Funkcja rośnie w przedziale. Wystarczające oznaki zwiększania i zmniejszania funkcji

Definicja funkcji narastającej.

Funkcjonować y=f(x) wzrasta w przedziale X, jeśli w ogóle i nierówność jest zaspokojona. Innymi słowy - większa wartość argument odpowiada większej wartości funkcji.

Zmniejszanie definicji funkcji.

Funkcjonować y=f(x) maleje z upływem czasu X, jeśli w ogóle i nierówności . Innymi słowy, większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.

UWAGA: jeśli funkcja jest zdefiniowana i jest ciągła na końcach przedziału wzrostu lub spadku (a;b), to jest, kiedy x=a oraz x=b, punkty te są zawarte w przedziale wzrostu lub spadku. Nie jest to sprzeczne z definicją rosnącej i malejącej funkcji na przedziale X.

Na przykład z właściwości podstawowych funkcji elementarnych wiemy, że y=sinx jest zdefiniowany i ciągły dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu. Dlatego ze wzrostu funkcji sinus na przedziale możemy stwierdzić wzrost na przedziale .

Ekstrema, ekstrema funkcji.

Punkt nazywa się maksymalny punkt Funkcje y=f(x) jeśli dla wszystkich x z jego sąsiedztwa nierówność jest prawdziwa. Wartość funkcji w punkcie maksymalnym nazywa się funkcja maksymalna i oznaczają .

Punkt nazywa się punkt minimalny Funkcje y=f(x) jeśli dla wszystkich x z jego sąsiedztwa nierówność jest prawdziwa. Wartość funkcji w punkcie minimum nazywa się funkcja minimum i oznaczają .

Sąsiedztwo punktu rozumiane jest jako przedział , gdzie jest wystarczająco małą liczbą dodatnią.

Punkty minimalne i maksymalne nazywają się punkty ekstremalne, a wartości funkcji odpowiadające punktom ekstremalnym są nazywane ekstrema funkcji.

Nie myl ekstremów funkcji z maksymalnymi i minimalnymi wartościami funkcji.

Na pierwszym obrazku najwyższa wartość funkcje na interwale jest osiągnięta w punkcie maksimum i jest równa maksimum funkcji, a na drugim rysunku maksymalna wartość funkcji jest osiągnięta w punkcie x=b, co nie jest punktem maksymalnym.

Wystarczające warunki do zwiększania i zmniejszania funkcji.

Na podstawie warunków wystarczających (znaków) wzrostu i spadku funkcji wyznacza się przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Oto sformułowania znaków rosnących i malejących funkcji na przedziale:

jeśli pochodna funkcji y=f(x) pozytywne dla każdego x z przedziału X, to funkcja zwiększa się o X;

jeśli pochodna funkcji y=f(x) negatywny dla każdego x z przedziału X, to funkcja zmniejsza się o X.

Zatem do wyznaczenia przedziałów wzrostu i spadku funkcji konieczne jest:

Rozważ przykład znajdowania przedziałów funkcji rosnących i malejących, aby wyjaśnić algorytm.

Przykład.

Znajdź przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Rozwiązanie.

Pierwszym krokiem jest znalezienie zakresu definicji funkcji. W naszym przykładzie wyrażenie w mianowniku nie powinno zniknąć, zatem .

Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji:

Aby wyznaczyć przedziały przyrostów i spadków funkcji wystarczającym kryterium, rozwiązujemy nierówności oraz w dziedzinie definicji. Posłużmy się uogólnieniem metody interwałowej. Jedynym prawdziwym pierwiastkiem licznika jest x=2, a mianownik znika w x=0. Punkty te dzielą dziedzinę definicji na przedziały, w których pochodna funkcji zachowuje swój znak. Zaznaczmy te punkty na osi liczbowej. Przez plusy i minusy warunkowo oznaczamy przedziały, na których pochodna jest dodatnia lub ujemna. Poniższe strzałki pokazują schematycznie wzrost lub spadek funkcji w odpowiednim przedziale.

Wysoko ważna informacja o zachowaniu funkcji zapewnij przęsła rosnąco i malejąco. Znajdowanie ich jest częścią procesu eksploracji i kreślenia funkcji. Dodatkowo podano punkty ekstremum, w których następuje zmiana od wzrostu do spadku lub od spadku do wzrostu Specjalna uwaga przy znajdowaniu największej i najmniejszej wartości funkcji na określonym przedziale.

W tym artykule będziemy niezbędne definicje, formułujemy kryterium dostateczne wzrostu i spadku funkcji na przedziale oraz warunki dostateczne istnienia ekstremum, całą teorię stosujemy do rozwiązywania przykładów i problemów.

Nawigacja po stronach.

Funkcja narastająca i malejąca na interwale.

Definicja funkcji narastającej.

Funkcja y=f(x) rośnie na przedziale X jeśli dla dowolnego i nierówność jest zaspokojona. Innymi słowy, większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji.

Zmniejszanie definicji funkcji.

Funkcja y=f(x) maleje na przedziale X jeśli dla dowolnego i nierówności . Innymi słowy, większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.

UWAGA: jeśli funkcja jest określona i ciągła na końcach przedziału wzrostu lub spadku (a;b) , czyli w x=a i x=b , to punkty te wchodzą w zakres przedziału wzrostu lub spadku. Nie jest to sprzeczne z definicją rosnącej i malejącej funkcji na przedziale X .

Na przykład z właściwości głównego podstawowe funkcje wiemy, że y=sinx jest zdefiniowane i ciągłe dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu. Dlatego ze wzrostu funkcji sinus na przedziale możemy stwierdzić wzrost na przedziale .

Ekstrema, ekstrema funkcji.

Punkt nazywa się maksymalny punkt funkcja y=f(x) jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x z jego sąsiedztwa. Wartość funkcji w punkcie maksymalnym nazywa się funkcja maksymalna i oznaczają .

Punkt nazywa się punkt minimalny funkcja y=f(x) jeśli nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x z jego sąsiedztwa. Wartość funkcji w punkcie minimum nazywa się funkcja minimum i oznaczają .

Sąsiedztwo punktu rozumiane jest jako przedział , gdzie jest wystarczająco małą liczbą dodatnią.

Punkty minimalne i maksymalne nazywają się punkty ekstremalne, a wartości funkcji odpowiadające punktom ekstremalnym są nazywane ekstrema funkcji.

Nie myl ekstremów funkcji z maksymalnymi i minimalnymi wartościami funkcji.

Na pierwszej figurze maksymalna wartość funkcji na odcinku jest osiągnięta w punkcie maksimum i jest równa maksimum funkcji, a na drugiej maksymalna wartość funkcji jest osiągnięta w punkcie x=b , co nie jest punktem maksymalnym.

Wystarczające warunki do zwiększania i zmniejszania funkcji.

Na podstawie warunków wystarczających (znaków) wzrostu i spadku funkcji wyznacza się przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Oto sformułowania znaków rosnących i malejących funkcji na przedziale:

• jeśli pochodna funkcji y=f(x) jest dodatnia dla dowolnego x z przedziału X , to funkcja rośnie o X ;
• jeśli pochodna funkcji y=f(x) jest ujemna dla dowolnego x z przedziału X , to funkcja maleje na X .

Zatem do wyznaczenia przedziałów wzrostu i spadku funkcji konieczne jest:

Rozważ przykład znajdowania przedziałów funkcji rosnących i malejących, aby wyjaśnić algorytm.

Przykład.

Znajdź przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Rozwiązanie.

Pierwszym krokiem jest znalezienie zakresu funkcji. W naszym przykładzie wyrażenie w mianowniku nie powinno zniknąć, zatem .

Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji:

Aby wyznaczyć przedziały przyrostów i spadków funkcji wystarczającym kryterium, rozwiązujemy nierówności oraz w dziedzinie definicji. Posłużmy się uogólnieniem metody interwałowej. Jedynym pierwiastkiem rzeczywistym tego licznika jest x = 2 , a mianownik znika przy x=0 . Punkty te dzielą dziedzinę definicji na przedziały, w których pochodna funkcji zachowuje swój znak. Zaznaczmy te punkty na osi liczbowej. Przez plusy i minusy warunkowo oznaczamy przedziały, na których pochodna jest dodatnia lub ujemna. Poniższe strzałki pokazują schematycznie wzrost lub spadek funkcji w odpowiednim przedziale.

W ten sposób, oraz .

W punkcie x=2 funkcja jest zdefiniowana i ciągła, więc musi być dodana zarówno do interwału rosnącego, jak i malejącego. W punkcie x=0 funkcja nie jest zdefiniowana, więc ten punkt nie jest uwzględniony w wymaganych przedziałach.

Przedstawiamy wykres funkcji, aby porównać z nim otrzymane wyniki.

Odpowiadać:

Funkcja wzrasta o , zmniejsza się w przedziale (0;2] .

Warunki dostateczne ekstremum funkcji.

Aby znaleźć maksima i minima funkcji, możesz oczywiście użyć dowolnego z trzech znaków ekstremów, jeśli funkcja spełnia ich warunki. Najpopularniejszy i najwygodniejszy jest pierwszy z nich.

Pierwszy wystarczający warunek ekstremum.

Niech funkcja y=f(x) będzie różniczkowalna w sąsiedztwie punktu i będzie ciągła w samym punkcie.

Innymi słowy:

Algorytm znajdowania punktów ekstremum na podstawie pierwszego znaku funkcji ekstremum.

• Znalezienie zakresu funkcji.
• Znajdujemy pochodną funkcji w dziedzinie definicji.
• Wyznaczamy zera licznika, zera mianownika pochodnej oraz punkty dziedziny, w której pochodna nie istnieje (wszystkie wymienione punkty nazywamy punkty możliwego ekstremum, przechodząc przez te punkty, pochodna może po prostu zmienić swój znak).
• Punkty te dzielą dziedzinę funkcji na przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak. Określamy znaki pochodnej na każdym z przedziałów (na przykład obliczając wartość pochodnej funkcji w dowolnym punkcie pojedynczego przedziału).
• Wybieramy punkty, w których funkcja jest ciągła i przechodząc przez które pochodna zmienia znak - są to punkty ekstremum.

Zbyt wiele słów, rozważmy kilka przykładów znajdowania ekstremów i ekstremów funkcji przy użyciu pierwszego warunku wystarczającego dla ekstremum funkcji.

Przykład.

Znajdź ekstrema funkcji .

Rozwiązanie.

Zakresem funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych, z wyjątkiem x=2 .

Znajdujemy pochodną:

Zera licznika to punkty x=-1 i x=5 , mianownik dochodzi do zera przy x=2 . Zaznacz te punkty na osi liczbowej

Określamy znaki pochodnej na każdym przedziale, w tym celu obliczamy wartość pochodnej w dowolnym z punktów każdego przedziału, na przykład w punktach x=-2, x=0, x=3 i x= 6 .

Dlatego pochodna jest dodatnia na przedziale (na rysunku umieszczamy znak plus na tym przedziale). podobnie

Dlatego wstawiamy minus nad drugą przerwą, minus nad trzecią i plus nad czwartą.

Pozostaje wybrać punkty, w których funkcja jest ciągła, a jej pochodna zmienia znak. To są punkty ekstremalne.

W punkcie x=-1 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z plusa na minus, zatem zgodnie z pierwszym znakiem ekstremum x=-1 jest punktem maksymalnym, odpowiada maksimum funkcji .

W punkcie x=5 funkcja jest ciągła i pochodna zmienia znak z minus na plus, zatem x=-1 jest punktem minimum, odpowiada minimum funkcji .

Graficzna ilustracja.

Odpowiadać:

UWAGA: pierwszy wystarczający znak ekstremum nie wymaga, aby funkcja była różniczkowalna w samym punkcie.

Przykład.

Znajdź ekstrema i ekstrema funkcji .

Rozwiązanie.

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Samą funkcję można zapisać jako:

Znajdźmy pochodną funkcji:

W punkcie x=0 pochodna nie istnieje, ponieważ wartości granic jednostronnych nie pokrywają się, gdy argument zmierza do zera:

Jednocześnie pierwotna funkcja jest ciągła w punkcie x=0 (patrz rozdział dotyczący badania funkcji pod kątem ciągłości):

Znajdź wartości argumentu, przy którym pochodna znika:

Wszystkie uzyskane punkty zaznaczamy na prostej rzeczywistej i wyznaczamy znak pochodnej na każdym z przedziałów. Aby to zrobić, obliczamy wartości pochodnej w dowolnych punktach każdego przedziału, na przykład kiedy x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

To znaczy,

Tak więc, zgodnie z pierwszym znakiem ekstremum, minimalna liczba punktów wynosi , maksymalna liczba punktów to .

Obliczamy odpowiednie minima funkcji

Obliczamy odpowiednie maksima funkcji

Graficzna ilustracja.

Odpowiadać:

.

Drugi znak ekstremum funkcji.

Jak widać, ten znak ekstremum funkcji wymaga istnienia pochodnej co najmniej do drugiego rzędu w punkcie .

Praca dyplomowa w UŻYJ formularza dla 11-klasistów koniecznie zawiera zadania do obliczania granic, przedziałów zmniejszania i zwiększania pochodnej funkcji, znajdowania ekstremów i kreślenia wykresów. Dobra znajomość tego tematu pozwala poprawnie odpowiedzieć na kilka pytań egzaminacyjnych i nie doświadczać trudności w dalszym szkoleniu zawodowym.

Podstawy rachunek różniczkowy jeden z głównych tematów matematyki nowoczesna szkoła. Zajmuje się badaniem wykorzystania pochodnej do badania zależności zmiennych - to dzięki pochodnej można analizować przyrosty i spadki funkcji bez odwoływania się do rysunku.

Kompleksowe przygotowanie absolwentów do zdanie egzaminu na portal edukacyjny„Szkolkowo” pomoże głęboko zrozumieć zasady różnicowania - szczegółowo zrozumieć teorię, przestudiować przykłady rozwiązań typowe zadania i spróbuj swoich sił w samodzielnej pracy. Pomożemy Ci wyeliminować luki w wiedzy - wyjaśnić Twoje zrozumienie pojęć leksykalnych tematu i zależności ilościowych. Studenci będą potrafili powtórzyć, jak znaleźć przedziały monotoniczności, czyli wzrostu lub spadku pochodnej funkcji na pewnym przedziale, gdy punkty brzegowe są zawarte, a nie zawarte w znalezionych przedziałach.

Przed przystąpieniem do bezpośredniego rozwiązywania problemów tematycznych zalecamy najpierw przejść do sekcji „Odniesienia teoretyczne” i powtórzyć definicje pojęć, reguł i formuł tabelarycznych. Tutaj możesz również przeczytać, jak znaleźć i zapisać każdy przedział funkcji rosnących i malejących na wykresie pochodnych.

Wszystkie oferowane informacje są prezentowane w najbardziej przystępnej formie do zrozumienia praktycznie od podstaw. Witryna udostępnia materiały do ​​percepcji i przyswajania w kilku różne formy– czytanie, oglądanie wideo i bezpośrednie szkolenie pod okiem doświadczeni nauczyciele. Profesjonalni edukatorzy dowiesz się szczegółowo, jak znaleźć przedziały wzrostu i spadku pochodnej funkcji metodami analitycznymi i graficznymi. Podczas webinarów będzie można zadać dowolne pytanie, które będzie interesujące zarówno teoretycznie, jak i rozwiązywać konkretne problemy.

Pamiętając główne punkty tematu, spójrz na przykłady zwiększania pochodnej funkcji, podobne do zadań z opcji egzaminacyjnych. Aby skonsolidować to, czego się nauczyłeś, zajrzyj do „Katalogu” - tutaj znajdziesz praktyczne ćwiczenia dla niezależna praca. Zadania w dziale dobierane są na różnych poziomach złożoności, z uwzględnieniem rozwoju umiejętności. Do każdego z nich dołączone są np. algorytmy rozwiązania i poprawne odpowiedzi.

Wybierając sekcję „Konstruktor” studenci będą mogli ćwiczyć studiowanie zwiększania i zmniejszania pochodnej funkcji na rzeczywistych UŻYJ opcji stale aktualizowana o najnowsze zmiany i innowacje.

pochodna. Jeśli pochodna funkcji jest dodatnia w dowolnym punkcie przedziału, to funkcja rośnie, jeśli jest ujemna, maleje.

Aby znaleźć przedziały wzrostu i spadku funkcji, należy znaleźć dziedzinę jej definicji, pochodną, ​​rozwiązać nierówności postaci F’(x) > 0 i F’(x)

Rozwiązanie.

3. Rozwiąż nierówności y’ > 0 i y’ 0;
(4-x)/x³

Rozwiązanie.
1. Znajdź dziedzinę funkcji. Oczywiście wyrażenie w mianowniku musi być zawsze różne od zera. Dlatego 0 jest wykluczone z dziedziny definicji: funkcja jest zdefiniowana dla x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Oblicz pochodną funkcji:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² - (3 x² + 2 x - 4) 2 x) / x^4 = (6 x³ + 2 x² - 6 x³ - 4 x² + 8 x) / x^ 4 \u003d (8 x - 2 x²) / x ^ 4 \u003d 2 (4-x) / x³.

3. Rozwiąż nierówności y’ > 0 i y’ 0;
(4-x)/x³

4. Lewa strona nierówność ma jedną rzeczywistą x = 4 i zamienia się w x = 0. Dlatego wartość x = 4 jest zawarta zarówno w przedziale, jak iw przedziale malejącym, a punkt 0 nie jest uwzględniony.
Zatem wymagana funkcja rośnie w przedziale x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. Lewa strona nierówności ma jedną rzeczywistą x = 4 i zamienia się w x = 0. Zatem wartość x = 4 jest zawarta w przedziale iw przedziale malejącym, a punkt 0 nie jest uwzględniony.
Zatem wymagana funkcja rośnie w przedziale x ∈ (-∞; 0) ∪ .

Źródła:

• jak znaleźć malejące przedziały na funkcji

Funkcja jest ścisłą zależnością jednej liczby od drugiej lub wartości funkcji (y) od argumentu (x). Każdy proces (nie tylko matematyczny) można opisać własną funkcją, która będzie miała cechy charakterystyczne: przedziały spadków i wzrostów, punkty minimów i maksimów i tak dalej.

Będziesz potrzebować

• - papier;
• - długopis.

Instrukcja

Przykład 2
Znajdź przedziały malejących f(x)=sinx +x.
Pochodna tej funkcji będzie równa: f'(x)=cosx+1.
Rozwiązywanie nierówności cosx+1

interwał monotonia Funkcję można nazwać przedziałem, w którym funkcja albo tylko rośnie, albo tylko maleje. Szereg konkretnych działań pomoże znaleźć takie zakresy dla funkcji, co jest często wymagane w tego rodzaju problemach algebraicznych.

Instrukcja

Pierwszym krokiem w rozwiązaniu problemu wyznaczenia przedziałów, w których funkcja monotonicznie wzrasta lub maleje, jest obliczenie tej funkcji. Aby to zrobić, znajdź wszystkie wartości argumentów (wartości na osi x), dla których możesz znaleźć wartość funkcji. Zaznacz punkty, w których obserwuje się luki. Znajdź pochodną funkcji. Po zdefiniowaniu wyrażenia, które reprezentuje pochodną, ​​ustaw je na zero. Następnie powinieneś znaleźć korzenie wynikowego . Nie o powierzchni dopuszczalnej.

Punkty, w których funkcja lub jej pochodna jest równa zero, są granicami przedziałów monotonia. Przedziały te, jak również punkty je rozdzielające, należy wpisywać kolejno do tabeli. Znajdź znak pochodnej funkcji w otrzymanych przedziałach. Aby to zrobić, wstaw dowolny argument z przedziału do wyrażenia odpowiadającego pochodnej. Jeśli wynik jest dodatni, funkcja w tym zakresie wzrasta, w przeciwnym razie maleje. Wyniki są wprowadzane do tabeli.

Linia oznaczająca pochodną funkcji f'(x) jest zapisywana odpowiadająca wartościom argumentów: "+" - jeśli pochodna jest dodatnia, "-" - ujemna lub "0" - równa zero. W następnym wierszu zwróć uwagę na monotonię samego oryginalnego wyrażenia. Strzałka w górę odpowiada wzrostowi, strzałka w dół odpowiada spadkowi. Sprawdź funkcje. Są to punkty, w których pochodna wynosi zero. Ekstremum może być zarówno punktem szczytowym, jak i dołkowym. Jeżeli poprzednia część funkcji rosła, a aktualna maleje, to jest to punkt maksymalny. W przypadku, gdy funkcja spadała do danego punktu, a teraz rośnie, jest to punkt minimum. Wpisz do tabeli wartości funkcji w punktach ekstremów.

Źródła:

• jaka jest definicja monotoniczności?

Badanie zachowania funkcji, która ma złożoną zależność od argumentu, odbywa się za pomocą pochodnej. Ze względu na charakter zmiany pochodnej można znaleźć punkty krytyczne i obszary wzrostu lub spadku funkcji.

Monotonia

Wysoko ważna własność funkcją jest jej monotoniczność. Znając tę ​​właściwość różnych funkcji specjalnych, można określić zachowanie różnych procesów fizycznych, ekonomicznych, społecznych i wielu innych.

Przeznaczyć następujące typy monotoniczność funkcji:

1) funkcjonować wzrasta, jeśli na jakimś przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów i ten przedział taki, że . Tych. większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji;

2) funkcjonować malejący, jeśli na jakimś przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów i ten przedział taki, że . Tych. większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji;

3) funkcjonować niezmniejszające się, jeśli na pewnym przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów i ten przedział taki, że ;

4) funkcjonować nie wzrasta, jeśli na jakimś przedziale, jeśli dla dowolnych dwóch punktów i ten przedział taki, że .

2. W pierwszych dwóch przypadkach stosuje się również termin „ścisła monotoniczność”.

3. Ostatnie dwa przypadki są specyficzne i zwykle określane jako połączenie kilku funkcji.

4. Oddzielnie zauważamy, że wzrost i spadek wykresu funkcji należy rozpatrywać dokładnie od lewej do prawej i nic więcej.

2. Nawet dziwne.

Funkcja nazywa się nieparzysta, jeśli wraz ze zmianą znaku argumentu, zmienia on jego wartość na przeciwną. Wzór na to wygląda tak . Oznacza to, że po podstawieniu wartości minus x do funkcji w miejsce wszystkich x, funkcja zmieni swój znak. Wykres takiej funkcji jest symetryczny względem początku.

Przykłady funkcji nieparzystych to itp.

Na przykład wykres jest rzeczywiście symetryczny względem początku:

Funkcja nazywa się parzysta jeśli zmiana znaku argumentu nie zmienia jego wartości. Wzór na to wygląda tak. Oznacza to, że po podstawieniu wartości minus x do funkcji w miejsce wszystkich x, funkcja nie zmieni się w rezultacie. Wykres takiej funkcji jest symetryczny względem osi.

Przykłady funkcji parzystych to itp.

Na przykład pokażmy symetrię wykresu względem osi:

Jeśli funkcja nie należy do żadnego z określony gatunek, wtedy nazywa się to ani parzyste, ani nieparzyste lub funkcjonować ogólna perspektywa . Takie funkcje nie mają symetrii.

Taka funkcja jest na przykład ostatnio rozważana funkcja liniowa z wykresem:

3. specjalna własność funkcje to okresowość.

Chodzi o to, że funkcje okresowe, które są uwzględnione w normie program nauczania, są tylko funkcjami trygonometrycznymi. Mówiliśmy już o nich szczegółowo, studiując odpowiedni temat.

Funkcja okresowa to funkcja, która nie zmienia swojej wartości, gdy do argumentu zostanie dodana pewna stała niezerowa liczba.

Ta minimalna liczba nazywa się okres funkcji i są oznaczone literą.

Wzór na to wygląda tak: .

Spójrzmy na tę właściwość na przykładzie wykresu sinusoidalnego:

Przypomnijmy, że okres funkcji i jest oraz okres i jest .

Jak już wiemy, bo funkcje trygonometryczne w przypadku złożonej argumentacji może wystąpić okres niestandardowy. To jest o o funkcjach widoku:

Mają ten sam okres. A o funkcjach:

Mają ten sam okres.

Jak widać, aby obliczyć nowy okres, standardowy okres dzieli się po prostu przez współczynnik w argumencie. Nie zależy to od innych modyfikacji funkcji.

Ograniczenie.

Funkcjonować y=f(x) jest nazywana ograniczona od dołu na zbiorze X⊂D(f) jeśli istnieje liczba a taka, że ​​dla dowolnego xϵX nierówność f(x)< a.

Funkcjonować y=f(x) jest nazywana ograniczona z góry na zbiorze X⊂D(f) jeśli istnieje liczba a taka, że ​​dla dowolnego xϵX nierówność f(x)< a.

Jeżeli przedział X nie jest wskazany, to uważa się, że funkcja jest ograniczona w całej dziedzinie definicji. Funkcja ograniczona zarówno powyżej, jak i poniżej nazywana jest ograniczoną.

Ograniczenie funkcji jest łatwe do odczytania z wykresu. Można narysować jakąś prostą y=a, a jeśli funkcja jest wyższa od tej prostej, to jest ograniczona od dołu.

Jeśli poniżej, to odpowiednio powyżej. Poniżej znajduje się wykres funkcji dolnego ograniczenia. Harmonogram ograniczona funkcja Chłopaki, spróbujcie się narysować.

Temat: Właściwości funkcji: przedziały wzrostu i spadku; największy i najmniejsza wartość; punkty ekstremum (lokalne maksimum i minimum), wypukłość funkcji.

okresy wzrostu i spadku.

Na podstawie warunków wystarczających (znaków) wzrostu i spadku funkcji wyznacza się przedziały wzrostu i spadku funkcji.

Oto sformułowania znaków rosnących i malejących funkcji na przedziale:

jeśli pochodna funkcji y=f(x) pozytywne dla każdego x z przedziału X, to funkcja zwiększa się o X;

jeśli pochodna funkcji y=f(x) negatywny dla każdego x z przedziału X, to funkcja zmniejsza się o X.

Zatem do wyznaczenia przedziałów wzrostu i spadku funkcji konieczne jest:

znajdź zakres funkcji;

znaleźć pochodną funkcji;

rozwiązywać nierówności i w dziedzinie definicji;