Como fatorar uma fórmula trinômio quadrado. O trinômio quadrado e suas raízes

Nesta lição, aprenderemos como decompor trinômios quadrados em fatores lineares. Para isso, é necessário relembrar o teorema de Vieta e seu inverso. Essa habilidade nos ajudará a decompor rápida e convenientemente trinômios quadrados em fatores lineares e também simplificar a redução de frações compostas por expressões.

Então, de volta à equação quadrática, onde .

O que temos no lado esquerdo é chamado de trinômio quadrado.

O teorema é verdadeiro: Se são as raízes de um trinômio quadrado, então a identidade é verdadeira

Onde é o coeficiente principal, são as raízes da equação.

Então, temos uma equação quadrática - um trinômio quadrado, onde as raízes Equação quadrática também chamado de raízes de um trinômio quadrado. Portanto, se tivermos as raízes de um trinômio quadrado, esse trinômio será decomposto em fatores lineares.

Prova:

A prova deste fato é feita usando o teorema de Vieta, que consideramos nas lições anteriores.

Vamos lembrar o que o teorema de Vieta nos diz:

Se são as raízes de um trinômio quadrado para o qual , então .

Este teorema implica a seguinte afirmação de que .

Vemos que, de acordo com o teorema de Vieta, ou seja, substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos a seguinte expressão

Q.E.D.

Lembre-se de que provamos o teorema de que se são as raízes de um trinômio quadrado, então a decomposição é válida.

Agora vamos relembrar um exemplo de equação quadrática, para a qual selecionamos as raízes usando o teorema de Vieta. A partir deste fato podemos obter a seguinte igualdade graças ao teorema provado:

Agora vamos verificar a exatidão deste fato simplesmente expandindo os colchetes:

Vemos que fatoramos corretamente, e qualquer trinômio, se tiver raízes, pode ser fatorado de acordo com este teorema em fatores lineares de acordo com a fórmula

No entanto, vamos verificar se para qualquer equação tal fatoração é possível:

Vamos pegar a equação por exemplo. Primeiro, vamos verificar o sinal do discriminante

E lembramos que para cumprir o teorema que aprendemos, D deve ser maior que 0, então em este caso a fatoração pelo teorema estudado é impossível.

Portanto, formulamos um novo teorema: se um trinômio quadrado não tem raízes, então não pode ser decomposto em fatores lineares.

Assim, consideramos o teorema de Vieta, a possibilidade de decompor um trinômio quadrado em fatores lineares, e agora vamos resolver vários problemas.

Tarefa nº 1

Neste grupo, vamos realmente resolver o problema inverso ao proposto. Tínhamos uma equação e encontramos suas raízes, decompondo em fatores. Aqui faremos o contrário. Digamos que temos as raízes de uma equação quadrática

O problema inverso é este: escreva uma equação quadrática de modo que sejam suas raízes.

Existem 2 maneiras de resolver este problema.

Como são as raízes da equação, então é uma equação quadrática cujas raízes são números. Agora vamos abrir os colchetes e verificar:

Esta foi a primeira maneira que criamos uma equação quadrática com raízes dadas que não tem outras raízes, já que qualquer equação quadrática tem no máximo duas raízes.

Este método envolve o uso do teorema inverso de Vieta.

Se são as raízes da equação, então elas satisfazem a condição de que .

Para a equação quadrática reduzida , , ou seja, neste caso, e .

Assim, criamos uma equação quadrática que tem as raízes dadas.

Tarefa nº 2

Você precisa reduzir a fração.

Temos um trinômio no numerador e um trinômio no denominador, e os trinômios podem ou não ser fatorados. Se tanto o numerador quanto o denominador são fatorados, então entre eles pode haver fatores iguais que podem ser reduzidos.

Em primeiro lugar, é necessário fatorar o numerador.

Primeiro, você precisa verificar se esta equação pode ser fatorada, encontre o discriminante . Como , então o sinal depende do produto (deve ser menor que 0), neste exemplo, ou seja, dada equação tem raízes.

Para resolver, usamos o teorema de Vieta:

Neste caso, como estamos lidando com raízes, será muito difícil simplesmente pegar as raízes. Mas vemos que os coeficientes estão balanceados, ou seja, se assumirmos que , e substituirmos esse valor na equação, obtém-se o seguinte sistema: ou seja, 5-5=0. Assim, escolhemos uma das raízes desta equação quadrática.

Vamos procurar a segunda raiz substituindo o que já é conhecido no sistema de equações, por exemplo, , ou seja. .

Assim, encontramos as duas raízes da equação quadrática e podemos substituir seus valores na equação original para fatorá-la:

Lembre-se do problema original, precisávamos reduzir a fração.

Vamos tentar resolver o problema substituindo em vez do numerador .

É necessário não esquecer que neste caso o denominador não pode ser igual a 0, ou seja,.

Se essas condições forem atendidas, reduzimos a fração original à forma .

Tarefa nº 3 (tarefa com um parâmetro)

Em quais valores do parâmetro é a soma das raízes da equação quadrática

Se as raízes desta equação existem, então , a questão é quando .

Um trinômio quadrado é um polinômio da forma ax^2 + bx + c, onde x é uma variável, a, b e c são alguns números, além disso, a ≠ 0.

Para fatorar um trinômio, você precisa conhecer as raízes desse trinômio. (a seguir um exemplo no trinômio 5x^2 + 3x- 2)

Nota: o valor do trinômio quadrado 5x^2 + 3x - 2 depende do valor de x. Por exemplo: Se x = 0, então 5x^2 + 3x - 2 = -2

Se x = 2, então 5x^2 + 3x - 2 = 24

Se x = -1, então 5x^2 + 3x - 2 = 0

Quando x \u003d -1, o trinômio quadrado 5x ^ 2 + 3x - 2 desaparece, neste caso o número -1 é chamado raiz de um trinômio quadrado.

Como obter a raiz da equação

Vamos explicar como chegamos à raiz desta equação. Primeiro você precisa conhecer claramente o teorema e a fórmula pela qual trabalharemos:

“Se x1 e x2 são as raízes do trinômio quadrado ax^2 + bx + c, então ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2).

X \u003d (-b ± √ (b ^ 2-4ac)) / 2a \

Esta fórmula para encontrar as raízes de um polinômio é a fórmula mais primitiva, resolvendo pela qual você nunca ficará confuso.

Expressão 5x^2 + 3x - 2.

1. Igualar a zero: 5x^2 + 3x - 2 = 0

2. Encontramos as raízes da equação quadrática, para isso substituímos os valores na fórmula (a é o coeficiente de X ^ 2, b é o coeficiente de X, um termo livre, ou seja, a figura sem X):

Encontramos a primeira raiz com um sinal de mais na frente da raiz quadrada:

X1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4

A segunda raiz com um sinal de menos antes da raiz quadrada:

X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1

Então encontramos as raízes do trinômio quadrado. Para ter certeza de que eles estão corretos, você pode verificar: primeiro, substituímos a primeira raiz na equação, depois a segunda:

1) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0

5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0

2) 5x^2 + 3x - 2 = 0

5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0

5 * 1 + (-3) – 2 = 0

5 – 3 – 2 = 0

Se depois de substituir todas as raízes, a equação desaparece, então a equação é resolvida corretamente.

3. Agora vamos usar a fórmula do teorema: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), lembre-se que X1 e X2 são as raízes da equação quadrática. Então: 5x^2 + 3x - 2 = 5 * (x - 0,4) * (x-(-1))

5x^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)

4. Para ter certeza de que a decomposição está correta, você pode simplesmente multiplicar os colchetes:

5(x - 0,4)(x + 1) = 5(x^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x - 0,4) = 5x^2 + 3 - 2. O que confirma a exatidão da decisão.

A segunda opção para encontrar as raízes de um trinômio quadrado

Outra opção para encontrar as raízes de um trinômio quadrado é o teorema inverso do teorema de Viette. Aqui as raízes da equação quadrática são encontradas pelas fórmulas: x1 + x2 = -(b), x1 * x2 = c. Mas é importante entender que esse teorema só pode ser usado se o coeficiente a \u003d 1, ou seja, o número na frente de x ^ 2 \u003d 1.

Por exemplo: x^2 - 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.

Resolvendo: x1 + x2 = - (-2), x1 + x2 = 2

Agora é importante pensar em quais números no produto dão uma unidade? Naturalmente isso 1 * 1 e -1 * (-1) . A partir desses números, selecionamos aqueles que correspondem à expressão x1 + x2 = 2, claro - isso é 1 + 1. Então encontramos as raízes da equação: x1 = 1, x2 = 1. Isso é fácil de verificar se você substitui x ^ 2 na expressão - 2x + 1 = 0.

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O mundo está imerso em um grande número de números. Quaisquer cálculos ocorrem com a ajuda deles.

As pessoas aprendem os números para não cair em enganos mais tarde na vida. É necessário dedicar uma quantidade enorme de tempo para ser educado e calcular seu próprio orçamento.

A matemática é Ciências Exatas que desempenha um grande papel na vida. Na escola, as crianças aprendem números e, em seguida, ações sobre eles.

As ações nos números são completamente diferentes: multiplicação, expansão, adição e outras. Além de fórmulas simples, ações mais complexas também são usadas no estudo da matemática. Há um grande número de fórmulas pelas quais quaisquer valores são conhecidos.

Na escola, assim que a álgebra aparece, fórmulas de simplificação são adicionadas à vida do aluno. Existem equações quando há dois números desconhecidos, mas encontre de uma maneira simples não funciona. Um trinômio é um composto de três monômios, com a ajuda de método simples subtrações e adições. O trinômio é resolvido usando o teorema de Vieta e o discriminante.

A fórmula para fatorar um trinômio quadrado em fatores

Existem dois corretos e soluções simples exemplo:

• discriminante;
• Teorema de Vieta.

Um trinômio quadrado tem um quadrado desconhecido, assim como um número sem quadrado. A primeira opção para resolver o problema usa a fórmula Vieta. Isso é fórmula simples se os dígitos antes da incógnita são valor mínimo.

Para outras equações, onde o número está na frente da incógnita, a equação deve ser resolvida através do discriminante. Acabou decisão difícil, mas o discriminante é usado com muito mais frequência do que o teorema de Vieta.

Inicialmente, para encontrar todos variáveis ​​de equaçãoé necessário elevar o exemplo a 0. A solução do exemplo pode ser verificada e saber se os números estão ajustados corretamente.

Discriminante

1. É necessário igualar a equação a 0.

2. Cada número antes de x será chamado de números a, b, c. Como não há número antes do primeiro quadrado x, ele equivale a 1.

3. Agora a solução da equação começa pelo discriminante:

4. Agora encontramos o discriminante e encontramos dois x. A diferença é que em um caso b será precedido por um sinal de mais e no outro por um sinal de menos:

5. Resolvendo dois números, resultou -2 e -1. Substitua na equação original:

6. Neste exemplo, resultaram dois opções corretas. Se ambas as soluções estiverem corretas, então cada uma delas é verdadeira.

Resolva através do discriminante e mais equação complexa. Mas se o valor do próprio discriminante for menor que 0, então o exemplo está errado. O discriminante na busca está sempre abaixo da raiz e um valor negativo não pode estar na raiz.

Teorema de Vieta

É usado para resolver problemas fáceis, onde o primeiro x não é precedido por um número, ou seja, a=1. Se a opção corresponder, o cálculo é realizado através do teorema de Vieta.

Para resolver qualquer trinômioé necessário elevar a equação a 0. Os primeiros passos para o discriminante e o teorema de Vieta são os mesmos.

2. Agora existem diferenças entre os dois métodos. O teorema de Vieta usa não apenas cálculos "secos", mas também lógica e intuição. Cada número tem sua própria letra a, b, c. O teorema usa a soma e o produto de dois números.

Lembrar! O número b é sempre adicionado com sinal oposto, e o número c permanece inalterado!

Substituindo valores de dados no exemplo , Nós temos:

3. Usando o método lógico, substituímos os números mais adequados. Considere todas as soluções possíveis:

1. Os números são 1 e 2. Quando somados, obtemos 3, mas se multiplicarmos, não obtemos 4. Não é adequado.
2. Valor 2 e -2. Quando multiplicado, será -4, mas quando adicionado, resulta em 0. Não adequado.
3. Números 4 e -1. Como a multiplicação contém um valor negativo, significa que um dos números ficará com um sinal de menos. Adequado para adição e multiplicação. Opção correta.

4. Resta apenas verificar, dispor os números e verificar se a opção escolhida está correta.

5. Graças a uma verificação online, descobrimos que -1 não corresponde à condição do exemplo, o que significa que é a solução errada.

Ao adicionar um valor negativo no exemplo, o número deve ser colocado entre colchetes.

Em matemática sempre haverá tarefas simples e complexo. A própria ciência inclui uma variedade de problemas, teoremas e fórmulas. Se você entender e aplicar corretamente o conhecimento, quaisquer dificuldades com cálculos serão insignificantes.

A matemática não precisa de memorização constante. Você precisa aprender a entender a solução e aprender algumas fórmulas. Aos poucos, por conclusões lógicas, você pode resolver problemas semelhantes, equações. Tal ciência pode parecer muito difícil à primeira vista, mas se mergulharmos no mundo dos números e das tarefas, a visão mudará drasticamente em lado melhor.

Especialidades técnicas sempre serão os mais procurados do mundo. Agora, no mundo tecnologias modernas A matemática tornou-se um atributo indispensável de qualquer campo. Você deve sempre se lembrar de propriedades úteis matemática.

Decomposição de um trinômio com colchetes

Além de resolver da maneira usual, há outra - decomposição em colchetes. Usado com a fórmula de Vieta.

1. Iguale a equação a 0.

machado 2 +bx+c= 0

2. As raízes da equação permanecem as mesmas, mas em vez de zero, elas agora usam fórmulas de expansão de colchetes.

machado 2 + bx + c = a (x-x 1) (x-x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Solução x=-1, x=3

O trinômio quadradoé chamado de polinômio da forma ax2+bx +c, Onde x- variável, uma,b,c são alguns números e a ≠ 0.

Coeficiente uma chamado coeficiente sênior, c – Membro grátis trinômio quadrado.

Exemplos de trinômios quadrados:

2 x 2 + 5x + 4(aqui uma = 2, b = 5, c = 4)

x 2 - 7 x + 5(aqui uma = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(aqui uma = 9, b = 9, c = -9)

Coeficiente b ou coeficiente c ou ambos os coeficientes podem ser iguais a zero ao mesmo tempo. Por exemplo:

5 x 2 + 3x(aquia = 5b = 3c = 0, então o valor de c não está na equação).

6x 2 - 8 (aquia=6, b=0, c=-8)

2x2(aquia=2, b=0, c=0)

O valor de uma variável em que o polinômio se anula é chamado raiz polinomial.

Para encontrar as raízes de um trinômio quadradoax2+ bx + c, devemos igualá-lo a zero -
ou seja, resolver a equação quadráticaax2+ bx + c= 0 (consulte a seção "Equação quádrica").

Fatoração de um trinômio quadrado

Exemplo:

Fatoramos o trinômio 2 x 2 + 7x - 4.

Vemos o coeficiente uma = 2.

Agora vamos encontrar as raízes do trinômio. Para fazer isso, igualamos a zero e resolvemos a equação

2x 2 + 7x - 4 = 0.

Como essa equação é resolvida - consulte a seção “Fórmulas das raízes de uma equação quadrática. Discriminante". Aqui nomeamos imediatamente o resultado dos cálculos. Nosso trinômio tem duas raízes:

x 1 \u003d 1/2, x 2 \u003d -4.

Vamos substituir os valores das raízes em nossa fórmula, tirando entre parênteses o valor do coeficiente uma, e obtemos:

2x 2 + 7x - 4 = 2(x - 1/2) (x + 4).

O resultado obtido pode ser escrito de forma diferente multiplicando o coeficiente 2 pelo binômio x – 1/2:

2x 2 + 7x - 4 = (2x - 1) (x + 4).

O problema está resolvido: o trinômio é decomposto em fatores.

Tal decomposição pode ser obtida para qualquer trinômio quadrado com raízes.

ATENÇÃO!

Se o discriminante de um trinômio quadrado é zero, então esse trinômio tem uma raiz, mas ao decompor o trinômio, essa raiz é tomada como o valor de duas raízes - ou seja, como o mesmo valor x 1 ex 2 .

Por exemplo, um trinômio tem uma raiz igual a 3. Então x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 3.