Sinus, cosinus, tangens i cotangens: definicje w trygonometrii, przykłady, wzory. Sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta ostrego. Funkcje trygonometryczne

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych i ich wykorzystaniem w geometrii. W tym czasie rozpoczął się rozwój trygonometrii starożytna Grecja. W średniowieczu naukowcy z Bliskiego Wschodu i Indii wnieśli istotny wkład w rozwój tej nauki.

Ten artykuł jest o podstawowe koncepcje i definicje trygonometrii. Omówiono definicje głównych funkcji trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Wyjaśniono i zilustrowano ich znaczenie w kontekście geometrii.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Początkowo definicje funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest kąt, były wyrażane przez stosunek boków trójkąta prostokątnego.

Definicje funkcji trygonometrycznych

Sinus kąta (sin α) jest stosunkiem nogi przeciwnej do tego kąta do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta (cos α) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta (t g α) jest stosunkiem przeciwległego ramienia do sąsiedniego.

Cotangens kąta (ct g α) to stosunek sąsiedniego ramienia do przeciwległego.

Te definicje są podane dla kąt ostry trójkąt prostokątny!

Podajmy ilustrację.

W trójkącie ABC o kącie prostym C, sinus kąta A jest równy stosunkowi odnoga BC do przeciwprostokątnej AB.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa umożliwiają obliczenie wartości tych funkcji ze znanych długości boków trójkąta.

Ważne do zapamiętania!

Zakres wartości sinusa i cosinusa: od -1 do 1. Innymi słowy, sinus i cosinus przyjmują wartości od -1 do 1. Zakres wartości tangens i cotangens to cała oś liczbowa, czyli te funkcje mogą przyjmować dowolną wartość.

Podane powyżej definicje odnoszą się do kątów ostrych. W trygonometrii wprowadza się pojęcie kąta obrotu, którego wartość, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie jest ograniczona ramkami od 0 do 90 st. Kąt obrotu w stopniach lub radianach wyraża się dowolną liczbą rzeczywistą od - ∞ do + ∞.

W tym kontekście można zdefiniować sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wielkości. Wyobraź sobie okrąg jednostkowy wyśrodkowany na początku kartezjańskiego układu współrzędnych.

Punkt początkowy A o współrzędnych (1 , 0) obraca się wokół środka okręgu jednostkowego o pewien kąt α i przechodzi do punktu A 1 . Definicja jest podana poprzez współrzędne punktu A 1 (x, y).

Sinus (sin) kąta obrotu

Sinus kąta obrotu α jest rzędną punktu A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) kąta obrotu

Cosinus kąta obrotu α jest odciętą punktu A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) kąta obrotu

Tangens kąta obrotu α jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 (x, y) do jego odciętej. t g α = y x

Cotangens (ctg) kąta obrotu

Cotangens kąta obrotu α jest stosunkiem odciętej punktu A 1 (x, y) do jego rzędnej. c t g α = x y

Sinus i cosinus są definiowane dla dowolnego kąta obrotu. Jest to logiczne, ponieważ odciętą i rzędną punktu po obrocie można wyznaczyć pod dowolnym kątem. Inaczej jest z tangensem i cotangensem. Styczna nie jest zdefiniowana, gdy punkt po obrocie przechodzi do punktu z zerową odciętą (0 , 1) i (0 , - 1). W takich przypadkach wyrażenie na styczną t g α = y x po prostu nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Podobnie jest z cotangensem. Różnica polega na tym, że cotangens nie jest zdefiniowany w przypadkach, gdy znika rzędna punktu.

Ważne do zapamiętania!

Sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnych kątów α.

Styczna jest zdefiniowana dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Decydując praktyczne przykłady nie mów "sinus kąta obrotu α". Słowa „kąt obrotu” są po prostu pominięte, co sugeruje, że z kontekstu już wiadomo, o co toczy się gra.

Liczby

A co z definicją sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby, a nie kąta obrotu?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens liczby

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby t wywoływana jest liczba, która jest odpowiednio równa sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi in t radian.

Na przykład sinus 10 π równy sinusowi kąt obrotu 10 π rad.

Istnieje inne podejście do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby. Rozważmy to bardziej szczegółowo.

Dowolna liczba rzeczywista t punkt na okręgu jednostkowym jest umieszczany zgodnie ze środkiem w początku prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych. Sinus, cosinus, tangens i cotangens są definiowane w kategoriach współrzędnych tego punktu.

Punktem początkowym na okręgu jest punkt A o współrzędnych (1 , 0).

Liczba dodatnia t

Liczba ujemna t odpowiada punktowi, do którego przesunie się punkt początkowy, jeśli przesunie się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara po okręgu i przejdzie drogę t .

Teraz, gdy ustalono związek między liczbą a punktem na okręgu, przechodzimy do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Sin (sin) liczby t

Sinus liczby t- rzędna punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. grzech t = y

Cosinus (cos) z t

Cosinus liczby t- odcięta punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. cos t = x

Tangens (tg) z t

Tangens liczby t- stosunek rzędnej do odciętej punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. t g t = y x = sin t cos t

Te ostatnie definicje są zgodne i nie są sprzeczne z definicją podaną na początku tej sekcji. Punkt na okręgu odpowiadającym liczbie t, pokrywa się z punktem, do którego przechodzi punkt początkowy po skręcie o kąt t radian.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i liczbowego

Każda wartość kąta α odpowiada pewnej wartości sinusa i cosinusa tego kąta. Tak jak wszystkie kąty α inne niż α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odpowiada pewnej wartości tangensa. Cotangens, jak wspomniano powyżej, jest zdefiniowany dla wszystkich α, z wyjątkiem α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Możemy powiedzieć, że sin α , cos α , t g α , c t g α są funkcjami kąta alfa lub funkcjami argumentu kątowego.

Podobnie można mówić o sinus, cosinus, tangens i cotangens jako funkcjach argumentu liczbowego. Każda liczba rzeczywista t odpowiada określonej wartości sinusa lub cosinusa liczby t. Wszystkie liczby inne niż π 2 + π · k , k ∈ Z odpowiadają wartości tangensa. Cotangens jest podobnie zdefiniowany dla wszystkich liczb z wyjątkiem π · k , k ∈ Z.

Podstawowe funkcje trygonometrii

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne.

Z kontekstu zwykle wynika, z jakim argumentem funkcji trygonometrycznej ( argument kątowy lub argument liczbowy), z którym mamy do czynienia.

Wróćmy do danych na samym początku definicji i kąta alfa, który zawiera się w przedziale od 0 do 90 stopni. Definicje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens i cotangens są w pełni zgodne z definicje geometryczne, dany przez stosunki boków trójkąta prostokątnego. Pokażmy to.

Weźmy okrąg jednostkowy wyśrodkowany na prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Obróćmy punkt początkowy A (1, 0) o kąt do 90 stopni i narysujmy od wynikowego punktu A 1 (x, y) prostopadle do osi x. W powstałym trójkącie prostokątnym kąt A 1 O H równy kątowi skręt α, długość nogi O H jest równa odciętej punktu A 1 (x, y) . Długość odnogi przeciwległej do narożnika jest równa rzędnej punktu A 1 (x, y), a długość przeciwprostokątnej jest równa jedynce, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego.

Zgodnie z definicją z geometrii, sinus kąta α jest równy stosunkowi przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.

grzech α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Oznacza to, że definicja sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym przez współczynnik kształtu jest równoważna definicji sinusa kąta obrotu α, gdzie alfa mieści się w zakresie od 0 do 90 stopni.

Podobnie, zgodność definicji można wykazać dla cosinusa, tangensa i cotangensa.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Instrukcja

Pierwsza opcja to klasyczna, z użyciem papieru, kątomierza i ołówka (lub długopisu).Z definicji sinus kąt równy przeciwnej nodze do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Oznacza to, że aby obliczyć wartość, musisz użyć kątomierza, aby zbudować trójkąt prostokątny, którego jeden z kątów jest równy temu, którego sinus cię interesuje. Następnie zmierz długość przeciwprostokątnej i przeciwległej nogi i podziel drugą przez pierwszą z pożądaną dokładnością.

Druga opcja to szkoła. Ze szkoły wszyscy pamiętają „tablice Bradisa”, zawierające tysiące wartości trygonometrycznych z różne kąty. Można wyszukiwać zarówno wydanie papierowe, jak i jego elektroniczny odpowiednik w formacie pdf - są one dostępne online. Po znalezieniu tabel znajdź wartość Zatoka niezbędny kąt nie będzie trudne.

Najlepsza jest trzecia opcja. Jeśli masz dostęp, możesz skorzystać ze standardowego kalkulatora Windows. Należy go przełączyć w tryb zaawansowany. Aby to zrobić, w sekcji menu „Widok” wybierz pozycję „Inżynieria”. Zmieni się widok kalkulatora - pojawią się w szczególności przyciski do obliczania funkcji trygonometrycznych.Teraz wprowadź wartość kąt, którego sinus chcesz obliczyć. Możesz to zrobić zarówno z klawiatury, jak i klikając żądane klawisze kalkulatora kursorem myszy. Możesz też po prostu wkleić potrzebną wartość (CTRL + C i CTRL + V). Następnie wybierz jednostki, w których należy je obliczyć - w przypadku funkcji trygonometrycznych mogą to być radiany, stopnie lub rady. Odbywa się to poprzez wybranie jednej z trzech wartości przełączników znajdujących się poniżej pola wejściowego obliczonej wartości. Teraz, naciskając przycisk oznaczony "grzechem", uzyskaj odpowiedź na swoje pytanie.

Czwarta opcja jest najnowocześniejsza. W dobie Internetu w sieci można znaleźć prawie każdy problem, jaki się pojawia. Kalkulatory online funkcji trygonometrycznych z przyjaznym interfejsem użytkownika, bardziej zaawansowane funkcjonalność nie znaleźć w ogóle. Najlepsze z nich oferują obliczenie nie tylko wartości pojedynczej funkcji, ale także wystarczającej złożone wyrażenia z wielu funkcji.

Funkcje Zatoka i co Zatoka należą do obszaru matematyki, który nazywa się trygonometrią, a zatem same funkcje nazywane są trygonometrycznymi. Zgodnie z najstarszą z definicji wyrażają one wielkość kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jako stosunek długości jego boków. Obliczanie wartości Zatoka i na obecnym poziomie rozwoju inżynieria elektroniczna- dość proste zadanie.

Będziesz potrzebować

• Kalkulator Windows.

Instrukcja

Użyj do obliczenia Zatoka i kąt - w większości z nich dostępne są obliczenia funkcji trygonometrycznych. Biorąc pod uwagę obecność kalkulatora w wielu telefony komórkowe, niektóre gadżety na nadgarstki i inne mobilne, nie mówiąc już o komputerach, to być może niedrogi sposób obliczenia Zatoka a. Jeśli zdecydujesz się użyć kalkulatora oprogramowania komputera, poszukaj łącza, aby uruchomić go w głównym menu systemu operacyjnego. Jeśli jest to Windows, naciśnij przycisk Win, wybierz „Wszystkie programy” z menu, przejdź do podsekcji „Akcesoria” i kliknij wiersz „Kalkulator”. Aby uzyskać dostęp do poleceń obliczania funkcji trygonometrycznych w uruchomionej aplikacji, naciśnij kombinację klawiszy Alt + 2.

Jeśli w początkowej wartości kąta, Zatoka który chcesz obliczyć jest podany w , upewnij się, że obok napisu „ ” w interfejsie kalkulatora

Sinus jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych, której zastosowanie nie ogranicza się do samej geometrii. Tabele do obliczania funkcji trygonometrycznych, takie jak kalkulatory inżynierskie, nie zawsze są pod ręką, a obliczenie sinusa jest czasem konieczne do rozwiązania różne zadania. Ogólnie rzecz biorąc, obliczenie sinusa pomoże utrwalić umiejętności rysowania i znajomość tożsamości trygonometrycznych.

Gry z linijką i ołówkiem

Proste zadanie: jak znaleźć sinus kąta narysowanego na papierze? Do rozwiązania potrzebujesz zwykłej linijki, trójkąta (lub kompasu) i ołówka. Najprostszym sposobem obliczenia sinusa kąta jest podzielenie dalszej części trójkąta z kątem prostym przez długi bok - przeciwprostokątną. Dlatego najpierw musisz uzupełnić kąt ostry do figury trójkąta prostokątnego, rysując linię prostopadłą do jednego z promieni w dowolnej odległości od wierzchołka kąta. Konieczne będzie obserwowanie kąta dokładnie 90 °, do czego potrzebujemy trójkąta klerykalnego.

Korzystanie z kompasu jest nieco bardziej precyzyjne, ale zajmie więcej czasu. Na jednym z promieni musisz zaznaczyć 2 punkty w określonej odległości, ustawić promień na kompasie w przybliżeniu równy odległości między punktami i narysować półkola o środkach w tych punktach, aż te linie się przetną. Łącząc ze sobą punkty przecięcia naszych okręgów, otrzymamy ścisłą prostopadłość do promienia naszego kąta, pozostaje tylko wydłużyć linię, aż przetnie się z innym promieniem.

W powstałym trójkącie musisz zmierzyć linijką stronę przeciwną do rogu i długi bok na jednym z promieni. Stosunek pierwszego pomiaru do drugiego będzie pożądaną wartością sinusa kąta ostrego.

Znajdź sinus dla kąta większego niż 90°

Dla kąta rozwartego zadanie nie jest dużo trudniejsze. Konieczne jest narysowanie promienia z wierzchołka w przeciwnym kierunku za pomocą linijki, aby utworzyć linię prostą z jednym z promieni o interesującym nas kącie. Z otrzymanym kątem ostrym należy postępować jak opisano powyżej, sinusy sąsiednich kątów, tworząc razem rozwinięty kąt 180 °, są równe.

Obliczanie sinusa z innych funkcji trygonometrycznych

Również obliczenie sinusa jest możliwe, jeśli znane są wartości innych funkcji trygonometrycznych kąta lub przynajmniej długości boków trójkąta. To nam pomoże tożsamości trygonometryczne. Spójrzmy na typowe przykłady.

Jak znaleźć sinus ze znanym cosinusem kąta? Pierwsza tożsamość trygonometryczna, pochodząca z twierdzenia Pitagorasa, mówi, że suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden.

Jak znaleźć sinus ze znaną tangensem kąta? Tangens uzyskuje się dzieląc dalszą nogę przez bliską lub dzieląc sinus przez cosinus. Zatem sinus będzie iloczynem cosinusa i tangensa, a kwadrat sinusa będzie kwadratem tego iloczynu. Zamieniamy cosinus do kwadratu na różnicę między jednością a sinusem kwadratowym zgodnie z pierwszą tożsamością trygonometryczną i, za pomocą prostych manipulacji, wprowadzamy równanie, aby odpowiednio obliczyć sinus kwadratowy przez styczną, aby obliczyć sinus, będziesz musiał wyodrębnij korzeń z uzyskanego wyniku.

Jak znaleźć sinus ze znanym cotangensem kąta? Wartość cotangensa można obliczyć, dzieląc długość bliższej nogi od kąta nogi przez długość dalszej, a także dzieląc cosinus przez sinus, co oznacza, że ​​cotangens jest odwrotną funkcją tangensa względem do liczby 1. Aby obliczyć sinus, możesz obliczyć styczną za pomocą wzoru tg α \u003d 1 / ctg α i użyć wzoru w drugiej opcji. Możesz również wyprowadzić wzór bezpośredni przez analogię do stycznej, która będzie wyglądać tak.

Jak znaleźć sinus trzech boków trójkąta

Istnieje wzór na znalezienie długości nieznanego boku dowolnego trójkąta, a nie tylko trójkąta prostokątnego, biorąc pod uwagę dwa znane strony używając funkcji trygonometrycznej cosinusa przeciwnego kąta. Wygląda tak.

Nasze badanie trygonometrii rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, co to jest sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąta ostrego. To są podstawy trygonometrii.

Odwołaj to prosty kąt to kąt równy 90 stopni. Innymi słowy połowa rozłożonego narożnika.

Ostry róg- mniej niż 90 stopni.

Kąt rozwarty- powyżej 90 stopni. W stosunku do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, a matematycznym terminem :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Zazwyczaj oznaczany jest kąt prosty. Zauważ, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc oznaczono stronę leżącą przeciwnie do kąta A.

Kąt jest oznaczony odpowiednią grecką literą.

Przeciwprostokątna Trójkąt prostokątny to strona przeciwna do kąta prostego.

Nogi- boki przeciwległe do ostrych rogów.

Noga naprzeciwko rogu nazywa się naprzeciwko(w stosunku do kąta). Druga noga, która leży po jednej stronie narożnika, nazywa się przylegający.

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej (lub równoważnie stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe współczynniki dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa, które podano poniżej. Przydadzą się nam w rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

Dobra, podaliśmy definicje i napisane formuły. Ale po co nam sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta wynosi.

Znamy związek między imprezy trójkąt prostokątny. Oto twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć trzeci. Tak więc dla kątów - ich stosunek, dla boków - ich własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znany jest jeden kąt (oprócz prawego) i jedna strona, ale trzeba znaleźć inne boki?

Z tym mierzyli się ludzie w przeszłości, robiąc mapy okolicy i rozgwieżdżonego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje trygonometryczne kąta- podaj stosunek między imprezy oraz rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i tangensy kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy również tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Dla odpowiednich wartości kątów tangens i cotangens nie istnieją.

Przeanalizujmy kilka problemów z trygonometrii z zadań Banku FIPI.

1. W trójkącie kąt to , . Znajdować .

Problem został rozwiązany w cztery sekundy.

O ile , .

2. W trójkącie kąt to , , . Znajdować .

Znajdźmy według twierdzenia Pitagorasa.

Problem rozwiązany.

Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i . Zapamiętaj na pamięć podstawowe dla nich proporcje!

Dla trójkąta z kątami i odnogą przeciwną do kąta w jest równe połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt z kątami i równoramiennymi. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

Rozważaliśmy problemy związane z rozwiązywaniem trójkątów prostokątnych - czyli znajdowaniem nieznanych boków lub kątów. Ale to nie wszystko! W UŻYJ opcji w matematyce istnieje wiele problemów, w których pojawia się sinus, cosinus, tangens lub cotangens zewnętrznego kąta trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.

Jak znaleźć sinus?

Nauka geometrii pomaga rozwijać myślenie. Ten przedmiot jest zawarty w programie nauczania. W życiu znajomość tego tematu może się przydać – np. przy planowaniu mieszkania.

Z historii

W ramach kursu geometrii badana jest również trygonometria, która bada funkcje trygonometryczne. W trygonometrii badamy sinusy, cosinusy, tangensy i cotangensy kąta.

Ale dalej ten moment Zacznijmy od najprostszego - sinus. Przyjrzyjmy się bliżej pierwszej koncepcji - sinusowi kąta w geometrii. Czym jest sinus i jak go znaleźć?

Pojęcie „sinus kąta” i sinusoidy

Sinus kąta jest stosunkiem wartości przeciwnej nogi i przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Jest to bezpośrednia funkcja trygonometryczna, zapisana na piśmie jako „sin (x)”, gdzie (x) jest kątem trójkąta.

Na wykresie sinus kąta jest oznaczony sinusoidą o własnej charakterystyce. Sinusoida wygląda jak ciągła linia falista, która leży w pewnych granicach na płaszczyźnie współrzędnych. Funkcja jest nieparzysta, dlatego jest symetryczna względem 0 na płaszczyźnie współrzędnych (opuszcza początek współrzędnych).

Dziedzina tej funkcji leży w zakresie od -1 do +1 w kartezjańskim układzie współrzędnych. Okres funkcji sinusa wynosi 2 Pi. Oznacza to, że co 2 Pi wzór jest powtarzany, a sinusoida przechodzi pełny cykl.

Równanie sinusoidalne

• sin x = a / c
• gdzie a jest nogą przeciwną do kąta trójkąta
• c - przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego

Własności sinusa kąta

1. grzech(x) = - grzech(x). Ta cecha pokazuje, że funkcja jest symetryczna, a jeśli wartości x i (-x) są odłożone w układzie współrzędnych w obu kierunkach, to rzędne tych punktów będą przeciwne. Będą w równej odległości od siebie.
2. Inną cechą tej funkcji jest to, że wykres funkcji rośnie na odcinku [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Spadek wykresu sinusa kąta będzie obserwowany na odcinku: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0, gdy x należy do zakresu (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Wartości sinusów kąta określają specjalne tabele. Takie tabele zostały stworzone, aby ułatwić proces liczenia. złożone formuły i równania. Jest łatwy w obsłudze i zawiera wartości nie tylko funkcje grzechu(x), ale także wartości innych funkcji.

Ponadto tabela standardowych wartości tych funkcji znajduje się w nauka obowiązkowa na pamięć, jak tabliczka mnożenia. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku klas z nastawieniem fizycznym i matematycznym. W tabeli można zobaczyć wartości głównych kątów stosowanych w trygonometrii: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stopni.

Istnieje również tabela określająca wartości funkcji trygonometrycznych niestandardowych kątów. Wykorzystując różne stoły, możesz łatwo obliczyć sinus, cosinus, tangens i cotangens niektórych kątów.

Równania wykonuje się za pomocą funkcji trygonometrycznych. Rozwiązywanie tych równań jest łatwe, jeśli znasz proste tożsamości trygonometryczne i redukcje funkcji, na przykład sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) i inne. Dla takich odlewów przygotowano również osobną tabelę.

Jak znaleźć sinus kąta

Kiedy zadaniem jest znalezienie sinusa kąta, a pod warunkiem mamy tylko cosinus, tangens lub cotangens kąta, możemy łatwo obliczyć, czego potrzebujemy, używając tożsamości trygonometrycznych.

• grzech 2 x + cos 2 x = 1

Z tego równania możemy znaleźć zarówno sinus, jak i cosinus, w zależności od tego, która wartość jest nieznana. Odniesiemy sukces równanie trygonometryczne z jedną niewiadomą:

• grzech 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / grzech 2 x

Z tego równania można znaleźć wartość sinusa, znając wartość cotangensa kąta. Aby uprościć, zamień sin 2 x = y, a wtedy masz proste równanie. Na przykład wartość cotangensa wynosi 1, wtedy:

• 1 + 1 = 1/y
• 2 = 1 / y
• 2 lata = 1
• y = 1/2

Teraz wykonujemy odwrotną wymianę odtwarzacza:

• grzech 2 x = ½
• grzech x = 1 / √2

Ponieważ przyjęliśmy wartość cotangensa dla standardowego kąta (45 0), uzyskane wartości można sprawdzić w tabeli.

Jeśli masz wartość tangens, ale musisz znaleźć sinus, inna tożsamość trygonometryczna pomoże:

• tg x * ctg x = 1

Wynika, że:

• ctg x = 1 / tg x

Aby znaleźć sinus niestandardowego kąta, na przykład 240 0, należy skorzystać ze wzorów redukcji kąta. Wiemy, że π odpowiada nam 180 0. W ten sposób wyrazimy naszą równość za pomocą standardowych kątów przez rozwinięcie.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Musimy znaleźć następujące: grzech (180 0 + 60 0). W trygonometrii istnieją wzory redukcyjne, które w ta sprawa się przydać. Oto formuła:

• grzech (π + x) = - grzech (x)

Zatem sinus kąta 240 stopni wynosi:

• grzech (180 0 + 60 0) = - grzech (60 0) = - √3/2

W naszym przypadku odpowiednio x = 60 i P 180 stopni. Znaleźliśmy wartość (-√3/2) z tabeli wartości funkcji kątów standardowych.

W ten sposób można się rozkładać niestandardowe kąty, na przykład: 210 = 180 + 30.