Esquema geral para resolver uma equação racional fracionária. Resolvendo equações inteiras e fracionárias racionais

Lições objetivas:

Tutorial:

• formação do conceito de equações racionais fracionárias;
• considere diferentes maneiras de resolver frações equações racionais;
• considere um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias, incluindo a condição de que a fração seja igual a zero;
• ensinar a solução de equações racionais fracionárias de acordo com o algoritmo;
• verificar o nível de assimilação do tópico através da realização de trabalhos de teste.

Em desenvolvimento:

• desenvolvimento da capacidade de operar corretamente com o conhecimento adquirido, de pensar logicamente;
• desenvolvimento de habilidades intelectuais e operações mentais- análise, síntese, comparação e generalização;
• desenvolvimento de iniciativa, capacidade de tomar decisões, não parando por aí;
• desenvolvimento pensamento crítico;
• desenvolvimento de habilidades de pesquisa.

Nutrir:

• Educação interesse cognitivo ao assunto;
• educação para a independência na resolução de problemas educacionais;
• educação da vontade e perseverança para alcançar os resultados finais.

Tipo de lição: lição - explicação do novo material.

Durante as aulas

1. Momento organizacional.

Olá, pessoal! As equações são escritas no quadro-negro, observe-as cuidadosamente. Você consegue resolver todas essas equações? Quais não são e por quê?

Equações em que os lados esquerdo e direito são expressões racionais fracionárias são chamadas de equações racionais fracionárias. O que você acha que vamos estudar hoje na lição? Formule o tema da lição. Então, abrimos os cadernos e anotamos o tópico da lição “Solução de equações racionais fracionárias”.

2. Atualização do conhecimento. Levantamento frontal, trabalho oral com a turma.

E agora vamos repetir o principal material teórico que precisamos estudar novo topico. Por favor responda as seguintes questões:

1. O que é uma equação? ( Igualdade com uma variável ou variáveis.)
2. Como é chamada a equação nº 1? ( Linear.) Método de resolução de equações lineares. ( Todos com movimento desconhecido em lado esquerdo equações, todos os números - para a direita. Traga termos semelhantes. Encontre o multiplicador desconhecido).
3. Como é chamada a Equação 3? ( Quadrado.) Métodos de resolução de equações quadráticas. ( Seleção do quadrado completo, por fórmulas, usando o teorema de Vieta e suas consequências.)
4. O que é uma proporção? ( Igualdade de duas relações.) A principal propriedade da proporção. ( Se a proporção for verdadeira, então o produto de seus termos extremos é igual ao produto dos termos médios.)
5. Quais propriedades são usadas para resolver equações? ( 1. Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada. 2. Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número diferente de zero, será obtida uma equação equivalente ao dado.)
6. Quando uma fração é igual a zero? ( Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero.)

3. Explicação do novo material.

Resolva a equação nº 2 em cadernos e no quadro.

Responda: 10.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver usando a propriedade básica da proporção? (Número 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Resolva a equação nº 4 em cadernos e no quadro.

Responda: 1,5.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador? (Número 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Responda: 3;4.

Agora tente resolver a equação #7 de uma das maneiras.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Responda: 0;5;-2.			Responda: 5;-2.

Explique por que isso aconteceu? Por que há três raízes em um caso e duas no outro? Que números são as raízes desta equação racional fracionária?

Até agora, os alunos não conheceram o conceito de raiz estranha, é realmente muito difícil para eles entenderem por que isso aconteceu. Se ninguém na classe puder dar uma explicação clara desta situação, então o professor faz perguntas orientadoras.

• Como as equações nº 2 e 4 diferem das equações nº 5,6,7? ( Nas equações nº 2 e 4 no denominador do número, nº 5-7 - expressões com uma variável.)
• Qual é a raiz da equação? ( O valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade.)
• Como descobrir se um número é a raiz de uma equação? ( Faça uma verificação.)

Ao fazer uma prova, alguns alunos percebem que precisam dividir por zero. Eles concluem que os números 0 e 5 não são as raízes desta equação. Surge a pergunta: existe uma maneira de resolver equações racionais fracionárias que elimine esse erro? Sim, este método é baseado na condição de que a fração seja igual a zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Se x=5, então x(x-5)=0, então 5 é uma raiz estranha.

Se x=-2, então x(x-5)≠0.

Responda: -2.

Vamos tentar formular um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias dessa maneira. As próprias crianças formulam o algoritmo.

Algoritmo para resolver equações racionais fracionárias:

1. Mova tudo para a esquerda.
2. Traga frações para um denominador comum.
3. Faça um sistema: uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero.
4. Resolva a equação.
5. Verifique a desigualdade para excluir raízes estranhas.
6. Escreva a resposta.

Discussão: como formalizar a solução se for usada a propriedade básica da proporção e a multiplicação de ambos os lados da equação por denominador comum. (Suplemente a solução: exclua de suas raízes aquelas que transformam o denominador comum em zero).

4. Compreensão primária de material novo.

Trabalho em dupla. Os alunos escolhem como resolver a equação por conta própria, dependendo do tipo de equação. Tarefas do livro "Álgebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nº 600 (b, c, i); Nº 601(a, e, g). O professor controla o desempenho da tarefa, responde às perguntas que surgem e presta assistência aos alunos com desempenho insatisfatório. Autoteste: As respostas são escritas no quadro.

b) 2 é uma raiz estranha. Resposta:3.

c) 2 é uma raiz estranha. Resposta: 1,5.

a) Resposta: -12,5.

g) Resposta: 1; 1.5.

5. Declaração de dever de casa.

1. Leia o item 25 do livro, analise os exemplos 1-3.
2. Aprenda o algoritmo para resolver equações racionais fracionárias.
3. Resolva nos cadernos nº 600 (a, d, e); Nº 601 (g, h).
4. Tente resolver #696(a) (opcional).

6. Cumprimento da tarefa de controle sobre o tema estudado.

O trabalho é feito em folhas.

Exemplo de trabalho:

A) Quais das equações são racionais fracionárias?

B) Uma fração é zero quando o numerador é ______________________ e o denominador é _______________________.

P) O número -3 é a raiz da Equação #6?

D) Resolva a equação nº 7.

Critérios de avaliação da tarefa:

• "5" é dado se o aluno completou mais de 90% da tarefa corretamente.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" é dado a um aluno que completou menos de 50% da tarefa.
• O grau 2 não é colocado no diário, o 3 é opcional.

7. Reflexão.

Nos folhetos com trabalhos independentes, coloque:

• 1 - se a aula foi interessante e compreensível para você;
• 2 - interessante, mas não claro;
• 3 - não é interessante, mas compreensível;
• 4 - não é interessante, não é claro.

8. Resumindo a lição.

Então, hoje na lição nos familiarizamos com equações racionais fracionárias, aprendemos como resolver essas equações jeitos diferentes, testaram seus conhecimentos com a ajuda de treinamento trabalho independente. Você aprenderá os resultados do trabalho independente na próxima lição, em casa você terá a oportunidade de consolidar o conhecimento adquirido.

Qual método de resolução de equações racionais fracionárias, na sua opinião, é mais fácil, mais acessível, mais racional? Independentemente do método de resolução de equações racionais fracionárias, o que não deve ser esquecido? Qual é a "astúcia" das equações racionais fracionárias?

Obrigado a todos, a aula acabou.

O mínimo denominador comum é usado para simplificar esta equação. Este método é usado quando você não pode escrever dada equação com uma expressão racional em cada lado da equação (e use o método de multiplicação cruzada). Este método é usado quando você recebe uma equação racional com 3 ou mais frações (no caso de duas frações, a multiplicação cruzada é melhor).

Encontre o mínimo denominador comum das frações (ou mínimo múltiplo comum). NOZ é menor número, que é divisível por cada denominador.

• Às vezes, NOZ é um número óbvio. Por exemplo, se a equação for dada: x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, então é óbvio que o mínimo múltiplo comum dos números 3, 2 e 6 será 6.
• Se o NOD não for óbvio, anote os múltiplos do maior denominador e encontre entre eles um que seja múltiplo dos outros denominadores também. Muitas vezes você pode encontrar o NOD simplesmente multiplicando dois denominadores. Por exemplo, se a equação x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 for fornecida, então NOZ = 8*9 = 72.
• Se um ou mais denominadores contiverem uma variável, o processo será um pouco mais complicado (mas não impossível). Neste caso, o NOZ é uma expressão (contendo uma variável) que é divisível por cada denominador. Por exemplo, na equação 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), porque esta expressão é divisível por cada denominador: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Multiplique o numerador e o denominador de cada fração por um número igual ao resultado da divisão do NOZ pelo denominador correspondente de cada fração. Como você está multiplicando o numerador e o denominador pelo mesmo número, você está efetivamente multiplicando uma fração por 1 (por exemplo, 2/2 = 1 ou 3/3 = 1).

• Então, em nosso exemplo, multiplique x/3 por 2/2 para obter 2x/6 e multiplique 1/2 por 3/3 para obter 3/6 (3x + 1/6 não precisa ser multiplicado porque o denominador é 6).
• Proceda da mesma forma quando a variável estiver no denominador. Em nosso segundo exemplo NOZ = 3x(x-1), então 5/(x-1) vezes (3x)/(3x) é 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x vezes 3(x-1)/3(x-1) para obter 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) multiplique por (x-1)/(x-1) e você obtém 2(x-1)/3x(x-1).

Encontre x. Agora que você reduziu as frações a um denominador comum, você pode se livrar do denominador. Para fazer isso, multiplique cada lado da equação por um denominador comum. Em seguida, resolva a equação resultante, ou seja, encontre "x". Para fazer isso, isole a variável em um lado da equação.

• Em nosso exemplo: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Você pode adicionar 2 frações com o mesmo denominador, então escreva a equação como: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Multiplique os dois lados da equação por 6 e elimine os denominadores: 2x+3 = 3x +1. Resolva e obtenha x = 2.
• Em nosso segundo exemplo (com uma variável no denominador), a equação se parece com (após a redução a um denominador comum): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Multiplicando ambos os lados da equação por NOZ, você se livra do denominador e obtém: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), ou 15x = 3x - 3 + 2x -2, ou 15x = x - 5 Resolva e obtenha: x = -5/14.

Neste artigo vou te mostrar algoritmos para resolver sete tipos de equações racionais, que são reduzidos a quadrados por meio de uma mudança de variáveis. Na maioria dos casos, as transformações que levam à substituição não são muito triviais e é muito difícil adivinhar por conta própria.

Para cada tipo de equação, explicarei como fazer uma mudança de variável nela e, em seguida, mostrarei uma solução detalhada no tutorial em vídeo correspondente.

Você tem a oportunidade de continuar resolvendo as equações por conta própria e, em seguida, verificar sua solução com o tutorial em vídeo.

Então, vamos começar.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Observe que o produto de quatro colchetes está no lado esquerdo da equação e o número está no lado direito.

1. Vamos agrupar os colchetes por dois para que a soma dos termos livres seja a mesma.

2. Multiplique-os.

3. Vamos introduzir uma mudança de variável.

Em nossa equação, agrupamos o primeiro colchete com o terceiro e o segundo com o quarto, pois (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Neste ponto, a mudança de variável torna-se óbvia:

Obtemos a equação

Responda:

2 .

Uma equação desse tipo é semelhante à anterior com uma diferença: no lado direito da equação está o produto de um número por. E é resolvido de uma maneira completamente diferente:

1. Agrupamos os colchetes por dois para que o produto dos termos livres seja o mesmo.

2. Multiplicamos cada par de colchetes.

3. De cada fator, tiramos x dos colchetes.

4. Divida ambos os lados da equação por .

5. Introduzimos uma mudança de variável.

Nesta equação, agrupamos o primeiro colchete com o quarto e o segundo com o terceiro, pois:

Observe que em cada colchete o coeficiente em e o termo livre são os mesmos. Vamos tirar o multiplicador de cada colchete:

Como x=0 não é a raiz da equação original, dividimos ambos os lados da equação por . Nós temos:

Obtemos a equação:

Responda:

3 .

Observe que os denominadores de ambas as frações contêm trinômios quadrados, cujo coeficiente principal e termo livre são os mesmos. Tiramos, como na equação do segundo tipo, x dos colchetes. Nós temos:

Divida o numerador e o denominador de cada fração por x:

Agora podemos introduzir uma mudança de variável:

Obtemos a equação para a variável t:

4 .

Observe que os coeficientes da equação são simétricos em relação ao central. Tal equação é chamada retornável .

Para resolvê-lo

1. Divida ambos os lados da equação por (Podemos fazer isso já que x=0 não é a raiz da equação.) Obtemos:

2. Agrupe os termos desta forma:

3. Em cada grupo, tiramos o fator comum:

4. Vamos introduzir um substituto:

5. Vamos expressar a expressão em termos de t:

Daqui

Obtemos a equação para t:

Responda:

5. Equações homogêneas.

Equações que têm a estrutura de um homogêneo podem ser encontradas ao resolver exponenciais, logarítmicas e equações trigonométricas, por isso precisa ser reconhecido.

As equações homogêneas têm a seguinte estrutura:

Nesta igualdade, A, B e C são números, e as mesmas expressões são indicadas por um quadrado e um círculo. Ou seja, no lado esquerdo da equação homogênea está a soma dos monômios que possuem o mesmo grau (em este caso o grau de monômios é 2), e não há termo livre.

Para resolver a equação homogênea, dividimos ambos os lados por

Atenção! Ao dividir os lados direito e esquerdo da equação por uma expressão contendo uma incógnita, você pode perder as raízes. Portanto, é necessário verificar se as raízes da expressão pela qual dividimos ambas as partes da equação são as raízes da equação original.

Vamos pelo primeiro caminho. Obtemos a equação:

Agora introduzimos uma substituição de variável:

Simplifique a expressão e obtenha bi Equação quadrática em relação a t:

Responda: ou

7 .

Esta equação tem a seguinte estrutura:

Para resolvê-lo, você precisa selecionar o quadrado completo no lado esquerdo da equação.

Para selecionar um quadrado completo, você precisa adicionar ou subtrair o produto duplo. Então obtemos o quadrado da soma ou a diferença. Isso é fundamental para uma substituição de variável bem-sucedida.

Vamos começar encontrando o produto duplo. Será a chave para substituir a variável. Em nossa equação, o duplo produto é

Agora vamos descobrir o que é mais conveniente para nós - o quadrado da soma ou diferença. Considere, para começar, a soma das expressões:

Excelente! esta expressão é exatamente igual a duas vezes o produto. Então, para obter o quadrado da soma entre colchetes, você precisa adicionar e subtrair o produto duplo:

Vamos nos familiarizar com equações racionais racionais e fracionárias, dar sua definição, dar exemplos e também analisar os tipos mais comuns de problemas.

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Equação Racional: Definição e Exemplos

O conhecimento das expressões racionais começa na 8ª série da escola. Neste momento, nas aulas de álgebra, os alunos estão cada vez mais começando a cumprir tarefas com equações que contêm expressões racionais em suas notas. Vamos refrescar nossa memória do que é.

Definição 1

equação racionalé uma equação em que ambos os lados contêm expressões racionais.

Em vários manuais, você pode encontrar outra redação.

Definição 2

equação racional- esta é uma equação, cujo registro do lado esquerdo contém uma expressão racional e o da direita contém zero.

As definições que demos para equações racionais são equivalentes, pois significam a mesma coisa. A exatidão de nossas palavras é confirmada pelo fato de que para quaisquer expressões racionais P e Q equações P=Q e P − Q = 0 serão expressões equivalentes.

Agora vamos aos exemplos.

Exemplo 1

Equações racionais:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Equações racionais, assim como equações de outros tipos, podem conter qualquer número de variáveis ​​de 1 a várias. Para começar, vamos considerar exemplos simples, em que as equações conterão apenas uma variável. E então começamos a complicar gradualmente a tarefa.

As equações racionais são divididas em dois grandes grupos: inteiros e fracionários. Vamos ver quais equações se aplicam a cada um dos grupos.

Definição 3

Uma equação racional será um número inteiro se o registro de suas partes esquerda e direita contiver expressões racionais inteiras.

Definição 4

Uma equação racional será fracionária se uma ou ambas as partes contiverem uma fração.

Equações fracionárias racionais necessariamente contêm divisão por uma variável, ou a variável está presente no denominador. Não existe tal divisão na escrita de equações inteiras.

Exemplo 2

3 x + 2 = 0 e (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5 são equações racionais inteiras. Aqui ambas as partes da equação são representadas por expressões inteiras.

1 x - 1 = x 3 e x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1): 5 são equações fracionárias racionais.

Equações racionais inteiras incluem equações lineares e quadráticas.

Resolvendo equações inteiras

A solução de tais equações geralmente se reduz à sua transformação em equações algébricas equivalentes. Isso pode ser alcançado realizando transformações equivalentes das equações de acordo com o seguinte algoritmo:

• primeiro obtemos zero no lado direito da equação, para isso é necessário transferir a expressão que está do lado direito da equação para o lado esquerdo e mudar o sinal;
• então transformamos a expressão do lado esquerdo da equação em um polinômio modo de exibição padrão.

Temos que obter uma equação algébrica. Esta equação será equivalente em relação à equação original. Casos fáceis nos permitem resolver o problema reduzindo toda a equação a uma linear ou quadrática. No caso geral, resolvemos uma equação algébrica de grau n.

Exemplo 3

É necessário encontrar as raízes de toda a equação 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Solução

Vamos transformar a expressão original para obter uma equação algébrica equivalente a ela. Para fazer isso, vamos transferir a expressão contida no lado direito da equação para o lado esquerdo e mudar o sinal para o oposto. Como resultado, obtemos: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Agora vamos transformar a expressão do lado esquerdo em um polinômio da forma padrão e realizar as ações necessárias com este polinômio:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Conseguimos reduzir a solução da equação original para a solução de uma equação quadrática da forma x 2 − 5 x − 6 = 0. O discriminante desta equação é positivo: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Isso significa que haverá duas raízes reais. Vamos encontrá-los usando a fórmula das raízes da equação quadrática:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ou x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ou x 2 = - 1

Vamos verificar a exatidão das raízes da equação que encontramos no decorrer da solução. Para este número, que recebemos, substituímos na equação original: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 e 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. No primeiro caso 63 = 63 , no segundo 0 = 0 . Raízes x=6 e x = − 1 são de fato as raízes da equação dada na condição de exemplo.

Responda: 6 , − 1 .

Vejamos o que significa "poder de toda a equação". Frequentemente, encontraremos esse termo nos casos em que precisamos representar uma equação inteira na forma de uma equação algébrica. Vamos definir o conceito.

Definição 5

Grau de uma equação inteiraé o grau equação algébrica, que é equivalente à equação inteira original.

Se você observar as equações do exemplo acima, poderá estabelecer: o grau de toda essa equação é o segundo.

Se nosso curso se limitasse a resolver equações do segundo grau, a consideração do tópico poderia ser concluída aqui. Mas nem tudo é tão simples. A resolução de equações do terceiro grau é repleta de dificuldades. E para equações acima do quarto grau, não existe fórmulas gerais raízes. A esse respeito, a solução de equações inteiras do terceiro, quarto e outros graus exige que usemos várias outras técnicas e métodos.

A abordagem mais comumente usada para resolver equações racionais inteiras é baseada no método de fatoração. O algoritmo de ações neste caso é o seguinte:

• transferimos a expressão do lado direito para o lado esquerdo para que o zero permaneça no lado direito do registro;
• representamos a expressão do lado esquerdo como um produto de fatores e, em seguida, passamos para um conjunto de várias equações mais simples.

Exemplo 4

Encontre a solução para a equação (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Solução

Movemos a expressão do lado direito do registro para a esquerda com sinal oposto: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Converter o lado esquerdo em um polinômio da forma padrão é impraticável devido ao fato de que isso nos dará uma equação algébrica do quarto grau: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. A facilidade de transformação não justifica todas as dificuldades para resolver tal equação.

É muito mais fácil ir para o outro lado: tiramos o fator comum x 2 − 10 x + 13 . Assim chegamos a uma equação da forma (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Agora substituímos a equação resultante por um conjunto de duas equações quadráticas x 2 − 10 x + 13 = 0 e x 2 − 2 x − 1 = 0 e encontre suas raízes através do discriminante: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Responda: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Da mesma forma, podemos usar o método de introdução de uma nova variável. Este método nos permite passar para equações equivalentes com potências menores que as da equação inteira original.

Exemplo 5

A equação tem raízes? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Solução

Se agora tentarmos reduzir uma equação racional inteira a uma algébrica, obteremos uma equação de grau 4, que não tem raízes racionais. Portanto, será mais fácil seguirmos o outro caminho: introduzir uma nova variável y, que substituirá a expressão na equação x 2 + 3 x.

Agora vamos trabalhar com toda a equação (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Transferimos o lado direito da equação para o lado esquerdo com o sinal oposto e realizamos as transformações necessárias. Nós temos: e 2 + 4 e + 3 = 0. Vamos encontrar as raízes da equação quadrática: y = − 1 e y = - 3.

Agora vamos fazer a substituição inversa. Obtemos duas equações x 2 + 3 x = − 1 e x 2 + 3 x = - 3 . Vamos reescrevê-los como x 2 + 3 x + 1 = 0 e x 2 + 3 x + 3 = 0. Usamos a fórmula das raízes da equação quadrática para encontrar as raízes da primeira equação obtida: - 3 ± 5 2 . O discriminante da segunda equação é negativo. Isso significa que a segunda equação não tem raízes reais.

Responda:- 3 ± 5 2

Equações inteiras altos graus encontrar em tarefas com bastante frequência. Não há necessidade de ter medo deles. Deve estar pronto para aplicar método não padrão suas soluções, incluindo uma série de transformações artificiais.

Solução de equações fracionárias racionais

Começamos nossa consideração deste subtópico com um algoritmo para resolver equações fracionárias racionais da forma p (x) q (x) = 0 , onde p(x) e q(x) são expressões racionais inteiras. A solução de outras equações fracionárias racionais sempre pode ser reduzida à solução de equações da forma indicada.

O método mais comumente usado para resolver as equações p (x) q (x) = 0 é baseado na seguinte afirmação: fração vc, Onde vé um número diferente de zero, igual a zero apenas nos casos em que o numerador da fração é igual a zero. Seguindo a lógica da afirmação acima, podemos afirmar que a solução da equação p (x) q (x) = 0 pode ser reduzida ao cumprimento de duas condições: p(x)=0 e q(x) ≠ 0. Sobre isso, um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias da forma p (x) q (x) = 0 é construído:

• encontramos a solução de toda a equação racional p(x)=0;
• verificamos se a condição é satisfeita para as raízes encontradas durante a solução q(x) ≠ 0.

Se esta condição for atendida, então a raiz encontrada, caso contrário, a raiz não é uma solução para o problema.

Exemplo 6

Encontre as raízes da equação 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Solução

Estamos lidando com uma equação racional fracionária da forma p (x) q (x) = 0 , na qual p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Vamos começar a resolver a equação linear 3 x - 2 = 0. A raiz desta equação será x = 2 3.

Vamos verificar a raiz encontrada, se ela satisfaz a condição 5 x 2 - 2 ≠ 0. Para fazer isso, substitua um valor numérico na expressão. Obtemos: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

A condição está satisfeita. Significa que x = 2 3é a raiz da equação original.

Responda: 2 3 .

Existe outra opção para resolver equações racionais fracionárias p (x) q (x) = 0 . Lembre-se que esta equação é equivalente a toda a equação p(x)=0 na região valores permitidos variável x da equação original. Isso nos permite usar o seguinte algoritmo para resolver as equações p(x) q(x) = 0:

• resolva a equação p(x)=0;
• encontre o intervalo de valores aceitáveis ​​para a variável x;
• tomamos as raízes que se encontram na região de valores admissíveis da variável x como as raízes desejadas da equação racional fracionária original.

Exemplo 7

Resolva a equação x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Solução

Primeiro, vamos resolver a equação quadrática x 2 − 2 x − 11 = 0. Para calcular suas raízes, usamos a fórmula da raiz para um segundo coeficiente par. Nós temos D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12, ex = 1 ± 2 3 .

Agora podemos encontrar o ODV de x para a equação original. Estes são todos os números para os quais x 2 + 3 x ≠ 0. É o mesmo que x (x + 3) ≠ 0, onde x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Agora vamos verificar se as raízes x = 1 ± 2 3 obtidas na primeira etapa da solução estão dentro da faixa de valores aceitáveis ​​da variável x . Vemos o que entra. Isso significa que a equação racional fracionária original tem duas raízes x = 1 ± 2 3 .

Responda: x = 1 ± 2 3

O segundo método de solução descrito mais fácil que o primeiro nos casos em que é fácil encontrar a área dos valores admissíveis da variável x e as raízes da equação p(x)=0 irracional. Por exemplo, 7 ± 4 26 9 . As raízes podem ser racionais, mas com um grande numerador ou denominador. Por exemplo, 127 1101 e − 31 59 . Isso economiza tempo para verificar a condição. q(x) ≠ 0: é muito mais fácil excluir raízes que não se encaixam, de acordo com a ODZ.

Quando as raízes da equação p(x)=0 são inteiros, é mais conveniente usar o primeiro dos algoritmos descritos para resolver equações da forma p (x) q (x) = 0 . Encontrar as raízes de uma equação inteira mais rapidamente p(x)=0 e, em seguida, verifique se a condição é atendida para eles q(x) ≠ 0, e não encontrar a ODZ, e então resolver a equação p(x)=0 nesta ODZ. Isso se deve ao fato de que, nesses casos, geralmente é mais fácil fazer uma verificação do que encontrar a ODZ.

Exemplo 8

Encontre as raízes da equação (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Solução

Começamos considerando toda a equação (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 e encontrando suas raízes. Para isso, aplicamos o método de resolução de equações por meio da fatoração. Acontece que a equação original é equivalente a um conjunto de quatro equações 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, das quais três são lineares e um é quadrado. Encontramos as raízes: da primeira equação x = 1 2, a partir do segundo x=6, do terceiro - x \u003d 7, x \u003d - 2, do quarto - x = − 1.

Vamos verificar as raízes obtidas. É difícil para nós determinar a ODZ neste caso, pois para isso teremos que resolver uma equação algébrica do quinto grau. Será mais fácil verificar a condição segundo a qual o denominador da fração, que está no lado esquerdo da equação, não deve se anular.

Por sua vez, substitua as raízes no lugar da variável x na expressão x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 e calcule seu valor:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠0;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

A verificação realizada permite estabelecer que as raízes da equação racional fracionária original são 1 2 , 6 e − 2 .

Responda: 1 2 , 6 , - 2

Exemplo 9

Encontre as raízes da equação racional fracionária 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Solução

Vamos começar com a equação (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Vamos encontrar suas raízes. É mais fácil para nós representar esta equação como uma combinação de quadrado e equações lineares 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 e x − 2 = 0.

Usamos a fórmula das raízes de uma equação quadrática para encontrar as raízes. Obtemos duas raízes x = 7 ± 69 10 da primeira equação e da segunda x=2.

Substituir o valor das raízes na equação original para verificar as condições será bastante difícil para nós. Será mais fácil determinar o LPV da variável x . Neste caso, o DPV da variável x é todos os números, exceto aqueles para os quais a condição é satisfeita x 2 + 5 x − 14 = 0. Obtemos: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Agora vamos verificar se as raízes que encontramos pertencem ao intervalo de valores aceitáveis ​​para a variável x.

As raízes x = 7 ± 69 10 - pertencem, portanto, são as raízes da equação original, e x=2- não pertence, portanto, é uma raiz estranha.

Responda: x = 7 ± 69 10 .

Examinemos separadamente os casos em que o numerador de uma equação racional fracionária da forma p (x) q (x) = 0 contém um número. Nesses casos, se o numerador contiver um número diferente de zero, a equação não terá raízes. Se este número for igual a zero, então a raiz da equação será qualquer número da ODZ.

Exemplo 10

Resolva a equação racional fracionária - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Solução

Esta equação não terá raízes, pois o numerador da fração do lado esquerdo da equação contém um número diferente de zero. Isso significa que para quaisquer valores de x o valor da fração dada na condição do problema não será igual a zero.

Responda: sem raízes.

Exemplo 11

Resolva a equação 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Solução

Como o numerador da fração é zero, a solução da equação será qualquer valor de x da variável ODZ x.

Agora vamos definir a ODZ. Incluirá todos os valores x para os quais x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluções de equação x 4 + 5 x 3 = 0 são 0 e − 5 , uma vez que esta equação é equivalente à equação x 3 (x + 5) = 0, e ela, por sua vez, é equivalente ao conjunto de duas equações x 3 = 0 e x + 5 = 0 onde essas raízes são visíveis. Chegamos à conclusão de que a faixa desejada de valores aceitáveis ​​é qualquer x, exceto x=0 e x = -5.

Acontece que a equação racional fracionária 0 x 4 + 5 x 3 = 0 tem conjunto infinito soluções, que são quaisquer números diferentes de zero e - 5 .

Responda: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Agora vamos falar sobre equações racionais fracionárias de forma arbitrária e métodos para resolvê-las. Eles podem ser escritos como r(x) = s(x), Onde r(x) e s(x) são expressões racionais, e pelo menos uma delas é fracionária. A solução de tais equações é reduzida à solução de equações da forma p (x) q (x) = 0 .

Já sabemos que podemos obter uma equação equivalente transferindo a expressão do lado direito da equação para o lado esquerdo com o sinal oposto. Isso significa que a equação r(x) = s(x)é equivalente à equação r (x) − s (x) = 0. Também já discutimos como converter uma expressão racional em uma fração racional. Graças a isso, podemos facilmente transformar a equação r (x) − s (x) = 0 em sua fração racional idêntica da forma p (x) q (x) .

Então, passamos da equação racional fracionária original r(x) = s(x) a uma equação da forma p (x) q (x) = 0 , que já aprendemos a resolver.

Deve-se notar que ao fazer transições de r (x) − s (x) = 0 para p (x) q (x) = 0 e depois para p(x)=0 podemos não levar em conta a expansão do intervalo de valores válidos da variável x .

É bastante realista que a equação original r(x) = s(x) e equação p(x)=0 como resultado das transformações, eles deixarão de ser equivalentes. Então a solução da equação p(x)=0 pode nos dar raízes que serão estranhas r(x) = s(x). A este respeito, em cada caso, é necessário realizar uma verificação por qualquer um dos métodos descritos acima.

Para facilitar o estudo do tópico, generalizamos todas as informações em um algoritmo para resolver uma equação racional fracionária da forma r(x) = s(x):

• transferimos a expressão do lado direito com o sinal oposto e obtemos zero à direita;
• transformamos a expressão original em uma fração racional p (x) q (x) executando ações sequencialmente com frações e polinômios;
• resolva a equação p(x)=0;
• revelamos raízes estranhas verificando sua pertença à ODZ ou substituindo na equação original.

Visualmente, a cadeia de ações ficará assim:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → abandono r o n d e r o on s

Exemplo 12

Resolva a equação racional fracionária x x + 1 = 1 x + 1 .

Solução

Vamos passar para a equação x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Vamos transformar a expressão racional fracionária no lado esquerdo da equação para a forma p (x) q (x) .

Para isso temos que trazer frações racionais a um denominador comum e simplifique a expressão:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2x - 1x (x + 1)

Para encontrar as raízes da equação - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, precisamos resolver a equação − 2 x − 1 = 0. Obtemos uma raiz x = - 1 2.

Resta-nos realizar a verificação por qualquer um dos métodos. Vamos considerar os dois.

Substitua o valor resultante na equação original. Obtemos - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Chegamos à igualdade numérica correta − 1 = − 1 . Significa que x = − 1 2é a raiz da equação original.

Agora vamos verificar através da ODZ. Vamos determinar a área de valores aceitáveis ​​para a variável x. Este será o conjunto inteiro de números, exceto − 1 e 0 (quando x = − 1 e x = 0, os denominadores das frações desaparecem). A raiz que temos x = − 1 2 pertence ao ODZ. Isso significa que é a raiz da equação original.

Responda: − 1 2 .

Exemplo 13

Encontre as raízes da equação x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Solução

Estamos lidando com uma equação racional fracionária. Portanto, vamos agir de acordo com o algoritmo.

Vamos mover a expressão do lado direito para o lado esquerdo com o sinal oposto: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Vamos realizar as transformações necessárias: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Chegamos à equação x=0. A raiz desta equação é zero.

Vamos verificar se essa raiz é estrangeira para a equação original. Substitua o valor na equação original: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Como você pode ver, a equação resultante não faz sentido. Isso significa que 0 é uma raiz estranha e a equação racional fracionária original não tem raízes.

Responda: sem raízes.

Se não incluímos outras transformações equivalentes no algoritmo, isso não significa que elas não possam ser usadas. O algoritmo é universal, mas foi projetado para ajudar, não limitar.

Exemplo 14

Resolva a equação 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Solução

A maneira mais fácil é resolver a equação racional fracionária dada de acordo com o algoritmo. Mas há outra maneira. Vamos considerá-lo.

Subtraia das partes direita e esquerda 7, obtemos: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Disso podemos concluir que a expressão no denominador do lado esquerdo deve ser igual ao número recíproco do número do lado direito, ou seja, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Subtraia de ambas as partes 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Por analogia 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, de onde 1 5 - x 2 \u003d 1 3, e mais 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Vamos verificar para estabelecer se as raízes encontradas são as raízes da equação original.

Responda: x = ± 2

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§ 1º Equações racionais inteiras e fracionárias

Nesta lição, analisaremos conceitos como uma equação racional, uma expressão racional, uma expressão inteira, uma expressão fracionária. Considere a solução de equações racionais.

Uma equação racional é uma equação em que os lados esquerdo e direito são expressões racionais.

As expressões racionais são:

Fracionado.

Uma expressão inteira é composta de números, variáveis, potências inteiras usando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero.

Por exemplo:

Em expressões fracionárias, há uma divisão por uma variável ou uma expressão com uma variável. Por exemplo:

Uma expressão fracionária não faz sentido para todos os valores das variáveis ​​incluídas nela. Por exemplo, a expressão

em x = -9 não faz sentido, porque em x = -9 o denominador vai para zero.

Isso significa que uma equação racional pode ser inteira e fracionária.

Uma equação racional inteira é uma equação racional na qual os lados esquerdo e direito são expressões inteiras.

Por exemplo:

Uma equação racional fracionária é uma equação racional na qual os lados esquerdo ou direito são expressões fracionárias.

Por exemplo:

§ 2 Solução de uma equação racional inteira

Considere a solução de uma equação racional inteira.

Por exemplo:

Multiplique ambos os lados da equação pelo menor denominador comum dos denominadores das frações incluídas nela.

Por esta:

1. encontre um denominador comum para os denominadores 2, 3, 6. É igual a 6;

2. encontre um fator adicional para cada fração. Para fazer isso, divida o denominador comum 6 por cada denominador

multiplicador adicional para a fração

multiplicador adicional para a fração

3. multiplique os numeradores das frações pelos fatores adicionais correspondentes a elas. Assim, obtemos a equação

que é equivalente a esta equação

Vamos abrir os colchetes à esquerda, mover a parte direita para a esquerda, mudando o sinal do termo durante a transferência para o oposto.

Damos termos semelhantes do polinômio e obtemos

Vemos que a equação é linear.

Resolvendo, encontramos que x = 0,5.

§ 3º Solução de uma equação racional fracionária

Considere a solução de uma equação racional fracionária.

Por exemplo:

1. Multiplique ambos os lados da equação pelo mínimo denominador comum dos denominadores das frações racionais nela incluídas.

Encontre o denominador comum para os denominadores x + 7 e x - 1.

É igual ao seu produto (x + 7)(x - 1).

2. Vamos encontrar um fator adicional para cada fração racional.

Para fazer isso, dividimos o denominador comum (x + 7) (x - 1) por cada denominador. Multiplicador adicional para frações

igual a x - 1,

multiplicador adicional para a fração

é igual a x+7.

3. Multiplique os numeradores das frações pelos fatores adicionais correspondentes.

Obtemos a equação (2x - 1) (x - 1) \u003d (3x + 4) (x + 7), que é equivalente a esta equação

4. Esquerda e direita multiplique o binômio pelo binômio e obtenha a seguinte equação

5. Transferimos a parte direita para a esquerda, trocando o sinal de cada termo ao transferir para o oposto:

6. Apresentamos membros semelhantes do polinômio:

7. Você pode dividir ambas as partes por -1. Obtemos uma equação quadrática:

8. Tendo resolvido, encontraremos as raízes

Já que na equação

as partes esquerda e direita são expressões fracionárias, e em expressões fracionárias, para alguns valores das variáveis, o denominador pode desaparecer, então é necessário verificar se o denominador comum não desaparece quando x1 e x2 são encontrados.

Em x = -27 o denominador comum (x + 7)(x - 1) não desaparece, em x = -1 o denominador comum também é diferente de zero.

Portanto, ambas as raízes -27 e -1 são raízes da equação.

Ao resolver uma equação racional fracionária, é melhor indicar imediatamente a área dos valores permitidos. Elimine aqueles valores em que o denominador comum vai para zero.

Considere outro exemplo de resolução de uma equação racional fracionária.

Por exemplo, vamos resolver a equação

Decompomos o denominador da fração do lado direito da equação em fatores

Obtemos a equação

Encontre um denominador comum para os denominadores (x - 5), x, x (x - 5).

Será a expressão x (x - 5).

agora vamos encontrar o intervalo de valores admissíveis da equação

Para fazer isso, igualamos o denominador comum a zero x (x - 5) \u003d 0.

Obtemos uma equação, resolvendo-a, descobrimos que em x \u003d 0 ou em x \u003d 5, o denominador comum desaparece.

Então x = 0 ou x = 5 não podem ser as raízes da nossa equação.

Agora você pode encontrar multiplicadores adicionais.

Multiplicador adicional para frações racionais

multiplicador adicional para frações

será (x - 5),

e o fator adicional da fração

Multiplicamos os numeradores pelos fatores adicionais correspondentes.

Obtemos a equação x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Vamos abrir os colchetes à esquerda e à direita, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Vamos mover os termos da direita para a esquerda alterando o sinal dos termos a serem movidos:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

E depois de trazer termos semelhantes, obtemos a equação quadrática x2 - 3x - 10 \u003d 0. Tendo resolvido, encontramos as raízes x1 \u003d -2; x2 = 5.

Mas já descobrimos que em x = 5 o denominador comum x(x - 5) se anula. Portanto, a raiz da nossa equação

será x = -2.

§ quatro Sumário breve lição

Importante lembrar:

Ao resolver equações racionais fracionárias, você deve fazer o seguinte:

1. Encontre o denominador comum das frações incluídas na equação. Além disso, se os denominadores das frações podem ser decompostos em fatores, decomponha-os em fatores e encontre o denominador comum.

2. Multiplique ambos os lados da equação por um denominador comum: encontre fatores adicionais, multiplique numeradores por fatores adicionais.

3. Resolva a equação inteira resultante.

4. Exclua de suas raízes aquelas que transformam o denominador comum em zero.

Lista de literatura usada:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Sob a direção de Telyakovsky S.A. Álgebra: livro. para 8 células. Educação geral instituições. - M.: Educação, 2013.
2. Mordkovitch A. G. Álgebra. Grau 8: Em duas partes. Parte 1: Proc. para educação geral instituições. - M.: Mnemosine.
3. Rurukin A. N. Desenvolvimentos de aulas em álgebra: 8ª série. - M.: VAKO, 2010.
4. Álgebra 8ª série: planos de aula de acordo com o livro de Yu.N. Makarycheva, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasiev, L. A. Tapilina. - Volgogrado: Professor, 2005.