Dijeljenje razlomaka jedan u drugi. Podjela razlomka prirodnim brojem

Obicno razlomci brojeva prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih kroz život, jer je u svakodnevnom životu često potrebno razmotriti ili koristiti neki predmet ne u cijelosti, već u odvojenim dijelovima. Početak proučavanja ove teme - podijeliti. Udjeli su jednaki dijelovi na koje je predmet podijeljen. Na kraju krajeva, nije uvijek moguće izraziti, na primjer, dužinu ili cijenu proizvoda kao cijeli broj, treba uzeti u obzir dijelove ili udjele bilo koje mjere. Nastala od glagola "zgnječiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII vijeku se sama riječ "frakcija" pojavila na ruskom jeziku.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim dijelom matematike. U 17. veku, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se „razbijeni brojevi“, što je bilo veoma teško prikazati u razumevanju ljudi.

moderan izgled jednostavne frakcione ostatke, čiji su delovi odvojeni precizno horizontalnom linijom, prvi su priložili Fibonači - Leonardo iz Pize. Njegovi spisi datirani su 1202. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako dolazi do množenja. miješane frakcije sa različiti imenioci.

Množenje razlomaka sa različitim nazivnicima

U početku je potrebno odrediti varijeteti frakcija:

• ispravan;
• pogrešno;
• mješovito.

Zatim morate zapamtiti kako se množe razlomci s istim nazivnicima. Samo pravilo ovog procesa je lako formulisati nezavisno: rezultat množenja prosti razlomci sa istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojilac proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika datih razlomaka. Naime, novi nazivnik je u početku kvadrat jednog od postojećih.

Prilikom množenja prosti razlomci sa različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedina razlika je u tome što će formirani broj ispod razlomke biti proizvod različitih brojeva i, naravno, kvadrata od jedan numerički izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedi razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima koristeći primjere:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine za smanjenje frakcijskih izraza. Možete smanjiti samo brojeve brojnika sa brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se smanjiti.

Uz jednostavne razlomke, postoji koncept mješovitih razlomaka. Mješoviti broj se sastoji od cijelog broja i razlomka, to jest, on je zbir ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Nekoliko primjera je dato za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

U primjeru se koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju po formuli:

a* b/c = a*b /c.

U stvari, takav proizvod je zbir identičnih frakcijskih ostataka, a broj pojmova to ukazuje prirodni broj. poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja razlomkom ostatka. Jednostavno podijelite imenilac ovim brojem:

d* e/f = e/f: d.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način da se mješoviti razlomak predstavi kao nepravilan razlomak, također se može predstaviti kao opšta formula:

a bc = a*b+ c / c gdje je imenilac novi snimak se formira množenjem cijelog broja sa nazivnikom i dodavanjem brojniku originalnog razlomka ostatka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces takođe funkcioniše u poleđina. Da biste odabrali cijeli broj i razlomak ostatak, trebate podijeliti brojilac nepravilan razlomak na njegov nazivnik "ugao".

Množenje nepravih razlomaka proizveden na uobičajen način. Kada unos ide ispod jedne razlomke, po potrebi, trebate smanjiti razlomke kako biste smanjili brojeve pomoću ove metode i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema razne varijacije programe. Dovoljan broj ovakvih servisa nudi svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka sa različiti brojevi u nazivnicima - takozvani onlajn kalkulatori za računanje razlomaka. Oni su u stanju ne samo da množe, već i da izvode sve druge jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, odabire se znak matematičke radnje i pritisne "izračunaj". Program broji automatski.

Tema aritmetičkih operacija s razlomcima je relevantna u cijelom obrazovanju učenika srednjih i starijih škola. U srednjoj školi više ne razmišljaju o najjednostavnijim vrstama, već cjelobrojni razlomci, ali se znanje o pravilima za transformaciju i proračune, dobijeno ranije, primjenjuje u izvornom obliku. dobro svareno osnovno znanje ukazati puno poverenje dobra odluka većina izazovni zadaci.

U zaključku, logično je navesti riječi Lava Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojilac – svoje zasluge, ali svako može umanjiti svoj imenilac – svoje mišljenje o sebi i time se približiti svom savršenstvu.

Prije ili kasnije, sva djeca u školi počnu učiti razlomke: njihovo zbrajanje, dijeljenje, množenje i sve moguće radnje, što je moguće izvesti samo sa razlomcima. Kako bi djetetu pružili odgovarajuću pomoć, sami roditelji ne bi trebali zaboraviti kako se cijeli brojevi dijele na razlomke, inače mu nećete moći ni na koji način pomoći, već ga samo zbuniti. Ako trebate zapamtiti ovu radnju, ali ne možete sve informacije u svojoj glavi spojiti u jedno pravilo, onda će vam ovaj članak pomoći: naučit ćete kako podijeliti broj s razlomkom i vidjeti ilustrativne primjere.

Kako podijeliti broj na razlomak

Zapišite svoj primjer na nacrtu tako da možete pisati bilješke i mrlje. Zapamtite da je cijeli broj upisan između ćelija, tačno na njihovom presjeku, i razlomački brojevi - svaki u svojoj ćeliji.

• AT ovu metodu treba razlomak okrenuti naopako, odnosno upisati imenilac u brojilac, a brojilac u imenilac.
• Znak dijeljenja se mora promijeniti u množenje.
• Sada samo trebate izvršiti množenje prema već proučenim pravilima: brojilac se množi cijelim brojem, a nazivnik se ne dodiruje.

Naravno, kao rezultat takve akcije, dobit ćete vrlo veliki broj u brojiocu. Nemoguće je ostaviti djelić u ovom stanju - nastavnik jednostavno neće prihvatiti ovaj odgovor. Smanjite razlomak tako što ćete brojilac podijeliti imenilac. Napišite rezultirajući cijeli broj lijevo od razlomka u sredini ćelija, a ostatak će biti novi brojnik. Imenilac ostaje nepromijenjen.

Ovaj algoritam je prilično jednostavan, čak i za dijete. Nakon što ga završi pet ili šest puta, beba će zapamtiti postupak i moći će ga primijeniti na bilo koje frakcije.

Kako podijeliti broj decimalom

Postoje i druge vrste razlomaka - decimale. Podjela na njih odvija se prema potpuno drugačijem algoritmu. Ako ste suočeni s takvim primjerom, slijedite upute:

• Prvo pretvorite oba broja u decimale. To je lako učiniti: vaš djelitelj je već predstavljen kao razlomak, a djeljivi prirodni broj odvajate zarezom, dobivajući decimalni razlomak. To jest, ako je dividenda bila broj 5, dobićete razlomak od 5,0. Morate razdvojiti broj za onoliko cifara koliko stoji iza decimalnog zareza i djelitelja.
• Nakon toga, oba decimalna razlomka morate učiniti prirodnim brojevima. U početku će vam ovo možda biti malo zbunjujuće, ali ovo je najviše brz način divizije, što će vam oduzeti nekoliko sekundi, nakon nekoliko treninga. Razlomak od 5,0 postat će broj 50, a razlomak od 6,23 će biti 623.
• Uradite podjelu. Ako se ispostavi da su brojevi veliki ili će se dijeljenje dogoditi s ostatkom, izvršite to u stupcu. Tako ćete jasno vidjeti sve radnje ovog primjera. Ne morate posebno stavljati zarez, jer će se sam pojaviti u procesu podjele u kolonu.

Ova vrsta dijeljenja u početku izgleda previše zbunjujuće, budući da je potrebno da dividendu i djelitelj pretvorite u razlomak, a zatim natrag u prirodne brojeve. Ali nakon kratkog treninga, odmah ćete početi vidjeti one brojeve koje samo trebate podijeliti jedan s drugim.

Zapamtite da sposobnost pravilnog dijeljenja razlomaka i cijelih brojeva na njih može biti korisna više puta u životu, stoga, znajte ova pravila i jednostavnih principa dijete treba biti savršeno kako u starijim razredima ne bi postalo kamen spoticanja, zbog kojeg dijete ne može rješavati složenije probleme.

) i nazivnik po imeniocu (dobijamo nazivnik proizvoda).

Formula za množenje razlomaka:

Na primjer:

Prije nego što nastavite s množenjem brojnika i nazivnika, potrebno je provjeriti mogućnost smanjenja razlomaka. Ako uspijete smanjiti razlomak, tada će vam biti lakše nastaviti s izračunima.

Podjela običnog razlomka razlomkom.

Dijeljenje razlomaka koje uključuje prirodan broj.

Nije tako strašno kao što se čini. Kao iu slučaju sabiranja, pretvaramo cijeli broj u razlomak s jedinicom u nazivniku. Na primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Pravila za množenje razlomaka (mješovito):

• pretvoriti miješane razlomke u nepravilne;
• množi brojioce i nazivnike razlomaka;
• smanjujemo razlomak;
• ako dobijemo nepravilan razlomak, onda pretvaramo nepravilan razlomak u mješoviti.

Bilješka! Da biste mješoviti razlomak pomnožili drugim mješovitim razlomkom, prvo ih morate dovesti u oblik nepravilnih razlomaka, a zatim pomnožiti prema pravilu množenja obične frakcije.

Drugi način da se razlomak pomnoži prirodnim brojem.

Pogodnije je koristiti drugu metodu množenja običnog razlomka brojem.

Bilješka! Da biste razlomak pomnožili prirodnim brojem, potrebno je podijeliti nazivnik razlomka ovim brojem, a brojnik ostaviti nepromijenjen.

Iz gornjeg primjera jasno je da je ovu opciju pogodnije koristiti kada se nazivnik razlomka bez ostatka podijeli prirodnim brojem.

Razlomci na više nivoa.

U srednjoj školi često se nalaze trospratni (ili više) razlomci. primjer:

Da bi se takav razlomak doveo u uobičajeni oblik, koristi se podjela na 2 boda:

Bilješka! Prilikom dijeljenja razlomaka, redoslijed dijeljenja je vrlo važan. Budite oprezni, ovdje se lako možete zbuniti.

Bilješka, Na primjer:

Prilikom dijeljenja jedan s bilo kojim razlomkom, rezultat će biti isti razlomak, samo obrnuti:

Praktični savjeti za množenje i dijeljenje razlomaka:

1. Najvažnija stvar u radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja. Uradite sve proračune pažljivo i precizno, koncentrisano i jasno. Bolje je zapisati nekoliko dodatnih redova u nacrtu nego se zbuniti u proračunima u glavi.

2. U zadacima sa različite vrste razlomci - idite na oblik običnih razlomaka.

3. Smanjujemo sve razlomke dok ih više nije moguće reducirati.

4. Razlomke na više nivoa unosimo u obične, koristeći dijeljenje na 2 tačke.

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.

Sa razlomcima možete izvršiti sve radnje, uključujući dijeljenje. Ovaj članak prikazuje podjelu običnih razlomaka. Definicije će biti date, primjeri će se razmotriti. Zadržimo se na podjeli razlomaka prirodnim brojevima i obrnuto. Razmotrit će se dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem.

Podjela običnih razlomaka

Dijeljenje je obrnuto od množenja. Prilikom dijeljenja, nepoznati faktor se nalazi na poznato delo i još jedan faktor, gdje se pohranjuje dato značenje sa običnim razlomcima.

Ako je potrebno podijeliti obični razlomak a b sa c d, tada da biste odredili takav broj, trebate pomnožiti s djeliteljem c d, to će na kraju dati dividendu a b. Uzmimo broj i zapišimo ga a b · d c , gdje je d c recipročna vrijednost c d broja. Jednakosti se mogu napisati koristeći svojstva množenja, i to: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , gdje je izraz a b d c količnik dijeljenja a b sa c d .

Odavde dobijamo i formuliramo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka:

Definicija 1

Da bi se običan razlomak a b podijelio sa c d, potrebno je pomnožiti dividendu recipročnom vrijednosti djelitelja.

Zapišimo pravilo kao izraz: a b: c d = a b d c

Pravila dijeljenja su svedena na množenje. Da biste se toga držali, morate biti dobro upućeni u izvođenje množenja običnih razlomaka.

Pređimo na podjelu običnih razlomaka.

Primjer 1

Izvedite dijeljenje 9 7 na 5 3 . Rezultat zapišite kao razlomak.

Odluka

Broj 5 3 je recipročan od 3 5 . Morate koristiti pravilo za dijeljenje običnih razlomaka. Ovaj izraz pišemo na sljedeći način: 9 7: 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35.

odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Kada smanjujete razlomke, trebali biste istaknuti cijeli dio ako je brojnik veći od nazivnika.

Primjer 2

Podijelite 8 15: 24 65 . Odgovor napišite kao razlomak.

Odluka

Rješenje je prelazak s dijeljenja na množenje. Zapisujemo to u ovom obliku: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je napraviti smanjenje, a to se radi na sljedeći način: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9

Odaberemo cijeli broj i dobijemo 13 9 = 1 4 9 .

odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Podjela izvanrednog razlomka prirodnim brojem

Koristimo pravilo dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste podijelili a b prirodnim brojem n, potrebno je samo nazivnik pomnožiti sa n. Odavde dobijamo izraz: a b: n = a b · n .

Pravilo dijeljenja je posljedica pravila množenja. Stoga će predstavljanje prirodnog broja kao razlomka dati jednakost ovog tipa: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.

Razmotrimo ovo dijeljenje razlomka brojem.

Primjer 3

Podijelite razlomak 1645 brojem 12.

Odluka

Primijenite pravilo za dijeljenje razlomka brojem. Dobijamo izraz kao 16 45: 12 = 16 45 12 .

Smanjimo razlomak. Dobijamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .

odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom

Pravilo podjele je slično o pravilo dijeljenja prirodnog broja običnim razlomkom: da bi se prirodni broj n podijelio običnim a b , potrebno je broj n pomnožiti recipročnim razlomkom a b .

Na osnovu pravila imamo n: a b \u003d n b a, a zahvaljujući pravilu množenja prirodnog broja običnim razlomkom, dobijamo svoj izraz u obliku n: a b = n b a. Ovu podjelu potrebno je razmotriti na primjeru.

Primjer 4

Podijelite 25 sa 15 28 .

Odluka

Moramo prijeći sa dijeljenja na množenje. Zapisujemo u obliku izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Smanjimo razlomak i dobijemo rezultat u obliku razlomka 46 2 3 .

odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem

Kada dijelite obični razlomak mješovitim brojem, lako možete preći na dijeljenje običnih razlomaka. Treba prevesti mješoviti broj u nepravilan razlomak.

Primjer 5

Podijelite razlomak 35 16 sa 3 1 8 .

Odluka

Pošto je 3 1 8 mješoviti broj, predstavimo ga kao nepravilan razlomak. Tada dobijamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Sada podijelimo razlomke. Dobijamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dijeljenje mješovitog broja vrši se na isti način kao i obični brojevi.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Prošli put smo naučili kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Sabiranje i oduzimanje razlomaka"). Većina težak trenutak u tim radnjama bilo je smanjenje razlomaka na zajednički imenilac.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od sabiranja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizilazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, smanjeni razlomak može nastati (i često se javlja) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: bez unakrsnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako je prisutan u razlomcima cijeli dio, moraju se pretvoriti u neispravne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izvući iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dva negativa čine afirmativnu.

Do sada su se ova pravila susretala samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno da se riješi cijeli dio. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

1. Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, jer nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobijate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prevodimo sve razlomke u nepravilne, a onda minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što je ostalo se množi sa uobičajena pravila. Dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi konkretno na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Takođe obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se množe, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je veoma naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo označeni su crvenom bojom.

Napomena: u prvom slučaju množitelji su u potpunosti smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se generalno može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpuno smanjenje, ali je ukupan iznos proračuna ipak smanjen.

Međutim, ni u kom slučaju nemojte koristiti ovu tehniku ​​prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje zbog činjenice da se prilikom sabiranja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne proizvod brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, jer je u ovom svojstvu mi pričamo Radi se o množenju brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Ispravno rješenje:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.