Zasada dodawania ułamków o wspólnym mianowniku. Dodawanie i odejmowanie ułamków

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci całkowitej liczby części lub udziałów jakiejś miary; Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.

Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części oddzielone są poziomą linią, zostały po raz pierwszy wynalezione przez Fibonacciego – Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Celem tego artykułu jest jednak proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, jak zachodzi mnożenie frakcje mieszane Z różne mianowniki.

Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach

Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:

• prawidłowy;
• błędny;
• mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak następuje mnożenie liczby ułamkowe z tymi samymi mianownikami. Sama zasada tego procesu jest łatwa do samodzielnego sformułowania: wynik mnożenia ułamki proste o tych samych mianownikach jest wyrażeniem ułamkowym, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków. Czyli w zasadzie nowy mianownik znajduje się plac jednego z pierwotnie istniejących.

Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:

A/B * C/D = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że wynikowa liczba pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i, oczywiście, kwadratu jednego wyrażenie numeryczne nie da się tego nazwać.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko z liczbami w mianownikach; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.

Oprócz ułamków prostych istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia podano kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:

A* B/C = a*b /C.

W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów na to wskazuje Liczba naturalna. Szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

D* mi/F = mi/f: d.

Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.

Tłumaczyć liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego. Można go również przedstawić jako ogólna formuła:

A BC = a*b+ c/c, gdzie mianownik nowego ułamka tworzy się poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie go przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.

Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.

W Internecie jest wiele pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych różne odmiany programy. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Łatwo z nim pracować; wypełniasz odpowiednie pola na stronie internetowej, wybierasz znak operacji matematycznej i klikasz „oblicz”. Program oblicza automatycznie.

Temat działań arytmetycznych na ułamkach zwykłych jest aktualny w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze się nauczył podstawowa wiedza obdarzyć całkowitym zaufaniem pomyślna decyzja bardzo złożone zadania.

Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Nie w mocy człowieka jest zwiększanie swojego licznika - swoich zasług - ale każdy może zmniejszyć swój mianownik - swoją opinię o sobie i przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.

§ 87. Dodawanie ułamków.

Dodawanie ułamków ma wiele podobieństw do dodawania liczb całkowitych. Dodawanie ułamków to czynność polegająca na tym, że kilka danych liczb (wyrazów) łączy się w jedną liczbę (sumę), zawierającą wszystkie jednostki i ułamki jednostek wyrazów.

Rozpatrzymy kolejno trzy przypadki:

1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach.
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Dodawanie liczb mieszanych.

1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach.

Rozważmy przykład: 1/5 + 2/5.

Weźmy odcinek AB (ryc. 17), potraktujmy go jako jeden i podzielmy na 5 równych części, wówczas część AC tego odcinka będzie równa 1/5 odcinka AB, a część tego samego odcinka CD będzie równa 2/5 AB.

Z rysunku jasno wynika, że ​​jeśli weźmiemy odcinek AD, będzie on równy 3/5 AB; ale odcinek AD jest dokładnie sumą odcinków AC i CD. Możemy więc napisać:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Biorąc pod uwagę te wyrazy i wynikową sumę, widzimy, że licznik sumy otrzymano przez dodanie liczników wyrazów, a mianownik pozostał niezmieniony.

Z tego otrzymujemy następującą regułę: Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.

Spójrzmy na przykład:

2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

Dodajmy ułamki: 3 / 4 + 3 / 8 Najpierw należy je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika:

Nie można zapisać łącza pośredniego 6/8 + 3/8; napisaliśmy to tutaj dla jasności.

Zatem, aby dodać ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika, dodać ich liczniki i oznaczyć wspólny mianownik.

Rozważmy przykład (nad odpowiednimi ułamkami napiszemy dodatkowe czynniki):

3. Dodawanie liczb mieszanych.

Dodajmy liczby: 2 3/8 + 3 5/6.

Najpierw sprowadźmy części ułamkowe naszych liczb do wspólnego mianownika i napiszmy je jeszcze raz:

Teraz dodajemy kolejno części całkowite i ułamkowe:

§ 88. Odejmowanie ułamków.

Odejmowanie ułamków definiuje się w taki sam sposób, jak odejmowanie liczb całkowitych. Jest to działanie, za pomocą którego, biorąc pod uwagę sumę dwóch wyrazów i jednego z nich, znajduje się inny wyraz. Rozważmy kolejno trzy przypadki:

1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Odejmowanie liczb mieszanych.

1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach.

Spójrzmy na przykład:

13 / 15 - 4 / 15

Weźmy odcinek AB (ryc. 18), przyjmijmy go jako jednostkę i podzielmy na 15 równych części; wówczas część AC tego odcinka będzie odpowiadać 1/15 AB, a część AD tego samego odcinka będzie odpowiadać 13/15 AB. Odłóżmy na bok kolejny odcinek ED równy 4/15 AB.

Musimy odjąć ułamek 4/15 od 13/15. Na rysunku oznacza to, że od odcinka AD należy odjąć odcinek ED. W rezultacie pozostanie segment AE, który stanowi 9/15 odcinka AB. Możemy więc napisać:

Przykład, który zrobiliśmy pokazuje, że licznik różnicy otrzymano poprzez odjęcie liczników, ale mianownik pozostał taki sam.

Dlatego, aby odjąć ułamki o podobnych mianownikach, należy odjąć licznik odejmowania od licznika odjemnika i pozostawić ten sam mianownik.

2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Przykład. 3/4 - 5/8

Najpierw sprowadźmy te ułamki do najniższego wspólnego mianownika:

Dla przejrzystości zapisano tutaj pośrednie 6/8 - 5/8, ale można je później pominąć.

Zatem, aby odjąć ułamek od ułamka, należy najpierw sprowadzić go do najniższego wspólnego mianownika, następnie od licznika odjemnej odjąć licznik odjemnej i podpisać wspólny mianownik pod ich różnicą.

Spójrzmy na przykład:

3. Odejmowanie liczb mieszanych.

Przykład. 10 3/4 - 7 2/3.

Sprowadźmy części ułamkowe odejmowania i odejmowania do najniższego wspólnego mianownika:

Odejmowaliśmy całość od całości i ułamek od ułamka. Ale zdarzają się przypadki, gdy część ułamkowa odejmowania jest większa niż część ułamkowa odjemnika. W takich przypadkach należy wziąć jedną jednostkę z całej części odjemnej, podzielić ją na te części, w których wyrażona jest część ułamkowa, i dodać ją do części ułamkowej odjemnej. A następnie odejmowanie zostanie wykonane w taki sam sposób, jak w poprzednim przykładzie:

§ 89. Mnożenie ułamków zwykłych.

Badając mnożenie ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
2. Znajdowanie ułamka danej liczby.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Mnożenie ułamka przez ułamek.
5. Mnożenie liczb mieszanych.
6. Pojęcie odsetek.
7. Znajdowanie procentu danej liczby. Rozważmy je sekwencyjnie.

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą ma takie samo znaczenie, jak mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą. Pomnożenie ułamka (mnożnika) przez liczbę całkowitą (czynnik) oznacza utworzenie sumy identycznych wyrazów, w której każdy wyraz jest równy mnożnej, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.

Oznacza to, że jeśli chcesz pomnożyć 1/9 przez 7, możesz to zrobić w następujący sposób:

Wynik łatwo uzyskaliśmy, gdyż czynność sprowadzała się do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Stąd,

Rozważenie tego działania pokazuje, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą jest równoznaczne ze zwiększeniem tego ułamka o tyle razy, ile jest jednostek zawartych w liczbie całkowitej. A ponieważ zwiększenie ułamka osiąga się albo poprzez zwiększenie jego licznika

lub poprzez zmniejszenie jego mianownika , to możemy albo pomnożyć licznik przez liczbę całkowitą, albo podzielić przez nią mianownik, jeśli taki podział jest możliwy.

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, należy pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić mianownik bez zmian lub, jeśli to możliwe, podzielić mianownik przez tę liczbę, pozostawiając licznik bez zmian.

Podczas mnożenia możliwe są skróty, na przykład:

2. Znajdowanie ułamka danej liczby. Istnieje wiele problemów, w których trzeba znaleźć lub obliczyć część danej liczby. Różnica między tymi zadaniami a innymi polega na tym, że podają liczbę niektórych obiektów lub jednostek miary i trzeba znaleźć część tej liczby, która tutaj również jest oznaczona pewnym ułamkiem. Aby ułatwić zrozumienie, najpierw podamy przykłady takich problemów, a następnie przedstawimy metodę ich rozwiązania.

Zadanie 1. Miałem 60 rubli; 1/3 tych pieniędzy wydałem na zakup książek. Ile kosztowały książki?

Zadanie 2. Pociąg musi pokonać odległość pomiędzy miastami A i B równą 300 km. Przebył już 2/3 tego dystansu. Ile to kilometrów?

Zadanie 3. We wsi znajduje się 400 domów, z czego 3/4 jest murowana, reszta jest drewniana. Ile w sumie domy murowane?

Oto niektóre z nich liczne zadania aby znaleźć części danej liczby, które napotykamy. Nazywa się je zwykle problemami ze znalezieniem ułamka danej liczby.

Rozwiązanie problemu 1. Od 60 rubli. 1/3 wydałem na książki; Oznacza to, że aby obliczyć koszt książek, należy podzielić liczbę 60 przez 3:

Rozwiązanie problemu 2. Problem w tym, że trzeba znaleźć 2/3 z 300 km. Najpierw obliczmy 1/3 z 300; osiąga się to poprzez podzielenie 300 km przez 3:

300:3 = 100 (czyli 1/3 z 300).

Aby znaleźć dwie trzecie liczby 300, należy podwoić uzyskany iloraz, tj. Pomnożyć przez 2:

100 x 2 = 200 (to 2/3 z 300).

Rozwiązanie problemu 3. Tutaj musisz określić liczbę domów murowanych, które stanowią 3/4 z 400. Najpierw znajdźmy 1/4 z 400,

400: 4 = 100 (czyli 1/4 z 400).

Aby obliczyć trzy czwarte liczby 400, uzyskany iloraz należy potroić, tj. pomnożyć przez 3:

100 x 3 = 300 (to 3/4 z 400).

Na podstawie rozwiązania tych problemów możemy wyprowadzić następującą regułę:

Aby znaleźć wartość ułamka z danej liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i otrzymany iloraz pomnożyć przez jego licznik.

3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.

Wcześniej (§ 26) ustalono, że przez mnożenie liczb całkowitych należy rozumieć dodanie identycznych wyrazów (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). W tym akapicie (pkt 1) ustalono, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą oznacza znalezienie sumy identycznych wyrazów równej temu ułamkowi.

W obu przypadkach mnożenie polegało na znalezieniu sumy identycznych wyrazów.

Teraz przechodzimy do mnożenia liczby całkowitej przez ułamek. Spotkamy się tu np. z mnożeniem: 9 2/3. Jest oczywiste, że poprzednia definicja mnożenia nie ma zastosowania w tym przypadku. Wynika to stąd, że nie możemy zastąpić takiego mnożenia dodawaniem równych liczb.

W związku z tym będziemy musieli podać nową definicję mnożenia, czyli innymi słowy odpowiedzieć na pytanie, co należy rozumieć przez mnożenie przez ułamek, jak należy rozumieć to działanie.

Znaczenie mnożenia liczby całkowitej przez ułamek jest jasne z następującej definicji: pomnożenie liczby całkowitej (mnożnej) przez ułamek (mnożną) oznacza znalezienie tego ułamka mnożnej.

Mianowicie pomnożenie 9 przez 2/3 oznacza znalezienie 2/3 z dziewięciu jednostek. W poprzednim akapicie takie problemy zostały rozwiązane; więc łatwo się domyślić, że wyjdzie nam 6.

Ale teraz jest interesujące i ważne pytanie: Dlaczego tak pozornie różne operacje, jak znalezienie sumy liczb równych i znalezienie ułamka liczby, nazywane są w arytmetyce tym samym słowem „mnożeniem”?

Dzieje się tak, ponieważ poprzednia akcja (kilkukrotne powtórzenie liczby z terminami) i nowa akcja (znalezienie ułamka liczby) dają odpowiedzi na jednorodne pytania. Oznacza to, że wychodzimy tutaj z założenia, że ​​jednorodne pytania lub zadania rozwiązuje się za pomocą tego samego działania.

Aby to zrozumieć, rozważ następujący problem: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będą kosztować 4 m takiego materiału?

Problem ten rozwiązuje się, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubli).

Weźmy ten sam problem, ale w nim ilość materiału zostanie wyrażona jako ułamek: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będzie kosztować 3/4 m takiego materiału?”

Problem ten należy również rozwiązać, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (3/4).

Możesz zmieniać w nim liczby jeszcze kilka razy, nie zmieniając znaczenia problemu, na przykład weź 9/10 m lub 2 3/10 m itp.

Ponieważ problemy te mają tę samą treść i różnią się jedynie liczbami, działania stosowane przy ich rozwiązywaniu nazywamy tym samym słowem - mnożeniem.

Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek?

Weźmy liczby napotkane w ostatnim zadaniu:

Zgodnie z definicją musimy znaleźć 3/4 z 50. Najpierw znajdźmy 1/4 z 50, a potem 3/4.

1/4 z 50 to 50/4;

3/4 liczby 50 to .

Stąd.

Rozważmy inny przykład: 12 5 / 8 =?

1/8 liczby 12 to 12/8,

5/8 liczby 12 to .

Stąd,

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownik tego ułamka podpisać jako mianownik.

Zapiszmy tę regułę za pomocą liter:

Aby zasada ta była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można uznać za iloraz. Dlatego przydatne jest porównanie znalezionej reguły z regułą mnożenia liczby przez iloraz, która została określona w § 38

Należy pamiętać, że przed wykonaniem mnożenia należy wykonać (o ile to możliwe) obniżki, Na przykład:

4. Mnożenie ułamka przez ułamek. Mnożenie ułamka przez ułamek ma takie samo znaczenie, jak pomnożenie liczby całkowitej przez ułamek, tj. mnożąc ułamek przez ułamek, musisz znaleźć ułamek, który jest w czynniku pierwszego ułamka (mnożna).

Mianowicie pomnożenie 3/4 przez 1/2 (połowę) oznacza znalezienie połowy 3/4.

Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?

Weźmy przykład: 3/4 pomnożone przez 5/7. Oznacza to, że musisz znaleźć 5/7 z 3/4. Najpierw znajdźmy 1/7 z 3/4, a następnie 5/7

1/7 z liczby 3/4 zostanie wyrażona w następujący sposób:

Liczby 5/7 3/4 zostaną wyrażone w następujący sposób:

Zatem,

Inny przykład: 5/8 pomnożone przez 4/9.

1/9 z 5/8 to,

4/9 z liczby 5/8 to .

Zatem,

Z tych przykładów można wyprowadzić następującą regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik i ustawić pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi iloczyn jako mianownik iloczynu.

Taka jest zasada ogólna perspektywa można zapisać w ten sposób:

Podczas mnożenia należy dokonać (jeśli to możliwe) redukcji. Spójrzmy na przykłady:

5. Mnożenie liczb mieszanych. Ponieważ liczby mieszane można łatwo zastąpić ułamkami niewłaściwymi, tę okoliczność zwykle wykorzystuje się przy mnożeniu liczb mieszanych. Oznacza to, że w przypadkach, gdy mnożnik, mnożnik lub oba czynniki są wyrażone jako liczby mieszane, zastępuje się je ułamkami niewłaściwymi. Mnożymy na przykład liczby mieszane: 2 1/2 i 3 1/5. Zamieńmy każdy z nich na ułamek niewłaściwy, a następnie pomnóż powstałe ułamki zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek:

Reguła. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków przez ułamki.

Notatka. Jeśli jeden z czynników jest liczbą całkowitą, wówczas mnożenie można wykonać w oparciu o prawo dystrybucji w następujący sposób:

6. Pojęcie odsetek. Rozwiązując problemy i wykonując różne praktyczne obliczenia, używamy wszelkiego rodzaju ułamków zwykłych. Należy jednak pamiętać, że wiele ilości pozwala na nie byle jakie, ale naturalne podziały. Na przykład możesz wziąć jedną setną (1/100) rubla, będzie to kopiejka, dwie setne to 2 kopiejki, trzy setne to 3 kopiejki. Możesz wziąć 1/10 rubla, będzie to „10 kopiejek, czyli 10 kopiejek. Możesz wziąć ćwierć rubla, czyli 25 kopiejek, pół rubla, czyli 50 kopiejek (pięćdziesiąt kopiejek). Ale praktycznie nie biorą tego np. 2/7 rubla, bo rubla nie dzieli się na siódemki.

Jednostka masy, czyli kilogram, pozwala przede wszystkim na dzielenie po przecinku, np. 1/10 kg, czy 100 g, a takie ułamki kilograma jak 1/6, 1/11, 1/13 nie są powszechne.

Ogólnie rzecz biorąc, nasze miary (metryczne) są dziesiętne i umożliwiają dzielenie dziesiętne.

Należy jednak zauważyć, że w wielu różnych przypadkach niezwykle przydatne i wygodne jest stosowanie tej samej (jednolitej) metody podziału wielkości. Wieloletnie doświadczenie pokazało, że takim dobrze uzasadnionym podziałem jest podział „setny”. Rozważmy kilka przykładów odnoszących się do najróżniejszych dziedzin ludzkiej praktyki.

1. Cena książek została obniżona o 12/100 poprzedniej ceny.

Przykład. Poprzednia cena książki wynosiła 10 rubli. Zmniejszyła się o 1 rubel. 20 kopiejek

2. Kasy oszczędnościowe wypłacają deponentom 2/100 kwoty złożonej na oszczędności w ciągu roku.

Przykład. W kasie zdeponowano 500 rubli, dochód z tej kwoty za rok wynosi 10 rubli.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły stanowiła 5/100 ogółu uczniów.

PRZYKŁAD Do szkoły uczęszczało zaledwie 1200 uczniów, z czego 60 ukończyło szkołę.

Setna część liczby nazywana jest procentem.

Słowo „procent” zostało zapożyczone od język łaciński a jego rdzeń „cent” oznacza sto. Razem z przyimkiem (pro centum) słowo to oznacza „za sto”. Znaczenie takiego wyrażenia wynika z faktu, że początkowo w starożytny Rzym odsetki to pieniądze, które dłużnik płacił pożyczkodawcy „za każdą setkę”. Słowo „cent” można usłyszeć w tak znanych słowach: centner (sto kilogramów), centymetr (powiedzmy centymetr).

Na przykład zamiast powiedzieć, że w ciągu ostatniego miesiąca zakład wyprodukował 1/100 wszystkich swoich produktów jako wadliwych, powiemy tak: w ciągu ostatniego miesiąca zakład wyprodukował jeden procent wadliwych produktów. Zamiast powiedzieć: zakład wyprodukował o 4/100 produktów więcej niż założony plan, powiemy: zakład przekroczył plan o 4 proc.

Powyższe przykłady można wyrazić inaczej:

1. Cena książek została obniżona o 12 procent w stosunku do poprzedniej ceny.

2. Kasy oszczędnościowe płacą deponentom 2 procent rocznie od kwoty zdeponowanej na oszczędnościach.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5% ogółu uczniów.

Aby skrócić literę, zwyczajowo wpisuje się symbol % zamiast słowa „procent”.

Należy jednak pamiętać, że w obliczeniach zwykle nie zapisuje się znaku %; można go zapisać w opisie problemu i w wyniku końcowym. Podczas wykonywania obliczeń należy zapisać ułamek o mianowniku 100 zamiast liczby całkowitej z tym symbolem.

Musisz umieć zastąpić liczbę całkowitą wskazaną ikoną ułamkiem o mianowniku 100:

I odwrotnie, musisz przyzwyczaić się do pisania liczby całkowitej ze wskazanym symbolem zamiast ułamka o mianowniku 100:

7. Znajdowanie procentu danej liczby.

Zadanie 1. Szkoła otrzymała 200 metrów sześciennych. m drewna opałowego, z czego 30% stanowi drewno opałowe brzozowe. Ile było brzozowego drewna opałowego?

Znaczenie tego zadania jest takie, że drewno brzozowe stanowiło tylko część drewna opałowego dostarczanego do szkoły i ta część wyrażona jest w ułamku 30/100. Oznacza to, że mamy zadanie znaleźć ułamek liczby. Aby go rozwiązać, musimy pomnożyć 200 przez 30/100 (problemy ze znalezieniem ułamka liczby rozwiązuje się, mnożąc liczbę przez ułamek.).

Oznacza to, że 30% z 200 równa się 60.

Występujący w tym zadaniu ułamek 30/100 można zmniejszyć o 10. Redukcję tę można by przeprowadzić od samego początku; rozwiązanie problemu nie uległoby zmianie.

Zadanie 2. W obozie przebywało 300 dzieci Różne wieki. Dzieci w wieku 11 lat stanowiły 21%, dzieci w wieku 12 lat – 61%, a wreszcie dzieci w wieku 13 lat – 18%. Ile dzieci w każdym wieku było w obozie?

W tym zadaniu należy wykonać trzy obliczenia, czyli po kolei znaleźć liczbę dzieci w wieku 11 lat, potem 12 lat i na koniec 13 lat.

Oznacza to, że tutaj będziesz musiał znaleźć ułamek liczby trzy razy. Zróbmy to:

1) Ile było 11-letnich dzieci?

2) Ile było 12-letnich dzieci?

3) Ile było 13-letnich dzieci?

Po rozwiązaniu problemu przydatne jest dodanie znalezionych liczb; ich suma powinna wynosić 300:

63 + 183 + 54 = 300

Należy również zauważyć, że suma procentów podana w opisie problemu wynosi 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Sugeruje to, że całkowitą liczbę dzieci w obozie przyjęto jako 100%.

3 a d a h 3. Robotnik otrzymywał 1200 rubli miesięcznie. Z tego 65% wydał na żywność, 6% na mieszkania i ogrzewanie, 4% na gaz, prąd i radio, 10% na potrzeby kulturalne i 15% zaoszczędził. Ile pieniędzy przeznaczono na potrzeby wskazane w zadaniu?

Aby rozwiązać ten problem, musisz znaleźć ułamek 1200 5 razy.

1) Ile pieniędzy wydano na żywność? Zadanie mówi, że wydatek ten wynosi 65% całkowitego zarobku, czyli 65/100 z liczby 1200. Zróbmy obliczenia:

2) Ile zapłaciłeś za mieszkanie z ogrzewaniem? Rozumując podobnie jak poprzednio, dochodzimy do następującego obliczenia:

3) Ile zapłaciłeś za gaz, prąd i radio?

4) Ile pieniędzy wydano na potrzeby kulturalne?

5) Ile pieniędzy zaoszczędził pracownik?

Aby to sprawdzić, warto dodać liczby znalezione w tych 5 pytaniach. Kwota powinna wynosić 1200 rubli. Wszystkie zarobki brane są za 100%, co łatwo sprawdzić dodając wartości procentowe podane w opisie problemu.

Rozwiązaliśmy trzy problemy. Pomimo tego, że tymi zadaniami się zajmował różne rzeczy(dostawa drewna na opał do szkoły, liczba dzieci w różnym wieku, wydatki robotnika) zostały rozwiązane w ten sam sposób. Stało się tak, ponieważ we wszystkich zadaniach konieczne było znalezienie kilku procent zadanych liczb.

§ 90. Podział ułamków.

Studiując dzielenie ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Dzielenie ułamka przez ułamek.
5. Dzielenie liczb mieszanych.
6. Znajdowanie liczby na podstawie podanego ułamka.
7. Znajdowanie liczby na podstawie jej procentu.

Rozważmy je sekwencyjnie.

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.

Jak wskazano w części dotyczącej liczb całkowitych, dzielenie to czynność polegająca na tym, że mając iloczyn dwóch czynników (dywidendy) i jednego z tych czynników (dzielnika), znajduje się inny czynnik.

Przyjrzeliśmy się dzieleniu liczby całkowitej przez liczbę całkowitą w sekcji o liczbach całkowitych. Spotkaliśmy się tam z dwoma przypadkami dzielenia: dzieleniem bez reszty, czyli „w całości” (150:10 = 15) i dzieleniem z resztą (100:9 = 11 i 1 resztą). Można zatem powiedzieć, że w przypadku liczb całkowitych nie zawsze możliwe jest dokładne dzielenie, ponieważ nie zawsze dywidenda jest iloczynem dzielnika przez liczbę całkowitą. Po wprowadzeniu mnożenia przez ułamek można rozważyć dowolny przypadek dzielenia liczb całkowitych (wykluczone jest jedynie dzielenie przez zero).

Na przykład dzielenie 7 przez 12 oznacza znalezienie liczby, której iloczyn przez 12 będzie równy 7. Taka liczba to ułamek 7/12, ponieważ 7/12 12 = 7. Inny przykład: 14:25 = 14/25, bo 14/25 25 = 14.

Zatem, aby podzielić liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą, należy utworzyć ułamek, którego licznik jest równy dzielnej, a mianownik jest równy dzielnikowi.

2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Podziel ułamek 6/7 przez 3. Zgodnie z podaną powyżej definicją dzielenia mamy tutaj iloczyn (6/7) i jeden z dzielników (3); należy znaleźć drugi czynnik, który pomnożony przez 3 dałby dany iloczyn 6/7. Oczywiście powinien być trzykrotnie mniejszy od tego produktu. Oznacza to, że postawionym przed nami zadaniem było 3-krotne zmniejszenie ułamka 6/7.

Wiemy już, że skrócenie ułamka można dokonać albo zmniejszając jego licznik, albo zwiększając jego mianownik. Dlatego możesz napisać:

W w tym przypadku Licznik liczby 6 jest podzielny przez 3, dlatego należy go podzielić na pół.

Weźmy inny przykład: 5/8 podzielone przez 2. Tutaj licznik 5 nie jest podzielny przez 2, co oznacza, że ​​mianownik będzie musiał zostać pomnożony przez tę liczbę:

Na tej podstawie można stworzyć regułę: Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, należy podzielić licznik ułamka przez tę liczbę całkowitą.(Jeśli to możliwe), pozostawiając ten sam mianownik lub pomnóż mianownik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając ten sam licznik.

3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.

Niech trzeba będzie podzielić 5 przez 1/2, czyli znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 1/2 da iloczyn 5. Oczywiście liczba ta musi być większa od 5, bo 1/2 jest ułamkiem właściwym , a przy mnożeniu liczby iloczyn ułamka właściwego musi być mniejszy od iloczynu mnożonego. Aby było to jaśniejsze, zapiszmy nasze działania w następujący sposób: 5: 1 / 2 = X , co oznacza x 1 / 2 = 5.

Musimy znaleźć taką liczbę X , co pomnożone przez 1/2 dałoby 5. Ponieważ pomnożenie pewnej liczby przez 1/2 oznacza znalezienie 1/2 tej liczby, zatem 1/2 nieznanej liczby X jest równa 5 i liczbą całkowitą X dwa razy więcej, czyli 5 2 = 10.

Zatem 5: 1/2 = 5 2 = 10

Sprawdźmy:

Spójrzmy na inny przykład. Załóżmy, że chcesz podzielić 6 przez 2/3. Spróbujmy najpierw znaleźć pożądany wynik za pomocą rysunku (ryc. 19).

Ryc.19

Narysujmy odcinek AB równy 6 jednostkom i podzielmy każdą jednostkę na 3 równe części. W każdej jednostce trzy trzecie (3/3) całego odcinka AB jest 6 razy większe, tj. tj. 18/3. Używając małych nawiasów, łączymy 18 powstałych segmentów 2; Będzie tylko 9 segmentów. Oznacza to, że ułamek 2/3 jest zawarty w 6 jednostkach 9 razy, czyli innymi słowy ułamek 2/3 jest 9 razy mniejszy niż 6 całych jednostek. Stąd,

Jak uzyskać taki wynik bez rysunku, korzystając z samych obliczeń? Rozważmy tak: musimy podzielić 6 przez 2/3, czyli odpowiedzieć sobie na pytanie, ile razy 2/3 mieści się w 6. Zastanówmy się najpierw: ile razy 1/3 mieści się w 6? W całej jednostce jest ich 3 trzecie, a w 6 jednostkach jest ich 6 razy więcej, czyli 18 trzecich; aby znaleźć tę liczbę, musimy pomnożyć 6 przez 3. Oznacza to, że 1/3 jest zawarta w jednostkach b 18 razy, a 2/3 jest zawarta w jednostkach b nie 18 razy, ale o połowę mniej, czyli 18:2 = 9 Dlatego dzieląc 6 przez 2/3, zrobiliśmy co następuje:

Stąd otrzymujemy regułę dzielenia liczby całkowitej przez ułamek. Aby podzielić liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć tę liczbę całkowitą przez mianownik danego ułamka i czyniąc ten iloczyn licznikiem, podzielić go przez licznik danego ułamka.

Zapiszmy regułę za pomocą liter:

Aby zasada ta była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można uznać za iloraz. Dlatego warto porównać odnalezioną regułę z regułą dzielenia liczby przez iloraz, która została podana w § 38. Należy pamiętać, że uzyskano tam tę samą formułę.

Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:

4. Dzielenie ułamka przez ułamek.

Powiedzmy, że musimy podzielić 3/4 przez 3/8. Co będzie oznaczać liczba będąca wynikiem dzielenia? Odpowie na pytanie, ile razy ułamek 3/8 zawiera się w ułamku 3/4. Aby zrozumieć to zagadnienie, wykonajmy rysunek (ryc. 20).

Weźmy odcinek AB, potraktujmy go jako jeden, podzielmy na 4 równe części i zaznaczmy 3 takie części. Odcinek AC będzie równy 3/4 odcinka AB. Podzielmy teraz każdy z czterech pierwotnych odcinków na pół, wówczas odcinek AB zostanie podzielony na 8 równych części i każda taka część będzie równa 1/8 odcinka AB. Połączmy 3 takie odcinki łukami, wtedy każdy z odcinków AD i DC będzie równy 3/8 odcinka AB. Rysunek pokazuje, że odcinek równy 3/8 zawiera się w odcinku równym 3/4 dokładnie 2 razy; Oznacza to, że wynik dzielenia można zapisać następująco:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Spójrzmy na inny przykład. Powiedzmy, że musimy podzielić 15/16 przez 3/32:

Możemy rozumować w ten sposób: musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 3/32 da iloczyn równy 15/16. Zapiszmy obliczenia w następujący sposób:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nieznany numer X są 15/16

1/32 nieznanej liczby X Jest ,

32/32 numery X makijaż .

Stąd,

Zatem, aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i ustawić pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi mianownik.

Zapiszmy regułę za pomocą liter:

Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:

5. Dzielenie liczb mieszanych.

Dzieląc liczby mieszane, należy je najpierw przekonwertować ułamki niewłaściwe i następnie podziel powstałe ułamki zgodnie z zasadami dzielenia liczb ułamkowych. Spójrzmy na przykład:

Zamieńmy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

Teraz podzielmy:

Zatem, aby podzielić liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie podzielić, korzystając z zasady dzielenia ułamków zwykłych.

6. Znajdowanie liczby na podstawie podanego ułamka.

Wśród różne zadania na ułamkach czasami zdarzają się takie, w których podana jest wartość jakiegoś ułamka nieznanej liczby i trzeba znaleźć tę liczbę. Problem tego typu będzie odwrotnością problemu znalezienia ułamka danej liczby; tam podano liczbę i trzeba było znaleźć jakiś ułamek tej liczby, tu podano ułamek liczby i trzeba było znaleźć samą tę liczbę. Pomysł ten stanie się jeszcze jaśniejszy, jeśli zajmiemy się rozwiązywaniem tego typu problemów.

Zadanie 1. Pierwszego dnia szklarze oszklili 50 okien, co stanowi 1/3 wszystkich okien budowanego domu. Ile okien jest w tym domu?

Rozwiązanie. Problem mówi, że 50 przeszklonych okien stanowi 1/3 wszystkich okien w domu, co oznacza, że ​​w sumie okien jest 3 razy więcej, czyli tj.

Dom miał 150 okien.

Zadanie 2. W sklepie sprzedano 1500 kg mąki, co stanowi 3/8 całkowitych zapasów mąki, jakie posiadał sklep. Jakie były początkowe zapasy mąki w sklepie?

Rozwiązanie. Z warunków problemu jasno wynika, że ​​1500 kg sprzedanej mąki stanowi 3/8 całości zapasów; Oznacza to, że 1/8 tej rezerwy będzie 3 razy mniejsza, czyli aby ją obliczyć, należy 1500 zmniejszyć 3 razy:

1500:3 = 500 (to 1/8 rezerwy).

Oczywiście cała podaż będzie 8 razy większa. Stąd,

500 8 = 4000 (kg).

Początkowy zapas mąki w magazynie wynosił 4000 kg.

Z rozważenia tego problemu można wyprowadzić następującą regułę.

Aby znaleźć liczbę z danej wartości jej ułamka, wystarczy podzielić tę wartość przez licznik ułamka i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka.

Rozwiązaliśmy dwa problemy dotyczące znalezienia liczby ze względu na jej ułamek. Problemy takie, jak widać szczególnie wyraźnie z ostatniego, rozwiązuje się za pomocą dwóch działań: dzielenia (w przypadku znalezienia jednej części) i mnożenia (w przypadku znalezienia liczby całkowitej).

Jednak gdy już nauczymy się dzielenia ułamków, powyższe problemy można rozwiązać jedną czynnością, a mianowicie: dzieleniem przez ułamek.

Na przykład ostatnie zadanie można rozwiązać w jednej akcji w następujący sposób:

W przyszłości problemy znalezienia liczby z jej ułamka rozwiążemy za pomocą jednego działania - dzielenia.

7. Znajdowanie liczby na podstawie jej procentu.

W tych zadaniach będziesz musiał znaleźć liczbę znającą kilka procent tej liczby.

Zadanie 1. Na początku tego roku otrzymałem z kasy oszczędnościowej 60 rubli. dochód z kwoty, którą odłożyłem rok temu na oszczędności. Ile pieniędzy wpłaciłem do kasy oszczędnościowej? (Kasa dają deponentom 2% zwrotu rocznie.)

Problem w tym, że wpłaciłem określoną sumę pieniędzy do kasy oszczędnościowej i tam zostałem przez rok. Po roku otrzymałem od niej 60 rubli. dochód, który wynosi 2/100 pieniędzy, które zdeponowałem. Ile pieniędzy włożyłem?

Zatem znając część tych pieniędzy wyrażoną na dwa sposoby (w rublach i ułamkach), musimy znaleźć całą, nieznaną jeszcze kwotę. Jest to typowy problem znalezienia liczby na podstawie jej ułamka. Dzieląc, rozwiązuje się następujące problemy:

Oznacza to, że w banku oszczędnościowym zdeponowano 3000 rubli.

Zadanie 2. Rybacy w ciągu dwóch tygodni zrealizowali miesięczny plan w 64%, łowiąc 512 ton ryb. Jaki był ich plan?

Z uwarunkowań problemu wiadomo, że rybacy zrealizowali część planu. Ta część wynosi 512 ton, co stanowi 64% planu. Nie wiemy, ile ton ryb trzeba przygotować zgodnie z planem. Znalezienie tego numeru rozwiąże problem.

Takie problemy rozwiązuje się poprzez dzielenie:

Oznacza to, że zgodnie z planem trzeba przygotować 800 ton ryb.

Zadanie 3. Pociąg jechał z Rygi do Moskwy. Gdy przekroczył 276. kilometr, jeden z pasażerów zapytał przejeżdżającego konduktora, jaką część podróży już przebyli. Na to konduktor odpowiedział: „Przebyliśmy już 30% całej podróży”. Jaka jest odległość od Ryga do Moskwa?

Z warunków problemowych jasno wynika, że ​​30% trasy z Rygi do Moskwy wynosi 276 km. Musimy znaleźć całą odległość między tymi miastami, czyli dla tej części znaleźć całość:

§ 91. Liczby odwrotne. Zastąpienie dzielenia mnożeniem.

Weźmy ułamek 2/3 i zamieńmy licznik w miejsce mianownika, otrzymamy 3/2. Mamy odwrotność tego ułamka.

Aby otrzymać odwrotność danego ułamka należy wstawić jego licznik w miejsce mianownika i mianownik w miejsce licznika. W ten sposób możemy otrzymać odwrotność dowolnego ułamka. Na przykład:

3/4, odwrotne 4/3; 5/6, odwrotne 6/5

Nazywa się dwa ułamki zwykłe, które mają tę właściwość, że licznik pierwszego jest mianownikiem drugiego, a mianownik pierwszego jest licznikiem drugiego. wzajemnie odwrotne.

Zastanówmy się teraz, jaki ułamek będzie odwrotnością 1/2. Oczywiście będzie to 2/1, czyli po prostu 2. Szukając ułamka odwrotnego danej otrzymamy liczbę całkowitą. I ten przypadek nie jest odosobniony; przeciwnie, dla wszystkich ułamków o liczniku 1 (jeden) odwrotności będą liczbami całkowitymi, na przykład:

1/3, rewers 3; 1/5, odwróć 5

Ponieważ przy znajdowaniu ułamków odwrotnych spotykaliśmy także liczby całkowite, w dalszej części będziemy mówić nie o ułamkach odwrotnych, ale o liczbach odwrotnych.

Zastanówmy się, jak zapisać odwrotność liczby całkowitej. W przypadku ułamków można to rozwiązać po prostu: musisz umieścić mianownik zamiast licznika. W ten sam sposób możesz otrzymać liczbę odwrotną do liczby całkowitej, ponieważ każda liczba całkowita może mieć mianownik 1. Oznacza to, że liczba odwrotna 7 będzie wynosić 1/7, ponieważ 7 = 7/1; dla liczby 10 odwrotnością będzie 1/10, ponieważ 10 = 10/1

Tę myśl można wyrazić inaczej: odwrotność danej liczby oblicza się dzieląc jeden przez daną liczbę. To stwierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla liczb całkowitych, ale także dla ułamków. W rzeczywistości, jeśli musimy zapisać odwrotność ułamka 5/9, możemy wziąć 1 i podzielić go przez 5/9, tj.

Teraz zwróćmy uwagę na jedną rzecz nieruchomość liczby odwrotne, które nam się przydadzą: iloczyn liczb odwrotnych jest równy jeden. Rzeczywiście:

Korzystając z tej właściwości, możemy znaleźć liczby odwrotne w następujący sposób. Powiedzmy, że musimy znaleźć odwrotność liczby 8.

Oznaczmy to literą X , następnie 8 X = 1, stąd X = 1/8. Znajdźmy inną liczbę będącą odwrotnością 7/12 i oznaczmy ją literą X , następnie 7/12 X = 1, stąd X = 1: 7 / 12 lub X = 12 / 7 .

Wprowadziliśmy tutaj pojęcie liczb odwrotnych, aby nieco uzupełnić informacje o dzieleniu ułamków.

Dzieląc liczbę 6 przez 3/5, wykonujemy następujące czynności:

Proszę zapłacić Specjalna uwaga do wyrażenia i porównaj je z podanym: .

Jeśli weźmiemy wyrażenie osobno, bez związku z poprzednim, nie da się rozwiązać pytania, skąd ono się wzięło: z podzielenia 6 przez 3/5 lub z pomnożenia 6 przez 5/3. W obu przypadkach dzieje się to samo. Dlatego możemy powiedzieć że dzielenie jednej liczby przez drugą można zastąpić pomnożeniem dzielnej przez odwrotność dzielnika.

Przykłady, które podamy poniżej, w pełni potwierdzają ten wniosek.

Badanie odejmowania ułamków o różnych mianownikach można znaleźć w przedmiot szkolny Algebra w ósmej klasie i czasami sprawia dzieciom trudności w zrozumieniu. Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, użyj następującego wzoru:

Procedura odejmowania ułamków jest podobna do dodawania, ponieważ całkowicie kopiuje zasadę działania.

Najpierw obliczamy najwięcej mały numer, który jest wielokrotnością jednego i drugiego mianownika.

Po drugie, mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez określoną liczbę, która pozwoli nam sprowadzić mianownik do danego minimalnego wspólnego mianownika.

Po trzecie, sama procedura odejmowania ma miejsce, gdy na koniec mianownik zostanie zduplikowany, a licznik drugiego ułamka zostanie odjęty od pierwszego.

Przykład: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 całe 1/6

Najpierw musisz doprowadzić je do tego samego mianownika, a następnie odjąć. Na przykład 1/2 - 1/4 = 2/4 - 1/4 = 1/4. Lub, trudniej, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Czy musisz wyjaśniać, jak ułamki zwykłe sprowadza się do wspólnego mianownika?

Do operacji takich jak dodawanie i odejmowanie zwykłe ułamki przy różnych mianownikach obowiązuje prosta zasada - mianowniki tych ułamków sprowadza się do jednej liczby, a samą akcję wykonuje się z liczbami w liczniku. Oznacza to, że ułamki otrzymują wspólny mianownik i wydają się być połączone w jeden. Znalezienie wspólnego mianownika dla dowolnych ułamków zwykle sprowadza się do prostego pomnożenia każdego ułamka przez mianownik drugiego ułamka. Ale w prostszych przypadkach można od razu znaleźć czynniki, które doprowadzą mianowniki ułamków do tej samej liczby.

Przykład odejmowania ułamków: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

Wielu dorosłych już zapomniało jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach, ale to działanie dotyczy elementarnej matematyki.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach, należy sprowadzić je do wspólnego mianownika, czyli znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, a następnie pomnożyć liczniki przez dodatkowe współczynniki, równy stosunkowi najmniejsza wspólna wielokrotność i mianownik.

Znaki ułamkowe są zachowane. Gdy ułamki mają te same mianowniki, możesz odjąć, a następnie, jeśli to możliwe, zmniejszyć ułamek.

Elena, zdecydowałaś się powtórzyć kurs szkolny matematyka?)))

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je najpierw sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie odjąć. Najprostsza opcja: pomnóż licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka, a licznik i mianownik drugiego ułamka pomnóż przez mianownik pierwszego ułamka. Otrzymujemy dwa ułamki zwykłe o tych samych mianownikach. Teraz odejmujemy licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i mają ten sam mianownik.

Na przykład trzy piąte odejmując dwie siódme równa się dwudziestu jeden trzydziestym piątym odejmowaniu dziesięciu trzydziestych piątych, co równa się jedenastu trzydziestym piątym.

Jeśli mianowniki są dużymi liczbami, możesz znaleźć ich najmniejszą wspólną wielokrotność, tj. liczba, która będzie podzielna przez jeden i drugi mianownik. I sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika (najmniejsza wspólna wielokrotność)

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach jest bardzo prostym zadaniem - sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a następnie dokonujemy odejmowania w liczniku.

Wiele osób napotyka trudności, gdy obok ułamków znajdują się liczby całkowite, dlatego chciałem pokazać, jak to zrobić na następującym przykładzie:

odejmowanie ułamków od cała część i z różnymi mianownikami

najpierw odejmujemy całe części 8-5 = 3 (trzy pozostają w pobliżu pierwszego ułamka);

sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika 6 (jeżeli licznik pierwszego ułamka jest większy od drugiego, to dokonujemy odejmowania i zapisujemy to obok całej części, w naszym przypadku przechodzimy dalej);

rozkładamy całą część 3 na 2 i 1;

Zapisujemy 1 jako ułamek 6/6;

6/6+3/6-4/6 wpisz pod wspólny mianownik 6 i wykonaj działania w liczniku;

zapisz znaleziony wynik 2 5/6.

Ważne jest, aby pamiętać, że ułamki zwykłe są odejmowane, jeśli mają ten sam mianownik. Dlatego też, gdy mamy ułamki o różnych mianownikach, wystarczy je po prostu sprowadzić do wspólnego mianownika, co nie jest trudne. Musimy po prostu rozłożyć licznik każdego ułamka na czynniki i obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność, która nie może być równa zeru. Nie zapomnij również pomnożyć liczników przez powstałe dodatkowe współczynniki, ale dla wygody oto przykład:



Jeśli chcesz odjąć ułamki o różnych mianownikach, musisz najpierw znaleźć wspólny mianownik obu ułamków. A następnie odejmij drugą od licznika pierwszego ułamka. Otrzymuje się nowy ułamek o nowym znaczeniu.

O ile pamiętam z zajęć z matematyki w 3 klasie, aby odjąć ułamki zwykłe o różnych mianownikach, należy najpierw obliczyć wspólny mianownik i sprowadzić go do niego, a następnie po prostu odjąć liczniki od siebie i mianownik pozostaje taki sam.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, najpierw musimy znaleźć najniższy wspólny mianownik tych ułamków.

Spójrzmy na przykład:



Większą liczbę 25 podziel przez mniejszą liczbę 20. Nie jest ona podzielna. Oznacza to, że mnożymy mianownik 25 przez taką liczbę, otrzymaną sumę możemy podzielić przez 20. Ta liczba będzie wynosić 4. 25x4=100. 100:20=5. W ten sposób znaleźliśmy najniższy wspólny mianownik - 100.

Teraz musimy znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka. Aby to zrobić, podziel nowy mianownik przez stary.

Pomnóż 9 przez 4 = 36. Pomnóż 7 przez 5 = 35.

Mając wspólny mianownik, wykonujemy odejmowanie jak pokazano w przykładzie i otrzymujemy wynik.

Na tej lekcji omówione zostanie dodawanie i odejmowanie. ułamki algebraiczne z różnymi mianownikami. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Aby to zrobić, ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jednocześnie wiemy już, jak sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach jest jednym z najważniejszych i trudne tematy w klasie 8. Co więcej, temat ten pojawi się w wielu tematach kursu algebry, którego będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy cała linia typowe przykłady.

Rozważmy najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadzie dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem ułamków zwykłych jest najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) oryginalnych mianowników.

Definicja

Najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się zarówno przez liczby, jak i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybierz wszystkie czynniki pierwsze, które są uwzględnione w rozwinięciu obu mianowników.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika musisz znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik przez mianownik odpowiedniego ułamka).

Każdy ułamek jest następnie mnożony przez uzyskany dodatkowy współczynnik. Otrzymujemy ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, które nauczyliśmy się dodawać i odejmować na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw przyjrzyjmy się ułamkom, których mianownikami są liczby.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik tych ułamków: i dodatkowe czynniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

Sformułujmy więc algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków (podzielając wspólny mianownik przez mianownik danego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie dodatkowe współczynniki.

4. Dodawaj lub odejmij ułamki zwykłe, korzystając z zasad dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami, których mianownik zawiera wyrażenia literowe.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia literowe w obu mianownikach są takie same, należy znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Zatem rozwiązanie tego przykładu wygląda następująco:.

Odpowiedź:.

Przykład 4. Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki ani użyć skróconych wzorów na mnożenie), to musisz przyjąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiedź:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najbardziej trudne zadanie jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Znajdując wspólny mianownik, należy najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków (w celu uproszczenia wspólnego mianownika).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo jest ustalić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiedź:.

Ustalmy teraz zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Przykład 7. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

.

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz przykład, w którym dodawane są nie dwa, ale trzy ułamki (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla więcej ułamki pozostają takie same).

Przykład 8. Uproszczać: .