrób czek: wstaw znalezione rozwiązania do oryginalnego równania i sprawdź, czy otrzymaliśmy poprawną równość.
Równanie logarytmiczne o dowolnym poziomie złożoności zawsze ostatecznie sprowadza się do najprostszego równania logarytmicznego.
Wszystkie równania logarytmiczne można podzielić na cztery typy:
1 . Równania zawierające logarytmy tylko do pierwszej potęgi. Za pomocą przekształceń i użytkowania sprowadzają się do formy
Przykład. Rozwiążmy równanie:
Zrównaj wyrażenia pod znakiem logarytmu:
Sprawdźmy, czy nasz pierwiastek z równania spełnia:
Tak, to satysfakcjonuje.
Odpowiedź: x=5
2 . Równania zawierające logarytmy do potęgi innej niż 1 (w szczególności w mianowniku ułamka). Te równania są rozwiązywane za pomocą wprowadzenie zmiany zmiennej.
Przykład. Rozwiążmy równanie:
Znajdźmy równanie ODZ:
Równanie zawiera logarytmy do kwadratu, więc jest rozwiązywane za pomocą zmiany zmiennej.
Ważny! Przed wprowadzeniem zamiennika musisz „przeciągnąć” logarytmy, które są częścią równania, na „cegiełki”, korzystając z właściwości logarytmów.
Podczas „przeciągania” logarytmów ważne jest, aby bardzo ostrożnie stosować właściwości logarytmów:
Dodatkowo jest tu jeszcze jedno subtelne miejsce i aby uniknąć powszechnego błędu, użyjemy pośredniej równości: zapisujemy stopień logarytmu w tej postaci:
Podobnie,
Otrzymane wyrażenia podstawiamy do pierwotnego równania. Otrzymujemy:
Teraz widzimy, że niewiadoma zawarta jest w równaniu jako część . Wprowadzamy zamiennik: . Ponieważ może przyjąć dowolną rzeczywistą wartość, nie nakładamy na zmienną żadnych ograniczeń.
Dziś nauczymy się rozwiązywać najprostsze równania logarytmiczne, które nie wymagają wstępnych przekształceń i selekcji pierwiastków. Ale jeśli nauczysz się rozwiązywać takie równania, będzie to znacznie łatwiejsze.
Najprostszym równaniem logarytmicznym jest równanie postaci log a f (x) \u003d b, gdzie a, b to liczby (a\u003e 0, a ≠ 1), f (x) to pewna funkcja.
Cechą charakterystyczną wszystkich równań logarytmicznych jest obecność zmiennej x pod znakiem logarytmu. Jeżeli takie równanie jest podane w zadaniu początkowo, nazywa się je najprostszym. Wszelkie inne równania logarytmiczne są redukowane do najprostszych przez specjalne przekształcenia (patrz „Podstawowe właściwości logarytmów”). Należy jednak wziąć pod uwagę wiele subtelności: mogą pojawić się dodatkowe pierwiastki, więc złożone równania logarytmiczne będą rozpatrywane osobno.
Jak rozwiązywać takie równania? Wystarczy zastąpić liczbę po prawej stronie znaku równości logarytmem o tej samej podstawie co po lewej stronie. Wtedy możesz pozbyć się znaku logarytmu. Otrzymujemy:
log a f (x) \u003d b ⇒ log a f (x) \u003d log a a b ⇒ f (x) \u003d a b
Mamy zwykłe równanie. Jego korzenie są korzeniami pierwotnego równania.
Wymowa stopni
Często równania logarytmiczne, które na pozór wyglądają na skomplikowane i groźne, są rozwiązywane w zaledwie kilku wierszach bez angażowania złożone formuły. Dzisiaj zajmiemy się właśnie takimi problemami, w których wystarczy ostrożne sprowadzenie formuły do postaci kanonicznej i nie mylenie się w poszukiwaniu dziedziny definicji logarytmów.
Dziś, jak zapewne wywnioskowaliście z tytułu, równania logarytmiczne rozwiążemy za pomocą wzorów na przejście do postaci kanonicznej. Główną „sztuczką” tej lekcji wideo będzie praca ze stopniami, a raczej wyciągnięcie stopnia z podstawy i argumentu. Spójrzmy na zasadę:
Podobnie możesz wyjąć stopień z bazy:
Jak widać, jeśli wyciągając stopień z argumentu logarytmicznego, mamy po prostu dodatkowy czynnik z przodu, to wyjmując stopień z podstawy, nie jest to tylko czynnik, ale czynnik odwrócony. Trzeba o tym pamiętać.
Wreszcie najciekawsze. Te formuły można łączyć, otrzymujemy:
Oczywiście przy dokonywaniu tych przejść pojawiają się pewne pułapki związane z ewentualnym rozszerzeniem sfery definicji lub odwrotnie, zawężeniem sfery definicji. Sędzia dla siebie:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Jeśli w pierwszym przypadku x może być dowolną liczbą inną niż 0, czyli wymaganiem x ≠ 0, to w drugim przypadku zadowolimy się tylko x, które nie tylko nie są równe, ale są ściśle większe od 0, bo domeną logarytmu jest to, że argument jest ściśle większy od 0. Przypomnę więc wspaniały wzór z kursu algebry w klasach 8-9:
Oznacza to, że musimy napisać naszą formułę w następujący sposób:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Wtedy nie nastąpi zawężenie dziedziny definicji.
Jednak w dzisiejszym samouczku wideo nie będzie kwadratów. Jeśli spojrzysz na nasze zadania, zobaczysz tylko korzenie. Dlatego zastosuj ta reguła nie zrobimy tego, ale nadal należy o tym pamiętać, aby właściwy moment kiedy widzisz funkcja kwadratowa w argumencie lub podstawie logarytmu zapamiętasz tę zasadę i poprawnie wykonasz wszystkie przekształcenia.
Więc pierwsze równanie to:
Aby rozwiązać ten problem, proponuję uważnie przyjrzeć się każdemu z terminów występujących w formule.
Przepiszmy pierwszy wyraz jako potęgę z racjonalny wskaźnik:
Przyglądamy się drugiemu członowi: log 3 (1 − x ). Tutaj nie musisz nic robić, wszystko już się zmienia.
Wreszcie 0, 5. Jak powiedziałem na poprzednich lekcjach, przy rozwiązywaniu równań i wzorów logarytmicznych gorąco polecam przejście od ułamków dziesiętnych do zwykłych. Zróbmy to:
0,5 = 5/10 = 1/2
Przepiszmy naszą oryginalną formułę biorąc pod uwagę uzyskane terminy:
log 3 (1 − x ) = 1
Przejdźmy teraz do formy kanonicznej:
log 3 (1 − x ) = log 3 3
Pozbądź się znaku logarytmu, zrównując argumenty:
1 − x = 3
-x = 2
x = -2
To wszystko, rozwiązaliśmy równanie. Jednak nadal bawmy się bezpiecznie i znajdźmy domenę definicji. Aby to zrobić, wróćmy do oryginalnej formuły i zobaczmy:
1 − x > 0
-x > -1
x< 1
Nasz pierwiastek x = -2 spełnia ten wymóg, więc x = -2 jest rozwiązaniem pierwotnego równania. Teraz mamy ścisłe i jasne uzasadnienie. Wszystko, zadanie rozwiązane.
Przejdźmy do drugiego zadania:
Zajmijmy się każdym terminem osobno.
Piszemy pierwszy:
Zmodyfikowaliśmy pierwszy termin. Współpracujemy z drugim semestrem:
Wreszcie ostatni wyraz, znajdujący się na prawo od znaku równości:
Otrzymane wyrażenia zastępujemy terminami w wynikowej formule:
log 3 x = 1
Przechodzimy do formy kanonicznej:
log 3 x = log 3 3
Pozbywamy się znaku logarytmu przez zrównanie argumentów i otrzymujemy:
x=3
Ponownie, na wszelki wypadek, bądźmy ostrożni, wróćmy do pierwotnego równania i zobaczmy. W oryginalnej formule zmienna x występuje tylko w argumencie, dlatego
x > 0
W drugim logarytmie x jest pod pierwiastkiem, ale znowu w argumencie, zatem pierwiastek musi być większy od 0, czyli wyrażenie pierwiastka musi być większe od 0. Patrzymy na nasz pierwiastek x = 3. Oczywiście, spełnia ten wymóg. Dlatego x = 3 jest rozwiązaniem pierwotnego równania logarytmicznego. Wszystko, zadanie rozwiązane.
W dzisiejszym samouczku wideo są dwa kluczowe punkty:
1) nie bój się przeliczać logarytmów, a w szczególności nie bój się zdejmować stopni ze znaku logarytmu, pamiętając o naszej podstawowej formule: usuwając stopień z argumentu, po prostu usuwa się go bez zmienia się jako czynnik, a po wyjęciu stopnia z podstawy stopień ten jest odwracany.
2) drugi punkt dotyczy formy samokanonicznej. Przejście do postaci kanonicznej wykonaliśmy na samym końcu transformacji wzoru równania logarytmicznego. Przypomnij sobie następujący wzór:
a = log b b a
Oczywiście przez wyrażenie „dowolna liczba b” mam na myśli te liczby, które spełniają wymagania nałożone na podstawie logarytmu, czyli
1 b > 0
Dla takiego b , a skoro znamy już bazę, to wymaganie to zostanie spełnione automatycznie. Ale dla takiego b - dowolnego, które spełnia ten warunek - przejście to może być wykonane i otrzymujemy formę kanoniczną, w której możemy pozbyć się znaku logarytmu.
Rozszerzenie dziedziny definicji i dodatkowych korzeni
W procesie przekształcania równań logarytmicznych może nastąpić niejawne rozszerzenie dziedziny definicji. Często uczniowie nawet tego nie zauważają, co prowadzi do błędów i błędnych odpowiedzi.
Zacznijmy od najprostszych projektów. Najprostsze równanie logarytmiczne jest następujące:
log a f(x) = b
Zauważ, że x występuje tylko w jednym argumencie jednego logarytmu. Jak rozwiązujemy takie równania? Używamy formy kanonicznej. Aby to zrobić, reprezentujemy liczbę b \u003d log a a b, a nasze równanie zostanie przepisane w następującej formie:
log a f(x) = log a a b
Ten zapis nazywa się formą kanoniczną. Do tego należy zredukować każde równanie logarytmiczne, które spotkasz nie tylko na dzisiejszej lekcji, ale także w każdej samodzielnej i kontrolnej pracy.
Jak dojść do formy kanonicznej, jakich technik użyć – to już kwestia praktyki. Najważniejsze, aby zrozumieć: jak tylko otrzymasz taki zapis, możemy założyć, że problem został rozwiązany. Ponieważ kolejnym krokiem jest napisanie:
f(x) = a b
Innymi słowy, pozbywamy się znaku logarytmu i po prostu zrównujemy argumenty.
Po co cała ta rozmowa? Faktem jest, że forma kanoniczna ma zastosowanie nie tylko do najprostszych problemów, ale także do wszystkich innych. W szczególności do tych, do których dzisiaj poruszymy. Przyjrzyjmy się.
Pierwsze zadanie:
Jaki jest problem z tym równaniem? Fakt, że funkcja jest w dwóch logarytmach naraz. Problem można zredukować do najprostszego, po prostu odejmując jeden logarytm od drugiego. Ale są problemy z dziedziną definicji: mogą pojawić się dodatkowe korzenie. Przesuńmy więc jeden z logarytmów w prawo:
Tutaj taki zapis jest już znacznie bardziej zbliżony do formy kanonicznej. Ale jest jeszcze jeden niuans: w formie kanonicznej argumenty muszą być takie same. I mamy logarytm o podstawie 3 po lewej stronie i logarytm o podstawie 1/3 po prawej stronie. Wiesz, musisz sprowadzić te bazy do tej samej liczby. Na przykład pamiętajmy, jakie są ujemne wykładniki:
A następnie użyjemy wykładnika „-1” poza dziennikiem jako mnożnika:
Uwaga: stopień, który stał u podstawy, jest odwracany i zamienia się w ułamek. Pozbyliśmy się prawie kanonicznej notacji, pozbywając się różnych zasad, ale zamiast tego otrzymaliśmy czynnik „−1” po prawej stronie. Dodajmy ten czynnik do argumentu, zamieniając go w potęgę:
Oczywiście, otrzymawszy formę kanoniczną, śmiało przekreślamy znak logarytmu i zrównujemy argumenty. Jednocześnie przypomnę, że po podniesieniu do potęgi „−1” ułamek po prostu się odwraca - uzyskuje się proporcję.
Wykorzystajmy główną właściwość proporcji i pomnóżmy ją w poprzek:
(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)
2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20
2x2 - 9x + 4 = 3x2 - 19x + 20
x2 − 10x + 16 = 0
Przed nami jest równanie kwadratowe, więc rozwiązujemy go za pomocą formuł Vieta:
(x − 8)(x − 2) = 0
x 1 = 8; x2 = 2
To wszystko. Czy uważasz, że równanie jest rozwiązane? Nie! Za takie rozwiązanie otrzymamy 0 punktów, ponieważ w pierwotnym równaniu są dwa logarytmy ze zmienną x naraz. Dlatego konieczne jest uwzględnienie dziedziny definicji.
I tu zaczyna się zabawa. Większość studentów jest zdezorientowana: jaka jest domena logarytmu? Oczywiście wszystkie argumenty (mamy dwa) muszą być większe od zera:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Każdą z tych nierówności trzeba rozwiązać, zaznaczyć na linii prostej, przeciąć – i dopiero wtedy zobaczyć, jakie korzenie leżą na przecięciu.
Będę szczery: ta technika ma prawo istnieć, jest niezawodna i otrzymasz właściwą odpowiedź, ale jest w niej zbyt wiele dodatkowych kroków. Przejdźmy więc ponownie przez nasze rozwiązanie i zobaczmy: gdzie dokładnie chcesz zastosować zakres? Innymi słowy, musisz dokładnie zrozumieć, kiedy pojawiają się dodatkowe korzenie.
- Początkowo mieliśmy dwa logarytmy. Następnie przesunęliśmy jeden z nich w prawo, ale nie wpłynęło to na obszar definicji.
- Następnie usuwamy potęgę z podstawy, ale nadal są dwa logarytmy, a każdy z nich zawiera zmienną x .
- Na koniec przekreślamy znaki dziennika i otrzymujemy klasykę ułamkowe równanie wymierne.
To na ostatnim etapie poszerza się dziedzina definicji! Gdy tylko przeszliśmy na ułamkowe równanie wymierne, pozbywając się znaków logarytmu, wymagania dla zmiennej x zmieniły się dramatycznie!
Dlatego dziedzinę definicji można rozpatrywać nie na samym początku rozwiązania, a dopiero na wspomnianym kroku – zanim bezpośrednio zrównamy argumenty.
W tym właśnie tkwi szansa na optymalizację. Z jednej strony wymaga się, aby oba argumenty były większe od zera. Z drugiej strony dalej zrównujemy te argumenty. Dlatego jeśli przynajmniej jeden z nich jest pozytywny, to drugi również będzie pozytywny!
Okazuje się więc, że wymaganie wypełnienia dwóch nierówności naraz jest przesadą. Wystarczy wziąć pod uwagę tylko jedną z tych frakcji. Który? Ten, który jest łatwiejszy. Na przykład spójrzmy na właściwy ułamek:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Jest to typowa ułamkowa nierówność wymierna, rozwiązujemy ją metodą przedziałową:
Jak umieszczać znaki? Weźmy liczbę, która jest oczywiście większa niż wszystkie nasze korzenie. Na przykład 1 miliard i podstawiamy jego ułamek. Otrzymujemy liczbę dodatnią, tj. na prawo od pierwiastka x = 5 będzie znak plus.
Potem znaki się zmieniają, ponieważ nigdzie nie ma korzeni nawet mnogości. Interesują nas przedziały, w których funkcja jest dodatnia. Stąd x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Zapamiętajmy teraz odpowiedzi: x = 8 i x = 2. Ściśle mówiąc, nie są to jeszcze odpowiedzi, a jedynie kandydatki na odpowiedź. Który należy do określonego zestawu? Oczywiście x = 8. Ale x = 2 nie odpowiada nam z punktu widzenia dziedziny definicji.
W sumie odpowiedź na pierwsze równanie logarytmiczne będzie wynosić x = 8. Teraz mamy kompetentne, rozsądne rozwiązanie, uwzględniające dziedzinę definicji.
Przejdźmy do drugiego równania:
log 5 (x - 9) = log 0.5 4 - log 5 (x - 5) + 3
Przypominam, że jeśli w równaniu jest ułamek dziesiętny, to powinieneś się go pozbyć. Innymi słowy, przepiszmy 0.5 jako zwykły ułamek. Od razu zauważamy, że logarytm zawierający tę podstawę jest łatwy do rozważenia:
To bardzo ważny moment! Gdy mamy stopnie zarówno w podstawie, jak i w argumencie, możemy wyliczyć wskaźniki tych stopni za pomocą wzoru:
Wracamy do naszego pierwotnego równania logarytmicznego i przepisujemy je:
log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)
Otrzymaliśmy konstrukcję dość zbliżoną do formy kanonicznej. Jednak mylą nas terminy i znak minus na prawo od znaku równości. Reprezentujmy jedność jako logarytm o podstawie 5:
log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)
Odejmij logarytmy po prawej stronie (gdy ich argumenty są podzielone):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Doskonale. Więc mamy formę kanoniczną! Przekreślamy znaki dziennika i porównujemy argumenty:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Jest to proporcja, którą łatwo rozwiązać przez mnożenie krzyżowe:
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 - 9x - 5x + 45 = 5
x2 − 14x + 40 = 0
Oczywiście mamy dane równanie kwadratowe. Można to łatwo rozwiązać za pomocą formuł Vieta:
(x − 10)(x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Mamy dwa korzenie. Ale to nie są ostateczne odpowiedzi, a jedynie kandydatki, bo równanie logarytmiczne wymaga również sprawdzenia dziedziny.
Przypominam: nie patrz kiedy każdy argumentów będzie większa od zera. Wystarczy wymagać, aby jeden argument, x - 9 lub 5/(x - 5), był większy od zera. Rozważ pierwszy argument:
x − 9 > 0
x > 9
Oczywiście warunek ten spełnia tylko x = 10. To jest ostateczna odpowiedź. Wszystkie problemy rozwiązane.
Po raz kolejny główne idee dzisiejszej lekcji:
- Gdy tylko zmienna x pojawi się w kilku logarytmach, równanie przestaje być elementarne, a do tego konieczne jest obliczenie dziedziny definicji. W przeciwnym razie możesz łatwo wpisać w odpowiedzi dodatkowe korzenie.
- Praca z samą dziedziną definicji można znacznie uprościć, jeśli nierówność nie zostanie zapisana od razu, ale dokładnie w momencie, gdy pozbędziemy się znaków logu. Wszakże przy zrównaniu argumentów wystarczy wymagać, aby tylko jeden z nich był większy od zera.
Oczywiście sami wybieramy, z którego argumentu stworzyć nierówność, więc logiczne jest wybranie najprostszego. Na przykład w drugim równaniu wybraliśmy argument (x − 9) − funkcja liniowa, w przeciwieństwie do ułamkowo racjonalnego drugiego argumentu. Zgadzam się, rozwiązanie nierówności x − 9 > 0 jest znacznie łatwiejsze niż 5/(x − 5) > 0. Chociaż wynik jest taki sam.
Ta uwaga znacznie upraszcza wyszukiwanie ODZ, ale bądź ostrożny: możesz użyć jednej nierówności zamiast dwóch tylko wtedy, gdy argumenty są precyzyjne utożsamiają się ze sobą!
Oczywiście ktoś teraz zapyta: co dzieje się inaczej? Tak czasem. Na przykład w samym kroku, gdy pomnożymy dwa argumenty zawierające zmienną, istnieje niebezpieczeństwo dodatkowych pierwiastków.
Oceń sam: na początku wymagane jest, aby każdy z argumentów był większy od zera, ale po mnożeniu wystarczy, aby ich iloczyn był większy od zera. W rezultacie pominięto przypadek, w którym każda z tych frakcji jest ujemna.
Dlatego jeśli dopiero zaczynasz zajmować się złożonymi równaniami logarytmicznymi, w żadnym wypadku nie mnożyj logarytmów zawierających zmienną x - zbyt często doprowadzi to do dodatkowych pierwiastków. Lepiej zrób jeden dodatkowy krok, przenieś jeden termin na drugą stronę, stwórz formę kanoniczną.
A co zrobić, jeśli nie da się obejść bez mnożenia takich logarytmów, omówimy w następnym samouczku wideo :)
Jeszcze raz o mocach w równaniu
Dzisiaj przeanalizujemy dość śliski temat dotyczący równań logarytmicznych, a raczej usuwania potęg z argumentów i podstaw logarytmów.
Powiedziałbym nawet, że porozmawiamy o wyliczaniu parzystych potęg, ponieważ to z parzystymi potęgami pojawia się większość trudności przy rozwiązywaniu rzeczywistych równań logarytmicznych.
Zacznijmy Forma kanoniczna. Powiedzmy, że mamy równanie takie jak log a f (x) = b. W tym przypadku przepisujemy liczbę b zgodnie ze wzorem b = log a a b . Okazuje się, że:
log a f(x) = log a a b
Następnie zrównujemy argumenty:
f(x) = a b
Przedostatnia formuła nazywa się formą kanoniczną. To dla niej starają się zredukować każde równanie logarytmiczne, bez względu na to, jak skomplikowane i straszne może się wydawać na pierwszy rzut oka.
Tutaj spróbujmy. Zacznijmy od pierwszego zadania:
Uwaga wstępna: jak powiedziałem, wszyscy ułamki dziesiętne w równaniu logarytmicznym lepiej przetłumaczyć je na zwykłe:
0,5 = 5/10 = 1/2
Przepiszmy nasze równanie, mając na uwadze ten fakt. Zauważ, że zarówno 1/1000, jak i 100 to potęgi liczby 10, a następnie pobieramy potęgi z dowolnego miejsca: z argumentów, a nawet z podstawy logarytmów:
I tu dla wielu uczniów pojawia się pytanie: „Skąd się wziął moduł po prawej?” Rzeczywiście, dlaczego po prostu nie napisać (x − 1)? Oczywiście teraz napiszemy (x − 1), ale prawo do takiego zapisu daje nam ujęcie dziedziny definicji. W końcu drugi logarytm zawiera już (x − 1), a to wyrażenie musi być większe od zera.
Ale kiedy wyjmiemy kwadrat z podstawy logarytmu, musimy pozostawić moduł u podstawy. Wyjaśnię dlaczego.
Faktem jest, że z punktu widzenia matematyki uzyskanie stopnia naukowego jest równoznaczne z zakorzenieniem się. W szczególności, gdy wyrażenie (x − 1) 2 jest podniesione do kwadratu, zasadniczo wyciągamy pierwiastek drugiego stopnia. Ale pierwiastek kwadratowy to nic innego jak moduł. Dokładnie tak moduł, bo nawet jeśli wyrażenie x - 1 jest ujemne, przy kwadracie "minus" nadal będzie się palić. Dalsze wydobycie korzenia da nam liczbę dodatnią - już bez żadnych minusów.
Ogólnie, aby uniknąć obraźliwych błędów, pamiętaj raz na zawsze:
Korzeń parzystego stopnia z dowolnej funkcji podniesionej do tej samej potęgi jest równy nie samej funkcji, ale jej modułowi:
Wracamy do naszego równania logarytmicznego. Mówiąc o module argumentowałem, że możemy go bezboleśnie usunąć. To prawda. Teraz wyjaśnię dlaczego. Ściśle mówiąc, musieliśmy rozważyć dwie opcje:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Każda z tych opcji wymagałaby rozważenia. Ale jest jeden haczyk: oryginalna formuła zawiera już funkcję (x − 1) bez żadnego modułu. I podążając za dziedziną definicji logarytmów, mamy prawo od razu zapisać, że x − 1 > 0.
Wymóg ten musi być spełniony niezależnie od modułów i innych przekształceń, jakie wykonujemy w procesie rozwiązania. Dlatego nie ma sensu rozważać drugiej opcji - nigdy się nie pojawi. Nawet jeśli przy rozwiązywaniu tej gałęzi nierówności otrzymamy jakieś liczby, to i tak nie zostaną one uwzględnione w ostatecznej odpowiedzi.
Teraz jesteśmy dosłownie o krok od kanonicznej postaci równania logarytmicznego. Reprezentujmy jednostkę w następujący sposób:
1 = log x − 1 (x − 1) 1
Dodatkowo do argumentu wprowadzamy czynnik -4, który znajduje się po prawej stronie:
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego. Pozbądź się znaku logarytmu:
10 −4 = x − 1
Ale ponieważ podstawą była funkcja (a nie liczba pierwsza), dodatkowo wymagamy, aby ta funkcja była większa od zera, a nie równa jedynce. Pobierz system:
Ponieważ warunek x − 1 > 0 jest automatycznie spełniony (bo x − 1 = 10 −4), jedną z nierówności można usunąć z naszego systemu. Drugi warunek można również przekreślić, ponieważ x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Jest to jedyny pierwiastek, który automatycznie spełnia wszystkie wymagania dla dziedziny definicji logarytmu (jednak wszystkie wymagania zostały wyeliminowane jako świadomie spełnione w warunkach naszego problemu).
Więc drugie równanie to:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Czym to równanie zasadniczo różni się od poprzedniego? Już choćby przez to, że podstawy logarytmów – 3x i 9x – nie są sobą naturalnymi potęgami. Dlatego przejście, które zastosowaliśmy w poprzednim rozwiązaniu, nie jest możliwe.
Pozbądźmy się przynajmniej stopni. W naszym przypadku jedyna siła tkwi w drugim argumencie:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Jednak znak modułu można usunąć, ponieważ zmienna x znajduje się również w bazie, tj. x > 0 ⇒ |x| = x. Przepiszmy nasze równanie logarytmiczne:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Mamy logarytmy, w których argumenty są takie same, ale z różnych powodów. Jak postępować? Jest tu wiele opcji, ale rozważymy tylko dwie z nich, które są najbardziej logiczne, a co najważniejsze, są to szybkie i zrozumiałe triki dla większości uczniów.
Rozważaliśmy już pierwszą opcję: w każdej niezrozumiałej sytuacji przetłumacz logarytmy o zmiennej podstawie na jakąś stałą podstawę. Na przykład do dwójki. Formuła konwersji jest prosta:
Oczywiście liczba normalna powinna działać jako zmienna c: 1 ≠ c > 0. W naszym przypadku niech c = 2. Teraz mamy zwykłe ułamkowe równanie wymierne. Zbieramy wszystkie elementy po lewej:
Oczywiście lepiej jest usunąć czynnik log 2 x, ponieważ występuje on zarówno w pierwszej, jak i drugiej frakcji.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Każdy dziennik dzielimy na dwa terminy:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Przepiszmy obie strony równości, biorąc pod uwagę te fakty:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Teraz pozostaje dodać dwójkę pod znakiem logarytmu (zamieni się w potęgę: 3 2 \u003d 9):
log 2 9 = log 2 x
Przed nami klasyczna forma kanoniczna, pozbywamy się znaku logarytmu i otrzymujemy:
Zgodnie z oczekiwaniami ten korzeń okazał się większy od zera. Pozostaje sprawdzić dziedzinę definicji. Spójrzmy na podstawy:
Ale pierwiastek x = 9 spełnia te wymagania. Dlatego jest to ostateczna decyzja.
Wniosek z ta decyzja proste: nie bój się długich obliczeń! Tyle, że na samym początku losowo wybraliśmy nową bazę - a to znacząco skomplikowało proces.
Ale wtedy pojawia się pytanie: jaka jest podstawa optymalny? Opowiem o tym w drugi sposób.
Wróćmy do naszego pierwotnego równania:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Zastanówmy się teraz trochę: jaka liczba lub funkcja będzie optymalną bazą? To oczywiste, że najlepsza opcja będzie c = x - co już jest w argumentach. W takim przypadku formuła log a b = log c b / log c a przyjmie postać:
Innymi słowy, wyrażenie jest po prostu odwrócone. W tym przypadku argument i podstawa są odwrócone.
Formuła ta jest bardzo przydatna i bardzo często wykorzystywana do rozwiązywania złożonych równań logarytmicznych. Jednak przy użyciu tej formuły jest jedna bardzo poważna pułapka. Jeśli zamiast bazy podstawimy zmienną x, to nałożone zostaną na nią ograniczenia, których wcześniej nie przestrzegano:
W pierwotnym równaniu nie było takiego ograniczenia. Dlatego powinniśmy osobno sprawdzić przypadek, gdy x = 1. Podstaw tę wartość w naszym równaniu:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Otrzymujemy poprawną równość liczbową. Dlatego x = 1 jest pierwiastkiem. Dokładnie ten sam korzeń znaleźliśmy w poprzedniej metodzie na samym początku rozwiązania.
Ale teraz, kiedy osobno to rozważyliśmy szczególny przypadek, bezpiecznie zakładamy, że x ≠ 1. Wtedy nasze równanie logarytmiczne zostanie przepisane w postaci:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Oba logarytmy rozwijamy według tego samego wzoru co poprzednio. Zauważ, że log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 log x 3 = 1
Tutaj dochodzimy do formy kanonicznej:
log x 9 = log x x 1
x=9
Mamy drugi korzeń. Spełnia warunek x ≠ 1. Zatem x = 9 wraz z x = 1 jest ostateczną odpowiedzią.
Jak widać, ilość obliczeń nieco się zmniejszyła. Ale przy rozwiązywaniu prawdziwego równania logarytmicznego liczba kroków będzie znacznie mniejsza również dlatego, że nie musisz opisywać każdego kroku tak szczegółowo.
Kluczowa zasada dzisiejszej lekcji jest następująca: jeśli w zadaniu występuje parzysty stopień, z którego wydobywany jest pierwiastek tego samego stopnia, to na wyjściu otrzymamy moduł. Jednak ten moduł można usunąć, jeśli zwrócisz uwagę na dziedzinę definicji logarytmów.
Ale bądź ostrożny: większość uczniów po tej lekcji myśli, że wszystko rozumie. Ale przy rozwiązywaniu rzeczywistych problemów nie są w stanie odtworzyć całości łańcuch logiczny. W rezultacie równanie zyskuje dodatkowe pierwiastki, a odpowiedź jest błędna.
Tym filmem rozpoczynam długą serię lekcji na temat równań logarytmicznych. Teraz masz od razu trzy przykłady, na podstawie których nauczymy się rozwiązywać najwięcej proste zadania, które nazywają się pierwotniaki.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Przypomnę, że najprostsze równanie logarytmiczne jest następujące:
log a f(x) = b
Ważne jest, aby zmienna x była obecna tylko wewnątrz argumentu, czyli tylko w funkcji f(x). A liczby a i b są tylko liczbami iw żadnym wypadku nie są funkcjami zawierającymi zmienną x.
Podstawowe metody rozwiązywania
Istnieje wiele sposobów rozwiązania takich struktur. Na przykład większość nauczycieli w szkole sugeruje w ten sposób: natychmiast wyrazić funkcję f ( x ) za pomocą wzoru f( x ) = a b . Oznacza to, że gdy spotkasz najprostszą konstrukcję, możesz od razu przejść do rozwiązania bez dodatkowych działań i konstrukcji.
Tak, oczywiście decyzja okaże się słuszna. Jednak problem z tą formułą polega na tym, że większość studentów nie rozumiem, skąd się to bierze i dlaczego dokładnie podnosimy literę a do litery b.
W efekcie często obserwuję bardzo obraźliwe błędy, gdy np. te litery są zamieniane. Ta formuła musisz albo zrozumieć, albo wkuwać, a druga metoda prowadzi do błędów w najbardziej nieodpowiednich i najważniejszych momentach: na egzaminach, testach itp.
Dlatego sugeruję wszystkim moim uczniom porzucenie standardowej szkolnej formuły i zastosowanie drugiego podejścia do rozwiązywania równań logarytmicznych, które, jak zapewne zgadliście z nazwy, nazywa się Forma kanoniczna.
Idea formy kanonicznej jest prosta. Spójrzmy jeszcze raz na nasze zadanie: po lewej stronie mamy log a , natomiast litera a oznacza dokładnie liczbę, aw żadnym wypadku funkcję zawierającą zmienną x. Dlatego niniejsza litera podlega wszystkim ograniczeniom nałożonym na podstawie logarytmu. mianowicie:
1 ≠ a > 0
Z drugiej strony z tego samego równania widzimy, że logarytm musi być równy liczbie b, a na tę literę nie nakłada się żadnych ograniczeń, ponieważ może ona przyjmować dowolną wartość - zarówno dodatnią, jak i ujemną. Wszystko zależy od tego, jakie wartości przyjmuje funkcja f(x).
I tutaj pamiętamy naszą cudowną zasadę, że każdą liczbę b można przedstawić jako logarytm o podstawie a od a do potęgi b:
b = log a a b
Jak zapamiętać tę formułę? Tak, bardzo proste. Napiszmy następującą konstrukcję:
b = b 1 = b log a a
Oczywiście w tym przypadku powstają wszystkie ograniczenia, które zapisaliśmy na początku. A teraz użyjmy podstawowej własności logarytmu i wprowadźmy czynnik b jako potęgę a. Otrzymujemy:
b = b 1 = b log a a = log a a b
W rezultacie oryginalne równanie zostanie przepisane w następującej postaci:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To wszystko. Nowa funkcja nie zawiera już logarytmu i jest rozwiązywana standardowymi technikami algebraicznymi.
Oczywiście, ktoś się teraz sprzeciwi: po co w ogóle trzeba było wymyślać jakąś formułę kanoniczną, po co wykonywać dwa dodatkowe niepotrzebne kroki, skoro można było od razu przejść od pierwotnej konstrukcji do końcowej formuły? Tak, choćby dlatego, że większość uczniów nie rozumie, skąd się wzięła ta formuła i w rezultacie regularnie popełnia błędy przy jej stosowaniu.
Ale taka sekwencja działań, składająca się z trzech kroków, pozwala rozwiązać pierwotne równanie logarytmiczne, nawet jeśli nie rozumiesz, skąd pochodzi ta ostateczna formuła. Nawiasem mówiąc, ten wpis nazywa się formułą kanoniczną:
log a f(x) = log a a b
Wygoda formy kanonicznej polega również na tym, że można ją wykorzystać do rozwiązywania bardzo szerokiej klasy równań logarytmicznych, a nie tylko tych najprostszych, o których dzisiaj mówimy.
Przykłady rozwiązań
A teraz zastanówmy się prawdziwe przykłady. Zdecydujmy więc:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Przepiszmy to tak:
log 0.5 (3x − 1) = log 0.5 0.5 −3
Wielu uczniów śpieszy się i próbuje natychmiast podnieść liczbę 0,5 do mocy, która przyszła do nas z pierwotnego problemu. I rzeczywiście, kiedy jesteś już dobrze przeszkolony w rozwiązywaniu takich problemów, możesz natychmiast wykonać ten krok.
Jeśli jednak teraz dopiero zaczynasz studiować ten temat, lepiej nigdzie się nie spieszyć, aby nie popełniać obraźliwych błędów. Mamy więc formę kanoniczną. Mamy:
3x - 1 = 0,5 -3
Nie jest to już równanie logarytmiczne, ale liniowe względem zmiennej x. Aby to rozwiązać, zajmijmy się najpierw liczbą 0,5 do potęgi -3. Zauważ, że 0,5 to 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Konwertuj wszystkie ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe podczas rozwiązywania równania logarytmicznego.
Przepisujemy i otrzymujemy:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Wszystko mamy odpowiedź. Pierwsze zadanie rozwiązane.
Drugie zadanie
Przejdźmy do drugiego zadania:
Jak widać, to równanie nie jest już najprostsze. Choćby dlatego, że różnica jest po lewej stronie, a nie jednego logarytmu w jednej podstawie.
Dlatego musisz jakoś pozbyć się tej różnicy. W ta sprawa wszystko jest bardzo proste. Przyjrzyjmy się bliżej podstawom: po lewej stronie znajduje się liczba pod pierwiastkiem:
Zalecenie ogólne: we wszystkich równaniach logarytmicznych postaraj się pozbyć pierwiastków, czyli wpisów z pierwiastkami i przejdź do funkcje zasilania, po prostu dlatego, że wykładniki tych potęg są łatwo usuwane ze znaku logarytmu, a w końcu taki zapis znacznie upraszcza i przyspiesza obliczenia. Napiszmy to tak:
Teraz przypominamy sobie niezwykłą właściwość logarytmu: z argumentu, jak iz podstawy, można wyciągnąć stopnie. W przypadku podstaw dzieje się co następuje:
log a k b = 1/k loga b
Innymi słowy, liczba, która stała w stopniu podstawy, jest przesuwana do przodu i jednocześnie odwracana, czyli staje się odwrotnością liczby. W naszym przypadku wystąpił stopień podstawy ze wskaźnikiem 1/2. Dlatego możemy go wyjąć jako 2/1. Otrzymujemy:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Uwaga: w żadnym wypadku nie należy pozbywać się logarytmów na tym etapie. Pomyśl o matematyce w klasach 4-5 i kolejności działań: najpierw wykonuje się mnożenie, a dopiero potem wykonuje się dodawanie i odejmowanie. W tym przypadku odejmujemy jeden z tych samych elementów od 10 elementów:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Teraz nasze równanie wygląda tak, jak powinno. To jest najprostszy projekt, a rozwiązujemy to za pomocą postaci kanonicznej:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
To wszystko. Drugi problem został rozwiązany.
Trzeci przykład
Przejdźmy do trzeciego zadania:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Przypomnij sobie następujący wzór:
log b = log 10 b
Jeśli z jakiegoś powodu jesteś zdezorientowany, pisząc lg b , to podczas wykonywania wszystkich obliczeń możesz po prostu napisać log 10 b . Możesz pracować z logarytmami dziesiętnymi w taki sam sposób, jak z innymi: usuń potęgi, dodaj i reprezentuj dowolną liczbę jako lg 10.
To właśnie te właściwości wykorzystamy teraz do rozwiązania problemu, ponieważ nie jest to najprostszy, który zapisaliśmy na samym początku naszej lekcji.
Na początek zauważ, że czynnik 2 przed lg 5 może być wstawiony i staje się potęgą o podstawie 5. Ponadto wyraz wolny 3 można również przedstawić jako logarytm - jest to bardzo łatwe do zaobserwowania z naszego zapisu.
Oceń sam: dowolna liczba może być reprezentowana jako log do podstawy 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Przepiszmy oryginalny problem, biorąc pod uwagę otrzymane zmiany:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
Przed nami znowu forma kanoniczna, a otrzymaliśmy ją z pominięciem etapu przekształceń, tj. najprostsze równanie logarytmiczne nigdzie u nas nie wyszło.
O tym mówiłem na samym początku lekcji. Forma kanoniczna umożliwia rozwiązywanie szerszej klasy problemów niż standardowa formuła szkolna, którą podaje większość nauczycieli szkolnych.
To wszystko, pozbywamy się znaku logarytmu dziesiętnego i otrzymujemy prostą konstrukcję liniową:
x + 3 = 25 000
x = 24997
Wszystko! Problem rozwiązany.
Uwaga na temat zakresu
W tym miejscu chciałbym poczynić ważną uwagę dotyczącą dziedziny definicji. Z pewnością teraz są uczniowie i nauczyciele, którzy powiedzą: „Kiedy rozwiązujemy wyrażenia logarytmami, należy pamiętać, że argument f (x) musi być większy od zera!” W związku z tym pojawia się logiczne pytanie: dlaczego w żadnym z rozważanych problemów nie wymagaliśmy zaspokojenia tej nierówności?
Nie martw się. W takich przypadkach nie pojawią się żadne dodatkowe korzenie. A to kolejna świetna sztuczka, która pozwala przyspieszyć rozwiązanie. Wystarczy wiedzieć, że jeśli w zadaniu zmienna x występuje tylko w jednym miejscu (a raczej w jedynym argumencie jedynego logarytmu), a nigdzie indziej w naszym przypadku zmienna x nie występuje, to napisz domenę niekoniecznie ponieważ uruchomi się automatycznie.
Oceń sam: w pierwszym równaniu otrzymaliśmy 3x-1, czyli argument powinien być równy 8. To automatycznie oznacza, że 3x-1 będzie większe od zera.
Z takim samym sukcesem możemy napisać, że w drugim przypadku x musi być równe 5 2, czyli na pewno jest większe od zera. A w trzecim przypadku, gdzie x + 3 = 25 000, czyli znowu oczywiście większe od zera. Innymi słowy, zakres jest automatyczny, ale tylko wtedy, gdy x występuje tylko w argumencie tylko jednego logarytmu.
To wszystko, co musisz wiedzieć, aby rozwiązać proste problemy. Sama ta reguła, wraz z regułami transformacji, pozwoli Ci rozwiązać bardzo szeroką klasę problemów.
Ale bądźmy szczerzy: aby w końcu zrozumieć tę technikę, aby nauczyć się stosować kanoniczną postać równania logarytmicznego, nie wystarczy obejrzeć jedną lekcję wideo. Pobierz teraz opcje dla niezależne rozwiązanie, które są dołączone do tego samouczka wideo i rozpoczynają rozwiązywanie przynajmniej jednej z tych dwóch niezależnych prac.
Zajmie Ci to tylko kilka minut. Ale efekt takiego treningu będzie znacznie wyższy w porównaniu do tego, gdybyś właśnie obejrzał ten samouczek wideo.
Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci zrozumieć równania logarytmiczne. Zastosuj formę kanoniczną, uprość wyrażenia korzystając z reguł pracy z logarytmami - a nie będziesz się bał żadnych zadań. I to wszystko, co mam na dziś.
Rozważanie zakresu
Porozmawiajmy teraz o dziedzinie funkcji logarytmicznej, a także o tym, jak wpływa ona na rozwiązanie równań logarytmicznych. Rozważ konstrukcję formularza
log a f(x) = b
Takie wyrażenie nazywa się najprostszym - ma tylko jedną funkcję, a liczby a i b to tylko liczby iw żadnym wypadku nie są funkcją zależną od zmiennej x. Rozwiązuje się to bardzo prosto. Wystarczy użyć wzoru:
b = log a a b
Ta formuła jest jedną z kluczowych właściwości logarytmu, a po podstawieniu do naszego oryginalnego wyrażenia otrzymujemy:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
To już znana formuła z podręczników szkolnych. Wielu uczniów prawdopodobnie będzie miało pytanie: ponieważ funkcja f ( x ) w oryginalnym wyrażeniu znajduje się pod znakiem log, nakładane są na nią następujące ograniczenia:
f(x) > 0
To ograniczenie ma zastosowanie, ponieważ logarytm liczby ujemne nie istnieje. Więc może z powodu tego ograniczenia powinieneś wprowadzić czek na odpowiedzi? Może trzeba je zastąpić w źródle?
Nie, w najprostszych równaniach logarytmicznych dodatkowa kontrola jest zbędna. I własnie dlatego. Spójrz na naszą ostateczną formułę:
f(x) = a b
Faktem jest, że liczba a w każdym przypadku jest większa od 0 - ten wymóg również nakłada logarytm. Liczba a to podstawa. W takim przypadku liczba b nie podlega żadnym ograniczeniom. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ bez względu na stopień podniesienia liczby dodatniej, na wyjściu nadal otrzymamy liczbę dodatnią. W ten sposób warunek f (x) > 0 jest spełniony automatycznie.
To, co naprawdę warto sprawdzić, to zakres funkcji pod znakiem logu. Mogą istnieć dość złożone projekty i w trakcie ich rozwiązywania należy zdecydowanie ich przestrzegać. Przyjrzyjmy się.
Pierwsze zadanie:
Pierwszy krok: przekonwertuj ułamek po prawej stronie. Otrzymujemy:
Pozbywamy się znaku logarytmu i otrzymujemy zwykłe irracjonalne równanie:
Z uzyskanych korzeni tylko pierwszy nam odpowiada, ponieważ drugi korzeń jest mniejszy od zera. Jedyną odpowiedzią będzie numer 9. To wszystko, problem rozwiązany. Nie są wymagane żadne dodatkowe sprawdzenia, czy wyrażenie pod znakiem logarytmu jest większe od 0, ponieważ nie jest ono po prostu większe od 0, ale z warunku równania jest równe 2. Dlatego automatycznie jest wymagane wymaganie „większe od zera”. spełniony.
Przejdźmy do drugiego zadania:
Tutaj wszystko jest takie samo. Przepisujemy konstrukcję, zastępując potrójną:
Pozbywamy się znaków logarytmu i otrzymujemy irracjonalne równanie:
Obie części podwajamy, biorąc pod uwagę ograniczenia, i otrzymujemy:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Otrzymane równanie rozwiązujemy za pomocą dyskryminatora:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 \u003d -6
Ale x = −6 nam nie odpowiada, bo jeśli podstawimy tę liczbę do naszej nierówności, otrzymamy:
−6 + 4 = −2 < 0
W naszym przypadku wymagane jest, aby była większa od 0 lub w skrajnych przypadkach równa. Ale x = -1 nam odpowiada:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedyna odpowiedź w naszym przypadku to x = -1. To wszystko rozwiązanie. Wróćmy do samego początku naszych obliczeń.
Główny wniosek z tej lekcji jest taki, że nie jest wymagane sprawdzanie granic funkcji w najprostszych równaniach logarytmicznych. Ponieważ w procesie rozwiązywania wszystkie ograniczenia są wykonywane automatycznie.
Nie oznacza to jednak, że możesz całkowicie zapomnieć o weryfikacji. W procesie pracy nad równaniem logarytmicznym może ono zamienić się w równanie irracjonalne, które będzie miało swoje ograniczenia i wymagania dla prawej strony, co widzieliśmy dzisiaj na dwóch różnych przykładach.
Nie krępuj się rozwiązywać takie problemy i bądź szczególnie ostrożny, jeśli w kłótni tkwi korzenie.
Równania logarytmiczne o różnych podstawach
Kontynuujemy badanie równań logarytmicznych i analizujemy jeszcze dwie dość interesujące sztuczki, za pomocą których modne jest rozwiązywanie więcej złożone struktury. Ale najpierw pamiętajmy, jak rozwiązywane są najprostsze zadania:
log a f(x) = b
W tym zapisie a i b to tylko liczby, aw funkcji f (x) zmienna x musi być obecna i tylko tam, czyli x musi być tylko w argumencie. Przekształcimy takie równania logarytmiczne za pomocą postaci kanonicznej. W tym celu zauważamy, że
b = log a a b
A b to tylko argument. Przepiszmy to wyrażenie w następujący sposób:
log a f(x) = log a a b
To jest dokładnie to, co staramy się osiągnąć, aby zarówno po lewej, jak i po prawej stronie znajdował się logarytm o podstawie a. W tym przypadku możemy, mówiąc w przenośni, przekreślić znaki logu, a z punktu widzenia matematyki możemy powiedzieć, że po prostu przyrównujemy argumenty:
f(x) = a b
W efekcie otrzymujemy nowe wyrażenie, które rozwiążemy znacznie łatwiej. Zastosujmy tę zasadę do naszych zadań dzisiaj.
A więc pierwszy projekt:
Przede wszystkim zauważam, że po prawej stronie znajduje się ułamek, którego mianownikiem jest log. Widząc takie wyrażenie, warto pamiętać o cudownej własności logarytmów:
W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, że dowolny logarytm można przedstawić jako iloraz dwóch logarytmów o dowolnej podstawie c. Oczywiście 0< с ≠ 1.
Tak więc: ta formuła ma jeden wspaniały przypadek szczególny, gdy zmienna c jest równa zmiennej b. W tym przypadku otrzymujemy konstrukcję formularza:
Tę konstrukcję obserwujemy ze znaku po prawej stronie w naszym równaniu. Zamieńmy tę konstrukcję na log a b , otrzymamy:
Innymi słowy, w porównaniu z pierwotnym zadaniem, zamieniliśmy argument i podstawę logarytmu. Zamiast tego musieliśmy odwrócić ułamek.
Przypominamy, że z bazy można wyjąć dowolny stopień według następującej zasady:
Innymi słowy, współczynnik k, który jest stopniem podstawy, jest pobierany jako ułamek odwrotny. Wyjmijmy to jako odwrócony ułamek:
Czynnika ułamkowego nie można pozostawić z przodu, ponieważ w tym przypadku nie będziemy mogli przedstawić tego wpisu jako formy kanonicznej (wszak w formie kanonicznej nie ma dodatkowego czynnika przed logarytmem drugim). Dlatego postawmy ułamek 1/4 w argumencie jako potęgę:
Teraz porównujemy argumenty, których podstawy są takie same (a tak naprawdę mamy te same podstawy) i piszemy:
x + 5 = 1
x = -4
To wszystko. Otrzymaliśmy odpowiedź na pierwsze równanie logarytmiczne. Uwaga: w pierwotnym zadaniu zmienna x występuje tylko w jednym logu i jest w jego argumencie. Dlatego nie ma potrzeby sprawdzania domeny, a nasza liczba x = -4 jest rzeczywiście odpowiedzią.
Przejdźmy teraz do drugiego wyrażenia:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Tutaj, oprócz zwykłych logarytmów, będziemy musieli pracować z lg f (x). Jak rozwiązać takie równanie? Nieprzygotowanemu uczniowi może się wydawać, że to jakaś puszka, ale w rzeczywistości wszystko jest rozwiązane elementarnie.
Przyjrzyj się dokładnie terminowi lg 2 log 2 7. Co możemy o nim powiedzieć? Podstawy i argumenty log i lg są takie same, co powinno dać pewne wskazówki. Przypomnijmy jeszcze raz, jak wyciągane są stopnie spod znaku logarytmu:
log a b n = n log a b
Innymi słowy, jaka była potęga liczby b w argumencie, staje się czynnikiem przed samym logiem. Zastosujmy ten wzór do wyrażenia lg 2 log 2 7. Nie bójmy się lg 2 - to najczęstsze wyrażenie. Możesz to przepisać w ten sposób:
Dla niego obowiązują wszystkie zasady, które mają zastosowanie do każdego innego logarytmu. W szczególności czynnik z przodu może zostać wprowadzony do siły argumentu. Napiszmy:
Bardzo często studenci nie widzą tego działania, ponieważ nie jest dobrze wpisywać jeden dziennik pod znakiem drugiego. W rzeczywistości nie ma w tym nic przestępczego. Co więcej, otrzymujemy formułę, którą łatwo obliczyć, jeśli pamiętasz ważną zasadę:
Formułę tę można traktować zarówno jako definicję, jak i jedną z jej właściwości. W każdym razie, jeśli przekształcisz równanie logarytmiczne, powinieneś znać ten wzór w taki sam sposób, jak reprezentację dowolnej liczby w postaci logarytmicznej.
Wracamy do naszego zadania. Przepisujemy to, biorąc pod uwagę fakt, że pierwszy wyraz na prawo od znaku równości będzie po prostu równy lg 7. Mamy:
lg 56 = lg 7 - 3 lg (x + 4)
Przesuńmy lg 7 w lewo, otrzymujemy:
dł. 56 - dł. 7 = -3 lg (x + 4)
Odejmujemy wyrażenia po lewej stronie, ponieważ mają tę samą podstawę:
waga (56/7) = -3 lg (x + 4)
Teraz przyjrzyjmy się bliżej równaniu, które mamy. Jest to praktycznie forma kanoniczna, ale po prawej stronie jest współczynnik -3. Umieśćmy to w odpowiednim argumencie lg:
lg 8 = lg (x + 4) -3
Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego, więc przekreślamy znaki lg i przyrównujemy argumenty:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
To wszystko! Rozwiązaliśmy drugie równanie logarytmiczne. W tym przypadku nie są wymagane żadne dodatkowe sprawdzenia, ponieważ w pierwotnym problemie x występował tylko w jednym argumencie.
Wymienię ponownie Kluczowe punkty ta lekcja.
Głównym wzorem, który jest badany we wszystkich lekcjach na tej stronie poświęconych rozwiązywaniu równań logarytmicznych, jest forma kanoniczna. I nie zniechęcaj się faktem, że większość podręczników szkolnych uczy, jak rozwiązywać tego rodzaju problemy w inny sposób. To narzędzie działa bardzo sprawnie i pozwala rozwiązać znacznie szerszą klasę problemów niż te najprostsze, które badaliśmy na samym początku naszej lekcji.
Ponadto do rozwiązywania równań logarytmicznych przydatna będzie znajomość podstawowych właściwości. Mianowicie:
- Wzór na przejście do jednej bazy i szczególny przypadek, kiedy odwracamy dziennik (to było dla nas bardzo przydatne w pierwszym zadaniu);
- Formuła wprowadzania i odejmowania uprawnień spod znaku logarytmu. Tutaj wielu uczniów utknęło i nie widzi wprost, że pobierana i doprowadzana moc może sama zawierać log f (x). Nic w tym złego. Możemy wprowadzić jeden log według znaku drugiego i jednocześnie znacznie uprościć rozwiązanie problemu, co obserwujemy w drugim przypadku.
Na zakończenie dodam, że nie jest wymagane sprawdzanie zasięgu w każdym z tych przypadków, ponieważ wszędzie zmienna x występuje tylko w jednym znaku logu, a jednocześnie jest w jego argumencie. W konsekwencji wszystkie wymagania domeny są spełnione automatycznie.
Problemy ze zmienną podstawą
Dzisiaj rozważymy równania logarytmiczne, które wielu studentom wydają się niestandardowe, jeśli nie całkowicie nierozwiązywalne. To jest o o wyrażeniach opartych nie na liczbach, ale na zmiennych, a nawet funkcjach. Takie konstrukcje rozwiążemy za pomocą naszych standardowa recepcja, a mianowicie poprzez formę kanoniczną.
Na początek przypomnijmy, jak rozwiązywane są najprostsze problemy, które opierają się na: zwykłe liczby. Tak więc najprostsza konstrukcja nazywa się
log a f(x) = b
Aby rozwiązać takie problemy, możemy skorzystać z następującego wzoru:
b = log a a b
Przepisujemy nasze oryginalne wyrażenie i otrzymujemy:
log a f(x) = log a a b
Następnie zrównujemy argumenty, czyli piszemy:
f(x) = a b
W ten sposób pozbywamy się znaku dziennika i rozwiązujemy zwykły problem. W tym przypadku pierwiastki otrzymane w rozwiązaniu będą pierwiastkami pierwotnego równania logarytmicznego. Ponadto zapis, w którym lewa i prawa strona są na tym samym logarytmie o tej samej podstawie, nazywa się formą kanoniczną. Do tego właśnie rekordu postaramy się zredukować dzisiejsze konstrukcje. Więc chodźmy.
Pierwsze zadanie:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Zastąp 1 logiem x − 2 (x − 2) 1 . Stopień, który obserwujemy w argumencie, to w rzeczywistości liczba b , która znajdowała się na prawo od znaku równości. Przepiszmy więc nasze wyrażenie. Otrzymujemy:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Co widzimy? Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego, więc możemy bezpiecznie zrównać argumenty. Otrzymujemy:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Ale na tym rozwiązanie się nie kończy, ponieważ podane równanie nie równoważne z oryginałem. W końcu powstała konstrukcja składa się z funkcji zdefiniowanych na całej osi liczbowej, a nasze oryginalne logarytmy nie są zdefiniowane wszędzie i nie zawsze.
Dlatego musimy osobno spisać dziedzinę definicji. Nie bądźmy mądrzejsi i najpierw zapiszmy wszystkie wymagania:
Po pierwsze, argument każdego z logarytmów musi być większy od 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Po drugie, podstawa musi być nie tylko większa niż 0, ale także różna od 1:
x − 2 ≠ 1
W efekcie otrzymujemy system:
Ale nie przejmuj się: przetwarzając równania logarytmiczne, taki system można znacznie uprościć.
Oceń sam: z jednej strony wymaga się, aby funkcja kwadratowa była większa od zera, a z drugiej strony ta funkcja kwadratowa jest przyrównana do pewnego wyrażenia liniowego, co jest również wymagane, aby była większa od zera.
W tym przypadku, jeśli wymagamy, że x − 2 > 0, to automatycznie zostanie spełniony warunek 2x 2 − 13x + 18 > 0. Dlatego możemy bezpiecznie wykreślić nierówność zawierającą funkcję kwadratową. Tym samym liczba wyrażeń zawartych w naszym systemie zmniejszy się do trzech.
Oczywiście równie dobrze możemy skreślić nierówność liniowa, czyli wykreśl x − 2 > 0 i wymagaj 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ale musisz zgodzić się, że o wiele szybciej i łatwiej rozwiązać najprostszą nierówność liniową niż w tym układzie otrzymujemy te same pierwiastki.
Ogólnie staraj się optymalizować obliczenia, gdy tylko jest to możliwe. A w przypadku równań logarytmicznych wykreśl najtrudniejsze nierówności.
Przepiszmy nasz system:
Oto taki system trzech wyrażeń, z których dwa w rzeczywistości już ustaliliśmy. Zapiszmy osobno równanie kwadratowe i je rozwiążmy:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Przedstawione przed nami trójmian kwadratowy i stąd możemy użyć formuł Viety. Otrzymujemy:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Teraz, wracając do naszego systemu, okazuje się, że x = 2 nam nie odpowiada, ponieważ musimy mieć x ściśle większe niż 2.
Ale x \u003d 5 całkiem nam odpowiada: liczba 5 jest większa niż 2, a jednocześnie 5 nie jest równe 3. Dlatego jedynym rozwiązaniem dla tego systemu będzie x \u003d 5.
Wszystko, zadanie rozwiązane, w tym z uwzględnieniem ODZ. Przejdźmy do drugiego równania. Tutaj czekamy na ciekawsze i bardziej znaczące obliczenia:
Pierwszy krok: tak samo jak ostatnim razem, doprowadzamy cały ten biznes do kanonicznej formy. Aby to zrobić, możemy napisać liczbę 9 w następujący sposób:
Podstawy z korzeniem nie można dotknąć, ale lepiej przekształcić argument. Przejdźmy od pierwiastka do potęgi z wymiernym wykładnikiem. Napiszmy:
Pozwólcie, że nie przepiszę całego naszego wielkiego równania logarytmicznego, ale po prostu natychmiast zrównam argumenty:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Przed nami ponownie zredukowany trójmian kwadratowy, użyjemy formuł Vieta i napiszemy:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Więc mamy pierwiastki, ale nikt nam nie gwarantował, że będą pasować do oryginalnego równania logarytmicznego. Przecież znaki logu nakładają dodatkowe ograniczenia (tu musielibyśmy spisać system, ale ze względu na uciążliwość całej konstrukcji postanowiłem osobno obliczyć dziedzinę definicji).
Przede wszystkim pamiętaj, że argumenty muszą być większe od 0, czyli:
Są to wymagania narzucone przez dziedzinę definicji.
Od razu zauważamy, że skoro przyrównujemy do siebie dwa pierwsze wyrażenia systemu, możemy przekreślić dowolne z nich. Skreślmy pierwszy, ponieważ wygląda groźniej niż drugi.
Dodatkowo zauważ, że rozwiązaniami drugiej i trzeciej nierówności będą te same zbiory (sześcian jakiejś liczby jest większy od zera, jeśli sama ta liczba jest większa od zera; podobnie z pierwiastkiem trzeciego stopnia - te nierówności są zupełnie podobny, więc jeden z nich możemy przekreślić).
Ale przy trzeciej nierówności to nie zadziała. Pozbądźmy się znaku radykała po lewej stronie, dla którego obie części podnosimy do sześcianu. Otrzymujemy:
Więc dostajemy następujące wymagania:
-2 ≠ x > -3
Który z naszych pierwiastków: x 1 = -3 czy x 2 = -1 spełnia te wymagania? Oczywiście tylko x = −1, ponieważ x = −3 nie spełnia pierwszej nierówności (ponieważ nasza nierówność jest ścisła). W sumie wracając do naszego problemu, otrzymujemy jeden pierwiastek: x = −1. To wszystko, problem rozwiązany.
Po raz kolejny kluczowe punkty tego zadania:
- Zapraszam do stosowania i rozwiązywania równań logarytmicznych przy użyciu postaci kanonicznej. Uczniowie, którzy dokonują takiej notacji, zamiast przeskakiwać bezpośrednio z pierwotnego problemu do konstrukcji takiej jak log a f (x ) = b , pozwalają na wiele mniej błędów niż ci, którym gdzieś się śpieszy, pomijając pośrednie etapy obliczeń;
- Gdy tylko w logarytmie pojawi się zmienna podstawa, problem przestaje być najprostszy. Dlatego przy jego rozwiązywaniu należy wziąć pod uwagę dziedzinę definicji: argumenty muszą być większe od zera, a podstawy muszą być nie tylko większe od 0, ale także nie mogą być równe 1.
Możesz nałożyć ostatnie wymagania na ostateczne odpowiedzi na różne sposoby. Na przykład możliwe jest rozwiązanie całego systemu zawierającego wszystkie wymagania domeny. Z drugiej strony można najpierw rozwiązać sam problem, a potem pamiętać o domenie definicji, rozpracować go osobno w postaci systemu i zastosować do uzyskanych pierwiastków.
Wybór sposobu rozwiązywania konkretnego równania logarytmicznego zależy od Ciebie. W każdym razie odpowiedź będzie taka sama.
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne studia w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnianie osobom trzecim
Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.
Wyjątki:
- W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w spór, i/lub na podstawie publicznych próśb lub próśb ze strony agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.