Kako pomnožiti obične razlomke prirodnim brojem. Množenje razlomaka

Kako pomnožiti obične razlomke prirodnim brojem. Množenje razlomaka
Kako pomnožiti obične razlomke prirodnim brojem. Množenje razlomaka
17.10.2019

Obični razlomci prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno uzeti u obzir ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijeliti. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Na kraju krajeva, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zgnječiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII vijeku se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom jeziku.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je bilo veoma teško prikazati u razumevanju ljudi.

moderan izgled jednostavne frakcione ostatke, čiji su delovi odvojeni precizno horizontalnom linijom, prvi su priložili Fibonači - Leonardo iz Pize. Njegovi spisi datirani su 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako dolazi do množenja miješanih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti varijeteti frakcija:

  • ispravan;
  • pogrešno;
  • mješovito.

Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa je lako formulisati nezavisno: rezultat množenja prosti razlomci sa istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojilac proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika datih razlomaka. Naime, novi nazivnik je u početku kvadrat jednog od postojećih.

Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomke biti proizvod različitih brojeva i, naravno, kvadrata od jedan numerički izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

  • 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
  • 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine za smanjenje frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika sa brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Zajedno sa jednostavnim razlomci brojeva, postoji koncept miješanih razlomaka. Mješoviti broj se sastoji od cijelog broja i razlomka, to jest, on je zbir ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Nekoliko primjera je dato za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

U primjeru se koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju po formuli:

a* b/c = a*b /c.

U stvari, takav proizvod je zbir identičnih razlomaka ostataka, a broj članova ukazuje na to prirodni broj. poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja razlomkom ostatka. Jednostavno podijelite imenilac ovim brojem:

d* e/f = e/f: d.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Prevedi mešoviti brojevi u nepravilne razlomke i dobiti proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način da se mješoviti razlomak predstavi kao nepravilan razlomak, također se može predstaviti kao opšta formula:

a bc = a*b+ c / c gdje je imenilac novi snimak se formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojniku originalnog razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces radi i obrnuto. Da biste odabrali cijeli broj i razlomak ostatak, potrebno je podijeliti brojnik nepravilnog razlomka s njegovim nazivnikom s "uglom".

Množenje nepravilni razlomci proizveden na uobičajen način. Kada unos ide ispod jedne razlomke, po potrebi, trebate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programe. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani onlajn kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, odabire se znak matematičke radnje i pritisne se dugme "izračunaj". Program broji automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima je relevantna u cijelom obrazovanju učenika srednjih i starijih škola. U srednjoj školi više ne razmišljaju o najjednostavnijim vrstama, već cjelobrojni razlomci, ali se znanje o pravilima za transformaciju i proračune, dobijeno ranije, primjenjuje u izvornom obliku. dobro svareno osnovno znanje ukazati puno poverenje dobra odluka većina izazovni zadaci.

U zaključku, logično je navesti riječi Lava Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojilac – svoje zasluge, ali svako može umanjiti svoj imenilac – svoje mišljenje o sebi i time se približiti svom savršenstvu.

Razmotrit ćemo množenje običnih razlomaka na nekoliko mogućih načina.

Množenje razlomka sa razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj, u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.

To pomnožiti razlomak sa razlomkom, potrebno:

  • pomnoži brojilac prvog razlomka sa brojnikom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u brojnik novog razlomka;
  • pomnoži nazivnik prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u nazivnik novog razlomka;

    • Prije množenja brojionika i nazivnika, provjerite da li se razlomci mogu smanjiti. Smanjenje razlomaka u proračunima uvelike će olakšati vaše proračune.

    Množenje razlomka prirodnim brojem

    To fraction pomnožiti prirodnim brojem Morate pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.

    Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno odabrati cijeli dio.

    Množenje mješovitih brojeva

    Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.

    Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem

    Ponekad je pri računanju prikladnije koristiti drugu metodu množenja običan razlomak na broj.

    Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojilac ostaviti isti.

    Kao što se može vidjeti iz primjera, ova verzija pravila je pogodnija za korištenje ako je nazivnik razlomka djeljiv bez ostatka prirodnim brojem.

    Radnje sa razlomcima

    Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima

    Sabiranje razlomaka je dvije vrste:

  • Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima
  • Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

    • Počnimo sa sabiranjem razlomaka sa istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojioce, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Sabiramo brojioce, a imenilac ostavljamo nepromijenjen:

    Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

    Primjer 2 Dodajte razlomke i .

    Opet, zbrojite brojioce, a nazivnik ostavite nepromijenjen:

    Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, onda je uobičajeno da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju cijeli dio lako se izdvaja - dva podeljena sa dva jednako je jedan:

    Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobijate jednu cijelu picu:

    Primjer 3. Dodajte razlomke i .

    Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobićete pizze:

    Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

    Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

    Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

    Kao što vidite, sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

  1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, morate sabrati njihove brojioce, a nazivnik ostaviti istim;
  2. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

    3. Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

    Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

    Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

    Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različiti imenioci. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

    Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.

    Suština ove metode je da se prvo traži najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika oba razlomka. Tada se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - NOC se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

    Tada se brojnici i imenioci razlomaka množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako sabirati takve razlomke.

    Primjer 1. Dodajte razlomke i

    Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) imenilac.

    Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

    LCM (2 i 3) = 6

    Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

    Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i zapišemo pronađeni dodatni faktor iznad nje:

    Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

    Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:

    Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

    Pogledajte dobro do čega smo došli. Došli smo do zaključka da se razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako sabirati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

    Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.

    Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

    Svođenje razlomaka na isti (zajednički) imenilac može se prikazati i pomoću slike. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).

    Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri od šest komada). Spajanjem ovih delova dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netačan, pa smo u njemu istakli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pica i još jedna šesta pizza).

    Imajte na umu da smo ovaj primjer oslikali previše detalja. AT obrazovne institucije nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožite dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i imenioci. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

    Ali postoji i stražnja strana medalje. Ako se na prvim fazama izučavanja matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja te vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

    Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

  3. Naći LCM nazivnika razlomaka;
  4. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
  5. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
  6. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
  7. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

    8. Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

    Koristimo gornji dijagram.

    Korak 1. Pronađite LCM za nazivnike razlomaka

    Nalazimo LCM za nazivnike oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4. Za ove brojeve morate pronaći LCM:

    Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

    LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

    Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

    Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a imenilac trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

    Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima

    Množimo brojioce i nazivnike našim dodatnim faktorima:

    Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike

    Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Dodaj:

    Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, on se prenosi u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak nova linija. Znak jednakosti u drugom redu ukazuje da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

    Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli broj

    Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:

    Imam odgovor

    Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima

    Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

  8. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima
  9. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi razlomak, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Da bi se riješio ovaj primjer, potrebno je brojilac drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pice:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Opet, od brojila prvog razlomka oduzmite brojilac drugog razlomka, a nazivnik ostavite isti:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pice:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojila prvog razlomka potrebno je oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Ako je primjer potpun, uobičajeno je da se riješite nepravilnog razlomka. Oslobodimo se pogrešnog razlomka u odgovoru. Da biste to učinili, odaberite cijeli njegov dio:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

  • Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostaviti isti;
  • Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli njegov dio.

    • Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

    Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

    Zajednički imenilac se nalazi po istom principu koji smo koristili pri sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Tada se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor, koji se zapisuje preko drugog razlomka.

    Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

    Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

    Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

    LCM (3 i 4) = 12

    Sada se vratimo na razlomke i

    Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:

    Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM dijelimo sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Zapisujemo trojku preko drugog razlomka:

    Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

    Došli smo do zaključka da se razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

    Imam odgovor

    Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pice, dobićete pizze.

    Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo morali na kraći način riješiti ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

    Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

    Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

    Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

    Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih prvo morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

    Naći LCM nazivnika ovih razlomaka.

    Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

    LCM(10, 3, 5) = 30

    Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom svakog razlomka.

    Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

    Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

    Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

    Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

    Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

    Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

    Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo ga učiniti jednostavnijim i estetski ugodnijim. Šta se može učiniti? Možete smanjiti ovu frakciju. Podsjetimo da je smanjenje razlomka dijeljenje brojnika i nazivnika najvećim zajednički djelitelj brojilac i imenilac.

    Da biste ispravno smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 20 i 30.

    Nemojte brkati GCD sa NOC. Najčešća greška koju čine mnogi početnici. GCD je najveći zajednički djelitelj. Nalazimo ga za smanjenje frakcija.

    A LCM je najmanji umnožak. Nalazimo ga kako bismo razlomke doveli do istog (zajedničkog) nazivnika.

    Sada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj (gcd) brojeva 20 i 30.

    Dakle, nalazimo GCD za brojeve 20 i 30:

    GCD (20 i 30) = 10

    Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa 10:

    Dobio sam lep odgovor

    Množenje razlomka brojem

    Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je da pomnožite brojilac datog razlomka sa ovim brojem, a nazivnik ostane isti.

    Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

    Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

    Unos se može shvatiti kao da je potrebno pola puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobićete pizzu

    Iz zakona množenja znamo da ako se množilac i množilac zamijene, onda se proizvod neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

    Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovine jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, onda ćemo imati picu:

    Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

    Pomnožite brojilac razlomka sa 4

    Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobićete dvije cijele pizze.

    A ako zamijenimo množitelj i množilac na mjestima, dobićemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

    Množenje razlomaka

    Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

    Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza .

    Imam odgovor. Poželjno je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

    Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

    Kako uzeti dvije trećine od ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

    I uzmi dva od ova tri komada:

    Idemo po pizzu. Zapamtite kako izgleda pica podijeljena na tri dijela:

    Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

    Drugim riječima, mi pričamo pizza otprilike iste veličine. Dakle, vrijednost izraza je

    Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

    Pomnoži brojilac prvog razlomka brojinikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

    Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

    Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

    Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, ali će biti dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, on se mora podijeliti s gcd brojnika i nazivnika. Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

    GCD za (105 i 150) je 15

    Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD:

    Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

    Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

    Obrnuti brojevi

    Sada ćemo se upoznati sa veoma zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

    Definicija. Obrnuto na broj a je broj koji, kada se pomnoži sa a daje jedinicu.

    Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

    Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

    Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da možeš. Hajde da predstavimo pet kao razlomak:

    Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožite razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

    Šta će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

    To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži sa jedan, dobije se jedan.

    Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

    • recipročna vrijednost 3 je razlomak
    • recipročna vrijednost 4 je razlomak

      • Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.

    ) i nazivnik po imeniocu (dobijamo nazivnik proizvoda).

    Formula za množenje razlomaka:

    Na primjer:

    Prije nego što nastavite s množenjem brojilaca i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomaka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.

    Podjela običnog razlomka razlomkom.

    Dijeljenje razlomaka koje uključuje prirodan broj.

    Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

    Množenje mješovitih razlomaka.

    Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

    • pretvoriti miješane razlomke u nepravilne;
    • množi brojioce i nazivnike razlomaka;
    • smanjujemo razlomak;
    • ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti.

    Bilješka! Da se umnoži mješovita frakcija na drugi mješoviti razlomak, prvo ih trebate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja za obične razlomke.

    Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

    Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

    Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

    Iz gornjeg primjera jasno je da je ovu opciju pogodnije koristiti kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

    Razlomci na više nivoa.

    U srednjoj školi često se nalaze trospratni (ili više) razlomci. primjer:

    Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 boda:

    Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

    Bilješka, na primjer:

    Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

    Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

    1. Najvažnija stvar u radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je da zapišete nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego da se zbunite u proračunima u glavi.

    2. U zadacima sa različite vrste razlomci - idite na oblik običnih razlomaka.

    3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

    4. Razlomke na više nivoa unosimo u obične, koristeći dijeljenje na 2 tačke.

    5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.

    U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

    Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

    Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju u ovom trenutku, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

    Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

    Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči sa konstantna brzina. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."

    Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

    Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

    Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

    Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

    Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

    U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći) . Na šta želim da se fokusiram Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

    Srijeda, 04.07.2018

    Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane na Wikipediji. Gledamo.

    Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, u kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

    Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako bi se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

    Koliko god se matematičari krili iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija setove samim matematičarima.

    Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa istih elemenata. Ovdje zabava počinje.

    Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...

    A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.

    Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

    Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna cjelina" ili "nezamislivog kao jedinstvene cjeline".

    Nedjelja, 18.03.2018

    Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

    Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

    Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se pronašao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

    1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

    2. Jednu primljenu sliku izrezali smo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

    3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

    4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.

    Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

    Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi računajući, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem od 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

    Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

    Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.

    Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje sa različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih uporedim, onda to nema veze sa matematikom.

    Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korišćenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.

    Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

    Jao! Nije li ovo ženski toalet?
    - Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

    Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.

    Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

    Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

    Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ta devojka glupa, ne ko zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

    1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

    Množenje cijelog broja razlomkom je jednostavan zadatak. Ali postoje suptilnosti koje ste vjerovatno razumjeli u školi, ali ste ih od tada zaboravili.

    Kako pomnožiti cijeli broj sa razlomkom - nekoliko pojmova

    Ako se sjećate šta su brojilac i nazivnik i kako se pravi razlomak razlikuje od nepravilnog, preskočite ovaj pasus. Za one koji su potpuno zaboravili teoriju.

    Brojilac je gornji dio razlomka - ono što dijelimo. Imenilac je donji. To je ono što dijelimo.
    Pravi razlomak je onaj sa brojicom manji od imenioca. Nepravilan razlomak je razlomak čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku.

    Kako pomnožiti cijeli broj sa razlomkom

    Pravilo za množenje cijelog broja razlomkom je vrlo jednostavno - brojilac množimo cijelim brojem, a nazivnik ne dodirujemo. Na primjer: dva pomnožena sa jednom petinom - dobijamo dvije petine. Četiri puta tri šesnaestine je dvanaest šesnaestih.


    Redukcija

    U drugom primjeru, rezultujuća frakcija se može smanjiti.
    Šta to znači? Imajte na umu da su i brojnik i imenilac ovog razlomka djeljivi sa četiri. Dijeljenje oba broja zajedničkim djeliteljem naziva se smanjenjem razlomka. Dobijamo tri četvrtine.


    Nepravilni razlomci

    Ali pretpostavimo da pomnožimo četiri puta dvije petine. Dobio osam petina. Ovo je pogrešan razlomak.
    Mora se dovesti do toga ispravan oblik. Da biste to učinili, morate odabrati cijeli dio iz njega.
    Ovdje trebate koristiti dijeljenje s ostatkom. Dobijamo jedan i tri u ostatku.
    Jedna cjelina i tri petine su naš pravi razlomak.

    Ispraviti trideset pet osmina je malo teže. Najbliži broj trideset sedam koji je djeljiv sa osam je trideset dva. Kada se podijeli, dobijemo četiri. Od trideset i pet oduzmemo trideset dva - dobijemo tri. Ishod: četiri cijele i tri osmine.


    Jednakost brojnika i nazivnika. A ovdje je sve vrlo jednostavno i lijepo. Kada su brojnik i nazivnik jednaki, rezultat je samo jedan.