Wysyłanie dobrej pracy do bazy wiedzy jest proste. Skorzystaj z poniższego formularza

Dobra robota do strony">

Studenci, doktoranci, młodzi naukowcy korzystający z bazy wiedzy w swoich studiach i pracy będą Ci bardzo wdzięczni.

Hostowane na http://www.allbest.ru/

budżet państwa instytucja edukacyjna wykształcenie średnie zawodowe w regionie Penza

Nikolsky Technological College im. A.D. Oboleński

Według dyscypliny: „Inżynieria elektryczna”

Na temat: „Metody obliczania liniowych obwodów elektrycznych prądu stałego”

Spełniony

student I roku

Alekhin Andriej Aleksandrowicz

Nikolsk 2014

Wstęp

Ogólnym zadaniem analizy obwodu elektrycznego jest to, że zgodnie z zadanymi parametrami (EMF, RTD, rezystancje) należy obliczyć prądy, moc, napięcie w oddzielnych sekcjach.

Rozważmy bardziej szczegółowo metody obliczania obwodów elektrycznych.

1. Metoda równań Kirchhoffa

Ta metoda jest najbardziej metoda ogólna rozwiązanie problemu analizy obwodów elektrycznych. Polega na rozwiązaniu układu równań skompilowanego zgodnie z pierwszym i drugim prawem Kirchhoffa dla prądów rzeczywistych w gałęziach rozważanego obwodu. Dlatego całkowita liczba równań jest równa liczbie gałęzi o nieznanych prądach. Niektóre z tych równań są zestawiane zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, reszta - zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa. W obwodzie zawierającym q węzłów, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, można złożyć q równań. Jednak jeden z nich (dowolny) jest sumą wszystkich pozostałych. W konsekwencji powstaną niezależne równania opracowane zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa.

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa brakujące m równań należy skompilować, których liczba jest równa.

Aby zapisać równania zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, należy wybrać m konturów, aby ostatecznie obejmowały wszystkie gałęzie obwodu.

Rozważać Ta metoda na przykładzie konkretnego obwodu (rys. 1).

Przede wszystkim wybieramy i wskazujemy na wykresie dodatnie kierunki prądów w gałęziach i określamy ich liczbę p. Dla rozważanego obwodu p = 6. Należy zauważyć, że kierunki prądów w gałęziach dobierane są arbitralnie. Jeżeli przyjęty kierunek dowolnego prądu nie odpowiada rzeczywistemu, to wartość liczbowa tego prądu jest ujemna.

Dlatego liczba równań zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa jest równa q - 1 = 3.

Liczba równań opracowanych zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa

m = p - (q - 1) = 3.

Wybieramy węzły i obwody, dla których sporządzimy równania, i oznaczamy je na schemacie obwodu elektrycznego.

Równania według pierwszego prawa Kirchhoffa:

Równania według drugiego prawa Kirchhoffa:

Rozwiązując powstały układ równań, określamy prądy gałęziowe. Obliczenie obwodu elektrycznego niekoniecznie polega na obliczeniu prądów zgodnie z daną siłą elektromotoryczną źródeł napięcia. Możliwe jest również inne sformułowanie problemu - obliczenie pola elektromagnetycznego źródeł dla danych prądów w gałęziach obwodu. Zadanie może mieć również charakter mieszany - podano prądy w niektórych gałęziach oraz pola elektromagnetyczne niektórych źródeł. Konieczne jest znalezienie prądów w innych gałęziach i pola elektromagnetycznego innych źródeł. We wszystkich przypadkach liczba sporządzonych równań musi być równa liczbie nieznanych wielkości. W obwodzie mogą znajdować się również źródła energii określone w postaci źródeł prądowych. W takim przypadku prąd źródła prądu jest brany pod uwagę jako prąd gałęzi podczas kompilowania równań zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa.

Obwody do kompilacji równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa należy dobrać tak, aby żaden obliczony obwód nie przechodził przez źródło prądu.

Rozważ schemat obwodu elektrycznego pokazany na ryc. 2.

Wybieramy dodatnie kierunki prądów i przykładamy je do obwodu. Łączna gałęzi obwodu jest równa pięciu. Jeśli uznamy prąd źródła prądu J za znaną wartość, liczba gałęzi o nieznanych prądach wynosi p = 4.

Obwód zawiera trzy węzły (q = 3). Dlatego zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa konieczne jest skomponowanie równań q - 1 = 2. Wyznaczmy węzły na diagramie. Liczba równań opracowanych zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa m = p - (q - 1) =2.

Obwody dobieramy w taki sposób, aby żaden z nich nie przechodził przez źródło prądu i oznaczamy je na schemacie.

Układ równań, skompilowany zgodnie z prawami Kirchhoffa, ma postać:

Rozwiązując powstały układ równań, znajdujemy prądy w gałęziach. Metoda równań Kirchhoffa ma zastosowanie do obliczeń złożonych zarówno liniowych, jak i nieliniowych obwody liniowe i to jest jego zasługa. Wadą tej metody jest to, że przy obliczaniu złożonych obwodów konieczne jest skomponowanie i rozwiązanie szeregu równań równych liczbie gałęzi p.

Ostatni etap obliczenie - weryfikacja rozwiązania, którą można przeprowadzić poprzez sporządzenie równania bilansu mocy.

Bilans mocy obwodu elektrycznego rozumiany jest jako równość mocy wytwarzanych przez wszystkie źródła energii danego obwodu i mocy pobieranej przez wszystkie odbiorniki tego samego obwodu (prawo zachowania energii).

Jeżeli w odcinku obwodu ab znajduje się źródło energii z polem elektromagnetycznym, a przez tę sekcję przepływa prąd, to moc wytwarzana przez to źródło jest określana przez produkt.

Każdy z czynników tego iloczynu może mieć znak dodatni lub ujemny w stosunku do kierunku ab. Produkt będzie miał znak dodatni, jeśli znaki obliczonych wartości i będą się pokrywać (moc wytwarzana przez to źródło jest przekazywana do odbiorników obwodu). Produkt będzie miał znak ujemny, jeśli znaki i są przeciwne (źródło zużywa moc wytworzoną przez inne źródła). Przykładem może być bateria w trybie ładowania. W tym przypadku moc tego źródła (członu) jest zawarta w algebraicznej sumie mocy wytworzonych przez wszystkie źródła obwodu, ze znakiem ujemnym. Podobnie określa się wielkość i znak mocy wytwarzanej przez źródło prądu. Jeśli istnieje idealne źródło prądu z prądem w sekcji obwodu mn, to moc wytwarzana przez to źródło jest określana przez produkt. Podobnie jak w źródle EMF, znak produktu jest określony przez znaki czynników.

Teraz możesz pisać ogólna forma równania bilansu mocy

Dla obwodu pokazanego na rysunku 2.2 równanie bilansu mocy to

2. Metoda prądu w pętli

Metoda prądów pętli sprowadza się do formułowania równań tylko zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa. Liczba tych równań jest mniejsza niż liczba równań wymaganych do obliczenia obwodów elektrycznych metodą praw Kirchhoffa.

W tym przypadku zakładamy, że w każdym wybranym obwodzie płyną niezależnie od siebie prądy znamionowe, zwane prądami w obwodzie. Prąd każdej gałęzi definiuje się jako sumę algebraiczną prądów pętli, które zamykają się w tej gałęzi, z uwzględnieniem przyjętych kierunków prądów pętli i znaków ich wartości.

Liczba prądów pętli jest równa liczbie „komórek” (obwodów elementarnych) schematu obwodu elektrycznego. Jeśli rozważany obwód zawiera źródło prądu, należy wybrać niezależne obwody, aby gałąź ze źródłem prądu wchodziła tylko do jednego obwodu. W przypadku tego obwodu równanie obliczeniowe nie jest zestawiane, ponieważ prąd obwodu jest równy prądowi źródła.

Forma kanoniczna zapisanie równań prądów pętli dla n niezależnych pętli ma postać

Prąd pętli n-tego obwodu;

Suma algebraiczna pola elektromagnetycznego działającego w n-tym obwodzie, zwana polem elektromagnetycznym konturu;

Własna rezystancja n-tego obwodu, równa sumie wszystkich rezystancji zawartych w rozważanym obwodzie;

Rezystancja należąca jednocześnie do dwóch obwodów (in ta sprawa obwód n i i) i nazwany całkowitym lub wzajemnym oporem tych obwodów. Pierwszy to indeks konturu, dla którego równanie jest kompilowane. Z definicji oporu wzajemnego wynika, że ​​opory różniące się w kolejności wskaźników są równe, tj. .

Wzajemnej rezystancji przypisuje się znak plus, jeśli przepływające przez nie prądy pętli mają te same kierunki, oraz znak minus, jeśli ich kierunki są przeciwne.

W ten sposób sformułowanie równań prądu pętli można sprowadzić do zapisania symetrycznej macierzy rezystancji

i konturowy wektor pola elektromagnetycznego

Wraz z wprowadzeniem wektora pożądanych prądów pętli || równania (5) można zapisać w postaci macierzowej

Rozwiązanie systemowe równania liniowe równania algebraiczne(5) dla prądu n-tego obwodu można znaleźć według reguły Cramera

gdzie jest głównym wyznacznikiem układu równań odpowiadającego macierzy oporów pętli

Wyznacznik uzyskuje się z wyznacznika głównego przez zastąpienie n-tej kolumny rezystancji kolumną (wektorem) pętli EMF.

Rozważ metodę prądów pętli na przykładzie konkretnego schematu obwodu elektrycznego (ryc. 3).

Schemat składa się z 3 obwodów elementarnych (komórek). Dlatego istnieją trzy niezależne prądy pętli. Dowolnie wybieramy kierunek prądów pętli i wykreślamy je na obwodzie. Kontury można również wybierać nie komórkami, ale muszą być ich trzy (dla tego schematu) i wszystkie gałęzie schematu muszą być zawarte w wybranych konturach.

Dla obwodu 3-pętlowego równanie prądów pętli w postaci kanonicznej to:

Znajdujemy własny i wzajemny opór i kontur pola elektromagnetycznego.

Rezystancja własna obwodów

Przypomnij sobie, że wewnętrzne opory są zawsze dodatnie.

Zdefiniujmy wzajemne opory, tj. rezystancja wspólna dla dwóch obwodów.

Negatywny znak wzajemnych rezystancji wynika z faktu, że prądy pętli przepływające przez te rezystancje są skierowane przeciwnie.

Pętla EMF

Wartości współczynników (oporów) podstawiamy do równań:

Rozwiązując układ równań (7) wyznaczamy prądy pętli.

Aby jednoznacznie określić prądy gałęzi, wybieramy ich dodatnie kierunki i wskazujemy na schemacie (ryc. 3).

Prądy gałęziowe

3. Metoda napięć węzłowych (potencjałów)

Istota metody polega na tym, że napięcia węzłowe (potencjały) niezależnych węzłów obwodu względem jednego węzła, wybranego jako odniesienie lub podstawowe, są traktowane jako niewiadome. Zakłada się, że potencjał węzła podstawowego wynosi zero, a obliczenia sprowadzają się do wyznaczenia (q-1) naprężeń węzłowych występujących pomiędzy pozostałymi węzłami a podstawowym.

Równania naprężeń węzłowych w postaci kanonicznej z liczbą niezależnych węzłów n=q-1 mają postać

Współczynnik nazywa się przewodnością wewnętrzną n-tego węzła. Przewodnictwo wewnętrzne jest równe sumie przewodności wszystkich gałęzi przyłączonych do węzła n.

Współczynnik

nazywa się przewodnictwem wzajemnym lub międzywęzłowym. Jest równy sumie przewodności wszystkich gałęzi, wziętych ze znakiem minus, bezpośrednio łączących węzły i oraz n.

Prawa strona równań (9) nazywana jest prądem węzłowym.Prąd węzłowy jest równy sumie algebraicznej wszystkich źródeł prądu podłączonych do danego węzła plus suma algebraiczna iloczynów źródeł EMF i przewodności oddział z EMF

W takim przypadku warunki są zapisywane ze znakiem plus, jeśli prąd źródła prądu i pole elektromagnetyczne źródła napięcia są skierowane do węzła, dla którego równanie jest kompilowane.

Powyższy schemat wyznaczania współczynników znacznie upraszcza formułowanie równań, co sprowadza się do zapisania symetrycznej macierzy parametrów węzłowych

i wektory prądów węzłowych

Równania naprężeń węzłowych można zapisać w postaci macierzowej

Jeśli jakakolwiek gałąź danego obwodu zawiera tylko idealne źródło emf (rezystancja tej gałęzi wynosi zero, tj. przewodność gałęzi jest równa nieskończoności), wskazane jest wybranie jednego z dwóch węzłów, między którymi ta gałąź jest podłączony jako podstawowy. Wtedy potencjał drugiego węzła również staje się znany i równy w Wartość pola elektromagnetycznego(biorąc pod uwagę znak). W takim przypadku dla węzła o znanym napięciu węzłowym (potencjale) równania nie należy sporządzać, a łączna liczba równań systemu jest zmniejszona o jeden.

Rozwiązując układ równań (9) wyznaczamy napięcia węzłowe, a następnie zgodnie z prawem Ohma wyznaczamy prądy w gałęziach. Tak więc dla gałęzi zawartej między węzłami m i n, prąd wynosi

W tym przypadku wielkości te (napięcia, sem) są rejestrowane ze znakiem dodatnim, którego kierunek pokrywa się z wybranym kierunkiem współrzędnych. W naszym przypadku (11) - od węzła m do węzła n. Napięcie między węzłami jest określane przez napięcia węzłowe

Rozważ metodę napięć węzłowych na przykładzie obwodu elektrycznego, którego schemat pokazano na ryc. 4.

Określamy liczbę węzłów (w tym przykładzie liczbę węzłów q = 4) i wyznaczamy je na diagramie.

Ponieważ obwód nie zawiera idealnych źródeł napięcia, dowolny węzeł można wybrać jako węzeł podstawowy, na przykład węzeł 4.

W której.

Dla pozostałych niezależnych węzłów obwodu (q-1=3) układamy równania napięć węzłowych w postaci kanonicznej.

Określamy współczynniki równań.

Własne przewodnictwa węzłów

Wzajemne (międzywęzłowe) przewodnictwa

Określ prądy węzłowe.

Dla pierwszego węzła

Dla drugiego węzła

Dla trzeciego węzła

Podstawiając wartości współczynników (przewodności) i prądów węzłowych do równań (12), wyznaczamy napięcia węzłowe

Zanim przejdziemy do wyznaczania prądów gałęzi, ustawiamy je w kierunku dodatnim i przykładamy do obwodu (rys. 5).

Prądy określa prawo Ohma. Na przykład prąd jest kierowany z węzła 3 do węzła 1. Pole elektromagnetyczne tej gałęzi jest również skierowane. Stąd

Prądy pozostałych gałęzi są określane na tej samej zasadzie

Od tego czasu

4. Zasada i metoda superpozycji

Zasada superpozycji (superpozycji) jest wyrazem jednej z głównych właściwości systemy liniowe o dowolnej naturze fizycznej i w odniesieniu do liniowych obwodów elektrycznych jest sformułowana w następujący sposób: prąd w dowolnej gałęzi złożonego obwodu elektrycznego jest równy sumie algebraicznej prądów cząstkowych powodowanych przez każde źródło działające w obwodzie energia elektryczna osobno.

Zastosowanie zasady superpozycji umożliwia w wielu obwodach uproszczenie zadania obliczania złożonego obwodu, ponieważ jest on zastępowany kilkoma stosunkowo prostymi obwodami, z których każdy ma jedno źródło energii.

Z zasady superpozycji wynika metoda superpozycji stosowana do obliczania obwodów elektrycznych.

W tym przypadku metodę superpozycji można zastosować nie tylko do prądów, ale także do napięć w poszczególnych odcinkach obwodu elektrycznego, które są liniowo powiązane z prądami.

Zasada superpozycji nie może być stosowana do zdolności, ponieważ nie są liniowe, ale funkcje kwadratowe aktualne napięcie).

Zasada superpozycji nie dotyczy również obwodów nieliniowych.

Rozważmy kolejność obliczeń metodą nakładania na przykładzie wyznaczania prądów w obwodzie z ryc. 5.

Dowolnie wybieramy kierunek prądów i wykreślamy je na obwodzie (ryc. 5).

Gdyby zaproponowany problem można było rozwiązać dowolną z metod (MZK, MKT, EOR), wówczas konieczne byłoby ułożenie układu równań. Metoda nakładania umożliwia uproszczenie rozwiązania problemu poprzez faktyczne zredukowanie go do rozwiązania zgodnego z prawem Ohma.

Obwód ten dzielimy na dwa podobwody (według liczby gałęzi ze źródłami).

W pierwszym podukładzie (ryc. 6) uważamy, że działa tylko źródło napięcia, a prąd źródła prądu J=0 (odpowiada to przerwie w gałęzi ze źródłem prądu).

W drugim podukładzie (ryc. 7) działa tylko źródło prądu. SEM źródła napięcia jest równa zero E=0 (odpowiada to zwarciu źródła napięcia).

Określ kierunek prądów w podobwodach. W takim przypadku należy zwrócić uwagę na następujące kwestie: wszystkie prądy wskazane w oryginalnym obwodzie muszą być również wskazane na obwodach podrzędnych. Na przykład w podukładzie z ryc. 6 rezystancje i są połączone szeregowo i przepływa przez nie ten sam prąd. Jednak schemat musi wskazywać prądy i.

Obliczenia dla obwodu (rys. 6) można wykonać zgodnie z prawem Ohma.

Prądy w gałęziach równoległych określa wzór na rozpiętość

Określamy prądy w podukładzie pokazanym na ryc. 7. Zastąpienie wcześniej podłączonych rezystancji równolegle z ekwiwalentem

otrzymujemy schemat (ryc. 8).

Zgodnie ze wzorem rozrzutu określamy prądy i

Na podstawie prądów cząstkowych podobwodów (ryc. 2.6 i 2.7) określamy prądy pierwotnego obwodu (ryc. 5) jako sumę algebraiczną prądów cząstkowych.

W tym przypadku prąd jest rejestrowany ze znakiem minus, ponieważ jego kierunek na podobwodzie jest przeciwny do kierunku prądu w pierwotnym obwodzie

prąd obwodu elektrycznego kirchhoff

Kierunki prądów i na podobwodach pokrywają się z kierunkiem prądu pierwotnego obwodu. Podobnie określamy pozostałe prądy.

Hostowane na Allbest.ru

Podobne dokumenty

Zapoznanie z podstawami metody równań Kirchhoffa i metody prądów pętli liniowych obwodów elektrycznych. Sporządzenie równania bilansowego energia elektryczna. Wyznaczanie prądu dowolnej gałęzi obwodu elektrycznego metodą równoważnego źródła napięcia.

praca semestralna, dodana 12.11.2014


Metoda równań Kirchhoffa. Bilans mocy obwodu elektrycznego. Istota metody prądów pętlicowych. Kanoniczna forma zapisu równań prądów pętlicowych. Metoda naprężeń węzłowych (potencjałów). Macierzowa postać naprężeń węzłowych. Wyznaczanie prądów gałęziowych.

streszczenie, dodane 11.11.2010


Zastosowanie metod nakładkowych, równań węzłowych i konturowych do obliczeń liniowych obwodów elektrycznych prądu stałego. Budowa diagramu potencjału. Wyznaczanie reaktancji i sporządzanie bilansu mocy dla obwodów prąd przemienny.

praca semestralna, dodana 29.07.2013


Wyznaczanie napięcia w węzłach obwodu elektrycznego. Uzyskiwanie prądu gałęzi obwodu i ich faz metodami prądów pętli, potencjałów węzłowych i generatora zastępczego. Twierdzenie o równoważnym źródle napięcia. Zastosowanie pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa.

praca semestralna, dodana 18.11.2014


właściwości rezystora. Obliczanie rezystancyjnego obwodu prądu stałego metodą generatora zastępczego. Badanie metod równań Kirchhoffa, prądów pętli, potencjałów węzłowych, superpozycji i dwóch węzłów. Obliczanie prądu w obwodach elektrycznych i bilans mocy.

test, dodano 04.07.2015


Podstawowe pojęcia, definicje i prawa w elektrotechnice. Obliczanie liniowych obwodów elektrycznych prądu stałego z wykorzystaniem praw Ohma i Kirchhoffa. Istota metod prądów pętlowych, potencjałów węzłowych i generatora zastępczego, ich zastosowanie.

streszczenie, dodane 27.03.2009


Koncepcja i ogólna charakterystyka złożone obwody prądu stałego, ich funkcje i właściwości, esencja i treść uniwersalna metoda analiza i obliczanie parametrów. Metoda równań Kirchhoffa, potencjały węzłowe, prądy pętli, superpozycja.

test, dodano 22.09.2013


Procedura obliczania obwodu DC. Obliczanie prądów w gałęziach z wykorzystaniem praw Kirchhoffa, metody prądów pętlowych, potencjałów węzłowych, generator zastępczy. Sporządzenie bilansu mocy i diagramu potencjału, schematu konwersji.

praca semestralna, dodana 17.10.2009


Obliczanie liniowych obwodów elektrycznych prądu stałego, wyznaczanie prądów we wszystkich gałęziach metod prądów pętlowych, nakładanie, składanie. Nieliniowe obwody elektryczne prądu stałego. Analiza stanu elektrycznego liniowych obwodów prądu przemiennego.

praca semestralna, dodana 05.10.2013


Badanie głównych cech procesów elektromagnetycznych w obwodach prądu przemiennego. Charakterystyki obwodów elektrycznych jednofazowych prądu sinusoidalnego. Obliczanie złożonego obwodu elektrycznego prądu stałego. Redakcja kompletny system Równania Kirchhoffa.

Do praktycznych obliczeń obwodów elektrycznych opracowano metody pozwalające na zmniejszenie liczby równań do rozwiązania w porównaniu z układem równań zgodnym z prawami Kirchhoffa. Rozważmy te metody.

a) Metoda potencjałów węzłowych. Metoda dwóch węzłów.

Liczba równań zgodnie z metodą potencjałów węzłowych jest określona przez liczbę równań zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa dla rozważanego obwodu elektrycznego. Zgodnie z tą metodą należy najpierw określić potencjały wszystkich węzłów obwodu elektrycznego, a następnie, korzystając z prawa Ohma, określić prądy w gałęziach. W tym przypadku jeden z węzłów obwodu elektrycznego, który nazywa się kluczowy, jest uziemiony, jego potencjał staje się równy zero. Węzeł do uziemienia jest wybierany arbitralnie. Wygodnie jest uziemić węzeł, którego liczba ma największą wartość w danym obwodzie elektrycznym.

Układ równań według metody potencjałów węzłowych w postaci macierzy będzie miał tyle wierszy i kolumn, ile równań musi być zapisanych zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa dla rozważanego obwodu elektrycznego. Jeśli w obwodzie elektrycznym znajduje się gałąź zawierająca tylko idealne źródło emf. Następnie wygodnie jest ponumerować węzły obwodu elektrycznego tak, aby numer węzła z najwyższa wartość w danym obwodzie elektrycznym, znalazł się w węźle, z którego odchodzi źródło pola elektromagnetycznego. Ten węzeł jest traktowany jako punkt odniesienia i uziemiony. Wtedy potencjał węzła, który zawiera źródło pola elektromagnetycznego, będzie znany i równy wartości pola elektromagnetycznego źródła.

Rozważmy zastosowanie metody potencjałów węzłowych na przykładzie.

Przykład.

Metodę potencjałów węzłowych zaleca się stosować, gdy liczba równań zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa dla obwodu elektrycznego jest mniejsza niż zgodnie z drugim. Rysunek 2.1 przedstawia obwód elektryczny spełniający te wymagania.

Rysunek 2.1 - Schemat obwodu elektrycznego do obliczeń metodą potencjałów węzłowych

Przedstawiony obwód zawiera 8 gałęzi, z których 2 zawierają źródła prądowe, dlatego liczba równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa wynosi: 8 - 2 - 3 = 3 równania.

W danym obwodzie są cztery węzły, dlatego zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa konieczne jest napisanie 4 - 1 \u003d 3 równań, a istnieje gałąź zawierająca tylko idealne źródło pola elektromagnetycznego. W tym przypadku węzeł, z którego odchodzi źródło pola elektromagnetycznego, ponumerujmy go liczbą 4 i przyjmijmy jako odniesienie, którego potencjał wynosi zero. Wyznaczmy uziemienie na 4 na schemacie projektowym. Potencjał węzła, który obejmuje źródłową siłę elektromotoryczną, będzie znany i równy wartości źródłowej siły elektromotorycznej.

Tak więc istnieją dwa nieznane potencjały i aby je znaleźć, używamy układu dwóch równań:

gdzie są przewodności własne węzłów 1, 2, …, S, które są zdefiniowane jako suma przewodności gałęzi podłączonych do odpowiedniego węzła. Dla rozważanego obwodu ; . W układzie równań (2.1) przewodnictwa własne węzłów wzdłuż głównej przekątnej macierzy zawsze będą miały znaki plus. Jeżeli podano taki obwód elektryczny, dla którego zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa konieczne będzie napisanie innej liczby równań, wówczas układ równań (2.1) powinien składać się z wierszy i kolumn, których liczba wynosi określona przez liczbę równań zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa.

to suma przewodności gałęzi łączących węzeł S z węzłem N, jest zawsze przyjmowany ze znakiem minus w układzie równań (2.1). Dla rozważanego obwodu suma przewodności gałęzi między węzłami 1 i 2, a w konsekwencji 2 i 1, wynosi . Suma przewodności gałęzi między węzłami 1 i 3 jest równa zeru, zatem . Suma przewodności gałęzi między węzłami 2 i 3.

Gdzie jest suma algebraiczna iloczynów pola elektromagnetycznego gałęzi sąsiadujących z węzłem S, na ich przewodność; jednocześnie te produkty są brane ze znakiem plus, w gałęziach których EMF działa w kierunku węzła S, oraz ze znakiem minus, - w kierunku od węzła S;

jest sumą algebraiczną źródeł prądu podłączonych do węzła S, znak przed ustalany jest zgodnie z powyższą regułą. W naszym przypadku , .

Tak więc w nowej notacji układ równań 2.1 zajmie następny widok

Po rozwiązaniu otrzymanego układu (2.2) względem i , zakładając, że , znajdujemy prądy w gałęziach obwodu elektrycznego.

Prądy w gałęziach obwodu elektrycznego są określane zgodnie z prawem Ohma przez potencjały uzyskane podczas rozwiązywania układu (2.2):

Metoda dwóch węzłów ( szczególny przypadek metoda potencjału węzłowego).

Istnieją obwody elektryczne, które mają tylko dwa węzły (rysunek 2.2). Aby obliczyć prądy w takim obwodzie, najbardziej racjonalną metodą obliczeniową jest metoda dwuwęzłowa.

Rysunek 2.2 - Schemat obwodu elektrycznego zawierającego dwa węzły

Rozważ użycie metody dwóch węzłów na przykładzie.

Przykład.

Dla obwodu elektrycznego (rysunek 2.2), stosując metodę potencjałów węzłowych, piszemy następujące wyrażenie:

Napiszmy wynikowe wyrażenie na stres:

Wyrażenie (2.3) jest zwykle nazywane metoda dwóch węzłów.

Prądy w gałęziach obwodu elektrycznego są określane zgodnie z prawem Ohma w następujący sposób:

b) Metoda prądów pętli i generatora zastępczego.

Metoda prądu w pętli pozwala również na zmniejszenie liczby równań do rozwiązania w porównaniu z układem równań zgodnym z prawami Kirchhoffa. Liczba równań zgodnie z metodą prądów pętli jest określona przez liczbę równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa dla rozważanego obwodu elektrycznego. Metoda opiera się na właściwości, że prąd w dowolnej gałęzi może być reprezentowany jako algebraiczna suma niezależnych prądów pętli przepływających przez tę gałąź. Zgodnie z tą metodą należy dobrać prądy pętli tak, aby każdy z nich przechodził przez jedno źródło prądu, a pozostałe prądy pętli były tak dobrane, aby przechodziły przez gałęzie, które nie zawierają źródeł prądowych.

Układ równań zgodnie z metodą prądów pętli w postaci macierzy będzie miał tyle wierszy i kolumn, ile równań musi być zapisanych zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa dla rozważanego obwodu elektrycznego. Jeśli w obwodzie elektrycznym znajduje się źródło prądu, do układu równań zostanie dodana kolumna, jeśli są dwie, to dwie kolumny itd.

Rozważ użycie metody prądu pętli na przykładzie.

Przykład.

Wskazane jest stosowanie metody prądów pętlowych, gdy liczba równań według drugiego prawa Kirchhoffa dla obwodu elektrycznego jest mniejsza niż według pierwszego. Rysunek 2.3 przedstawia obwód elektryczny spełniający te wymagania.

Rysunek 2.3 - Schemat obwodu elektrycznego do obliczania metodą prądów pętli

Decyzja.

W tym łańcuchu są cztery węzły, dlatego zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa konieczne jest zapisanie równań 4 - 1 = 3. Rozważany obwód zawiera siedem gałęzi, z których dwa są ze źródłami prądu, dlatego zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa liczba równań wynosi: 7 - 2 - 3 = 2. Dla danego obwodu kierunki omijania prądów pętli , , , są brane zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a , czyli do. obejście pętli nie jest zgodne z bieżącym kierunkiem bieżącego źródła; , ponieważ obejście pętli pokrywa się z bieżącym kierunkiem bieżącego źródła. Tak więc prądy pętli i są uważane za znane. Dlatego istnieją dwa nieznane prądy pętli ( i ), aby je znaleźć, używamy układu dwóch równań:

gdzie jest samooporność obwodu? m(suma rezystancji wszystkich gałęzi wchodzących w skład obwodu) m). Dla rozważanego obwodu ; . W układzie równań (2.4) rezystancje własne obwodów wzdłuż głównej przekątnej macierzy zawsze będą miały znaki plus. Jeżeli podany zostanie taki obwód elektryczny, dla którego zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa konieczne będzie zapisanie innej liczby równań, to zmieni się liczba równań w układzie (2.4). Liczba wierszy w systemie (2.4) jest określona przez liczbę równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, a liczba kolumn jest równa sumie liczby równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa i liczbą bieżących źródeł .

- całkowita rezystancja obwodów m oraz ja, przyjmowany jest ze znakiem „plus”, jeśli kierunki prądów pętli w tej gałęzi są takie same, w przeciwnym razie przyjmowany jest znak „minus”. W rozważanym obwodzie całkowita rezystancja między obwodami 1 i 2, a w konsekwencji 2 i 1, wynosi. Kierunek prądów pętli w tej gałęzi nie jest zgodny, dlatego rezystancja wejdzie do równania ze znakiem minus. Rezystancje między obwodami 1 i 3, a także 1 i 4 są zatem równe zeru i . Rezystancja między obwodami 2 i 3. Kierunek prądów pętli w tej gałęzi nie jest zgodny, dlatego rezystancja wejdzie do równania ze znakiem minus. Rezystancja między obwodami 2 i 4. Kierunek prądów pętli w tej gałęzi jest taki sam, dlatego rezystancja wejdzie do równania ze znakiem plus.

- suma algebraiczna pola elektromagnetycznego zawartego w obwodzie m. W przypadku tego schematu .

Zatem w nowej notacji układ równań 2.4 przyjmie postać:

Po rozwiązaniu otrzymanego układu (2.5) względem i , biorąc pod uwagę i znając, znajdujemy prądy w gałęziach obwodu elektrycznego.

Prądy w gałęziach obwodu elektrycznego, poprzez prądy pętli, określa się w następujący sposób:

Metoda generatora równoważnego w przeciwieństwie do przedstawionych powyżej, pozwala określić prąd tylko w jednej wybranej gałęzi, upraszczając resztę obwodu elektrycznego do jednoobwodowego obwodu nierozgałęzionego. W stosunku do wybranej gałęzi reszta obwodu zostaje zastąpiona równoważnym źródłem pola elektromagnetycznego - generatorem. SEM tego generatora jest równa napięciu bezczynny ruch na zaciskach wybranej części obwodu, do której zostanie podłączona gałąź o określonym prądzie. Rezystancja wewnętrzna generatora będzie równa rezystancji wejściowej w odniesieniu do wybranych zacisków rozgałęzionych.

Kolejność obliczeń metodą generatora zastępczego.

1. Wybierz gałąź w obwodzie projektowym, której prąd należy określić. Reprezentuj resztę obwodu jako źródło pola elektromagnetycznego i oporu wewnętrznego. Wybierz dodatni kierunek prądu w gałęzi.

2. Po odłączeniu wybranej gałęzi, dowolną z wcześniej badanych metod określić napięcie na zaciskach pozostałej części obwodu, do którego zostanie podłączona gałąź z prądem, który ma być określony.

3. Określ równoważną rezystancję wejściową w odniesieniu do wybranych zacisków rozgałęzionych. W takim przypadku zastąp źródła energii ich wewnętrznymi rezystancjami i rozważ rezystancje źródeł pola elektromagnetycznego równe zero, a rezystancje źródeł prądu równe nieskończoności.

4. Określ prąd w powstałym obwodzie nierozgałęzionym zgodnie z prawem Ohma:

gdzie , to parametry gałęzi o żądanym prądzie.

Przykład.

Rozważ użycie równoważnej metody generatora dla obwodu elektrycznego pokazanego na rysunku 2.4.

Rysunek 2.4 - Schemat obwodu elektrycznego do obliczeń metodą równoważnego generatora

Przy obliczaniu konieczne jest określenie prądu w trzeciej gałęzi. Uważa się, że wszystkie parametry elementów obwodu elektrycznego i jego topologia są znane.

Decyzja.

1. Wybierz gałąź z prądem w obwodzie projektowym, którą określimy. Resztę obwodu reprezentujemy w postaci źródła pola elektromagnetycznego z napięciem i rezystancją wewnętrzną (rysunek 2.5). Wybierzmy dodatni kierunek prądu w trzeciej gałęzi.

Rysunek 2.5 - Równoważny obwód równoważny

3. Odłącz trzecią gałąź i użyj dowolnej z wcześniej zbadanych metod, aby określić napięcie na zaciskach pozostałej części obwodu (rysunek 2.6).

Rysunek 2.6 - Schemat obwodu elektrycznego do obliczeń metodą równoważnego generatora

Po wyłączeniu trzeciej gałęzi trzy obwody elektryczne rozdzielają się na dwa niezależne. Jeden ze źródłem EMF, drugi ze źródłem prądu. W takim przypadku napięcie można znaleźć za pomocą prawa Ohma. Warunkowo naziemny węzeł 3, a następnie .

Znajdź potencjał punktu 1 przez potencjał węzła 3

Potencjał punktu 2 przez potencjał punktu 3

Zatem,

4. Określmy równoważną rezystancję wejściową w odniesieniu do zacisków wybranej gałęzi. W tym przypadku zastępujemy źródła energii ich rezystancjami wewnętrznymi i rozważamy rezystancje źródeł pola elektromagnetycznego równe zero, a rezystancje źródeł prądu równe nieskończoność

5. Zgodnie z prawem Ohma określamy prąd w trzeciej gałęzi:

c) Metoda nakładania.

Metoda nakładania ma zastosowanie tylko do obliczeń obwodów liniowych, których parametry elementów nie zależą od wartości przepływającego prądu lub przyłożonego napięcia. W przypadku obliczeń obwodów metodą superpozycji tyle obwodów prywatnych składa się z niezależnych źródeł energii, co obwód pierwotny. W program prywatny pozostaje tylko jedno źródło, wszystkie pozostałe są zastępowane przez ich wewnętrzne opory. Wynikowy prąd gałęzi jest równy algebraicznej sumie prądów cząstkowych spowodowanych działaniem każdego źródła osobno. Gdy wykluczone są idealne źródła napięcia, zamiast źródła umieszcza się zwartą zworkę, co odpowiada sile elektromotorycznej równej zero przy zerowej rezystancji wewnętrznej. Przeciwnie, gałąź ze źródłem prądu otwiera się, co odpowiada zerowemu prądowi przy zerowej przewodności.

Przy obliczaniu obwodów prywatnych prądy płynące w gałęziach są oznaczane dwoma wskaźnikami. Indeks dolny pokazuje numer gałęzi, w której wyznaczany jest prąd, a indeks górny numer źródła, którego działanie powoduje prąd. Na przykład - prąd pierwszej gałęzi, spowodowany działaniem drugiego źródła. Podczas obliczania obwodów prywatnych często konieczne jest obliczenie prądów w gałęziach równoległych i (patrz. lekcja praktyczna 1).

Rozważ użycie metody nakładki na przykładzie.

Przykład.

Celowe jest zastosowanie metody nakładkowej przy obliczaniu obwodu elektrycznego zawierającego jedno lub dwa, w skrajnych przypadkach trzy źródła energii elektrycznej. Rysunek 2.7 przedstawia obwód elektryczny z dwoma źródłami energii, który spełnia określone wymagania.

Rysunek 2.7 - Schemat obwodu elektrycznego do obliczeń metodą nakładki

Aby znaleźć prądy w obwodzie z rysunku 2.7, metoda superpozycji określa prądy w poszczególnych obwodach pokazanych na rysunkach 2.8 i 2.9.

Rysunek 2.8 Rysunek 2.9

Dla schematu z rysunku 2.8:

Dla schematu z rysunku 2.9:

Należy zauważyć, że działając w schemat połączeń jednym źródłem energii elektrycznej, jak pokazano na rysunkach 2.8 i 2.9, w gałęziach obwodu płyną prądy cząstkowe. Ich kierunek jest określony przez kierunek źródła energii elektrycznej działającego w obwodzie elektrycznym. Tak więc na rysunku 2.8 kierunek prądu jest określony przez kierunek źródła pola elektromagnetycznego. Rysunek 2.8 pokazuje, że prąd płynie do węzła 1, gdzie dzieli się na prąd i prąd , po czym prądy te płyną do węzła 2, gdzie ponownie łączą się w prąd . Na rysunku 2.9 kierunek prądów ,,, jest określony przez kierunek źródła prądu.

Zatem prądy w pierwotnym obwodzie elektrycznym są określane na podstawie prądów cząstkowych w następujący sposób:

Znak minus jest przy pierwszym i trzecim prądzie, ponieważ ich prądy częściowe pod działaniem dwóch źródeł energii mają różne kierunki. Prądy cząstkowe drugiego i czwartego prądu mają te same kierunki, dlatego znak plus znajduje się w równaniach prądu wynikowego.

Wnioski z wykładu

Aby obliczyć prądy w gałęziach obwodu elektrycznego, oprócz praw Kirchhoffa można zastosować metodę potencjałów węzłowych, metodę prądów pętli, metodę superpozycji, metodę generatora zastępczego. Liczba równań dla metody potencjału węzłowego jest taka sama jak dla pierwszego prawa Kirchhoffa, jeśli obwód zawiera tylko dwa węzły, można zastosować metodę dwuwęzłową. Liczba równań dla metody prądu pętli jest taka sama jak dla drugiego prawa Kirchhoffa. Wskazane jest stosowanie metody nakładania, gdy obwód elektryczny zawiera nie więcej niż trzy źródła energii elektrycznej. W przypadku konieczności obliczenia prądu w jednej gałęzi można zastosować metodę generatora zastępczego.

Pytania do samodzielnego zbadania

1. Sformułuj podstawowe zasady metody potencjałów węzłowych.

2. Jakie są cechy zastosowania metody potencjałów węzłowych dla obwodów zawierających tylko idealne źródło emf w którejkolwiek z gałęzi?

3. Jak znaleźć prądy w gałęziach metodą dwuwęzłową?

4. Opisać główne etapy metody prądów pętlowych.

5. Jakie są cechy zastosowania metody prądów pętlowych w obwodach zawierających źródło prądu?

6. Jakie są zalety i wady metody nakładkowej?

7. Podaj istotę metody generatora ekwiwalentnego?

Biorąc pod uwagę: E1=28V, E2=16V,

R1= R5 =R6= 30 omów,

R2=16 omów, R3=R4= 10 omów,

r01=2 om, r02=1 om.

Zdefiniuj: I1, I2, I3, I4, I5, I6.

Uruchom następujące:

• 1) sporządzić, na podstawie praw Kirchhoffa, układ równań do wyznaczania prądów we wszystkich gałęziach obwodu;
• 2) określić prądy we wszystkich gałęziach obwodu w oparciu o metodę prądów pętli;
• 3) określić prądy we wszystkich gałęziach obwodu metodą superpozycji;

Tworzymy układ równań. W układzie powinno być tyle równań, ile jest gałęzi (nieznanych prądów) w łańcuchu.

Dany łańcuch ma sześć rozgałęzień, co oznacza, że ​​układ musi mieć sześć równań (m = 6). Najpierw układamy równania dla węzłów zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa. W przypadku łańcucha o n węzłach można skomponować (n-1) niezależne równania. W naszym łańcuchu są cztery węzły (A, B, C, D), co oznacza liczbę równań: n-1 \u003d 4-1 \u003d 3.

Wykonujemy trzy równania dla dowolnych 3 węzłów.

węzeł A: I2+I3=I1

węzeł B: I4+I6=I2

Węzeł C: I5+I6=I3

W sumie system powinien mieć sześć równań. Są już trzy. Trzy brakujące uzupełniamy dla obwodów niezależnych liniowo.

Obchodzimy każdy obwód i tworzymy równanie zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa.

Obwód A - wykonujemy obwodnicę przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:

E1=I1 (r01+R1+R2)+I2

Pętla B - obejście zgodnie z ruchem wskazówek zegara:

Obwód C - obejście przeciwnie do ruchu wskazówek zegara:

Wyznacz prądy we wszystkich gałęziach obwodu za pomocą metody prądów pętlowych.

Metoda prądów pętli opiera się na wykorzystaniu tylko drugiego prawa Kirchhoffa. Zmniejszy to liczbę równań w systemie o (n-1).

Gdzie n to liczba węzłów w obwodzie. Osiąga się to poprzez podzielenie obwodu na niezależne obwody i wprowadzenie dla każdego obwodu ogniwa własnego prądu obwodu, który jest wartością obliczoną. I tak w danym obwodzie można rozważyć trzy obwody ogniw (ACDA, ABDA, CBDC) i wprowadzić dla nich prądy pętli.

Gałęzie należące do dwóch sąsiednich obwodów nazywane są sąsiednimi gałęziami. W nich rzeczywisty prąd jest równy sumie algebraicznej prądów pętli sąsiednich pętli, biorąc pod uwagę ich kierunek.

Podczas kompilowania równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, po lewej stronie równości, pola elektromagnetyczne źródeł zawartych w obwodzie-komórce są sumowane algebraicznie, po prawej stronie równości napięcia na rezystancjach zawartych w tym obwodzie są sumowane algebraicznie, a spadek napięcia na rezystancjach sąsiedniej gałęzi, określony przez prąd konturowy sąsiedniego obwodu. Na tej podstawie procedura rozwiązywania obwodu prądu stałego za pomocą metody prądu pętli będzie wyglądać tak:

Strzałki wskazują wybrane kierunki prądów pętli, w pętlach - ogniwa. Kierunek omijania konturów jest taki sam;

Podobnie jak przy rozwiązywaniu problemu zgodnie z prawami Kirchhoffa, tutaj również sporządza się równania (bierzemy kontur i okrążamy go w zadanym kierunku obejścia) a układ równań rozwiązuje się metodą podstawienia lub za pomocą wyznaczników . Tworzymy układ równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

E1 =Ik1(r01+R1+R4+R2)-Ik2 R2-Ik3 R4

E2-E3 =Ik2(r02+R3+R6+R2)-Ik2 R2-Ik3 R6

E3 =Ik3(R4+R5+R3)-Ik1 R4-Ik2 R6

Zastąpić wartości liczbowe rezystancji i pola elektromagnetycznego źródeł do otrzymanego układu równań

• 28= Ik1 (2+30+10+16)- Ik2 16- Ik3 10
• 16-24= Ik2 (1+10+30+16)- Ik1 16- Ik3 30
• 24= Ik3 (10+30+10)- Ik1 10- Ik2 30
• 28= Ik1 58- Ik2 16- Ik3 10
• -8= - Ik1 16+ Ik2 57- Ik3 30
• 24= - Ik1 10- Ik2 30+ Ik3 50

Złożony układ równań rozwiązujemy metodami Cramera

Obliczanie obwodów nierozgałęzionych

Podstawą obliczania jednopętlowych (nierozgałęzionych) obwodów elektrycznych zawierających źródła obu typów i odbiorców są prawa Ohma i Kirchhoffa.

Jeśli w obwodzie parametry konsumenta ( R) i źródła napięcia ( mi), to zwykle zadaniem jest określenie prądu pętli. Dodatni kierunek pożądanego prądu jest wybierany arbitralnie i sporządzane jest równanie:

W takim przypadku należy pamiętać, że ze znakiem „+” pobierane są pola elektromagnetyczne źródeł działających w kierunku wybranego prądu.

Obliczanie obwodów rozgałęzionych z jednym źródłem

Rozgałęziony łańcuch z jednym źródłem jest zwykle uproszczony poprzez konwersję do łańcucha prostego.

Mieszane połączenie odbiorników energii jest kombinacją połączeń szeregowych i równoległych. Ogólna formuła nie ma możliwości obliczenia równoważnego połączenia, ponieważ istnieje wiele różnych schematów połączeń. Przy obliczaniu należy wybrać sekcje w obwodzie połączonym szeregowo lub równolegle i określić ich równoważną rezystancję. Obwód jest stopniowo upraszczany, prowadząc do najprostszej formy, a prądy odcinków określa się za pomocą prawa Ohma.

Przykład 2

W obwodzie na rysunku 4 znane są następujące wielkości:

R1 \u003d 3 Ohm; R2 \u003d 2 Ohm; R3 \u003d 24 Ohm; R4 \u003d 12 omów; R5 \u003d 10 omów; R6 \u003d 2 Ohm;

Określ równoważną rezystancję i prądy wszystkich sekcji.

Rysunek 4

Rezystory R3 i R4 są połączone równolegle. Znajdźmy równoważną rezystancję i uprośćmy obwód (patrz rysunek 5)

Rysunek 5

Rezystory R2 i R3.4 są połączone szeregowo. Znajdź równoważną rezystancję i uprość obwód

(patrz rysunek 6)

Rysunek 6

Rezystory R2,3,4 i R5 są połączone równolegle. Znajdź równoważną rezystancję i uprość obwód.

(patrz rysunek 7)

Rysunek 7

Rezystory R1, R6 i R2,3,4,5 są połączone szeregowo. Znajdź równoważną rezystancję i uprość obwód.

(Patrz Rysunek 8)

Znajdź aktualną siłę w nierozgałęzionej części obwodu

używając prawa Ohma.

Cyfra 8

Aby określić prądy we wszystkich sekcjach, wygodnie jest rozważyć obwody w odwrotnej kolejności.

Zauważ, że

Znajdź napięcie na tych rezystorach połączonych szeregowo.

Określmy prądy w tych obszarach.

Znajdź napięcie w sekcji R3.4

Napięcia na trzecim i czwartym rezystorze są takie same i równe 9,6V (przekroje są równoległe)

Przekształcenie ekwiwalentne oporów trójkąta i gwiazdy

W dziedzinie pomiarów elektrycznych szeroko stosowany jest obwód elektryczny z pojedynczym zasilaczem, obwód pokazany na rysunku 9. Cechą tego obwodu jest obecność w nim połączeń, zwanych trójkątem i gwiazdą.

trójkąt opór nazywa się połączeniem trzech gałęzi, tworząc zamknięty obwód z trzema węzłami. W obwodzie (rysunek 9a) znajdują się dwa trójkąty z rezystancjami R1, R2, R3 i R3, R4, R5.

gwiazda opór nazywa się połączeniem trzech gałęzi, które mają wspólny węzeł. Gwiazdę oporu tworzą gałęzie z oporami R2, R3, R5 i R1, R3, R4.

(Patrz Rysunek 9a)

Dowolny trójkąt oporu można zastąpić równoważną gwiazdą

(Patrz rysunek 9b). Aby przejść od trójkąta oporu do równoważnej gwiazdy, użyj wzorów:

W niektórych obwodach elektrycznych obliczenia są uproszczone po zastąpieniu gwiazdy trójwiązkowej równoważnym trójkątem oporowym. W tym przypadku stosuje się formuły przekształceń odwrotnych:

Rysunek 9

Rysunek 9

Obliczanie obwodów rozgałęzionych z wieloma źródłami

Jeśli znana jest konfiguracja złożonego obwodu elektrycznego i podane są właściwości wszystkich jego elementów składowych, to obliczenie takiego obwodu zwykle sprowadza się do określenia prądów w gałęziach i potencjałów węzłów. W przeciwieństwie do przypadków omówionych powyżej, rozgałęziony łańcuch z wieloma źródłami wymaga specjalnych metod obliczeniowych. Należy zauważyć, że rozgałęzione łańcuchy z jednym źródłem można również obliczyć przy użyciu metod omówionych poniżej.

Metoda równań Kirchhoffa

Poszukiwanie nieznanych wielkości wiąże się z kompilacją i łącznym rozwiązaniem układu równań napisanego zgodnie z I i II prawami Kirchhoffa.

Algorytm obliczeniowy.

1. Określ liczbę węzłów, gałęzi i niezależnych obwodów obwodu elektrycznego.

2. Wyznacz prądy odgałęzień i arbitralnie wybierz ich kierunek dodatni.

3. Dla węzłów ułóż równania zgodnie z prawem Kirchhoffa I. Takie równania powinny być ( n- jeden). n to liczba węzłów.

4. Dla każdego wybranego obwodu sporządź równania zgodnie z II prawem Kirchhoffa. Takie równania powinny być p. p - liczba niezależnych obwodów, p=m-(n-1)

5. Rozwiąż układ m równań (liczba równań w układzie musi odpowiadać liczbie rozgałęzień).

6. Sprawdź poprawność obliczeń za pomocą bilansu mocy.

Przykład3. Określ prądy w poszczególnych odcinkach przedstawionego obwodu

na rysunku 10.

E 1=95V, r1=1Ω, E2=69V, r2=2Ω, R1=20Ω, R2=10Ω, R3=29Ω, R4=5Ω, R5=1Ω.

Decyzja:

1. Łańcuch złożony zawiera dwa węzły B i E (n=2), trzy gałęzie BE, VBAE, VGDE (m=3), trzy obwody (ABBEA, VGDEV, ABVGDEA)

Rysunek 10

2. W dowolny sposób oznaczyć kierunek prądów gałęzi i kierunek omijania obwodów (patrz rysunek 11).

3. Ułóż jedno równanie zgodnie z prawem Kirchhoffa I dla węzła B: I1 + I2 = I3

4. Ułóż dwa równania zgodnie z II prawem Kirchhoffa, ponieważ p = 3-(2-1).

Kontur ABVEA: E 1- E 2 \u003d I1 (r1 + R1 + R3) - I2 (r2 + R2)

Kontur VGDEV: E 2 \u003d I2 (r2 + R2) + I3 (R4 + R5)

5. Rozwiążmy układ równań:

Rysunek 11

Metoda prądu w pętli

Metoda równań Kirchhoffa (równania węzłowe i konturowe) w niektórych przypadkach prowadzi do: złożone obliczenia. Na przykład przy obliczaniu obwodu zawierającego pięć rozgałęzień konieczne jest napisanie pięciu równań. Liczbę równań systemowych można zmniejszyć, stosując metodę prądu pętli.

Metoda prądu pętlowego jest jedną z głównych metod obliczania złożonych obwodów elektrycznych, która jest szeroko stosowana w praktyce.

Algorytm obliczeniowy

1 Wyznacz wszystkie prądy rozgałęzione i ich dodatni kierunek.

2 Przełam schemat złożonego obwodu na oddzielne kontury - komórki.

3 Przypisz arbitralnie skierowany prąd pętli do każdego obwodu, taki sam dla wszystkich sekcji tego obwodu. (Lepiej wybrać jeden kierunek dodatni dla wszystkich prądów pętli).

4 Wykonaj równania zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, liczba równań powinna być równa liczbie prądów pętli.

5 Rozwiąż otrzymany układ równań dla prądów pętli za pomocą metody matematyczne(metoda Cramera, Gaussa itp.)

6 Wyznacz prądy rozgałęzione przez prądy pętli zgodnie z prawem Kirchhoffa I.

7 Jeśli to konieczne, użyj uogólnionego prawa Ohma do określenia potencjałów węzłów.

8 Sprawdź poprawność obliczeń za pomocą bilansu mocy.

Przykład 4 Rozważ rozwiązanie poprzedniego problemu metodą prądu pętli.

1. Wybierz kierunek prądów gałęzi

2. W tym schemacie możesz zdefiniować dwa

komórki konturowe ABVEA, VGDEV.

3. Do obwodu ABBEA przypisujemy prąd obwodu II, którego kierunek dodatni pokrywa się z

kontur VGDEV-III, kierunek dodatni jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

4. Ułóż równania zgodnie z II prawem Kirchhoffa:

5. Rozwiążmy układ równań:

Prądy w skrajnych gałęziach obwodu elektrycznego pokrywają się z prądami pętli

I 1=I I=1A, I 3=I II=3A. Prąd w gałęzi wewnętrznej jest określony przez prawo Kirchhoffa I

I2 \u003d I 3 -I 1 \u003d 2A

Wyniki rozwiązania problemu zbiegły się z odpowiedzią uzyskaną przez rozwiązanie równania Kirchhoffa.

Metoda potencjału węzłowego

Prąd w dowolnej gałęzi obwodu można znaleźć za pomocą uogólnionego prawa Ohma. Aby móc zastosować prawo Ohma, konieczne jest poznanie wartości potencjałów węzłów obwodu. Metoda obliczania obwodów elektrycznych, w której potencjały węzłów obwodu są traktowane jako niewiadome, nazywana jest metodą potencjałów węzłowych. Liczba niewiadomych w metodzie potencjałów węzłowych jest równa liczbie równań, które należy skompilować dla obwodu zgodnie z prawem Kirchhoffa I. Metoda potencjałów węzłowych, podobnie jak metoda prądów pętli, jest jedną z głównych metod obliczeniowych. W takim przypadku, kiedy P- 1 < p (n – liczba węzłów, p- liczba niezależnych obwodów), ta metoda jest bardziej ekonomiczna niż metoda prądów pętli.

Algorytm obliczeniowy

1. Wyznacz wszystkie prądy gałęziowe i ich dodatni kierunek.

2. Losowo wybierz węzeł referencyjny (potencjał tego węzła jest warunkowo uważany za równy zero) i policz całą resztę ( n- 1)-mi węzły.

3. Wyznaczyć przewodnictwo własne i całkowite węzłów oraz prądy węzłowe tj. obliczyć współczynniki w układzie równań. Przewodnictwo wewnętrzne węzła (G ii ) reprezentuje suma arytmetyczna przewodności wszystkich połączonych gałęzi w i-ty węzeł.

Całkowita przewodność i-tego i j-tego węzła (G ij = G Ji ) reprezentuje sumę przewodności gałęzi, wziętych ze znakiem „-”, połączonych jednocześnie z i- omu i j- węzeł.

Przyjmuje się, że przewodności gałęzi ze źródłami prądu są równe zeru i nie są zaliczane do przewodności własnej i ogólnej!

Prąd węzłowy (J ii ) składa się z dwóch sum algebraicznych: pierwsza zawiera prądy źródeł prądu zawartych w gałęziach połączonych w i- węzeł omowy; drugi jest iloczynem pola elektromagnetycznego źródeł napięcia od przewodności odpowiednich gałęzi połączonych w i- o węźle. Ze znakiem „+” kwota ta obejmuje mi oraz Jźródła, których akcja jest skierowana do węzła, ze znakiem „-” reszta.

4. Napisz układ równań w postaci

W tym systemie każdemu węzłowi odpowiada osobne równanie.

5. Rozwiąż powstały układ równań ze względu na niewiadome ( n- 1) potencjały.

7. Sprawdź poprawność obliczeń z wykorzystaniem bilansu mocy.

Kolejność obliczeń nie zależy od rodzaju źródeł działających w obwodzie. Ale obliczenia są uproszczone, gdy wyidealizowane źródła emf są zawarte między jedną lub większą liczbą par węzłów. Wtedy naprężenia między tymi parami węzłów stają się znanymi wartościami, wyznaczonymi przez warunki problemu. Aby pomyślnie rozwiązać takie problemy, konieczne jest prawidłowe wyznaczenie węzła referencyjnego, z którego można wybrać tylko jeden z węzłów, do którego podłączona jest gałąź z wyidealizowanym źródłem pola elektromagnetycznego.

Jeśli takie gałęzie q, to liczba równań w układzie zmniejszy się do

k = n - 1- q.

Przykład 5 Oblicz obwód elektryczny metodą potencjału. (Patrz Rysunek 13)

Rysunek 13

metoda nakładania

Metoda nakładania opiera się na zasadzie nakładania i wygląda następująco: prąd lub napięcie dowolnej gałęzi lub odcinka rozgałęzionego obwodu elektrycznego prądu stałego definiuje się jako algebraiczną sumę prądów lub napięć wywołanych przez każde ze źródeł z osobna.

Podczas korzystania z tej metody problem obliczania rozgałęzionego obwodu elektrycznego z nźródła ograniczają się do wspólnej decyzji n obwody jednoźródłowe.

Algorytm rozwiązania

1. Oryginalny obwód zawierający nźródła, przekonwertuj na n podukładów, z których każdy zawiera tylko jedno ze źródeł, pozostałe źródła są wykluczone w następujący sposób: źródła napięcia są zwarte, a gałęzie ze źródłami prądu są odcinane. Rezystancje wewnętrzne prawdziwe źródła pełnią rolę konsumentów i dlatego muszą pozostawać w obwodach podrzędnych.

2. Określ prądy każdego z podobwodów, określając ich kierunek zgodnie z polaryzacją źródła. Obliczenia przeprowadza się zgodnie z prawem Ohma metodą równoważnych przekształceń obwodów pasywnych.

3. Pełny prąd w dowolnej gałęzi oryginalnego obwodu jest definiowana jako suma algebraiczna prądów obwodów pomocniczych, a po zsumowaniu ze znakiem „+” pobierane są prądy podukładów, których kierunek pokrywa się z kierunkiem prądu w oryginalnym obwodzie, ze znakiem „-” - reszta.

Zaletą tej metody jest fakt, że obliczenia są przeprowadzane w częściach, w których składowe prądu i napięcia są określane w dość prosty sposób. Metoda zalecana dla obwodów zawierających 2-3 źródła.

Schemat obwodu elektrycznego pierwotnego problemu zawiera zatem dwa źródła pola elektromagnetycznego to zadanie można również rozwiązać, stosując prądy.

1. Przekształćmy obwód (patrz rysunek 14), aby pierwsze źródło pozostało w obwodzie, drugie źródło nie jest idealne, więc zastępujemy je rezystorem o rezystancji r2 (patrz rysunek 15).

Znajdźmy prądy częściowe.

Rysunek 14

Rysunek 15

2. Przekształćmy obwód (patrz rysunek 14), aby w obwodzie pozostało tylko jedno drugie źródło, pierwsze źródło nie jest idealne, więc zastępujemy je rezystorem o rezystancji r1 (patrz rysunek 16).

Znajdźmy prądy częściowe.

Rysunek 16

Zdefiniujmy prawdziwe prądy:

Metoda napięcia węzłowego

Odbiorcy energii elektrycznej są połączeni równolegle. Często całkowita moc dołączonych odbiorników staje się większa niż ta, którą źródło zasilania może dostarczyć do sieci. W takich przypadkach przy stałym napięciu źródła energii są połączone równolegle. Daje to łańcuch zawierający dwa węzły. Napięcie między węzłami A i B nazywane jest węzłem. Wygodnie jest obliczyć taki obwód za pomocą metody napięcia węzłowego.

Algorytm obliczeniowy

1. Wskaż kierunek prądów na schemacie (wybierz kierunek prądów w kierunku jednego z węzłów).

3. Określ naprężenie węzłowe:

Jeśli kierunek EMF jest przeciwny do kierunku prądu w gałęzi, wprowadzi formułę ze znakiem minus.

4. Znajdź prąd w oddziałach:

Przykład 7

Rozważany wcześniej problem można również rozwiązać metodą naprężeń węzłowych.

1. Oznacz węzły A i B na diagramie. Określ kierunek prądów (patrz rysunek 17).

2. Oblicz przewodność każdej gałęzi:

Rysunek 17

3. Zdefiniuj naprężenie węzłowe:

4. Znajdź prądy gałęzi:

POLE MAGNETYCZNE

PODSUMOWANIE NA TEMAT:

METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH DC

Wstęp

Ogólnym zadaniem analizy obwodu elektrycznego jest to, że zgodnie z zadanymi parametrami (EMF, RTD, rezystancje) należy obliczyć prądy, moc, napięcie w oddzielnych sekcjach.

Rozważmy bardziej szczegółowo metody obliczania obwodów elektrycznych.

1. Metoda równań Kirchhoffa

Ta metoda jest najbardziej ogólną metodą rozwiązywania problemu analizy obwodów elektrycznych. Polega na rozwiązaniu układu równań skompilowanego zgodnie z pierwszym i drugim prawem Kirchhoffa dla prądów rzeczywistych w gałęziach rozważanego obwodu. Dlatego całkowita liczba równań p jest równa liczbie gałęzi o nieznanych prądach. Niektóre z tych równań są zestawiane zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, reszta - zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa. W schemacie zawierającym q węzły, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, można komponować q równania. Jednak jeden z nich (dowolny) jest sumą wszystkich pozostałych. Dlatego niezależne równania skompilowane zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa będą

.

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa zaginiony m równania, których liczba jest równa

.

Aby zapisać równania zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, należy wybrać m kontury, tak aby ostatecznie obejmowały wszystkie gałęzie obwodu.

Rozważ tę metodę na przykładzie konkretnego obwodu (ryc. 1).

Przede wszystkim wybieramy i wskazujemy na wykresie dodatnie kierunki prądów w gałęziach i określamy ich liczbę p. Dla rozważanego programu p= 6. Należy zauważyć, że kierunki prądów w gałęziach dobierane są arbitralnie. Jeżeli przyjęty kierunek dowolnego prądu nie odpowiada rzeczywistemu, to wartość liczbowa tego prądu jest ujemna.

Dlatego liczba równań zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa jest równa q – 1 = 3.

Liczba równań opracowanych zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa

m = p - (q – 1) = 3.

Wybieramy węzły i obwody, dla których sporządzimy równania, i oznaczamy je na schemacie obwodu elektrycznego.

Równania według pierwszego prawa Kirchhoffa:

Równania według drugiego prawa Kirchhoffa:

Rozwiązując powstały układ równań, określamy prądy gałęziowe. Obliczenie obwodu elektrycznego niekoniecznie polega na obliczeniu prądów zgodnie z daną siłą elektromotoryczną źródeł napięcia. Możliwe jest również inne sformułowanie problemu - obliczenie pola elektromagnetycznego źródeł dla danych prądów w gałęziach obwodu. Zadanie może mieć również charakter mieszany - podano prądy w niektórych gałęziach oraz pola elektromagnetyczne niektórych źródeł. Konieczne jest znalezienie prądów w innych gałęziach i pola elektromagnetycznego innych źródeł. We wszystkich przypadkach liczba sporządzonych równań musi być równa liczbie nieznanych wielkości. W obwodzie mogą znajdować się również źródła energii określone w postaci źródeł prądowych. W takim przypadku prąd źródła prądu jest brany pod uwagę jako prąd gałęzi podczas kompilowania równań zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa.

Obwody do kompilacji równań zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa należy dobrać tak, aby żaden obliczony obwód nie przechodził przez źródło prądu.

Rozważ schemat obwodu elektrycznego pokazany na ryc. 2.

Wybieramy dodatnie kierunki prądów i przykładamy je do obwodu. Łączna liczba gałęzi obwodu wynosi pięć. Jeśli weźmiemy pod uwagę prąd obecnego źródła J znana wartość, to liczba gałęzi o nieznanych prądach p = 4.

Schemat zawiera trzy węzły ( q= 3). Dlatego, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, konieczne jest komponowanie q– 1 = 2 równania. Wyznaczmy węzły na diagramie. Liczba równań opracowanych zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa m = p - (q – 1) =2.

Obwody dobieramy w taki sposób, aby żaden z nich nie przechodził przez źródło prądu i oznaczamy je na schemacie.

Układ równań, skompilowany zgodnie z prawami Kirchhoffa, ma postać:

Rozwiązując powstały układ równań, znajdujemy prądy w gałęziach. Metoda równań Kirchhoffa ma zastosowanie do obliczania zarówno złożonych obwodów liniowych, jak i nieliniowych i jest to jej zaleta. Wadą tej metody jest to, że przy obliczaniu złożonych obwodów konieczne jest skomponowanie i rozwiązanie szeregu równań równych liczbie gałęzi p .

Ostatnim etapem obliczeń jest weryfikacja rozwiązania, której można dokonać poprzez sporządzenie równania bilansu mocy.

Bilans mocy obwodu elektrycznego rozumiany jest jako równość mocy wytwarzanych przez wszystkie źródła energii danego obwodu i mocy pobieranej przez wszystkie odbiorniki tego samego obwodu (prawo zachowania energii).

Jeśli w sekcji obwodu znajduje się źródło energii z polem elektromagnetycznym ab

i prąd przepływa przez tę sekcję, wtedy moc wytwarzana przez to źródło jest określana przez produkt.

Każdy z czynników tego iloczynu może mieć znak dodatni lub ujemny w stosunku do kierunku ab. Praca

będzie miał znak dodatni, jeśli znaki obliczonych wartości i pokrywają się (moc wytwarzana przez to źródło jest przekazywana do odbiorników obwodu). Produkt będzie miał znak ujemny, jeśli znaki i są przeciwne (źródło zużywa moc wytworzoną przez inne źródła). Przykładem może być bateria w trybie ładowania. W tym przypadku moc tego źródła (termin ) jest zawarta w algebraicznej sumie mocy wszystkich źródeł obwodu, ze znakiem ujemnym. Podobnie określa się wielkość i znak mocy wytwarzanej przez źródło prądu. Jeśli istnieje idealne źródło prądu z prądem w sekcji obwodu mn, to moc wytwarzana przez to źródło jest określana przez produkt. Podobnie jak w źródle EMF, znak produktu jest określony przez znaki czynników.

Teraz możemy napisać ogólną postać równania bilansu mocy

.

Dla obwodu pokazanego na rysunku 2.2 równanie bilansu mocy to

.

2. Metoda prądu w pętli

Metoda prądów pętli sprowadza się do formułowania równań tylko zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa. Liczba tych równań równa

, mniej równań niż liczba równań wymaganych do obliczenia obwodów elektrycznych metodą praw Kirchhoffa.

W tym przypadku zakładamy, że w każdym wybranym obwodzie płyną niezależnie od siebie prądy znamionowe, zwane prądami w obwodzie. Prąd każdej gałęzi definiuje się jako sumę algebraiczną prądów pętli, które zamykają się w tej gałęzi, z uwzględnieniem przyjętych kierunków prądów pętli i znaków ich wartości.