Wartość sinusa i cosinusa kąta ostrego. Sinus, cosinus, tangens: co to jest? Jak znaleźć sinus, cosinus i tangens

Lekcja na temat „Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego”

Cele Lekcji:

edukacyjna - wprowadzenie pojęcia sinusa, cosinusa, tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, poznanie zależności i relacji między tymi wielkościami;

rozwijanie - kształtowanie się pojęcia sinusa, cosinusa, tangensa jako funkcji kąta, dziedzina definicji funkcji trygonometrycznych, rozwój logicznego myślenia, rozwój poprawnej mowy matematycznej;

wychowawcze – rozwijanie umiejętności samodzielnej pracy, kultury zachowania, rzetelności w prowadzeniu ewidencji.

Przebieg lekcji:

1. Moment organizacyjny

„Edukacja to nie liczba wysłuchanych lekcji, ale liczba zrozumianych. Jeśli więc chcesz iść do przodu, pospiesz się powoli i bądź ostrożny.

2. Motywacja lekcji.

Pewien mądry człowiek powiedział: „Najwyższym przejawem ducha jest umysł. Najwyższą manifestacją umysłu jest geometria. Komórka geometrii to trójkąt. Jest niewyczerpany jak wszechświat. Koło jest duszą geometrii. Znaj obwód, a nie tylko poznasz duszę geometrii, ale też wzniesiesz swoją duszę”.

Razem postaramy się zrobić małe rozeznanie. Podzielmy się wszelkimi pomysłami, które przyjdą Ci do głowy i nie bój się popełnić błędu, każda myśl może nadać nam nowy kierunek poszukiwań. Niech nasze osiągnięcia nie wydają się komuś duże, ale będą naszymi własnymi osiągnięciami!

3. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Jakie są kąty?

Czym są trójkąty?

Jakie są główne elementy definiujące trójkąt?

Czym są trójkąty oparte na bokach?

Czym są trójkąty oparte na kątach?

Co to jest cewnik?

Co to jest przeciwprostokątna?

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego?

Jakie są relacje między bokami i kątami tego trójkąta?

Dlaczego musisz znać związek między bokami i kątami?

Jakie zadania z życia mogą prowadzić do konieczności obliczenia nieznanych boków w trójkącie?

Termin „hipotenuse” pochodzi od greckiego słowa „iponeinousa”, co oznacza „naciąganie się na coś”, „ciągnięcie”. Słowo to wywodzi się z wizerunku starożytnych harf greckich, na których struny są rozciągnięte na końcach dwóch wzajemnie prostopadłych stojaków. Termin „katetos” pochodzi od greckiego słowa „katetos”, co oznacza początek „pionu”, „prostopadła”.

Euclid powiedział: „Nogi to boki, które tworzą kąt prosty”.

W starożytnej Grecji znana była już metoda konstruowania trójkąta prostokątnego na ziemi. W tym celu użyto liny, na której zawiązano 13 węzłów, w tej samej odległości od siebie. Podczas budowy piramid w Egipcie tak powstawały trójkąty prostokątne. Zapewne dlatego trójkąt prostokątny o bokach 3,4,5 nazwano trójkątem egipskim.

4. Nauka nowego materiału.

W starożytności ludzie podążali za światłami i na podstawie tych obserwacji prowadzili kalendarz, obliczali daty siewu, czas wylewu rzek; statki na morzu, karawany na lądzie były prowadzone po drodze przez gwiazdy. Wszystko to doprowadziło do konieczności nauczenia się obliczania boków w trójkącie, którego dwa wierzchołki znajdują się na ziemi, a trzeci jest reprezentowany przez punkt na gwiaździstym niebie. W oparciu o tę potrzebę powstała nauka - trygonometria - nauka badająca relacje między bokami w trójkącie.

Jak myślisz, czy znane nam już relacje są wystarczające do rozwiązania takich problemów?

Celem dzisiejszej lekcji jest odkrywanie nowych połączeń i zależności, wyprowadzanie relacji, za pomocą których na kolejnych lekcjach geometrii można rozwiązać takie problemy.

Poczujmy się w roli naukowców i za geniuszami starożytności Talesem, Euklidesem, Pitagorasem pójdziemy ścieżką poszukiwania prawdy.

Do tego potrzebujemy podstawy teoretycznej.

Zaznacz róg A i nogę BC na czerwono.

Podświetl nogę AC na zielono.

Obliczmy, jaka część jest przeciwną odnogą dla kąta ostrego A do jego przeciwprostokątnej, w tym celu obliczamy stosunek przeciwnej odnogi do przeciwprostokątnej:

Ten stosunek ma specjalną nazwę - tak, że każda osoba w każdym punkcie na planecie rozumie, że mówimy o liczbie reprezentującej stosunek przeciwnej nogi kąta ostrego do przeciwprostokątnej. Słowo jest sinusem. Zapisz to. Ponieważ słowo sinus bez nazwy kąta traci wszelkie znaczenie, zapis matematyczny wygląda następująco:

Teraz zrób stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej dla kąta ostrego A:

Ten stosunek nazywa się cosinusem. Jego notacja matematyczna:

Rozważ jeszcze jedną zależność dla kąta ostrego A: stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej nogi:

Ten stosunek nazywa się styczną. Jego notacja matematyczna:

5. Konsolidacja nowego materiału.

Skonsolidujmy nasze odkrycia pośrednie.

Zatoka to...

Cosinus to...

Styczna to...

Rozwiąż ustnie nr 88, 889, 892 (praca w parach).

Wykorzystanie zdobytej wiedzy do rozwiązania praktycznego problemu:

„Z wieży latarni o wysokości 70 m widać statek pod kątem 3 do horyzontu. Co jest

odległość od latarni morskiej do statku?

Zadanie jest rozwiązywane frontalnie. Podczas dyskusji wykonujemy rysunek oraz niezbędne notatki na tablicy iw zeszytach.

Przy rozwiązywaniu problemu wykorzystywane są stoły Bradis.

Rozważ rozwiązanie problemu str.175.

Rozwiąż #902(1).

6. Fizminutka dla oczu.

Nie odwracając głowy, rozejrzyj się wokół ściany klasy zgodnie z ruchem wskazówek zegara, tablicę wokół obwodu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, trójkąt przedstawiony na stojaku zgodnie z ruchem wskazówek zegara i jego równy trójkąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Odwróć głowę w lewo i spójrz na linię horyzontu, a teraz na czubek nosa. Zamknij oczy, policz do 5, otwórz oczy i...

Przykładamy ręce do oczu,
Postawmy mocne nogi.
Skręcając w prawo
Wyglądajmy majestatycznie.
I na lewo też
Spójrz spod dłoni.
I - w prawo! I dalej
Nad lewym ramieniem!
a teraz będziemy kontynuować pracę.

7. Samodzielna praca studentów.

Rozwiąż nie.

8. Wyniki lekcji. Odbicie. D / s.

Czego nauczyłeś się nowego? Na lekcji:

czy rozważałeś...

czy analizowałeś...

Otrzymałeś …

zakończyłeś...

uzupełniłeś swoje słownictwo następującymi terminami...

Światowa nauka zaczęła się od geometrii. Człowiek nie może naprawdę rozwijać się kulturowo i duchowo, jeśli nie studiował geometrii w szkole. Geometria wyrosła nie tylko z praktycznych, ale i duchowych potrzeb człowieka.

Tak poetycko wyjaśniła swoją miłość do geometrii

Kocham geometrię...

Studiuję geometrię, bo kocham

Geometria jest potrzebna, bez niej nie jesteśmy nigdzie.

Sinus, cosinus, koło - tutaj wszystko jest ważne,

Tutaj wszystko jest potrzebne

Po prostu musisz być bardzo jasny i wszystko rozumieć.

Wykonuj zadania i listy kontrolne na czas.

Myślę, że zasługujesz na więcej. Oto mój klucz do trygonometrii:

• Narysuj kopułę, ścianę i sufit
• Funkcje trygonometryczne to nic innego jak procenty tych trzech form.

Metafora sinusa i cosinusa: kopuła

Zamiast patrzeć na same trójkąty, wyobraź sobie je w akcji, znajdując jakiś konkretny przykład z życia.

Wyobraź sobie, że jesteś na środku kopuły i chcesz zawiesić ekran projektora filmowego. Wskazujesz palcem na kopułę pod pewnym kątem „x” i od tego miejsca powinien zwisać ekran.

Kąt, który wskazujesz, określa:

• sin(x) = sin(x) = wysokość ekranu (punkt montażu od podłogi do kopuły)
• cosinus(x) = cos(x) = odległość od Ciebie do ekranu (wg piętra)
• przeciwprostokątna, odległość od ciebie do górnej części ekranu, zawsze taka sama, równa promieniowi kopuły

Czy chcesz, aby ekran był jak największy? Zawieś go tuż nad sobą.

Czy chcesz, aby ekran wisiał jak najdalej od Ciebie? Zawieś go prosto prostopadle. W tej pozycji ekran będzie miał zerową wysokość i będzie zwisał tak daleko, jak sobie tego życzysz.

Wysokość i odległość od ekranu są odwrotnie proporcjonalne: im bliżej ekran wisi, tym wyższa będzie jego wysokość.

Sinus i cosinus to wartości procentowe

Niestety, nikt podczas moich lat studiów nie wyjaśnił mi, że funkcje trygonometryczne sinus i cosinus są tylko wartościami procentowymi. Ich wartości wahają się od +100% do 0 do -100% lub od maksimum dodatniego do zera do maksimum ujemnego.

Powiedzmy, że zapłaciłem podatek w wysokości 14 rubli. Nie wiesz, ile to kosztuje. Ale jeśli powiesz, że zapłaciłem 95% podatku, zrozumiesz, że zostałem po prostu obdarty ze skóry jak lepka.

Wysokość bezwzględna nic nie znaczy. Ale jeśli sinus wynosi 0,95, to rozumiem, że telewizor wisi prawie na szczycie twojej kopuły. Wkrótce osiągnie maksymalną wysokość w środku kopuły, a następnie zacznie ponownie opadać.

Jak możemy obliczyć ten procent? Bardzo proste: podziel aktualną wysokość ekranu przez maksymalną możliwą (promień kopuły, zwany również przeciwprostokątną).

Dlatego powiedziano nam, że „cosinus = przeciwprostokątna / przeciwprostokątna”. To wszystko po to, aby uzyskać procent! Najlepszym sposobem zdefiniowania sinusa jest „procent aktualnej wysokości od maksymalnej możliwej”. (Sinus staje się ujemny, jeśli twój kąt wskazuje „pod ziemią”. Cosinus staje się ujemny, jeśli kąt wskazuje punkt kopuły za tobą.)

Uprośćmy obliczenia, zakładając, że znajdujemy się w środku okręgu jednostkowego (promień = 1). Możemy pominąć dzielenie i po prostu wziąć sinus równy wysokości.

W rzeczywistości każde koło jest pojedynczym, powiększonym lub pomniejszonym w skali do pożądanego rozmiaru. Określ więc relacje na okręgu jednostkowym i zastosuj wyniki do konkretnego rozmiaru okręgu.

Eksperyment: weź dowolny róg i zobacz, jaki procent wysokości do szerokości wyświetla:

Wykres wzrostu wartości sinusa to nie tylko linia prosta. Pierwsze 45 stopni pokrywa 70% wysokości, a ostatnie 10 stopni (od 80° do 90°) tylko 2%.

To ci wyjaśni: jeśli jedziesz w kółko, przy 0 ° wznosisz się prawie pionowo, ale gdy zbliżasz się do szczytu kopuły, wysokość zmienia się coraz mniej.

Styczna i sieczna. Ściana

Pewnego dnia sąsiad zbudował mur od razu do tyłu do twojej kopuły. Płakał twój widok z okna i dobra cena odsprzedaży!

Ale czy w tej sytuacji można jakoś wygrać?

Oczywiście, że tak. A jeśli powiesimy ekran filmowy na ścianie sąsiada? Celujesz w róg (x) i otrzymujesz:

• tan(x) = tan(x) = wysokość ekranu na ścianie
• odległość od ciebie do ściany: 1 (to jest promień twojej kopuły, ściana nigdzie się od ciebie nie rusza, prawda?)
• secant(x) = sec(x) = „długość drabiny” od ciebie stojącego na środku kopuły do ​​górnej części zawieszonego ekranu

Wyjaśnijmy kilka rzeczy dotyczących stycznej lub wysokości ekranu.

• zaczyna się od 0 i może wzrosnąć nieskończenie wysoko. Możesz rozciągać ekran coraz wyżej na ścianie, aby uzyskać nieskończone płótno do oglądania ulubionego filmu! (Dla tak ogromnego, oczywiście, będziesz musiał wydać dużo pieniędzy).
• tangens to tylko powiększona wersja sinusa! I podczas gdy wzrost sinusoidy zwalnia, gdy zbliżasz się do szczytu kopuły, styczna nadal rośnie!

Sekansu też ma się czym pochwalić:

• sieczna zaczyna się od 1 (drabina jest na podłodze, z dala od ciebie w kierunku ściany) i zaczyna się stamtąd wznosić
• Sieczna jest zawsze dłuższa niż styczna. Pochylona drabina, na której wieszasz ekran, musi być dłuższa niż sam ekran, prawda? (Dla nierealistycznych rozmiarów, gdy ekran jest baaaardzo długi, a drabina musi być ustawiona prawie pionowo, ich rozmiary są prawie takie same. Ale nawet wtedy sieczna będzie trochę dłuższa).

Pamiętaj, że wartości są procent. Jeśli zdecydujesz się zawiesić ekran pod kątem 50 stopni, tan(50)=1,19. Twój ekran jest o 19% większy niż odległość od ściany (promień kopuły).

(Wpisz x=0 i przetestuj swoją intuicję - tan(0) = 0 i sec(0) = 1.)

Cotangens i cosecans. Sufit

To niewiarygodne, ale twój sąsiad postanowił teraz zbudować sufit nad twoją kopułą. (Co się z nim dzieje? Najwyraźniej nie chce, żebyś go podglądała, gdy chodzi nago po podwórku...)

Cóż, czas zbudować wyjście na dach i porozmawiać z sąsiadem. Wybierasz kąt nachylenia i zaczynasz budować:

• odległość w pionie między wpustem dachowym a podłogą zawsze wynosi 1 (promień kopuły)
• cotangent(x) = cot(x) = odległość między szczytem kopuły a punktem wyjścia
• cosecant(x) = csc(x) = długość Twojej drogi na dach

Tangens i secans opisują ścianę, a cotangens i cosecans opisują podłogę.

Nasze intuicyjne wnioski tym razem są podobne do poprzednich:

• Jeśli wybierzesz kąt 0°, wyjście na dach będzie trwało wiecznie, ponieważ nigdy nie dosięgnie sufitu. Problem.
• Najkrótsze „schody” na dach uzyskamy, jeśli zbudujemy je pod kątem 90 stopni do podłogi. Cotangens będzie równy 0 (w ogóle nie poruszamy się po dachu, wychodzimy ściśle prostopadle), a cosecans będzie równy 1 („długość drabiny” będzie minimalna).

Wizualizuj połączenia

Jeśli wszystkie trzy przypadki zostaną narysowane w kombinacji kopuła-ściana-podłoga, uzyskamy następujące wyniki:

Cóż, wow, to ten sam trójkąt, powiększony, by sięgać ściany i sufitu. Mamy boki pionowe (sinus, tangens), boki poziome (cosinus, cotangens) i „hipotenusy” (secans, cosecans). (Z strzałek możesz zobaczyć, jak daleko sięga każdy element. Cosecans to całkowita odległość od Ciebie do dachu).

Trochę magii. Wszystkie trójkąty mają te same równości:

Z twierdzenia Pitagorasa (a 2 + b 2 = c 2) widzimy, jak połączone są boki każdego trójkąta. Ponadto stosunki wysokości do szerokości również muszą być takie same dla wszystkich trójkątów. (Wystarczy cofnąć się z największego trójkąta do mniejszego. Tak, rozmiar się zmienił, ale proporcje boków pozostaną takie same).

Wiedząc, który bok w każdym trójkącie wynosi 1 (promień kopuły), możemy łatwo obliczyć, że „sin/cos = tan/1”.

Zawsze starałem się zapamiętać te fakty poprzez prostą wizualizację. Na zdjęciu wyraźnie widać te zależności i rozumiesz, skąd się biorą. Ta technika jest znacznie lepsza niż zapamiętywanie suchych formuł.

Nie zapomnij o innych kątach

Ciii… Nie trzeba się rozwieszać na jednym wykresie, myśląc, że tangens jest zawsze mniejszy niż 1. Zwiększając kąt, możesz sięgnąć sufitu bez sięgania do ściany:

Połączenia pitagorejskie zawsze działają, ale względne rozmiary mogą być różne.

(Prawdopodobnie zauważyłeś, że stosunek sinusa i cosinusa jest zawsze najmniejszy, ponieważ są one zamknięte w kopule).

Podsumowując: o czym musimy pamiętać?

Większości z nas powiedziałbym, że to wystarczy:

• trygonometria wyjaśnia anatomię obiektów matematycznych, takich jak koła i powtarzające się interwały
• analogia kopuły/ściany/dachu pokazuje związek między różnymi funkcjami trygonometrycznymi
• wynikiem funkcji trygonometrycznych są wartości procentowe, które stosujemy do naszego scenariusza.

Nie musisz zapamiętywać formuł takich jak 1 2 + cot 2 = csc 2 . Nadają się tylko do głupich testów, w których wiedza o jakimś fakcie jest prezentowana jako jego zrozumienie. Poświęć chwilę na narysowanie półkola w postaci kopuły, ściany i dachu, podpisz elementy, a wszystkie wzory poproszą za Ciebie na papierze.

aplikacji: Funkcje odwrotne

Każda funkcja trygonometryczna przyjmuje jako dane wejściowe kąt i zwraca wynik jako wartość procentową. grzech(30) = 0,5. Oznacza to, że kąt 30 stopni zajmuje 50% maksymalnej wysokości.

Odwrotna funkcja trygonometryczna jest zapisywana jako sin -1 lub arcsin („arxine”). Jest również często napisany w różnych językach programowania.

Jeśli nasza wysokość wynosi 25% wysokości kopuły, jaki jest nasz kąt?

W naszej tabeli proporcji możesz znaleźć stosunek, w którym sieczna jest dzielona przez 1. Na przykład sieczna przez 1 (przeciwprostokątna do poziomu) będzie równa 1 podzielonej przez cosinus:

Powiedzmy, że nasza sieczna wynosi 3,5, czyli 350% promienia okręgu jednostkowego. Jakiemu kątowi nachylenia do ściany odpowiada ta wartość?

Dodatek: Kilka przykładów

Nudne zadanie. Skomplikujmy banalne „znajdź sinus” do „Jaka jest wysokość jako procent maksimum (niedoprostokątna)?”.

Po pierwsze, zauważ, że trójkąt jest obrócony. Nie ma w tym nic złego. Trójkąt ma również wysokość, na rysunku pokazano ją na zielono.

Jaka jest przeciwprostokątna? Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

3 2 + 4 2 = przeciwprostokątna 2 25 = przeciwprostokątna 2 5 = przeciwprostokątna

Dobrze! Sinus to procent wysokości od najdłuższego boku trójkąta, czyli przeciwprostokątnej. W naszym przykładzie sinus to 3/5 lub 0,60.

Oczywiście możemy iść na kilka sposobów. Teraz wiemy, że sinus wynosi 0,60 i możemy po prostu znaleźć arcus sinus:

Asin(0,6)=36,9

A oto inne podejście. Zauważ, że trójkąt jest „twarzą w twarz ze ścianą”, więc możemy użyć tangensa zamiast sinusa. Wysokość wynosi 3, odległość od ściany 4, więc styczna wynosi ¾ lub 75%. Możemy użyć arcus tangens, aby przejść od procentu z powrotem do kąta:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Przykład: Czy popłyniesz do brzegu?

Jesteś w łodzi i paliwa wystarczy na przepłynięcie 2 km. Jesteś teraz 0,25 km od wybrzeża. Pod jakim maksymalnym kątem do brzegu można do niego dopłynąć, aby mieć wystarczająco dużo paliwa? Dodatek do warunku problemu: mamy tylko tabelę wartości arcus cosinus.

Co mamy? Linię brzegową można przedstawić jako „ścianę” w naszym słynnym trójkącie, a „długość schodów” przymocowanych do ściany można przedstawić jako maksymalną możliwą odległość łodzią od brzegu (2 km). Pojawia się sieczna.

Najpierw musisz przejść na procenty. Mamy 2 / 0,25 = 8, co oznacza, że ​​możemy przepłynąć 8 razy większą odległość do brzegu (lub do ściany).

Powstaje pytanie „Co to jest sieczna 8?”. Ale nie możemy dać na to odpowiedzi, ponieważ mamy tylko cosinusy łukowe.

Używamy naszych wcześniej wyprowadzonych zależności, aby odwzorować sieczną na cosinus: „sec/1 = 1/cos”

Seansa 8 jest równa cosinusowi ⅛. Kąt, którego cosinus wynosi ⅛, to acos(1/8) = 82,8. I to jest największy kąt, na jaki możemy sobie pozwolić na łodzi z określoną ilością paliwa.

Nieźle, prawda? Bez analogii kopuła-ściana-sufit byłbym zdezorientowany wieloma formułami i obliczeniami. Wizualizacja problemu znacznie ułatwia poszukiwanie rozwiązania, poza tym warto zobaczyć, która funkcja trygonometryczna ostatecznie pomoże.

Przy każdym zadaniu pomyśl w ten sposób: czy interesuje mnie kopuła (sin/cos), ściana (tan/sec) czy sufit (łóżeczko/csc)?

A trygonometria stanie się znacznie przyjemniejsza. Proste obliczenia dla Ciebie!

Trygonometria to dział matematyki zajmujący się badaniem funkcji trygonometrycznych i ich wykorzystaniem w geometrii. Rozwój trygonometrii rozpoczął się w czasach starożytnej Grecji. W średniowieczu naukowcy z Bliskiego Wschodu i Indii wnieśli istotny wkład w rozwój tej nauki.

Artykuł poświęcony jest podstawowym pojęciom i definicjom trygonometrii. Omówiono definicje głównych funkcji trygonometrycznych: sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Wyjaśniono i zilustrowano ich znaczenie w kontekście geometrii.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Początkowo definicje funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest kąt, były wyrażane przez stosunek boków trójkąta prostokątnego.

Definicje funkcji trygonometrycznych

Sinus kąta (sin α) jest stosunkiem nogi przeciwnej do tego kąta do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta (cos α) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta (t g α) jest stosunkiem przeciwległego ramienia do sąsiedniego.

Cotangens kąta (ct g α) to stosunek sąsiedniego ramienia do przeciwległego.

Te definicje podano dla kąta ostrego trójkąta prostokątnego!

Podajmy ilustrację.

W trójkącie ABC o kącie prostym C sinus kąta A jest równy stosunkowi odnogi BC do przeciwprostokątnej AB.

Definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa umożliwiają obliczenie wartości tych funkcji ze znanych długości boków trójkąta.

Ważne do zapamiętania!

Zakres wartości sinusa i cosinusa: od -1 do 1. Innymi słowy, sinus i cosinus przyjmują wartości od -1 do 1. Zakres wartości tangens i cotangens to cała oś liczbowa, czyli te funkcje mogą przyjmować dowolną wartość.

Podane powyżej definicje odnoszą się do kątów ostrych. W trygonometrii wprowadza się pojęcie kąta obrotu, którego wartość, w przeciwieństwie do kąta ostrego, nie jest ograniczona ramkami od 0 do 90 st. Kąt obrotu w stopniach lub radianach wyraża się dowolną liczbą rzeczywistą od - ∞ do + ∞.

W tym kontekście można zdefiniować sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta o dowolnej wielkości. Wyobraź sobie okrąg jednostkowy wyśrodkowany na początku kartezjańskiego układu współrzędnych.

Punkt początkowy A o współrzędnych (1 , 0) obraca się wokół środka okręgu jednostkowego o pewien kąt α i przechodzi do punktu A 1 . Definicja jest podana poprzez współrzędne punktu A 1 (x, y).

Sinus (sin) kąta obrotu

Sinus kąta obrotu α jest rzędną punktu A 1 (x, y). sinα = y

Cosinus (cos) kąta obrotu

Cosinus kąta obrotu α jest odciętą punktu A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) kąta obrotu

Tangens kąta obrotu α jest stosunkiem rzędnej punktu A 1 (x, y) do jego odciętej. t g α = y x

Cotangens (ctg) kąta obrotu

Cotangens kąta obrotu α jest stosunkiem odciętej punktu A 1 (x, y) do jego rzędnej. c t g α = x y

Sinus i cosinus są definiowane dla dowolnego kąta obrotu. Jest to logiczne, ponieważ odciętą i rzędną punktu po obrocie można wyznaczyć pod dowolnym kątem. Inaczej jest z tangensem i cotangensem. Styczna nie jest zdefiniowana, gdy punkt po obrocie przechodzi do punktu z zerową odciętą (0 , 1) i (0 , - 1). W takich przypadkach wyrażenie na styczną t g α = y x po prostu nie ma sensu, ponieważ zawiera dzielenie przez zero. Podobnie jest z cotangensem. Różnica polega na tym, że cotangens nie jest zdefiniowany w przypadkach, gdy znika rzędna punktu.

Ważne do zapamiętania!

Sinus i cosinus są zdefiniowane dla dowolnych kątów α.

Styczna jest zdefiniowana dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Cotangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów z wyjątkiem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Rozwiązując praktyczne przykłady, nie mów „sinus kąta obrotu α”. Słowa „kąt obrotu” są po prostu pominięte, co sugeruje, że z kontekstu już wiadomo, o co toczy się gra.

Liczby

A co z definicją sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby, a nie kąta obrotu?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens liczby

Sinus, cosinus, tangens i cotangens liczby t wywoływana jest liczba, która jest odpowiednio równa sinusowi, cosinusowi, tangensowi i cotangensowi in t radian.

Na przykład sinus 10 π jest równy sinusowi kąta obrotu 10 π rad.

Istnieje inne podejście do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa liczby. Rozważmy to bardziej szczegółowo.

Dowolna liczba rzeczywista t punkt na okręgu jednostkowym jest umieszczany zgodnie ze środkiem w początku prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych. Sinus, cosinus, tangens i cotangens są definiowane w kategoriach współrzędnych tego punktu.

Punktem początkowym na okręgu jest punkt A o współrzędnych (1 , 0).

Liczba dodatnia t

Liczba ujemna t odpowiada punktowi, do którego przesunie się punkt początkowy, jeśli przesunie się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół okręgu i minie ścieżkę t .

Teraz, gdy ustalono związek między liczbą a punktem na okręgu, przechodzimy do definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Sin (sin) liczby t

Sinus liczby t- rzędna punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. grzech t = y

Cosinus (cos) z t

Cosinus liczby t- odcięta punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. cos t = x

Tangens (tg) z t

Tangens liczby t- stosunek rzędnej do odciętej punktu okręgu jednostkowego odpowiadającego liczbie t. t g t = y x = sin t cos t

Te ostatnie definicje są zgodne i nie są sprzeczne z definicją podaną na początku tej sekcji. Punkt na okręgu odpowiadającym liczbie t, pokrywa się z punktem, do którego przechodzi punkt początkowy po skręcie o kąt t radian.

Funkcje trygonometryczne argumentu kątowego i liczbowego

Każda wartość kąta α odpowiada pewnej wartości sinusa i cosinusa tego kąta. Tak jak wszystkie kąty α inne niż α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odpowiada pewnej wartości tangensa. Cotangens, jak wspomniano powyżej, jest zdefiniowany dla wszystkich α, z wyjątkiem α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Możemy powiedzieć, że sin α , cos α , t g α , c t g α są funkcjami kąta alfa lub funkcjami argumentu kątowego.

Podobnie można mówić o sinus, cosinus, tangens i cotangens jako funkcjach argumentu liczbowego. Każda liczba rzeczywista t odpowiada określonej wartości sinusa lub cosinusa liczby t. Wszystkie liczby inne niż π 2 + π · k , k ∈ Z odpowiadają wartości tangensa. Cotangens jest podobnie zdefiniowany dla wszystkich liczb z wyjątkiem π · k , k ∈ Z.

Podstawowe funkcje trygonometrii

Sinus, cosinus, tangens i cotangens to podstawowe funkcje trygonometryczne.

Z kontekstu zwykle wynika, z jakim argumentem funkcji trygonometrycznej (argument kątowy czy argument liczbowy) mamy do czynienia.

Wróćmy do danych na samym początku definicji i kąta alfa, który zawiera się w przedziale od 0 do 90 stopni. Definicje trygonometryczne sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa są w pełni zgodne z definicjami geometrycznymi podanymi przy użyciu stosunków boków trójkąta prostokątnego. Pokażmy to.

Weźmy okrąg jednostkowy wyśrodkowany na prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Obróćmy punkt początkowy A (1, 0) o kąt do 90 stopni i narysujmy od wynikowego punktu A 1 (x, y) prostopadle do osi x. W powstałym trójkącie prostokątnym kąt A 1 OH jest równy kątowi obrotu α, długość ramienia OH jest równa odciętej punktu A 1 (x, y) . Długość odnogi przeciwległej do narożnika jest równa rzędnej punktu A 1 (x, y), a długość przeciwprostokątnej jest równa jeden, ponieważ jest to promień okręgu jednostkowego.

Zgodnie z definicją z geometrii, sinus kąta α jest równy stosunkowi przeciwległej nogi do przeciwprostokątnej.

grzech α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Oznacza to, że definicja sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym przez współczynnik kształtu jest równoważna definicji sinusa kąta obrotu α, gdzie alfa mieści się w zakresie od 0 do 90 stopni.

Podobnie, zgodność definicji można wykazać dla cosinusa, tangensa i cotangensa.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Nazywa się stosunek przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej sinus kąta ostrego trójkąt prostokątny.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Nazywa się stosunek najbliższej nogi do przeciwprostokątnej cosinus kąta ostrego trójkąt prostokątny.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Styczna do kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Nazywa się stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej nogi styczna pod kątem ostrym trójkąt prostokątny.

tg \alfa = \frac(a)(b)

Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Nazywa się stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej nogi cotangens kąta ostrego trójkąt prostokątny.

ctg \alfa = \frac(b)(a)

Sinus dowolnego kąta

Rzędną punktu na okręgu jednostkowym, któremu odpowiada kąt \alpha, nazywamy sinus dowolnego kąta obrót \alfa .

\sin \alpha=y

Cosinus dowolnego kąta

Odcięta punktu na okręgu jednostkowym, któremu odpowiada kąt \alpha, nazywa się cosinus dowolnego kąta obrót \alfa .

\cos \alpha=x

Styczna pod dowolnym kątem

Stosunek sinusa dowolnego kąta obrotu \alpha do jego cosinusa nazywamy tangens pod dowolnym kątem obrót \alfa .

tg \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)

Cotangens dowolnego kąta

Stosunek cosinusa dowolnego kąta obrotu \alpha do jego sinusa nazywamy cotangens dowolnego kąta obrót \alfa .

ctg \alfa =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alfa)(\sin \alfa)

Przykład znajdowania dowolnego kąta

Jeśli \alpha jest pewnym kątem AOM , gdzie M jest punktem na okręgu jednostkowym, to

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na przykład, jeśli \angle AOM = -\frac(\pi)(4), wtedy: rzędna punktu M to -\frac(\sqrt(2))(2), odcięta jest \frac(\sqrt(2))(2) i własnie dlatego

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabela wartości sinusów cosinusów tangensów cotangensów

Wartości głównych często spotykanych kątów podano w tabeli:

Zatoka kąt ostry α trójkąta prostokątnego to stosunek naprzeciwko cewnik do przeciwprostokątnej.
Oznaczono go następująco: sin α.

Cosinus kąt ostry α trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Oznaczono go następująco: cos α.

Tangens kąt ostry α to stosunek przeciwległej nogi do sąsiedniej nogi.
Oznaczono go następująco: tg α.

Cotangens kąt ostry α to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej.
Jest oznaczony następująco: ctg α.

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta zależą tylko od wielkości kąta.

Zasady:

Podstawowe tożsamości trygonometryczne w trójkącie prostokątnym:

(α - kąt ostry naprzeciw nogi b i przylegające do nogi a . Strona z - przeciwprostokątna. β - drugi kąt ostry).

Wraz ze wzrostem kąta ostregosinα iwzrost tg α, icos α maleje.

Dla dowolnego kąta ostrego α:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Przykład wyjaśniający:

Niech w trójkącie prostokątnym ABC
AB = 6,
pne = 3,
kąt A = 30º.

Znajdź sinus kąta A i cosinus kąta B.

Decyzja .

1) Najpierw znajdujemy wartość kąta B. Tutaj wszystko jest proste: ponieważ w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90º, to kąt B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) Oblicz sin A. Wiemy, że sinus jest równy stosunkowi przeciwprostej nogi do przeciwprostokątnej. W przypadku kąta A przeciwległa noga to bok BC. Więc:

BC 3 1
grzech A = -- = - = -
AB 6 2

3) Teraz obliczamy cos B. Wiemy, że cosinus jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. W przypadku kąta B sąsiednia noga jest tą samą stroną BC. Oznacza to, że ponownie musimy podzielić BC na AB - czyli wykonać te same czynności, co przy obliczaniu sinusa kąta A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Wynik to:
grzech A = cos B = 1/2.

grzech 30º = cos 60º = 1/2.

Wynika z tego, że w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego jest równy cosinusowi innego kąta ostrego - i odwrotnie. Dokładnie to oznaczają nasze dwie formuły:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

Sprawdźmy to jeszcze raz:

1) Niech α = 60º. Podstawiając wartość α do wzoru na sinus, otrzymujemy:
grzech (90º - 60º) = cos 60º.
grzech 30º = cos 60º.

2) Niech α = 30º. Podstawiając wartość α do wzoru cosinus, otrzymujemy:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Więcej informacji na temat trygonometrii znajduje się w sekcji Algebra)