Nok 34 i 2 odluka. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik dva broja

Nok 34 i 2 odluka. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik dva broja
Nok 34 i 2 odluka. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik dva broja
14.10.2019

Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik su ključni aritmetički koncepti koji vam omogućavaju da radite bez napora obične frakcije. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.

Osnovni koncepti

Delitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim je X djeljiv bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv sa X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik od 15, a 6 je višekratnik od 12.

Za bilo koji par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očigledno, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da se u proračunima koriste najveći djelitelj GCD-a i najmanji djelitelj LCM-a. .

Najmanji djelitelj nema smisla, jer je za bilo koji broj uvijek jedan. Najveći umnožak je također besmislen, jer niz višekratnika teži beskonačnosti.

Pronalaženje GCD

Postoji mnogo metoda za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:

  • sekvencijalno nabrajanje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
  • dekompozicija brojeva na nedjeljive faktore;
  • Euklidov algoritam;
  • binarni algoritam.

Danas u obrazovne institucije Najpopularnije metode su razlaganje na primarni faktori i Euklidov algoritam. Potonji se, pak, koristi u rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a je potrebno kako bi se provjerila mogućnost rješavanja jednadžbe u cijelim brojevima.

Pronalaženje NOC-a

Najmanji zajednički višekratnik je također tačno određen iterativnim nabrajanjem ili faktorizacijom u nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD povezani su sljedećim odnosom:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Na primjer, ako je gcd(15,18) = 3, onda je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočitija upotreba LCM je pronalaženje zajedničkog nazivnika, koji je najmanji zajednički višekratnik dati razlomci.

Koprosti brojevi

Ako par brojeva nema zajedničke djelitelje, onda se takav par naziva koprostor. GCM za takve parove je uvijek jednak jedinici, a na osnovu veze djelitelja i višekratnika, GCM za koprime jednak je njihovom proizvodu. Na primjer, brojevi 25 i 28 su međusobno prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom proizvodu. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti koprosta.

Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator

Pomoću našeg kalkulatora možete izračunati GCD i LCM za bilo koji broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci za izračunavanje zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, međutim, GCD i LCM su ključni pojmovi matematike i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.

Primjeri iz stvarnog života

Zajednički nazivnik razlomaka

Najmanji zajednički višekratnik se koristi kada se pronađe zajednički nazivnik nekoliko razlomaka. Pretpostavimo da je u aritmetičkom zadatku potrebno zbrojiti 5 razlomaka:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Da biste dodali razlomke, izraz se mora svesti na zajednički imenilac, što se svodi na problem pronalaženja LCM-a. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada morate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definisani kao omjer LCM i nazivnika. Dakle, dodatni množitelji bi izgledali ovako:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Nakon toga, pomnožimo sve razlomke odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Lako možemo sabrati takve razlomke i dobiti rezultat u obliku 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačan odgovor - 53/120.

Rješenje linearnih diofantovih jednačina

Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d/gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva ​​u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednačina za mogućnost cjelobrojnog rješenja. Prvo provjerite jednačinu 150x + 8y = 37. Koristeći kalkulator, nalazimo gcd (150,8) = 2. Podijelite 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, dakle, jednadžba nema cjelobrojne korijene.

Provjerimo jednačinu 1320x + 1760y = 10120. Koristite kalkulator da nađete gcd(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobijamo cijeli broj, dakle, Diofantov koeficijent je sof. .

Zaključak

GCD i LCM igraju veliku ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti se najčešće koriste različitim oblastima matematike. Koristite naš kalkulator za izračunavanje najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.

Ali mnogi prirodni brojevi su jednako djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

na primjer:

Broj 12 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Delitelj prirodnog broja a je prirodan broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. Ovo su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a i b je broj kojim su oba data broja djeljiva bez ostatka a i b.

zajednički višestruki nekoliko brojeva naziva se broj koji je djeljiv sa svakim od ovih brojeva. na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima, uvijek postoji najmanji, in ovaj slučaj to je 90. Ovaj broj se zove najmanjezajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg broja za koji je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

komutativnost:

asocijativnost:

Konkretno, ako su i koprosti brojevi , tada:

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja m i n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m i n. Štaviše, skup zajedničkih višekratnika m,n poklapa se sa skupom višekratnika za LCM( m,n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teoretskih funkcija brojeva.

dakle, Čebiševljeva funkcija. Kao i:

Ovo slijedi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegov odnos s LCM:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

gdje p 1 ,...,p k- razne primarni brojevi, a d 1 ,...,d k i e 1 ,...,ek su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prosti broj nije u proširenju).

Zatim LCM ( a,b) se izračunava po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore koji se pojavljuju u barem jednoj od dekompozicija brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračunavanja LCM-a dva broja:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- prenesite najveću ekspanziju u faktore željenog proizvoda (proizvod faktora veliki broj od datih), a zatim dodaju faktore iz dekompozicije drugih brojeva koji se ne javljaju u prvom broju ili su u njemu manji broj puta;

- rezultirajući proizvod prostih faktora će biti LCM datih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodni brojevi imaju svoj NOC. Ako brojevi nisu višestruki jedan od drugog ili nemaju iste faktore u ekspanziji, tada je njihov LCM jednak proizvodu ovih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su faktorom 3 (broj 21), rezultirajući proizvod (84) će biti najmanji broj, što je djeljivo sa 21 i 28 .

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 od broja 25, rezultirajući proizvod 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je sa svim datim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući proizvod (150, 250, 300...) čiji su svi dati brojevi višekratnici.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak proizvodu datih brojeva.

pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, morate sve ove brojeve pomnožiti zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak (LCM) nekoliko brojeva trebate:

1) predstavljaju svaki broj kao proizvod njegovih prostih faktora, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapisati sve proste djelioce (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) izabrati najveći stepen svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) pomnožite ove moći.

Primjer. Pronađite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Odluka. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Višekratnik broja je broj koji je djeljiv datim brojem bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je jednako djeljiv sa svakim brojem u grupi. Da biste pronašli najmanji zajednički umnožak, morate pronaći proste faktore datih brojeva. Također, LCM se može izračunati korištenjem niza drugih metoda koje su primjenjive na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Serija višestrukih

    Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja koja su oba manja od 10. Ako su dati veliki brojevi, koristite drugu metodu.

    • Na primjer, pronađite najmanji zajednički umnožak brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa se ova metoda može koristiti.

  1. Višekratnik broja je broj koji je djeljiv datim brojem bez ostatka. U tablici množenja možete pronaći više brojeva.

    • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

  2. Zapišite niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Uradite to pod višekratnicima prvog broja da biste uporedili dva reda brojeva.

    • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

  3. Pronađite najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika. Možda ćete morati napisati dugačke nizove višestrukih brojeva da biste ih pronašli ukupan broj. Najmanji broj koji se pojavljuje u oba niza višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

    • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika 5 i 8 je 40. Prema tome, 40 je najmanji zajednički višekratnik 5 i 8.

    Primena faktorizacije

    1. Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su data dva broja koja su oba veća od 10. Ako su dati manji brojevi, koristite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, tako da se može koristiti ova metoda.

    2. Faktorizirajte prvi broj. Odnosno, trebate pronaći takve proste brojeve, kada se pomnožite, dobijete zadani broj. Nakon što ste pronašli proste faktore, zapišite ih kao jednakost.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) i 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti činioci broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Zapišite ih kao izraz: .

    3. Faktori drugi broj u proste faktore. Uradite to na isti način kao što ste rastavili na faktore prvi broj, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dobiti ovaj broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) i 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti činioci broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapišite ih kao izraz: .

    4. Zapišite faktore zajedničke za oba broja. Napišite takve faktore kao operaciju množenja. Dok zapisujete svaki faktor, precrtajte ga u oba izraza (izrazi koji opisuju dekompoziciju brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, zajednički faktor za oba broja je 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\puta) i precrtaj 2 u oba izraza.
      • Zajednički faktor za oba broja je još jedan faktor 2, pa napišite 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) i precrtajte drugo 2 u oba izraza.

    5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu precrtani u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) obje dvije (2) su precrtane jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije precrtan, pa zapišite operaciju množenja na sljedeći način: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) obje dvojke (2) su također precrtane. Faktori 7 i 3 nisu precrtani, pa zapišite operaciju množenja na sljedeći način: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5\puta 7\puta 3).

    6. Izračunajte najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u pismenoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5\puta 7\puta 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 20 i 84 je 420.

    Pronalaženje zajedničkih djelitelja

    1. Nacrtajte mrežu kao što biste to učinili za igru ​​tic-tac-toe. Takva mreža se sastoji od dvije paralelne prave koje se sijeku (pod pravim uglom) s dvije druge paralelne prave. Ovo će rezultirati tri reda i tri kolone (rešetka liči na znak #). Upišite prvi broj u prvi red i drugi stupac. Upišite drugi broj u prvi red i treću kolonu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik 18 i 30. U prvi red i drugu kolonu upišite 18, a u prvi red i treću kolonu upišite 30.

    2. Pronađite djelitelj zajednički za oba broja. Zapišite to u prvi red i prvu kolonu. Bolje je tražiti proste djelitelje, ali to nije preduvjet.

      • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa je njihov zajednički djelitelj 2. Dakle, upišite 2 u prvi red i prvu kolonu.

    3. Podijelite svaki broj sa prvim djeliteljem. Upišite svaki količnik ispod odgovarajućeg broja. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

      • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa napiši 9 ispod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa napiši 15 ispod 30.

    4. Pronađite djelitelj zajednički za oba količnika. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, zapišite djelitelj u drugom redu i prvoj koloni.

      • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi sa 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

    5. Podijelite svaki količnik sa drugim djeliteljem. Zapišite svaki rezultat dijeljenja pod odgovarajućim količnikom.

      • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa upiši 3 ispod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa napiši 5 ispod 15.

    6. Ako je potrebno, dopunite mrežu dodatnim ćelijama. Ponavljajte gornje korake dok količniki ne budu imali zajednički djelitelj.

    7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i posljednjem redu mreže. Zatim napišite označene brojeve kao operaciju množenja.

      • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u posljednjem redu, pa napišite operaciju množenja ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).

    8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik od dva data broja.

      • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puts 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik 18 i 30 je 90.

    Euklidov algoritam

    1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Delitelj je broj kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji ostaje kada se podijele dva broja.

      • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odmor. 3:
        15 je djeljivo
        6 je djelitelj
        2 je privatno
        3 je ostatak.

Materijal u nastavku je logičan nastavak teorije iz članka pod naslovom LCM - Najmanji zajednički višestruki, definicija, primjeri, odnos između LCM i GCM. Ovdje ćemo razgovarati o pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM), i Posebna pažnja Pogledajmo primjere. Hajde da prvo pokažemo kako se LCM dva broja izračunava u terminima GCD ovih brojeva. Zatim razmotrite pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika rastavljanjem brojeva u proste faktore. Nakon toga ćemo se fokusirati na pronalaženje LCM od tri i više brojeva, a obratite pažnju i na izračunavanje LCM negativnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM) kroz gcd

Jedan od načina da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je zasnovan na odnosu između LCM i GCD. Postojeći odnos između LCM i GCD omogućava vam da izračunate najmanji zajednički višekratnik dva pozitivna cijela broja kroz poznati najveći zajednički djelitelj. Odgovarajuća formula ima oblik LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Razmotrimo primjere pronalaženja LCM-a prema gornjoj formuli.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik dva broja 126 i 70.

Odluka.

U ovom primjeru a=126, b=70. Koristimo odnos između LCM i GCD izražen formulom LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Odnosno, prvo moramo pronaći najveći zajednički djelitelj brojeva 70 i 126, nakon čega možemo izračunati LCM ovih brojeva prema napisanoj formuli.

Pronađite gcd(126, 70) koristeći Euklidov algoritam: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , dakle gcd(126, 70)=14 .

Sada nalazimo traženi najmanji zajednički višekratnik: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

odgovor:

LCM(126, 70)=630 .

Primjer.

Šta je LCM(68, 34)?

Odluka.

As 68 je jednako djeljivo sa 34, tada je gcd(68, 34)=34. Sada izračunavamo najmanji zajednički višekratnik: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

odgovor:

LCM(68, 34)=68 .

Imajte na umu da prethodni primjer odgovara sljedećem pravilu za pronalaženje LCM-a za pozitivne cijele brojeve a i b: ako je broj a djeljiv sa b, tada je najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva a.

Pronalaženje LCM-a faktoringom brojeva u proste faktore

Drugi način da se pronađe najmanji zajednički višekratnik je baziran na faktoringu brojeva u proste faktore. Ako napravimo proizvod svih prostih faktora ovih brojeva, nakon čega iz ovog proizvoda isključimo sve zajedničke proste faktore koji su prisutni u proširenjima ovih brojeva, onda će rezultirajući proizvod biti jednak najmanjem zajedničkom višekratniku ovih brojeva.

Najavljeno pravilo za pronalaženje LCM proizlazi iz jednakosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Zaista, proizvod brojeva a i b jednak je proizvodu svih faktora uključenih u proširenja brojeva a i b. Zauzvrat, gcd(a, b) je jednak proizvodu svih prostih faktora koji su istovremeno prisutni u proširenjima brojeva a i b (što je opisano u odjeljku o pronalaženju gcd pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore ).

Uzmimo primjer. Neka znamo da je 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Sastavite proizvod svih faktora ovih proširenja: 2 3 3 5 5 5 7 . Sada iz ovog proizvoda izuzimamo sve faktore koji su prisutni i u proširenju broja 75 i u proširenju broja 210 (takvi faktori su 3 i 5), tada će proizvod dobiti oblik 2 3 5 5 7 . Vrijednost ovog proizvoda jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 75 i 210, tj. LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Primjer.

Nakon faktoringa brojeva 441 i 700 u proste faktore, pronađite najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Odluka.

Razložimo brojeve 441 i 700 na proste faktore:

Dobijamo 441=3 3 7 7 i 700=2 2 5 5 7 .

Sada napravimo proizvod svih faktora uključenih u proširenja ovih brojeva: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Izuzmimo iz ovog proizvoda sve faktore koji su istovremeno prisutni u oba proširenja (postoji samo jedan takav faktor - to je broj 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . dakle, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

odgovor:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za pronalaženje LCM pomoću dekompozicije brojeva na proste faktore može se formulisati malo drugačije. Ako faktorima koji nedostaju iz proširenja broja b dodamo faktore iz dekompozicije broja a, tada će vrijednost rezultirajućeg proizvoda biti jednaka najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva a i b.

Na primjer, uzmimo sve iste brojeve 75 i 210, njihova proširenja u proste faktore su sljedeća: 75=3 5 5 i 210=2 3 5 7 . Faktorima 3, 5 i 5 iz proširenja broja 75 dodamo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz proširenja broja 210, dobijemo proizvod 2 3 5 5 7 , čija je vrijednost LCM(75 , 210) .

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648.

Odluka.

Prvo dobijamo dekompoziciju brojeva 84 i 648 na proste faktore. Izgledaju kao 84=2 2 3 7 i 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorima 2 , 2 , 3 i 7 iz proširenja broja 84 dodamo faktore koji nedostaju 2 , 3 , 3 i 3 iz proširenja broja 648 , dobijemo proizvod 2 2 2 3 3 3 3 7 , što je jednako 4 536 . Dakle, željeni najmanji zajednički višekratnik brojeva 84 i 648 je 4,536.

odgovor:

LCM(84, 648)=4 536 .

Pronalaženje LCM od tri ili više brojeva

Najmanji zajednički višekratnik tri ili više brojeva može se naći sukcesivnim pronalaženjem LCM dva broja. Prisjetite se odgovarajuće teoreme, koja daje način da se pronađe LCM od tri ili više brojeva.

Teorema.

Neka su dati pozitivni cijeli brojevi a 1 , a 2 , …, a k, najmanji zajednički višekratnik m k ovih brojeva nalazi se u sekvencijalnom proračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Razmotrimo primjenu ove teoreme na primjeru pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika četiri broja.

Primjer.

Pronađite LCM četiri broja 140, 9, 54 i 250.

Odluka.

U ovom primjeru a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Prvo nađemo m 2 = LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Da bismo to učinili, koristeći Euklidov algoritam, određujemo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , dakle, gcd( 140, 9)=1 , odakle LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Odnosno, m 2 =1 260 .

Sada pronalazimo m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54). Izračunajmo ga kroz gcd(1 260, 54) , što je također određeno Euklidovim algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada je gcd(1 260, 54)=18, odakle je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . To jest, m 3 = 3 780.

Ostalo da se pronađe m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Da bismo to učinili, nalazimo GCD(3 780, 250) koristeći Euklid algoritam: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Dakle, gcd(3 780, 250)=10, odakle je gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . To jest, m 4 = 94 500.

Dakle, najmanji zajednički višekratnik od originalna četiri broja je 94.500.

odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

U mnogim slučajevima, najmanji zajednički umnožak tri ili više brojeva prikladno se nalazi korištenjem prostih faktorizacija datih brojeva. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećeg pravila. Najmanji zajednički umnožak nekoliko brojeva jednak je umnošku koji je sastavljen na sljedeći način: faktori koji nedostaju iz proširenja drugog broja dodaju se svim faktorima iz proširenja prvog broja, faktori koji nedostaju iz proširenja broja treći broj se dodaje dobijenim faktorima i tako dalje.

Razmotrimo primjer pronalaženja najmanjeg zajedničkog višekratnika koristeći dekompoziciju brojeva na proste faktore.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički višekratnik pet brojeva 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Odluka.

Prvo, dobijamo proširenja ovih brojeva u proste faktore: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prosti faktori) i 143=11 13 .

Da biste pronašli LCM ovih brojeva, faktorima prvog broja 84 (to su 2, 2, 3 i 7) morate dodati faktore koji nedostaju iz proširenja drugog broja 6. Proširivanje broja 6 ne sadrži faktore koji nedostaju, jer su i 2 i 3 već prisutni u proširenju prvog broja 84 . Pored faktora 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore koji nedostaju 2 i 2 iz proširenja trećeg broja 48, dobijamo skup faktora 2, 2, 2, 2, 3 i 7. Nema potrebe dodavati faktore ovom skupu u sljedećem koraku, pošto je 7 već sadržano u njemu. Konačno, faktorima 2, 2, 2, 2, 3 i 7 dodajemo faktore 11 i 13 koji nedostaju iz proširenja broja 143. Dobijamo proizvod 2 2 2 2 3 7 11 13 , koji je jednak 48 048 .

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djelitelj od $a$, a broj $a$ se naziva višekratnik od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ se naziva zajedničkim djeliteljem i za $a$ i za $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od ovih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među ovim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, a za označavanje se koristi notacija:

$gcd \ (a;b) \ ​​ili \ D \ (a;b)$

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dva broja:

  1. Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Pronađite gcd brojeva $121$ i $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

    $gcd=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Pronađite GCD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

    Razložimo brojeve na proste faktore

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Nađimo proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

    $gcd=3\cdot 3=9$

GCD dva broja možete pronaći na drugi način, koristeći skup djelitelja brojeva.

Primjer 3

Pronađite gcd brojeva $48$ i $60$.

Odluka:

Pronađite skup djelitelja od $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Sada pronađimo skup djelitelja od $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\)$

Nađimo presjek ovih skupova: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u dati setće biti broj $12$. Dakle, najveći zajednički djelitelj $48$ i $60$ je $12$.

Definicija NOC-a

Definicija 3

zajednički umnožak prirodnih brojeva$a$ i $b$ su prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Uobičajeni višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi sa originalom bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.

Najmanji zajednički višekratnik će se zvati najmanji zajednički umnožak i označen sa LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

  1. Rastaviti brojeve na proste faktore
  2. Napišite faktore koji su dio prvog broja i dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu u prvi

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

    Rastaviti brojeve na proste faktore

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Zapišite faktore uključene u prvi

    dodajte im faktore koji su dio drugog i ne idu u prvi

    Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najmanji zajednički višekratnik

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Sastavljanje lista djelitelja brojeva često oduzima mnogo vremena. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

    Izjave na kojima se zasniva Euklidov algoritam:

    Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vdots b$, onda je $D(a;b)=b$

    Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koji se razmatraju dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv drugim. Tada će manji od ovih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

  1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ je djeljiv sa K$(a;b)$
  2. Ako je $a\vdots b$, onda je K$(a;b)=a$

    3. Ako je K$(a;b)=k$ i $m$-prirodni broj, onda je K$(am;bm)=km$

    Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Ako je $a\vdots c$ i $b\vdots c$, onda je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

    Za bilo koje prirodne brojeve $a$ i $b$ jednakost

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    Svaki zajednički djelitelj $a$ i $b$ je djelitelj $D(a;b)$