Matematyka: działania na ułamkach zwykłych. Działania na ułamkach dziesiętnych i zwykłych. Kalkulator online. Obliczanie wyrażeń za pomocą ułamków liczbowych. Mnożenie, odejmowanie, dzielenie, dodawanie i zmniejszanie ułamków o różnych mianownikach
Ułamki zwykłe i dziesiętne. Kiedy uczeń dowiaduje się o istnieniu tego ostatniego, zaczyna przy każdej okazji przeliczać wszystko, co się da na postać dziesiętną, nawet jeśli nie jest to wymagane.
Co dziwne, preferencje zmieniają się wśród uczniów szkół średnich i studentów, ponieważ łatwiej jest wykonywać wiele operacji arytmetycznych na ułamkach zwykłych. A czasami po prostu nie da się bez strat przeliczyć wartości, z którymi mają do czynienia absolwenci, na postać dziesiętną. W rezultacie oba rodzaje frakcji okazują się w ten czy inny sposób dostosowane do zadania i mają swoje zalety i wady. Zobaczmy, jak z nimi pracować.
Definicja
Ułamki są tym samym co udziały. Jeśli w pomarańczy jest dziesięć segmentów i dostaniesz jedną, masz w ręce 1/10 owocu. Zapisany jak w zdaniu poprzednim ułamek będzie nazywany ułamkiem zwykłym. Jeśli napiszesz to samo co 0,1 - dziesiętne. Obie opcje są równe, ale mają swoje zalety. Pierwsza opcja jest wygodniejsza w przypadku mnożenia i dzielenia, druga w przypadku dodawania, odejmowania oraz w wielu innych przypadkach.
Jak zamienić ułamek zwykły na inną formę
Załóżmy, że masz ułamek wspólny i chcesz, aby był to ułamek dziesiętny. Co muszę zrobić?
Nawiasem mówiąc, musisz z góry zdecydować, że nie każdą liczbę można bez problemu zapisać w postaci dziesiętnej. Czasami trzeba zaokrąglić wynik, tracąc określoną liczbę miejsc po przecinku, a w wielu obszarach - na przykład nauki ścisłe- to zupełnie niedostępny luksus. Jednocześnie operacje na ułamkach dziesiętnych i ułamkach zwykłych w klasie 5 umożliwiają przeprowadzenie takiego przeniesienia z jednego typu na drugi bez zakłóceń, przynajmniej w ramach treningu.
Jeśli z mianownika można uzyskać wartość będącą wielokrotnością 10, mnożąc lub dzieląc przez liczbę całkowitą, tłumaczenie przebiegnie bez żadnych trudności: ¾ zamienia się na 0,75, 13/20 na 0,65.
Odwrotna procedura jest jeszcze prostsza, ponieważ zawsze możesz uzyskać ułamek zwykły z ułamka dziesiętnego bez utraty dokładności. Na przykład 0,2 staje się 1/5, a 0,08 staje się 4/25.
Przekształcenia wewnętrzne
Zanim wdrożysz współpraca w przypadku ułamków zwykłych należy przygotować liczby do możliwych operacji matematycznych.
Przede wszystkim musisz zredukować wszystkie ułamki w przykładzie do jednego Ogólny wygląd. Muszą być zwykłe lub dziesiętne. Od razu zastrzegamy, że wygodniej jest wykonywać mnożenie i dzielenie za pomocą tego pierwszego.
Przygotowując numery dla dalsze działania pomoże ci reguła, znana i używana zarówno w pierwszych latach studiowania przedmiotu, jak i w wyższa matematyka które studiuje się na uniwersytetach.
Właściwości frakcji
Powiedzmy, że masz jakąś wartość. Powiedzmy 2/3. Co się zmieni, jeśli pomnożysz licznik i mianownik przez 3? Okaże się, że będzie to 6/9. A co jeśli będzie to milion? 2000000/3000000. Ale poczekaj, liczba w ogóle nie zmienia się jakościowo - 2/3 pozostaje równa 2000000/3000000. Zmienia się tylko forma, ale nie treść. To samo dzieje się, gdy obie strony są podzielone przez tę samą wartość. Jest to główna właściwość ułamków zwykłych, która wielokrotnie pomoże Ci w wykonywaniu operacji na ułamkach dziesiętnych i zwykłych na testach i egzaminach.
Mnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę nazywa się rozwinięciem ułamka, a dzielenie nazywa się redukcją. Trzeba powiedzieć, że przekreślenie identyczne liczby na górze i na dole podczas mnożenia i dzielenia ułamków - zaskakująco przyjemna procedura (oczywiście w ramach lekcji matematyki). Wydaje się, że odpowiedź jest już blisko, a przykład praktycznie rozwiązany.
Niewłaściwe ułamki
Ułamek niewłaściwy to taki, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi. Innymi słowy, jeśli można oddzielić od niego całą część, podlega ona tej definicji.
Jeśli taką liczbę (większą lub równą jedności) przedstawimy jako ułamek zwykły, będziemy ją nazywać ułamkiem niewłaściwym. A jeśli licznik mniej niż mianownik- prawidłowy. Oba typy są równie wygodne przy wykonywaniu możliwych operacji na zwykłych ułamkach. Można je łatwo mnożyć i dzielić, dodawać i odejmować.
Jeśli jednocześnie zostanie wybrana cała część, a reszta będzie w postaci ułamka, wynikową liczbę nazwiemy mieszaną. W przyszłości spotkasz różne sposobyłączenie takich struktur ze zmiennymi, a także rozwiązywanie równań tam, gdzie wymagana jest taka wiedza.
Działania arytmetyczne
Jeśli wszystko jest jasne z podstawową właściwością ułamka, to jak się zachować przy mnożeniu ułamków? Działania na ułamkach zwykłych w klasie 5 obejmują wszystkie rodzaje operacji arytmetycznych, które wykonuje się na dwa różne sposoby.
Mnożenie i dzielenie są bardzo proste. W pierwszym przypadku liczniki i mianowniki dwóch ułamków są po prostu mnożone. W drugim - to samo, tylko w poprzek. Zatem licznik pierwszego ułamka jest mnożony przez mianownik drugiego i odwrotnie.
Aby wykonać dodawanie i odejmowanie, musisz wykonać dodatkową akcję - przenieść wszystkie składniki wyrażenia do wspólny mianownik. Oznacza to, że dolne części ułamków należy zmienić na tę samą wartość - liczbę będącą wielokrotnością obu istniejących mianowników. Na przykład dla 2 i 5 będzie to 10. Dla 3 i 6 - 6. Ale co w takim razie zrobić z górną częścią? Nie możemy tego zostawić bez zmian, jeśli zmieniliśmy dolną część. Zgodnie z podstawową właściwością ułamka, licznik będziemy mnożyć przez tę samą liczbę, co mianownik. Tę operację należy wykonać na każdej z liczb, które będziemy dodawać lub odejmować. Jednak takie działania ze zwykłymi ułamkami w szóstej klasie są już wykonywane „automatycznie”, a trudności pojawiają się dopiero wtedy etap początkowy studiowanie tematu.
Porównanie
Jeśli dwa ułamki mają ten sam mianownik, większy jest ten, który ma większy licznik. Jeśli górne części są takie same, to ta z mniejszym mianownikiem będzie większa. Warto pamiętać, że tak udane sytuacje porównawcze zdarzają się rzadko. Najprawdopodobniej zarówno górna, jak i dolna część wyrażeń nie będą pasować. Wtedy musisz pamiętać możliwe działania z ułamkami zwykłymi i zastosuj technikę dodawania i odejmowania. Pamiętaj też o tym, jeśli o tym mówimy liczby ujemne, to ułamek o większym module okaże się mniejszy.
Zalety ułamków zwykłych
Zdarza się, że nauczyciele mówią dzieciom jedno zdanie, którego treść można wyrazić następująco: co więcej informacji podane przy formułowaniu zadania, tym prostsze będzie rozwiązanie. Myślisz, że to brzmi dziwnie? Ale tak naprawdę: kiedy duże ilości znanych wielkości, można zastosować prawie dowolny wzór, ale jeśli zostanie podanych tylko kilka liczb, może być wymagana dodatkowa refleksja, trzeba będzie zapamiętać i udowodnić twierdzenia, podać argumenty na rzecz swojej słuszności...
Dlaczego to robimy? Co więcej, ułamki zwykłe, pomimo całej swojej uciążliwości, mogą znacznie uprościć życie ucznia, umożliwiając mu skracanie całych wierszy wartości podczas mnożenia i dzielenia, a także obliczania sum i różnic, formułowania ogólnych argumentów i ponownie ich skracania.
Kiedy konieczne jest przeprowadzenie wspólnych działań ze zwykłymi i dziesiętne, przeprowadzane są przekształcenia na korzyść pierwszego: jak przekonwertować 3/17 na postać dziesiętną? Tylko w przypadku utraty informacji, a nie inaczej. Ale 0,1 można przedstawić jako 1/10, a następnie jako 17/170. Następnie dwie powstałe liczby można dodać lub odjąć: 30/170 + 17/170 = 47/170.
Dlaczego ułamki dziesiętne są przydatne?
O ile operacje na ułamkach zwyczajnych są wygodniejsze, o tyle zapisywanie wszystkiego za ich pomocą jest niezwykle niewygodne; Porównaj: 1748/10000 i 0,1748. Jest to ta sama wartość przedstawiona w dwójce różne opcje. Oczywiście druga metoda jest łatwiejsza!
Ponadto ułamki dziesiętne są łatwiejsze do przedstawienia, ponieważ wszystkie dane mają wspólną podstawę, która różni się jedynie rzędami wielkości. Powiedzmy, że z łatwością rozumiemy rabat w wysokości 30%, a nawet oceniamy go jako znaczący. Czy od razu zrozumiesz, co jest więcej - 30% czy 137/379? Zatem ułamki dziesiętne zapewniają standaryzację obliczeń.
W szkole średniej decydują uczniowie równania kwadratowe. Wykonywanie tutaj operacji na zwykłych ułamkach jest już niezwykle problematyczne, ponieważ zawiera wzór na obliczanie wartości zmiennej Pierwiastek kwadratowy od kwoty. Jeśli istnieje ułamek, którego nie można sprowadzić do ułamka dziesiętnego, rozwiązanie staje się tak skomplikowane, że obliczenie dokładnej odpowiedzi bez kalkulatora staje się prawie niemożliwe.
Zatem każdy sposób przedstawiania ułamków ma swoje zalety w odpowiednim kontekście.
Formularze rejestracyjne
Istnieją dwa sposoby zapisywania akcji zwykłymi ułamkami: przez linię poziomą, na dwóch „poziomach” i przez ukośnik (inaczej „ukośnik”) - w linię. Kiedy uczeń pisze w zeszycie, pierwsza opcja jest zwykle wygodniejsza i dlatego częstsza. Rozdzielanie liczb pomiędzy komórki z rzędu pomaga rozwinąć uważność podczas wykonywania obliczeń i przeprowadzania transformacji. Pisząc do ciągu możesz niechcący pomylić kolejność działań, stracić część danych - czyli popełnić błąd.
W dzisiejszych czasach dość często istnieje potrzeba drukowania liczb na komputerze. Możesz oddzielać ułamki za pomocą tradycyjnej linii poziomej, korzystając z funkcji w programie Microsoft Word 2010 i nowszych wersjach. Faktem jest, że w tych wersjach oprogramowania dostępna jest opcja zwana „formułą”. Wyświetla na ekranie prostokątne, przekształcalne pole, w ramach którego można łączyć dowolne symbole matematyczne i tworzyć ułamki zarówno dwu-, jak i „czteropiętrowe”. W mianowniku i liczniku można używać nawiasów i znaków operacji. W rezultacie będziesz mógł zapisywać dowolne wspólne działania za pomocą ułamków zwykłych i dziesiętnych tradycyjna forma, czyli tak, jak uczą cię tego w szkole.
Jeśli używasz standardowego Edytor tekstu„Notatnik”, wówczas wszystkie wyrażenia ułamkowe będą musiały być pisane ukośnikiem. Niestety, nie ma tu innego wyjścia.
Wniosek
Przyjrzeliśmy się więc wszystkim podstawowym działaniom ze zwykłymi ułamkami, których, jak się okazuje, nie jest tak wiele.
Jeśli na początku może się wydawać, że jest to trudny dział matematyki, to jest to tylko chwilowe wrażenie – pamiętajcie, kiedyś tak myśleliście o tabliczce mnożenia, a jeszcze wcześniej – o zwykłych zeszytach i liczeniu od jednego do dziesięciu.
Ważne jest, aby zrozumieć, że ułamki są używane w Życie codzienne wszędzie. Zajmiesz się obliczeniami finansowymi i inżynierskimi, technologia informacyjna i umiejętności muzyczne, i wszędzie - wszędzie! - pojawią się liczby ułamkowe. Dlatego nie bądź leniwy i dokładnie przestudiuj ten temat - zwłaszcza, że nie jest on tak skomplikowany.
Ekspansja frakcji. Zmniejszanie ułamka. Porównywanie ułamków.
Sprowadzenie do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków.
Mnożenie ułamków. Dzielenie ułamków.
Ekspansja frakcji. Wartość ułamka nie zmienia się, jeśli jego licznik i mianownik pomnożymy przez tę samą liczbę różną od zera. Transformacja ta nazywana jest ekspansją ułamkową. Na przykład,
Zmniejszanie ułamka. Wartość ułamka nie zmienia się, jeśli podzielimy jego licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Ta transformacja nazywa się redukcją frakcji. Na przykład, 
Porównywanie ułamków. Z dwóch ułamków o tych samych licznikach większy jest ten, którego mianownik jest mniejszy:
Z dwóch ułamków o tych samych mianownikach większy jest ten, którego licznik jest większy: 
Aby porównać ułamki, które mają różne liczniki i mianowniki, należy je rozwinąć, aby doprowadzić je do wspólnego mianownika.
PRZYKŁAD Porównaj dwa ułamki:
Zastosowana tutaj konwersja nazywa się redukcją ułamków do wspólnego mianownika.
Dodawanie i odejmowanie ułamków. Jeśli mianowniki ułamków są takie same, to aby dodać ułamki, należy dodać ich liczniki, a aby odjąć ułamki, należy odjąć ich liczniki (w tej samej kolejności). Wynikowa suma lub różnica będzie licznikiem wyniku; mianownik pozostanie taki sam. Jeśli mianowniki ułamków są różne, należy najpierw sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. Podczas dodawania liczby mieszane ich całe i ułamkowe części dodaje się oddzielnie. Przy odejmowaniu liczb mieszanych zalecamy najpierw przeliczyć je na ułamki niewłaściwe, następnie odjąć je od siebie i w razie potrzeby ponownie przeliczyć wynik do postaci liczb mieszanych.
PRZYKŁAD 
Mnożenie ułamków. Pomnożenie liczby przez ułamek oznacza pomnożenie jej przez licznik i podzielenie iloczynu przez mianownik. Dlatego mamy główna zasada mnożenie ułamków: aby pomnożyć ułamki, należy osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki i podzielić pierwszy iloczyn przez drugi.
PRZYKŁAD 
Dzielenie ułamków. Aby podzielić liczbę przez ułamek, należy pomnożyć tę liczbę przez ułamek odwrotny. Zasada ta wynika z definicji dzielenia (patrz rozdział „Działania arytmetyczne”).
PRZYKŁAD 
Wielki rosyjski krytyk W. G. Bieliński powiedział, że zadaniem poezji jest „wydobyć poezję życia z prozy życia i zaszokować dusze prawdziwym obrazem życia”. N. V. Gogol jest właśnie takim pisarzem, pisarzem, który wstrząsa duszą, przedstawiając czasami najbardziej błahe obrazy ludzkiej egzystencji na świecie. Moim zdaniem największa zasługa Gogola dla społeczeństwa rosyjskiego.
Artykuł ten jest próbą zestawienia rozbieżnych informacji na temat najpopularniejszego teleskopu wśród entuzjastów obserwacji Słońca. W takim czy innym stopniu jest on gromadzony na rosyjskich i zagranicznych astronomicznych forach internetowych, a wszystkie zamieszczone poniżej zdjęcia są również gromadzone w Internecie. Specyfikacja techniczna, cechy konstrukcyjne, możliwe.
Dziesiętny system liczbowy Dziesiętny system liczbowy to pozycyjny system liczbowy oparty na podstawie 10. Najpopularniejszy system liczbowy na świecie. Najczęściej używanymi symbolami do zapisywania liczb są 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zwane cyfry arabskie. Uważa się, że podstawa 10 jest powiązana z liczbą palców danej osoby. .
Matematyka. Klasy 1–4 W tej części zapoznasz się z pojęciami i terminami, takimi jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Zaznajomisz się także z operacjami matematycznymi i kolejnością ich wykonywania, matematyczne opowieści i wiele, wiele innych. .
for-schoolboy.ru
Dodawanie ułamków zwykłych odbywa się w następujący sposób:
a) jeżeli mianowniki ułamków są takie same, to licznik drugiego ułamka dodaje się do licznika pierwszego ułamka i pozostawia ten sam mianownik, tj.
b) jeżeli mianowniki ułamków są różne, wówczas ułamki najpierw sprowadza się do wspólnego mianownika, najlepiej do najmniejszego, a następnie stosuje się zasadę a).
Przykład 1. Dodaj frakcje i rozwiązanie. Mamy:
Odejmowanie ułamków zwykłych wykonuje się w następujący sposób:
a) jeśli mianowniki ułamków są takie same, to
b) jeśli mianowniki są różne, to najpierw ułamki sprowadza się do wspólnego mianownika, a następnie stosuje się zasadę a).
Mnożenie ułamków zwykłych wykonuje się w następujący sposób:
to znaczy, że mnożą osobno liczniki, a mianowniki osobno, tworząc pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi mianownikiem.
Na przykład,
Podział ułamków zwykłych przeprowadza się w następujący sposób:
tj. dywidendę mnoży się przez ułamek odwrotny do dzielnika
Na przykład, .
Przykład 2: Znajdź wartość wyrażenia numerycznego
Rozwiązanie. 1) Zmniejszając licznik i mianownik o 3 (przydaje się to przed wykonaniem operacji mnożenia w liczniku i mianowniku), otrzymujemy tj. Tak
3) Podczas znajdowania wartości wyrażenia można jednocześnie wykonywać operacje dodawania i odejmowania. Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 15, 20, 30 jest liczba 60. Sprowadźmy wszystkie trzy ułamki do mianownika 60, stosując dodatkowe współczynniki: dla pierwszego ułamka 4, dla drugiego - 3, dla trzeciego - 2. Mamy Dostawać:
Przykład 3. Wykonaj następujące kroki: a)
Rozwiązanie, a) Metoda pierwsza. Zamieńmy każdą z tych liczb mieszanych na ułamek niewłaściwy, a następnie wykonajmy dodawanie:
Zamieńmy teraz ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną:
Drugi sposób. Mamy
b) Przy mnożeniu i dzieleniu liczb mieszanych zawsze odchodź od ułamków niewłaściwych:
Zatem o 7
Działania na ułamkach zwyczajnych
Sekcje: Matematyka
1) kontrola i systematyzacja wiedzy uczniów na dany temat;
2) rozwijać umiejętności obliczeniowe, logikę, czujność matematyczną;
3) kultywować samodzielność, zainteresowanie tematem i sumienny stosunek do pracy wychowawczej.
SPRZĘT: zajęcia komputerowe, PC - 9 szt.
1) kształcenie skoncetrowane na studencie;
2) zróżnicowanie poziomów;
3) technologia gier;
2. USTALENIE CELÓW LEKCJI.
Dziś w wigilię praca testowa będziemy mieli okazję przeanalizować nasze Działania edukacyjne i ćwiczyć umiejętności obliczeniowe w wykonywaniu wszystkich operacji na ułamkach zwykłych na symulatorze elektronicznym.
Na specjalnie przygotowanych kartkach uczniowie zapisują numer i nazwę pracy.
3. AKTUALIZACJA PODSTAWOWA WIEDZA
Aby uzyskać dostęp do Praca indywidualna należy odpowiedzieć ustnie na pytania (na stole wszystkich materiał dydaktyczny A.P. Ershova, V.V. Gołoborodko „Matematyka ustna”):
1. Podaj główną właściwość ułamka.
2. Zasada znajdowania najmniejszego wspólnego mianownika dwóch ułamków.
3. Wykonaj dodawanie
4. Jakie liczby nazywane są odwrotnością?
5. Jak podzielić ułamek przez ułamek?
Uczniowie bezpośrednio powtarzają zasady wykonywania działań na ułamkach zwykłych i uzupełniają zadanie komentarzem.
4. INSTRUKCJA realizacji poszczególnych etapów lekcji
Dziś masz okazję sprawdzić się w 3 kategoriach: informatycy, matematycy i analitycy. Uczniowie podzieleni są na 3 grupy i otrzymują karty samoanalizy (Załącznik nr 1), zgodnie z którymi przechodzą przez wszystkie etapy. (Nauczyciel zapisuje oceny ze wszystkich trzech etapów i ustala średnią arytmetyczną w kartach zespołu Załącznik nr 2)
Na komputerze, na arkuszach testowych, korzystając z kart korekcyjnych lub zadań kreatywnych
5. Scena 1 SYMULATOR ELEKTRONICZNY (załącznik nr 3) – informatyka
Po pierwsze, Twój sukces na tym etapie zależy od tego, jak dokładnie będziesz przestrzegać zasad gry w biathlonie.
Szkolenie składa się z trzech etapów, różniących się od siebie stopniem złożoności zadań. Każdy etap obejmuje „wyścig narciarski” i „strzelnicę”. W trybie „wyścig narciarski” należy ustalić, czy proponowane stwierdzenie jest prawdziwe, czy fałszywe i kliknąć odpowiedni przycisk na ekranie.
W trybie „na linii ognia” musisz wykonać cztery (etap 1) lub trzy (etap 2 i 3) zadania, aby obliczyć sumę, różnicę, iloczyn lub iloraz dwóch ułamków. Twoja odpowiedź to strzał w tarczę. Trafiasz w dziesiątkę, jeśli Twoja odpowiedź jest ułamkiem nieredukowalnym.
Nauczyciel zapisuje wystawione oceny na komputerze. Na karcie drużyny.
Doustny niezależna praca uczenie się.
Uczniowie odpowiadają ustnie na pytania, wykonują czynności i zapisują wyniki na komputerze. A na karcie samoanalizy zapisują swoje błędy.
(każdy uczeń w grupie siedzi przy komputerze)
Na koniec gry komputer ocenia ucznia.
6. Etap 2 TEST TEORII ( A.P. Ershova „Matematyka ustna”):— analitycy
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Ułamki zwykłe. Działania na ułamkach zwyczajnych
Podpisano do druku z gotowych folii w dniu 12.02.01. Format 84x108/32. Zestaw słuchawkowy Baltica. Rodzaj papieru Nr 2. Druk offsetowy. Warunkowy piekarnik l. 25.1. Nakład 5000 egzemplarzy. Zamówienie nr 106.
Korzyść podatkowa - klasyfikator ogólnorosyjski produkty OK-005-093, tom 2; 953000 - książki, broszury.
Wydrukowano z gotowych folii w GIPP „Uralsky Rabochiy”, 620219, Jekaterynburg, ul. Turgieniewa, 13.
Temat nr 1.
Obliczenia arytmetyczne. Odsetki.
Ułamki zwykłe. Działania na ułamkach zwyczajnych.
1°. Liczby całkowite- To są liczby używane w liczeniu. Mnóstwo wszystkich liczby naturalne oznaczają N, tj. N= .
Frakcja to liczba składająca się z kilku ułamków jednostki. Ułamek zwykły jest liczbą w postaci , gdzie jest liczbą naturalną N pokazuje, jak bardzo równe części jeden jest dzielony, a liczba naturalna to M pokazuje, ile takich równych części zostało wziętych. Liczby M I N są odpowiednio nazywane licznik ułamka I mianownik ułamki
Jeśli licznik jest mniejszy od mianownika, wówczas nazywa się ułamek prawidłowy; jeśli licznik jest równy lub większy od mianownika, wówczas ułamek nazywa się zło. Nazywa się liczbę składającą się z liczby całkowitej i części ułamkowej pomieszane numery.
Na przykład - ułamki zwyczajne właściwe, - ułamki zwyczajne niewłaściwe, 1 - liczba mieszana.
2°. Wykonując operacje na ułamkach zwykłych, należy pamiętać o następujących zasadach:
1) Główna właściwość ułamka. Jeżeli licznik i mianownik ułamka pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę naturalną, otrzymamy ułamek równy podanemu.
Na przykład a) ; B) .
Dzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólny dzielnik, różni się od jednego, nazywa się redukując ułamek.
2) Aby przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy, należy pomnożyć jej część całkowitą przez mianownik części ułamkowej i dodać licznik części ułamkowej do powstałego iloczynu, wynikową kwotę zapisać jako licznik ułamka, i zostaw mianownik bez zmian.
Podobnie każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci ułamka niewłaściwego o dowolnym mianowniku.
Na przykład a) ponieważ; b) itp.
3) Aby zapisać ułamek niewłaściwy jako liczbę mieszaną (tj. oddzielić część całkowitą od ułamka niewłaściwego), należy podzielić licznik przez mianownik, przyjąć iloraz dzielenia jako część całkowitą, resztę jako licznik i pozostaw mianownik bez zmian.
Na przykład a) od 200: 7 = 28 (pozostałe 4);
b) od 20: 5 = 4 (pozostałe 0).
4) Aby sprowadzić ułamki do najniższego wspólnego mianownika, należy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników tych ułamków (będzie to ich najniższy wspólny mianownik), podzielić najniższy wspólny mianownik przez mianowniki tych ułamków ( znajdź dodatkowe współczynniki dla ułamków), pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.
Na przykład sprowadźmy ułamki do ich najniższego wspólnego mianownika:
630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.
Oznacza, ; ; .
5) Zasady działań arytmetycznych na ułamkach zwykłych:
a) Dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach wykonuje się według zasady:
b) Dodawanie i odejmowanie ułamków za pomocą różne mianowniki przeprowadza się zgodnie z zasadą a), po uprzednim sprowadzeniu ułamków do najniższego wspólnego mianownika.
c) Dodając i odejmując liczby mieszane, możesz je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie wykonaj czynności według zasad a) i b),
d) Mnożąc ułamki zwykłe, postępuj zgodnie z następującą zasadą:
e) Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika:
f) Przy mnożeniu i dzieleniu liczb mieszanych najpierw zamienia się je na ułamki niewłaściwe, a następnie stosuje się zasady d) i e).
Prezentacja na temat „Matematyka” na temat: „Prezentacja do lekcji „Działania na ułamkach zwyczajnych” Przeprowadzona przez nauczycielkę matematyki Evgenię Viktorovnę Kolbinę.” Pobierz za darmo i bez rejestracji. - Transkrypcja:
1 Prezentacja do lekcji „Działania na ułamkach zwykłych” Wykonywana przez nauczycielkę matematyki Evgenia Viktorovna Kolbina
2 Cele lekcji. Edukacyjne: powtarzanie zasad porównywania, dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych; uogólnienie i usystematyzowanie wiedzy o ułamkach zwykłych, utrwalenie i doskonalenie umiejętności pracy z ułamkami zwykłymi; trening umiejętności liczenie ustne oraz umiejętność stosowania zasad przy podejmowaniu decyzji o większej liczbie złożone przykłady. Rozwojowy: rozwój umiejętności w zakresie działań edukacyjnych i poznawczych; rozwój kultury mowy ustnej i pisanej; rozwój umiejętności samokontroli i samooceny zdobytej wiedzy i umiejętności. Edukacyjne: rozwijanie uważności, aktywności, niezależności, odpowiedzialności.
3 Bez czego nie mogą się obejść matematycy, perkusiści, a nawet myśliwi?
4 Jaki jest teraz miesiąc? Który sezon? Co lubisz w zimie?
5 Dziś na lekcji ty i ja wyrzeźbimy bałwana, ale nie ze śniegu, ale z naszej wiedzy
6 Arkusz oceny (imię i nazwisko studenta) „Zaspy” „1 pokój” „2 pokoje” „3 pokoje” „Atrybuty” Ocena całkowita
7 1. Aby porównać (dodać, odjąć) ułamki różne, należy: 1) sprowadzić dane ułamki do; 2) porównaj (dodaj, odejmij) powstałe ułamki. 2. Aby dodać (odjąć) liczby mieszane, należy: 1) doprowadzić części ułamkowe do; 2) oddzielnie wykonać dodawanie (odejmowanie) części i części ułamkowych. 3. Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy pomnożyć go przez tę liczbę i pozostawić bez zmian. mianowniki LCD (najniższy wspólny mianownik) LCD liczby całkowite licznik mianownik 4. Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz znaleźć iloczyn i iloczyn. 5. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je zapisać w postaci ułamków zwykłych, a następnie skorzystać z zasady ułamków zwykłych. 6. Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć przez dzielnik liczby. liczniki mianowniki błędnej dzielnej mnożenia odwrotne „DRIFTY” Za każdą poprawną regułę – 1 punkt
8 „1 com” Za każdą poprawną odpowiedź – 1 punkt
10 I Opcja 635(a) II Opcja 635(b) „2 com” Za każde prawidłowe działanie - 1 pkt
12 Trawa jest mała, mała. Drzewa są wysokie, wysokie. Wiatr potrząsa drzewami. Przechyla się w prawo, potem w lewo. Teraz w górę, potem z powrotem. Pochyla się. Ptaki latają i odlatują. Uczniowie siedzą spokojnie przy swoich biurkach. Fizminutka
13 Problem Turyści wybrali się na wycieczkę. Pierwszego dnia przeszli km, czyli km więcej niż drugiego dnia. A trzeciego dnia szli 2 razy mniej niż pierwszego. Ile kilometrów przeszli turyści w ciągu tych trzech dni? „3 pokoje”
14 1) obliczmy, ile turyści przeszli drugiego dnia, w tym celu odejmujemy od 2) znajdź, ile turyści przeszli trzeciego dnia, w tym celu podzielimy przez 2 3) dodajemy wynik 1. akcji i wynik drugiej akcji i dowiedz się, ile przeszli w ciągu tych trzech dni. Odpowiedź: Plan rozwiązania Za każde prawidłowe działanie – 1 punkt + 1 punkt za poprawną odpowiedź
16 Test „Atrybuty” Za każdą poprawną odpowiedź 1 punkt
18 27-30 punktów – „5” punktów – „4” punktów – „3” 0-14 punktów – „2”
19 Praca domowa: 635 (g), 643 Przygotuj referat na temat: pochodzenie ułamków zwykłych
20 Podsumowanie lekcji Wszystko mi się podobało! Trudne, ale ciekawe! Zmęczony!
21 Wielki rosyjski pisarz L.N. Tołstoj wierzył, że człowiek jest jak ułamek, którego mianownikiem jest to, co on o sobie myśli, a licznikiem to, co o nim myślą. Życzę Ci, aby licznik w Twoim życiu był większy niż mianownik.
Licznik i to, co jest podzielone przez, jest mianownikiem.
Aby zapisać ułamek, najpierw wpisz licznik, następnie narysuj poziomą linię pod liczbą i wpisz mianownik pod tą linią. Linię poziomą oddzielającą licznik od mianownika nazywa się linią ułamkową. Czasami jest przedstawiany jako ukośny „/” lub „∕”. W takim przypadku licznik jest zapisywany po lewej stronie linii, a mianownik po prawej stronie. Na przykład ułamek „dwie trzecie” zostanie zapisany jako 2/3. Dla jasności licznik jest zwykle zapisywany na górze linii, a mianownik na dole, czyli zamiast 2/3 można znaleźć: ⅔.
Aby obliczyć iloczyn ułamków, najpierw pomnóż licznik przez jeden ułamki do licznika jest inny. Wynik zapisz w liczniku nowego ułamki. Następnie pomnóż mianowniki. Wprowadź całkowitą wartość w nowym ułamki. Na przykład 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy najpierw pomnożyć licznik pierwszego przez mianownik drugiego. Zrób to samo z drugim ułamkiem (dzielnikiem). Lub przed wykonaniem wszystkich czynności najpierw „odwróć” dzielnik, jeśli jest to dla ciebie wygodniejsze: mianownik powinien znajdować się w miejscu licznika. Następnie pomnóż mianownik dywidendy przez nowy mianownik dzielnik i pomnóż liczniki. Na przykład 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Źródła:
- Podstawowe problemy ułamkowe
Liczby ułamkowe można wyrazić w w różnych formach Dokładna wartość wielkie ilości. Na ułamkach zwykłych możesz wykonywać te same operacje matematyczne, co na liczbach całkowitych: odejmowanie, dodawanie, mnożenie i dzielenie. Aby nauczyć się decydować ułamki, musimy pamiętać o niektórych ich cechach. Zależą od rodzaju ułamki, obecność części całkowitej, wspólny mianownik. Niektóre operacje arytmetyczne wymagają zmniejszenia części ułamkowej wyniku po wykonaniu.
Będziesz potrzebować
- - kalkulator
Instrukcje
Przyjrzyj się uważnie liczbom. Jeśli wśród ułamków zwykłych znajdują się ułamki dziesiętne i nieregularne, czasami wygodniej jest najpierw wykonać operacje na ułamkach dziesiętnych, a następnie przekształcić je do postaci nieregularnej. Możesz przetłumaczyć ułamki początkowo w tej formie, zapisując wartość po przecinku w liczniku i wstawiając 10 w mianowniku. Jeśli to konieczne, zmniejsz ułamek, dzieląc liczby powyżej i poniżej przez jeden dzielnik. Ułamki, w których wyodrębniona jest część całkowita, należy przekształcić do niewłaściwej postaci, mnożąc ją przez mianownik i dodając licznik do wyniku. Wartość ta stanie się nowym licznikiem ułamki. Aby wybrać całą część z początkowo nieprawidłowej ułamki, musisz podzielić licznik przez mianownik. Zapisz cały wynik z ułamki. A pozostała część dzielenia stanie się nowym licznikiem i mianownikiem ułamki to się nie zmienia. W przypadku ułamków zawierających część całkowitą możliwe jest wykonanie działań oddzielnie, najpierw dla liczby całkowitej, a następnie dla części ułamkowych. Na przykład można obliczyć sumę 1 2/3 i 2 ¾:
- Zamiana ułamków zwykłych na niewłaściwą formę:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Sumowanie oddzielnie części całkowitych i ułamkowych terminów:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Przepisz je, używając separatora „:” i kontynuuj normalny podział.
Aby uzyskać wynik końcowy, zmniejsz uzyskany ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez jedną liczbę całkowitą, największą możliwą w w tym przypadku. W tym przypadku powyżej i poniżej linii muszą znajdować się liczby całkowite.
notatka
Nie wykonuj działań arytmetycznych na ułamkach, których mianowniki są różne. Wybierz taką liczbę, że pomnożenie przez nią licznika i mianownika każdego ułamka spowoduje, że mianowniki obu ułamków będą równe.
Podczas zapisywania liczb ułamkowych dywidenda jest zapisywana powyżej linii. Ilość tę wyznacza się jako licznik ułamka. Dzielnik lub mianownik ułamka zapisuje się pod linią. Na przykład półtora kilograma ryżu jako ułamek zostanie zapisane w następujący sposób: 1 ½ kg ryżu. Jeśli mianownik ułamka wynosi 10, ułamek ten nazywa się dziesiętnym. W tym przypadku licznik (dywidenda) wpisuje się po prawej stronie całej części, oddzielając przecinkiem: 1,5 kg ryżu. Dla ułatwienia obliczeń taki ułamek zawsze można zapisać w niewłaściwej formie: 1 2/10 kg ziemniaków. Dla uproszczenia możesz zmniejszyć wartości licznika i mianownika, dzieląc je przez jedną liczbę całkowitą. W tym przykładzie możesz podzielić przez 2. Otrzymasz 1 1/5 kg ziemniaków. Upewnij się, że liczby, na których będziesz wykonywać arytmetykę, są przedstawione w tej samej formie.
Ten artykuł jest o ułamki zwykłe. Tutaj wprowadzimy pojęcie ułamka całości, co doprowadzi nas do definicji ułamka zwykłego. Następnie zatrzymamy się na przyjętym zapisie ułamków zwykłych i podamy przykłady ułamków, powiedzmy o liczniku i mianowniku ułamka. Następnie podamy definicje ułamków właściwych i niewłaściwych, dodatnich i ujemnych, a także rozważymy położenie liczb ułamkowych na promień współrzędnych. Podsumowując, podajemy główne operacje na ułamkach.
Nawigacja strony.
Udziały całości
Najpierw przedstawiamy koncepcja udziału.
Załóżmy, że mamy jakiś obiekt złożony z kilku absolutnie identycznych (tj. równych) części. Dla przejrzystości możesz sobie wyobrazić na przykład jabłko pokrojone na kilka równych części lub pomarańczę składającą się z kilku równych plasterków. Każda z tych równych części tworzących cały obiekt nazywa się części całości lub po prostu Akcje.
Należy pamiętać, że udziały są różne. Wyjaśnijmy to. Zjedzmy dwa jabłka. Pierwsze jabłko pokroić na dwie równe części, drugie na 6 równych części. Oczywiste jest, że udział pierwszego jabłka będzie inny niż udział drugiego jabłka.
W zależności od liczby udziałów tworzących cały obiekt, udziały te mają swoje własne nazwy. Uporządkujmy to nazwy uderzeń. Jeśli przedmiot składa się z dwóch części, każdą z nich nazywa się jedną drugą częścią całego przedmiotu; jeśli przedmiot składa się z trzech części, wówczas każdą z nich nazywa się jedną trzecią części i tak dalej.
Jedna druga akcja ma specjalną nazwę - połowa. Jedna trzecia jest nazywana trzeci i jedna czwarta część - ćwiartka.
Dla zachowania zwięzłości wprowadzono: pokonać symbole. Jedna druga część jest oznaczona jako lub 1/2, jedna trzecia część jest oznaczona jako lub 1/3; jedna czwarta udziału - jak lub 1/4 i tak dalej. Należy zauważyć, że częściej używa się zapisu z poziomą kreską. Dla ugruntowania materiału podamy jeszcze jeden przykład: hasło oznacza sto sześćdziesiątą siódmą część całości.
Pojęcie udziału w naturalny sposób rozciąga się od przedmiotów do ilości. Na przykład jedną z miar długości jest metr. Aby zmierzyć długości krótsze niż metr, można użyć ułamków metra. Możesz więc użyć na przykład pół metra lub dziesiątej lub tysięcznej części metra. Udziały pozostałych ilości stosuje się analogicznie.
Ułamki zwykłe, definicja i przykłady ułamków zwykłych
Aby opisać liczbę udziałów, których używamy ułamki zwykłe. Podajmy przykład, który pozwoli nam zbliżyć się do definicji ułamków zwyczajnych.
Niech pomarańcza będzie składać się z 12 części. Każda część w tym przypadku reprezentuje jedną dwunastą całej pomarańczy, czyli . Oznaczamy dwa uderzenia jako , trzy uderzenia jako , i tak dalej, 12 uderzeń oznaczamy jako . Każdy z podanych zapisów nazywany jest ułamkiem zwykłym.
Teraz dajmy generała definicja ułamków zwykłych.
Wyraźna definicja ułamków zwykłych pozwala nam dawać przykłady ułamków zwykłych: 5/10, , 21/1, 9/4, . A oto zapisy 
nie pasują do podanej definicji ułamków zwykłych, to znaczy nie są ułamkami zwykłymi.
Licznik i mianownik
Dla wygody rozróżnia się ułamki zwykłe licznik i mianownik.
Definicja.
Licznik ułamka ułamek zwykły (m/n) to liczba naturalna m.
Definicja.
Mianownik ułamek zwykły (m/n) to liczba naturalna n.
Zatem licznik znajduje się powyżej linii ułamkowej (na lewo od ukośnika), a mianownik znajduje się poniżej linii ułamkowej (na prawo od ukośnika). Weźmy na przykład ułamek zwykły 17/29, licznikiem tego ułamka jest liczba 17, a mianownikiem jest liczba 29.
Pozostaje omówić znaczenie zawarte w liczniku i mianowniku ułamka zwykłego. Mianownik ułamka pokazuje, z ilu części składa się dany przedmiot, a licznik z kolei wskazuje liczbę takich części. Przykładowo mianownik 5 ułamka 12/5 oznacza, że jeden przedmiot składa się z pięciu udziałów, a licznik 12 oznacza, że pobieranych jest 12 takich udziałów.
Liczba naturalna jako ułamek o mianowniku 1
Mianownik ułamka zwykłego może być równy jeden. W tym przypadku możemy uznać, że przedmiot jest niepodzielny, innymi słowy reprezentuje coś całości. Licznik takiego ułamka wskazuje, ile całych obiektów zostało wziętych. Zatem ułamek zwykły postaci m/1 ma znaczenie liczby naturalnej m. W ten sposób uzasadniliśmy słuszność równości m/1=m.
Przepiszmy ostatnią równość następująco: m=m/1. Ta równość pozwala nam przedstawić dowolną liczbę naturalną m jako ułamek zwykły. Na przykład liczba 4 to ułamek 4/1, a liczba 103 498 jest równa ułamkowi 103 498/1.
Więc, dowolną liczbę naturalną m można przedstawić jako ułamek zwyczajny o mianowniku 1 jako m/1, a każdy ułamek zwyczajny w postaci m/1 można zastąpić liczbą naturalną m.
Kreska ułamkowa jako znak dzielenia
Przedstawienie pierwotnego przedmiotu w postaci n udziałów to nic innego jak podział na n równych części. Po podzieleniu przedmiotu na n udziałów możemy podzielić go równo między n osób - każda otrzyma po jednym udziale.
Jeśli początkowo mamy m identycznych obiektów, z których każdy jest podzielony na n udziałów, to możemy równo podzielić te m obiektów pomiędzy n osób, dając każdej osobie po jednym udziale z każdego z m obiektów. W tym przypadku każda osoba będzie miała m udziałów 1/n, a m udziałów 1/n daje ułamek wspólny m/n. Zatem ułamek wspólny m/n można wykorzystać do oznaczenia podziału m elementów pomiędzy n osobami.
W ten sposób uzyskaliśmy wyraźne powiązanie między ułamkami zwykłymi a dzieleniem (patrz ogólna idea dzielenia liczb naturalnych). Związek ten wyraża się następująco: linię ułamkową można rozumieć jako znak dzielenia, czyli m/n=m:n.
Za pomocą ułamka zwykłego możesz zapisać wynik dzielenia dwóch liczb naturalnych, dla których nie można wykonać całego podziału. Na przykład wynik podzielenia 5 jabłek przez 8 osób można zapisać jako 5/8, czyli każdy otrzyma pięć ósmych jabłka: 5:8 = 5/8.
Ułamki równe i nierówne, porównanie ułamków
Jest to dość naturalne działanie porównywanie ułamków, bo jasne jest, że 1/12 pomarańczy różni się od 5/12, a 1/6 jabłka to tyle samo, co kolejna 1/6 tego jabłka.
W wyniku porównania dwóch ułamków zwykłych otrzymuje się jeden z wyników: ułamki są równe lub nierówne. W pierwszym przypadku mamy równe ułamki zwykłe, a w drugim – nierówne ułamki zwykłe. Podajmy definicję równych i nierównych ułamków zwyczajnych.
Definicja.
równy, jeśli równość a·d=b·c jest prawdziwa.
Definicja.
Dwa wspólne ułamki a/b i c/d nie równe, jeżeli równość a·d=b·c nie jest spełniona.
Oto kilka przykładów ułamków równych. Na przykład ułamek zwykły 1/2 jest równy ułamkowi 2/4, ponieważ 1,4 = 2,2 (w razie potrzeby zobacz zasady i przykłady mnożenia liczb naturalnych). Dla jasności możesz wyobrazić sobie dwa identyczne jabłka, pierwsze przekrój na pół, a drugie na 4 części. Wiadomo, że dwie ćwiartki jabłka to 1/2 udziału. Innymi przykładami równych ułamków zwykłych są ułamki 4/7 i 36/63 oraz para ułamków 81/50 i 1620/1000.
Ale ułamki zwykłe 4/13 i 5/14 nie są równe, ponieważ 4,14=56, a 13,5=65, czyli 4,14≠13,5. Innymi przykładami nierównych ułamków zwykłych są ułamki 17/7 i 6/4.
Jeśli porównując dwa zwykłe ułamki okaże się, że nie są one równe, być może będziesz musiał dowiedzieć się, który z tych ułamków zwykłych mniej inny i który - więcej. Aby się tego dowiedzieć, stosuje się zasadę porównywania ułamków zwykłych, której istotą jest sprowadzenie porównywanych ułamków do wspólnego mianownika, a następnie porównanie liczników. Szczegółowe informacje na ten temat znajdują się w artykule Porównanie ułamków: zasady, przykłady, rozwiązania.
Liczby ułamkowe
Każdy ułamek jest zapisem liczba ułamkowa. Oznacza to, że ułamek jest po prostu „skorupą” liczby ułamkowej wygląd, a całe obciążenie semantyczne jest zawarte w liczbie ułamkowej. Jednak dla zwięzłości i wygody pojęcia ułamka i liczby ułamkowej są łączone i nazywane po prostu ułamkiem. Warto w tym miejscu przeformułować słynne powiedzenie: mówimy ułamek - mamy na myśli liczba ułamkowa, mówimy liczbę ułamkową - mamy na myśli ułamek.
Ułamki na promieniu współrzędnych
Wszystkie liczby ułamkowe odpowiadające ułamkom zwykłym mają swoje unikalne miejsce, to znaczy istnieje zgodność jeden do jednego między ułamkami a punktami promienia współrzędnych.
Aby dostać się do punktu na promieniu współrzędnych odpowiadającego ułamkowi m/n, należy odsunąć od początku m w kierunku dodatnim m odcinków, których długość wynosi 1/n ułamka odcinka jednostkowego. Takie segmenty można uzyskać dzieląc segment jednostkowy na n równych części, co zawsze można zrobić za pomocą kompasu i linijki.
Na przykład pokażmy punkt M na promieniu współrzędnych, odpowiadający ułamkowi 14/10. Długość odcinka, którego końce znajdują się w punkcie O i punkcie najbliżej niego, oznaczonym małą kreską, wynosi 1/10 odcinka jednostkowego. Punkt o współrzędnych 14/10 jest odsuwany od początku w odległości 14 takich odcinków.
Równe ułamki odpowiadają tej samej liczbie ułamkowej, to znaczy równe ułamki są współrzędnymi tego samego punktu na promieniu współrzędnych. Na przykład współrzędne 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 odpowiadają jednemu punktowi na promieniu współrzędnych, ponieważ wszystkie zapisane ułamki są równe (znajduje się w odległości połowy odcinka jednostkowego ułożonego od początku w kierunku dodatnim).
Na poziomym promieniu współrzędnych skierowanym w prawo punkt, którego współrzędna jest większym ułamkiem, znajduje się na prawo od punktu, którego współrzędna jest mniejszym ułamkiem. Podobnie punkt o mniejszej współrzędnej leży na lewo od punktu o większej współrzędnej.
Ułamki właściwe i niewłaściwe, definicje, przykłady
Wśród ułamków zwykłych są Ułamki właściwe i niewłaściwe. Podział ten opiera się na porównaniu licznika i mianownika.
Zdefiniujmy ułamki zwyczajne właściwe i niewłaściwe.
Definicja.
Prawidłowa frakcja jest ułamkiem zwykłym, którego licznik jest mniejszy od mianownika, to znaczy, jeśli m Definicja.
Ułamek niewłaściwy jest ułamkiem zwykłym, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi, czyli jeśli m≥n, to ułamek zwyczajny jest niewłaściwy. Oto kilka przykładów ułamków właściwych: 1/4, , 32 765/909 003. Rzeczywiście, w każdym z zapisanych ułamków zwyczajnych licznik jest mniejszy od mianownika (w razie potrzeby zobacz artykuł porównujący liczby naturalne), więc z definicji są one poprawne. Oto przykłady ułamków niewłaściwych: 9/9, 23/4, . Rzeczywiście licznik pierwszego z zapisanych ułamków zwykłych jest równy mianownikowi, a w pozostałych ułamkach licznik jest większy niż mianownik. Istnieją również definicje ułamków właściwych i niewłaściwych, oparte na porównaniu ułamków z jednym. Definicja. prawidłowy, jeśli jest mniejsza niż jeden. Definicja. Nazywa się ułamek zwykły zło, jeśli jest równa jeden lub większa niż 1. Zatem ułamek zwykły 7/11 jest poprawny, ponieważ 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 i 27/27=1. Zastanówmy się, jak zwykłe ułamki zwykłe o liczniku większym lub równym mianownikowi zasługują na taką nazwę - „niewłaściwą”. Weźmy na przykład ułamek niewłaściwy 9/9. Ułamek ten oznacza, że z obiektu składającego się z dziewięciu części pobiera się dziewięć części. Oznacza to, że z dostępnych dziewięciu części możemy złożyć cały obiekt. Oznacza to, że ułamek niewłaściwy 9/9 zasadniczo daje cały obiekt, to znaczy 9/9 = 1. Ogólnie rzecz biorąc, ułamki niewłaściwe o liczniku równym mianownikowi oznaczają jeden cały obiekt i taki ułamek można zastąpić liczbą naturalną 1. Rozważmy teraz ułamki niewłaściwe 7/3 i 12/4. Jest całkiem oczywiste, że z tych siedmiu trzecich części możemy skomponować dwa całe obiekty (jeden cały obiekt składa się z 3 części, wtedy do skomponowania dwóch całych obiektów będziemy potrzebować 3 + 3 = 6 części) i pozostanie jeszcze jedna trzecia część . Oznacza to, że ułamek niewłaściwy 7/3 oznacza zasadniczo 2 obiekty, a także 1/3 takiego obiektu. A z dwunastu ćwiartek możemy wykonać trzy całe obiekty (trzy obiekty po cztery części każdy). Oznacza to, że ułamek 12/4 zasadniczo oznacza 3 całe obiekty. Rozważane przykłady prowadzą do następującego wniosku: ułamki niewłaściwe można zastąpić albo liczbami naturalnymi, gdy licznik jest równomiernie podzielony przez mianownik (np. 9/9=1 i 12/4=3), albo sumą liczby naturalnej i ułamka właściwego, gdy licznik nie jest podzielny równomiernie przez mianownik (np. 7/3=2+1/3). Być może właśnie dlatego ułamki niewłaściwe zyskały miano „nieregularnych”. Szczególnie interesujące jest przedstawienie ułamka niewłaściwego jako sumy liczby naturalnej i ułamka właściwego (7/3=2+1/3). Proces ten nazywa się oddzielaniem całej części od ułamka niewłaściwego i zasługuje na osobne i dokładniejsze rozważenie. Warto również zauważyć, że istnieje bardzo ścisły związek pomiędzy ułamkami niewłaściwymi a liczbami mieszanymi. Każdemu ułamkowi wspólnemu odpowiada dodatnia liczba ułamkowa (zobacz artykuł o liczbach dodatnich i ujemnych). Oznacza to, że są to zwykłe ułamki ułamki dodatnie. Na przykład zwykłe ułamki 1/5, 56/18, 35/144 są ułamkami dodatnimi. Kiedy chcesz podkreślić dodatniość ułamka, przed nim umieszcza się znak plus, na przykład +3/4, +72/34. Jeśli umieścisz znak minus przed ułamkiem zwykłym, wówczas wpis ten będzie odpowiadał ujemnej liczbie ułamkowej. W tym przypadku możemy porozmawiać ułamki ujemne. Oto kilka przykładów ułamków ujemnych: −6/10, −65/13, −1/18. Ułamki dodatnie i ujemne m/n i −m/n są liczbami przeciwnymi. Na przykład ułamki 5/7 i -5/7 są ułamkami przeciwnymi. Ułamki dodatnie, podobnie jak ogólnie liczby dodatnie, oznaczają dodatek, dochód, zmianę w górę dowolnej wartości itp. Ułamki ujemne odpowiadają wydatkom, zadłużeniu lub zmniejszeniu dowolnej ilości. Na przykład ułamek ujemny -3/4 można zinterpretować jako dług, którego wartość jest równa 3/4. W kierunku poziomym i prawym ułamki ujemne znajdują się na lewo od początku układu współrzędnych. Punkty linii współrzędnych, których współrzędnymi są ułamek dodatni m/n i ułamek ujemny −m/n, znajdują się w tej samej odległości od początku układu współrzędnych, ale wzdłuż różne strony z punktu O. Warto tu wspomnieć o ułamkach postaci 0/n. Ułamki te są równe liczbie zero, czyli 0/n=0. Ułamki dodatnie, ułamki ujemne i ułamki 0/n łączą się, tworząc liczby wymierne. Omówiliśmy już jedną czynność związaną z ułamkami zwykłymi – porównywanie ułamków – powyżej. Zdefiniowano cztery kolejne funkcje arytmetyczne operacje na ułamkach– dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych. Przyjrzyjmy się każdemu z nich. Ogólna istota operacji na ułamkach jest podobna do istoty odpowiednich operacji na liczbach naturalnych. Zróbmy analogię. Mnożenie ułamków można traktować jako czynność polegającą na znajdowaniu ułamka z ułamka. Aby to wyjaśnić, podamy przykład. Mamy 1/6 jabłka i musimy wziąć 2/3 z tego. Część, której potrzebujemy, jest wynikiem pomnożenia ułamków 1/6 i 2/3. Wynikiem pomnożenia dwóch ułamków zwykłych jest ułamek zwykły (który w szczególnym przypadku jest równy liczbie naturalnej). Następnie zalecamy zapoznanie się z informacjami zawartymi w artykule Mnożenie ułamków zwykłych - zasady, przykłady i rozwiązania. Bibliografia. W tym artykule korepetytor matematyki i fizyki opowiada o tym, jak wykonywać elementarne działania na ułamkach zwyczajnych: dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Dowiedz się, jak przedstawić liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy i odwrotnie, a także jak skracać ułamki zwykłe. Przypomnijmy Ci to mianownik ułamek to liczba, która jest od dołu, A licznik ułamka- o to chodzi powyżej z linii ułamkowej. Na przykład w ułamku liczba jest licznikiem, a liczba jest mianownikiem. Wspólny mianownik jest najmniejszą możliwą liczbą podzielną zarówno przez mianownik pierwszego ułamka, jak i mianownik drugiego ułamka. Przykład 1. Dodaj dwa ułamki: . Skorzystajmy z algorytmu opisanego powyżej: 1) Najmniejsza liczba podzielna zarówno przez mianownik pierwszego ułamka, jak i mianownik drugiego ułamka, jest równa . Liczba ta będzie wspólnym mianownikiem. Teraz musisz sprowadzić oba ułamki do wspólnego mianownika. 2) Dodaj powstałe frakcje: Innymi słowy, dla wszystkich liczb rzeczywistych , , , zachodzi równość: Przykład 2. Mnożyć ułamki: . Aby rozwiązać ten problem, używamy wzoru przedstawionego powyżej: Innymi słowy, dla wszystkich liczb rzeczywistych , , , , zachodzi równość: Przykład 3. Dzielenie ułamków: . Aby rozwiązać ten problem, używamy powyższego wzoru: Zastanówmy się teraz, co zrobić, jeśli musisz wykonać jakąkolwiek operację na ułamkach przedstawionych w postaci liczb mieszanych. W takim przypadku musisz najpierw przedstawić liczby mieszane jako ułamki niewłaściwe, a następnie wykonać niezbędną operację. Przypomnijmy Ci to zło Ułamek, którego licznik jest większy lub równy mianownikowi, nazywamy ułamkiem ułamkowym. Przypomnijmy również, że liczba mieszana ma frakcja I cała część. Na przykład liczba mieszana ma część ułamkową równą i część całkowitą równą . Przykład 4. Wyraź liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego. Skorzystajmy z algorytmu przedstawionego powyżej: Przykład 5. Przedstaw ułamek niewłaściwy jako liczbę mieszaną.Ułamki dodatnie i ujemne
Operacje na ułamkach
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych
.Mnożenie ułamków zwykłych
.Dzielenie ułamków
.Przedstawianie liczby mieszanej w postaci ułamka niewłaściwego
.