Jak ustalić, czy linia należy do okręgu. Styczna do okręgu

Najpierw zrozummy różnicę między kołem a kołem. Aby zobaczyć tę różnicę, wystarczy zastanowić się, czym są obie liczby. Jest to nieskończona liczba punktów na płaszczyźnie, znajdujących się w równej odległości od jednego punktu centralnego. Ale jeśli koło składa się również z przestrzeni wewnętrznej, to nie należy do koła. Okazuje się, że okrąg jest zarówno kołem, który go ogranicza (o-koło (g)ness), jak i niezliczoną liczbą punktów znajdujących się wewnątrz koła.

Dla dowolnego punktu L leżącego na okręgu obowiązuje równość OL=R. (Długość odcinka OL jest równa promieniowi koła).

Odcinek linii łączący dwa punkty na okręgu to akord.

Cięciwa przechodząca bezpośrednio przez środek koła to średnica ten okrąg (D). Średnicę można obliczyć ze wzoru: D=2R

Obwód obliczone ze wzoru: C=2\pi R

Powierzchnia koła: S=\pi R^(2)

łuk koła nazywana jest tą jego częścią, która znajduje się pomiędzy dwoma jego punktami. Te dwa punkty wyznaczają dwa łuki okręgu. Akord CD opiera się na dwóch łukach: CMD i CLD. Te same akordy opierają się na tych samych łukach.

Centralny róg jest kątem między dwoma promieniami.

długość łuku można znaleźć za pomocą wzoru:

1. Korzystanie ze stopni: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Używając miary radianowej: CD = \alpha R

Średnica prostopadła do cięciwy przecina cięciwę i łuki, które obejmuje.

Jeżeli cięciwy AB i CD koła przecinają się w punkcie N, to iloczyny odcinków cięciw oddzielonych punktem N są sobie równe.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu Zwyczajowo nazywa się linię prostą, która ma jeden wspólny punkt z okręgiem.

Jeśli prosta ma dwa punkty wspólne, nazywa się ją sieczna.

Jeśli narysujesz promień w punkcie styku, będzie on prostopadły do ​​stycznej do okręgu.

Narysujmy dwie styczne z tego punktu do naszego okręgu. Okazuje się, że odcinki stycznych będą sobie równe, a środek okręgu będzie się znajdował na dwusiecznej kąta z wierzchołkiem w tym punkcie.

AC=CB

Teraz rysujemy styczną i sieczną do okręgu z naszego punktu. Otrzymujemy, że kwadrat długości odcinka stycznego będzie równy iloczynowi całego siecznego odcinka przez jego zewnętrzną część.

AC^(2) = CD \cdot pne

Możemy wywnioskować: iloczyn segmentu całkowitego pierwszej siecznej przez jej część zewnętrzną jest równy iloczynowi segmentu całkowitego drugiej siecznej przez jej część zewnętrzną.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Kąty w okręgu

Miary stopni kąta środkowego i łuku, na którym on spoczywa, są równe.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a boki zawierają cięciwy.

Możesz to obliczyć, znając rozmiar łuku, ponieważ jest on równy połowie tego łuku.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Na podstawie średnicy, kąta wpisanego, prostego.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są identyczne.

Kąty wpisane oparte na tej samej cięciwie są jednakowe lub ich suma wynosi 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Na tym samym okręgu leżą wierzchołki trójkątów o jednakowych kątach i danej podstawie.

Kąt, którego wierzchołek znajduje się wewnątrz okręgu i znajduje się między dwoma cięciwami, jest równy połowie sumy wielkości kątowych łuków koła znajdujących się wewnątrz danego kąta i kąta pionowego.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Kąt, którego wierzchołek znajduje się na zewnątrz koła i znajduje się między dwoma siecznymi, jest równy połowie różnicy wielkości kątowych łuków koła znajdujących się wewnątrz kąta.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Wpisane koło

Wpisane koło jest okręgiem stycznym do boków wielokąta.

W punkcie, w którym przecinają się dwusieczne kątów wielokąta, znajduje się jego środek.

Okrąg nie może być wpisany w każdy wielokąt.

Obszar wielokąta z wpisanym okręgiem można znaleźć według wzoru:

S=pr,

p jest półobwodem wielokąta,

r jest promieniem wpisanego okręgu.

Wynika z tego, że promień okręgu wpisanego wynosi:

r = \frac(S)(p)

Sumy długości przeciwległych boków będą identyczne, jeśli okrąg jest wpisany w czworokąt wypukły. I odwrotnie: okrąg jest wpisany w czworokąt wypukły, jeśli sumy długości przeciwległych boków są w nim identyczne.

AB+DC=AD+BC

W każdy z trójkątów można wpisać okrąg. Tylko jeden. W punkcie, w którym przecinają się dwusieczne kątów wewnętrznych figury, będzie leżeć środek wpisanego okręgu.

Promień okręgu wpisanego oblicza się ze wzoru:

r = \frac(S)(p) ,

gdzie p = \frac(a + b + c)(2)

Okrąg opisany

Jeśli okrąg przechodzi przez każdy wierzchołek wielokąta, to taki okrąg nazywamy opisany na wielokącie.

Środek opisanego koła będzie znajdował się w punkcie przecięcia dwusiecznych prostopadłych boków tej figury.

Promień można znaleźć, obliczając go jako promień koła opisanego na trójkącie określonym przez dowolne 3 wierzchołki wielokąta.

Warunek jest następujący: okrąg można opisać na czworokącie tylko wtedy, gdy suma przeciwległych kątów jest równa 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

W pobliżu dowolnego trójkąta można opisać okrąg i to jeden i tylko jeden. Środek takiego koła będzie znajdować się w punkcie, w którym przecinają się prostopadłe dwusieczne boków trójkąta.

Promień opisanego okręgu można obliczyć ze wzorów:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c to długości boków trójkąta,

S jest obszarem trójkąta.

Twierdzenie Ptolemeusza

Na koniec rozważ twierdzenie Ptolemeusza.

Twierdzenie Ptolemeusza stwierdza, że ​​iloczyn przekątnych jest identyczny z sumą iloczynów przeciwległych boków wpisanego czworoboku.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Matematyka

Rysunek przedstawia okrąg (o, 2) i kilka segmentów. Wymień promień, cięciwy i średnicę tego okręgu na tym rysunku. Czy okrąg należy do jego środka? Czy centrum należy do koła? Wskaż, czy prawdziwe są następujące zdania: a) wszystkie promienie danego koła są równe b) promień koła to jego cięciwa c) cięciwa koła zawiera dokładnie dwa jego punkty d) średnica koła to jego cięciwa średnica e) cięciwa koła jest jego średnicą. Ile promieni ma okrąg? Ile średnic ma koło? Ile średnic można poprowadzić z danego punktu na okręgu? Ile cięciw można poprowadzić z danego punktu na okręgu? Czy każda cięciwa koła jest średnicą?

Odpowiedzi na pytanie:

Promienie: OC, OD, OA Średnice: CD Cięciwy: AB, CD Czy okrąg ma środek? Nie Czy środek należy do koła? Tak Wskaż, czy poniższe zdania są prawdziwe: a) wszystkie promienie danego okręgu są równe c) cięciwa okręgu zawiera dokładnie dwa jego punkty d) średnica koła to jego średnica Ile promieni ma okrąg ? Nieograniczona Ile średnic ma koło? Nieograniczona Ile średnic można narysować z danego punktu na okręgu? Jeden Ile akordów można poprowadzić z danego punktu na okręgu? Nieograniczona liczba Czy każda cięciwa koła jest średnicą? Brak (AB to akord, a nie średnica)

Dyktowanie 1

1. Uzupełnij zdanie.

1) Wszystkie punkty okręgu są w tej samej odległości od ... (od jego centrum ).

2) Promień koła nazywany jest odcinkiem łączącym ... (jego środek z punktem na okręgu).

3) Segment nazywa się akordem ... (połączenie dwóch punktów na okręgu ).

4) Średnica nazywa się ... (największy akord ).

5) Średnica jest większa niż promień w...(dwa razy ).

6) Łuk koła nazywany jest każdą z części, na które jest podzielony ... (punkt na okręgu).

7) Okrąg nazywany jest częścią płaszczyzny ... (ograniczona kołem lub, jak piszą dzieci, razem z kołem).

8) Punkt należy do okręgu, jeśli jest mniejszy niż ... (promień ).

9) Sektor nazywa się każdą z części koła, na które jest podzielony ... (dwa promienie ) .

10) Każda z dwóch części nazywana jest półkolem po przytrzymaniu ... (średnica ) .

2. Napisz, jaka jest średnica koła, jeśli odległość od środka koła do punktu należącego do koła wynosi 8 cm (16 cm ).

3. Czy środek należy do koła? (NIE )

4. Czy środek należy do koła? (Tak )

5. Narysuj dowolny okrąg. Narysuj promień okręgu,

jego średnicę, na której nie leży narysowany promień, oraz cięciwę inną niż średnica.

6. Wewnątrz okręgu zaznacz punkt inny niż jego środek. Ile

przez ten punkt można przejść:

1) średnice (jeden ); 2) cięciwy inne niż średnica? (nieskończenie wiele )

7. Na okręgu zaznaczono dowolny punkt. Ile możesz pro-

ołów: 1) średnice z końcem w tym punkcie (jeden ); 2) akordy inne niż średnica, kończące się w tym miejscu (nieskończenie wiele ).

Dyktowanie 2

Kaliber - wewnętrzna średnica otworu dowolnej broni. Kaliber karabinu szturmowego Kałasznikow AK-74 wynosi 5,45 mm, dla amerykańskiego karabinu szturmowego M-16 5,56 mm. Ile procent kalibru AK-74 jest mniejsze od kalibru amerykańskiego karabinu szturmowego? (≈2% ).

Jeśli kaliber działa samobieżnego Msta-S wynosi 152 mm, to ile centymetrów ma średnica działa? (15,2 cm ).

O ile procent współczesny rosyjski czołg T-14 Armata jest tańszy od amerykańskiego czołgu Abrams, jeśli rosyjski kosztuje 5 milionów dolarów, a amerykański 10 milionów dolarów? (50% ).

O ile procent Abrams jest cięższy od Almaty, jeśli T-14 waży 48 ton, a Abrams waży 63 tony? (≈31% ).

Kaliber karabinu szturmowego Kałasznikow AKM wynosi 7,62 mm. Ile to będzie w metrach? (0,00762 m ).

Jaki jest promień koła, jeśli średnica koła wynosi 50,6 cm? (25,3 cm ).

Narysuj odcinek o długości 6 cm. Skonstruuj okrąg tak, aby ten odcinek był średnicą.

Narysuj okrąg o dowolnym promieniu. Zaznacz trzy punkty leżące na okręgu i trzy punkty, które na nim nie leżą.

Zaznacz na płaszczyźnie dowolny punkt O. Zaznacz cztery punkty oddalone o 3 cm od punktu O. O ile jeszcze można zaznaczyć takie punkty? (nieskończenie wiele - tworzą okrąg o promieniu 3 cm ).

Ile osi symetrii ma okrąg? Koło? (nieskończenie wiele ).

Jaka jest oś symetrii okręgu? (dowolna średnica ).

Czy można zbudować trójkąt o bokach 2 cm, 6 cm i 9 cm? (NIE ).

„Okrąg klasy 7” - Konstrukcja dwusiecznej kąta. Rozmowa wprowadzająca „W świecie kręgów”. Pracuj z podręcznikiem, aby przestudiować materiał. Konstrukcje z kompasem i linijką. Dowolne dwa punkty na okręgu dzielą go na dwie części. Koło ma jedną dziewczynę. Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa się jego cięciwą. Okrąg o dowolnym promieniu.

„Obwód i koło” - koło. MATEMATYKA-5 Planowanie tematyczne Przebieg lekcji Zasoby autorskie. Ulubioną czynnością jest czytanie. Część koła nazywana jest łukiem. Ćwiczenia treningowe. Punkt nazywa się środkiem okręgu. Łuk. Kategoria - najwyższa.

„Długość koła” – Euler. R to promień okręgu. Koło. Wielki naukowiec starożytnej Grecji Archimedes. Obwód. Im więcej wiem, tym więcej mogę. Wielki matematyk Euler. Starożytny Egipt. D to średnica koła. W starożytnym Rzymie w to wierzyli 3.12. Archimedesa. Starożytny Rzym. Praktyczna praca „Pomiar puszek z kawą”.

„Styczna do okręgu” — punkt styku. Znak styczny. Udowodnijmy, że jeśli AK i AM są odcinkami stycznych, to AK = AM, ?OAK = ? OM. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu stycznego. Dowód. Niech d będzie odległością od środka O do prostej KM. KM - styczna? d = R. Styczna właściwość.

"Równanie koła" - Narysuj okrąg, którego promień jest CD. Wypełnij tabelę. Współrzędne środka: (;) R = Równanie koła: Narysuj okrąg, którego CD jest średnicą. Niech będzie dane koło. Sprawdź, czy punkty A(1;?1), B(0;8), C(?3;?1) leżą na okręgu określonym równaniem (x + 3)2 + (y? 4)2 = 25 .

"Okrąg klasa 8" - Konsekwencje: Narysujmy prostopadłe OK, OL i OM na boki ?ABC. Twierdzenie. Narysujmy dwusieczne trójkąta, które przecinają się w punkcie O. Okrąg można wpisać w dowolny trójkąt. Wpisane koło.

Łącznie w temacie znajduje się 21 prezentacji