Kako skratiti razlomke prilikom množenja. Množenje običnih razlomaka: pravila, primjeri, rješenja

Obični razlomci prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno uzeti u obzir ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijeliti. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Na kraju krajeva, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zgnječiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII vijeku se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom jeziku.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je bilo veoma teško prikazati u razumevanju ljudi.

moderan izgled jednostavne frakcione ostatke, čiji su delovi odvojeni precizno horizontalnom linijom, prvi je dao Fibonači - Leonardo iz Pize. Njegovi spisi datirani su 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako dolazi do množenja miješanih razlomaka s različitim nazivnicima.

Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti varijeteti frakcija:

• ispravan;
• pogrešno;
• mješovito.

Zatim morate zapamtiti kako se množenje događa. razlomci brojeva sa istim imeniocima. Samo pravilo ovog procesa je lako formulisati nezavisno: rezultat množenja prosti razlomci sa istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojilac proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika datih razlomaka. To je, u suštini, novi imenilac postoji kvadrat jednog od postojećih u početku.

Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomke biti proizvod različitih brojeva i, naravno, kvadrata od jedan numerički izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine za smanjenje frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika sa brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj se sastoji od cijelog broja i razlomka, to jest, on je zbir ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Nekoliko primjera je dato za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

U primjeru se koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju po formuli:

a* b/c = a*b /c.

Zapravo, takav proizvod je zbir identičnih frakcijskih ostataka, a broj pojmova to ukazuje prirodni broj. poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti imenilac ovim brojem:

d* e/f = e/f: d.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Prevedi mešoviti brojevi u nepravilne razlomke i dobiti proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje metodu predstavljanja mješovita frakcija u pogrešnu, može se predstaviti i kao opšta formula:

a bc = a*b+ c / c, pri čemu se nazivnik novog razlomka formira množenjem cijelog dijela sa nazivnikom i dodavanjem brojniku originalnog razlomka, a imenilac ostaje isti.

Ovaj proces radi i obrnuto. Da biste odabrali cijeli broj i razlomak ostatak, potrebno je podijeliti brojnik nepravilnog razlomka s njegovim nazivnikom s "uglom".

Množenje nepravih razlomaka proizveden na uobičajen način. Kada unos ide ispod jedne razlomke, po potrebi, trebate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programe. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani onlajn kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, odabire se znak matematičke radnje i pritisne se dugme "izračunaj". Program broji automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima je relevantna u cijelom obrazovanju učenika srednjih i starijih škola. U srednjoj školi više ne razmišljaju o najjednostavnijim vrstama, već cjelobrojni razlomci, ali se znanje o pravilima za transformaciju i proračune, dobijeno ranije, primjenjuje u izvornom obliku. dobro svareno osnovno znanje ukazati puno poverenje dobra odluka većina izazovni zadaci.

U zaključku, logično je navesti riječi Lava Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojilac – svoje zasluge, ali svako može umanjiti svoj imenilac – svoje mišljenje o sebi i time se približiti svom savršenstvu.

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju u ovom trenutku, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči sa konstantna brzina. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Na šta želim da se fokusiram Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane na Wikipediji. Gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, u kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako bi se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija setove samim matematičarima.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa istih elemenata. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...

A sada imam najviše interes Pitajte: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna cjelina" ili "nezamislivog kao jedinstvene cjeline".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo sve korake po redu.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku isječemo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi računajući, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem od 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje sa različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različiti rezultati nakon što ih uporedim, onda to nema veze sa matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korišćenoj jedinici mjere i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ta devojka glupa, ne ko zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

§ 87. Sabiranje razlomaka.

Sabiranje razlomaka ima mnogo sličnosti sa sabiranjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko datih brojeva (članova) spoji u jedan broj (zbir), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica članova.

Razmotrit ćemo redom tri slučaja:

1. Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.
2. Sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Sabiranje mješovitih brojeva.

1. Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer: 1 / 5 + 2 / 5 .

Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite sa 5 jednaki dijelovi, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 odsječka AB, a dio istog segmenta CD će biti jednak 2/5 AB.

Iz crteža se može vidjeti da ako uzmemo odsječak AD, onda će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbir segmenata AC i CD. Dakle, možemo napisati:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Uzimajući u obzir ove članove i rezultujući iznos, vidimo da je brojilac zbira dobijen sabiranjem brojilaca članova, a imenilac je ostao nepromenjen.

Iz ovoga dobijamo sledeće pravilo: Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojioce i ostaviti isti imenilac.

Razmotrimo primjer:

2. Sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima.

Dodajmo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:

Međuveza 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.

Dakle, da biste sabrali razlomke sa različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do najnižeg zajedničkog imenioca, sabrati njihove brojioce i potpisati zajednički imenilac.

Razmotrimo primjer (napisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):

3. Sabiranje mješovitih brojeva.

Dodajmo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Hajde da prvo dovedemo razlomke naših brojeva u zajednički nazivnik i ponovo ih prepišemo:

Sada dodajte cijeli broj i razlomak u nizu:

§ 88. Oduzimanje razlomaka.

Oduzimanje razlomaka definira se na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja kojom se, s obzirom na zbir dva člana i jednog od njih, nalazi drugi pojam. Razmotrimo redom tri slučaja:

1. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

1. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima.

Razmotrimo primjer:

13 / 15 - 4 / 15

Uzmimo segment AB (slika 18), uzmemo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Odvojimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.

Moramo oduzeti 4/15 od 13/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Tako da možemo napisati:

Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobijen oduzimanjem brojilaca, a imenilac je ostao isti.

Stoga, da biste oduzeli razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojilac oduzetog od brojnika minusa i ostavite isti imenilac.

2. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Primjer. 3/4 - 5/8

Prvo, smanjimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:

Međuveza 6 / 8 - 5 / 8 je ovdje napisana radi jasnoće, ali se može preskočiti u budućnosti.

Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika minusa oduzeti brojnik oduzetog i potpisati zajednički imenilac ispod njihove razlike.

Razmotrimo primjer:

3. Oduzimanje mješovitih brojeva.

Primjer. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Dovedemo razlomke minusa i oduzetog na najmanji zajednički nazivnik:

Od cjeline smo oduzeli cjelinu, a od razlomka razlomak. Ali postoje slučajevi kada je razlomak oduzetog dijela veći od razlomanog dijela minuenda. U takvim slučajevima potrebno je da od celobrojnog dela minuenda uzmete jednu jedinicu, podelite je na delove u kojima je razlomački deo izražen i dodate razlomkom delu minusa. I tada će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:

§ 89. Množenje razlomaka.

Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka datog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka sa razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Koncept interesa.
7. Pronalaženje postotaka datog broja. Razmotrimo ih redom.

1. Množenje razlomka cijelim brojem.

Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množitelja) cijelim brojem (množitelj) znači sastavljanje zbira identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, to se može učiniti ovako:

Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima. dakle,

Razmatranje ove akcije pokazuje da je množenje razlomka cijelim brojem jednako povećanju ovog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegovog brojila

ili smanjenjem imenioca , tada možemo ili pomnožiti brojilac cijelim brojem, ili podijeliti nazivnik s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.

Odavde dobijamo pravilo:

Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, potrebno je pomnožiti brojilac sa ovim cijelim brojem i ostaviti isti nazivnik ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik ovim brojem, ostavljajući brojnik nepromijenjen.

Prilikom množenja moguće su skraćenice, na primjer:

2. Pronalaženje razlomka datog broja. Postoji mnogo zadataka u kojima morate pronaći, ili izračunati, dio datog broja. Razlika između ovih zadataka i drugih je u tome što oni daju broj nekih objekata ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je ovdje također označen određenim razlomkom. Da bismo olakšali razumijevanje, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.

Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca potrošio sam na kupovinu knjiga. Koliko su knjige koštale?

Zadatak 2. Voz mora preći razdaljinu između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prešao 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?

Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, 3/4 su zidane, ostale su drvene. Koliko kuće od cigle?

Evo nekih od njih brojni zadaci da pronađemo dio datog broja koji moramo zadovoljiti. Obično se zovu problemi za pronalaženje razlomka datog broja.

Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 sa 3:

Rešenje 2. problema. Značenje problema je da morate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunaj prvu 1/3 od 300; ovo se postiže dijeljenjem 300 km sa 3:

300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).

Da biste pronašli dvije trećine od 300, morate udvostručiti rezultirajući količnik, odnosno pomnožiti sa 2:

100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).

Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, kojih je 3/4 od 400. Hajde da prvo pronađemo 1/4 od 400,

400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).

Da biste izračunali tri četvrtine od 400, rezultirajući količnik se mora utrostručiti, odnosno pomnožiti sa 3:

100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).

Na osnovu rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:

Da biste pronašli vrijednost razlomka datog broja, potrebno je podijeliti ovaj broj sa nazivnikom razlomka i pomnožiti rezultirajući količnik sa njegovim brojiteljem.

3. Množenje cijelog broja razlomkom.

Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao sabiranje identičnih članova (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). U ovom stavu (stav 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje sume identičnih članova jednakog ovom razlomku.

U oba slučaja množenje se sastojalo u pronalaženju zbira identičnih članova.

Sada prelazimo na množenje cijelog broja sa razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očigledno da se prethodna definicija množenja ne odnosi na ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti sabiranjem jednakih brojeva.

Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje šta treba shvatiti pod množenjem razlomkom, kako tu radnju treba shvatiti.

Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalaženje 2/3 od devet jedinica. U prethodnom pasusu takvi problemi su riješeni; tako da je lako shvatiti da smo završili sa 6.

Ali sada postoji zanimljivo i važno pitanje: zašto se tako naizgled različite radnje kao što je pronalaženje zbira jednakih brojeva i nalaženje razlomka broja nazivaju istom riječju "množenje" u aritmetici?

To se događa zato što prethodna radnja (ponavljanje broja sa članovima nekoliko puta) i nova radnja (pronalaženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od razmatranja da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.

Da biste to razumjeli, razmotrite sljedeći problem: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takvog platna?

Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (4), odnosno 50 x 4 = 200 (rubalji).

Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?

Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) sa brojem metara (3/4).

Brojeve u njemu također možete promijeniti nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzmite 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.

Budući da ovi zadaci imaju isti sadržaj i razlikuju se samo po brojevima, radnje koje se koriste u njihovom rješavanju nazivamo istom riječju - množenje.

Kako se cijeli broj množi razlomkom?

Uzmimo brojeve na koje smo naišli u zadnjem zadatku:

Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.

1/4 od 50 je 50/4;

3/4 od 50 je .

Dakle.

Razmotrimo još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?

1/8 od 12 je 12/8,

5/8 od broja 12 je .

dakle,

Odavde dobijamo pravilo:

Da biste pomnožili cijeli broj razlomkom, trebate pomnožiti cijeli broj sa brojnikom razlomka i ovaj proizvod učiniti brojnikom, a nazivnik datog razlomka potpisati kao nazivnik.

Ovo pravilo pišemo pomoću slova:

Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za množenje broja sa količnikom, koje je navedeno u § 38.

Morate imati na umu da prije množenja trebate učiniti (ako je moguće) posekotine, Na primjer:

4. Množenje razlomka sa razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kada množite razlomak razlomkom, trebate pronaći razlomak u množitelju od prvog razlomka (množitelja).

Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronalaženje polovine od 3/4.

Kako množite razlomak sa razlomkom?

Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da morate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7

1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:

5 / 7 brojevi 3 / 4 će biti izraženi na sljedeći način:

dakle,

Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.

1/9 od 5/8 je ,

4/9 brojevi 5/8 su .

dakle,

Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:

Da biste pomnožili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti brojilac brojicom, a nazivnik imeniocem i učiniti prvi proizvod brojicom, a drugi proizvod nazivnikom proizvoda.

Ovo je pravilo u opšti pogled može se napisati ovako:

Prilikom množenja potrebno je izvršiti (ako je moguće) redukcije. Razmotrimo primjere:

5. Množenje mješovitih brojeva. Budući da se mješoviti brojevi mogu lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ova se okolnost obično koristi kada se množe mješoviti brojevi. To znači da u onim slučajevima kada su množitelj, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, tada se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvaramo u nepravilan razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom:

Pravilo. Da biste pomnožili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja razlomka s razlomkom.

Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na osnovu zakona distribucije na sljedeći način:

6. Koncept interesa. Prilikom rješavanja zadataka i prilikom izvođenja raznih praktičnih proračuna koristimo se sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine ne priznaju bilo kakve, već prirodne podjele za njih. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotinke su 2 kopejke, tri stote su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, odnosno 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktično doniraju Nemojte uzeti, na primjer, 2/7 rubalja jer rublja nije podijeljena na sedmine.

Jedinica mjerenja težine, odnosno kilogram, dozvoljava, prije svega, decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve razlomke kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1 /13 su neuobičajeni.

Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dozvoljavaju decimalne podjele.

Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i zgodno u velikom broju slučajeva koristiti isti (ujednačeni) metod podjele veličina. Dugogodišnje iskustvo je pokazalo da je tako opravdana podjela podjela na "stotke". Razmotrimo nekoliko primjera vezanih za najrazličitija područja ljudske prakse.

1. Cijena knjiga je smanjena za 12/100 od prethodne cijene.

Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Ona je pala za 1 rublju. 20 kop.

2. Štedionice isplaćuju u toku godine štedišama 2/100 iznosa koji se stavlja na štednju.

Primjer. 500 rubalja se stavlja u blagajnu, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.

3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5/100 od ukupnog broja učenika.

PRIMJER U školi je studiralo samo 1.200 učenika, od kojih je 60 završilo školu.

Stoti dio broja naziva se postotak..

Riječ "postotak" je posuđena iz Latinski a njegov korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (procentum), ova riječ znači "za sto". Značenje ovog izraza proizilazi iz činjenice da je u početku u stari Rim kamata je bila novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svakih sto". Riječ "cent" čuje se u takvim poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).

Na primjer, umjesto da kažemo da je fabrika proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tokom proteklog mjeseca, reći ćemo ovo: fabrika je proizvela jedan posto otpada tokom proteklog mjeseca. Umjesto da kažemo: fabrika je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: fabrika je premašila plan za 4 posto.

Gore navedeni primjeri mogu se drugačije izraziti:

1. Cijena knjiga je niža za 12 posto od prethodne cijene.

2. Štedionice isplaćuju štedišama 2 posto godišnje od iznosa uloženog u štednju.

3. Broj maturanata jedne škole iznosio je 5 posto od broja svih učenika u školi.

Da bismo skratili slovo, uobičajeno je da se umjesto riječi "postotak" piše znak %.

Međutim, mora se imati na umu da se znak % obično ne piše u proračunima, već se može napisati u iskazu problema i u konačnom rezultatu. Kada izvodite proračune, trebate napisati razlomak sa nazivnikom 100 umjesto cijelog broja sa ovom ikonom.

Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj navedenom ikonom razlomkom sa nazivnikom 100:

Suprotno tome, morate se naviknuti da pišete cijeli broj sa naznačenom ikonom umjesto razlomka sa nazivnikom 100:

7. Pronalaženje postotaka datog broja.

Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubnih metara. m ogrevnog drveta, od čega 30% otpada na breza. Koliko je bilo brezovog drveta?

Smisao ovog problema je da je brezovo drvo za ogrjev bio samo dio ogrevnog drva koje je dostavljeno školi, a ovaj dio se izražava kao razlomak 30/100. Dakle, suočeni smo sa zadatkom da pronađemo dio broja. Da bismo ga riješili, moramo 200 pomnožiti sa 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja sa razlomkom.).

Dakle, 30% od 200 jednako je 60.

Razlomak 30/100 koji se susreće u ovom zadatku može se smanjiti za 10. Ovo smanjenje bi bilo moguće izvesti od samog početka; rješenje problema se ne bi promijenilo.

Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite starosti. Djeca od 11 godina bila su 21%, djeca od 12 godina bila su 61% i konačno 13-godišnjaci su bili 18%. Koliko je djece svakog uzrasta bilo u kampu?

U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri proračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.

Dakle, ovdje će biti potrebno pronaći razlomak broja tri puta. uradimo to:

1) Koliko je djece imalo 11 godina?

2) Koliko je djece imalo 12 godina?

3) Koliko je djece imalo 13 godina?

Nakon rješavanja zadatka, korisno je dodati pronađene brojeve; njihov zbir bi trebao biti 300:

63 + 183 + 54 = 300

Također treba obratiti pažnju na činjenicu da je zbir postotaka datih u stanju problema 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Ovo sugerira da ukupan broj djeca koja su bila u kampu uzeta je kao 100%.

3 a da cha 3. Radnik je primao 1.200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% potrošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% uštedio. Koliko je novca potrošeno na potrebe navedene u zadatku?

Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći razlomak broja 1200 5 puta. Uradimo to.

1) Koliko novca se troši na hranu? Zadatak kaže da je ovaj trošak 65% svih zarada, odnosno 65/100 od broja 1200. Uradimo računicu:

2) Koliko je plaćeno za stan sa grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedeće računice:

3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?

4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?

5) Koliko je novca radnik uštedio?

Za provjeru, korisno je dodati brojeve koji se nalaze u ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1.200 rubalja. Sva zarada se uzima kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u opisu problema.

Riješili smo tri problema. Unatoč činjenici da su ovi zadaci riješeni razne stvari(dostava ogrevnog drveta za školu, broj djece različitog uzrasta, troškovi radnika), riješeni su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima bilo potrebno pronaći nekoliko posto datih brojeva.

§ 90. Podjela razlomaka.

Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.
2. Podjela razlomka cijelim brojem
3. Podjela cijelog broja razlomkom.
4. Podjela razlomka razlomkom.
5. Podjela mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja po procentu.

Razmotrimo ih redom.

1. Podijelite cijeli broj cijelim brojem.

Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u činjenici da se, s obzirom na proizvod dva faktora (dividenda) i jednog od ovih faktora (djelitelj), pronađe drugi faktor.

Deljenje celog broja celim brojem razmatrali smo u odeljenju celih brojeva. Tamo smo sreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, ili "u potpunosti" (150:10 = 15), i dijeljenje sa ostatkom (100:9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva, tačno dijeljenje nije uvijek moguće, jer dividenda nije uvijek proizvod djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom, možemo smatrati svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva mogućim (isključuje se samo dijeljenje nulom).

Na primjer, dijeljenje 7 sa 12 znači pronalaženje broja čiji bi proizvod puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.

Dakle, da biste podijelili cijeli broj cijelim brojem, trebate napraviti razlomak čiji je brojnik jednak dividendi, a nazivnik je djelitelj.

2. Podjela razlomka cijelim brojem.

Podijelite razlomak 6/7 sa 3. Prema gore datoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo proizvod (6/7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor koji bi, kada se pomnoži sa 3, dao dati proizvod 6/7. Očigledno, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji je pred nas bio da smanjimo razlomak 6/7 za 3 puta.

Već znamo da se smanjenje razlomka može izvršiti ili smanjenjem brojioca ili povećanjem imenioca. Stoga možete napisati:

AT ovaj slučaj brojilac 6 je djeljiv sa 3, pa brojnik treba smanjiti za 3 puta.

Uzmimo još jedan primjer: 5 / 8 podijeljeno sa 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv sa 2, što znači da će se imenilac morati pomnožiti sa ovim brojem:

Na osnovu ovoga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili cijelim brojem, trebate podijeliti brojilac razlomka tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti imenilac, ili pomnožite imenilac razlomka sa ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.

3. Podjela cijelog broja razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 5 sa 1/2, tj. pronaći broj koji će, nakon množenja sa 1/2, dati proizvod 5. Očigledno, ovaj broj mora biti veći od 5, jer je 1/2 pravi razlomak, a kada se broj množi pravim razlomkom, proizvod mora biti manji od množitelja. Da bi bilo jasnije, napišimo naše radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = X , dakle x 1 / 2 = 5.

Moramo pronaći takav broj X , što bi, kada se pomnoži sa 1/2, dalo 5. Pošto množenje određenog broja sa 1/2 znači pronalaženje 1/2 ovog broja, onda, dakle, 1/2 nepoznatog broja X je 5, a cijeli broj X duplo više, tj. 5 2 = 10.

Dakle 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

hajde da proverimo:

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 sa 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).

Fig.19

Nacrtajte odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, i podijelite svaku jedinicu na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veća, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobijenih segmenata od 2; Biće samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinicama 9 puta, ili, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. dakle,

Kako dobiti ovaj rezultat bez crteža koristeći samo proračune? Argumentirati ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 sa 2/3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko puta je 2/3 sadržano u 6. Hajde da prvo saznamo: koliko puta je 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, odnosno 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo pomnožiti 6 sa 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje, tj. 18: 2 = 9 Dakle, prilikom dijeljenja 6 sa 2/3 uradili smo sljedeće:

Odavde dobijamo pravilo za dijeljenje cijelog broja razlomkom. Da biste podijelili cijeli broj razlomkom, trebate ovaj cijeli broj pomnožiti sa nazivnikom datog razlomka i, čineći ovaj proizvod brojicom, podijeliti ga brojnikom datog razlomka.

Pravilo pišemo slovima:

Da bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati količnikom. Stoga je korisno uporediti pronađeno pravilo sa pravilom za dijeljenje broja količnikom, koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je ista formula dobijena tamo.

Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:

4. Podjela razlomka razlomkom.

Neka je potrebno podijeliti 3/4 sa 3/8. Šta će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko puta je razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).

Uzmite segment AB, uzmite ga kao jedinicu, podijelite ga na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC će biti jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će se segment AB podijeliti na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Povezujemo 3 takva segmenta sa lukovima, tada će svaki od segmenata AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 tačno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja se može napisati ovako:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 sa 3/32:

Možemo zaključiti ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon množenja sa 3/32, dati proizvod jednak 15/16. Zapišimo proračune ovako:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nepoznati broj X čine 15/16

1/32 nepoznati broj X je ,

32 / 32 brojeva X šminka .

dakle,

Dakle, da biste podijelili razlomak razlomkom, trebate pomnožiti brojilac prvog razlomka sa nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti brojnikom drugog i prvi proizvod učiniti brojicom i drugo imenilac.

Napišimo pravilo koristeći slova:

Prilikom podjele moguće su skraćenice, na primjer:

5. Podjela mješovitih brojeva.

Prilikom dijeljenja mješovitih brojeva, prvo ih je potrebno pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim razlomke koje se dobivaju podijeliti prema pravilima za dijeljenje razlomaka. Razmotrimo primjer:

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

A sada da se podelimo:

Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.

6. Pronalaženje broja s obzirom na njegov razlomak.

Među razne zadatke na razlomcima, ponekad postoje i oni u kojima je data vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći ovaj broj. Ovaj tip problema će biti inverzan problemu pronalaženja razlomka datog broja; tamo je dat broj i trebalo je pronaći neki dio tog broja, ovdje je dat dio broja i potrebno je pronaći sam ovaj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.

Zadatak 1. Prvog dana staklari su zastaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima u ovoj kući?

Odluka. Problem kaže da 50 zastakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da je ukupno 3 puta više prozora, tj.

Kuća je imala 150 prozora.

Zadatak 2. U radnji je prodato 1.500 kg brašna, što je 3/8 ukupne zalihe brašna u radnji. Koja je bila početna zaliha brašna u trgovini?

Odluka. Iz stanja zadatka se vidi da prodatih 1.500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste je izračunali, trebate smanjiti 1500 za 3 puta:

1.500: 3 = 500 (to je 1/8 dionice).

Očigledno je da će cjelokupna zaliha biti 8 puta veća. dakle,

500 8 = 4.000 (kg).

Početna zaliha brašna u prodavnici bila je 4.000 kg.

Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.

Da biste pronašli broj prema datoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je ovu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka.

Rješili smo dva zadatka o pronalaženju broja prema njegovom razlomku. Ovakvi problemi, kako se to posebno dobro vidi iz posljednjeg, rješavaju se dvije radnje: dijeljenjem (kada se nađe jedan dio) i množenjem (kada se pronađe cijeli broj).

Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, gore navedeni problemi se mogu riješiti jednom radnjom, odnosno: dijeljenjem razlomkom.

Na primjer, posljednji zadatak se može riješiti u jednoj radnji ovako:

U budućnosti ćemo rješavati problem pronalaženja broja po razlomku u jednoj radnji - dijeljenju.

7. Pronalaženje broja po procentu.

U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, poznavajući nekoliko posto ovog broja.

Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam 60 rubalja od štedionice. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio u štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)

Smisao problema je u tome što sam određenu sumu novca stavio u štedionicu i tamo je ležao godinu dana. Nakon godinu dana od nje sam dobio 60 rubalja. prihod, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?

Dakle, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Dijeljenjem se rješavaju sljedeći zadaci:

Dakle, 3.000 rubalja je uloženo u štedionicu.

Zadatak 2. Ribolovci su za dvije sedmice ispunili mjesečni plan za 64%, pripremivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?

Iz stanja problema se zna da su ribari završili dio plana. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% plana. Koliko tona ribe treba uloviti po planu, ne znamo. Rješenje zadatka će se sastojati u pronalaženju ovog broja.

Takvi zadaci se rješavaju dijeljenjem:

Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.

Zadatak 3. Voz je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera u prolazu koliko su puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: "Već smo prešli 30% cijelog putovanja." Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?

Iz uslova zadatka se vidi da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cjelinu:

§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.

Uzmimo razlomak 2/3 i preuredimo brojilac na mjesto nazivnika, dobićemo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročan od ovog.

Da biste dobili razlomak recipročan datom, potrebno je da na mjesto nazivnika stavite njegov brojilac, a na mjesto brojioca imenilac. Na ovaj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:

3/4, revers 4/3; 5 / 6 , obrnuto 6 / 5

Dva razlomka koji imaju svojstvo da je brojnik prvog imenilac drugog, a nazivnik prvog brojnik drugog nazivaju se međusobno inverzno.

Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročan od 1/2. Očigledno, to će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije izolovan; naprotiv, za sve razlomke sa brojiocem 1 (jedan), recipročni će biti cijeli brojevi, na primjer:

1 / 3, inverzno 3; 1/5, revers 5

Pošto smo se prilikom traženja recipročnih vrednosti susreli i sa celim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim vrednostima, već o recipročnim vrednostima.

Hajde da shvatimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke, ovo se rješava jednostavno: trebate staviti imenilac na mjesto brojioca. Na isti način, možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. Dakle, recipročna vrijednost od 7 će biti 1 / 7, jer je 7 = 7 / 1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1

Ova ideja se može izraziti i na drugi način: recipročna vrednost datog broja se dobija dijeljenjem jedan sa datim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Zaista, ako želite da napišete broj koji je recipročan razlomku 5/9, onda možemo uzeti 1 i podijeliti ga sa 5/9, tj.

Istaknimo sada jednu imovine obostrano recipročni brojevi, koji će nam biti korisni: proizvod uzajamno recipročnih brojeva jednak je jedan. Zaista:

Koristeći ovo svojstvo, možemo pronaći recipročne vrijednosti na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost od 8.

Označimo to slovom X , zatim 8 X = 1, dakle X = 1 / 8 . Nađimo drugi broj, obrnut od 7/12, označimo ga slovom X , zatim 7 / 12 X = 1, dakle X = 1:7 / 12 ili X = 12 / 7 .

Ovdje smo uveli koncept recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o podjeli razlomaka.

Kada broj 6 podijelimo sa 3/5, onda radimo sljedeće:

Obratite posebnu pažnju na izraz i uporedite ga sa datim: .

Ako izraz uzmemo odvojeno, bez veze s prethodnim, onda je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 sa 3/5 ili od množenja 6 sa 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako da možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende recipročnom vrijednosti djelitelja.

Primjeri koje dajemo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.

Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Sabiranje i oduzimanje razlomaka"). Većina težak trenutak u tim radnjama bilo je svođenje razlomaka na zajednički imenilac.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od sabiranja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizilazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, smanjeni razlomak može nastati (i često se javlja) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: bez unakrsnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u nepravilne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izvući iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dva negativa čine afirmativnu.

Do sada su se ova pravila susretala samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno da se riješi cijeli dio. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

1. Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, jer nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobijate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prevodimo sve razlomke u nepravilne, a onda minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što je ostalo se množi sa uobičajena pravila. Dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi konkretno na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Takođe obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se množe, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je veoma naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo označeni su crvenom bojom.

Napomena: u prvom slučaju množitelji su u potpunosti smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se generalno može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kom slučaju nemojte koristiti ovu tehniku ​​prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje zbog činjenice da se prilikom sabiranja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne proizvod brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, jer je u ovom svojstvu mi pričamo Radi se o množenju brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Ispravno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Množenje obične frakcije Pogledajmo nekoliko mogućih opcija.

Množenje razlomka sa razlomkom

Ovo je najjednostavniji slučaj, u kojem trebate koristiti sljedeće pravila množenja razlomaka.

To pomnožiti razlomak sa razlomkom, potrebno:

• pomnoži brojilac prvog razlomka sa brojicom drugog razlomka i upiše njihov proizvod u brojnik novog razlomka;
• pomnoži nazivnik prvog razlomka sa nazivnikom drugog razlomka i njihov proizvod upiše u nazivnik novog razlomka;

Prije množenja brojionika i nazivnika, provjerite da li se razlomci mogu smanjiti. Smanjenje razlomaka u proračunima uvelike će olakšati vaše proračune.



Množenje razlomka prirodnim brojem

To fraction pomnožiti prirodnim brojem Morate pomnožiti brojilac razlomka sa ovim brojem, a nazivnik razlomka ostaviti nepromijenjen.

Ako je rezultat množenja nepravilan razlomak, ne zaboravite ga pretvoriti u mješoviti broj, odnosno odabrati cijeli dio.



Množenje mješovitih brojeva

Za množenje mješovitih brojeva, prvo ih morate pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilu za množenje običnih razlomaka.



Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem

Ponekad je u proračunima prikladnije koristiti drugačiji metod množenja običnog razlomka brojem.

Da biste pomnožili razlomak prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojilac ostaviti isti.



Kao što se može vidjeti iz primjera, prikladnije je koristiti ovu verziju pravila ako je nazivnik razlomka djeljiv bez ostatka prirodnim brojem.

Radnje sa razlomcima

Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima

Sabiranje razlomaka je dvije vrste:

• Sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima
• Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Počnimo sa sabiranjem razlomaka sa istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, morate sabrati njihove brojioce, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, dodajmo razlomke i . Sabiramo brojioce, a imenilac ostavljamo nepromijenjen:



Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate picu:

Primjer 2 Dodajte razlomke i .

Opet, zbrojite brojioce, a nazivnik ostavite nepromijenjen:



Odgovor je nepravilan razlomak. Ako dođe kraj zadatka, onda je uobičajeno da se riješite nepravilnih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem slučaju, cijeli broj se lako dodjeljuje - dva podijeljena sa dva jednako je jedan:



Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate više pizza, dobijate jednu cijelu picu:

Primjer 3. Dodajte razlomke i .



Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate još pizza, dobićete pizze:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojioci se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizze i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima nije teško. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnikom, trebate sabrati njihove brojnike, a nazivnik ostaviti istim;
2. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli dio u njemu.

Sabiranje razlomaka sa različitim nazivnicima

Sada ćemo naučiti kako sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom sabiranja razlomaka, nazivnici tih razlomaka moraju biti isti. Ali oni nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu sabirati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati, jer ti razlomci imaju različiti imenioci. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da se razlomci svedu na isti nazivnik. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, jer se ostale metode za početnika mogu činiti kompliciranima.

Suština ove metode je da se prvo traži najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika oba razlomka. Tada se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor. Isto rade i sa drugim razlomkom - NOC se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Tada se brojnici i imenioci razlomaka množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako sabirati takve razlomke.

Primjer 1. Dodajte razlomke i

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti u isti (zajednički) imenilac.

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo na razlomke i . Prvo, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka i dobijemo prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobićemo 2.

Rezultirajući broj 2 je prvi dodatni faktor. Zapisujemo ga na prvi razlomak. Da bismo to učinili, napravimo malu kosu liniju iznad razlomka i zapišemo pronađeni dodatni faktor iznad nje:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM podijelimo sa nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 je drugi dodatni faktor. Zapisujemo ga u drugi razlomak. Opet, napravimo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i iznad njega upišemo pronađeni dodatni faktor:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:



Pogledajte dobro do čega smo došli. Došli smo do zaključka da se razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako sabirati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:



Tako se primjer završava. Za dodavanje ispada.

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobijate jednu celu picu i drugu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) imenilac može se prikazati i pomoću slike. Dovodeći razlomke i na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ove dvije frakcije će biti predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika će biti u tome što će se ovoga puta podijeliti na jednake dijelove (svedene na isti imenilac).



Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri od šest), a druga slika prikazuje razlomak (tri od šest komada). Spajanjem ovih delova dobijamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je netačan, pa smo u njemu istakli cijeli broj. Rezultat je bio (jedna cijela pica i još jedna šesta pizza).

Imajte na umu da smo ovaj primjer oslikali previše detalja. AT obrazovne institucije nije uobičajeno pisati na tako detaljan način. Morate biti u mogućnosti da brzo pronađete LCM za oba nazivnika i dodatne faktore za njih, kao i brzo pomnožite dodatne faktore koje pronađu vaši brojnici i imenioci. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:



Ali postoji također stražnja strana medalje. Ako se na prvim fazama izučavanja matematike ne prave detaljne bilješke, onda pitanja te vrste “Odakle taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali sabiranje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće upute korak po korak:

3. Naći LCM nazivnika razlomaka;
4. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak;
5. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima;
6. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike;
7. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gornji dijagram.

Korak 1. Pronađite LCM za nazivnike razlomaka

Nalazimo LCM za nazivnike oba razlomka. Imenioci razlomaka su brojevi 2, 3 i 4. Za ove brojeve morate pronaći LCM:

Korak 2. Podijelite LCM sa nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni množitelj za svaki razlomak

LCM podijelite sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobićemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Dobijamo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojioce i nazivnike razlomaka vašim dodatnim faktorima

Množimo brojioce i nazivnike našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke koji imaju iste nazivnike

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje dodati ove razlomke. Dodaj:



Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. Ovo je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, on se prenosi u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog reda i na početak nova linija. Znak jednakosti u drugom redu ukazuje da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom redu.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite njegov cijeli broj

Naš odgovor je nepravilan razlomak. Moramo izdvojiti cijeli dio toga. Ističemo:



Imam odgovor

Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

8. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima
9. Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi razlomak, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostane isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza . Za rješavanje ovog primjera potrebno je brojilac drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti. Uradimo ovo:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pice:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza .

Opet, od brojila prvog razlomka oduzmite brojilac drugog razlomka, a nazivnik ostavite isti:

Ovaj primjer se može lako razumjeti ako pomislimo na pizzu koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze izrežete pice, dobijate pice:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojila prvog razlomka potrebno je oduzeti brojioce preostalih razlomaka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Ako je primjer potpun, uobičajeno je da se riješite nepravilnog razlomka. Oslobodimo se pogrešnog razlomka u odgovoru. Da biste to učinili, odaberite cijeli njegov dio:

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u oduzimanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, trebate oduzeti brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a imenilac ostaviti isti;

Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, tada morate odabrati cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak se može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju iste nazivnike. Ali razlomak se ne može oduzeti od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima, razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički imenilac se nalazi po istom principu koji smo koristili pri sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Zatim se LCM podijeli sa nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli sa nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe sa njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Prvo, nalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Imenilac prvog razlomka je broj 3, a imenilac drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobićemo 4. Zapisujemo četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo sa drugim razlomkom. LCM dijelimo sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobićemo 3. Zapisujemo trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da se razlomci koji imaju različite nazivnike pretvaraju u razlomke koji imaju iste nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Imam odgovor

Pokušajmo dočarati naše rješenje pomoću slike. Ako od pizze izrežete pice, dobićete pizze.

Ovo je detaljna verzija rješenja. U školi bismo morali na kraći način riješiti ovaj primjer. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjenje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo razlomke i . Ovi razlomci će biti predstavljeni istim kriškama pice, ali ovaj put će biti podijeljeni na iste razlomke (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika prikazuje razlomak (tri komada od dvanaest). Odsijecanjem tri komada od osam komada, dobijamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet komada.

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, tako da ih prvo morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Naći LCM nazivnika ovih razlomaka.

Imenioci razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, LCM podijelimo sa nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. LCM podijelite sa nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji imaju iste (zajedničke) nazivnike. I već znamo kako da oduzmemo takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan red, pa nastavak prebacujemo na sljedeći red. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) na novom redu:

Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazno i ​​ružno. Trebali bismo ga učiniti jednostavnijim i estetski ugodnijim. Šta se može učiniti? Možete smanjiti ovu frakciju. Podsjetimo da je smanjenje razlomka dijeljenje brojnika i nazivnika najvećim zajednički djelitelj brojilac i imenilac.

Da biste ispravno smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 20 i 30.

Nemojte brkati GCD sa NOC. Najčešća greška koju čine mnogi početnici. GCD je najveći zajednički djelitelj. Nalazimo ga za smanjenje frakcija.

A LCM je najmanji umnožak. Nalazimo ga kako bismo razlomke doveli do istog (zajedničkog) nazivnika.

Sada ćemo pronaći najveći zajednički djelitelj (gcd) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD za brojeve 20 i 30:

GCD (20 i 30) = 10

Sada se vraćamo na naš primjer i dijelimo brojilac i nazivnik razlomka sa 10:

Dobio sam lep odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak brojem, potrebno je da pomnožite brojilac datog razlomka sa ovim brojem, a nazivnik ostane isti.

Primjer 1. Pomnožite razlomak brojem 1.

Pomnožite brojilac razlomka brojem 1

Unos se može shvatiti kao da je potrebno pola puta. Na primjer, ako uzmete pizzu 1 put, dobićete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množilac i množilac zamijene, onda se proizvod neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će proizvod i dalje biti jednak . Opet radi pravilo za množenje cijelog broja i razlomka:

Ovaj unos se može shvatiti kao uzimanje polovine jedinice. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i uzmemo polovicu, onda ćemo imati picu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojilac razlomka sa 4

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobićete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množilac na mjestima, dobićemo izraz. Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pice od četiri cijele pice:

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojioce i nazivnike. Ako je odgovor nepravilan razlomak, u njemu morate odabrati cijeli dio.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza .

Imam odgovor. Poželjno je smanjiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pice od pola pice. Recimo da imamo pola pice:

Kako uzeti dvije trećine od ove polovine? Prvo morate ovu polovinu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Idemo po pizzu. Zapamtite kako izgleda pica podijeljena na tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pice. Dakle, vrijednost izraza je

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnoži brojilac prvog razlomka brojicom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka imeniocem drugog razlomka:

Odgovor je nepravilan razlomak. Uzmimo cijeli dio toga:

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza

Ispostavilo se da je odgovor tačan razlomak, ali će biti dobro ako se smanji. Da biste smanjili ovaj razlomak, on se mora podijeliti s gcd brojnika i nazivnika. Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

GCD za (105 i 150) je 15

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD:

Predstavljanje cijelog broja kao razlomak

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može biti predstavljen kao . Iz ovoga, pet neće promijeniti svoje značenje, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jednim", a ovo je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati sa veoma zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto na broj a je broj koji, kada se pomnoži sa a daje jedinicu.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto na broj 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedinicu.

Da li je moguće pronaći broj koji, kada se pomnoži sa 5, daje jedan? Ispostavilo se da možeš. Hajde da predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite brojilac i imenilac. Drugim riječima, pomnožite razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Šta će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobićemo jedan:

To znači da je inverz od broja 5 broj, jer kada se 5 pomnoži sa jedan, dobije se jedan.

Recipročna vrijednost se također može naći za bilo koji drugi cijeli broj.

• recipročna vrijednost 3 je razlomak
• recipročna vrijednost 4 je razlomak

Također možete pronaći recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, dovoljno ga je okrenuti.