Onde foram consideradas as tarefas para resolver um triângulo retângulo, prometi apresentar uma técnica para memorizar as definições de seno e cosseno. Usando-o, você sempre lembrará rapidamente qual perna pertence à hipotenusa (adjacente ou oposta). Decidi não adiar indefinidamente, material necessário abaixo, veja

O fato é que tenho observado repetidamente como os alunos do 10º ao 11º ano têm dificuldade em lembrar essas definições. Eles se lembram muito bem que a perna se refere à hipotenusa, mas qual delas- esquece e confuso. O preço de um erro, como você sabe no exame, é uma pontuação perdida.

A informação que apresentarei diretamente à matemática não tem nada a ver. Ela está associada a pensamento figurativo, e com os métodos de conexão verbal-lógica. Isso mesmo, eu mesmo, de uma vez por todas me lembreidados de definição. Se você ainda os esquecer, com a ajuda das técnicas apresentadas, é sempre fácil lembrar.

Deixe-me lembrá-lo das definições de seno e cosseno em um triângulo retângulo:

Cosseno ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:

Seioângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa:

Então, que associações a palavra cosseno evoca em você?

Provavelmente cada um tem o seuLembre-se do link:

Assim, você terá imediatamente uma expressão em sua memória -

«… razão entre a perna ADJACENTE e a hipotenusa».

O problema com a definição de cosseno está resolvido.

Se você precisar se lembrar da definição do seno em um triângulo retângulo, lembrando-se da definição do cosseno, poderá estabelecer facilmente que o seno de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Afinal, existem apenas duas pernas, se a perna adjacente é “ocupada” pelo cosseno, então apenas o lado oposto permanece para o seno.

E a tangente e a cotangente? Mesma confusão. Os alunos sabem que esta é a proporção de pernas, mas o problema é lembrar qual delas se refere a qual - ou oposta ao adjacente ou vice-versa.

Definições:

Tangente um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna oposta para a adjacente:

Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão da perna adjacente para o oposto:

Como lembrar? Existem duas maneiras. Um também usa uma conexão lógica-verbal, o outro - matemático.

MÉTODO MATEMÁTICO

Existe tal definição - a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno de um ângulo e seu cosseno:

* Lembrando a fórmula, você sempre pode determinar que a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a perna oposta e a adjacente.

Da mesma maneira.A cotangente de um ângulo agudo é a razão entre o cosseno de um ângulo e seu seno:

Então! Lembrando essas fórmulas, você sempre pode determinar que:

- a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre a perna oposta e a adjacente

- a cotangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e o oposto.

MÉTODO VERBAL-LÓGICO

Sobre tangente. Lembre-se do link:

Ou seja, se você precisar lembrar a definição da tangente, usando essa conexão lógica, poderá lembrar facilmente o que é

"... a proporção da perna oposta para a adjacente"

Se se trata de cotangente, lembrando a definição de tangente, você pode facilmente expressar a definição de cotangente -

"... a proporção da perna adjacente para o oposto"

Existe uma técnica interessante para memorizar tangente e cotangente no site " Conjunto matemático " , olhar.

MÉTODO UNIVERSAL

Você pode apenas triturar.Mas, como mostra a prática, graças às conexões lógico-verbais, uma pessoa se lembra de informações por um longo tempo, e não apenas matemática.

Espero que o material tenha sido útil para você.

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Entendendo conceitos simples: seno e cosseno e cálculo cosseno ao quadrado e seno ao quadrado.

Seno e cosseno são estudados em trigonometria (a ciência dos triângulos com um ângulo reto).

Portanto, para começar, vamos relembrar os conceitos básicos de um triângulo retângulo:

Hipotenusa- o lado que sempre fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90 graus). A hipotenusa é o lado mais comprido de um triângulo retângulo.

Os dois lados restantes de um triângulo retângulo são chamados pernas.

Lembre-se também de que os três ângulos de um triângulo sempre somam 180°.

Agora vamos passar para cosseno e seno do ângulo alfa (∠α)(assim você pode chamar qualquer ângulo não reto em um triângulo ou usar como símbolo x - "x", o que não altera a essência).

Seno do ângulo alfa (sen ∠α)- é uma atitude oposto perna (o lado oposto ao ângulo correspondente) à hipotenusa. Se você olhar para a figura, então sen ∠ABC = AC / BC

Cosseno do ângulo alfa (cos ∠α)- atitude adjacente do ângulo do cateto com a hipotenusa. Olhando novamente para a figura acima, então cos ∠ABC = AB / BC

E só para lembrá-lo: cosseno e seno nunca serão maiores que um, pois qualquer um dos rolos é menor que a hipotenusa (e a hipotenusa é o lado mais longo de qualquer triângulo, porque o lado mais longo está localizado em frente ao maior ângulo do triângulo) .

Cosseno ao quadrado, seno ao quadrado

Agora vamos para o principal fórmulas trigonométricas: calcular cosseno ao quadrado e seno ao quadrado.

Para calculá-los, você deve se lembrar da identidade trigonométrica básica:

sen 2 α + cos 2 α = 1(o quadrado do seno mais o quadrado do cosseno de um ângulo sempre é igual a um).

A partir de identidade trigonométrica tiramos conclusões sobre o seno:

sin 2 α \u003d 1 - cos 2 α

seno quadrado alfaé igual a um menos cosseno ângulo duplo alfa e tudo isso dividido por dois.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Da identidade trigonométrica tiramos conclusões sobre o cosseno:

cos 2 α \u003d 1 - sen 2 α

ou uma versão mais complexa da fórmula: cosseno quadrado alfaé igual a um mais o cosseno do duplo ângulo alfa e também dividir tudo por dois.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Esses dois são mais fórmulas complexas seno ao quadrado e cosseno ao quadrado também são chamados de "decremento para quadrados funções trigonométricas". Aqueles. foi o segundo grau, rebaixado para o primeiro e os cálculos tornaram-se mais convenientes.

Os conceitos de seno (), cosseno (), tangente (), cotangente () estão inextricavelmente ligados ao conceito de ângulo. Para entender bem esses conceitos, à primeira vista, complexos (que causam um estado de horror em muitos escolares), e ter certeza de que “o diabo não é tão assustador quanto é pintado”, vamos começar do início e entender o conceito de ângulo.

O conceito de ângulo: radiano, grau

Vamos olhar para a imagem. O vetor "virou" em relação ao ponto por uma certa quantidade. Então a medida dessa rotação em relação à posição inicial será canto.

O que mais você precisa saber sobre o conceito de ângulo? Bem, unidades de ângulo, é claro!

O ângulo, tanto em geometria quanto em trigonometria, pode ser medido em graus e radianos.

Um ângulo de (um grau) é chamado canto central em um círculo, com base em um arco circular igual a uma parte do círculo. Assim, todo o círculo consiste em "pedaços" de arcos circulares, ou seja, o ângulo descrito pelo círculo é igual.

Ou seja, a figura acima mostra um ângulo que é igual, ou seja, esse ângulo é baseado em um arco circular do tamanho da circunferência.

Um ângulo em radianos é um ângulo central em um círculo, baseado em um arco circular, cujo comprimento é igual ao raio do círculo. Bem, você entendeu? Se não, então vamos olhar para a imagem.

Assim, a figura mostra um ângulo igual a um radiano, ou seja, esse ângulo é baseado em um arco circular, cujo comprimento é igual ao raio do círculo (o comprimento é igual ao comprimento ou raio igual ao comprimento arcos). Assim, o comprimento do arco é calculado pela fórmula:

Onde é o ângulo central em radianos.

Bem, sabendo disso, você pode responder quantos radianos contém um ângulo descrito por um círculo? Sim, para isso você precisa se lembrar da fórmula da circunferência de um círculo. Lá está ela:

Bem, agora vamos correlacionar essas duas fórmulas e fazer com que o ângulo descrito pelo círculo seja igual. Ou seja, correlacionando o valor em graus e radianos, obtemos isso. Respectivamente, . Como você pode ver, ao contrário de "graus", a palavra "radiano" é omitida, pois a unidade de medida geralmente é clara no contexto.

Quantos radianos são? Isso mesmo!

Entendi? Em seguida, aperte para a frente:

Alguma dificuldade? Então veja respostas:

Triângulo retângulo: seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo

Então, com o conceito de ângulo descoberto. Mas o que é o seno, cosseno, tangente, cotangente de um ângulo? Vamos descobrir. Para isso, vamos ajudar triângulo retângulo.

Como se chamam os lados de um triângulo retângulo? Isso mesmo, a hipotenusa e os catetos: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (no nosso exemplo, este é o lado); as pernas são os dois lados restantes e (aqueles adjacentes ângulo certo), além disso, se considerarmos as pernas em relação ao ângulo, então a perna é a perna adjacente e a perna é a oposta. Então, agora vamos responder a pergunta: quais são o seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo?

Seno de um ânguloé a razão da perna oposta (distante) para a hipotenusa.

em nosso triângulo.

Cosseno de um ângulo- esta é a razão da perna adjacente (próxima) para a hipotenusa.

em nosso triângulo.

Ângulo tangente- esta é a proporção da perna oposta (distante) para a adjacente (perto).

em nosso triângulo.

Cotangente de um ângulo- esta é a proporção da perna adjacente (próxima) para a oposta (distante).

em nosso triângulo.

Essas definições são necessárias lembrar! Para tornar mais fácil lembrar qual perna dividir por qual, você precisa entender claramente que em tangente e co-tangente apenas as pernas ficam sentadas, e a hipotenusa aparece apenas em seio e cosseno. E então você pode criar uma cadeia de associações. Por exemplo, este:

cosseno→toque→toque→adjacente;

Cotangente→toque→toque→adjacente.

Antes de tudo, é necessário lembrar que o seno, cosseno, tangente e cotangente como razões dos lados de um triângulo não dependem dos comprimentos desses lados (em um ângulo). Não confie? Então certifique-se olhando para a imagem:

Considere, por exemplo, o cosseno de um ângulo. Por definição, a partir de um triângulo: , mas podemos calcular o cosseno de um ângulo a partir de um triângulo: . Você vê, os comprimentos dos lados são diferentes, mas o valor do cosseno de um ângulo é o mesmo. Assim, os valores de seno, cosseno, tangente e cotangente dependem apenas da magnitude do ângulo.

Se você entende as definições, vá em frente e corrija-as!

Para o triângulo mostrado na figura abaixo, encontramos.

Bem, você conseguiu? Então tente você mesmo: calcule o mesmo para o canto.

Círculo unitário (trigonométrico)

Entendendo os conceitos de graus e radianos, consideramos um círculo com um raio igual a. Tal círculo é chamado solteiro. É muito útil no estudo da trigonometria. Portanto, nos debruçamos sobre isso com um pouco mais de detalhes.

Como você pode ver, este círculo é construído no sistema de coordenadas cartesianas. O raio do círculo é igual a um, enquanto o centro do círculo está na origem, a posição inicial do vetor de raio é fixada ao longo da direção positiva do eixo (no nosso exemplo, este é o raio).

Cada ponto do círculo corresponde a dois números: a coordenada ao longo do eixo e a coordenada ao longo do eixo. Quais são esses números de coordenadas? E, em geral, o que eles têm a ver com o tema em questão? Para fazer isso, lembre-se do triângulo retângulo considerado. Na figura acima, você pode ver dois triângulos retângulos inteiros. Considere um triângulo. É retangular porque é perpendicular ao eixo.

O que é igual a de um triângulo? Isso mesmo. Além disso, sabemos que é o raio do círculo unitário e, portanto, . Substitua esse valor em nossa fórmula de cosseno. Aqui está o que acontece:

E o que é igual a de um triângulo? Bem, claro, ! Substitua o valor do raio nesta fórmula e obtenha:

Então, você pode dizer quais coordenadas um ponto tem, pertencente ao círculo? Bem, de jeito nenhum? E se você perceber isso e são apenas números? A que coordenada corresponde? Bem, é claro, a coordenada! A que coordenada corresponde? Isso mesmo, coordenar! Assim, o ponto.

E o que então são iguais e? Isso mesmo, vamos usar as definições apropriadas de tangente e cotangente e obter isso, a.

E se o ângulo for maior? Aqui, por exemplo, como nesta imagem:

O que mudou neste exemplo? Vamos descobrir. Para fazer isso, voltamos novamente para um triângulo retângulo. Considere um triângulo retângulo: um ângulo (como adjacente a um ângulo). Qual é o valor do seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo? Isso mesmo, aderimos às definições correspondentes das funções trigonométricas:

Bem, como você pode ver, o valor do seno do ângulo ainda corresponde à coordenada; o valor do cosseno do ângulo - a coordenada; e os valores de tangente e cotangente às razões correspondentes. Assim, essas relações são aplicáveis ​​a quaisquer rotações do vetor raio.

Já foi mencionado que a posição inicial do vetor raio é ao longo da direção positiva do eixo. Até agora, giramos esse vetor no sentido anti-horário, mas o que acontece se o girarmos no sentido horário? Nada de extraordinário, você também obterá um ângulo de um determinado tamanho, mas apenas negativo. Assim, ao girar o vetor raio no sentido anti-horário, obtemos ângulos positivos, e ao girar no sentido horário - negativo.

Então, sabemos que toda uma revolução do vetor raio ao redor do círculo é ou. É possível girar o vetor raio por ou por? Bem, claro que você pode! No primeiro caso, portanto, o vetor raio fará uma revolução completa e parará na posição ou.

No segundo caso, ou seja, o raio vetor fará três voltas completas e parará na posição ou.

Assim, a partir dos exemplos acima, podemos concluir que os ângulos que diferem por ou (onde é qualquer número inteiro) correspondem à mesma posição do vetor raio.

A figura abaixo mostra um ângulo. A mesma imagem corresponde ao canto, e assim por diante. Esta lista pode ser continuada indefinidamente. Todos esses ângulos podem ser escritos com a fórmula geral ou (onde é qualquer número inteiro)

Agora, conhecendo as definições das funções trigonométricas básicas e usando o círculo unitário, tente responder a quais valores são iguais:

Aqui está um círculo unitário para ajudá-lo:

Alguma dificuldade? Então vamos descobrir. Então sabemos que:

A partir daqui, determinamos as coordenadas dos pontos correspondentes a certas medidas do ângulo. Bem, vamos começar pela ordem: o canto em corresponde a um ponto com coordenadas, portanto:

Não existe;

Além disso, seguindo a mesma lógica, descobrimos que os cantos em correspondem a pontos com coordenadas, respectivamente. Sabendo disso, é fácil determinar os valores das funções trigonométricas nos pontos correspondentes. Tente você mesmo primeiro, depois verifique as respostas.

Respostas:

Não existe

Não existe

Não existe

Não existe

Assim, podemos fazer a seguinte tabela:

Não há necessidade de lembrar todos esses valores. Basta lembrar a correspondência entre as coordenadas dos pontos no círculo unitário e os valores das funções trigonométricas:

Mas os valores das funções trigonométricas dos ângulos e, dados na tabela abaixo, deve ser lembrado:

Não tenha medo, agora vamos mostrar um dos exemplos memorização bastante simples dos valores correspondentes:

Para usar este método, é vital lembrar os valores do seno para todas as três medidas do ângulo (), bem como o valor da tangente do ângulo em. Conhecendo esses valores, é bastante fácil restaurar toda a tabela - os valores de cosseno são transferidos de acordo com as setas, ou seja:

Sabendo disso, você pode restaurar os valores para. O numerador " " corresponderá e o denominador " " corresponderá. Os valores cotangentes são transferidos de acordo com as setas mostradas na figura. Se você entender isso e se lembrar do diagrama com setas, será suficiente lembrar o valor inteiro da tabela.

Coordenadas de um ponto em um círculo

É possível encontrar um ponto (suas coordenadas) em um círculo, conhecendo as coordenadas do centro do círculo, seu raio e ângulo de rotação?

Bem, claro que você pode! Vamos trazer para fora Fórmula geral encontrar as coordenadas de um ponto.

Aqui, por exemplo, temos esse círculo:

Nos é dado que o ponto é o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtidas girando o ponto em graus.

Como pode ser visto na figura, a coordenada do ponto corresponde ao comprimento do segmento. O comprimento do segmento corresponde à coordenada do centro do círculo, ou seja, é igual a. O comprimento de um segmento pode ser expresso usando a definição de cosseno:

Então temos que para o ponto a coordenada.

Pela mesma lógica, encontramos o valor da coordenada y para o ponto. Nesse caminho,

Então em visão geral as coordenadas do ponto são determinadas pelas fórmulas:

Coordenadas do centro do círculo,

raio do círculo,

Ângulo de rotação do vetor raio.

Como você pode ver, para o círculo unitário que estamos considerando, essas fórmulas são significativamente reduzidas, pois as coordenadas do centro são zero e o raio é igual a um:

Bem, vamos tentar essas fórmulas para dar um gostinho, praticando encontrar pontos em um círculo?

1. Encontre as coordenadas de um ponto em um círculo unitário obtido girando um ponto.

2. Encontre as coordenadas de um ponto em um círculo unitário obtido pela rotação de um ponto.

3. Encontre as coordenadas de um ponto em um círculo unitário obtido girando um ponto.

4. Ponto - o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtidas pela rotação do vetor raio inicial por.

5. Ponto - o centro do círculo. O raio do círculo é igual. É necessário encontrar as coordenadas do ponto obtidas pela rotação do vetor raio inicial por.

Tendo problemas para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo?

Resolva esses cinco exemplos (ou entenda bem a solução) e você aprenderá como encontrá-los!

1.

Pode ser visto que. E sabemos o que corresponde a uma volta completa do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição que ao virar. Sabendo disso, encontramos as coordenadas desejadas do ponto:

2. O círculo é uma unidade com centro em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Pode ser visto que. Sabemos o que corresponde a duas rotações completas do ponto de partida. Assim, o ponto desejado estará na mesma posição que ao virar. Sabendo disso, encontramos as coordenadas desejadas do ponto:

Seno e cosseno são valores tabulares. Lembramos seus valores e obtemos:

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

3. O círculo é uma unidade com centro em um ponto, o que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Pode ser visto que. Vamos descrever o exemplo considerado na figura:

O raio faz ângulos com o eixo igual a e. Sabendo que os valores tabulares do cosseno e do seno são iguais, e tendo determinado que o cosseno aqui assume um valor negativo e o seno é positivo, temos:

Exemplos semelhantes são analisados ​​com mais detalhes ao estudar as fórmulas para reduzir funções trigonométricas no tópico.

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

4.

Ângulo de rotação do vetor de raio (por condição)

Para determinar os sinais correspondentes de seno e cosseno, construímos um círculo unitário e um ângulo:

Como você pode ver, o valor, ou seja, é positivo, e o valor, ou seja, é negativo. Conhecendo os valores tabulares das funções trigonométricas correspondentes, obtemos que:

Vamos substituir os valores obtidos em nossa fórmula e encontrar as coordenadas:

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

5. Para resolver este problema, usamos fórmulas na forma geral, onde

As coordenadas do centro do círculo (no nosso exemplo,

Raio do círculo (por condição)

Ângulo de rotação do vetor raio (por condição).

Substitua todos os valores na fórmula e obtenha:

e - valores da tabela. Lembramos e os substituímos na fórmula:

Assim, o ponto desejado tem coordenadas.

RESUMO E FÓRMULA BÁSICA

O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto (distante) e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente (próximo) e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo é a razão entre a perna oposta (distante) e a adjacente (próxima).

A cotangente de um ângulo é a razão entre a perna adjacente (próxima) e a oposta (distante).

Identidades trigonométricas são igualdades que estabelecem uma relação entre o seno, o cosseno, a tangente e a cotangente de um ângulo, o que permite encontrar qualquer uma dessas funções, desde que qualquer outra seja conhecida.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Essa identidade diz que a soma do quadrado do seno de um ângulo e o quadrado do cosseno de um ângulo é igual a um, o que na prática permite calcular o seno de um ângulo quando seu cosseno é conhecido e vice-versa .

Ao converter expressões trigonométricas, essa identidade é muito usada, o que permite substituir a soma dos quadrados do cosseno e seno de um ângulo por um e também realizar a operação de substituição na ordem inversa.

Encontrando tangente e cotangente através de seno e cosseno

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Essas identidades são formadas a partir das definições de seno, cosseno, tangente e cotangente. Afinal, se você olhar, então, por definição, a ordenada de y é o seno e a abcissa de x é o cosseno. Então a tangente será é igual à razão \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), e a razão \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- será uma cotangente.

Acrescentamos que apenas para tais ângulos \alpha para os quais as funções trigonométricas incluídas neles fazem sentido, as identidades ocorrerão, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Por exemplo: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)é válido para ângulos \alpha diferentes de \frac(\pi)(2)+\piz, uma ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- para um ângulo \alpha diferente de \pi z , z é um inteiro.

Relação entre tangente e cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Esta identidade é válida apenas para ângulos \alpha que são diferentes de \frac(\pi)(2) z. Caso contrário, nem a cotangente nem a tangente serão determinadas.

Com base nos pontos acima, obtemos que tg \alpha = \frac(y)(x), uma ctg\alpha=\frac(x)(y). Daí segue que tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Assim, a tangente e a cotangente de um ângulo em que fazem sentido são números mutuamente recíprocos.

Relações entre tangente e cosseno, cotangente e seno

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- a soma do quadrado da tangente do ângulo \alpha e 1 é igual ao quadrado inverso do cosseno desse ângulo. Esta identidade é válida para todos os \alpha exceto \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- a soma de 1 e o quadrado da cotangente do ângulo \alpha , é igual ao inverso do quadrado do seno determinado ângulo. Essa identidade é válida para qualquer \alpha diferente de \pi z .

Exemplos com soluções para problemas usando identidades trigonométricas

Exemplo 1

Encontre \sin \alpha e tg \alpha se \cos \alpha=-\frac12 e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Mostrar solução

Solução

As funções \sin \alpha e \cos \alpha estão ligadas pela fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substituindo nesta fórmula \cos \alpha = -\frac12, Nós temos:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Esta equação tem 2 soluções:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre, o seno é positivo, então \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Para encontrar tg \alpha , usamos a fórmula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3

Exemplo 2

Encontre \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Mostrar solução

Solução

Substituindo na fórmula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 número condicional \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), Nós temos \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Esta equação tem duas soluções \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Por condição \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . No segundo trimestre, o cosseno é negativo, então \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Para encontrar ctg \alpha , usamos a fórmula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conhecemos os valores correspondentes.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Tabela de valores de funções trigonométricas

Observação. Esta tabela de valores de funções trigonométricas usa o sinal √ para denotar raiz quadrada. Para denotar uma fração - o símbolo "/".

Veja também materiais úteis:

Por determinar o valor de uma função trigonométrica, encontre-o na interseção da linha que indica a função trigonométrica. Por exemplo, um seno de 30 graus - estamos procurando uma coluna com o título sin (seno) e encontramos a interseção desta coluna da tabela com a linha "30 graus", em sua interseção lemos o resultado - um segundo. Da mesma forma, encontramos cosseno 60 graus, seno 60 graus (mais uma vez, na interseção da coluna sen (seno) e a linha de 60 graus encontramos valor do pecado 60 = √3/2), etc. Da mesma forma, são encontrados os valores de senos, cossenos e tangentes de outros ângulos "populares".

Seno de pi, cosseno de pi, tangente de pi e outros ângulos em radianos

A tabela de cossenos, senos e tangentes abaixo também é adequada para encontrar o valor de funções trigonométricas cujo argumento é dado em radianos. Para fazer isso, use a segunda coluna de valores de ângulo. Graças a isso, você pode converter o valor de ângulos populares de graus para radianos. Por exemplo, vamos encontrar o ângulo de 60 graus na primeira linha e ler seu valor em radianos abaixo dela. 60 graus é igual a π/3 radianos.

O número pi expressa exclusivamente a dependência da circunferência de um círculo na medida em graus do ângulo. Então pi radianos é igual a 180 graus.

Qualquer número expresso em termos de pi (radiano) pode ser facilmente convertido em graus substituindo o número pi (π) por 180.

Exemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
assim, o seno de pi é igual ao seno de 180 graus e é igual a zero.

2. cosseno pi.
cos π = cos 180 = -1
assim, o cosseno de pi é igual ao cosseno de 180 graus e é igual a menos um.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
assim, a tangente de pi é igual à tangente de 180 graus e é igual a zero.

Tabela de valores de seno, cosseno, tangente para ângulos 0 - 360 graus (valores frequentes)

Se na tabela de valores das funções trigonométricas, em vez do valor da função, for indicado um traço (tangente (tg) 90 graus, cotangente (ctg) 180 graus), então para um determinado valor da medida de grau de o ângulo, a função não tem um valor definido. Se não houver traço - a célula está vazia, ainda não inserimos Valor desejado. Estamos interessados ​​em quais solicitações os usuários nos procuram e complementam a tabela com novos valores, apesar de os dados atuais sobre os valores de cossenos, senos e tangentes dos valores de ângulo mais comuns serem suficientes para resolver a maioria problemas.

Tabela de valores de funções trigonométricas sin, cos, tg para os ângulos mais populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 graus
(valores numéricos "conforme tabelas Bradis")