Definicje

Definicje funkcji trygonometrycznych podaje się za pomocą okręgu trygonometrycznego, rozumianego jako okrąg o jednostkowym promieniu wyśrodkowany na początku.

Rozważ dwa promienie tego okręgu: stały (gdzie jest punkt) i ruchomy (gdzie jest punkt). Niech ruchomy promień tworzy kąt ze stałym.

Liczbę równą rzędnej końca promienia jednostkowego tworzącego kąt o stałym promieniu nazywamy sinus kąta : .

Nazywa się liczbę równą odciętej końca promienia jednostkowego tworzącego kąt o stałym promieniu cosinus kąta : .

Zatem punkt będący końcem ruchomego promienia tworzącego naroże ma współrzędne.

Styczna kąta jest stosunkiem sinusa tego kąta do jego cosinusa: , .

cotangens kąta jest stosunkiem cosinusa tego kąta do jego sinusa: , .

zmysł geometryczny funkcje trygonometryczne

Geometryczne znaczenie sinusa i cosinusa na okręgu trygonometrycznym jest jasne z definicji: jest to odcięta i rzędne punktu przecięcia ruchomego promienia, który tworzy kąt ze stałym promieniem, oraz okrąg trygonometryczny. Tj, .

Rozważmy teraz geometryczne znaczenie tangensa i cotangensa. Trójkąty są podobne pod trzema kątami (,), więc zależność jest zachowana. Z drugiej strony w związku z tym.

Podobnie w trzech rogach (,), wtedy relacja jest zachowana. Z drugiej strony w związku z tym.

Uwzględniając geometryczne znaczenie tangensa i cotangensa, wprowadzono pojęcie osi stycznych i osi cotangensów.

Osie stycznych nazywane są osiami, z których jedna dotyka okręgu trygonometrycznego w punkcie i jest skierowana w górę, druga dotyka okręgu w punkcie i jest skierowana w dół.

Osie kostyczne nazywane są osiami, z których jedna dotyka okręgu trygonometrycznego w punkcie i jest skierowana w prawo, druga dotyka okręgu w punkcie i jest skierowana w lewo.

Własności funkcji trygonometrycznych

Rozważmy kilka podstawowych własności funkcji trygonometrycznych. Inne własności zostaną omówione w części poświęconej wykresom funkcji trygonometrycznych.

Zakres i zakres wartości

Jak wspomniano wcześniej, sinus i cosinus istnieją dla dowolnych kątów, tj. dziedziną definicji tych funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Z definicji tangens nie istnieje dla kątów, ale cotangens dla kątów, .

Ponieważ sinus i cosinus są rzędną i odciętą punktu na okręgu trygonometrycznym, ich wartości znajdują się pomiędzy. Obszar wartości tangensa i cotangensa to zbiór liczb rzeczywistych (łatwo to zobaczyć patrząc na osie stycznych i cotangensów).

Nawet dziwne

Rozważmy funkcje trygonometryczne dwóch kątów (co odpowiada ruchomemu promieniowi) i (co odpowiada ruchomemu promieniowi). Od tego czasu punkt ma współrzędne. Dlatego m.in. sinus - funkcja nieparzysta; , tj. cosinus jest funkcją parzystą; , tj. styczna jest nieparzysta; , tj. cotangens jest również dziwny.

Przedziały stałości

Znaki funkcji trygonometrycznych dla różnych ćwiartek współrzędnych wynikają z definicji tych funkcji. Należy zauważyć, że skoro tangens i cotangens są stosunkami sinusa i cosinusa, są one dodatnie, gdy sinus i cosinus kąta mają ten sam znak, a ujemne, gdy są różne.

Okresowość

Okresowość sinusa i cosinusa opiera się na fakcie, że kąty różniące się o całkowitą liczbę pełnych obrotów odpowiadają temu samemu względne położenie ruchome i stałe belki. W związku z tym współrzędne punktu przecięcia ruchomej belki i okręgu trygonometrycznego będą takie same dla kątów różniących się całkowitą liczbą pełnych obrotów. Więc okres sinusa i cosinusa jest i gdzie.

Oczywiście jest to również okres dla tangensa i cotangensa. Ale czy jest krótszy okres na te funkcje? Udowadniamy, że najmniejszy okres dla stycznej i cotangensa jest.

Rozważ dwa kąty i. Op zmysł geometryczny styczna i cotangens , . Trójkąty są równe wzdłuż boku i kątów do niego przylegających, a zatem ich boki są również równe, co oznacza i. Podobnie można udowodnić, gdzie. Tak więc jest okres tangensa i cotangensa.

Funkcje trygonometryczne kątów podstawowych

Wzory trygonometrii

Do skutecznego rozwiązywania problemów trygonometrycznych niezbędna jest znajomość wielu wzorów trygonometrycznych. Nie ma jednak potrzeby zapamiętywania wszystkich formuł. Musisz znać na pamięć tylko te najbardziej podstawowe i jeśli to konieczne, musisz umieć wydedukować resztę formuł.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna i jej konsekwencje

Wszystkie funkcje trygonometryczne dowolnego kąta są ze sobą połączone, tj. znając jedną funkcję, zawsze możesz znaleźć resztę. To połączenie jest podane we wzorach omówionych w tej sekcji.

Twierdzenie 1 (podstawowa tożsamość trygonometryczna). Dla każdego, tożsamość

Dowód polega na zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego z nogami i przeciwprostokątną.

Prawdą jest również bardziej ogólne twierdzenie.

Twierdzenie 2. Aby dwie liczby były przyjmowane jako cosinus i sinus tego samego kąta rzeczywistego, konieczne i wystarczające jest, aby suma ich kwadratów była równa jeden:

Rozważ konsekwencje głównej tożsamości trygonometrycznej.

Wyraźmy sinus w postaci cosinusa, a cosinus w postaci sinusa:

W tych formułach znak plus lub minus przed pierwiastkiem jest wybierany w zależności od ćwiartki, w której leży kąt.

Podstawiając otrzymane powyżej wzory do wzorów wyznaczających tangens i cotangens, otrzymujemy:

Dzieląc podstawowy termin tożsamości trygonometrycznej przez termin przez lub otrzymujemy odpowiednio:

Te współczynniki można przepisać jako:

Poniższe wzory podają relację między tangensem i cotangensem. Od kiedy i kiedy następuje równość:

Formuły odlewane

Za pomocą wzorów redukcyjnych można wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów w kategoriach wartości funkcji kąta ostrego. Wszystkie formuły redukcyjne można uogólnić stosując następującą regułę.

Dowolna funkcja trygonometryczna kąta, zgodnie z całkowita wartość jest równa tej samej funkcji kąta, jeśli liczba jest parzysta, i współfunkcji kąta, jeśli liczba jest nieparzysta. Co więcej, jeśli funkcja kąta jest dodatnia, gdy jest ostrym kątem dodatnim, to znaki obu funkcji są takie same, jeśli ujemna, to są różne.

Wzory na sumę i różnicę kątów

Twierdzenie 3 . Dla każdego rzeczywistego i następujące formuły są prawdziwe:

Dowód pozostałych wzorów opiera się na wzorach na redukcję i parzysty/nieparzysty dla funkcji trygonometrycznych.

co było do okazania

Twierdzenie 4. Za każdą prawdziwą i taką, która

1. , obowiązują następujące formuły

2. Obowiązują następujące wzory

Dowód. Z definicji tangens

Ostatnie przekształcenie uzyskuje się dzieląc licznik i mianownik tego ułamka.

Podobnie dla cotangensa (licznik i mianownik w tym przypadku są dzielone przez):

co było do okazania

Należy zwrócić uwagę na fakt, że prawa i lewa część ostatnich równości mają różne obszary dozwolone wartości. Dlatego stosowanie tych wzorów bez ograniczeń co do możliwych wartości kątów może prowadzić do błędnych wyników.

Wzory podwójnego i półkąta

Formuły podwójny kąt pozwalają nam wyrazić funkcje trygonometryczne dowolnego kąta w postaci funkcji kąta o połowę mniejszego od oryginału. Wzory te są konsekwencją wzorów na sumę dwóch kątów, jeśli umieścimy w nich kąty równe sobie.

Ostatnią formułę można przekształcić za pomocą podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

Tak więc dla cosinusa podwójnego kąta istnieją trzy formuły:

Należy zauważyć że podana formuła ważne tylko wtedy, gdy

Ostatnia formuła obowiązuje dla , .

Podobnie jak w przypadku funkcji podwójnego kąta, można otrzymać funkcje potrójnego kąta. Tutaj te formuły są podane bez dowodu:

Formuły półkąta są konsekwencją formuły podwójnego kąta i pozwalają wyrazić funkcje trygonometryczne pewnego kąta w postaci funkcji kąta dwukrotnie większego od pierwotnego.

Dane referencyjne dotyczące funkcji trygonometrycznych sinus (sin x) i cosinus (cos x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tablica sinusów i cosinusów, pochodne, całki, rozwinięcia szeregów, sieczna, cosecans. Wyrażenia poprzez złożone zmienne. Połączenie z funkcjami hiperbolicznymi.

Geometryczna definicja sinusa i cosinusa

|BD|- długość łuku koła wyśrodkowanego w punkcie A.
α to kąt wyrażony w radianach.

Definicja
Zatoka jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równy stosunkowi długość przeciwległej nogi |BC| do długości przeciwprostokątnej |AC|.

Cosinus (cos α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a odnogą trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniego ramienia |AB| do długości przeciwprostokątnej |AC|.

Przyjęte oznaczenia

;
;
.

;
;
.

Wykres funkcji sinus, y = sin x

Wykres funkcji cosinus, y = cos x

Własności sinusa i cosinusa

Okresowość

Funkcje y= grzech x i y= bo x okresowy z kropką 2 pi.

Parytet

Funkcja sinus jest nieparzysta. Funkcja cosinus jest parzysta.

Domena definicji i wartości, ekstrema, wzrost, spadek

Funkcje sinus i cosinus są ciągłe w swojej dziedzinie definicji, to znaczy dla wszystkich x (patrz dowód ciągłości). Ich główne właściwości przedstawiono w tabeli (n - liczba całkowita).

	y= grzech x	y= bo x
Zakres i ciągłość	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Zakres wartości	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Rosnąco
Malejąco
Maksimum, y= 1
Minima, y ​​= - 1
Zera, y= 0
Punkty przecięcia z osią y, x = 0	y= 0	y= 1

Podstawowe formuły

Suma sinusa do kwadratu i cosinusa

Wzory sinus i cosinus na sumę i różnicę

;
;

Wzory na iloczyn sinusów i cosinusów

Wzory na sumy i różnice

Wyrażenie od sinusa do cosinusa

;
;
;
.

Wyrażanie cosinusa przez sinus

;
;
;
.

Wyrażenie w kategoriach stycznych

; .

Dla , mamy:
; .

Na :
; .

Tablica sinusów i cosinusów, tangensów i cotangensów

Ta tabela pokazuje wartości sinusów i cosinusów dla niektórych wartości argumentu.

Wyrażenia poprzez złożone zmienne

;

Wzór Eulera

{ -∞ < x < +∞ }

Secans, cosecans

Funkcje odwrotne

Funkcje odwrotne do sinusa i cosinusa są odpowiednio arcsine i arccosinus.

Arcsine, arcsin

Arccosinus, arccos

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów wyższych uczelni, Lan, 2009.

Podano stosunki między głównymi funkcjami trygonometrycznymi - sinus, cosinus, tangens i cotangens formuły trygonometryczne. A ponieważ istnieje wiele połączeń między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to również obfitość formuł trygonometrycznych. Niektóre formuły łączą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje kąta wielokrotnego, inne - pozwalają obniżyć stopień, czwarta - wyraża wszystkie funkcje przez styczną półkąta itp.

W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie główne formuły trygonometryczne, które są wystarczające do rozwiązania większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i używania pogrupujemy je według ich przeznaczenia i wprowadzimy do tabel.

Nawigacja po stronach.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne ustawić relację między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa oraz pojęcia okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną za pomocą dowolnej innej.

Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły odlewane

Formuły odlewane wynikają z własności sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, czyli odzwierciedlają własność okresowości funkcji trygonometrycznych, własność symetrii i własność przesunięcia przez podany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami od zera do 90 stopni.

W artykule można zapoznać się z uzasadnieniem dla tych formuł, mnemoniczną zasadą ich zapamiętywania oraz przykładami ich zastosowania.

Formuły dodawania

Wzory trygonometryczne dodawania pokazać, w jaki sposób funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów są wyrażane w kategoriach funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt

Formuły dla podwójnych, potrójnych itp. kąt (są one również nazywane formułami wielu kątów) pokazują, w jaki sposób funkcje trygonometryczne podwójne, potrójne itp. kąty () są wyrażone w funkcjach trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje są gromadzone w formułach artykułów dla podwójnych, potrójnych itp. kąt .

Wzory półkątowe

Wzory półkątowe pokaż, jak funkcje trygonometryczne półkąta są wyrażone w postaci cosinusa kąta całkowitego. Te wzory trygonometryczne wynikają z wzorów podwójnego kąta.

Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły redukcyjne

Wzory trygonometryczne na malejące stopnie są zaprojektowane tak, aby ułatwić przejście od naturalnych potęg funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów w pierwszym stopniu, ale pod różnymi kątami. Innymi słowy, pozwalają zredukować potęgi funkcji trygonometrycznych do pierwszego.

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Główny cel wzory na sumę i różnicę dla funkcji trygonometrycznych polega na przejściu do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych. Te formuły są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równania trygonometryczne, ponieważ pozwalają na faktoryzację sumy i różnicy sinusów i cosinusów.

Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinus przez cosinus

Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzorów na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa po cosinusie.

Bashmakov MI Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. śr. szkoła - 3. ed. - M.: Oświecenie, 1993. - 351 s.: ch. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; Wyd. A. N. Kolmogorova.- 14. wyd.- M.: Oświecenie, 2004.- 384 s.: il.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do szkół technicznych): Proc. dodatek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., chor.

Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część strony internetowej, w tym materiały wewnętrzne oraz projekt zewnętrzny nie mogą być powielane w żadnej formie ani używane bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

UŻYWAĆ przez 4? Czy nie pękasz ze szczęścia?

Pytanie, jak mówią, jest interesujące ... Możesz, możesz przekazać 4! A przy tym nie pękaj… Głównym warunkiem jest regularne ćwiczenie. Oto podstawowe przygotowanie do egzaminu z matematyki. Ze wszystkimi sekretami i tajemnicami Zjednoczonego Egzaminu Państwowego, o których nie przeczytasz w podręcznikach ... Przestudiuj tę sekcję, rozwiąż więcej zadań z różne źródła- i wszystko się ułoży! Zakłada się, że podstawowa sekcja „Dość dla ciebie i trzy!” nie sprawia Ci żadnych problemów. Ale jeśli nagle... Podążaj za linkami, nie bądź leniwy!

I zaczniemy od wielkiego i strasznego tematu.

Trygonometria

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Ten temat sprawia studentom wiele problemów. Jest uważany za jeden z najcięższych. Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens? Co to jest koło liczbowe? Warto zadać te nieszkodliwe pytania, jak człowiek blednie i próbuje odwrócić rozmowę na bok... Ale na próżno. To są proste koncepcje. A ten temat nie jest trudniejszy niż inne. Wystarczy od samego początku jasno zrozumieć odpowiedzi na te pytania. To jest bardzo ważne. Jeśli to rozgryzłeś, spodoba ci się trygonometria. Więc,

Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens?

Zacznijmy od czasów starożytnych. Nie martw się, w 15 minut przejdziemy przez wszystkie 20 wieków trygonometrii i niepostrzeżenie dla siebie powtórzymy fragment geometrii z klasy 8.

Narysuj prawy trójkąt z bokami a, b, c i kąt X. Tu jest jeden.

Przypomnę, że boki tworzące kąt prosty to nogi. a i c- łyżwy. Jest ich dwóch. Druga strona nazywa się przeciwprostokątną. z- przeciwprostokątna.

Trójkąt i trójkąt, pomyśl o tym! Co z nim zrobić? Ale starożytni wiedzieli, co robić! Powtórzmy ich działania. Zmierzmy bok w. Na rysunku komórki są specjalnie narysowane, jak na UŻYWAJ zadań zdarza się. Strona w równa się czterem komórkom. OK. Zmierzmy bok a. Trzy komórki.

Teraz podzielmy długość boku a na długość boku w. Albo, jak mówią, weźmy stosunek a do w. a/c= 3/4.

Alternatywnie możesz udostępnić w na a. Dostajemy 4/3. Mogą w dzielić przez z. przeciwprostokątna z nie licz według komórek, ale jest równy 5. Otrzymujemy a/c= 4/5. Krótko mówiąc, możesz podzielić długości boków przez siebie i uzyskać kilka liczb.

Więc co? Jakie jest znaczenie tej interesującej działalności? Jak dotąd żaden. Szczerze mówiąc, głupia praca.)

A teraz zróbmy to. Powiększmy trójkąt. Rozszerzmy boki tam i z powrotem, ale tak, aby trójkąt pozostał pod kątem prostym. Zastrzyk X, oczywiście się nie zmienia. Aby go zobaczyć, najedź myszą na zdjęcie lub dotknij go (jeśli masz tablet). Imprezy a, b i c przemienić się m, n, k i oczywiście zmienią się długości boków.

Ale ich związek nie jest!

Postawa a/c To było: a/c= 3/4, stał się m/n= 6/8 = 3/4. Relacje z innymi zainteresowanymi stronami również nie zmieni się . Możesz dowolnie zmieniać długości boków w trójkącie prostokątnym, zwiększać, zmniejszać, bez zmiany kąta x – relacja między odpowiednimi stronami nie ulegnie zmianie . Możesz sprawdzić, albo możesz wierzyć słowom starożytnych ludzi.

Teraz jest to bardzo ważne! Stosunki boków w trójkącie prostokątnym nie zależą w żaden sposób od długości boków (dla tego samego kąta). Jest to tak ważne, że stosunki stron zasłużyły na swoje szczególne imiona. Ich imiona, że ​​tak powiem.) Zapoznaj się.

Jaki jest sinus kąta x ? Jest to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

sinx = a/c

Jaki jest cosinus kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

zosx= a/c

Jaki jest tangens kąta x ? Jest to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

tgx=a/c

Jaki jest cotangens kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej:

ctgx = w/a

Wszystko jest bardzo proste. Sinus, cosinus, tangens i cotangens to tylko niektóre liczby. Bezwymiarowe. Tylko liczby. Do każdego zakątka - własny.

Dlaczego tak nudno się powtarzam? Więc co to jest muszę pamiętać. Jak na ironię pamiętaj. Zapamiętywanie może być łatwiejsze. Wyrażenie „Zacznijmy od daleka…” jest znajome? Więc zacznij z daleka.

Zatoka kąt to stosunek odległy od kąta nogi do przeciwprostokątnej. Cosinus to stosunek najbliższej przeciwprostokątnej.

Tangens kąt to stosunek odległy od kąta cewnika do najbliższego. Cotangens- nawzajem.

Już łatwiej, prawda?

Cóż, jeśli pamiętasz, że tylko nogi siedzą w stycznej i kostycznej, a przeciwprostokątna pojawia się w sinusie i cosinusie, to wszystko stanie się całkiem proste.

Ta cała wspaniała rodzina - sinus, cosinus, tangens i cotangens jest również nazywana funkcje trygonometryczne.

A teraz pytanie do rozważenia.

Dlaczego mówimy sinus, cosinus, tangens i cotangens? narożnik? Mówimy o relacjach stron, takich jak… Z czym to ma wspólnego zastrzyk?

Spójrzmy na drugie zdjęcie. Dokładnie taki sam jak pierwszy.

Najedź myszką na zdjęcie. Zmieniłem kąt X. powiększył to z x do x. Wszystkie relacje się zmieniły! Postawa a/c wynosił 3/4, a odpowiedni stosunek cyna stał się 6/4.

A wszystkie inne relacje stały się inne!

Dlatego proporcje boków nie zależą w żaden sposób od ich długości (przy jednym kącie x), ale mocno zależą od tego właśnie kąta! I tylko od niego. Dlatego terminy sinus, cosinus, tangens i cotangens odnoszą się do narożnik. Ten róg jest głównym.

Należy ironicznie zrozumieć, że kąt jest nierozerwalnie związany z jego funkcjami trygonometrycznymi. Każdy kąt ma swój własny sinus i cosinus. I prawie każdy ma swoją tangens i cotangens. To jest ważne. Uważa się, że jeśli otrzymamy kąt, to jego sinus, cosinus, tangens i cotangens wiemy ! I wzajemnie. Mając sinus lub inną funkcję trygonometryczną, znamy kąt.

Istnieją specjalne tabele, w których dla każdego kąta zapisane są jego funkcje trygonometryczne. Nazywane są stoły Bradys. Powstawały od bardzo dawna. Kiedy nie było kalkulatorów ani komputerów...

Oczywiście nie można zapamiętać funkcji trygonometrycznych wszystkich kątów. Musisz je znać tylko pod kilkoma kątami, o czym później. Ale zaklęcie Znam kąt, więc znam jego funkcje trygonometryczne" - zawsze działa!

Więc powtórzyliśmy kawałek geometrii z 8 klasy. Czy potrzebujemy go do egzaminu? Niezbędny. Oto typowy problem z egzaminu. Dla rozwiązania, którego wystarczy ósma klasa. Podano zdjęcie:

Wszystko. Nie ma więcej danych. Musimy znaleźć długość nogi BC.

Komórki niewiele pomagają, trójkąt jest jakoś niewłaściwie umiejscowiony.... Chyba celowo... Z informacji wynika długość przeciwprostokątnej. 8 komórek. Z jakiegoś powodu podany jest kąt.

Tutaj musimy od razu pamiętać o trygonometrii. Istnieje kąt, więc znamy wszystkie jego funkcje trygonometryczne. Którą z czterech funkcji należy wprowadzić w życie? Zobaczmy, co wiemy, dobrze? Znamy przeciwprostokątną, kąt, ale musimy znaleźć przylegający do tej katety na rogu! Oczywiście, cosinus musi zostać wykorzystany! Tutaj startujemy. Po prostu piszemy, z definicji cosinusa (ratio przylegający od nogi do przeciwprostokątnej):

cosC = BC/8

Kąt C wynosi 60 stopni, a jego cosinus to 1/2. Musisz to wiedzieć, bez żadnych stolików! To jest:

1/2 = słońce/8

podstawowy równanie liniowe. Nieznany - Słońce. Kto zapomniał, jak rozwiązywać równania, przejdź się po linku, reszta rozwiąż:

słońce = 4

Kiedy starożytni zdali sobie sprawę, że każdy kąt ma swój własny zestaw funkcji trygonometrycznych, mieli rozsądne pytanie. Czy sinus, cosinus, tangens i cotangens nie są ze sobą w jakiś sposób powiązane? Czyli znając jedną funkcję kąta, możesz znaleźć resztę? Bez obliczania samego kąta?

Tak byli niespokojni ...)

Związek między funkcjami trygonometrycznymi jednego kąta.

Oczywiście sinus, cosinus, tangens i cotangens tego samego kąta są ze sobą powiązane. Wszelkie powiązania między wyrażeniami są podane w matematyce za pomocą wzorów. W trygonometrii istnieje ogromna liczba formuł. Ale tutaj przyjrzymy się najbardziej podstawowym. Te formuły nazywają się: podstawowe tożsamości trygonometryczne. Tutaj są:

Te formuły muszą znać żelazo. Bez nich w trygonometrii nie ma w ogóle nic do roboty. Z tych podstawowych tożsamości wynikają jeszcze trzy tożsamości pomocnicze:

Od razu ostrzegam, że ostatnie trzy formuły szybko wypadają z pamięci. Z jakiegoś powodu.) Możesz oczywiście wyprowadzić te wzory z pierwszych trzech. Ale w trudny moment... Rozumiesz.)

W standardowych zadaniach, takich jak te poniżej, istnieje sposób na obejście tych zapomnianych formuł. I drastycznie zredukuj błędy z zapomnienia, a także w obliczeniach. Ten praktyczna technika- w rozdziale 555, lekcja „Zależność między funkcjami trygonometrycznymi jednego kąta”.

W jakich zadaniach i jak wykorzystywane są podstawowe tożsamości trygonometryczne? Najpopularniejszym zadaniem jest znalezienie jakiejś funkcji kąta, jeśli podano inną. Na egzaminie takie zadanie jest obecne z roku na rok.) Np.:

Znajdź wartość sinx, jeśli x jest kątem ostrym i cosx=0,8.

Zadanie jest prawie elementarne. Szukamy formuły, w której występuje sinus i cosinus. Oto ta formuła:

grzech 2 x + cos 2 x = 1

Podstawiamy tutaj znaną wartość, czyli 0,8 zamiast cosinusa:

grzech 2 x + 0,8 2 = 1

Cóż, jak zwykle rozważamy:

grzech 2 x + 0,64 = 1

grzech 2 x \u003d 1 - 0,64

Tutaj prawie wszystko. Obliczyliśmy kwadrat sinusa, pozostaje wyciągnąć pierwiastek kwadratowy i odpowiedź jest gotowa! Pierwiastek 0,36 to 0,6.

Zadanie jest prawie elementarne. Ale słowo „prawie” nie jest tutaj na próżno ... Faktem jest, że odpowiedź sinx = - 0,6 jest również odpowiednia ... (-0,6) 2 również będzie 0,36.

Uzyskuje się dwie różne odpowiedzi. I potrzebujesz jednego. Drugi jest zły. Jak być!? Tak, jak zwykle). Przeczytaj uważnie zadanie. Z jakiegoś powodu mówi... jeśli x jest kątem ostrym... A w zadaniach każde słowo ma znaczenie, tak… Ta fraza jest dodatkową informacją do rozwiązania.

Kąt ostry to kąt mniejszy niż 90°. I pod takimi kątami wszystko funkcje trygonometryczne - sinus i cosinus oraz tangens z cotangensem - pozytywny. Tych. po prostu odrzucamy tutaj negatywną odpowiedź. Mamy prawo.

W rzeczywistości ósmoklasiści nie potrzebują takich subtelności. Działają tylko z trójkątami prostymi, gdzie rogi mogą być tylko ostre. I nie wiedzą, szczęśliwi, że są kąty ujemne i kąty 1000 ° ... A wszystkie te koszmarne kąty mają swoje własne funkcje trygonometryczne z plusem i minusem ...

Ale dla licealistów bez brania pod uwagę znaku - nie ma mowy. Wiele wiedzy mnoży smutki, tak...) I za Dobra decyzja zadanie musi zawierać dodatkowe informacje (jeśli to konieczne). Na przykład może być podany jako:

Albo w inny sposób. Zobaczysz w poniższych przykładach.) Aby rozwiązać takie przykłady, musisz wiedzieć w której ćwiartce wypada dany kąt x i jaki znak ma w tej ćwiartce pożądana funkcja trygonometryczna.

Te podstawy trygonometrii są omawiane na lekcjach, czym jest koło trygonometryczne, liczenie kątów na tym okręgu, miara kąta w radianach. Czasami trzeba też znać tablicę sinusów cosinusów tangensów i cotangensów.

Zwróćmy więc uwagę na najważniejsze:

Praktyczne wskazówki:

1. Zapamiętaj definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Bardzo przydatne.

2. Wyraźnie przyswajamy: sinus, cosinus, tangens i cotangens są mocno związane z kątami. Jedno wiemy, więc wiemy coś innego.

3. Wyraźnie przyswajamy: sinus, cosinus, tangens i cotangens jednego kąta są połączone głównym tożsamości trygonometryczne. Znamy jedną funkcję, co oznacza, że ​​możemy (jeśli posiadamy niezbędne dodatkowe informacje) obliczyć wszystkie pozostałe.

A teraz zdecydujmy, jak zwykle. Najpierw zadania w tomie 8 klasy. Ale licealiści też mogą...)

1. Oblicz wartość tgA, jeśli ctgA = 0,4.

2. β - kąt w trójkącie prostokątnym. Znajdź wartość tgβ, jeśli sinβ = 12/13.

3. Określ sinus kąta ostrego x, jeśli tgx \u003d 4/3.

4. Znajdź wartość wyrażenia:

6sin 2 5° - 3 + 6 cos 2 5°

5. Znajdź wartość wyrażenia:

(1-cosx)(1+cosx), jeśli sinx = 0,3

Odpowiedzi (oddzielone średnikami, w nieładzie):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Stało się? W porządku! Ósmioklasiści mogą już śledzić swoje piątki.)

Nie wszystko się udało? Zadania 2 i 3 są jakoś niezbyt...? Nie ma problemu! Jest jedna piękna technika wykonywania takich zadań. Wszystko jest rozstrzygane praktycznie bez formuł! A zatem bez błędów. Ta technika jest opisana w lekcji: „Zależność między funkcjami trygonometrycznymi jednego kąta” w rozdziale 555. Tam też demontowane są wszystkie inne zadania.

Były to problemy, takie jak Unified State Examination, ale w uproszczonej wersji. UŻYTKOWANIE - światło). A teraz prawie te same zadania, ale w pełnej formie. Dla obciążonych wiedzą uczniów szkół średnich.)

6. Znajdź wartość tgβ, jeśli sinβ = 12/13 i

7. Określ sinx, jeśli tgx = 4/3, a x należy do przedziału (- 540°; - 450°).

8. Znajdź wartość wyrażenia sinβ cosβ, jeśli ctgβ = 1.

Odpowiedzi (w nieładzie):

0,8; 0,5; -2,4.

Tutaj w zadaniu 6 kąt jest podany jakoś niezbyt jednoznacznie... Ale w zadaniu 8 w ogóle nie jest ustawiony! To jest celowe). Dodatkowe informacje nie tylko zaczerpnięte z zadania, ale także z głowy.) Ale jeśli zdecydujesz - jedno prawidłowe zadanie gwarantowane!

A jeśli jeszcze nie zdecydowałeś? Um... Cóż, sekcja 555 pomoże tutaj. Tam rozwiązania wszystkich tych zadań są szczegółowo opisane, trudno nie zrozumieć.

W tej lekcji podane jest bardzo ograniczone pojęcie funkcji trygonometrycznych. W 8 klasie. Seniorzy mają pytania...

Na przykład, jeśli kąt X(patrz drugie zdjęcie na tej stronie) - ogłupiaj!? Trójkąt się rozpadnie! A jak być? Nie będzie nogi, nie będzie przeciwprostokątnej... Sinus zniknął...

Gdyby starożytni nie znaleźli wyjścia z tej sytuacji, nie mielibyśmy teraz telefonów komórkowych, telewizji ani elektryczności. Tak tak! Podstawy teoretyczne wszystkie te rzeczy bez funkcji trygonometrycznych - zero bez różdżki. Ale starożytni ludzie nie zawiedli. Jak się wydostali - w następnej lekcji.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

1. Funkcje trygonometryczne przedstawiać podstawowe funkcje, którego argumentem jest zastrzyk. Za pomocą funkcji trygonometrycznych relacje między bokami i ostre rogi w trójkącie prostokątnym. Obszary zastosowań funkcji trygonometrycznych są niezwykle zróżnicowane. Na przykład dowolne procesy okresowe można przedstawić jako sumę funkcji trygonometrycznych (szereg Fouriera). Funkcje te często pojawiają się podczas rozwiązywania równań różniczkowych i funkcyjnych.

2. Funkcje trygonometryczne obejmują 6 następujących funkcji: Zatoka, cosinus, tangens,cotangens, sieczna oraz cosecant. Dla każdej z tych funkcji istnieje odwrotna funkcja trygonometryczna.

3. Wygodnie jest wprowadzić geometryczną definicję funkcji trygonometrycznych za pomocą koło jednostkowe. Poniższy rysunek przedstawia okrąg o promieniu r=1. Na okręgu zaznaczony jest punkt M(x,y). Kąt między wektorem promienia OM a dodatnim kierunkiem osi Ox wynosi α.

4. Zatoka kąt α jest stosunkiem rzędnej y punktu M(x,y) do promienia r:
sinα=y/r.
Ponieważ r=1, to sinus jest równy rzędnej punktu M(x,y).

5. cosinus kąt α jest stosunkiem odciętej x punktu M(x,y) do promienia r:
cosα=x/r

6. tangens kąt α jest stosunkiem rzędnej y punktu M(x,y) do jego odciętej x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangens kąt α jest stosunkiem odciętej x punktu M(x,y) do jego rzędnej y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sieczna kąt α jest stosunkiem promienia r do odciętej x punktu M(x,y):
sekα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecans kąt α jest stosunkiem promienia r do rzędnej y punktu M(x,y):
cscα=r/y=1/r,y≠0

10. W okręgu jednostkowym rzutu x, y punkty M(x,y) i promień r tworzą trójkąt prostokątny, w którym x,y to ramiona, a r to przeciwprostokątna. W związku z tym powyższe definicje funkcji trygonometrycznych w zastosowaniu do trójkąt prostokątny sformułowane są w ten sposób:
Zatoka kąt α to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej.
cosinus kąt α to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
tangens kąt α nazywany jest odnogą przeciwną do sąsiedniej.
Cotangens kąt α nazywany jest sąsiednią nogą do przeciwnej.
Sieczna kąt α to stosunek przeciwprostokątnej do sąsiedniej nogi.
Cosecans kąt α to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwległej nogi.

11. wykres funkcji sinus
y=sinx, domena: x∈R, domena: −1≤sinx≤1

12. Wykres funkcji cosinus
y=cosx, dziedzina: x∈R, zakres: −1≤cosx≤1

13. wykres funkcji stycznej
y=tanx, dziedzina: x∈R,x≠(2k+1)π/2, dziedzina: −∞

14. Wykres funkcji cotangens
y=cotx, dziedzina: x∈R,x≠kπ, dziedzina: −∞

15. Wykres funkcji siecznej
y=secx, dziedzina: x∈R,x≠(2k+1)π/2, dziedzina: secx∈(−∞,−1]∪∪)