Primjeri na temu stepena sa racionalnim eksponentom. Svojstva stupnjeva, formulacije, dokazi, primjeri

Video lekcija "Stepen s racionalnim indikatorom" sadrži vizual edukativni materijal predavati na ovu temu. Video lekcija sadrži informacije o pojmu stepena sa racionalnim eksponentom, svojstvima, takvim stepenima, kao i primere koji opisuju upotrebu obrazovnog materijala za rešavanje praktičnih problema. Zadatak ove video lekcije je jasno i jasno predstaviti nastavni materijal, olakšati njegovo razvijanje i pamćenje kod učenika, formirati sposobnost rješavanja problema koristeći naučene pojmove.

Glavne prednosti video lekcije su mogućnost vizualnih transformacija i proračuna, mogućnost korištenja efekata animacije za poboljšanje efikasnosti učenja. Glasovna pratnja pomaže u razvoju ispravnog matematičkog govora, a također omogućava zamjenu učiteljevog objašnjenja, oslobađajući ga za individualni rad.

Video tutorijal počinje uvođenjem teme. Povezivanje studija nova tema uz prethodno proučavani materijal, predlaže se podsjetiti da je n √ a inače označeno sa 1/n za prirodno n i pozitivno a. Ovaj prikaz n-korena je prikazan na ekranu. Nadalje, predlaže se razmotriti šta znači izraz a m / n, u kojem je a pozitivan broj, a m / n neki razlomak. Definicija stepena istaknutog u okviru je data sa racionalnim eksponentom kao a m/n = n √ a m . Primjećuje se da n može biti prirodan broj, a m cijeli broj.

Nakon određivanja stepena sa racionalnim eksponentom, njegovo značenje se otkriva na primjerima: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Također je prikazan primjer u kojem se stepen predstavljen decimalom pretvara u frakcija predstaviti kao korijen: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i primjer negativnog eksponenta: 3 -1/8 = 8 √3 -jedan .

Odvojeno, karakteristika određenog slučaja je naznačena kada je osnova stepena nula. Primjećuje se da ovaj stepen ima smisla samo sa pozitivnim razlomkom eksponenta. U ovom slučaju, njegova vrijednost je jednaka nuli: 0 m/n =0.

Napominje se još jedna karakteristika stepena sa racionalnim eksponentom - da se stepen sa razlomačnim eksponentom ne može posmatrati sa razlomačnim eksponentom. Navedeni su primjeri pogrešne notacije stepena: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Dalje u video lekciji razmatraju se svojstva stepena sa racionalnim eksponentom. Primećuje se da će svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom važiti i za stepen sa racionalnim eksponentom. Predlaže se opozvati listu svojstava koja također vrijede u ovaj slučaj:

1. Prilikom množenja potencija sa istih osnova njihovi indikatori se zbrajaju: a p a q =a p+q .
2. Podjela stupnjeva sa istim bazama se svodi na stepen sa datom bazom i razlikom u eksponentima: a p:a q =a p-q .
3. Ako stepen podignemo do određenog stepena, onda kao rezultat dobijamo stepen sa datom bazom i proizvodom eksponenata: (a p) q =a pq .

Sva ova svojstva vrijede za potencije sa racionalnim eksponentima p, q i pozitivnom bazom a>0. Također, transformacije stupnjeva ostaju istinite kada se otvaraju zagrade:

1. (ab) p =a p b p - podizanje proizvoda dva broja na određeni stepen sa racionalnim eksponentom svodi se na proizvod brojeva, od kojih je svaki podignut na dati stepen.
2. (a/b) p =a p /b p - stepenovanje sa racionalnim eksponentom razlomka se svodi na razlomak čiji se brojilac i imenilac dižu na zadati stepen.

Video tutorijal govori o rješenju primjera koji koriste razmatrana svojstva stupnjeva s racionalnim eksponentom. U prvom primjeru se predlaže da se pronađe vrijednost izraza koji sadrži varijable x na razlomak: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Unatoč složenosti izraza, korištenjem svojstava stupnjeva, rješava se prilično jednostavno. Rješenje zadatka počinje pojednostavljivanjem izraza, koji koristi pravilo dizanja stepena s racionalnim eksponentom na stepen, kao i množenje potencija sa istom osnovom. Nakon zamjene date vrijednosti x=8 u pojednostavljeni izraz x 1/3 +48, ​​lako je dobiti vrijednost - 50.

U drugom primjeru potrebno je smanjiti razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže potencije s racionalnim eksponentom. Koristeći svojstva stepena, iz razlike biramo faktor x 1/3, koji se zatim smanjuje u brojiocu i nazivniku, a pomoću formule za razliku kvadrata, brojilac se razlaže na faktore, što daje više smanjenja isti faktori u brojniku i nazivniku. Rezultat takvih transformacija je kratak razlomak x 1/4 +3.

Video lekcija "Stepen s racionalnim indikatorom" može se koristiti umjesto da nastavnik objašnjava novu temu lekcije. Ovaj priručnik takođe sadrži pune informacije za samostalno učenje student. Materijal može biti koristan u učenju na daljinu.

Od cjelobrojnih eksponenta broja a naslućuje se prijelaz na racionalni eksponent. U nastavku definišemo stepen sa racionalnim eksponentom, a to ćemo učiniti na način da se sačuvaju sva svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom. Ovo je neophodno jer su celi brojevi deo racionalnih brojeva.

Poznato je da se skup racionalnih brojeva sastoji od cijelih i razlomaka, i svaki od njih razlomak broj može biti predstavljen kao pozitivan ili negativan običan razlomak. Stepen smo definisali celobrojnim eksponentom u prethodnom pasusu, stoga, da bismo završili definiciju stepena sa racionalnim eksponentom, moramo dati značenje stepena broja a sa razlomkom m/n, gdje m je cijeli broj, i n- prirodno. Hajde da to uradimo.

Razmotrimo stepen sa razlomkom eksponenta oblika . Da bi svojstvo stepena u stepenu ostalo validno, jednakost mora da važi . Ako uzmemo u obzir rezultirajuću jednakost i način na koji smo odredili korijen n-tog stepena, onda je logično prihvatiti, pod uslovom da se uz podatke m, n i a izraz ima smisla.

Lako je potvrditi da su sva svojstva stepena sa celobrojnim eksponentom validna za as (ovo se radi u odeljku o svojstvima stepena sa racionalnim eksponentom).

Gornje rezonovanje nam omogućava da napravimo sljedeće zaključak: ako je dato m, n i a izraz ima smisla, onda snaga broja a sa razlomkom m/n zove korijen n th stepen of a u meri u kojoj m.

Ova izjava nas približava definiciji stepena sa razlomkom eksponenta. Ostaje samo opisati pod čime m, n i a izraz ima smisla. Ovisno o postavljenim ograničenjima na m, n i a postoje dva glavna pristupa.

1. Najlakši način je nametnuti ograničenje a, prihvatanje a≥0 za pozitivno m i a>0 za negativan m(jer kod m≤0 stepen 0 m nespecificirano). Tada dobijamo sljedeću definiciju stepena sa razlomkom eksponenta.

Definicija.

Stepen pozitivnog broja a sa razlomkom m/n , gdje m je cjelina, i n – prirodni broj, zove se korijen n-th iz među a u meri u kojoj m, tj. .

Dio stepena nule je također definiran uz jedino upozorenje da eksponent mora biti pozitivan.

Definicija.

Potencija nule s razlomanim pozitivnim eksponentom m/n , gdje m je pozitivan cijeli broj, i n je prirodan broj, definisan kao .
Kada stepen nije definisan, odnosno stepen broja nula sa razlomačnim negativnim eksponentom nema smisla.

Treba napomenuti da kod takve definicije stepena sa razlomačnim eksponentom postoji jedna nijansa: za neke negativne a i neke m i n izraz ima smisla, a mi smo ove slučajeve odbacili uvođenjem uslova a≥0. Na primjer, ima smisla pisati ili , i gornja definicija nas tjera da kažemo da stupnjevi s razlomkom eksponenta oblika su besmislene, jer baza ne smije biti negativna.

2. Drugi pristup određivanju stepena sa razlomkom eksponenta m/n sastoji se u odvojenom razmatranju parnih i neparnih eksponenata korijena. Ovaj pristup zahtijeva dodatni uvjet: moć broja a, čiji je indikator redukovani obični razlomak, smatra se stepenom broja a, čiji je indikator odgovarajući nesvodljivi razlomak (važnost ovog uslova će biti objašnjena u nastavku). Odnosno, ako m/n je nesvodljiv razlomak, tada za bilo koji prirodan broj k stepen se preliminarno zamjenjuje sa .

Za čak n i pozitivno m izraz ima smisla za svaki nenegativni a(koren parnog stepena negativnog broja nema smisla), sa negativnim m broj a mora i dalje biti različit od nule (inače će biti podjela sa nulom). I za čudno n i pozitivno m broj a može biti bilo šta (korijen neparnog stepena je definiran za bilo koji realan broj), i za negativan m broj a mora biti različit od nule (tako da nema dijeljenja sa nulom).

Gornje rezonovanje nas dovodi do takve definicije stepena sa razlomkom eksponenta.

Definicija.

Neka bude m/n- nesmanjivi razlomak m je cjelina, i n- prirodni broj. Za bilo koji obični razlomak koji se može reducirati, stupanj se zamjenjuje sa . Stepen of a sa nesmanjivim razlomanim eksponentom m/n- to je za

o bilo koji realan broj a, cijeli pozitivan m i čudno prirodno n, Na primjer, ;

o bilo koji realni broj različit od nule a, cijeli negativan m i čudno n, na primjer, ;

o bilo koji nenegativan broj a, cijeli pozitivan m i čak n, Na primjer, ;

o bilo kakvo pozitivno a, cijeli negativan m i čak n, na primjer, ;

o u drugim slučajevima, stepen sa razlomačnim eksponentom nije definisan, kao što, na primer, stepeni nisu definisani .a unosima ne pridajemo nikakvo značenje, definiramo stepen nule za pozitivne razlomke m/n as , za negativne frakcijske eksponente, stepen broja nula nije definiran.

U zaključku ovog odeljka, obratimo pažnju na činjenicu da se razlomak eksponenta može napisati u obliku decimalni razlomak ili mješoviti broj, Na primjer, . Da biste izračunali vrijednosti izraza ove vrste, trebate napisati eksponent kao običan razlomak, a zatim koristiti definiciju stepena s razlomkom. Za primjeri imamo i

Stepen sa racionalnim eksponentom

Khasyanova T.G.,

nastavnik matematike

Prezentirani materijal će biti od koristi nastavnicima matematike prilikom proučavanja teme "Stepen s racionalnim indikatorom".

Svrha predstavljenog materijala: otkrivanje mog iskustva u vođenju lekcije na temu "Stepen s racionalnim pokazateljem" program rada disciplina "Matematika".

Metodologija lekcije odgovara njenoj vrsti - lekcija u proučavanju i primarnoj konsolidaciji novog znanja. Napravljeno je ažuriranje osnovno znanje i vještine zasnovane na prethodnom iskustvu; primarno pamćenje, konsolidacija i primjena novih informacija. Konsolidacija i primjena novog materijala odvijala se u vidu rješavanja zadataka koje sam testirao različite složenosti daje pozitivan rezultat savladavanja teme.

Na početku časa učenicima sam postavio sljedeće ciljeve: obrazovni, razvojni, edukativni. Na času sam koristio razne načine aktivnosti: frontalni, individualni, parna soba, samostalni, test. Zadaci su bili diferencirani i omogućili su da se u svakoj fazi časa identifikuje stepen asimilacije znanja. Obim i složenost zadataka odgovara uzrasnim karakteristikama učenika. iz mog iskustva - zadaća, slično zadacima koji se rješavaju u učionici, omogućava vam da sigurno učvrstite stečena znanja i vještine. Na kraju časa izvršena je refleksija i evaluiran rad pojedinih učenika.

Ciljevi su ostvareni. Studenti su proučavali pojam i svojstva stepena sa racionalnim eksponentom, naučili kako koristiti ta svojstva u rješavanju praktičnih zadataka. Iza samostalan rad ocjene se objavljuju na sljedećem času.

Vjerujem da metodologiju koju koristim za izvođenje nastave matematike mogu primijeniti i nastavnici matematike.

Tema lekcije: Stepen sa racionalnim pokazateljem

Svrha lekcije:

Identifikacija nivoa ovladavanja od strane učenika kompleksom znanja i vještina i, na osnovu toga, primjena određenih rješenja za unapređenje obrazovnog procesa.

Ciljevi lekcije:

Tutorijali: formirati kod učenika nova znanja o osnovnim pojmovima, pravilima, zakonima za određivanje stepena sa racionalnim pokazateljem, sposobnost samostalne primene znanja u standardnim uslovima, u promenjenim i nestandardnim uslovima;

razvijanje: razmišljajte logično i implementirajte Kreativne vještine;

vaspitači: formirati interesovanje za matematiku, dopuniti vokabular novim terminima, dobiti Dodatne informacije o svetu oko sebe. Negujte strpljenje, upornost, sposobnost savladavanja poteškoća.

Organiziranje vremena

Ažuriranje osnovnih znanja

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, eksponenti se sabiraju, a baza ostaje ista:

Na primjer,

2. Prilikom dijeljenja potencija sa istim bazama, eksponenti se oduzimaju, a baza ostaje ista:

Na primjer,

3. Prilikom podizanja stepena na stepen, eksponenti se množe, a baza ostaje ista:

Na primjer,

4. Stepen proizvoda jednak je proizvodu potencija faktora:

Na primjer,

5. Stepen količnika jednak je količniku potencija dividende i djelitelja:

Na primjer,

Vježbe rješenja

Pronađite vrijednost izraza:

Odluka:

U ovom slučaju, nijedno od svojstava stepena sa prirodnim eksponentom ne može se eksplicitno primeniti, jer svi stepeni imaju različite osnove. Zapišimo neke stepene u drugačijem obliku:

(stepen proizvoda je jednak proizvodu stepeni faktora);

(pri množenju stepena sa istom osnovom eksponenti se sabiraju, a baza ostaje ista, pri podizanju stepena na stepen eksponenti se množe, ali baza ostaje ista).

Tada dobijamo:

U ovom primjeru korištena su prva četiri svojstva stepena s prirodnim eksponentom.

Aritmetički kvadratni korijen
- nije negativan broj, čiji je kvadrata,
. At
- izraz
nije definisano, jer ne postoji realan broj čiji je kvadrat jednak negativnom brojua.

Matematički diktat(8-10 min.)

Opcija

II. Opcija

1. Pronađite vrijednost izraza

a)

b)

1. Pronađite vrijednost izraza

a)

b)

2. Izračunajte

a)

b)

AT)

2. Izračunajte

a)

b)

u)

Self test(na dasci za revere):

Matrica odgovora:

№ opcija/zadatak

Zadatak 1

Zadatak 2

Opcija 1

a) 2

b) 2

a) 0,5

b)

u)

Opcija 2

a) 1.5

b)

a)

b)

u 4

II Formiranje novih znanja

Razmotrite značenje izraza, gdje - pozitivan broj– razlomak i m-cijeli broj, n-prirodni (n>1)

Definicija: stepen broja a›0 sa racionalnim eksponentomr = , m-cijela, n- prirodno ( n›1) poziva se broj.

dakle:

Na primjer:

napomene:

1. Za bilo koje pozitivno a i bilo koje racionalno r, broj pozitivno.

2. Kada
racionalni stepen brojevianije definisano.

Izrazi kao što su
nema smisla.

3.Ako razlomak pozitivnog broja
.

Ako a razlomak onda negativan broj -nema smisla.

Na primjer: - nema smisla.

Razmotrimo svojstva stepena sa racionalnim eksponentom.

Neka su a>0, v>0; r, s - bilo koji racionalni brojevi. Tada ima stepen sa bilo kojim racionalnim eksponentom sljedeća svojstva:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidacija. Formiranje novih vještina i sposobnosti.

Kartice sa zadacima rade u malim grupama u obliku testa.