Tam, gdzie rozważano zadania rozwiązywania trójkąta prostokątnego, obiecałem przedstawić technikę zapamiętywania definicji sinusa i cosinusa. Używając go, zawsze szybko zapamiętasz, która noga należy do przeciwprostokątnej (sąsiadująca lub przeciwna). Postanowiłem nie odkładać tego w nieskończoność, niezbędny materiał poniżej, proszę zobaczyć

Faktem jest, że wielokrotnie obserwowałem, jak uczniowie klas 10-11 mają trudności z zapamiętaniem tych definicji. Bardzo dobrze pamiętają, że noga odnosi się do przeciwprostokątnej, ale która…- zapomnij i zmieszany. Ceną pomyłki, jak wiadomo na egzaminie, jest stracony wynik.

Informacje, które przedstawię bezpośrednio matematyce, nie mają nic wspólnego. Jest związana z myślenie figuratywne, oraz metodami połączenia werbalno-logicznego. Zgadza się, ja sam raz na zawsze zapamiętanydane definicji. Jeśli nadal o nich zapomnisz, to przy pomocy przedstawionych technik zawsze łatwo je zapamiętać.

Przypomnę definicje sinusa i cosinusa w trójkącie prostokątnym:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym jest stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Zatoka kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Jakie skojarzenia wywołuje w tobie słowo cosinus?

Prawdopodobnie każdy ma swojeZapamiętaj link:

W ten sposób natychmiast będziesz mieć wyraz w swojej pamięci -

«… stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej».

Problem z definicją cosinusa został rozwiązany.

Jeśli chcesz zapamiętać definicję sinusa w trójkącie prostokątnym, to pamiętając definicję cosinusa, możesz łatwo ustalić, że sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej. W końcu są tylko dwie nogi, jeśli sąsiednia noga jest „zajęta” przez cosinus, to dla sinusa pozostaje tylko przeciwna strona.

A co z tangensem i cotangensem? To samo zamieszanie. Uczniowie wiedzą, że jest to stosunek nóg, ale problem polega na tym, aby pamiętać, która z nich odnosi się do której - albo przeciwnie do sąsiednich, albo odwrotnie.

Definicje:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej:

Jak zapamiętać? Są dwa sposoby. Jedno również wykorzystuje połączenie werbalno-logiczne, drugie - matematyczne.

METODA MATEMATYCZNA

Jest taka definicja - tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

* Pamiętając wzór, zawsze możesz określić, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem odnogi przeciwległej do sąsiedniej.

Podobnie.Cotangens kąta ostrego to stosunek cosinusa kąta do jego sinusa:

Więc! Pamiętając te formuły, zawsze możesz określić, że:

- tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwległego ramienia do sąsiedniego

- cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwległej.

METODA WERBALNO-LOGICZNA

O stycznej. Zapamiętaj link:

Oznacza to, że jeśli musisz zapamiętać definicję stycznej, korzystając z tego logicznego połączenia, możesz łatwo zapamiętać, co to jest

„...stosunek przeciwnej nogi do sąsiedniej”

Jeśli chodzi o cotangens, to pamiętając definicję tangensa, możesz łatwo wyrazić definicję cotangensa -

"... stosunek sąsiedniej nogi do przeciwnej"

Istnieje ciekawa technika zapamiętywania tangensa i cotangensa na stronie " Tandem matematyczny " , Popatrz.

METODA UNIWERSALNA

Możesz po prostu zmielić.Ale jak pokazuje praktyka, dzięki powiązaniom werbalno-logicznym człowiek zapamiętuje informacje na długi czas, nie tylko matematyczne.

Mam nadzieję, że materiał był dla Ciebie przydatny.

Z poważaniem Aleksander Krutitskikh

PS: Byłbym wdzięczny, gdybyś opowiedział o stronie w sieciach społecznościowych.

Zrozumienie prostych pojęć: sinus i cosinus i obliczenia cosinus do kwadratu i sinus do kwadratu.

Sinus i cosinus są badane w trygonometrii (nauce o trójkątach pod kątem prostym).

Dlatego na początek przypomnijmy podstawowe pojęcia trójkąta prostokątnego:

Przeciwprostokątna- strona, która zawsze leży pod kątem prostym (kąt 90 stopni). Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego.

Pozostałe dwa boki w trójkącie prostokątnym to nogi.

Pamiętaj też, że trzy kąty w trójkącie zawsze sumują się do 180°.

Przejdźmy teraz do cosinus i sinus kąta alfa (∠α)(dzięki czemu możesz nazwać dowolny kąt nieprosty w trójkącie lub użyć jako symbolu) x - "x", co nie zmienia istoty).

Sinus kąta alfa (sin ∠α)- to postawa naprzeciwko noga (strona przeciwna do odpowiedniego kąta) do przeciwprostokątnej. Jeśli spojrzysz na figurę, to grzech ∠ABC = AC / BC

Cosinus kąta alfa (cos ∠α)- postawa przylegający od kąta nogi do przeciwprostokątnej. Patrząc ponownie na powyższy rysunek, to cos ∠ABC = AB / BC

Dla przypomnienia: cosinus i sinus nigdy nie będą większe niż jeden, ponieważ każda rolka jest krótsza niż przeciwprostokątna (a przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem dowolnego trójkąta, ponieważ najdłuższy bok znajduje się naprzeciwko największego kąta w trójkącie) .

Cosinus do kwadratu, sinus do kwadratu

Przejdźmy teraz do głównego formuły trygonometryczne: oblicz cosinus do kwadratu i sinus do kwadratu.

Aby je obliczyć, należy pamiętać o podstawowej tożsamości trygonometrycznej:

sin 2 α + cos 2 α = 1(sinus kwadrat plus cosinus kwadrat jednego kąta zawsze równa się jeden).

Od tożsamość trygonometryczna wyciągamy wnioski dotyczące sinusa:

grzech 2 α \u003d 1 - cos 2 α

sinus kwadrat alfa równa się jeden minus cosinus podwójny kąt alfa i to wszystko podzielone przez dwa.

sin2α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​Z tożsamości trygonometrycznej wyciągamy wnioski dotyczące cosinusa:

cos 2 α \u003d 1 - grzech 2 α

lub bardziej złożona wersja formuły: cosinus kwadrat alfa jest równy jeden plus cosinus podwójnego kąta alfa, a także dzieli wszystko przez dwa.

cos2α = (1 + cos(2α)) / 2

Te dwa są więcej złożone formuły sinus do kwadratu i cosinus do kwadratu są również nazywane „ubytkiem o kwadraty funkcje trygonometryczne”. Tych. był drugi stopień, obniżony do pierwszego i obliczenia stały się wygodniejsze.

Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze zrozumieć te na pierwszy rzut oka skomplikowane koncepcje (które wywołują u wielu uczniów stan przerażenia) i upewnić się, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od początku i zrozum pojęcie kąta.

Pojęcie kąta: radian, stopień

Spójrzmy na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Tak więc miarą tego obrotu w stosunku do pozycji początkowej będzie zastrzyk.

Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Oczywiście jednostki kąta!

Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.

Nazywa się kąt (jeden stopień) centralny róg w okręgu, opartym na łuku kołowym równym części okręgu. Tak więc cały okrąg składa się z „kawałków” łuków kołowych lub kąt opisany przez okrąg jest równy.

Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje równy kąt, to znaczy ten kąt jest oparty na łuku kołowym o rozmiarze obwodu.

Kąt w radianach nazywany jest kątem środkowym okręgu, opartym na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, zrozumiałeś? Jeśli nie, spójrzmy na zdjęcie.

Tak więc rysunek pokazuje kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość jest równa długości lub promieniowi równa długościłuki). Zatem długość łuku oblicza się według wzoru:

Gdzie jest kąt środkowy w radianach.

Wiedząc o tym, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera kąt opisany przez okrąg? Tak, w tym celu musisz zapamiętać wzór na obwód koła. Tutaj jest:

Cóż, teraz skorelujmy te dwie formuły i uzyskajmy, że kąt opisany przez okrąg jest równy. To znaczy, skorelując wartość w stopniach i radianach, otrzymujemy to. Odpowiednio . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radiany” jest pomijane, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.

Ile jest radianów? Zgadza się!

Rozumiem? Następnie przewiń do przodu:

Jakieś trudności? Potem spójrz odpowiedzi:

Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta

Tak więc, z koncepcją kąta. Ale jaki jest sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta? Rozwiążmy to. W tym celu pomożemy trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok); nogi to dwie pozostałe strony i (te przylegające do prosty kąt), ponadto, jeśli weźmiemy pod uwagę nogi względem kąta, to noga jest nogą sąsiednią, a noga przeciwną. A teraz odpowiedzmy na pytanie: jaki jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Sinus kąta jest stosunkiem przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.

w naszym trójkącie.

Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

w naszym trójkącie.

Styczna kąta- jest to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).

w naszym trójkącie.

Cotangens kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).

w naszym trójkącie.

Te definicje są niezbędne Zapamiętaj! Aby łatwiej było zapamiętać, którą nogę podzielić przez co, musisz to jasno zrozumieć w tangens oraz cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka oraz cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:

cosinus→dotyk→dotyk→sąsiadujący;

Cotangens→dotyk→dotyk→sąsiadujący.

Przede wszystkim należy pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens jako stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod jednym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:

Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta: , ale możemy obliczyć cosinus kąta z trójkąta: . Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je napraw!

Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy.

Cóż, dostałeś to? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla rogu.

Koło jednostkowe (trygonometryczne)

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważyliśmy okrąg o promieniu równym. Taki krąg nazywa się pojedynczy. Jest bardzo przydatny w badaniach trygonometrii. Dlatego zajmiemy się tym bardziej szczegółowo.

Jak widać, okrąg ten zbudowany jest w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, natomiast środek okręgu leży w początku, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).

Każdy punkt okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej wzdłuż osi i współrzędnej wzdłuż osi. Co to za współrzędne? A ogólnie, co mają wspólnego z omawianym tematem? Aby to zrobić, pamiętaj o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe prawe trójkąty. Rozważ trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do ​​osi.

Co jest równe z trójkąta? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okręgu jednostkowego, a więc . Podstaw tę wartość do naszego wzoru cosinusa. Oto, co się dzieje:

A co jest równe z trójkąta? Ależ oczywiście, ! Podstaw wartość promienia do tego wzoru i uzyskaj:

Czy możesz powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt, należący do kręgu? Cóż, nie ma mowy? A jeśli zdajesz sobie z tego sprawę i to tylko liczby? Jakiej współrzędnej to odpowiada? Oczywiście współrzędne! Jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, koordynuj! Tak więc punkt.

A co wtedy są równe i? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensa i cotangensa i zdobądźmy to.

Co jeśli kąt jest większy? Tutaj na przykład jak na tym obrazku:

Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, ponownie zwracamy się do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (jako sąsiadujący z kątem). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta? Zgadza się, przestrzegamy odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:

Jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; oraz wartości tangensa i cotangensa do odpowiednich stosunków. Zatem te relacje mają zastosowanie do dowolnych obrotów wektora promienia.

Wspomniano już, że początkowe położenie wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obróciliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go zgodnie z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, dostaniesz też kąt o określonej wielkości, ale tylko to będzie ujemne. Tak więc, obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy dodatnie kąty, a przy obrocie w prawo - negatywny.

Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu to lub. Czy można obrócić wektor promienia o lub o? Oczywiście, że możesz! Dlatego w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.

W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi i tak dalej. Ta lista może być kontynuowana w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)

Teraz, znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i używając okręgu jednostkowego, spróbuj odpowiedzieć, jakie wartości są równe:

Oto krąg jednostek, który może ci pomóc:

Jakieś trudności? Więc zastanówmy się. Wiemy więc, że:

Stąd określamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy w kolejności: róg w odpowiada punktowi o współrzędnych, a zatem:

Nie istnieje;

Ponadto, przestrzegając tej samej logiki, dowiadujemy się, że rogi odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym łatwo wyznaczyć wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

Nie istnieje

Nie istnieje

Nie istnieje

Nie istnieje

W ten sposób możemy wykonać następującą tabelę:

Nie trzeba pamiętać wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i podane w poniższej tabeli: trzeba pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy jeden z przykładów dość proste zapamiętywanie odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać wartości sinusa dla wszystkich trzech miar kąta () oraz wartość tangensa kąta w. Znając te wartości dość łatwo jest odtworzyć całą tabelę - wartości cosinusów są przenoszone zgodnie ze strzałkami, czyli:

Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości. Licznik „ ” będzie zgodny, a mianownik „ ” będzie zgodny. Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami pokazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz schemat ze strzałkami, wystarczy zapamiętać całą wartość z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?

Oczywiście, że możesz! Wydobądźmy ogólna formuła znaleźć współrzędne punktu.

Tutaj np. mamy taki krąg:

Dano nam, że punkt jest środkiem koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrót punktu o stopnie.

Jak widać na rysunku, współrzędna punktu odpowiada długości odcinka. Długość segmentu odpowiada współrzędnej środka koła, czyli jest równa. Długość segmentu można wyrazić za pomocą definicji cosinusa:

Wtedy mamy to dla punktu współrzędnej.

Zgodnie z tą samą logiką znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. Zatem,

tak w ogólny widok współrzędne punktów wyznaczają wzory:

Współrzędne środka okręgu,

promień okręgu,

Kąt obrotu wektora promienia.

Jak widać, dla rozpatrywanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka wynoszą zero, a promień jest równy jeden:

Cóż, wypróbujmy te formuły dla smaku, ćwicząc znajdowanie punktów na kole?

1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.

2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez obrót punktu.

3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym przez włączenie punktu.

4. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

5. Punkt - środek koła. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego przez obrócenie wektora promienia początkowego o.

Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?

Rozwiąż te pięć przykładów (lub dobrze zrozum rozwiązanie), a dowiesz się, jak je znaleźć!

1.

Można zauważyć, że. I wiemy, co odpowiada pełnemu obrocie punktu wyjścia. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:

2. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że ​​możemy używać uproszczonych wzorów:

Można zauważyć, że. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu początkowego. W ten sposób żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co podczas obracania się. Wiedząc o tym, znajdujemy pożądane współrzędne punktu:

Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Zapamiętujemy ich wartości i otrzymujemy:

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

3. Okrąg jest jednostką ze środkiem w punkcie, co oznacza, że ​​możemy używać uproszczonych wzorów:

Można zauważyć, że. Przedstawmy rozważany przykład na rysunku:

Promień tworzy kąty z osią równą i. Wiedząc, że tabelaryczne wartości cosinusa i sinusa są równe i po ustaleniu, że cosinus ma tutaj wartość ujemną, a sinus jest dodatni, mamy:

Podobne przykłady są analizowane bardziej szczegółowo podczas studiowania wzorów redukcji funkcji trygonometrycznych w temacie.

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

4.

Kąt obrotu wektora promienia (według warunku)

Aby wyznaczyć odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt:

Jak widać, wartość, to znaczy jest dodatnia, a wartość, to znaczy jest ujemna. Znając wartości tabelaryczne odpowiednich funkcji trygonometrycznych otrzymujemy, że:

Otrzymane wartości podstawmy do naszego wzoru i znajdźmy współrzędne:

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

5. Aby rozwiązać ten problem, używamy formuł w postaci ogólnej, gdzie

Współrzędne środka okręgu (w naszym przykładzie

Promień okręgu (według warunku)

Kąt obrotu wektora promienia (według warunku).

Zastąp wszystkie wartości formułą i uzyskaj:

oraz - wartości tabeli. Zapamiętujemy je i podstawiamy do formuły:

W ten sposób żądany punkt ma współrzędne.

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWA FORMUŁA

Sinus kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do sąsiedniej (bliskiej).

Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (daleko).

Tożsamości trygonometryczne są równościami, które ustalają związek między sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta, co pozwala znaleźć dowolną z tych funkcji, pod warunkiem, że znana jest jakakolwiek inna.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Tożsamość ta mówi, że suma kwadratu sinusa jednego kąta i kwadratu cosinusa jednego kąta jest równa jeden, co w praktyce umożliwia obliczenie sinusa jednego kąta, gdy znany jest jego cosinus i odwrotnie .

Podczas konwersji wyrażeń trygonometrycznych bardzo często używa się tej tożsamości, co pozwala zastąpić sumę kwadratów cosinusa i sinusa jednego kąta przez jeden, a także wykonać operację zamiany w odwrotnej kolejności.

Znajdowanie tangensa i cotangensa przez sinus i cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspacja

Tożsamości te są tworzone z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. W końcu, jeśli spojrzysz, to z definicji rzędna y jest sinusem, a odcięta x jest cosinusem. Wtedy styczna będzie jest równy stosunkowi \frac(y)(x)=\frac(\sin \alfa)(\cos \alfa), a stosunek \frac(x)(y)=\frac(\cos \alfa)(\sin \alfa)- będzie cotangensem.

Dodajemy, że tylko dla takich kątów \alpha, dla których zawarte w nich funkcje trygonometryczne mają sens, tożsamości będą miały miejsce , ctg \alpha=\frac(\cos \alfa)(\sin \alfa).

Na przykład: tg \alpha = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa) obowiązuje dla kątów \alpha, które są różne od \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alfa)(\sin \alfa)- dla kąta \alpha innego niż \pi z , z jest liczbą całkowitą.

Związek między styczną i cotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Tożsamość ta obowiązuje tylko dla kątów \alpha, które są różne od \frac(\pi)(2) z. W przeciwnym razie cotangens lub tangens nie zostaną określone.

Na podstawie powyższych punktów otrzymujemy to tg \alfa = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Stąd wynika, że tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Zatem tangens i cotangens jednego kąta, pod którym mają sens, są wzajemnie odwrotnymi liczbami.

Związki między tangens i cosinus, cotangens i sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma kwadratu tangensa kąta \alpha i 1 jest równa odwrotności kwadratu cosinusa tego kąta. Ta tożsamość jest ważna dla wszystkich \alpha innych niż \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma 1 i kwadratu cotangensa kąta \alpha jest równa odwrotności kwadratu sinusa podany kąt. Ta tożsamość jest ważna dla wszystkich \alpha innych niż \pi z .

Przykłady z rozwiązaniami problemów z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych

Przykład 1

Znajdź \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 oraz \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Funkcje \sin \alpha i \cos \alpha są połączone wzorem \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Podstawiając do tego wzoru \cos \alpha = -\frac12, otrzymujemy:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

To równanie ma 2 rozwiązania:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Według warunku \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . W drugim kwartale sinus jest dodatni, więc \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Aby znaleźć tg \alpha , używamy wzoru tg \alpha = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Przykład 2

Znajdź \cos \alpha i ctg \alpha if i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Pokaż rozwiązanie

Decyzja

Podstawianie do formuły \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 numer warunkowy \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostajemy \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. To równanie ma dwa rozwiązania \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Według warunku \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . W drugim kwartale cosinus jest ujemny, więc \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Aby znaleźć ctg \alpha , używamy wzoru ctg \alpha = \frac(\cos \alfa)(\sin \alfa). Znamy odpowiednie wartości.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Notatka. Ta tabela wartości funkcji trygonometrycznych używa znaku √ do oznaczenia pierwiastek kwadratowy. Aby oznaczyć ułamek - symbol „/”.

Zobacz też przydatne materiały:

Do wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznej, znajdź go na przecięciu linii wskazującej funkcję trygonometryczną. Np. sinus 30 stopni - szukamy kolumny z nagłówkiem sin (sinus) i znajdujemy przecięcie tej kolumny tabeli z linią "30 stopni", na ich przecięciu odczytujemy wynik - jeden druga. Podobnie znajdujemy cosinus 60 stopnie, sinus 60 stopnie (ponownie, na przecięciu kolumny sin (sinus) i rzędu 60 stopni, który znajdujemy wartość grzechu 60 = √3/2) itd. W ten sam sposób znajdują się wartości sinusów, cosinusów i tangensów innych „popularnych” kątów.

Sinus pi, cosinus pi, tangens pi i inne kąty w radianach

Poniższa tabela cosinusów, sinusów i tangensów jest również odpowiednia do znalezienia wartości funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest podane w radianach. Aby to zrobić, użyj drugiej kolumny wartości kątów. Dzięki temu możesz przeliczyć wartość popularnych kątów ze stopni na radiany. Na przykład znajdźmy kąt 60 stopni w pierwszym wierszu i odczytajmy pod nim jego wartość w radianach. 60 stopni równa się π/3 radianom.

Liczba pi jednoznacznie wyraża zależność obwodu koła od miary stopnia kąta. Więc pi radiany równa się 180 stopni.

Dowolną liczbę wyrażoną w postaci pi (radianów) można łatwo przeliczyć na stopnie, zastępując liczbę pi (π) przez 180.

Przykłady:
1. sinus pi.
grzech π = grzech 180 = 0
zatem sinus pi jest taki sam jak sinus 180 stopni i jest równy zero.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
zatem cosinus pi jest taki sam jak cosinus 180 stopni i jest równy minus jeden.

3. styczna pi
tg π = tg 180 = 0
zatem tangens pi jest taki sam jak tangens 180 stopni i jest równy zero.

Tabela wartości sinus, cosinus, tangens dla kątów 0 - 360 stopni (wartości częste)

Jeżeli w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych zamiast wartości funkcji wskazano kreskę (styczna (tg) 90 stopni, cotangens (ctg) 180 stopni), to dla danej wartości miary stopnia kąt, funkcja nie ma określonej wartości. Jeśli nie ma kreski - komórka jest pusta, to jeszcze nie weszliśmy Pożądana wartość. Jesteśmy ciekawi, na jakie prośby zwracają się do nas użytkownicy i uzupełniają tabelę o nowe wartości, mimo że aktualne dane dotyczące wartości cosinusów, sinusów i tangensów najczęstszych wartości kątów wystarczą do rozwiązania większości problemy.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg dla najpopularniejszych kątów
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopni
(wartości liczbowe „wg tabel Bradisa”)