Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Co się stało równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym występują niewiadome (x) i wyrażenia z nimi wskaźniki pewne stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x +3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z literą X. Jeśli nagle w równaniu pojawi się X w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

to będzie równanie typ mieszany. Równania takie nie mają jasnych zasad ich rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj sobie poradzimy rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są rozwiązywane w sposób jasny. Istnieją jednak pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. To są typy, które rozważymy.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych.

Najpierw rozwiążmy coś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez teorii, poprzez prosty dobór widać, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadna inna wartość X nie działa. Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same podstawy (potrójne). Całkowicie wyrzucony. I dobra wiadomość jest taka, że ​​trafiliśmy w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym są lewe i prawe ten sam liczby dowolnej potęgi, liczby te można usunąć, a wykładniki można wyrównać. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. Świetnie, prawda?)

Pamiętajmy jednak stanowczo: Możesz usuwać bazy tylko wtedy, gdy liczby zasad po lewej i prawej stronie są w doskonałej izolacji! Bez żadnych sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x+1 = 2 3, lub

dwójek nie da się usunąć!

No cóż, najważniejsze już opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

„To są czasy!” - mówisz. „Kto dałby tak prymitywną lekcję na sprawdzianach i egzaminach!?”

Muszę się zgodzić. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie celować przy rozwiązywaniu trudnych przykładów. Konieczne jest doprowadzenie go do postaci, w której ta sama liczba podstawowa znajduje się po lewej i prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie jest to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go na pożądany nas umysł. Oczywiście według zasad matematyki.

Przyjrzyjmy się przykładom, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszych. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Przy rozwiązywaniu równań wykładniczych obowiązują główne zasady działania ze stopniami. Bez znajomości tych działań nic nie będzie działać.

Do działań mających stopnie trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. My wymagamy te same liczby-fusy? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pierwsze bystre spojrzenie jest na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale jest za wcześnie, żeby się zniechęcać. Czas o tym pamiętać

Dwa i osiem to stopień spokrewniony.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie wzór z operacji na stopniach:

(a n) m = za nm ,

to działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład zaczął wyglądać tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej stronie (nikt nie anulował elementarnych działań matematycznych!), otrzymujemy:

2 2x = 2 3(x+1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i otrzymujemy

To jest poprawna odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość potęgi dwójki pomogła nam. My zidentyfikowany w ośmiu jest zaszyfrowana dwójka. Ta technika (szyfrowanie wspólnych podstaw w ramach różne liczby) jest bardzo popularną techniką w równaniach wykładniczych! Tak, także w logarytmach. Musisz umieć rozpoznawać potęgi innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do dowolnej potęgi nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na papierze, i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść liczbę 3 do potęgi piątej. 243 zadziała, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej nie jest konieczne podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie... Dowiedz się jaka liczba w jakim stopniu kryje się za liczbą 243, albo powiedzmy 343... Żaden kalkulator Ci tu nie pomoże.

Potęgę niektórych liczb trzeba znać z widzenia, prawda… Poćwiczmy?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby mają te liczby:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, możesz zobaczyć dziwny fakt. Odpowiedzi jest znacznie więcej niż zadań! No cóż, zdarza się... Na przykład 2 6, 4 3, 8 2 - to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o znajomości liczb.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych używamy Wszystko zasób wiedzy matematycznej. W tym ci z klas młodszych i średnich. Nie poszedłeś od razu do szkoły średniej, prawda?)

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych często pomaga umieszczenie wspólnego czynnika w nawiasach (witaj siódmoklaso!). Spójrzmy na przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwszy rzut oka na fundamenty! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. I chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie zostało całkowicie spełnione!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Stosowanie tych samych zasad postępowania ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

To świetnie, możesz to zapisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Nie możesz rzucać trójkami... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętaj o najbardziej uniwersalnej i potężnej zasadzie decyzyjnej wszyscy zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób co możesz!

Spójrz, wszystko się ułoży).

Co kryje się w tym równaniu wykładniczym Móc Do? Tak, po lewej stronie aż się prosi, żeby go wyjąć z nawiasu! Ogólny mnożnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Pamiętamy, że do eliminacji podstaw potrzebny jest czysty stopień, bez żadnych współczynników. Niepokoi nas liczba 70. Dzielimy więc obie strony równania przez 70 i otrzymujemy:

Ups! Wszystko się poprawiło!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że kołowanie na tych samych podstawach sprawdza się, ale ich eliminacja nie. Dzieje się tak w innych typach równań wykładniczych. Opanujmy ten typ.

Zastępowanie zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze – jak zwykle. Przejdźmy do jednej bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

I tu właśnie spędzamy czas. Poprzednie techniki nie będą działać, bez względu na to, jak na to spojrzeć. Będziemy musieli zdobyć kolejnego potężnego i metoda uniwersalna. To jest nazwane wymiana zmienna.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku - 2 x) piszemy inną, prostszą (na przykład - t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Wtedy 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

W naszym równaniu wszystkie potęgi x zastępujemy t:

Cóż, przychodzi ci to do głowy?) Czy zapomniałeś już o równaniach kwadratowych? Rozwiązując dyskryminator, otrzymujemy:

Najważniejsze, żeby się nie zatrzymywać, jak to bywa... To jeszcze nie jest odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wróćmy do X, tj. dokonujemy odwrotnej zamiany. Najpierw dla t 1:

To jest,

Znaleziono jeden korzeń. Szukamy drugiego z t 2:

Hm... 2 x po lewej, 1 po prawej... Problem? Zupełnie nie! Wystarczy pamiętać (z operacji na potęgach, tak...), że jednostka jest każdy liczbę do potęgi zerowej. Każdy. Cokolwiek będzie potrzebne, zainstalujemy to. Potrzebujemy dwójki. Oznacza:

To tyle. Mamy 2 pierwiastki:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasem pojawia się niezręczna ekspresja. Typ:

Od siódmej do drugiej stopień prosty nie działa. Oni nie są krewnymi... Jak możemy być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat „Co to jest logarytm?” , po prostu uśmiechaj się oszczędnie i zapisuj pewną ręką absolutnie poprawna odpowiedź:

Takiej odpowiedzi nie może być w zadaniu „B” na egzaminie Unified State Examination. Tam wymagany jest konkretny numer. Ale w zadaniach „C” jest to łatwe.

W tej lekcji przedstawiono przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główne punkty.

Praktyczne porady:

1. Przede wszystkim patrzymy fusy stopni. Zastanawiamy się, czy da się je zrobić identyczny. Spróbujmy to zrobić aktywnie wykorzystując działania ze stopniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na potęgi!

2. Próbujemy doprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy po lewej i po prawej stronie są ten sam liczby w dowolnych potęgach. Używamy działania ze stopniami I faktoryzacja. To, co da się policzyć w liczbach, liczymy.

3. Jeśli druga wskazówka nie zadziała, spróbuj zastosować zamianę zmiennych. Wynikiem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadratowy. Lub ułamek, który również sprowadza się do kwadratu.

4. Aby skutecznie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz znać potęgi niektórych liczb z widzenia.

Jak zwykle na koniec lekcji możesz podjąć małą decyzję.) Samodzielnie. Od prostych do złożonych.

Rozwiązuj równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Znajdź iloczyn korzeni:

2 trójki + 2 x = 9

Stało się?

No więc najbardziej skomplikowany przykład(zdecydowałem jednak w myślach...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? W takim razie mam dla ciebie zły przykład. Dość kuszące dla zwiększonego poziomu trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje Cię pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszelkich problemów matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Prostszy przykład dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Którego nie rozważaliśmy w tej lekcji. Po co je rozważać, należy je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. No cóż, trzeba pomysłowości... I niech siódma klasa Ci w tym pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

1; 2; 3; 4; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; 4; 0.

Czy wszystko się udało? Świetnie.

Tam jest problem? Bez problemu! W rozdziale specjalnym 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane za pomocą szczegółowe wyjaśnienia. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście istnieją dodatkowe cenne informacje na temat pracy z wszelkiego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko te.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. Na tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie wspomniałem tutaj ani słowa o ODZ? Swoją drogą, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Pierwszy poziom

Równania wykładnicze. Kompleksowy przewodnik (2019)

Cześć! Dzisiaj omówimy z Wami, jak rozwiązywać równania, które mogą być albo elementarne (i mam nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu prawie wszystkie będą dla Was takie), jak i te, które zwykle podaje się „do wypełnienia”. Podobno by w końcu zasnąć. Ale postaram się zrobić wszystko, co możliwe, abyś teraz nie miał kłopotów w obliczu tego typu równań. Nie będę już owijał w bawełnę, ale od razu otworzę mała tajemnica: dzisiaj będziemy się uczyć równania wykładnicze.

Zanim przejdziemy do analizy sposobów ich rozwiązania, od razu zarysuję dla Ciebie szereg pytań (dość małych), które powinieneś powtórzyć, zanim zaczniesz atakować ten temat. A więc zdobyć najlepszy wynik, Proszę, powtarzać:

1. Właściwości i
2. Rozwiązanie i równania

Powtarzający się? Niesamowity! Wtedy nie będzie ci trudno zauważyć, że pierwiastkiem równania jest liczba. Czy rozumiesz dokładnie, jak to zrobiłem? Czy to prawda? Zatem kontynuujmy. A teraz odpowiedz na moje pytanie: ile wynosi trzecia potęga? Masz całkowitą rację: . Jaką potęgą dwójki jest osiem? Zgadza się – trzeci! Ponieważ. Cóż, teraz spróbujmy rozwiązać następujący problem: Pomnożę liczbę przez samą siebie raz i otrzymam wynik. Pytanie brzmi: ile razy sam pomnożyłem? Możesz to oczywiście sprawdzić bezpośrednio:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( wyrównywać)

Wtedy możesz stwierdzić, że pomnożyłem przez siebie razy. Jak inaczej możesz to sprawdzić? Oto jak: bezpośrednio z definicji stopnia: . Ale musisz przyznać, że gdybym zapytał, ile razy trzeba pomnożyć dwa przez siebie, aby otrzymać, powiedzmy, odpowiedziałbyś mi: nie będę się oszukiwał i nie będę mnożył przez siebie, dopóki nie zsinieję się w twarz. I miałby całkowitą rację. Bo jak możesz zapisz krótko wszystkie kroki(a zwięzłość jest siostrą talentu)

gdzie - to są te same "czasy", kiedy mnożysz przez siebie.

Myślę, że wiesz (a jeśli nie wiesz, to pilnie, bardzo pilnie powtórz stopnie!), że wtedy mój problem zostanie zapisany w postaci:

Jak możesz racjonalnie stwierdzić, że:

Więc niezauważony zapisałem najprostsze równanie wykładnicze:

I nawet go znalazłem źródło. Nie uważasz, że wszystko jest całkowicie banalne? Myślę dokładnie tak samo. Oto kolejny przykład dla Ciebie:

Ale co robić? Przecież nie da się tego zapisać jako potęgi (rozsądnej) liczby. Nie rozpaczajmy i zauważmy, że obie te liczby doskonale wyrażają się poprzez potęgę tej samej liczby. Który? Prawidłowy: . Następnie pierwotne równanie zostaje przekształcone do postaci:

Gdzie, jak już zrozumiałeś, . Nie zwlekajmy dłużej i zapiszmy to definicja:

W naszym przypadku: .

Równania te rozwiązuje się sprowadzając je do postaci:

a następnie rozwiązujemy równanie

W rzeczywistości zrobiliśmy to w poprzednim przykładzie: otrzymaliśmy co następuje: I rozwiązaliśmy najprostsze równanie.

Wydaje się, że to nic skomplikowanego, prawda? Najpierw poćwiczmy na najprostszych przykłady:

Znów widzimy, że prawą i lewą stronę równania należy przedstawić jako potęgi jednej liczby. To prawda, że ​​​​zrobiono to już po lewej stronie, ale po prawej stronie jest liczba. Ale jest w porządku, ponieważ moje równanie w cudowny sposób przekształci się w to:

Czego musiałem tu użyć? Jaka zasada? Zasada „stopni w stopniach” który brzmi:

Co jeśli:

Zanim odpowiemy na to pytanie, wypełnijmy poniższą tabelę:

Łatwo jest nam zauważyć, że im mniej, tym mniejsza wartość, ale mimo to wszystkie te wartości są większe od zera. I TAK BĘDZIE ZAWSZE!!! Ta sama właściwość dotyczy KAŻDEJ PODSTAWY Z DOWOLNYM WSKAŹNIKIEM!! (dla dowolnego i). Jakie zatem możemy wyciągnąć wnioski na temat równania? Oto co to jest: to nie ma korzeni! Tak jak każde równanie nie ma pierwiastków. Teraz poćwiczmy i Rozwiążmy proste przykłady:

Sprawdźmy:

1. Tutaj nie będzie od ciebie wymagane nic poza znajomością właściwości stopni (co, nawiasem mówiąc, prosiłem o powtórzenie!). Z reguły wszystko prowadzi do najmniejszej podstawy: , . Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne następującemu: Jedyne, czego potrzebuję, to skorzystać z właściwości potęg: Przy mnożeniu liczb o tej samej podstawie potęgi się dodaje, a przy dzieleniu odejmuje. Wtedy dostanę: No cóż, teraz z czystym sumieniem przejdę od równania wykładniczego do liniowego: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(wyrównaj)

2. W drugim przykładzie musimy być bardziej ostrożni: problem w tym, że po lewej stronie nie możemy w żaden sposób przedstawić tej samej liczby jako potęgi. W tym przypadku czasem się to przydaje przedstawiają liczby jako iloczyn potęg o różnych podstawach, ale tych samych wykładnikach:

Lewa strona równania będzie wyglądać następująco: Co nam to dało? Oto co: Liczby o różnych podstawach, ale tych samych wykładnikach można pomnożyć.W tym przypadku podstawy są mnożone, ale wskaźnik się nie zmienia:

W mojej sytuacji da to:

\begin(wyrównaj)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(wyrównaj)

Nieźle, prawda?

3. Nie lubię, gdy niepotrzebnie mam dwa wyrazy po jednej stronie równania, a żadnego po drugiej (czasami jest to oczywiście uzasadnione, ale teraz tak nie jest). Przesunę wyraz minus w prawo:

Teraz, tak jak poprzednio, napiszę wszystko w potęgach trójki:

Dodaję stopnie po lewej stronie i otrzymuję równoważne równanie

Możesz łatwo znaleźć jego korzeń:

4. Podobnie jak w przykładzie trzecim, wyraz minus znajduje się po prawej stronie!

U mnie po lewej prawie wszystko w porządku, tylko za czym? Tak, niepokoi mnie „zły stopień” tych dwóch. Ale mogę to łatwo naprawić, pisząc: . Eureka - po lewej wszystkie podstawy są różne, ale wszystkie stopnie są takie same! Pomnóżmy się natychmiast!

Tutaj znowu wszystko jest jasne: (jeśli nie rozumiesz, jak w magiczny sposób uzyskałem ostatnią równość, zrób chwilę przerwy, weź oddech i jeszcze raz bardzo uważnie przeczytaj właściwości stopnia. Kto powiedział, że możesz pominąć stopień z wykładnikiem ujemnym? Cóż, tutaj jestem o tym samym, co nikt). Teraz dostanę:

\begin(wyrównaj)
& ((2)^(4\lewo((x) -9 \prawo)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(wyrównaj)

Oto kilka zadań do przećwiczenia, na które ja podam jedynie odpowiedzi (ale w formie „mieszanej”). Rozwiąż je, sprawdź, a Ty i ja będziemy kontynuować nasze badania!

Gotowy? Odpowiedzi jak te:

1. Jakikolwiek numer

Dobra, dobra, żartowałem! Oto kilka szkiców rozwiązań (niektóre bardzo krótkie!)

Czy nie sądzisz, że to nie przypadek, że jeden ułamek po lewej stronie jest drugi „odwrócony”? Grzechem byłoby z tego nie skorzystać:

Zasada ta jest bardzo często stosowana przy rozwiązywaniu równań wykładniczych, pamiętaj o tym dobrze!

Wtedy pierwotne równanie będzie wyglądać następująco:

Rozwiązując to równanie kwadratowe, otrzymasz następujące pierwiastki:

2. Inne rozwiązanie: podzielenie obu stron równania przez wyrażenie po lewej (lub prawej stronie). Podziel przez to, co jest po prawej stronie, i otrzymuję:

Gdzie dlaczego?!)

3. Nawet nie chcę się powtarzać, wszystko zostało już tak „przeżute”.

4. odpowiednik równania kwadratowego, pierwiastki

5. Musisz skorzystać ze wzoru podanego w pierwszym zadaniu, a otrzymasz, że:

Równanie zamieniło się w trywialną tożsamość, która jest prawdziwa dla każdego. Wtedy odpowiedzią jest dowolna liczba rzeczywista.

Cóż, teraz ćwiczyłeś rozwiązywanie proste równania wykładnicze. Teraz chcę ci dać kilka przykłady życia, co pomoże Ci zrozumieć, dlaczego są one w zasadzie potrzebne. Tutaj podam dwa przykłady. Jedna z nich jest dość codzienna, ale druga ma raczej charakter naukowy niż praktyczny.

Przykład 1 (handlowy) Niech masz ruble, ale chcesz zamienić je na ruble. Bank oferuje Ci odbiór tych pieniędzy według stawki rocznej z miesięczną kapitalizacją odsetek (comiesięczne naliczanie). Pytanie brzmi, na ile miesięcy trzeba otworzyć lokatę, aby osiągnąć wymaganą kwotę końcową? Całkiem przyziemne zadanie, prawda? Niemniej jednak jego rozwiązanie wiąże się z konstrukcją odpowiedniego równania wykładniczego: Niech będzie sumą początkową, - końcowa kwota, - stopa procentowa za okres, - liczba okresów. Następnie:

W naszym przypadku (jeśli stawka jest roczna, to naliczana jest miesięcznie). Dlaczego jest podzielony przez? Jeśli nie znasz odpowiedzi na to pytanie, pamiętaj o temacie „”! Następnie otrzymujemy to równanie:

To równanie wykładnicze można rozwiązać tylko za pomocą kalkulatora (j wygląd podpowiada na to, a to wymaga znajomości logarytmów, z którymi zapoznamy się nieco później), co zrobię: ... Zatem, aby otrzymać milion, będziemy musieli dokonać miesięcznej wpłaty ( niezbyt szybko, prawda?).

Przykład 2 (raczej naukowy). Pomimo jego pewnej „izolacji” polecam zwrócić na niego uwagę: regularnie „wpada na Jednolity Egzamin Państwowy!! (zadanie wzięte z wersji „rzeczywistej”) Podczas rozpadu izotopu promieniotwórczego jego masa maleje zgodnie z prawem, gdzie (mg) jest początkową masą izotopu, (min.) jest czasem, jaki upłynął od moment początkowy (min.) to okres półtrwania. W początkowej chwili masa izotopu wynosi mg. Jego okres półtrwania wynosi min. Po ilu minutach masa izotopu będzie równa mg? Nie ma problemu: po prostu bierzemy i podstawiamy wszystkie dane do zaproponowanego nam wzoru:

Podzielmy obie części przez, „w nadziei”, że po lewej stronie dostaniemy coś strawnego:

Cóż, mamy dużo szczęścia! Jest po lewej stronie, więc przejdźmy do równoważnego równania:

Gdzie jest min.

Jak widać, równania wykładnicze mają całkowicie prawdziwa aplikacja na praktyce. Teraz chcę pokazać inny (prosty) sposób rozwiązywania równań wykładniczych, który polega na wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów, a następnie zgrupowaniu wyrazów. Nie bój się moich słów, zetknąłeś się z tą metodą już w 7. klasie, studiując wielomiany. Na przykład, jeśli chcesz rozłożyć wyrażenie na czynniki:

Pogrupujmy: terminy pierwszy i trzeci oraz termin drugi i czwarty. Oczywiste jest, że pierwsza i trzecia to różnica kwadratów:

a drugi i czwarty mają wspólny współczynnik wynoszący trzy:

Wtedy oryginalne wyrażenie jest równoważne temu:

Skąd wyprowadzić wspólny czynnik nie jest już trudne:

Stąd,

Mniej więcej tak zrobimy przy rozwiązywaniu równań wykładniczych: poszukaj „wspólności” między terminami i usuń ją z nawiasów, a następnie - niech przyjdzie, co będzie, wierzę, że będziemy mieli szczęście =)) Na przykład:

Po prawej stronie daleko do potęgi siódemki (sprawdziłem!) A po lewej - jest trochę lepiej, możesz oczywiście „odciąć” czynnik a od drugiego od pierwszego wyrazu, a następnie rozwiązać z tym, co masz, ale bądźmy wobec ciebie bardziej rozważni. Nie chcę zajmować się ułamkami, które nieuchronnie powstają podczas „wybierania”, więc czy nie powinienem raczej tego usunąć? Wtedy nie będę miał żadnych ułamków: jak to mówią, wilki są nakarmione, a owce bezpieczne:

Oblicz wyrażenie w nawiasach. Magicznie, magicznie okazuje się, że (choć czego innego można się spodziewać?).

Następnie redukujemy obie strony równania o ten współczynnik. Otrzymujemy: , od.

Oto bardziej skomplikowany przykład (naprawdę całkiem sporo):

Jaki problem! Nie mamy tu jednej wspólnej płaszczyzny! Nie do końca wiadomo, co teraz zrobić. Zróbmy, co możemy: najpierw przesuńmy „czwórki” na jedną stronę, a „piątki” na drugą:

Teraz usuńmy „generała” po lewej i prawej stronie:

Co teraz? Jaki jest pożytek z tak głupiej grupy? Na pierwszy rzut oka w ogóle tego nie widać, ale spójrzmy głębiej:

Cóż, teraz upewnimy się, że po lewej stronie mamy tylko wyrażenie c, a po prawej - wszystko inne. Jak to zrobić? Oto jak to zrobić: Najpierw podziel obie strony równania przez (aby pozbyć się wykładnika po prawej stronie), a następnie podziel obie strony przez (aby pozbyć się współczynnika liczbowego po lewej stronie). Wreszcie otrzymujemy:

Niesamowity! Po lewej stronie mamy wyrażenie, a po prawej proste wyrażenie. Wtedy od razu to stwierdzamy

Oto kolejny przykład do wzmocnienia:

Podam jego krótkie rozwiązanie (bez zawracania sobie głowy wyjaśnieniami), spróbuj sam zrozumieć wszystkie „subtelności” rozwiązania.

Teraz ostateczna konsolidacja omawianego materiału. Spróbuj samodzielnie rozwiązać poniższe problemy. Podam tylko krótkie zalecenia i wskazówki dotyczące ich rozwiązania:

1. Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów: Gdzie:
2. Przedstawmy pierwsze wyrażenie w postaci: , podzielmy obie strony przez i otrzymamy to
3. , wówczas oryginalne równanie zostaje przekształcone do postaci: Cóż, teraz podpowiedź - poszukaj, gdzie ty i ja już rozwiązaliśmy to równanie!
4. Wyobraź sobie, jak, no cóż, podzielić obie strony przez, żeby otrzymać najprostsze równanie wykładnicze.
5. Wyciągnij go z nawiasów.
6. Wyciągnij go z nawiasów.

RÓWNANIA WYKŁADNICZE. ŚREDNI POZIOM

Zakładam, że po przeczytaniu pierwszego artykułu, o którym mowa czym są równania wykładnicze i jak je rozwiązywać, opanowałeś niezbędne minimum wiedza niezbędna do rozwiązywania prostych przykładów.

Teraz przyjrzę się innej metodzie rozwiązywania równań wykładniczych, to jest

„sposób wprowadzenia nowej zmiennej” (lub zamiany). Rozwiązuje najbardziej „trudne” problemy z zakresu równań wykładniczych (i nie tylko równań). Metoda ta jest jedną z najczęściej stosowanych w praktyce. Na początek polecam zapoznać się z tematem.

Jak już zrozumiałeś z nazwy, istotą tej metody jest wprowadzenie takiej zmiany zmiennej, aby Twoje równanie wykładnicze w cudowny sposób przekształciło się w takie, które możesz łatwo rozwiązać. Po rozwiązaniu tego bardzo „uproszczonego równania” pozostaje Ci jedynie dokonać „odwrotnej zamiany”, czyli powrotu z zastąpionego do zastąpionego. Zilustrujmy to, co właśnie powiedzieliśmy, bardzo prostym przykładem:

Przykład 1:

Równanie to rozwiązuje się za pomocą „prostego podstawienia”, jak lekceważąco nazywają je matematycy. Tak naprawdę zastąpienie tutaj jest najbardziej oczywiste. Trzeba to tylko zobaczyć

Wtedy oryginalne równanie zmieni się w to:

Jeśli dodatkowo wyobrazimy sobie, jak to zrobić, jest absolutnie jasne, co należy wymienić: oczywiście . Co zatem stanie się pierwotnym równaniem? Oto co:

Możesz łatwo znaleźć jego korzenie na własną rękę: . Co powinniśmy teraz zrobić? Czas wrócić do pierwotnej zmiennej. O czym zapomniałem wspomnieć? Mianowicie: przy wymianie pewnego stopnia na nową zmienną (czyli przy wymianie typu) będę zainteresowany tylko pozytywne korzenie! Sam możesz łatwo odpowiedzieć dlaczego. Zatem ty i ja nie jesteśmy zainteresowani, ale drugi korzeń jest dla nas całkiem odpowiedni:

Więc skąd.

Odpowiedź:

Jak widać w poprzednim przykładzie zmiennik po prostu prosił o nasze ręce. Niestety, nie zawsze tak jest. Nie przechodźmy jednak od razu do smutnych rzeczy, ale poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie z dość prostym zamiennikiem

Przykład 2.

Wiadomo, że najprawdopodobniej będziemy musieli dokonać zamiany (jest to najmniejsza z potęg zawartych w naszym równaniu), jednak przed wprowadzeniem zamiany należy „przygotować” do niej nasze równanie, czyli: , . Następnie możesz zastąpić, w wyniku czego otrzymuję następujące wyrażenie:

Och, horror: równanie sześcienne z absolutnie okropnymi wzorami na jego rozwiązanie (cóż, mówiąc w ogólna perspektywa). Ale nie popadajmy od razu w rozpacz, tylko zastanówmy się, co powinniśmy zrobić. Sugeruję oszukiwanie: wiemy, że aby uzyskać „piękną” odpowiedź, musimy uzyskać ją w postaci jakiejś potęgi trójki (dlaczego miałoby to być, co?). Spróbujmy odgadnąć przynajmniej jeden pierwiastek naszego równania (zacznę od potęgi trójki).

Pierwsze przypuszczenie. Nie korzeń. Niestety i ach...

.
Lewa strona jest równa.
Prawa część: !
Jeść! Odgadłem pierwszy korzeń. Teraz wszystko stanie się łatwiejsze!

Czy znasz schemat podziału „narożnego”? Oczywiście, że tak, używasz go, dzieląc jedną liczbę przez drugą. Ale niewiele osób wie, że to samo można zrobić z wielomianami. Jest jedno wspaniałe twierdzenie:

Odnosząc się do mojej sytuacji, mówi mi to, że jest ona podzielna bez reszty przez. Jak dokonuje się podziału? Właśnie tak:

Patrzę, przez który jednomian powinienem pomnożyć, aby otrzymać Jasne, a następnie:

Odejmując otrzymane wyrażenie od, otrzymuję:

A teraz przez co muszę pomnożyć, żeby otrzymać? Jasne jest, że dalej dostanę:

i ponownie odejmij wynikowe wyrażenie od pozostałego:

Cóż, ostatnim krokiem jest pomnożenie i odjęcie od pozostałego wyrażenia:

Hurra, podział się skończył! Co zgromadziliśmy prywatnie? Samodzielnie: .

Otrzymaliśmy wówczas następujące rozwinięcie pierwotnego wielomianu:

Rozwiążmy drugie równanie:

Ma korzenie:

Następnie oryginalne równanie:

ma trzy pierwiastki:

Oczywiście odrzucimy ostatni pierwiastek, ponieważ jest on mniejszy od zera. A pierwsze dwa po odwrotnej zamianie dadzą nam dwa pierwiastki:

Odpowiedź: ..

W tym przykładzie wcale nie chciałem cię przestraszyć; raczej moim celem było pokazanie, że chociaż mieliśmy dość proste zastąpienie, to jednak doprowadziło to do dość złożonego równania, którego rozwiązanie wymagało od nas specjalnych umiejętności. Cóż, nikt nie jest na to odporny. Ale wymiana w w tym przypadku było całkiem oczywiste.

Oto przykład z nieco mniej oczywistym zamiennikiem:

Nie jest wcale jasne, co powinniśmy zrobić: problem polega na tym, że w naszym równaniu istnieją dwie różne podstawy i jednej podstawy nie można uzyskać z drugiej, podnosząc ją do dowolnej (rozsądnej, naturalnie) potęgi. Co jednak widzimy? Obie podstawy różnią się jedynie znakiem, a ich iloczynem jest różnica kwadratów równa jeden:

Definicja:

Zatem liczby będące podstawami w naszym przykładzie są sprzężone.

W tym przypadku mądrym krokiem byłoby Pomnóż obie strony równania przez liczbę sprzężoną.

Na przykład, wtedy lewa strona równania stanie się równa i prawa. Jeśli dokonamy podstawienia, wówczas nasze pierwotne równanie będzie wyglądało następująco:

zatem ma swoje korzenie i pamiętając o tym, rozumiemy to.

Odpowiedź: , .

Z reguły metoda zastępowania jest wystarczająca do rozwiązania większości „szkolnych” równań wykładniczych. Z ujednoliconego egzaminu państwowego C1 pobierane są następujące zadania ( podwyższony poziom trudności). Masz już wystarczającą wiedzę, aby samodzielnie rozwiązać te przykłady. Podam tylko wymagany zamiennik.

1. Rozwiązać równanie:
2. Znajdź pierwiastki równania:
3. Rozwiązać równanie: . Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania należące do odcinka:

A teraz kilka krótkich wyjaśnień i odpowiedzi:

1. W tym miejscu wystarczy zauważyć, że... Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne temu: Równanie to można rozwiązać zastępując. Dalsze obliczenia wykonaj samodzielnie. Ostatecznie Twoje zadanie zostanie zredukowane do rozwiązywania prostych problemów trygonometrycznych (w zależności od sinusa lub cosinusa). Przyjrzymy się rozwiązaniom podobnych przykładów w innych sekcjach.
2. Tutaj możesz obejść się nawet bez podstawienia: po prostu przesuń odejmowanie w prawo i przedstaw obie podstawy poprzez potęgę dwójki: , a następnie przejdź bezpośrednio do równania kwadratowego.
3. Trzecie równanie również rozwiązuje się dość standardowo: wyobraźmy sobie, jak. Następnie, zastępując, otrzymujemy równanie kwadratowe: wtedy

   Wiesz już, co to jest logarytm, prawda? NIE? Zatem przeczytaj pilnie temat!

   Pierwszy pierwiastek oczywiście nie należy do segmentu, ale drugi jest niejasny! Ale dowiemy się tego już wkrótce! Skoro zatem (jest to właściwość logarytmu!) porównajmy:

   Odejmij od obu stron i otrzymamy:

   Lewa strona można przedstawić jako:

   pomnóż obie strony przez:

   można więc pomnożyć przez

   Następnie porównaj:

   od tego czasu:

   Następnie drugi pierwiastek należy do wymaganego przedziału

   Odpowiedź:

Jak widzicie, dobór pierwiastków równań wykładniczych wymaga wystarczającego głęboka wiedza właściwości logarytmów, dlatego radzę zachować jak największą ostrożność przy rozwiązywaniu równań wykładniczych. Jak rozumiesz, w matematyce wszystko jest ze sobą powiązane! Jak mawiał mój nauczyciel matematyki: „matematyki, podobnie jak historii, nie można przeczytać z dnia na dzień”.

Z reguły wszystkie Trudność w rozwiązaniu problemów C1 polega właśnie na wyborze pierwiastków równania. Poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie:

Oczywiste jest, że samo równanie zostało rozwiązane po prostu. Dokonując podstawienia, redukujemy nasze pierwotne równanie do następującego:

Najpierw spójrzmy na pierwszy korzeń. Porównajmy i: od tego czasu. (nieruchomość funkcja logarytmiczna, Na). Wtedy jest jasne, że pierwszy pierwiastek nie należy do naszego przedziału. Teraz drugi korzeń: . Jest to oczywiste (ponieważ funkcja at jest rosnąca). Pozostaje porównać i...

od tego czasu w tym samym czasie. W ten sposób mogę „wbić kołek” pomiędzy i. Ten kołek jest liczbą. Pierwsze wyrażenie jest mniejsze, a drugie większe. Wtedy drugie wyrażenie jest większe od pierwszego i pierwiastek należy do przedziału.

Odpowiedź: .

Na koniec spójrzmy na inny przykład równania, w którym podstawienie jest dość niestandardowe:

Zacznijmy od razu od tego, co można zrobić i co – w zasadzie można, ale lepiej tego nie robić. Wszystko możesz sobie wyobrazić za pomocą potęgi trójki, dwójki i szóstki. Dokąd to prowadzi? Do niczego to nie doprowadzi: mieszaniny stopni, z których niektórych będzie dość trudno się pozbyć. Co w takim razie jest potrzebne? Zauważmy, że a A co nam to daje? I fakt, że rozwiązanie tego przykładu możemy sprowadzić do rozwiązania dość prostego równania wykładniczego! Najpierw przepiszmy nasze równanie jako:

Podzielmy teraz obie strony otrzymanego równania przez:

Eureka! Teraz możemy zastąpić, otrzymujemy:

Cóż, teraz twoja kolej na rozwiązanie przykładowych problemów, a ja je tylko dam krótkie komentarzeżebyś nie zbłądził! Powodzenia!

1. Najtrudniejsze! Trudno tu znaleźć zamiennika! Niemniej jednak ten przykład można całkowicie rozwiązać za pomocą podkreślając cały kwadrat. Aby go rozwiązać, wystarczy zauważyć, że:

Oto Twój zamiennik:

(Proszę pamiętać, że podczas naszej zamiany nie możemy odrzucić pierwiastka ujemnego! Jak myślisz, dlaczego?)

Teraz, aby rozwiązać przykład, wystarczy rozwiązać tylko dwa równania:

Obydwa zostały rozwiązane” standardowa wymiana„(ale drugi w jednym przykładzie!)

2. Zauważ to i dokonaj wymiany.

3. Rozłóż liczbę na czynniki względnie pierwsze i uprość otrzymane wyrażenie.

4. Podziel licznik i mianownik ułamka przez (lub, jeśli wolisz) i dokonaj podstawienia lub.

5. Zauważ, że liczby i są sprzężone.

RÓWNANIA WYKŁADNICZE. POZIOM ZAAWANSOWANY

Ponadto spójrzmy na inny sposób - rozwiązywanie równań wykładniczych metodą logarytmu. Nie mogę powiedzieć, że rozwiązywanie równań wykładniczych tą metodą jest bardzo popularne, ale tylko w niektórych przypadkach może nas to doprowadzić dobra decyzja nasze równanie. Szczególnie często wykorzystuje się go do rozwiązywania tzw. równania mieszane„: czyli takie, w których występują funkcje różnych typów.

Na przykład równanie postaci:

w ogólnym przypadku można to rozwiązać jedynie poprzez logarytmy obu stron (na przykład do podstawy), w których pierwotne równanie zmieni się w następującą postać:

Spójrzmy na następujący przykład:

Oczywiste jest, że zgodnie z ODZ funkcji logarytmicznej jesteśmy zainteresowani tylko. Wynika to jednak nie tylko z ODZ logarytmu, ale z jeszcze jednego powodu. Myślę, że nie będzie trudno zgadnąć, który to jest.

Sprowadźmy logarytm obu stron naszego równania do podstawy:

Jak widać, obliczenie logarytmu z naszego pierwotnego równania szybko doprowadziło nas do poprawnej (i pięknej!) odpowiedzi. Poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie:

Tutaj też nie ma nic złego: podnieś logarytm obu stron równania do podstawy i otrzymamy:

Zróbmy zamiennik:

Jednak coś nam umknęło! Czy zauważyłeś, gdzie popełniłem błąd? W końcu:

co nie spełnia warunku (pomyśl skąd się wzięło!)

Odpowiedź:

Spróbuj zapisać rozwiązanie poniższych równań wykładniczych:

Teraz porównaj swoją decyzję z tą:

1. Logarytmujemy obie strony do podstawy, biorąc pod uwagę, że:

(drugi korzeń nie jest dla nas odpowiedni ze względu na wymianę)

2. Logarytm do podstawy:

Wynikowe wyrażenie przekształćmy do postaci:

RÓWNANIA WYKŁADNICZE. KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWE FORMUŁY

Równanie wykładnicze

Równanie postaci:

zwany najprostsze równanie wykładnicze.

Właściwości stopni

Podejścia do rozwiązania

• Redukcja na tej samej podstawie
• Redukcja do tego samego wykładnika
• Zmienna wymiana
• Uproszczenie wyrażenia i zastosowanie jednego z powyższych.

Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zawsze zacznijmy od definicji i prostych przykładów.

Jeśli czytasz tę lekcję, to podejrzewam, że przynajmniej w minimalnym stopniu rozumiesz najprostsze równania - liniowe i kwadratowe: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie konieczna, aby nie „utknąć” w temacie, który będzie teraz omawiany.

Zatem równania wykładnicze. Podam kilka przykładów:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektóre z nich mogą wydawać Ci się bardziej skomplikowane, inne wręcz przeciwnie, są zbyt proste. Ale wszystkie mają jedną ważną cechę wspólną: ich zapis zawiera funkcję wykładniczą $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Wprowadźmy zatem definicję:

Równanie wykładnicze to dowolne równanie zawierające funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie w postaci $((a)^(x))$. Oprócz wskazanej funkcji takie równania mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.

OK. Ustaliliśmy definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać ten cały syf? Odpowiedź jest prosta i złożona zarazem.

Zacznijmy od dobrej wiadomości: z mojego doświadczenia w nauczaniu wielu uczniów mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.

Ale jest zła wiadomość: czasami autorów zadań do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów uderza „inspiracja”, a ich narkotyczny mózg zaczyna produkować tak brutalne równania, że ​​ich rozwiązanie staje się problematyczne nie tylko dla uczniów – nawet dla wielu nauczycieli daj sobie spokój z takimi problemami.

Nie mówmy jednak o smutnych sprawach. I wróćmy do tych trzech równań podanych na samym początku historii. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.

Pierwsze równanie: $((2)^(x))=4$. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby otrzymać liczbę 4? Pewnie to drugie? Przecież $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, czyli rzeczywiście $x = 2 $. Cóż, dzięki, Cap, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot potrafił je rozwiązać :)

Spójrzmy na następujące równanie:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ale tutaj jest to trochę bardziej skomplikowane. Wielu uczniów wie, że $((5)^(2))=25$ to tabliczka mnożenia. Niektórzy podejrzewają również, że $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ jest w istocie definicją potęg ujemnych (podobną do wzoru $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Wreszcie tylko nieliczni zdają sobie sprawę, że fakty te można połączyć i uzyskać następujący wynik:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Zatem nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strzałka w prawo ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ale jest to już całkowicie do rozwiązania! Po lewej stronie równania znajduje się funkcja wykładnicza, po prawej stronie równania jest funkcja wykładnicza, nigdzie poza nimi nie ma nic innego. Dlatego możemy „odrzucić” podstawy i głupio zrównać wskaźniki:

Otrzymaliśmy najprostsze równanie liniowe, które każdy uczeń może rozwiązać w zaledwie kilku linijkach. OK, w czterech linijkach:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Jeśli nie rozumiesz, co się działo w ostatnich czterech linijkach, koniecznie wróć do tematu „ równania liniowe" i powtórz to. Ponieważ bez jasnego zrozumienia tego tematu jest zbyt wcześnie, aby zajmować się równaniami wykładniczymi.

\[((9)^(x))=-3\]

Jak więc możemy to rozwiązać? Pierwsza myśl: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, więc oryginalne równanie można przepisać w następujący sposób:

\[((\lewo(((3)^(2)) \prawo))^(x))=-3\]

Następnie pamiętamy, że podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Strzałka w prawo ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

I za taką decyzję otrzymamy szczerze zasłużoną dwójkę. Ponieważ ze spokojem Pokemona wysłaliśmy znak minus przed trójką do potęgi tej właśnie trójki. Ale nie możesz tego zrobić. I własnie dlatego. Przyjrzyj się różnym potęgom trójki:

\[\begin(macierz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(macierz)\]

Kompilując ten tablet, starałem się jak tylko mogłem uniknąć perwersji: i stopnie pozytywne uważane za ujemne, a nawet ułamkowe... cóż, gdzie jest co najmniej jeden liczba ujemna? On odszedł! A tak być nie może, bo funkcja wykładnicza $y=((a)^(x))$ po pierwsze zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie (nieważne ile jeden pomnożymy lub podzielimy przez dwa i tak będzie to liczba dodatnia), a po drugie, podstawa takiej funkcji – liczba $a$ – jest z definicji liczbą dodatnią!

No dobrze, jak w takim razie rozwiązać równanie $((9)^(x))=-3$? Ale nie ma mowy: nie ma korzeni. I w tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - może też nie być pierwiastków. Ale jeśli w równania kwadratowe liczbę pierwiastków określa dyskryminator (wyróżnik dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - brak pierwiastków), wówczas w wykładniczych wszystko zależy od tego, co jest na prawo od znaku równości.

Sformułujmy zatem kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $b>0$. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo określić, czy zaproponowane ci równanie ma pierwiastki, czy nie. Te. Czy warto to w ogóle rozwiązywać, czy od razu spisywać, że korzeni nie ma.

Ta wiedza przyda nam się wielokrotnie, gdy będziemy musieli podjąć kolejną decyzję złożone zadania. Na razie dość tekstów – czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Sformułujmy zatem problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Zgodnie z „naiwnym” algorytmem, z którego korzystaliśmy wcześniej, konieczne jest przedstawienie liczby $b$ jako potęgi liczby $a$:

Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $x$ będzie jakieś wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(3))\Strzałka w prawo x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Strzałka w prawo ((3)^(-x))=((3)^(4))\Strzałka w prawo -x=4\Strzałka w prawo x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

I co dziwne, ten schemat działa w około 90% przypadków. A co z pozostałymi 10%? Pozostałe 10% to lekko „schizofreniczne” równania wykładnicze w postaci:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, żeby otrzymać 3? Pierwszy? Ale nie: $((2)^(1))=2$ to za mało. Drugi? Nie: $((2)^(2))=4$ to za dużo. Który w takim razie?

Doświadczeni uczniowie prawdopodobnie już zgadli: w takich przypadkach, gdy nie da się rozwiązać „pięknie”, do gry włącza się „ciężka artyleria” - logarytmy. Przypomnę, że za pomocą logarytmów dowolną liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jednej):

Pamiętasz tę formułę? Kiedy mówię moim uczniom o logarytmach, zawsze ostrzegam: ten wzór (także główny tożsamość logarytmiczna lub, jak kto woli, definicja logarytmu) będzie Cię prześladować przez bardzo długi czas i „wyskakiwać” w najbardziej nieoczekiwanych miejscach. No cóż, wyszła na powierzchnię. Spójrzmy na nasze równanie i tę formułę:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Jeśli założymy, że $a=3$ jest naszą pierwotną liczbą po prawej stronie, a $b=2$ jest podstawą funkcji wykładniczej, do której tak chcemy sprowadzić prawą stronę, otrzymamy co następuje:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Strzałka w prawo ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Strzałka w prawo x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Otrzymaliśmy nieco dziwną odpowiedź: $x=((\log )_(2))3$. W przypadku innego zadania wielu miałoby wątpliwości co do takiej odpowiedzi i zaczęłoby ponownie sprawdzać swoje rozwiązanie: co by było, gdyby gdzieś wkradł się błąd? Spieszę cię zadowolić: nie ma tu błędu, a logarytmy w pierwiastkach równań wykładniczych są sytuacją całkowicie typową. Więc przyzwyczaj się :)

Rozwiążmy teraz pozostałe dwa równania przez analogię:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Strzałka w prawo x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Strzałka w prawo ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Strzałka w prawo 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można zapisać inaczej:

Wprowadziliśmy mnożnik do argumentu logarytmu. Ale nikt nie zabrania nam dodać do bazy tego współczynnika:

Co więcej, wszystkie trzy opcje są poprawne - to proste różne kształty rekordy o tym samym numerze. To, który z nich wybrać i zapisać w tym rozwiązaniu, zależy od Ciebie.

W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać dowolne równania wykładnicze w postaci $((a)^(x))=b$, gdzie liczby $a$ i $b$ są ściśle dodatnie. Jednak surowa rzeczywistość naszego świata jest taka proste zadania będziecie się spotykać bardzo, bardzo rzadko. Najczęściej spotkasz się z czymś takim:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Jak więc możemy to rozwiązać? Da się to w ogóle rozwiązać? A jeśli tak, to jak?

Nie panikować. Wszystkie te równania można szybko i łatwo sprowadzić do postaci proste formuły które już rozważaliśmy. Wystarczy zapamiętać kilka sztuczek z kursu algebry. I oczywiście nie ma żadnych zasad pracy z dyplomami. Opowiem Ci o tym wszystkim teraz :)

Konwersja równań wykładniczych

Pierwsza rzecz do zapamiętania: każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak skomplikowane może być, w ten czy inny sposób należy sprowadzić do najprostszych równań - tych, które już rozważaliśmy i które wiemy, jak rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda następująco:

1. Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Zrób jakieś dziwne rzeczy. Albo nawet jakieś bzdury zwane „przekształcaniem równania”;
3. Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia w postaci $((4)^(x))=4$ lub coś podobnego. Co więcej, jedno równanie początkowe może dać kilka takich wyrażeń jednocześnie.

Już w pierwszym punkcie wszystko jest jasne – nawet mój kot potrafi napisać równanie na kartce papieru. Trzeci punkt również wydaje się mniej więcej jasny - rozwiązaliśmy już całą masę takich równań powyżej.

Ale co z drugim punktem? Jakie transformacje? Zamienić co w co? I jak?

Cóż, rozwiążmy to. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następującą kwestię. Wszystkie równania wykładnicze są podzielone na dwa typy:

1. Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Wzór zawiera funkcje wykładnicze o różnych podstawach. Przykłady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 USD.

Zacznijmy od równań pierwszego typu – one są najłatwiejsze do rozwiązania. A w ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika, jak podkreślanie stabilnych wyrażeń.

Izolowanie stabilnego wyrażenia

Spójrzmy jeszcze raz na to równanie:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Co widzimy? Cztery są podniesione w różnym stopniu. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $x$ z innymi liczbami. Dlatego należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Mówiąc najprościej, dodawanie można przekształcić na iloczyn potęg, a odejmowanie można łatwo przekształcić w dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do stopni z naszego równania:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(wyrównaj)\]

Przepiszmy pierwotne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbierzmy wszystkie wyrazy po lewej stronie:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenaście; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $((4)^(x))$ - wyjmijmy go z nawiasu:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Pozostaje podzielić obie strony równania przez ułamek $-\frac(11)(4)$, czyli zasadniczo pomnóż przez ułamek odwrócony - $-\frac(4)(11)$. Otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszej postaci i uzyskaliśmy ostateczną odpowiedź.

Jednocześnie w procesie rozwiązywania odkryliśmy (a nawet usunęliśmy go z nawiasu) wspólny czynnik $((4)^(x))$ - jest to wyrażenie stabilne. Można ją wyznaczyć jako nową zmienną lub po prostu wyrazić ją ostrożnie i uzyskać odpowiedź. W każdym razie, kluczowa zasada Rozwiązania są następujące:

Znajdź w oryginalnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą można łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.

Dobra wiadomość jest taka, że ​​prawie każde równanie wykładnicze pozwala wyizolować takie stabilne wyrażenie.

Zła wiadomość jest jednak taka, że ​​wyrażenia te mogą być dość trudne i trudne do zidentyfikowania. Spójrzmy więc na jeszcze jeden problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Być może ktoś będzie teraz miał pytanie: „Pasza, czy jesteś naćpany? Tutaj są różne podstawy – 5 i 0,2.” Ale spróbujmy przeliczyć potęgę na podstawę 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, redukując go do zwykłego:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\lewo(x+1 \prawo)))=((\lewo(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Jak widać, liczba 5 nadal się pojawiała, choć w mianowniku. Jednocześnie wskaźnik został przepisany na ujemny. A teraz przypomnijmy sobie o jednym najważniejsze zasady pracować ze stopniami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=(5)^(x+1))\ ]

Tutaj oczywiście trochę skłamałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia wzór na pozbycie się negatywnych wskaźników musiał być napisany w ten sposób:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ prawo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Z drugiej strony nic nie stało na przeszkodzie, aby pracować tylko z ułamkami:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ prawo))^(-\lewo(x+1 \prawo)))=((5)^(\lewo(-1 \prawo)\cdot \lewo(-\lewo(x+1 \prawo) \prawo) ))=((5)^(x+1))\]

Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść moc do innej potęgi (przypomnę: w tym przypadku wskaźniki są sumowane). Ale nie musiałem „odwracać” ułamków - być może dla niektórych będzie to łatwiejsze :)

W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Okazuje się więc, że oryginalne równanie można rozwiązać jeszcze prościej niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wybierać stabilnego wyrażenia - wszystko zostało samo w sobie zredukowane. Pozostaje tylko pamiętać, że $1=((5)^(0))$, z czego otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x=-2$. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną technikę, która znacznie uprościła dla nas wszystkie obliczenia:

W równaniach wykładniczych należy się ich pozbyć miejsca dziesiętne, zamień je na zwykłe. Umożliwi to zobaczenie tych samych podstaw stopni i znacznie uprości rozwiązanie.

Przejdźmy teraz do więcej złożone równania, w którym istnieją różne podstawy, które w ogóle nie dają się do siebie sprowadzić za pomocą stopni.

Korzystanie z właściwości Degrees

Przypomnę, że mamy dwa bardziej trudne równania:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Główna trudność polega na tym, że nie jest jasne, co dać i na jakiej podstawie. Gdzie ustawić wyrażenia? Gdzie są te same podstawy? Nie ma nic z tego.

Spróbujmy jednak pójść inną drogą. Jeśli nie ma gotowych identyczne podstawy, możesz spróbować je znaleźć, rozkładając na czynniki istniejące bazy.

Zacznijmy od pierwszego równania:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Ale możesz zrobić odwrotnie - z cyfr 7 i 3 utwórz liczbę 21. Jest to szczególnie łatwe do zrobienia po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

To wszystko! Wziąłeś wykładnik poza iloczyn i od razu otrzymałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku linijkach.

Spójrzmy teraz na drugie równanie. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli można coś zredukować, koniecznie to zmniejsz. Często pojawią się ciekawe powody, z którymi możesz już pracować.

Niestety, nie pojawiło się dla nas nic szczególnego. Ale widzimy, że wykładniki po lewej stronie iloczynu są przeciwne:

Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus na wskaźniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Cóż, przepiszmy oryginalne równanie:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

W drugim wierszu po prostu wyciągnęliśmy wykładnik całkowity z iloczynu z nawiasu zgodnie z regułą $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, a w ostatnim po prostu pomnożyli liczbę 100 przez ułamek.

Teraz zauważ, że liczby po lewej stronie (u podstawy) i po prawej stronie są nieco podobne. Jak? Tak, to oczywiste: są to potęgi tej samej liczby! Mamy:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \prawo))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \prawo))^(2)). \\\end(align)\]

Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\prawo))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \prawo))^(3\lewo(x-1 \prawo)))=((\lewo(\frac(10)(3) \prawo))^(3x-3))\]

W tym przypadku po prawej stronie możesz również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy po prostu „odwrócić” ułamek:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nasze równanie ostatecznie przybierze postać:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie. Jego główna idea sprowadza się do tego, że nawet przy na różnych podstawach staramy się, metodą haczyka lub oszustwa, zredukować te podstawy do tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przemiany równania i zasady pracy ze stopniami.

Ale jakich zasad i kiedy używać? Jak rozumiesz, że w jednym równaniu trzeba podzielić obie strony przez coś, a w innym uwzględnić podstawę funkcji wykładniczej?

Odpowiedź na to pytanie przyjdzie wraz z doświadczeniem. Najpierw spróbuj swoich sił proste równania, a następnie stopniowo komplikuj zadania - a już wkrótce Twoje umiejętności wystarczą do rozwiązania dowolnego równania wykładniczego z tego samego egzaminu Unified State Exam lub dowolnej pracy niezależnej/testowej.

A żeby pomóc Ci w tej trudnej sprawie, sugeruję pobranie zestawu równań do niezależna decyzja. Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz się sprawdzić.

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca, pobierz pełną wersję.

Typ lekcji

: lekcja uogólniania i kompleksowego zastosowania wiedzy, umiejętności i zdolności na temat „Równania wykładnicze i metody ich rozwiązywania”.

Cele Lekcji.

Edukacyjny:

powtórz i usystematyzuj główny materiał tematu „Równania wykładnicze, ich rozwiązania”; utrwalić umiejętność stosowania odpowiednich algorytmów przy rozwiązywaniu równań wykładniczych różnego typu; przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam.

Edukacyjny:

rozwijać logiczne i skojarzeniowe myślenie uczniów; promować rozwój umiejętności własny użytek wiedza.

Edukacyjny:

pielęgnuj zaangażowanie, uwagę i dokładność przy rozwiązywaniu równań.

Sprzęt:

komputer i projektor multimedialny.

Używane na zajęciach technologia informacyjna : wsparcie metodyczne lekcji – prezentacja w programie Microsoft Power Point.

Podczas zajęć

Każda umiejętność wymaga ciężkiej pracy

I. Ustalenie celu lekcji(Slajd numer 2 )

W tej lekcji podsumujemy i uogólnimy temat „Równania wykładnicze i ich rozwiązania”. Zapoznajmy się z typowymi Zadania z egzaminu jednolitego stanu różne lata na ten temat.

Problemy z rozwiązywaniem równań wykładniczych można znaleźć w dowolnej części zadań Unified State Examination. W części " W " Zwykle oferują rozwiązanie najprostszych równań wykładniczych. W części " Z " Można znaleźć bardziej złożone równania wykładnicze, których rozwiązanie jest zwykle jednym z etapów realizacji zadania.

Na przykład ( Slajd numer 3 ).

• Jednolity egzamin państwowy - 2007

Pytanie 4 – Znajdź największą wartość wyrażenia x y, Gdzie ( X; Na) – rozwiązanie układu:

• Jednolity egzamin państwowy - 2008

Pytanie 1 – Rozwiąż równania:

A) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• Jednolity egzamin państwowy - 2009

Pytanie 4 – Znajdź znaczenie wyrażenia x + y, Gdzie ( X; Na) – rozwiązanie układu:

• Ujednolicony egzamin państwowy - 2010

– Rozwiąż równanie: 7 X– 2 = 49. – Znajdź pierwiastki równania: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Rozwiązać układ równań:

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy. Powtórzenie

(Slajdy nr 4 – 6 prezentacje na lekcję)

Pokazane na ekranie podsumowanie materiału teoretycznego w tym temacie.

Omawiane są następujące kwestie:

1. Jak nazywają się równania orientacyjny?
2. Wymień główne sposoby ich rozwiązania. Podaj przykłady ich typów ( Slajd numer 4 )

(Samodzielnie rozwiąż zaproponowane równania dla każdej metody i wykonaj autotest za pomocą szkiełka)

3. Jakie twierdzenie stosuje się przy rozwiązywaniu prostych równań wykładniczych postaci: i f(x) = a g(x)?
4. Jakie istnieją inne metody rozwiązywania równań wykładniczych? ( Slajd numer 5 )

• Metoda faktoryzacji
(w oparciu o właściwości potęg z identyczne podłoża, technika: w nawiasach brany jest stopień z najniższym wskaźnikiem).
• Technika dzielenia (mnożenia) przez wyrażenie wykładnicze inne niż zero przy rozwiązywaniu jednorodnych równań wykładniczych
.

• Rada:

Rozwiązując równania wykładnicze, warto najpierw dokonać przekształceń, uzyskując potęgi o tych samych podstawach po obu stronach równania.

1. Rozwiązywanie równań dwoma ostatnimi metodami z kolejnymi komentarzami

(Slajd numer 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2х – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2х – 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, T > 0, 2T 2 - 3T- 5 = 0,T= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Rozwiązywanie zadań z egzaminu Unified State Exam 2010

Uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania zaproponowane na początku lekcji na slajdzie nr 3, korzystając z instrukcji do rozwiązania, sprawdzają swoje postępy w rozwiązywaniu i odpowiedzi na nie za pomocą prezentacji ( Slajd numer 7). W trakcie pracy omawiane są opcje i rozwiązania, zwraca się uwagę możliwe błędy przy podejmowaniu decyzji.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 – 7x = 36. Odpowiedź: A) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (Można zastąpić przez 0,5 = 4 – 0,5)

Rozwiązanie. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Odpowiedź: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 t y+ 4 = 5 -tg y, w kosm y< 0.

Wskazówki do rozwiązania

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y – 1 = 0. Niech X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Od tg y= -1 i cos y< 0, zatem Na II ćwiartka współrzędnych

Odpowiedź: Na= 3/4 + 2k, k N.

IV. Praca zespołowa przy zarządzie

Rozważany jest wysoki poziom zadania szkoleniowego - Slajd numer 8. Za pomocą tego slajdu następuje dialog pomiędzy nauczycielem a uczniami, ułatwiający opracowanie rozwiązania.

– Przy jakim parametrze A równanie 2 2 X – 3 2 X + A 2 – 4A= 0 ma dwa pierwiastki?

Pozwalać T= 2 X, Gdzie T > 0 . Dostajemy T 2 – 3T + (A 2 – 4A) = 0 .

1). Ponieważ równanie ma dwa pierwiastki, to D > 0;

2). Ponieważ T Zatem 1,2 > 0 T 1 T 2 > 0, to znaczy A 2 – 4A> 0 (?...).

Odpowiedź: A(– 0,5; 0) lub (4; 4,5).

V. Praca testowa

(Slajd numer 9 )

Studenci wykonują praca testowa na kartkach papieru, ćwiczenie samokontroli i samooceny wykonanej pracy za pomocą prezentacji, ugruntowanie się w temacie. Samodzielnie ustalają program uregulowania i korygowania wiedzy na podstawie błędów popełnionych w zeszytach ćwiczeń. Arkusze z wykonaną samodzielną pracą przekazywane są nauczycielowi do sprawdzenia.

Podkreślone liczby – Poziom podstawowy, z gwiazdką – zwiększona złożoność.

Rozwiązanie i odpowiedzi.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (nie pasuje),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Praca domowa

(Slajd numer 10 )

• Powtórz § 11, 12.
• Z materiałów Unified State Exam 2008 - 2010 wybierz zadania na ten temat i rozwiąż je.
• Praca testowa w domu
:

Na etapie przygotowania do egzaminu końcowego uczniowie szkół średnich muszą udoskonalić swoją wiedzę na temat „Równania wykładnicze”. Doświadczenia ostatnich lat wskazują, że tego typu zadania sprawiają uczniom pewne trudności. Dlatego licealiści, niezależnie od poziomu przygotowania, muszą dokładnie opanować teorię, zapamiętać wzory i zrozumieć zasadę rozwiązywania takich równań. Nauczywszy się radzić sobie z tego typu problemami, absolwenci mogą liczyć na wysokie wyniki przy zdaniu Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki.

Przygotuj się do testów egzaminacyjnych z Shkolkovo!

Przeglądając przestudiowany materiał, wielu uczniów staje przed problemem znalezienia wzorów potrzebnych do rozwiązania równań. Podręcznik szkolny nie zawsze jest pod ręką, a wybranie niezbędnych informacji na dany temat w Internecie zajmuje dużo czasu.

Portal edukacyjny Shkolkovo zaprasza uczniów do korzystania z naszej bazy wiedzy. Realizujemy całkowicie nowa metoda przygotowanie do egzaminu końcowego. Studiując na naszej stronie, będziesz w stanie zidentyfikować luki w wiedzy i zwrócić uwagę na te zadania, które sprawiają najwięcej trudności.

Nauczyciele Shkolkovo zebrali, usystematyzowali i przedstawili wszystko, co niezbędne pomyślne Materiał do egzaminu ujednoliconego stanu w najprostszej i najbardziej dostępnej formie.

Podstawowe definicje i wzory przedstawiono w części „Podstawy teoretyczne”.

Aby lepiej zrozumieć materiał, zalecamy przećwiczenie wykonywania zadań. Dokładnie przejrzyj przykłady równań wykładniczych z rozwiązaniami przedstawionymi na tej stronie, aby zrozumieć algorytm obliczeniowy. Następnie przejdź do wykonywania zadań w sekcji „Katalogi”. Możesz zacząć od najłatwiejszych problemów lub przejść od razu do rozwiązywania złożonych równań wykładniczych z kilkoma niewiadomymi lub . Baza ćwiczeń na naszej stronie jest na bieżąco uzupełniana i aktualizowana.

Te przykłady ze wskaźnikami, które sprawiły Ci trudności, możesz dodać do „Ulubionych”. W ten sposób możesz szybko je znaleźć i omówić rozwiązanie ze swoim nauczycielem.

Aby pomyślnie zdać ujednolicony egzamin państwowy, codziennie ucz się na portalu Shkolkovo!