Definicja odległości. Najprostsze problemy z linią prostą na płaszczyźnie. Wzajemny układ linii. Kąt między liniami

Oh-oh-oh-oh-oh… no to bladzi, jakbyś sobie to zdanie czytał =) Jednak wtedy relaks pomoże, zwłaszcza, że ​​dzisiaj kupiłam odpowiednie akcesoria. Dlatego przejdźmy do pierwszej części, mam nadzieję, że pod koniec artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Wzajemny układ dwóch linii prostych

Przypadek, gdy sala śpiewa chórem. Dwie linie mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : proszę zapamiętać matematyczny znak przecięcia , będzie on występował bardzo często. Wpis oznacza, że ​​linia przecina się z linią w punkcie.

Jak określić względną pozycję dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich odpowiednie współczynniki są proporcjonalne czyli istnieje taka liczba „lambda”, że równości

Rozważmy linie proste i skomponujmy trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że ​​zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez -1 (zmień znaki) i wszystkie współczynniki równania zmniejszyć o 2, otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki przy zmiennych są proporcjonalne: , ale.

Jako przykład rozważ dwie proste linie. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych :

Oczywiste jest jednak, że .

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, że równości są spełnione

Tak więc dla linii prostych skomponujemy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, a z drugiego równania: , a więc system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki przy zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie przecinają się

W problemach praktycznych można zastosować przedstawiony schemat rozwiązania. Nawiasem mówiąc, jest to bardzo podobne do algorytmu sprawdzania wektorów pod kątem kolinearności, który rozważaliśmy w lekcji. Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Podstawa wektorowa. Ale jest bardziej cywilizowany pakiet:

Przykład 1

Sprawdź względną pozycję linii:

Decyzja na podstawie badania kierowania wektorami linii prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, więc wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię kamień ze wskazówkami na skrzyżowaniu:

Reszta przeskakuje przez kamień i podąża dalej, prosto do Kashchei the Deathless =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunku, co oznacza, że ​​są albo równoległe, albo takie same. Tutaj wyznacznik nie jest konieczny.

Oczywiście współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, natomiast .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
, dlatego wektory kierunku są współliniowe. Linie są albo równoległe, albo pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” jest łatwo widoczny bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć za pomocą współczynników samych równań: .

Teraz dowiedzmy się, czy równość jest prawdziwa. Oba darmowe terminy mają wartość zero, więc:

Wynikowa wartość spełnia to równanie(ogólnie pasuje do dowolnej liczby).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Bardzo szybko nauczysz się (lub nawet już się nauczyłeś) jak rozwiązywać rozważany problem ustnie i dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę powodu, aby coś oferować za niezależna decyzja, lepiej jest ułożyć kolejną ważną cegłę w fundamencie geometrycznym:

Jak narysować linię równoległą do danej?

Za nieznajomość tego najprostsze zadanie surowo karze Słowika Zbójcę.

Przykład 2

Prostą określa równanie . Napisz równanie dla linii równoległej przechodzącej przez punkt.

Decyzja: Oznacz nieznaną linię literą . Co mówi o tym warunek? Linia przechodzi przez punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii „ce” jest również odpowiedni do skonstruowania linii „te”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Geometria przykładu wygląda prosto:

Weryfikacja analityczna składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie jest odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

Weryfikacja analityczna w większości przypadków jest łatwa do wykonania ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z was szybko zorientuje się, jak linie są równoległe bez żadnego rysunku.

Przykłady do samodzielnego rozwiązywania dzisiaj będą twórcze. Ponieważ nadal musisz konkurować z Babą Jagą, a ona, wiesz, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie dla prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​prostej, jeśli

Jest racjonalne, a nie tak racjonalny sposób rozwiązania. Najkrótsza droga to koniec lekcji.

Zrobiliśmy trochę pracy z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc zastanów się nad problemem, który jest Ci dobrze znany z program nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia linii? Rozwiąż system.

Twoje zdrowie zmysł geometryczny dwa równania liniowe z dwiema niewiadomymi to dwie przecinające się (najczęściej) linie proste na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Decyzja: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Graficznym sposobem jest po prostu narysowanie podanych linii i znalezienie punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt: . Aby to sprawdzić, należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. W rzeczywistości rozważaliśmy graficzny sposób rozwiązania układy równań liniowych z dwoma równaniami, dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna oczywiście nie jest zła, ale są zauważalne wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści decydują w ten sposób, chodzi o to, że wykonanie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Ponadto niektóre linie nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza arkuszem zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy system:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę terminowego dodawania równań. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, odwiedź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Weryfikacja jest banalna - współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia linii, jeśli się przecinają.

To jest przykład zrób to sam. Wygodnie jest podzielić problem na kilka etapów. Analiza stanu wskazuje, że konieczne jest:
1) Napisz równanie prostej.
2) Napisz równanie prostej.
3) Znajdź względną pozycję linii.
4) Jeśli linie się przecinają, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemów geometrycznych i będę się na tym wielokrotnie koncentrować.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu samouczka:

Para butów jeszcze się nie zużyła, bo przeszliśmy do drugiej części lekcji:

Prostopadłe linie. Odległość od punktu do linii.
Kąt między liniami

Zacznijmy od typowego i bardzo ważne zadanie. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do podanej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak narysować linię prostopadłą do danej?

Przykład 6

Prostą określa równanie . Napisz równanie dla prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt.

Decyzja: Wiadomo z założenia , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierunkowy linii prostej. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Układamy równanie prostej przez punkt i wektor kierujący:

Odpowiedź:

Rozłóżmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Weryfikacja analityczna rozwiązania:

1) Wyodrębnij wektory kierunkowe z równań i z pomocą iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz używać normalnych wektorów, to jeszcze prostsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Weryfikacja znowu jest łatwa do przeprowadzenia werbalnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i kropka.

To jest przykład zrób to sam. W zadaniu jest kilka akcji, więc wygodnie jest ułożyć rozwiązanie punkt po punkcie.

Jest nasz zabawna wycieczka trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego jak najkrótszą drogą. Nie ma przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie ruch po pionie. Oznacza to, że odległość od punktu do linii jest długością odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecką literą „ro”, na przykład: - odległość od punktu „em” do linii prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyraża się wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość od punktu do linii

Decyzja: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Wykonajmy rysunek:

Odległość znaleziona od punktu do linii jest dokładnie długością czerwonego odcinka. Jeśli wykonasz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. \u003d 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważ inne zadanie według tego samego rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu symetrycznego względem punktu względem prostej . Proponuję wykonać czynności samodzielnie, jednak przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obie czynności zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem segmentu. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Za pomocą wzory na współrzędne środka odcinka znajdować .

Nie będzie zbyteczne sprawdzanie, czy odległość jest również równa 2,2 jednostki.

Tutaj mogą pojawić się trudności w obliczeniach, ale w wieży bardzo pomaga mikrokalkulator, który pozwala policzyć wspólne ułamki. Doradzałem wiele razy i ponownie polecę.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład niezależnego rozwiązania. Mała wskazówka: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania. Podsumowanie na końcu lekcji, ale lepiej spróbuj sam zgadnąć, myślę, że udało ci się dobrze rozproszyć swoją pomysłowość.

Kąt między dwiema liniami

Jakikolwiek kąt, wtedy ościeżnica:


W geometrii kąt pomiędzy dwiema liniami prostymi jest uważany za kąt MNIEJSZY, z którego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt między przecinającymi się liniami. A jego „zielony” sąsiad lub przeciwnie zorientowany szkarłatny róg.

Jeśli linie są prostopadłe, każdy z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek „przewijania” narożnika ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany ujemnie jest zapisywany ze znakiem minus, na przykład, jeśli .

Dlaczego to powiedziałem? Wydaje się, że można sobie poradzić ze zwykłą koncepcją kąta. Faktem jest, że we wzorach, za pomocą których znajdziemy kąty, łatwo można uzyskać wynik ujemny, co nie powinno Cię zaskoczyć. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego konieczne jest wskazanie strzałką jego orientacji (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Decyzja oraz Metoda pierwsza

Rozważmy dwie linie proste podane przez równania w postaci ogólnej:

Jeśli prosto nie prostopadły, następnie zorientowany kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - to jest dokładnie iloczyn skalarny wektory kierunkowe linii prostych:

Jeśli , to znika mianownik wzoru, a wektory będą prostopadłe, a proste prostopadłe. Dlatego poczyniono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii w sformułowaniu.

Na podstawie powyższego rozwiązanie jest wygodnie sformalizowane w dwóch krokach:

1) Oblicz iloczyn skalarny wektorów kierujących prostych:
więc linie nie są prostopadłe.

2) Kąt między liniami znajdujemy według wzoru:

Przez funkcja odwrotnałatwo znaleźć sam róg. W tym przypadku korzystamy z nieparzystości łuku stycznego (patrz rys. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W odpowiedzi wskaż Dokładna wartość, a także przybliżoną wartość (najlepiej w stopniach i radianach) obliczoną za pomocą kalkulatora.

No minus, więc minus, w porządku. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć orientację ujemną, ponieważ w warunkach problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej zaczęło się „skręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać dodatni kąt, musisz zamienić proste linie, czyli wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania . Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .

Ten artykuł mówi na ten temat « odległość od punktu do linii », definicje odległości od punktu do prostej są rozpatrywane wraz z ilustrowanymi przykładami metodą współrzędnych. Każdy blok teorii na końcu pokazał przykłady rozwiązywania podobnych problemów.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Odległość od punktu do linii znajduje się poprzez określenie odległości od punktu do punktu. Rozważmy bardziej szczegółowo.

Niech będzie prosta a i punkt M 1 nie należący do danej prostej. Narysuj przez nią linię ułożoną prostopadle do linii a. Weź punkt przecięcia linii jako H 1. Otrzymujemy, że M 1 H 1 jest prostopadłą, która została obniżona z punktu M 1 do prostej a.

Definicja 1

Odległość od punktu M 1 do linii prostej a nazywamy odległością między punktami M 1 i H 1 .

Istnieją zapisy definicji z figurą długości prostopadłej.

Definicja 2

Odległość od punktu do linii to długość prostopadłej narysowanej od danego punktu do danej linii.

Definicje są równoważne. Rozważ poniższy rysunek.

Wiadomo, że odległość od punktu do linii prostej jest najmniejsza ze wszystkich możliwych. Spójrzmy na to na przykładzie.

Jeśli weźmiemy punkt Q leżący na prostej a, nie pokrywający się z punktem M 1, to otrzymamy, że odcinek M 1 Q nazywamy ukośnym, obniżonym z M 1 do prostej a. Należy wskazać, że prostopadła z punktu M 1 jest mniejsza niż jakikolwiek inny ukośny poprowadzony od punktu do linii prostej.

Aby to udowodnić, rozważmy trójkąt M 1 Q 1 H 1 , gdzie M 1 Q 1 jest przeciwprostokątną. Wiadomo, że jego długość jest zawsze większa niż długość którejkolwiek z nóg. Stąd mamy, że M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Początkowe dane do znalezienia od punktu do prostej pozwalają na zastosowanie kilku metod rozwiązywania: poprzez twierdzenie Pitagorasa, definicje sinusa, cosinusa, tangensa kąta i inne. Większość tego typu zadań rozwiązuje się w szkole na lekcjach geometrii.

Gdy przy wyznaczaniu odległości punktu od prostej można wprowadzić układ współrzędnych prostokątnych, wówczas stosowana jest metoda współrzędnych. W tym akapicie rozważymy dwie główne metody znajdowania pożądanej odległości od dany punkt.

Pierwsza metoda polega na znalezieniu odległości jako prostopadłej narysowanej od M 1 do prostej a. Druga metoda wykorzystuje równanie normalne prostej a do znalezienia wymaganej odległości.

Jeśli na płaszczyźnie znajduje się punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) położony w prostokątnym układzie współrzędnych, linia prosta a, i musisz znaleźć odległość M 1 H 1, możesz obliczyć na dwa sposoby. Rozważmy je.

Pierwszy sposób

Jeżeli istnieją współrzędne punktu H 1 równe x 2, y 2, to odległość od punktu do prostej oblicza się ze współrzędnych ze wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Przejdźmy teraz do znalezienia współrzędnych punktu H 1.

Wiadomo, że linia prosta w O x y odpowiada równaniu linii prostej w płaszczyźnie. Spróbujmy określić linię prostą a poprzez pisanie ogólnego równania prostej lub równania ze spadkiem. Układamy równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 prostopadle do danej prostej a. Oznaczmy linię bukiem b . H 1 to punkt przecięcia linii a i b, więc aby określić współrzędne, musisz skorzystać z artykułu, w którym w pytaniu na współrzędnych punktów przecięcia dwóch linii.

Widać, że algorytm wyznaczania odległości od danego punktu M 1 (x 1, y 1) do prostej a wykonywany jest według punktów:

Definicja 3

• znalezienie ogólnego równania linii prostej a, mającej postać A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, lub równania ze współczynnikiem nachylenia, mającego postać y \u003d k 1 x + b 1;
• uzyskanie ogólnego równania linii b, które ma postać A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 lub równanie o nachyleniu y \u003d k 2 x + b 2, jeśli linia b przecina punkt M 1 i jest prostopadły do ​​danej linii a;
• wyznaczenie współrzędnych x 2, y 2 punktu H 1, który jest punktem przecięcia a i b, w tym celu rozwiązywany jest układ równań liniowych A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 lub y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• obliczenie wymaganej odległości od punktu do linii prostej za pomocą wzoru M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Drugi sposób

Twierdzenie to może pomóc odpowiedzieć na pytanie o znalezienie odległości od danego punktu do danej linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie

Prostokątny układ współrzędnych ma O x y ma punkt M 1 (x 1, y 1), z którego do płaszczyzny poprowadzona jest prosta a do płaszczyzny, określona równaniem normalnym płaszczyzny, mająca postać cos α x + cos β y - p \u003d 0, równe modulo wartości uzyskanej po lewej stronie równania normalnej linii prostej, obliczonej przy x \u003d x 1, y \u003d y 1, oznacza, że ​​M 1 H 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - str.

Dowód

Prosta a odpowiada równaniu normalnemu płaszczyzny, które ma postać cos α x + cos β y - p = 0, wtedy n → = (cos α , cos β) jest uważane za wektor normalny prostej a w a odległość od początku do linii a z p jednostek . Konieczne jest zobrazowanie wszystkich danych na rysunku, dodaj punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) , gdzie wektor promienia punktu M 1 - O M 1 → = (x 1 , y 1 ) . Konieczne jest narysowanie linii prostej od punktu do linii prostej, którą oznaczymy przez M 1 H 1 . Konieczne jest pokazanie rzutów M 2 i H 2 punktów M 1 i H 2 na prostą przechodzącą przez punkt O wektorem kierunkowym postaci n → = (cos α , cos β) i oznaczamy rzut numeryczny wektora jako O M 1 → = (x 1 , y 1) w kierunku n → = (cos α , cos β) jako n p n → O M 1 → .

Wariacje zależą od położenia samego punktu M1. Rozważ poniższy rysunek.

Wyniki ustalamy za pomocą wzoru M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p . Następnie sprowadzamy równość do tej postaci M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p aby otrzymać n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Iloczyn skalarny wektorów daje przekształcony wzór postaci n → , O M → 1 = n → n p n → O M 1 → = 1 n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , który jest iloczynem w postaci współrzędnych forma n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Stąd otrzymujemy, że n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Wynika z tego, że M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Twierdzenie zostało udowodnione.

Otrzymujemy, że aby znaleźć odległość od punktu M 1 (x 1, y 1) do prostej a na płaszczyźnie, należy wykonać kilka czynności:

Definicja 4

• otrzymanie równania normalnego prostej a cos α · x + cos β · y - p = 0, pod warunkiem, że nie ma go w zadaniu;
• obliczenie wyrażenia cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , gdzie otrzymana wartość przyjmuje M 1 H 1 .

Zastosujmy te metody do rozwiązywania problemów ze znalezieniem odległości punktu od płaszczyzny.

Przykład 1

Znajdź odległość od punktu o współrzędnych M 1 (-1, 2) do prostej 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Decyzja

Użyjmy pierwszej metody do rozwiązania.

Aby to zrobić, musisz znaleźć ogólne równanie linii b, która przechodzi przez dany punkt M 1 (- 1 , 2) prostopadle do linii 4 x - 3 y + 35 = 0. Widać z warunku, że prosta b jest prostopadła do prostej a, to jej wektor kierunkowy ma współrzędne równe (4, - 3). Mamy więc możliwość zapisania równania kanonicznego prostej b na płaszczyźnie, ponieważ istnieją współrzędne punktu M 1, należy do prostej b. Wyznaczmy współrzędne wektora kierunkowego prostej b . Otrzymujemy, że x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Otrzymane równanie kanoniczne należy przekonwertować na ogólne. Wtedy to rozumiemy

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Znajdźmy współrzędne punktów przecięcia linii, które przyjmiemy jako oznaczenie H 1. Przekształcenia wyglądają tak:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Z powyższego wynika, że ​​współrzędne punktu H 1 to (-5; 5) .

Należy obliczyć odległość od punktu M 1 do prostej a. Mamy współrzędne punktów M 1 (- 1, 2) i H 1 (- 5, 5), następnie podstawiamy do wzoru na znalezienie odległości i otrzymujemy to

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Drugie rozwiązanie.

Aby rozwiązać w inny sposób, konieczne jest otrzymanie równania normalnego prostej. Obliczamy wartość współczynnika normalizującego i mnożymy obie strony równania 4 x - 3 y + 35 = 0 . Stąd otrzymujemy, że współczynnik normalizujący wynosi - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , a równanie normalne będzie miało postać - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Zgodnie z algorytmem obliczeniowym należy uzyskać równanie normalne prostej i obliczyć je z wartościami x = - 1 , y = 2 . Wtedy to rozumiemy

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

Stąd otrzymujemy, że odległość od punktu M 1 (- 1 , 2) do danej prostej 4 x - 3 y + 35 = 0 ma wartość - 5 = 5 .

Odpowiedź: 5 .

Widać, że w Ta metoda ważne jest, aby użyć równania normalnego prostej, ponieważ ta metoda jest najkrótsza. Ale pierwsza metoda jest wygodna, ponieważ jest spójna i logiczna, chociaż ma więcej punktów obliczeniowych.

Przykład 2

Na płaszczyźnie znajduje się prostokątny układ współrzędnych O x y z punktem M 1 (8, 0) i prostą y = 1 2 x + 1. Znajdź odległość od danego punktu do linii prostej.

Decyzja

Rozwiązanie w pierwszy sposób implikuje redukcję danego równania o współczynnik nachylenia do równania ogólny widok. Upraszczając, możesz to zrobić inaczej.

Jeżeli iloczyn spadków prostych prostopadłych ma wartość -1, to nachylenie prosta prostopadła do danego y = 1 2 x + 1 ma wartość 2 . Teraz otrzymujemy równanie prostej przechodzącej przez punkt o współrzędnych M 1 (8, 0) . Mamy, że y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Przechodzimy do znalezienia współrzędnych punktu H 1, czyli punktów przecięcia y \u003d - 2 x + 16 i y \u003d 1 2 x + 1. Tworzymy układ równań i otrzymujemy:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Wynika z tego, że odległość od punktu o współrzędnych M 1 (8 , 0) do prostej y = 1 2 x + 1 jest równa odległości od punktu początkowego i końcowego o współrzędnych M 1 (8 , 0) i H 1 (6, 4) . Obliczmy i otrzymajmy, że M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Rozwiązaniem w drugim sposobie jest przejście z równania ze współczynnikiem do jego postaci normalnej. Oznacza to, że otrzymujemy y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, wtedy wartość współczynnika normalizującego wyniesie - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5 . Wynika z tego, że równanie normalne prostej przyjmuje postać - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Policzmy od punktu M 1 8 , 0 do prostej postaci - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Otrzymujemy:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Odpowiedź: 2 5 .

Przykład 3

Należy obliczyć odległość od punktu o współrzędnych M 1 (-2 , 4) do prostych 2 x - 3 = 0 i y+1 = 0 .

Decyzja

Otrzymujemy równanie postaci normalnej prostej 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Następnie przystępujemy do obliczenia odległości od punktu M 1 - 2, 4 do prostej x - 3 2 = 0. Otrzymujemy:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Równanie linii prostej y + 1 = 0 ma współczynnik normalizujący o wartości -1. Oznacza to, że równanie przyjmie postać -y-1 = 0. Przechodzimy do obliczenia odległości od punktu M 1 (- 2 , 4) do prostej - y - 1 = 0 . Otrzymujemy, że równa się - 4 - 1 = 5.

Odpowiedź: 3 1 2 i 5 .

Przyjrzyjmy się bliżej wyznaczeniu odległości od danego punktu samolotu do osie współrzędnych Ox i Oy.

W prostokątnym układzie współrzędnych oś O y ma równanie linii prostej, która jest niekompletna i ma postać x \u003d 0, a O x - y \u003d 0. Równania są normalne dla osi współrzędnych, wówczas konieczne jest wyznaczenie odległości od punktu o współrzędnych M 1 x 1 , y 1 do linii prostych. Odbywa się to na podstawie wzorów M 1 H 1 = x 1 i M 1 H 1 = y 1 . Rozważ poniższy rysunek.

Przykład 4

Znajdź odległość od punktu M 1 (6, - 7) do linii współrzędnych znajdujących się na płaszczyźnie O x y.

Decyzja

Ponieważ równanie y \u003d 0 odnosi się do linii O x, możesz znaleźć odległość od M 1 przy danych współrzędnych do tej linii za pomocą wzoru. Otrzymujemy, że 6 = 6 .

Ponieważ równanie x \u003d 0 odnosi się do linii O y, odległość od M 1 do tej linii można znaleźć za pomocą wzoru. Wtedy otrzymujemy, że - 7 = 7 .

Odpowiedź: odległość od M 1 do O x ma wartość 6, a od M 1 do O y ma wartość 7.

Gdy w przestrzeni trójwymiarowej mamy punkt o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1), konieczne jest wyznaczenie odległości od punktu A do prostej a.

Rozważ dwa sposoby, które pozwalają obliczyć odległość od punktu do linii prostej a znajdującej się w przestrzeni. Pierwszy przypadek dotyczy odległości od punktu M 1 do prostej, gdzie punkt na prostej nazywa się H 1 i stanowi podstawę prostopadłej narysowanej od punktu M 1 do prostej a. Drugi przypadek sugeruje, że punktów tej płaszczyzny należy szukać jako wysokości równoległoboku.

Pierwszy sposób

Z definicji mamy, że odległość od punktu M 1 położonego na prostej a jest długością prostopadłej M 1 H 1, wtedy otrzymujemy to ze znalezionymi współrzędnymi punktu H 1, wtedy znajdujemy odległość pomiędzy M 1 (x 1, y 1, z 1 ) i H 1 (x 1, y 1, z 1) na podstawie wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Otrzymujemy, że całe rozwiązanie polega na znalezieniu współrzędnych podstawy prostopadłej narysowanej od M 1 do prostej a. Odbywa się to w następujący sposób: H 1 to punkt, w którym prosta a przecina się z płaszczyzną przechodzącą przez dany punkt.

Oznacza to, że algorytm wyznaczania odległości od punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a przestrzeni implikuje kilka punktów:

Definicja 5

• sporządzenie równania płaszczyzny χ jako równania płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadły do ​​prostej;
• wyznaczenie współrzędnych (x 2 , y 2 , z 2) należących do punktu H 1 będącego punktem przecięcia prostej a i płaszczyzny χ ;
• obliczenie odległości od punktu do prostej ze wzoru M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Drugi sposób

Z warunku, że mamy prostą a, to możemy wyznaczyć wektor kierunkowy a → = a x, a y, a z o współrzędnych x 3, y 3, z 3 i pewnym punktem M 3 należącym do prostej a. Mając współrzędne punktów M 1 (x 1 , y 1) i M 3 x 3 , y 3 , z 3 , M 3 M 1 → można obliczyć:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Konieczne jest odłożenie wektorów a → \u003d a x, a y, a z i M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 z punktu M 3, połącz i uzyskaj figura równoległoboku. M 1 H 1 to wysokość równoległoboku.

Rozważ poniższy rysunek.

Mamy, że wysokość M 1 H 1 jest pożądaną odległością, musisz ją znaleźć za pomocą wzoru. Oznacza to, że szukamy M 1 H 1 .

Oznacz obszar równoległoboku literą S, znajduje się za pomocą wzoru za pomocą wektora a → = (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Wzór powierzchni ma postać S = a → × M 3 M 1 → . Ponadto powierzchnia figury jest równa iloczynowi długości jej boków i wysokości, otrzymujemy, że S \u003d a → M 1 H 1 z a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2, która jest długością wektora a → \u003d (a x, a y, a z) , która jest równa bokowi równoległoboku. Stąd M 1 H 1 jest odległością od punktu do prostej. Można go znaleźć za pomocą wzoru M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Aby znaleźć odległość od punktu o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) do prostej a w przestrzeni, należy wykonać kilka punktów algorytmu:

Definicja 6

• wyznaczenie wektora kierunkowego prostej a - a → = (a x , a y , a z) ;
• obliczenie długości wektora kierunkowego a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• uzyskanie współrzędnych x 3 , y 3 , z 3 należących do punktu M 3 znajdującego się na prostej a;
• obliczenie współrzędnych wektora M 3 M 1 → ;
• odkrycie produkt wektorowy wektory a → (a x , a y , a z) i M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 jako a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 aby otrzymać długość według wzoru a → × M 3 M 1 → ;
• obliczenie odległości od punktu do prostej M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Rozwiązywanie problemów ze znalezieniem odległości od danego punktu do danej prostej w przestrzeni

Przykład 5

Znajdź odległość od punktu o współrzędnych M 1 2 , - 4 , - 1 do prostej x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Decyzja

Pierwsza metoda rozpoczyna się od zapisania równania płaszczyzny χ przechodzącej przez M 1 i prostopadłej do danego punktu. Otrzymujemy wyrażenie takie jak:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu H 1, który jest punktem przecięcia płaszczyzny χ z linią prostą określoną przez warunek. Powinien się przenieść z Forma kanoniczna do przecinającego się. Następnie otrzymujemy układ równań postaci:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Należy obliczyć układ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 metodą Cramera, to otrzymujemy, że:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Stąd mamy H 1 (1, - 1, 0) .

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Drugą metodę należy rozpocząć od wyszukania współrzędnych w równaniu kanonicznym. Aby to zrobić, zwróć uwagę na mianowniki ułamka. Wtedy a → = 2 , - 1 , 5 jest wektorem kierunkowym prostej x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Należy obliczyć długość ze wzoru a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jest oczywiste, że prosta x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 przecina punkt M 3 (-1 , 0 , - 5), stąd mamy, że wektor o początku M 3 (- 1 , 0 , - 5 ) i jego koniec w punkcie M 1 2 , - 4 , - 1 to M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Znajdź iloczyn wektorowy a → = (2, - 1, 5) i M 3 M 1 → = (3, - 4, 4) .

Otrzymujemy wyrażenie postaci a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

otrzymujemy, że długość iloczynu poprzecznego wynosi a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Mamy wszystkie dane, aby użyć wzoru do obliczenia odległości od punktu dla linii prostej, więc stosujemy go i otrzymujemy:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Odpowiedź: 11 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wyznaczanie odległości

Odległości od punktu do punktu i od punktu do linii

Odległość od punktu do punktu zależy od długości odcinka łączącego te punkty. Jak pokazano powyżej, problem ten można rozwiązać albo metodą trójkąta prostokątnego, albo przez zastąpienie płaszczyzn rzutowania poprzez przesunięcie segmentu do położenia linii poziomu.

Odległość od punktu do linii mierzony przez odcinek prostopadłej poprowadzonej od punktu do linii. Segment tej prostopadłej jest przedstawiony w pełnym rozmiarze na płaszczyźnie rzutu, jeśli jest narysowany do linii rzutowania. Zatem najpierw należy przesunąć linię prostą w położenie wystające, a następnie z danego punktu opuścić na nią prostopadłość. Na ryc. 1 przedstawia rozwiązanie tego problemu. Do tłumaczenia bezpośredniego stanowisko ogólne AB w pozycji bezpośredniego poziomu wydać x14 IIA1 B1. Następnie AB zostaje przeniesione do pozycji rzutowania poprzez wprowadzenie dodatkowej płaszczyzny rzutowania P5, dla której wykonywana jest nowa oś rzutowania x45\A4 B4.

Obrazek 1

Podobnie jak w punktach A i B, punkt M rzutowany jest na płaszczyznę rzutowania P5.

Rzut K5 podstawy K pionu opuszczonego z punktu M do prostej AB, na płaszczyznę rzutu P5, zbiegnie się z odpowiednimi rzutami punktów

A i B. Rzut M5 K5 prostopadłej MK jest naturalną wartością odległości punktu M od prostej AB.

W układzie rzutów płaszczyzn P4/P5 prostopadła MK będzie linią poziomą, ponieważ leży w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny rzutów P5. Dlatego jego rzut M4 K4 na płaszczyznę P4 jest równoległy do ​​x45 , czyli prostopadle do rzutu A4 B4. Warunki te determinują położenie rzutu K4 podstawy prostopadłego K, który znajduje się rysując prostą z M4 równoległą do x45 aż do przecięcia z rzutem A4 B4. Pozostałe rzuty prostopadłej wyznaczamy rzutując punkt K na płaszczyznę rzutów P1 i P2.

Odległość od punktu do płaszczyzny

Rozwiązanie tego problemu pokazano na ryc. 2. Odległość od punktu M do płaszczyzny (ABC) mierzy się odcinkiem prostopadłej opuszczonej z punktu do płaszczyzny.

Rysunek 2

Ponieważ prostopadła do wystającej płaszczyzny jest linią poziomu, przekładamy na tę pozycję dany samolot, w wyniku czego na nowo wprowadzonej płaszczyźnie rzutu P4 otrzymujemy rzut zdegenerowany C4 B4 płaszczyzny ABC. Następnie na P4 rzutujemy punkt M. Naturalną wartość odległości od punktu M do płaszczyzny wyznacza odcinek prostopadłej

[MK]=[M4 K4]. Pozostałe rzuty prostopadłej są konstruowane w taki sam sposób jak w poprzednim zadaniu, tj. biorąc pod uwagę fakt, że odcinek MK w układzie płaszczyzn rzutu P1/P4 jest linią poziomu, a jego rzut M1 K1 jest równoległy do ​​osi

x14.

Odległość między dwiema liniami prostymi

Najkrótszą odległość między liniami skośnymi mierzy się odcinkiem wspólnej prostopadłej do nich, odciętym tymi liniami. Problem rozwiązuje się z wyboru (w wyniku dwóch kolejne podstawienia) płaszczyzna rzutu prostopadła do jednej z przecinających się linii. W takim przypadku żądany segment prostopadłej będzie równoległy do ​​wybranej płaszczyzny rzutowania i będzie na niej wyświetlany bez zniekształceń. Na ryc. 3 przedstawia dwie przecinające się linie proste wyznaczone przez segmenty AB i CD.

Rysunek 3

Linie proste są rzutowane na początku na płaszczyznę rzutowania P4, równolegle do jednej (dowolnej) z nich, na przykład AB i prostopadłej do P1.

Na płaszczyźnie rzutów P4 odcinek AB będzie wyświetlany bez zniekształceń. Segmenty są następnie rzutowane na nowy samolot P5 prostopadle do tej samej linii AB i płaszczyzny P4. Na płaszczyźnie rzutów P5 rzut odcinka AB prostopadłego do niego przechodzi w punkt A5 =B5, a pożądana wartość N5 M5 odcinka NM jest prostopadła do C5 D5 i jest przedstawiona w pełnym rozmiarze. Wykorzystując odpowiednie linie komunikacyjne, rzuty segmentu MN budowane są na początkowych

rysunek. Jak pokazano wcześniej, rzut N4 M4 żądanego segmentu na płaszczyznę P4 jest równoległy do ​​osi rzutów x45, ponieważ jest to linia poziomu w układzie płaszczyzn rzutowych P4/P5.

Zadanie wyznaczenia odległości D między dwiema równoległymi liniami AB do CD - szczególny przypadek poprzedni (ryc. 4).

Rysunek 4

Poprzez dwukrotne zastąpienie płaszczyzn rzutowania, linie równoległe są przenoszone do położenia rzutowania, w wyniku czego na płaszczyźnie rzutu P5 będziemy mieli dwa rzuty zdegenerowane A5 = B5 i C5 = D5 prostych AB i CD. Odległość między nimi D będzie równa jego wartości naturalnej.

Odległość od linii prostej do płaszczyzny równoległej do niej jest mierzona za pomocą odcinka prostopadłego opuszczonego z dowolnego punktu na linii prostej do płaszczyzny. Wystarczy więc przekształcić płaszczyznę położenia ogólnego na położenie płaszczyzny rzutu, wziąć punkt bezpośredni, a rozwiązanie problemu sprowadzi się do określenia odległości punktu od płaszczyzny.

Aby określić odległość między równoległymi płaszczyznami, należy je przełożyć na pozycję wystającą i zbudować prostopadłą do zdegenerowanych rzutów płaszczyzn, której odcinek między nimi będzie wymaganą odległością.

Odległość od punktu do prostej to długość prostopadłej od punktu do prostej. W geometria opisowa jest określana graficznie zgodnie z poniższym algorytmem.

Algorytm

1. Linia prosta zostaje przeniesiona do położenia, w którym będzie równoległa do dowolnej płaszczyzny rzutowania. Aby to zrobić, zastosuj metody transformacji rzutów ortogonalnych.
2. Narysuj prostopadłą od punktu do linii. U źródła ta konstrukcja jest twierdzeniem o rzucie pod kątem prostym.
3. Długość pionu określa się przeliczając jego rzuty lub używając sposób trójkąt prostokątny.

Poniższy rysunek przedstawia złożony rysunek punktu M i linii b zdefiniowanych przez odcinek CD. Musisz znaleźć odległość między nimi.

Zgodnie z naszym algorytmem pierwszą rzeczą do zrobienia jest przesunięcie linii do pozycji równolegle do płaszczyzny projekcje. Ważne jest, aby zrozumieć, że po przekształceniach rzeczywista odległość między punktem a linią nie powinna się zmienić. Dlatego wygodnie jest tu korzystać metoda wymiany samolotu, który nie wiąże się z ruchem postaci w przestrzeni.

Poniżej przedstawiamy wyniki pierwszego etapu budowy. Rysunek pokazuje, w jaki sposób wprowadza się dodatkową płaszczyznę czołową P 4 równolegle do b. W nowy system(P 1 , P 4) punkty C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 są w tej samej odległości od osi X 1 co C"", D"", M"" od osi X.

Wykonując drugą część algorytmu, od M"" 1 obniżamy prostopadłą M"" 1 N"" 1 do prostej b"" 1, ponieważ kąt prosty MND między b i MN jest rzutowany na płaszczyznę P 4 w pełny rozmiar. Określamy położenie punktu N" wzdłuż linii komunikacyjnej i rysujemy rzut M"N" odcinka MN.

Na finałowy etap konieczne jest wyznaczenie wartości odcinka MN przez jego rzuty M"N" i M""1 N"" 1 . Do tego budujemy trójkąt prostokątny M"" 1 N"" 1 N 0 , którego noga N"" 1 N 0 jest równa różnicy (Y M 1 – Y N 1) usunięcia punktów M" i N" z osi X1. Długość przeciwprostokątnej M"" 1 N 0 trójkąta M"" 1 N"" 1 N 0 odpowiada żądanej odległości od M do b.

Drugi sposób rozwiązania

• Równolegle do CD wprowadzamy nową płaszczyznę czołową П 4 . Przecina P 1 wzdłuż osi X 1 i X 1 ∥C"D". Zgodnie z metodą wymiany płaszczyzn wyznaczamy rzuty punktów C "" 1, D"" 1 i M"" 1, jak pokazano na rysunku.
• Prostopadle do C „” 1 D „” 1 budujemy dodatkową płaszczyznę poziomą P 5, na której linia prosta b jest rzutowana na punkt C” 2 \u003d b” 2.
• Odległość między punktem M a prostą b wyznacza długość odcinka M „2 C” 2 zaznaczonego na czerwono.

Zadania pokrewne: