Como você sabe, existem equações contendo duas variáveis, por exemplo, expressões da forma:

Além dos valores numéricos, essas expressões contêm dois monômios que incluem variáveis ​​desconhecidas. Já consideramos em vídeos anteriores as propriedades de tais expressões, bem como formas de encontrar raízes.

Qualquer equação de duas variáveis ​​tem uma resposta na forma de um par de números que são valores de x e y. Na maioria das vezes, há um conjunto infinito de respostas, correspondendo a dois conjuntos de números x e y. Além disso, tais equações podem ter apenas uma raiz ou nenhuma resposta. Mas, em qualquer caso, se um certo valor de x for dado, então se houver uma igualdade real, haverá um valor correspondente de y. Em outras palavras, a resposta para uma equação de duas variáveis ​​é sempre um par de números.

Equação do tipo:

pode ser transformado identicamente, obtendo uma expressão equivalente:

y \u003d 2,5 - 0,5x

Movendo os termos de forma a deixar y no lado esquerdo e x e todos os outros monômios no lado direito, e dividindo ambos os lados da expressão por 2, obtemos uma equação equivalente. Na verdade, é algum tipo de dependência entre o argumento x e o valor y. Nesta expressão, essa dependência é representada pela forma linear. Mas também pode ser representado graficamente exibindo um gráfico matemático em um sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, os valores dos argumentos são calculados ao longo do eixo das abcissas e os valores da função - ao longo do eixo das ordenadas.

Em outras palavras, no caso de equações com duas variáveis, podemos transformá-las identicamente em fórmulas convenientes equivalentes, e então usar os pares de raízes correspondentes à solução correta dessa equação como as coordenadas dos pontos no sistema cartesiano. Várias soluções para as equações darão vários pontos conectados em um único gráfico - uma espécie de linha curva.

Ao mesmo tempo, dependências que podem ser traçadas entre variáveis ​​em uma equação nem sempre são funções na definição estrita deste conceito. Por exemplo, considere duas equações:

À primeira vista, ambas as igualdades são bastante semelhantes. Vamos construir um gráfico de dependência para cada um deles. Como podemos ver no vídeo, os gráficos dessas expressões são bem diferentes entre si. Se para a equação y + x \u003d 9 o gráfico é uma linha reta que não passa pelo centro de coordenadas, então y 2 + x 2 \u003d 9 tem um gráfico na forma de um círculo regular circunscrito com um centro em o ponto (0, 0). Se tentarmos usar o gráfico para determinar o valor de y para um dado x, veremos que cada argumento corresponde a dois valores de y. Qualquer perpendicular traçada ao eixo x dentro do círculo necessariamente cruzará o círculo em dois pontos com o mesmo argumento, mas com valores de y opostos. Matematicamente, isso pode ser explicado da seguinte forma:

x 2 + y 2 = a

y 2 \u003d a - x 2

y = raiz quadrada (a - x 2)

Qualquer valor negativo não pode dar raízes quadradas, e qualquer positivo sempre forma um par de números como resposta, igual em valor, mas oposto em sinal. Em outras palavras, cada valor de y com tal dependência corresponderá a dois argumentos, o que contraria o princípio básico da função.

Uma expressão da forma y + x = 9, no entanto, é uma função linear comum, pois atende plenamente aos seus requisitos. Qualquer equação de duas variáveis ​​pode ou não ser uma função.

Considere uma expressão de uma forma abstrata:

Qualquer igualdade correspondente a esta fórmula é chamada de equação linear com duas variáveis. Seu gráfico, em geral, é uma linha reta, e as raízes, via de regra, são um conjunto de pares xey. Exceções são possíveis ao zerar qualquer coeficiente - a, b ou termo livre c. Se b = 0, mas se a não for igual a 0, então as respostas da equação serão um conjunto de pares de valores para os quais x será sempre um número e y qualquer valor. De fato, na equação:

x é sempre igual a 3 e y pode ser igual a qualquer número, desde que essa variável seja definida como zero de qualquer maneira.

Se a \u003d 0, b \u003d 0, mas o termo livre não for igual a 0, a equação não terá soluções corretas, pois o princípio da igualdade é violado em qualquer cenário. O gráfico desta equação será o conjunto vazio. E finalmente, se todos a, b, c = 0, então qualquer combinação de x e y é decisão certa equações, e o gráfico cobre todo o conjunto numérico (o plano da rede cartesiana).

Para fixar o material, construímos um gráfico da equação:

Vamos transformar a expressão em uma equação linear com duas variáveis:

1/3(x) + 0y = 1

0y \u003d 1 - 1/3 (x)

O gráfico desta expressão será uma linha reta perpendicular ao eixo x no ponto (3, 0). Para qualquer y, o valor do argumento é sempre 3.

Equação linear com duas variáveis ​​- qualquer equação que tenha próxima visualização: a*x + b*y = c. Aqui xey são duas variáveis, a,b,c são alguns números.

A solução da equação linear a*x + b*y = c, é qualquer par de números (x, y) que satisfaça essa equação, ou seja, transforma a equação com as variáveis ​​xey na igualdade numérica correta. Uma equação linear tem um número infinito de soluções.

Se cada par de números que são uma solução para uma equação linear com duas variáveis ​​é representado no plano coordenado como pontos, então todos esses pontos formam um gráfico de uma equação linear com duas variáveis. Nossos valores x e y servirão como coordenadas para os pontos. Neste caso, o valor de x será a abcissa e o valor de y será a ordenada.

Gráfico de uma equação linear com duas variáveis

O gráfico de uma equação linear com duas variáveis ​​é o conjunto de todos os pontos possíveis do plano coordenado, cujas coordenadas serão as soluções desta equação linear. É fácil adivinhar que o gráfico será uma linha reta. Portanto, tais equações são chamadas de lineares.

Algoritmo de construção

Algoritmo para traçar uma equação linear com duas variáveis.

1. desenhar eixos de coordenadas, assine-os e marque a escala unitária.

2. Em uma equação linear, coloque x = 0 e resolva a equação resultante para y. Marque o ponto resultante no gráfico.

3. Em uma equação linear, tome o número 0 como y e resolva a equação resultante para x. Marque o ponto obtido no gráfico

4. Se necessário, tome um valor arbitrário de x e resolva a equação resultante para y. Marque o ponto resultante no gráfico.

5. Conecte os pontos recebidos, continue o gráfico para eles. Assine a linha resultante.

Exemplo: Plote a equação 3*x - 2*y =6;

Vamos colocar х=0, então - 2*y=6; y=-3;

Vamos colocar y=0, então 3*x = 6; x=2;

Marcamos os pontos obtidos no gráfico, traçamos uma linha reta através deles e assinamos. Observe a imagem abaixo, o gráfico deve ficar assim.

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Legendas dos slides:

Função linear Grau 7 Lição de Álgebra #6-7. Plano coordenado. Equação linear com duas variáveis ​​e seu gráfico 06.07.2012 1 www.konspekturoka.ru

Metas: 07/06/2012 Relembrar o conceito de plano coordenado. Considere a imagem de um ponto no plano coordenado. Dê o conceito de uma equação com duas variáveis, sua solução e o gráfico da equação. Aprenda a traçar uma equação linear em duas variáveis. Estudar o algoritmo para traçar uma equação linear com duas variáveis. 2 www.konspekturoka.ru

O x y 1 Dois eixos numéricos perpendiculares entre si formam um sistema de coordenadas retangular 1 - 1 - 1 I II III I V Ângulos coordenados Ordenada (oy axis) Abscissa (oh axis) Vamos relembrar! 07/06/2012 3 www.konspekturoka.ru

O x y 1 x = -3 Y = 3 x = -5 y = -2 X = 4 y = -5 x = 2 Y = 5 06.07.2012 www.konspekturoka.ru 4 Vamos lembrar! Algoritmo para encontrar as coordenadas do ponto M(a; b) Desenhe uma linha através do ponto paralela ao eixo y e encontre a coordenada do ponto de intersecção desta linha com o eixo x - esta será a abcissa do ponto . 2. Desenhe uma linha paralela ao eixo x através do ponto e encontre a coordenada do ponto de intersecção desta linha com o eixo y - esta será a ordenada do ponto. A B 5 2 C 4 -5 M -2 -5 3 -3 B (2; 5); C(4;-5); M(-5;-2); A(-3;3)

A (-4; 6) B (5; -3) C (2; 0) D (0; -5) Vamos lembrar! Algoritmo para construir um ponto M(a; b) Construir uma linha reta x = a. Construa uma linha reta y \u003d b. Encontre o ponto de interseção das linhas construídas - este será o ponto M (a; b) 6 -4 5 -3 -5 2 07/06/2012 5 www.konspekturoka.ru

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 6 Uma equação da forma: a x + b = 0 é chamada de equação linear com uma variável (onde x é uma variável, aeb são alguns números). Atenção! x - a variável entra na equação necessariamente no primeiro grau. (45 - y) + 18 = 58 equação linear com uma variável 3x² + 6x + 7 = 0 equação não linear com uma variável Lembre-se!

ax + by + c = 0 Equação linear com duas variáveis ​​06.07.2012 7 www.konspekturoka.ru Uma solução de uma equação com duas incógnitas é um par de variáveis, substituindo a equação torna-se uma verdadeira igualdade numérica. Uma equação da forma: é chamada de equação linear com duas variáveis ​​(onde x, y são variáveis, a, b e c são alguns números). (x; y)

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 8 Resolver uma equação linear com uma variável significa encontrar os valores da variável, para cada um dos quais a equação se transforma em uma verdadeira igualdade numérica. (x; y)-? Existem infinitas soluções desse tipo.

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 9 Uma equação linear com duas variáveis ​​tem propriedades semelhantes às equações com uma variável Se você transferir um termo de uma parte para outra em uma equação mudando seu sinal, você obtém uma equação equivalente. 2. Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas por um número (diferente de zero), será obtida uma equação equivalente.

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 10 Equações equivalentes Como o termo 4y³ é transferido do lado esquerdo para o lado direito Equações com duas variáveis ​​com as mesmas raízes são chamadas equivalentes.

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 11 O x y 1 Exemplo 1 Desenhe soluções de uma equação linear com duas variáveis ​​x + y – 3 = 0 pontos no plano de coordenadas. 1. Vamos selecionar vários pares de números que satisfaçam a equação: (3; 0), (2; 1), (1; 2), (0; 3), (-2; 5). 2. Construir pontos em xOy: A(3; 0), B(2; 1), C(1; 2), E(0; 3), M(-2; 5). 3 E (0; 3) 1 2 C (1; 2) 1 2 B (2; 1) 3 A (3; 0) -2 5 M (-2; 5) 3. Conecte todos os pontos. Atenção! Todos os pontos estão na mesma linha. No futuro: para construir uma linha reta, bastam 2 pontos m m - o gráfico da equação x + y - 3 \u003d 0 Eles dizem: t é um modelo geométrico da equação x + y - 3 \u003d 0 -4 7 P (-4; 7) P (-4; 7 ) é um par que pertence à reta e é uma solução da equação

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 12 Conclusão: Se (-4; 7) é um par de números que satisfaz a equação, então o ponto P(-4; 7) pertence à linha m. Se o ponto P (-4; 7) pertence à linha m , então o par(-4;7) é a solução da equação. Vice-versa:

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 13 Teorema: O gráfico de qualquer equação linear ax + by + c = 0 é uma linha reta. Para construir um gráfico, basta encontrar as coordenadas de dois pontos. Situação real (modelo de palavras) Modelo algébrico Modelo geométrico A soma de dois números é 3. x + y = 3 (equação linear com duas variáveis) reta t (gráfico de uma equação linear com duas variáveis) x + y - 3 = 0

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 14 x y 1 Exemplo 2 Plote a equação 3 x - 2y + 6 = 0 1. Seja x = 0, substitua na equação 3 0 - 2y + 6 = 0 - 2y + 6 = 0 - 2y \u003d - 6 y \u003d - 6: (-2) y \u003d 3 (0; 3) - um par de números, há uma solução 2. Seja y \u003d 0, substitua na equação 3 x - 2 0 + 6 \u003d 0 3x + 6 \u003d 0 3x \u003d - 6 x \u003d - 6: 3 x \u003d - 2 (-2; 0) - um par de números, há uma solução 3. Vamos construir pontos e conectar a linha 0 3 -2 3 x - 2y + 6 \u003d 0

07/06/2012 www.konspekturoka.ru 15 Algoritmo para construir um gráfico da equação ax + b y + c = 0 Dê à variável x um valor específico x ₁; encontre a partir da equação ax + b y + c = 0 o valor correspondente de y ₁. Obtemos (x₁; y₁). 2. Dê à variável x um valor específico x ₂; encontre a partir da equação ax + b y + c = 0 o valor correspondente de y ₂. Obtemos (x ₂; y ₂). 3. Construa pontos (х₁; y₁), (х ₂ ; y₂) no plano coordenado e conecte com uma linha reta. 4. Reta - há um gráfico da equação.

07/06/2012 16 www.konspekturoka.ru Responda às perguntas: O que é chamado de plano de coordenadas? Qual é o algoritmo para encontrar as coordenadas de um ponto no plano de coordenadas? Qual é o algoritmo para construir um ponto no plano coordenado? Formule as propriedades principais das equações. Que equações são chamadas equivalentes? Qual é a solução de uma equação linear com duas variáveis? 7. Qual é o algoritmo para traçar uma equação linear com duas variáveis?

Muitas vezes encontramos equações da forma ax + b = 0, onde a, b são números, x é uma variável. Por exemplo, bx - 8 \u003d 0, x + 4 \u003d O, - 7x - 11 \u003d 0, etc. Os números a, b (coeficientes da equação) podem ser qualquer um, exceto no caso de um \u003d 0.

A equação ax + b \u003d 0, onde a, é chamada de equação linear com uma variável x (ou uma equação linear com uma incógnita x). Resolva, ou seja, expresse x através de a e b, podemos:

Observamos anteriormente que muitas vezes modelo matemático a situação real é uma equação linear com uma variável ou uma equação que, após transformações, se reduz a uma linear. Agora considere esta situação real.

Das cidades A e B, cuja distância é de 500 km, saem dois trens um em direção ao outro, cada um com seu próprio velocidade constante. Sabe-se que o primeiro trem partiu 2 horas antes do segundo. 3 horas após a saída do segundo trem, eles se encontraram. Quais são as velocidades dos trens?

Vamos fazer um modelo matemático do problema. Seja x km/h a velocidade do primeiro trem e y km/h a velocidade do segundo trem. O primeiro ficou na estrada por 5 horas e, portanto, percorreu uma distância de bx km. O segundo trem estava a caminho por 3 horas, ou seja, passou o caminho Zu km.

O encontro ocorreu no ponto C. A Figura 31 mostra um modelo geométrico da situação. Em linguagem algébrica, pode ser descrito da seguinte forma:

5x + Zu = 500

ou
5x + Zu - 500 = 0.

Esse modelo matemático é chamado de equação linear com duas variáveis ​​x, y.
Geralmente,

ax + por + c = 0,

onde a, b, c são números, e , é um linear a equação com duas variáveis ​​x e y (ou com duas incógnitas x e y).

Voltemos à equação 5x + Zy = 500. Notamos que se x = 40, y = 100, então 5 40 + 3 100 = 500 é a igualdade correta. Isso significa que a resposta para a questão do problema pode ser a seguinte: a velocidade do primeiro trem é de 40 km/h, a velocidade do segundo trem é de 100 km/h. Um par de números x = 40, y = 100 é chamado de solução para a equação 5x + Zy = 500. Esse par de valores (x; y) também satisfaz a equação 5x + Zy = 500.

Infelizmente, essa solução não é única (afinal, todos nós amamos a certeza, a inequívoca). De fato, a seguinte variante também é possível: x = 64, y = 60; de fato, 5 64 + 3 60 = 500 é a igualdade correta. E isto: x \u003d 70, y \u003d 50 (já que 5 70 + 3 50 \u003d 500 é a igualdade certa).

Mas, digamos, um par de números x \u003d 80, y \u003d 60 não é uma solução para a equação, pois com esses valores a igualdade correta não é obtida:

Em geral, a solução da equação ax + by + c = 0 é qualquer par de números (x; y) que satisfaça essa equação, ou seja, transforma a igualdade com as variáveis ​​ax + by + c = 0 em uma igualdade numérica verdadeira . Existem infinitas soluções desse tipo.

Comente. Voltemos mais uma vez à equação 5x + Zy = 500 obtida no problema considerado acima. Entre um número infinito suas soluções estão disponíveis, por exemplo, e tal: x = 100, y = 0 (na verdade, 5100 + 30 = 500 é a igualdade numérica correta); x \u003d 118, y \u003d - 30 (já que 5 118 + 3 (-30) \u003d 500 é a igualdade numérica correta). No entanto, sendo soluções da equação, esses pares não podem servir como soluções para esse problema, pois a velocidade do trem não pode ser igual a zero (então ele não anda, mas fica parado); mais ainda, a velocidade do trem não pode ser negativa (então ele não vai em direção a outro trem, como indicado na condição do problema, mas na direção oposta).

Exemplo 1 Desenhe soluções de uma equação linear com duas variáveis ​​x + y - 3 = 0 pontos no plano de coordenadas xOy.

Decisão. Vamos encontrar algumas soluções dada equação, ou seja, vários pares de números que satisfazem a equação: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).

A. V. Pogorelov, Geometria para graus 7-11, Livro didático para instituições educacionais

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"Uma equação linear de duas variáveis ​​e seu gráfico".

lições objetivas:

desenvolver nos alunos a capacidade de construir gráficos de uma equação linear com duas variáveis, para resolver problemas utilizando duas variáveis ​​na compilação de um modelo matemático;

desenvolver habilidades cognitivas, críticas e pensamento criativo; Educação interesse cognitivoà matemática, perseverança, propósito nos estudos.

Tarefas:

introduzir o conceito de equação linear como modelo matemático de uma situação real;

ensinar pela aparência a determinar uma equação linear e seus coeficientes;

ensinar um determinado valor de x a encontrar o valor correspondente de y e vice-versa;

apresentar um algoritmo para traçar um gráfico de uma equação linear e ensinar como aplicá-lo na prática;

ensinar como fazer uma equação linear, como modelo matemático do problema.

Além das tecnologias de TIC, a lição usa problema de aprendizagem, elementos de desenvolvimento da educação, tecnologia de interação em grupo.

Tipo de aula: uma aula na formação de competências e habilidades.

EU. estágio organizacional. slide 1.

Verificar a prontidão dos alunos para a aula, relatando o tema da aula, metas e objetivos.

II. trabalho oral.

1. Slide 2. Das equações propostas, escolha uma equação linear com duas variáveis:

A) 3x - y \u003d 14

B) 5y + x² = 16

C) 7xy - 5y \u003d 12

D) 5x + 2y = 16

Resposta: a, Sr.

Pergunta de acompanhamento: O que é uma equação de duas variáveis ​​chamada equação linear? Slide 3.

Resposta: ax + wu + c = 0.

slide 4. Trabalhar o conceito de uma equação linear usando exemplos (trabalho oral).

Deslize 5-6. Nomeie os coeficientes da equação linear.

2. Slide 7. Escolha um ponto que pertença ao gráfico da equação 2x + 5y = 12

A (-1; -2), B (2; 1), C (4; -4), D (11; -2).

Responda: D(11;-2).

Pergunta complementar: Qual é o gráfico de uma equação com duas variáveis? slide 8.

Resposta: direto.

3. slide 9. Encontre a abcissa do ponto M (x; -2) pertencente ao gráfico da equação 12x - 9y \u003d 30.

Resposta: x = 1.

Pergunta adicional: Como é chamada a solução de uma equação com duas variáveis? slide 10.

Resposta: Uma solução para uma equação com duas variáveis ​​é um par de valores de variáveis ​​que transforma essa equação em uma verdadeira igualdade.

4.Slide 11.

1. Em qual figura está o gráfico Função linear inclinação positiva
2. Em qual figura o gráfico de uma função linear tem uma inclinação negativa
3. O gráfico de qual função não estudamos?

5. slide 12. Nomeie o intervalo numérico correspondente ao modelo geométrico:

MAS). (-6; 8)B). (-6; 8]B).[- 6; 8) D).[-6 ;8]

X

-6 8

III. Definir o objetivo da aula.

Hoje na lição vamos consolidar a capacidade de construir gráficos de uma equação linear com duas variáveis, resolver problemas usando duas variáveis ​​ao compilar um modelo matemático (a necessidade de elaborar uma equação linear para resolver um problema com duas incógnitas).

Tente ser persistente e determinado ao realizar tarefas.

4. Consolidação. slide 13.

Tarefa. Das cidades A e B, cuja distância é de 500 km, dois trens partem um para o outro, cada um com sua própria velocidade constante. Sabe-se que o primeiro trem partiu 2 horas antes do segundo. 3 horas após a saída do segundo trem, eles se encontraram. Quais são as velocidades dos trens?Faça um modelo matemático para o problema e encontre duas soluções.

slide 14. (Compilação de um modelo matemático para o problema). Demonstração da elaboração de um modelo matemático .

Qual é a solução de uma equação linear com duas variáveis?

O professor faz a pergunta: quantas soluções tem uma equação linear com duas variáveis? Resposta: infinitamente muitos.

Professor: Como você pode encontrar soluções para uma equação linear com duas variáveis? Resposta: escolha.

Professor: Quão fácil é encontrar soluções para a equação?

Resposta: escolha uma variável, por exemplo x, e encontre outra na equação - y.

slide 15.

- Verifique se os pares dos seguintes valores são a solução da equação.

Tarefa.

slide 16.

Dois tratoristas lavraram juntos 678 hectares. O primeiro tratorista trabalhou 8 dias e o segundo 11 dias. Quantos hectares cada trator lavrou por dia? Faça uma equação linear com duas variáveis ​​para o problema e encontre 2 soluções.

Slide 17-18.

Como se chama o gráfico de uma equação com duas variáveis? Considere casos diferentes.

Doce 19. Algoritmo para traçar um gráfico de uma função linear.

slide 20. (oral) Considere um exemplo de plotagem de uma equação linear com duas variáveis.

V. Trabalho de livro didático.

Slide 21. Trace a equação:

página 269

I opção nº 1206 (b)

II opção nº 1206 (c)

VI. Trabalho independente. slide 22.

Opção 1.

1. Quais dos pares de números (1; 1), (6; 5), (9; 11) são a solução para a equação 5x - 4y - 1 \u003d 0?

2. Plote a função 2x + y = 4.

Opção 2.

Quais dos pares de números (1; 1), (1; 2), (3; 7) são a solução da equação 7x - 3y - 1 = 0?

Plote a função 5x + y - 4 = 0.

(Seguido de verificação, slide de verificação 23-25)

VII. Consolidação. slide 26.

Construa certo.(Tarefa para todos os alunos da turma). Construa com a ajuda de linhas a flor em questão:

São conhecidas cerca de 120 espécies dessas flores, distribuídas principalmente na Ásia Central, Oriental e Meridional e no sul da Europa.

Os botânicos acreditam que essa cultura se originou na Turquia no século 12. A planta ganhou fama mundial longe de sua terra natal, na Holanda, justamente chamada de Terra dessas flores.

Em vários produtos artisticamente projetados (e jóias), motivos dessas cores são frequentemente encontrados.

Aqui está a lenda sobre esta flor.

Em um botão de ouro Flor amarela felicidade foi feita. Ninguém poderia alcançar essa felicidade, porque não havia tal força que pudesse abrir seu botão.

Mas um dia uma mulher com uma criança estava andando pelo prado. O menino escapou dos braços da mãe, correu até a flor com uma risada sonora, e o botão dourado se abriu. O riso infantil despreocupado fez o que nenhum poder poderia fazer. Desde então, tornou-se costume dar essas flores apenas para aqueles que experimentam a felicidade.

É necessário construir gráficos de funções e selecionar aquela parte dele, para os pontos em que a desigualdade correspondente é verdadeira:

y \u003d x + 6,

4 < X < 6;

y \u003d -x + 6,

6 < X < -4;

y \u003d - 1/3 x + 10,

6 < X < -3;

y \u003d 1/3 x +10,

3 < X < 6;

y \u003d -x + 14,

0 < X < 3;

y \u003d x + 14,

3 < X < 0;

y= 5 x - 10,

2 < X < 4;

y = - 5 x - 10,

4 < X < -2;

y = 0,

2 < X < 2.

Temos um desenho - TULIP. slide 27.

VIII. Reflexão. slide 28.

IX. Trabalho de casa. slide 29.

Item 43, nº 1206 (g-s), 1208 (g-s), 1214