Linie równoległe Dwie linie na płaszczyźnie nazywane są równoległymi. Które dwie linie nazywamy równoległymi, a które prostopadłymi?

1) Zdefiniuj linie równoległe Jakie dwa odcinki nazywamy równoległymi?

2) Co to jest sieczna? Nazwij pary kątów utworzone, gdy przecinają się dwie linie.
3) Wykazać, że jeżeli na przecięciu dwóch prostych poprzeczki kąty leżenia są równe, to są one równoległe.
4) Udowodnij, że jeśli na przecięciu dwóch linii prostych, sieczna odpowiednie kąty są równe, to linie są równoległe.
5) Udowodnij, że jeśli na przecięciu dwóch prostych sieczna suma kątów jednostronnych jest równa 180 stopni, to proste są równoległe.
6) Opowiedz nam o praktyczne sposoby rysowanie linii równoległych.
7) Wyjaśnij, jakie zdania nazywają się aksjomatami. Podaj przykłady aksjomatów.
8) Udowodnij to poprzez dany punkt nie leży na danej linii, jest linia równoległa do danej linii.
9) Sformułuj aksjomat prostych równoległych.
11) Udowodnij, że jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej, to są one równoległe.
13) Udowodnij, że gdy dwie równoległe linie przecinają sieczną poprzeczną, kąty leżące są równe.
14) Udowodnij, że jeśli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych, to jest również prostopadła do drugiej.
15) Wykazać, że na przecięciu dwóch równoległych linii siecznej: a) odpowiednio kąty są równe; b) suma kątów jednostronnych wynosi 180 stopni.

Pytania Pilne!!!

1. Wskaż słowo, którego brakuje w definicji linii równoległych
Dwie linie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają.
a) w kosmosie
b) na biurku
c) na tablicy
d) w trójkącie
e) w samolocie

2. zgodnie z obrazkiem

1) Dwie proste są równoległe do jakiejś płaszczyzny.Czy te proste: a) przecinają się, b) mogą się przecinać? 2) Czy linie a i b mogą się przecinać?

być równoległym do linii

3) Boki trapezu są równoległe do płaszczyzny alfa.Czy płaszczyzna alfa i płaszczyzna trapezu są równoległe?

4) Dwa boki równoległoboku są równoległe do płaszczyzny alfa.Czy płaszczyzna alfa i płaszczyzna równoległoboku są równoległe?

5) Czy dwa nierównoległe segmenty zawarte między równoległymi płaszczyznami mogą być równe?

które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe: 1. Jeżeli na przecięciu dwóch prostych trzeciej linii odpowiadające im kąty są równe 65 stopni, to te dwie proste

równolegle.2. Jakiekolwiek dwie linie mają co najmniej jeden wspólny punkt.3 Więcej niż jedna linia przechodzi przez dowolny punkt.4. Każde trzy linie mają co najmniej jeden wspólny punkt.

1. jaka linia nazywa się sieczną w stosunku do koła? 2. jaka linia nazywa się styczną do okręgu? jaki punkt nazywa się punktem?

dotykając linii i okręgu? 3. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o własnościach stycznych. 4. sformułować i udowodnić twierdzenie odwrotne do twierdzenia o własności stycznej 5. jak nazywa się kąt centralny róg kręgi? 6. Jak określa się miarę stopnia łuku? jak to jest oznaczone? 7. jaki kąt nazywa się wpisanym? Sformułuj i udowodnij twierdzenie o kątach wpisanych. 8. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o odcinkach przecinających się cięciw. 9. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o dwusiecznej kąta. 10. jaka linia nazywa się dwusieczną prostopadłą do odcinka? 11. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o dwusiecznej prostopadłej do odcinka 12. Sformułuj i udowodnij twierdzenie o przecięciu wysokości trójkąta. 13. jaki okrąg nazywa się wpisany w wielokąt? Jaki wielokąt nazywa się opisany na okręgu?

Jeśli dwie linie w przestrzeni mają wspólny punkt, mówi się, że te dwie linie się przecinają. Na poniższym rysunku linie aib przecinają się w punkcie A. Linie a i c nie przecinają się.

Dowolne dwie linie mają albo tylko jeden punkt wspólny, albo nie mają punktów wspólnych.

Równoległe linie

Dwie linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się. Aby wyznaczyć linie równoległe, użyj specjalnej ikony - ||.

Zapis a||b oznacza, że ​​linia a jest równoległa do linii b. Na powyższym rysunku linie a i c są równoległe.

Twierdzenie o linii równoległej

Przez dowolny punkt w przestrzeni, który nie leży na danej linii, przechodzi linia równoległa do danej linii, a ponadto tylko jedna.

Skrzyżowane linie

Dwie linie leżące na tej samej płaszczyźnie mogą się przecinać lub być równoległe. Ale w kosmosie dwie linie proste nie muszą należeć do tej samej płaszczyzny. Mogą znajdować się w dwóch różnych płaszczyznach.

Oczywiście linie znajdujące się w różnych płaszczyznach nie przecinają się i nie są liniami równoległymi. Nazywa się dwie linie, które nie leżą na tej samej płaszczyźnie przekraczanie linii.

Poniższy rysunek przedstawia dwie przecinające się linie a i b, które leżą w różnych płaszczyznach.

Twierdzenie o znaku i ukośnych liniach

Jeśli jedna z dwóch linii leży w pewnej płaszczyźnie, a druga linia przecina tę płaszczyznę w punkcie nie leżącym na pierwszej linii, to te linie są ukośne.

Twierdzenie o przecinaniu linii: przez każdą z dwóch przecinających się linii przechodzi płaszczyzna równoległa do drugiej linii, a ponadto tylko jedna.

Dlatego rozważyliśmy wszystkie możliwe przypadki względne położenie proste linie w przestrzeni. Jest ich tylko trzech.

1. Linie przecinają się. (Oznacza to, że mają tylko jeden wspólny punkt.)

2. Linie są równoległe. (Oznacza to, że nie mają wspólnych punktów i leżą na tej samej płaszczyźnie.)

3. Przecinają się linie proste. (Oznacza to, że znajdują się na różnych płaszczyznach.)

Pozostała odpowiedź Guru

1) Pierwsza podstawowa właściwość samolotu
Właściwość 1.

Przez dowolne dwa punkty na płaszczyźnie można narysować linię prostą i tylko jeden.

Linia przechodząca przez punkty A i B będzie nazywana linią AB.
Jak widać, oznaczenie AB jest używane w czterech przypadkach: może oznaczać zarówno odcinek i długość odcinka, jak i promień oraz linię prostą. Ale to nie wprowadzi żadnego zamieszania w nasze rozumowanie, po prostu wskażemy w każdym przypadku, co w pytaniu.

Odległość na płaszczyźnie pomiędzy dwoma punktami A i B jest równa długości odcinka AB. Najkrótsza droga z punktu A do punktu B to linia prosta łącząca te dwa punkty.

Właściwie pierwsza właściwość nie jest faktem czysto planimetrycznym. Dotyczy to również przestrzeni.
Druga podstawowa właściwość samolotu
Właściwość 2.

Dowolna linia prosta płaszczyzny dzieli tę płaszczyznę na dwie części - dwie półpłaszczyzny.

Co oznacza ta właściwość?

Niech na płaszczyźnie zostanie narysowana jakaś linia prosta, którą oznaczymy literą a. Każdy punkt A nie leżący na tej linii znajduje się w jednej z dwóch utworzonych półpłaszczyzn. Co więcej, jeśli punkty A i B leżą w różnych półpłaszczyznach, to odcinek AB przecina a. Jeżeli punkty A i B leżą w tej samej półpłaszczyźnie, to odcinek AB nie przecina a.

To samo można wyrazić w nieco inny sposób.

Dwa punkty płaszczyzny A i B, które nie leżą na prostej a tej płaszczyzny leżą w różnych lub w tej samej półpłaszczyźnie względem prostej a, w zależności od tego, czy odcinek AB przetnie się z prostą a czy nie .
Trzecia podstawowa właściwość samolotu
Właściwość 3.

Dowolna linia prosta płaszczyzny jest osią symetrii płaszczyzny.
Co to znaczy?

Jak wiemy, linia prosta to linia przecięcia dwóch płaszczyzn.
Wynika z tego, że po złożeniu arkusza papieru, który jest modelem samolotu, powstaje linia prosta.
Stanie się to wyraźniejsze, jeśli lekko rozchylisz części arkusza powstałe w wyniku jego zgięcia. Wtedy zobaczymy, że linia zagięcia jest linią przecięcia dwóch płaszczyzn.

2) Linie przecinające się to linie, które leżą w tej samej płaszczyźnie i mają jeden wspólny punkt, który nazywa się punktem przecięcia linii. Dwie linie przecinające się pod kątem prostym nazywane są prostopadłymi. Prostopadłość linii prostych (lub ich odcinków) jest oznaczona znakiem prostopadłości „?”.

3) Odcinek to zbiór punktów na linii prostej znajdującej się pomiędzy dwoma punktami A i B, w tym same punkty A i B. Odcinek łączący dwa punkty A i B (nazywane końcami odcinka) jest oznaczony w następujący sposób - A; B w nawiasach kwadratowych. Jeśli w oznaczeniu segmentu pominięto nawiasy kwadratowe, to piszą „segment AB”.

4) z dowolnych dwóch punktów należących do jednego z tych podzbiorów, jeden leży między drugim punktem a O. Każdy z tych zestawów nazywa się otwartym promieniem zaczynającym się od O.

5) Pierwsza właściwość: Długość odcinka jest wyrażona jako liczba dodatnia.
Druga właściwość: równe segmenty mają równe długości.
Trzecia własność: gdy punkt dzieli odcinek na dwa odcinki, długość całego odcinka jest równa sumie długości tych dwóch odcinków.

6) Dwa odcinki nazywane są równymi, jeśli mają tę samą długość, to znaczy w tych samych jednostkach miary ich długości są wyrażone w równych liczbach

7) Odległość między punktami to długość odcinka zawartego między tymi punktami.

8) Środek odcinka to punkt, który dzieli dany odcinek na dwie równe części.

9) Jeżeli półprostą lub częścią prostej nazywamy promieniem wychodzącym z jednego punktu (początek promienia) w jednym kierunku, to dodatkowym promieniem jest sąsiedni promień wychodzący z tego samego punktu w w innym kierunku i leżąc na tej samej linii prostej.

10) Czy? bramka - figura geometryczna, utworzony przez dwa promienie (boki kąta) wychodzące z jednego punktu (zwanego wierzchołkiem kąta). Płaszczyzna zawierająca obie strony kąta jest podzielona przez kąt na dwa obszary

11) Kąty równe to kąty, które mają ten sam kąt, tę samą liczbę stopni, czyli są równe. Kąt prosty to kąt, którego boki tworzą linię prostą. Kąt prosty to kąt, który wynosi dokładnie 90 stopni.

12) Dwusieczna kąta trójkąta to odcinek dwusiecznej tego kąta, łączący ten wierzchołek z punktem po przeciwnej stronie. Dowolna z trzech dwusiecznych narożniki wewnętrzne trójkąt nazywany jest dwusieczną trójkąta.

Linie równoległe Dwie linie na płaszczyźnie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają, to znaczy nie mają wspólnych punktów. Równoległość linii oznaczona jest przez ||. Jeśli linie a i b są równoległe, napisz a || b. Niech a i b będą dwiema prostymi, a c trzecią przecinającą je prostą, zwaną sieczną. Oznaczmy kąty utworzone przez te proste jako 1, . . . , 8, jak pokazano na rysunku. Kąty 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7 nazywane są odpowiednimi; kąty 3 i 5, 4 i 6 nazywane są wewnętrznym leżeniem krzyżowym; narożniki 4 i 5, 3 i 6 nazywane są wewnętrznymi jednostronnymi.

Twierdzenie 1 Twierdzenie. (Znak równoległości dwóch linii.) Jeżeli na przecięciu dwóch linii przez trzecią, wewnętrzne kąty przecięcia są równe, to te dwie linie są równoległe. Wniosek 1. Jeżeli na przecięciu dwóch linii przez trzecią linię odpowiednie kąty są równe, to te dwie linie są równoległe. Wniosek 2. Jeżeli na przecięciu dwóch linii przez trzecią, wewnętrzne kąty jednostronne sumują się do 180 o, to te dwie linie są równoległe. Wniosek 3. Jeśli dwie linie są prostopadłe do trzeciej, to te dwie linie są równoległe.

Aksjomat paraleli. Przez punkt nie na danej linii przechodzi co najwyżej jedna linia równoległa do danej linii. Twierdzenie. Jeżeli dwie równoległe linie przecina trzecia linia, to przecinające się kąty wewnętrzne są równe. Wniosek 1. Jeżeli dwie równoległe linie przecina trzecia, to odpowiadające im kąty są równe. Wniosek 2. Jeżeli dwie równoległe linie przecina trzecia, to wewnętrzne kąty jednostronne sumują się do 180 stopni.

Historia linii równoległych Kwestia liczby linii przechodzących przez dany punkt i równoległych do danej linii ma starą i ciekawa historia. Spośród aksjomatów w „Żywiołach” Euklidesa piąty postulat w swej treści pokrywa się z aksjomatem równoległości: „Przez punkt wyprowadzony poza daną linię można narysować co najwyżej jedną linię równoległą do tej linii”. Przez dwa tysiące lat po Euklidesie matematycy próbowali udowodnić ten postulat, ale wszystkie ich próby kończyły się niepowodzeniem, prędzej czy później znaleziono błędy w ich rozumowaniu. Dopiero w 1826 r. wielki rosyjski geometr N. I. Łobaczewski (1792-1856), profesor Uniwersytetu Kazańskiego, zasugerował, że tego postulatu nie można logicznie wyprowadzić z innych postulatów (aksjomatów) Euklidesa, tj. nie można udowodnić. Dlatego można go przyjąć albo jako aksjomat, albo jako aksjomat można przyjąć inną właściwość o istnieniu kilku prostych przechodzących przez dany punkt i równoległych do danej prostej. Umieszczając ten nowy aksjomat równoległości jako podstawę geometrii, Łobaczewski stworzył zupełnie nowy - geometrię nieeuklidesową, którą nazwano geometrią Łobaczewskiego.

Idee NI Lobachevsky Lobachevsky były tak oryginalne i tak sprzeczne z tak zwanym zdrowym rozsądkiem, że nie rozumieli ich nawet wielcy matematycy tamtych czasów. Mimo to Łobaczewski nie porzucił swoich pomysłów. Był nie tylko przekonany o logicznej spójności nowej geometrii, ale także mocno wierzył w jej przydatność do badania przestrzeni rzeczywistej. Uznanie geometrii Łobaczewskiego nastąpiło dopiero po jego śmierci. Prace Łobaczewskiego były tłumaczone na inne języki i studiowane przez matematyków na całym świecie. Obecnie geometria Łobaczewskiego jest integralną częścią współczesnej matematyki i jest wykorzystywana w wielu dziedzinach ludzkiej wiedzy, przyczynia się do głębszego zrozumienia otaczającego nas świata.

Pytanie 1 Jak można umieścić dwie linie na płaszczyźnie względem siebie? Odpowiedź: Dwie linie na płaszczyźnie mogą mieć jeden punkt wspólny lub nie mieć punktów wspólnych.

Pytanie 2 Które linie nazywamy równoległymi? Odpowiedź: Dwie linie na płaszczyźnie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają, to znaczy nie mają wspólnych punktów.

Pytanie 3 Która linia nazywa się sieczną dwóch podanych linii? Odpowiedź: Sieczna to linia przecinająca dwie podane linie.

Pytanie 4 Wymień odpowiednie kąty. Odpowiedź: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.

Pytanie 7 Sformułuj znak równoległości dwóch linii. Odpowiedź: Jeżeli na przecięciu dwóch linii przez trzecią linię, wewnętrzne kąty krzyżowania się są równe, to te dwie linie są równoległe.

Pytanie 8 Sformułuj aksjomat równoległości. Odpowiedź: Przez punkt nie na danej linii przechodzi co najwyżej jedna linia równoległa do danej linii.

Pytanie 9 W jaki sposób wewnętrzne kąty krzyżujące się są powiązane na przecięciu dwóch równoległych linii przez trzecią? Odpowiedź: Równe.

Pytanie 10 W jaki sposób odpowiadające sobie kąty są powiązane na przecięciu dwóch równoległych linii przez trzecią? Odpowiedź: Równe.

Pytanie 11 Jak są powiązane wewnętrzne jednostronne kąty, gdy dwie równoległe linie przecinają się z trzecią? Odpowiedź: sumują się do 180 r.

Pytanie 12 Rays AB i CD nie mają wspólnych punktów. Czy z tego wynika, że ​​są one równoległe? Odpowiedź: Nie.

Ćwiczenie 5 Określ pary równoległych linii. Odpowiedź: a i f, b i e, c i g, d i h, p i q.

Ćwiczenie 7 Kiedy dwie linie przecinają się z trzecią, powstaje 8 kątów. Ilu z nich może być głupich? Odpowiedź: 0, 2 lub 4.

Ćwiczenie 8 Czy oba wewnętrzne kąty jednostronne mogą być rozwarte na przecięciu dwóch prostych o jedną trzecią? Odpowiedź: Tak.

Ćwiczenie 9 Czy wewnętrzne kąty jednostronne mogą być równe, gdy dwie linie przecinają się z trzecią? Odpowiedź: Tak.

Ćwiczenie 10 Czy wszystkie kąty utworzone na przecięciu dwóch prostych przez jedną trzecią mogą być sobie równe? Odpowiedź: Tak.

Ćwiczenie 11 Suma wewnętrznych kątów krzyżowania się na przecięciu dwóch równoległych linii przez trzecią wynosi 70 o. Jaki jest każdy z kątów? Odpowiedź: 35 o.

Ćwiczenie 12 Jeden z kątów utworzonych na przecięciu dwóch równoległych linii z trzecią jest trzy razy większy niż jeden z pozostałych. Znajdź wszystkie kąty. Odpowiedź: około 135, około 45.

Ćwiczenie 13 Znajdź kąty utworzone na przecięciu dwóch równoległych linii siecznej jeśli: a) jeden z kątów wynosi 150 o; b) jeden z kątów jest o 70 stopni większy od drugiego. Odpowiedź: a) 150 o, 30 o; b) 55o, 125o.

Ćwiczenie 14 Różnica pomiędzy dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi utworzonymi przez linie równoległe i sieczną wynosi 30 o. Znajdź te rogi. Odpowiedź: 75 około, 105 około.

Ćwiczenie 15 Kąt ABC wynosi 80°, a kąt BCD wynosi 120°. Czy linie AB i CD mogą być równoległe? Odpowiedź: Nie.

Zadanie 16 W trójkącie ABC A = 40 o, B = 70 o. Linia BD jest poprowadzona przez wierzchołek B tak, że promień BC jest dwusieczną kąta ABD. Czy linie AC i BD będą równoległe? Odpowiedź: Tak.

Ćwiczenie 17 Przeciwległe boki czworoboku ABCD są równoległe w parach. Znajdź kąty tego czworokąta, jeśli A = 30o. Odpowiedź: B = 150 o, C = 30 o, D = 150 o.

Ćwiczenie 19 Narysuj promień CD, dla którego suma kątów ABC i BCD wynosi 180 o. Odpowiedź.

Pytanie 1

Oznaki:

1. Jeżeli na przecięciu dwóch linii poprzeczki kąty leżenia są równe, to linie

są równoległe.

2. Jeśli na przecięciu dwóch linii siecznej odpowiednie kąty są równe, to linie

są równoległe.

3. Jeżeli na przecięciu dwóch linii prostych suma siecznych kątów jednostronnych wynosi 180 °,

wtedy linie są równoległe.

Udowodnijmy trzecie kryterium.

Bilet 2

Pytanie 1

Dwie linie na płaszczyźnie nazywane są równoległymi, jeśli się nie przecinają.

Twierdzenia o kątach powstałych na przecięciu:

1. Jeżeli dwie równoległe linie przecina sieczna, to kąty leżące w poprzek są równe.
2. Jeśli dwie równoległe linie przecina sieczna, to odpowiadające im kąty są równe.
3. Jeżeli dwie równoległe linie przecina sieczna, to suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

Udowodnijmy druga twierdzenie: Jeśli dwie równoległe linie przecina sieczna, to odpowiadające im kąty są równe.

Aksjomat. Przez punkt, który nie znajduje się na danej linii, jest tylko jedna linia równoległa do danej linii.

Konsekwencje z aksjomatu:

1°. Jeśli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina się i

2°. Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe.