Jak wyglądają kąty ostre i rozwarte? Pojęcie i rodzaje kątów

Kąt to figura geometryczna, która składa się z dwóch różnych promieni wychodzących z jednego punktu. W ta sprawa, te promienie nazywane są bokami kąta. Punkt będący początkiem promieni nazywamy wierzchołkiem kąta. Na zdjęciu widać róg z wierzchołkiem w punkcie O, a strony k oraz m.

Po bokach narożnika zaznaczono punkty A i C. Narożnik ten można określić jako kąt AOC. W środku musi znajdować się nazwa punktu, w którym znajduje się wierzchołek narożny. Są też inne oznaczenia, kąt O lub kąt km. W geometrii zamiast kąta słowa często pisana jest specjalna ikona.

Kąt obrotowy i nieobrotowy

Jeżeli obie strony kąta leżą na tej samej prostej, to taki kąt nazywamy rozmieszczony kąt. Oznacza to, że jedna strona narożnika jest kontynuacją drugiej strony narożnika. Poniższy rysunek przedstawia kąt O.

Należy zauważyć, że dowolny kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Jeśli narożnik nie jest rozwinięty, jedna z części nazywana jest wewnętrznym obszarem narożnika, a druga jest zewnętrznym obszarem tego narożnika. Poniższy rysunek przedstawia niespłaszczony narożnik i zaznaczono zewnętrzne i wewnętrzne obszary tego narożnika.

W przypadku kąta rozwiniętego każdą z dwóch części, na które dzieli płaszczyznę, można uznać za obszar zewnętrzny kąta. Możemy mówić o położeniu punktu względem kąta. Grot może leżeć na zewnątrz narożnika (w obszarze zewnętrznym), może znajdować się na jednym z jego boków lub może leżeć wewnątrz narożnika (w obszarze wewnętrznym).

Na poniższym rysunku punkt A leży na zewnątrz narożnika O, punkt B leży po jednej stronie narożnika, a punkt C leży wewnątrz narożnika.

Pomiar kąta

Do pomiaru kątów służy przyrząd zwany kątomierzem. Jednostką kąta jest stopień. Należy zauważyć, że każdy kąt ma pewną miarę stopnia, która jest większa od zera.

W zależności od miary stopnia kąty dzielą się na kilka grup.

W tym artykule rozważymy jeden z głównych kształtów geometrycznych - kąt. Po ogólnym wprowadzeniu do tej koncepcji skupimy się na oddzielne gatunki taka postać. Kąt prosty jest ważną koncepcją w geometrii i będzie przedmiotem tego artykułu.

Wprowadzenie do pojęcia kąta geometrycznego

W geometrii istnieje wiele obiektów, które stanowią podstawę wszelkiej nauki. Kąt właśnie do nich odnosi się i jest określany za pomocą pojęcia promienia, więc zacznijmy od niego.

Ponadto przed przystąpieniem do definiowania samego kąta należy pamiętać o kilku równie ważnych obiektach w geometrii - jest to punkt, linia prosta na płaszczyźnie i sama płaszczyzna. Linia prosta to najprostsza figura geometryczna, która nie ma początku ani końca. Płaszczyzna to powierzchnia, która ma dwa wymiary. Cóż, promień (lub półprosta) w geometrii jest częścią prostej, która ma początek, ale nie ma końca.

Korzystając z tych pojęć, możemy stwierdzić, że kąt jest figurą geometryczną, która leży całkowicie w określonej płaszczyźnie i składa się z dwóch niedopasowanych promieni o wspólnym pochodzeniu. Takie promienie nazywane są bokami kąta, a wspólnym początkiem boków jest jego wierzchołek.

Rodzaje kątów i geometria

Wiemy, że kąty mogą być zupełnie inne. Dlatego poniżej zostanie podana niewielka klasyfikacja, która pomoże lepiej zrozumieć rodzaje kątów i ich główne cechy. W geometrii istnieje kilka rodzajów kątów:

1. Prosty kąt. Charakteryzuje się wartością 90 stopni, co oznacza, że ​​jej boki są zawsze do siebie prostopadłe.
2. Ostry róg. Kąty te obejmują wszystkich ich przedstawicieli, których rozmiar jest mniejszy niż 90 stopni.
3. Kąt rozwarty. Mogą tu również znajdować się wszystkie kąty o wartości od 90 do 180 stopni.
4. Rozszerzony narożnik. Ma rozmiar ściśle 180 stopni, a na zewnątrz jego boki tworzą jedną linię prostą.

Pojęcie kąta prostego

Przyjrzyjmy się teraz bardziej szczegółowo rozwiniętemu kątowi. Dzieje się tak, gdy obie strony leżą na tej samej linii prostej, co wyraźnie widać na poniższym rysunku. Oznacza to, że możemy śmiało powiedzieć, że jedna z jego stron jest w rzeczywistości kontynuacją drugiej.

Warto pamiętać, że taki kąt zawsze można podzielić za pomocą promienia wychodzącego z jego wierzchołka. W rezultacie otrzymujemy dwa kąty, które w geometrii nazywane są sąsiednimi.

Rozwinięty kąt ma również kilka cech. Aby porozmawiać o pierwszym z nich, musisz pamiętać o pojęciu „dwusiecznej kąta”. Przypomnij sobie, że jest to promień, który dzieli dowolny kąt dokładnie na pół. Jeśli chodzi o kąt prosty, jego dwusieczna dzieli go w taki sposób, że powstają dwa kąty proste po 90 stopni. Bardzo łatwo to obliczyć matematycznie: 180˚ (stopień wyprostowanego kąta): 2 = 90˚.

Jeśli rozwinięty kąt podzielimy przez całkowicie dowolny promień, to w rezultacie zawsze otrzymamy dwa kąty, z których jeden będzie ostry, a drugi rozwarty.

Właściwości płaskiego narożnika

Wygodnie będzie rozważyć ten kąt, łącząc wszystkie jego główne właściwości, które zrobiliśmy na tej liście:

1. Boki kąta prostego są przeciwrównoległe i tworzą linię prostą.
2. Wartość rozwiniętego kąta to zawsze 180˚.
3. Dwa sąsiednie kąty razem tworzą zawsze kąt prosty.
4. Pełny kąt, który wynosi 360˚, składa się z dwóch rozstawionych i jest równy ich sumie.
5. Połowa wyprostowanego kąta to kąt prosty.

Znając wszystkie te cechy tego typu kąta, możemy je wykorzystać do rozwiązania szeregu problemów geometrycznych.

Problemy z prostymi narożnikami

Aby zrozumieć, czy opanowałeś pojęcie kąta prostego, spróbuj odpowiedzieć na kilka poniższych pytań.

1. Czym jest kąt prosty, jeśli jego boki tworzą linię pionową?
2. Czy dwa kąty będą sąsiadować, jeśli wielkość pierwszego wynosi 72˚, a drugiego 118˚?
3. Jeśli pełny kąt składa się z dwóch kątów prostych, ile ma kątów prostych?
4. Kąt prosty jest podzielony przez wiązkę na dwa takie kąty, że ich miary stopni są odniesione do 1:4. Oblicz uzyskane kąty.

Rozwiązania i odpowiedzi:

1. Bez względu na położenie kąta prostego, z definicji jest on zawsze równy 180˚.
2. Sąsiednie narożniki mają jedną wspólną stronę. Dlatego, aby obliczyć rozmiar kąta, który połączyli, wystarczy dodać wartość ich miary stopni. Czyli 72 +118 = 190. Ale z definicji kąt prosty to 180˚, co oznacza, że ​​dwa podane kąty nie mogą sąsiadować.
3. Kąt prosty zawiera dwa kąty proste. A ponieważ w pełnej są dwie rozmieszczone, oznacza to, że będą w niej 4 proste linie.
4. Jeśli nazwiemy pożądane kąty aib, to niech x będzie dla nich współczynnikiem proporcjonalności, co oznacza, że ​​a \u003d x i odpowiednio b \u003d 4x. Kąt prosty w stopniach to 180˚. I zgodnie z jego właściwościami, że miara stopnia kąta jest zawsze równa sumie miar stopnia tych kątów, na które jest podzielony przez dowolny promień przechodzący między jego bokami, możemy wywnioskować, że x + 4x = 180 ˚, co oznacza 5x = 180˚ . Stąd znajdujemy: x=a=36˚ i b = 4x = 144˚. Odpowiedź: 36˚ i 144˚.

Jeśli udało ci się odpowiedzieć na wszystkie te pytania bez podpowiedzi i bez zaglądania do odpowiedzi, możesz przejść do następnej lekcji geometrii.

Co to jest kąt?

Kąt to figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu (ryc. 160).
Promienie, które się tworzą zastrzyk, nazywane są bokami kąta, a punkt, z którego wychodzą, nazywany jest wierzchołkiem kąta.
Na rysunku 160 bokami kąta są promienie OA i OB, a jego wierzchołkiem jest punkt O. Kąt ten jest oznaczony następująco: AOB.

Pisząc kąt w środku, napisz literę oznaczającą jego wierzchołek. Kąt może być również oznaczony pojedynczą literą - nazwą jego wierzchołka.

Na przykład zamiast „kąt AOB” piszą krócej: „kąt O”.

Zamiast słowa „róg” piszą znak.

Na przykład AOB, O.

Na rysunku 161 punkty C i D leżą wewnątrz kąta AOB, punkty X i Y leżą poza tym kątem, a zwrotnica M i H - po bokach narożnika.

Jak wszyscy figury geometryczne, kąty są porównywane za pomocą nakładki.

Jeśli jeden kąt można nałożyć na drugi tak, aby się pokrywały, to te kąty są równe.

Na przykład na rysunku 162 ABC = MNK.

Z wierzchołka kąta SOK (rys. 163) narysowano belkę OR. Dzieli kąt SOC na dwa kąty - COP i ROCK. Każdy z tych kątów jest mniejszy niż kąt ROC.

Napisane przez: COP< COK и POK < COK.

Prosto i pod kątem

Dwa komplementarne do siebie Belka tworzą zagięty róg. Boki tego kąta tworzą razem linię prostą, na której leży wierzchołek rozszerzonego kąta (ryc. 164).

Wskazówki godzinowa i minutowa zegara tworzą rozwinięty kąt na godzinie 6 (ryc. 165).

Zgnijmy dwukrotnie kartkę papieru na pół, a następnie rozłóżmy (ryc. 166).

Linie zagięcia tworzą 4 równe kąty. Każdy z tych kątów jest równy połowie kąta wyprostowanego. Takie kąty nazywane są kątami prostymi.

Kąt prosty to pół kąta wyprostowanego.

rysunek trójkąta

Do budowy prosty kąt użyj rysunku trójkąt(ryc. 167). Aby skonstruować kąt prosty, którego jednym z boków jest promień OL, konieczne jest:

a) ułóż trójkąt rysunkowy tak, aby wierzchołek jego kąta prostego pokrywał się z punktem O, a jeden z boków przebiegał wzdłuż promienia OA;

b) narysuj promień OB wzdłuż drugiego boku trójkąta.

W rezultacie otrzymujemy kąt prosty AOB.

Pytania do tematu

1.Co to jest kąt?
2. Jaki kąt nazywa się rozłożonym?
3. Jakie kąty nazywamy równymi?
4. Jaki kąt nazywa się właściwym?
5. Jak buduje się kąt prosty za pomocą trójkąta rysunkowego?

Wiemy już, że dowolny kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Ale jeśli pod kątem obie strony leżą na tej samej linii prostej, wówczas taki kąt nazywa się rozłożonym. Oznacza to, że pod kątem rozwiniętym jedna jego strona jest kontynuacją drugiej strony kąta.

Teraz spójrzmy na figurę, która pokazuje tylko rozwinięty kąt O.

Jeśli weźmiemy i narysujemy promień z wierzchołka kąta prostego, to podzieli ten kąt prosty na dwa kolejne kąty, które będą miały jeden wspólny bok, a pozostałe dwa kąty utworzą linię prostą. Oznacza to, że z jednego rozwiniętego rogu dostaliśmy dwa sąsiednie.

Jeśli weźmiemy kąt prosty i narysujemy dwusieczną, to ta dwusieczna podzieli kąt prosty na dwa kąty proste.

A w przypadku, gdy narysujemy dowolny promień z wierzchołka rozwiniętego kąta, który nie jest dwusieczną, to taki promień podzieli rozszerzony kąt na dwa kąty, z których jeden będzie ostry, a drugi rozwarty.

Właściwości płaskiego narożnika

Rozszerzony kąt ma następujące właściwości:

Po pierwsze, boki kąta prostego są antyrównoległe i tworzą linię prostą;
po drugie, rozwinięty kąt wynosi 180°;
po trzecie, dwa sąsiednie kąty tworzą kąt prosty;
po czwarte rozwinięty kąt to połowa pełny kąt;
po piąte, pełny kąt będzie równy sumie dwóch rozwiniętych kątów;
po szóste, połowa wyprostowanego kąta to kąt prosty.

Pomiar kąta

Aby zmierzyć dowolny kąt, najczęściej do tych celów stosuje się kątomierz, w którym jednostką miary jest jeden stopień. Przy mierzeniu kątów należy pamiętać, że każdy kąt ma swoją własną konkretną miarę stopnia i oczywiście ta miara jest większa od zera. A rozwinięty kąt, jak już wiemy, wynosi 180 stopni.

To znaczy, jeśli weźmiemy dowolną płaszczyznę koła i podzielimy ją przez promienie przez 360 równe części, wtedy 1/360 tego okręgu będzie stopniem kątowym. Jak już wiesz, stopień jest oznaczony pewną ikoną, która wygląda tak: „°”.

Teraz wiemy również, że jeden stopień 1° = 1/360 okręgu. Jeżeli kąt jest równy płaszczyźnie koła i wynosi 360 stopni, to taki kąt jest pełny.

A teraz bierzemy i dzielimy płaszczyznę koła za pomocą dwóch promieni leżących na jednej linii prostej na dwie równe części. Wtedy w tym przypadku płaszczyzna półokręgu będzie miała połowę pełnego kąta, czyli 360:2 = 180 °. Otrzymaliśmy kąt równy połowie płaszczyzny koła i ma 180 °. To jest skręcony kąt.

Zadanie praktyczne

1613. Nazwij kąty pokazane na rysunku 168. Zapisz ich oznaczenia.

1614. Narysuj cztery promienie: OA, OB, OS i OD. Zapisz nazwy sześciu kątów, których bokami są te promienie. Na ile części dzielą się te promienie samolot?

1615. Wskaż, które punkty na rysunku 169 leżą wewnątrz kąta KOM. Które punkty leżą poza tym kątem? Które punkty są po stronie OK, a które po stronie OM?

1616. Narysuj kąt MOD i narysuj w nim promień OT. Nazwij i oznacz kąty, na które ten promień dzieli kąt MOD.

1617. Wskazówka minutowa po 10 minutach obróciła się do kąta AOB, w następnych 10 minutach do kąta BOC, a po kolejnych 15 minutach do kąta COD. Porównaj kąty AOB i BOC, BOC i COD, AOC i AOB, AOC i COD (rys. 170).

1618. Użyj trójkąta do rysowania, aby narysować 4 kąty proste w różnych pozycjach.

1619. Używając trójkąta do rysowania, znajdź kąty proste na rysunku 171. Zapisz ich oznaczenia.

1620. Wskaż kąty proste w klasie.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Ile procent z 400 to liczba 200; 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. Znajdź brakujący numer:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Narysuj kwadrat, którego bok jest równy długości 10 komórek zeszytu. Niech ten kwadrat reprezentuje pole. Żyto zajmuje 12% pola, owies - 8%, pszenica - 64%, a resztę pola gryka. Pokaż na zdjęciu część pola zajętą ​​przez każdą uprawę. Jaki procent pola to gryka?

1632. W ciągu roku szkolnego Petya zużył 40% zeszytów zakupionych na początku roku i pozostało mu 30 zeszytów. Ile zeszytów kupiono dla Petyi na początku roku szkolnego?

1633. Brąz to stop cyny i miedzi. Jaki procent stopu stanowi miedź w kawałku brązu, składającym się z 6 kg cyny i 34 kg miedzi?

1634. Latarnia morska w Aleksandrii, zbudowana w starożytności, nazywana jednym z siedmiu cudów świata, jest 1,7 razy wyższa od wież Kremla moskiewskiego, ale niższa od budynku Uniwersytetu Moskiewskiego o 119 m. Znajdź wysokość każdej z tych konstrukcji, jeśli wieże Kremla są 49 m niżej Latarnia Aleksandryjska.

1635. Znajdź za pomocą mikrokalkulatora:

a) 4,5% z 168; c) 28,3% z 569,8;
b) 147,6% z 2500; d) 0,09% z 456 800.

1636. Rozwiąż problem:

1) Powierzchnia ogrodu to 6,4 a. Pierwszego dnia rozkopano 30% ogrodu, a drugiego 35% ogrodu. Ile arów zostało do kopania?

2) Serezha miała 4,8 godziny wolnego czasu. 35% tego czasu spędził na czytaniu książek, a 40% na oglądaniu programów telewizyjnych. Ile czasu mu zostało?

1637. Wykonaj następujące czynności:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Narysuj kąt BAC i zaznacz po jednym punkcie wewnątrz kąta, na zewnątrz kąta i po bokach kąta.

1639. Które z punktów zaznaczonych na rysunku 172 leżą wewnątrz kąta AMK. Który punkt leży wewnątrz kąta AMB> ale poza kątem AMK. Które punkty leżą po bokach kąta AMK?

1640. Użyj trójkąta do rysowania, aby znaleźć kąty proste na rysunku 173.

1641. Skonstruuj kwadrat o boku 43 mm. Oblicz jego obwód i powierzchnię.

1642. Znajdź wartość wyrażenia:

a) 14,791: a + 160,961: b, jeśli a = 100, b = 10;
b) 361.62s + 1848: d jeśli c = 100, d = 100.

1643. Robotnik musiał wykonać 450 części. Pierwszego dnia wykonał 60% części, a resztę drugiego. Ile części zrobiło? pracownik drugiego dnia?

1644. W bibliotece znajdowało się 8000 książek. Rok później ich liczba wzrosła o 2000 książek. O jaki procent wzrosła liczba książek w bibliotece?

1645. Samochody ciężarowe pierwszego dnia pokonały 24% zamierzonej trasy, drugiego dnia 46% trasy, a trzeciego pozostałe 450 km. Ile kilometrów przejechały te ciężarówki?

1646. Znajdź, ile jest:

a) 1% tony; c) 5% z 7 ton;
b) 1% litra; d) 6% z 80 km.

1647. Masa młodego morsa jest 9 razy mniejsza niż masa dorosłego morsa. Jaka jest masa dorosłego morsa, jeśli razem z młodym jego masa wynosi 0,9 tony?

1648. Podczas manewrów dowódca zostawił 0,3 wszystkich swoich żołnierzy do pilnowania przeprawy, a resztę podzielił na 2 oddziały do ​​obrony dwóch wysokości. Pierwszy oddział miał 6 razy więcej żołnierzy niż drugi. Ilu żołnierzy było w pierwszym oddziale, jeśli w sumie było 200 żołnierzy?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matematyka klasa 5, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Uczniowie znają pojęcie kąta w Szkoła Podstawowa. Ale jako figura geometryczna o pewnych właściwościach zaczynają ją studiować od 7. klasy geometrii. Wydaje się, dość prosta figura co można o niej powiedzieć. Ale zdobywając nową wiedzę, uczniowie coraz bardziej rozumieją, że można dowiedzieć się o niej dość interesujących faktów.

W kontakcie z

Kiedy są studiowane

Szkolny kurs geometrii podzielony jest na dwie sekcje: planimetrię i geometrię bryłową. Każdemu z nich poświęca się dużo uwagi. oddany do rogów:

• W planimetrii podana jest ich podstawowa koncepcja, następuje zapoznanie się z ich typami pod względem wielkości. Bardziej szczegółowo przeanalizowano właściwości każdego rodzaju trójkątów. Pojawiają się nowe definicje dla uczniów - są to kształty geometryczne utworzone na przecięciu dwóch linii ze sobą oraz na przecięciu kilku linii siecznej.
• W stereometrii badane są kąty przestrzenne - dwuścienne i trójścienne.

Uwaga! W tym artykule omówiono wszystkie rodzaje i właściwości kątów w planimetrii.

Definicja i pomiar

Rozpoczynając naukę, najpierw ustal, co to jest kąt w planimetrii.

Jeśli weźmiemy pewien punkt na płaszczyźnie i narysujemy z niego dwa dowolne promienie, otrzymamy figurę geometryczną - kąt, składający się z następujących elementów:

• wierzchołek - punkt, z którego zostały narysowane promienie, jest oznaczony wielką literą alfabetu łacińskiego;
• boki są narysowane od góry w połowie linii.

Wszystkie elementy tworzące rozważaną przez nas figurę dzielą płaszczyznę na dwie części:

• wewnętrzny - w planimetrii nie przekracza 180 stopni;
• zewnętrzny.

Zasada pomiaru kątów w planimetrii wyjaśnione intuicyjnie. Na początek studenci zapoznają się z pojęciem rozwiniętego kąta.

Ważny! Mówi się, że kąt powstaje, gdy półproste wychodzące z jego wierzchołka tworzą linię prostą. Rozłożony kąt to wszystkie inne przypadki.

Jeśli jest podzielony na 180 równych części, zwykle bierze się pod uwagę miarę jednej części równą 10. W tym przypadku mówią, że pomiar jest dokonywany w stopniach, a miara stopnia takiej liczby wynosi 180 stopni.

Główne rodzaje

Rodzaje kątów są podzielone według takich kryteriów jak miara stopnia, charakter ich powstawania oraz kategorie poniżej.

Według rozmiaru

Biorąc pod uwagę wielkość, kąty dzielą się na:

• rozmieszczony;
• prosty;
• tępy;
• Pikantny.

Jaki kąt nazywamy rozłożonym, przedstawiono powyżej. Zdefiniujmy pojęcie linii prostej.

Można go uzyskać, dzieląc wdrożony na dwie równe części. W tym przypadku łatwo odpowiedzieć na pytanie: kąt prosty, ile to stopni?

Podziel 180 stopni przez 2, aby uzyskać kąt prosty to 90 stopni. To wspaniała postać, ponieważ wiąże się z nią wiele faktów z geometrii.

Ma również swoje własne cechy w oznaczeniu. Aby pokazać na rysunku kąt prosty, nie wskazuje go łuk, ale kwadrat.

Kąty, które uzyskuje się przez podzielenie dowolnego promienia linii prostej, nazywane są ostrymi. Zgodnie z logiką rzeczy wynika z tego, że kąt ostry jest mniejszy niż kąt prosty, ale jego miara jest różna od 0 stopni. Oznacza to, że ma wartość od 0 do 90 stopni.

Kąt rozwarty jest większy niż kąt prosty, ale mniejszy niż kąt prosty. Jego miara waha się od 90 do 180 stopni.

Ten element można podzielić na różne rodzaje brane pod uwagę liczby, z wyłączeniem rozszerzonej.

Niezależnie od tego, w jaki sposób zostanie złamany kąt nieobrócony, zawsze stosuje się podstawowy aksjomat planimetrii - „główną właściwość pomiaru”.

Na dzielenie kąta jedną wiązką lub kilka, miara stopnia danej figury jest równa sumie miar kątów, na które jest podzielona.

Na poziomie 7 klasy kończą się rodzaje kątów w ich wielkości. Ale dla zwiększenia erudycji można dodać, że istnieją inne odmiany, które mają miarę stopnia większą niż 180. Nazywa się je wypukłymi.

Cyfry na przecięciu linii

Kolejne rodzaje kątów, do których uczniowie są wprowadzani, to elementy powstające podczas przecinania się dwóch linii. Figury umieszczone naprzeciw siebie nazywane są pionowymi. Ich cecha wyróżniająca- są równe.

Elementy przylegające do tej samej linii nazywane są sąsiednimi. Twierdzenie mapujące ich własność mówi, że Sąsiednie kąty sumują się do 180 stopni.

Elementy w trójkącie

Jeśli weźmiemy pod uwagę figurę jako element w trójkącie, to kąty dzielą się na wewnętrzne i zewnętrzne. Trójkąt jest ograniczony trzema segmentami i składa się z trzech wierzchołków. Kąty znajdujące się wewnątrz trójkąta na każdym wierzchołku, zwany wewnętrznym.

Jeśli weźmiemy dowolny element wewnętrzny w dowolnym wierzchołku i wydłużymy dowolny bok, to kąt, który jest utworzony i przylega do wewnętrznego, nazywamy zewnętrznym. Ta para elementów ma następna nieruchomość: ich suma wynosi 180 stopni.

Przecięcie dwóch linii prostych

Przecięcie linii

Kiedy przecinają się dwie proste linie, tworzą się również kąty, które są zwykle rozprowadzane parami. Każda para elementów ma swoją nazwę. To wygląda tak:

• krzyżowanie wewnętrzne: 4 i ∟6, ∟3 i ∟5;
• wewnętrzne jednostronne: 4 i ∟5, ∟3 i ∟6;
• odpowiadające: ∟1 i 5, ∟2 i ∟6, ∟4 i ∟8, ∟3 i ∟7.

Kiedy sieczna przecina dwa

W tym artykule kompleksowo przeanalizujemy jeden z głównych kształtów geometrycznych - kąt. Zacznijmy od pojęć pomocniczych i definicji, które doprowadzą nas do definicji kąta. Następnie podajemy przyjęte metody wyznaczania kątów. Następnie zajmiemy się szczegółowo procesem pomiaru kątów. Podsumowując, pokażemy, jak możesz zaznaczyć rogi na rysunku. Całą teorię dostarczyliśmy wraz z niezbędnymi rysunkami i ilustracjami graficznymi w celu lepszego zapamiętania materiału.

Nawigacja po stronach.

Definicja kąta.

Kąt jest jedną z najważniejszych figur w geometrii. Definicję kąta podaje się poprzez definicję promienia. Z kolei idei promienia nie można uzyskać bez znajomości takich figur geometrycznych jak punkt, linia prosta i płaszczyzna. Dlatego przed zapoznaniem się z definicją kąta zalecamy odświeżenie teorii z przekrojów i.

Zaczniemy więc od pojęć punktu, prostej na płaszczyźnie i płaszczyzny.

Najpierw podajmy definicję promienia.

Daj nam jakąś linię prostą na płaszczyźnie. Oznaczmy to literą a. Niech O będzie jakimś punktem prostej a . Punkt O dzieli prostą a na dwie części. Każda z tych części wraz z punktem O nazywa się Belka, a punkt O nazywa się początek wiązki. Słychać też, że wiązka nazywa się półbezpośrednie.

Dla zwięzłości i wygody wprowadzono następującą notację dla promieni: promień jest oznaczony albo małą literą łacińską (na przykład ray p lub ray k), albo dwoma dużymi literami łacińskimi, z których pierwsza odpowiada początkowi promień, a drugi oznacza pewien punkt tego promienia (na przykład promień OA lub wiązka CD). Pokażmy obraz i oznaczenie promieni na rysunku.

Teraz możemy podać pierwszą definicję kąta.

Definicja.

Zastrzyk- jest to płaska figura geometryczna (to znaczy leżąca całkowicie w określonej płaszczyźnie), która składa się z dwóch niedopasowanych promieni o wspólnym pochodzeniu. Każdy z promieni nazywa się strona narożna, wspólny początek boków kąta nazywa się górny róg.

Możliwe, że boki kątownika tworzą linię prostą. Ten kąt ma swoją nazwę.

Definicja.

Jeśli obie strony kąta leżą na tej samej linii, to kąt nazywa się rozmieszczony.

Zwracamy uwagę na graficzną ilustrację rozwiniętego kąta.

Symbol kąta służy do oznaczenia kąta. Jeśli boki kąta są oznaczone małymi literami łacińskimi (na przykład jedna strona kąta to k, a druga to h), to w celu oznaczenia tego kąta po ikonie kąta zapisuje się litery odpowiadające bokom wiersz, a kolejność nagrywania nie ma znaczenia (czyli lub). Jeżeli boki kąta są oznaczone dwiema dużymi literami łacińskimi (na przykład jedna strona kąta OA, a druga strona kąta OB), to kąt jest oznaczony w następujący sposób: po znaku kąta trzy litery są napisane, że uczestniczą w wyznaczeniu boków kąta, a litera odpowiadająca wierzchołkowi kąta, znajdującego się pośrodku (w naszym przypadku kąt będzie oznaczony jako lub ). Jeśli wierzchołek kąta nie jest wierzchołkiem jakiegoś innego kąta, to taki kąt można oznaczyć literą odpowiadającą wierzchołkowi kąta (na przykład ). Czasami widać, że rogi na rysunkach są oznaczone cyframi (1, 2 itd.), te rogi są oznaczone jako i tak dalej. Dla jasności przedstawiamy rycinę, na której pokazano i zaznaczono rogi.

Dowolny kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Co więcej, jeśli kąt nie jest rozwinięty, nazywa się jedną część płaszczyzny obszar narożnika wewnętrznego, i inni obszar narożnika zewnętrznego. Poniższy rysunek wyjaśnia, która część płaszczyzny odpowiada wewnętrznej stronie narożnika, a która zewnętrznej.

Każda z dwóch części, na które spłaszczony kąt dzieli płaszczyznę, może być uważana za wnętrze spłaszczonego kąta.

Definicja wnętrza kąta prowadzi nas do drugiej definicji kąta.

Definicja.

Zastrzyk- jest to figura geometryczna, która składa się z dwóch niedopasowanych promieni o wspólnym początku i odpowiednim obszarze wewnętrznym kąta.

Należy zauważyć, że druga definicja kąta jest bardziej rygorystyczna niż pierwsza, ponieważ zawiera więcej warunków. Nie należy jednak odrzucać pierwszej definicji kąta, ani też osobno rozpatrywać pierwszej i drugiej definicji kąta. Wyjaśnijmy ten punkt. Kiedy rozmawiamy o kącie jako figurze geometrycznej, to kąt jest rozumiany jako figura złożona z dwóch promieni o wspólnym pochodzeniu. Jeżeli zajdzie potrzeba wykonania jakichkolwiek działań z tym kątem (na przykład pomiaru kąta), to kąt należy już rozumieć jako dwa promienie o wspólnym pochodzeniu i obszarze wewnętrznym (w przeciwnym razie powstałaby sytuacja dwojaka z powodu obecność zarówno wewnętrznego, jak i zewnętrznego obszaru kąta ).

Podajmy więcej definicji kątów sąsiednich i pionowych.

Definicja.

Przyległe narożniki- są to dwa kąty, w których jedna strona jest wspólna, a pozostałe dwa tworzą kąt prosty.

Z definicji wynika, że ​​sąsiednie kąty uzupełniają się aż do kąta prostego.

Definicja.

Pionowe kąty to dwa kąty, w których boki jednego kąta są przedłużeniami boków drugiego.

Rysunek przedstawia kąty pionowe.

Oczywiście dwie przecinające się linie tworzą cztery pary sąsiednich kątów i dwie pary kątów pionowych.

Porównanie kątów.

W tym akapicie artykułu zajmiemy się definicjami kątów równych i nierównych, a także w przypadku kątów nierównych wyjaśnimy, który kąt jest uważany za duży, a który za mniejszy.

Przypomnijmy, że dwie figury geometryczne nazywamy równymi, jeśli można je nakładać.

Daj nam dwa kąty. Podajmy rozumowanie, które pomoże nam uzyskać odpowiedź na pytanie: „Czy te dwa kąty są równe, czy nie”?

Oczywiście zawsze możemy dopasować wierzchołki dwóch rogów, a także jedną stronę pierwszego rogu z dowolnym bokiem drugiego rogu. Połączmy bok pierwszego narożnika z bokiem drugiego narożnika tak, aby pozostałe boki narożników znajdowały się po tej samej stronie linii prostej, na której leżą połączone boki narożników. Następnie, jeśli pozostałe dwa boki rogów są wyrównane, wówczas rogi są nazywane równy.

Jeśli pozostałe dwie strony kątów nie pasują, nazywa się kąty nierówny, oraz mniejszy kąt jest uważany za część innego ( duży jest kątem, który zawiera całkowicie inny kąt).

Oczywiście te dwa kąty proste są sobie równe. Oczywiste jest również, że kąt rozwinięty jest większy niż jakikolwiek kąt nierozwinięty.

Pomiar kąta.

Pomiar kąta polega na porównaniu zmierzonego kąta z kątem przyjętym jako jednostka miary. Proces pomiaru kątów wygląda następująco: zaczynając od jednego z boków mierzonego kąta, jego wewnętrzny obszar jest kolejno wypełniany pojedynczymi kątami, ciasno układając je jeden na drugim. Jednocześnie zapamiętywana jest liczba ułożonych w stos narożników, co daje miarę mierzonego kąta.

W rzeczywistości każdy kąt może być traktowany jako jednostka miary dla kątów. Istnieje jednak wiele ogólnie przyjętych jednostek miary kątów związanych z różne obszary nauka i technika otrzymali specjalne nazwy.

Jedną z jednostek pomiaru kątów jest stopień.

Definicja.

jeden stopień jest kątem równym stu osiemdziesiątej kąta wyprostowanego.

Stopień jest oznaczony symbolem „”, dlatego jeden stopień jest oznaczony jako.

Zatem w rozwiniętym kącie możemy zmieścić 180 kątów na jeden stopień. Będzie wyglądać jak półokrągły placek pokrojony na 180 równych kawałków. Bardzo ważne: „kawałki tortu” pasują do siebie ciasno (to znaczy, że boki rogów są wyrównane), bok pierwszego rogu wyrównany z jedną stroną spłaszczonego rogu, a bok ostatniego rogu jednostki zbiegła się z drugą stroną spłaszczonego narożnika.

Podczas pomiaru kątów sprawdź, ile razy stopień (lub inna jednostka miary kątów) mieści się w mierzonym kącie, aby pełne pokrycie wewnętrzna powierzchnia mierzonego kąta. Jak już widzieliśmy, w rozwiniętym kącie stopień pasuje dokładnie 180 razy. Poniżej znajdują się przykłady kątów, w których kąt jednego stopnia pasuje dokładnie 30 razy (taki kąt to szósta część kąta prostego) i dokładnie 90 razy (pół kąta prostego).

Aby zmierzyć kąty mniejsze niż jeden stopień (lub inną jednostkę miary kątów) oraz w przypadkach, gdy kąt nie może być zmierzony liczbą całkowitą stopni (jednostki miary przyjęte), należy użyć części stopnia (części jednostki miary). Niektóre części stopnia otrzymały specjalne nazwy. Najbardziej rozpowszechniony dostałem tak zwane minuty i sekundy.

Definicja.

Minuta to jedna sześćdziesiąta stopnia.

Definicja.

druga to jedna sześćdziesiąta minuty.

Innymi słowy, jest sześćdziesiąt sekund w minucie i sześćdziesiąt minut (3600 sekund) w stopniu. Symbol „” służy do oznaczenia minut, a symbol „” do oznaczenia sekund (nie mylić ze znakami pochodnej i drugiej pochodnej). Następnie przy wprowadzonych definicjach i zapisie mamy , a kąt, pod którym mieści się 17 stopni, 3 minuty i 59 sekund, możemy oznaczyć jako .

Definicja.

Miara stopnia kąta nazywana liczbą dodatnią, która pokazuje, ile razy stopień i jego części mieszczą się w podany kąt.

Na przykład miara w stopniach kąta wyprostowanego wynosi sto osiemdziesiąt, a miara kąta w stopniach to .

Do pomiaru kątów są specjalne urządzenia pomiarowe, najbardziej znanym z nich jest kątomierz.

Jeżeli znane są zarówno oznaczenie kąta (np.) jak i jego miara stopnia (niech 110), to użyj krótkiej notacji postaci i powiedz: „Kąt AOB wynosi sto dziesięć stopni”.

Z definicji kąta i miary kąta wynika, że ​​w geometrii miarą kąta w stopniach jest liczba rzeczywista z przedziału (0, 180] (w trygonometrii kąty z dowolną miarą stopnia są uważane, są nazywane).Kąt dziewięćdziesięciu stopni ma specjalną nazwę, nazywa się prosty kąt. Nazywa się kąt mniejszy niż 90 stopni kąt ostry. Nazywa się kąt większy niż dziewięćdziesiąt stopni kąt rozwarty. Więc miara kąt ostry w stopniach wyrażona jako liczba z przedziału (0, 90), miara kąta rozwartego - jako liczba z przedziału (90, 180), kąt prosty jest równy dziewięćdziesięciu stopniom. Oto ilustracje przedstawiające kąt ostry, kąt rozwarty i kąt prosty.

Z zasady pomiaru kątów wynika, że ​​miara stopnia równych kątów jest taka sama, miara stopnia większego kąta jest większa niż miara stopnia mniejszego, a miara stopnia kąta składającego się z kilku kątów jest równa sumie miar stopnia kątów składowych. Poniższy rysunek przedstawia kąt AOB, na który składają się kąty AOC, COD i DOB, natomiast .

Zatem, suma kątów sąsiednich wynosi sto osiemdziesiąt stopni, ponieważ tworzą kąt prosty.

Z tego twierdzenia wynika, że ​​. Rzeczywiście, jeśli kąty AOB i COD są pionowe, to kąty AOB i BOC sąsiadują ze sobą i kąty COD i BOC również sąsiadują, a zatem równość i obowiązuje, z czego równość wynika.

Wraz ze stopniem nazywa się wygodną jednostką pomiaru kątów radian. Miara radianowa jest szeroko stosowana w trygonometrii. Zdefiniujmy radian.

Definicja.

Jeden kąt w radianach- Ten centralny róg, co odpowiada długości łuku, równa długości promień odpowiedniego okręgu.

Dajmy graficzną ilustrację kąta jednego radiana. Na rysunku długość promienia OA (jak również promień OB ) jest równa długości łuku AB , dlatego z definicji kąt AOB jest równy jednemu radianowi.

Skrót „rad” oznacza radiany. Na przykład napisanie 5 rad oznacza 5 radianów. Jednak na piśmie często pomija się oznaczenie „rad”. Na przykład, gdy jest napisane, że kąt jest równy pi, oznacza to pi rad.

Oddzielnie należy zauważyć, że wartość kąta wyrażona w radianach nie zależy od długości promienia okręgu. Wynika to z faktu, że figury ograniczone danym kątem i łuk koła o środku w wierzchołku o danym kącie są do siebie podobne.

Mierzenie kątów w radianach można wykonać w taki sam sposób, jak mierzenie kątów w stopniach: dowiedz się, ile razy kąt jednego radiana (i jego części) pasuje do danego kąta. Możesz obliczyć długość łuku odpowiedniego kąta środkowego, a następnie podzielić go przez długość promienia.

Dla potrzeb praktyki przydatna jest wiedza o tym, jak miary stopnia i radianu odnoszą się do siebie, ponieważ znaczna część musi zostać wykonana. W tym artykule ustalono związek między stopniem a miarą kąta w radianach, a także podano przykłady konwersji stopni na radiany i odwrotnie.

Oznaczenie narożników na rysunku.

Na rysunkach, dla wygody i przejrzystości, narożniki można oznaczyć łukami, które są zwykle rysowane w wewnętrznym obszarze narożnika od jednej strony narożnika do drugiej. Równe kąty zaznacz z taką samą liczbą łuków, nierówne kąty - inna kwotałuki. Kąty proste na rysunku są oznaczone symbolem postaci „”, który jest przedstawiony w wewnętrznym obszarze kąta prostego od jednej strony narożnika do drugiej.

Jeśli na rysunku trzeba zaznaczyć wiele różnych kątów (zwykle więcej niż trzy), to przy wyznaczaniu kątów, oprócz zwykłych łuków, dopuszczalne jest użycie łuków niektórych specjalny rodzaj. Na przykład możesz przedstawić postrzępione łuki lub coś podobnego.

Należy zauważyć, że nie należy dać się ponieść oznaczeniom kątów na rysunkach i nie zaśmiecać rysunków. Zalecamy zaznaczanie tylko tych kątów, które są niezbędne w procesie rozwiązywania lub sprawdzania.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Klasy 7 - 9: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla 10-11 klas liceum.
• Pogorelov A.V., Geometria. Podręcznik dla klas 7-11 instytucji edukacyjnych.